2P eksamen våren 2026 – løsningsforslag

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 13 oppgaver · 27 poeng

Oppgave 1

1 poeng

Flere oppgaver om prosent

En bonde leverer 5200 egg til et pakkeri.

20\,\%

av eggene er brune.

Hvor mange egg er brune?

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{1040 \text{ egg er brune}}}

Vi skal finne $ 20\,\% $ av $ 5200\text{.} $ «Av» betyr ganget med, så vi skriver prosenten som en brøk og ganger den med antall egg.

1. Skriv prosenten som en brøk Formelen for prosent av et tall forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{\text{tall}} = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \textcolor{red}{\text{tall}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er $ {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{20}} $ og $ {\textcolor{red}{\text{tall}} = \textcolor{red}{5200}}\text{.} $ Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \textcolor{blue}{20}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{5200} = \dfrac{\textcolor{blue}{20}}{100} \cdot \textcolor{red}{5200} \]

Vi forkorter brøken med $ 20\text{:} $ \[ \dfrac{20}{100} = \dfrac{20 : 20}{100 : 20} = \dfrac{1}{5} \]

2. Gang brøken med antall egg Å gange med $ \dfrac{1}{5} $ er det samme som å dele på $ 5\text{:} $ \[ \dfrac{1}{5} \cdot \textcolor{red}{5200} = \dfrac{\textcolor{red}{5200}}{5} = 1040 \]

Oppgave 2

4 poeng

En dag registrerer Anita hvor mange vogner det er på togene som passerer der hun bor. Resultatene ser du nedenfor.

3 \quad 1 \quad 5 \quad 30 \quad 5 \quad 6 \quad 1 \quad 6 \quad 20 \quad 6

Oppgave 2a)

Bestem medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden og typetallet for antall vogner.

Vis løsning

Svar

For antall vogner på togene:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Median} = 5{,}5}} \\ &\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt} = 8{,}3}} \\ &\underline{\underline{\text{Variasjonsbredde} = 29}} \\ &\underline{\underline{\text{Typetall} = 6}} \end{aligned}

Vi sorterer tallene i stigende rekkefølge først. Da ser vi hvilke tall som står i midten, hvilket som er størst og minst, og hvilket som kommer flest ganger.

1. Sorter tallene Anita registrerte $ 10 $ tog. Sortert i stigende rekkefølge: \[ 1 \quad 1 \quad 3 \quad 5 \quad \textcolor{blue}{5} \quad \textcolor{blue}{6} \quad 6 \quad 6 \quad 20 \quad 30 \]

2. Finn medianen Medianen er tallet i midten når tallene står i stigende rekkefølge, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Med $ 10 $ tall er det to tall i midten, nummer $ 5 $ og $ 6\text{,} $ og medianen er gjennomsnittet av dem: \[ \text{Median} = \dfrac{\textcolor{blue}{5} + \textcolor{blue}{6}}{2} = \dfrac{11}{2} = 5{,}5 \]

3. Finn gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antall tall: \[ \text{Gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{green}{\text{antall}}} \]

Summen er: \[ \begin{aligned} &3 + 1 + 5 + 30 + 5 \\ &{} + 6 + 1 + 6 + 20 + 6 = \textcolor{red}{83} \end{aligned} \]

Det gir: \[ \text{Gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{83}}{\textcolor{green}{10}} = 8{,}3 \]

4. Finn variasjonsbredden og typetallet Variasjonsbredden er den største verdien minus den minste, som i videoen Oppgave 3A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{Variasjonsbredde} = 30 - 1 = 29 \]

Typetallet er tallet som kommer flest ganger. $ 6 $ kommer tre ganger, mens $ 1 $ og $ 5 $ kommer to ganger hver, så typetallet er $ 6\text{.} $

Oppgave 2b)

Bestem den relative frekvensen for 6 vogner. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Svar

30\,\%

av togene som passerte, hadde 6 vogner:

\underline{\underline{\text{Relativ frekvens} = 0{,}3}}

Den relative frekvensen er hvor stor del av togene som hadde $ 6 $ vogner. Vi deler antall tog med $ 6 $ vogner på antall tog.

1. Del frekvensen på antallet Frekvensen er hvor mange ganger verdien forekommer. Den relative frekvensen er en del av en helhet, så vi deler delen på helheten, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \text{Relativ frekvens} = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{frekvens}}}{\textcolor{green}{\text{antall}}} \]

$ 6 $ vogner forekommer $ \textcolor{blue}{3} $ ganger blant de $ \textcolor{green}{10} $ togene: \[ \begin{aligned} \text{Relativ frekvens} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{green}{10}} \\ &= 0{,}3 = 30\,\% \end{aligned} \]

2. Tolk svaret $ 30\,\% $ av togene som passerte den dagen, hadde $ 6 $ vogner. Det er $ 3 $ av $ 10 $ tog.

Oppgave 3

2 poeng

Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn verdiene som mangler.

\begin{array}{r|r} \text{Vekstfaktor} & \text{Prosentvis endring} \\ \hline 1{,}05 & +5\,\% \\ 1{,}4 & \\ & +17{,}5\,\% \\ & -28\,\% \\ 0{,}67 & \\ 2 & \end{array}

Vis løsning

Svar

Den utfylte tabellen:

\begin{array}{c|c} \text{Vekstfaktor} & \begin{matrix} \text{Prosentvis} \\ \text{endring} \end{matrix} \\ \hline 1{,}05 & +5\,\% \\ 1{,}4 & \underline{\underline{+40\,\%}} \\ \underline{\underline{1{,}175}} & +17{,}5\,\% \\ \underline{\underline{0{,}72}} & -28\,\% \\ 0{,}67 & \underline{\underline{-33\,\%}} \\ 2 & \underline{\underline{+100\,\%}} \end{array}

Vekstfaktoren er det en verdi ganges med når den endres med en prosent. Vi bruker sammenhengen mellom vekstfaktoren og prosenten begge veier.

1. Skriv opp sammenhengen Når noe endres med $ \textcolor{blue}{p}\,\%\text{,} $ er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{\textcolor{blue}{p}}{100} \]Ved en nedgang er $ \textcolor{blue}{p} $ negativ. Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Går vi den andre veien, er den prosentvise endringen: \[ \textcolor{blue}{p} = (V - 1) \cdot 100 \]

2. Fyll inn tabellen Rad for rad, ovenfra: \[ \begin{aligned} 1{,}4 - 1 &= 0{,}4 = \textcolor{blue}{+40\,\%} \\ 1 + \textcolor{blue}{0{,}175} &= 1{,}175 \\ 1 - \textcolor{blue}{0{,}28} &= 0{,}72 \\ 0{,}67 - 1 &= -0{,}33 = \textcolor{blue}{-33\,\%} \\ 2 - 1 &= 1 = \textcolor{blue}{+100\,\%} \end{aligned} \]Vekstfaktoren $ 2 $ betyr at verdien dobles, altså øker med $ 100\,\%\text{.} $

Oppgave 4

1 poeng

Prisen for en vare settes ned med

20\,\%\text{.}

Litt senere settes prisen opp igjen med

20\,\%\text{.}

Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Svar

Siden

{0{,}80 \cdot 1{,}20 = 0{,}96}\text{,}

koster varen

4\,\%

mindre:

\underline{\underline{\text{Mindre enn før}}}

Prisen endres to ganger med en prosent, så vi bruker vekstfaktorer. Ganger vi dem sammen, ser vi hvor stor del av den opprinnelige prisen varen koster nå.

1. Finn vekstfaktorene Vekstfaktoren er det prisen ganges med: \[ \begin{aligned} \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \\ \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor, der prisen synker med akkurat $ 20\,\%\text{.} $

Her er $ {p = 20} $ begge gangene: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{V_1} &= 1 - 0{,}20 = \textcolor{red}{0{,}80} \\ \textcolor{blue}{V_2} &= 1 + 0{,}20 = \textcolor{blue}{1{,}20} \end{aligned} \]

2. Gang vekstfaktorene sammen Vi kaller den opprinnelige prisen $ P\text{.} $ Etter begge endringene er prisen: \[ P \cdot \textcolor{red}{0{,}80} \cdot \textcolor{blue}{1{,}20} = P \cdot 0{,}96 \]Varen koster nå $ 96\,\% $ av den opprinnelige prisen, altså $ 4\,\% $ mindre.

Grunnen er at økningen er $ 20\,\% $ av en lavere pris enn nedgangen var: $ 100 $ kroner blir $ 80 $ kroner, og $ 20\,\% $ av $ 80 $ er $ 16\text{,} $ så prisen ender på $ 96 $ kroner.

Oppgave 5

2 poeng

Prisen for en vare har endret seg tre ganger i løpet av det siste året. Uttrykket nedenfor viser prisen for varen før prisendringene.

\dfrac{40\,000}{1{,}05 \cdot 0{,}85^2}

Hva forteller uttrykket om prisendringene?

Vis løsning

Svar

Prisen er nå

40\,000

kroner, og endringene kan ha kommet i hvilken som helst rekkefølge:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Opp } 5\,\% \text{ én gang}}} \\ &\underline{\underline{\text{Ned } 15\,\% \text{ to ganger}}} \end{aligned}

Prisen etter endringene er prisen før ganget med en vekstfaktor for hver endring. Vi snur det og leser av hva tallene i uttrykket betyr.

1. Sammenlign med vekstfaktorene Når prisen endres tre ganger, ganger vi prisen før med vekstfaktoren for hver endring, som i videoen Vekstfaktor: \[ \text{pris før} \cdot V_1 \cdot V_2 \cdot V_3 = \text{pris etter} \]

Deler vi med vekstfaktorene på begge sider, får vi prisen før: \[ \text{pris før} = \dfrac{\text{pris etter}}{V_1 \cdot V_2 \cdot V_3} \]

Uttrykket har samme form. Prisen etter de tre endringene er altså $ \textcolor{green}{40\,000} $ kroner, og vekstfaktorene er $ \textcolor{blue}{1{,}05} $ én gang og $ \textcolor{red}{0{,}85} $ to ganger: \[ \dfrac{\textcolor{green}{40\,000}}{\textcolor{blue}{1{,}05} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}^2} = \dfrac{\textcolor{green}{40\,000}}{\textcolor{blue}{1{,}05} \cdot \textcolor{red}{0{,}85} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}} \]

2. Les av prisendringene Når prisen endres med $ p\,\%\text{,} $ er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Ved en nedgang er $ p $ negativ.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1{,}05} &= 1 + 0{,}05 && \text{opp } 5\,\% \\ \textcolor{red}{0{,}85} &= 1 - 0{,}15 && \text{ned } 15\,\% \end{aligned} \]Prisen er satt opp med $ 5\,\% $ én gang og ned med $ 15\,\% $ to ganger. Et produkt blir det samme uansett rekkefølge, så uttrykket sier ikke hvilken endring som kom først.

Oppgave 6

1 poeng

En vare kostet 160 kroner i basisåret. I dag er indeksen for varen 125.

Hvor mye koster varen i dag dersom vi antar at prisutviklingen har fulgt utviklingen i indeksen?

Vis løsning

Svar

Varen koster i dag:

\underline{\underline{200 \text{ kroner}}}

Indeksen er $ 100 $ i basisåret. Har prisen fulgt indeksen, har den økt like mye som indeksen, fra $ 100 $ til $ 125\text{.} $

1. Tenk på indeksen som en pris Vi kan tenke på indeksen som prisen på en vare som kostet $ 100 $ kroner i basisåret, som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Den koster $ 125 $ kroner i dag, så prisen er ganget med $ \dfrac{125}{100}\text{.} $ Det samme gjelder vår vare: \[ \text{pris} = \textcolor{blue}{\text{basispris}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\text{indeks}}}{100} \]

2. Regn ut prisen Her er basisprisen $ \textcolor{blue}{160} $ kroner og indeksen $ \textcolor{red}{125}\text{.} $ Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \text{pris} &= \textcolor{blue}{160} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{125}}{100} \\ &= \textcolor{blue}{160} \cdot 1{,}25 = 200 \end{aligned} \]

Kontroll: Indeksen har økt med $ 25\,\%\text{,} $ og $ 25\,\% $ av $ 160 $ er $ 40\text{,} $ så prisen er $ {160 + 40 = 200} $ kroner.

Oppgave 7

3 poeng

I tabellen nedenfor ser du konsumprisindeksen (KPI) for 2010, 2015, 2020 og 2025.

\begin{array}{r|r} \text{År} & \text{KPI} \\ \hline 2010 & 92{,}1 \\ 2015 & 100 \\ 2020 & 112{,}2 \\ 2025 & 137{,}7 \end{array}

Oppgave 7a)

Hvorfor er konsumprisindeksen 100 i 2015?

Vis løsning

Svar

Prisene de andre årene sammenlignes med prisene i 2015:

\underline{\underline{\text{2015 er basisåret}}}

Konsumprisindeksen sammenligner prisene hvert år med prisene i ett bestemt år, basisåret.

1. Forklar hva 100 betyr KPI er prisnivået et år i prosent av prisnivået i basisåret: \[ \text{KPI} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{prisnivået i året}}}{\textcolor{blue}{\text{prisnivået i basisåret}}} \cdot 100 \]

Er 2015 basisåret, er $ \textcolor{red}{\text{prisnivået i året}} $ og $ \textcolor{blue}{\text{prisnivået i basisåret}} $ det samme i 2015. Brøken blir $ 1\text{,} $ og KPI blir $ {1 \cdot 100 = 100}\text{.} $ Tenker vi på indeksen som en pris, som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, kostet en handlekurv $ 100 $ kroner i 2015 og $ 137{,}70 $ kroner i 2025.

I 2020 hadde Niklas en reallønn på

500\,000

kroner.

Oppgave 7b)

Hva skulle reallønnen hans vært i 2025 for at han skulle hatt like stor kjøpekraft i 2025 som i 2020?

Vis løsning

Svar

Like stor kjøpekraft betyr like stor reallønn:

\underline{\underline{500\,000 \text{ kroner}}}

Reallønnen er lønnen målt i kroner med fast verdi, altså hva lønnen kan kjøpe. Like stor kjøpekraft betyr derfor like stor reallønn.

1. Skriv opp hva reallønn er Reallønnen er den nominelle lønnen, det som blir utbetalt, regnet om til basisårets kroner: \[ \text{reallønn} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{nominell lønn}}}{\textcolor{blue}{\text{KPI}}} \cdot 100 \]Den måler kjøpekraften, altså hvor mye lønnen kan kjøpe. Øker den nominelle lønnen like mye som KPI, blir brøken den samme, og reallønnen står stille.

Skal Niklas kunne kjøpe like mye i 2025 som i 2020, må reallønnen derfor være den samme, $ \textcolor{green}{500\,000} $ kroner.

Kontroll: Med KPI $ 112{,}2 $ i 2020 var den nominelle lønnen $ {500\,000 \cdot 1{,}122 = 561\,000} $ kroner. Øker den like mye som KPI, blir den $ {561\,000 \cdot \dfrac{137{,}7}{112{,}2} = 688\,500} $ kroner i 2025, og reallønnen $ {688\,500 : 1{,}377 = 500\,000}\text{.} $

I 2015 hadde Benjamin en nominell lønn på

1\,000\,000

kroner.

Oppgave 7c)

Hva skulle den nominelle lønnen hans vært i 2025 dersom han skulle hatt samme kjøpekraft som i 2015?

Vis løsning

Svar

Den nominelle lønnen i 2025 måtte vært:

\underline{\underline{1\,377\,000 \text{ kroner}}}

Samme kjøpekraft betyr samme reallønn. Vi finner reallønnen i 2015 og regner den om til nominell lønn i 2025.

1. Finn reallønnen i 2015 Reallønnen er den nominelle lønnen regnet om til basisårets kroner: \[ \textcolor{green}{\text{reallønn}} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{nominell lønn}}}{\textcolor{blue}{\text{KPI}}} \cdot 100 \]

2015 er basisåret, så KPI er $ \textcolor{blue}{100}\text{,} $ og reallønnen er lik den nominelle lønnen, $ \textcolor{green}{1\,000\,000} $ kroner. Den samme reallønnen skal han ha i 2025.

2. Regn om til nominell lønn Snur vi formelen, får vi: \[ \textcolor{red}{\text{nominell lønn}} = \textcolor{green}{\text{reallønn}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{\text{KPI}}}{100} \]Tenker vi på KPI som prisen på noe som kostet $ 100 $ kroner i 2015, som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, må lønnen øke like mye som prisen.

I 2025 er KPI $ \textcolor{blue}{137{,}7}\text{.} $ Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{nominell lønn}} &= \textcolor{green}{1\,000\,000} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{137{,}7}}{100} \\ &= \textcolor{red}{1\,377\,000} \end{aligned} \]

Oppgave 8

1 poeng

På en tegning er en skrue

5{,}0\,\text{cm}

lang. I virkeligheten er denne skruen

2{,}0\,\text{mm}

lang.

Bestem målestokken til tegningen.

Vis løsning

Svar

Skruen er tegnet 25 ganger så stor som i virkeligheten:

\underline{\underline{25 : 1}}

Målestokken er lengden på tegningen sammenlignet med lengden i virkeligheten. Vi gjør om til samme enhet først.

1. Gjør om til samme enhet Det går $ 10\,\text{mm} $ på $ 1\,\text{cm}\text{,} $ ett trinn på måletrappa i videoen Introduksjon til Måleenheter. Vi ganger derfor med $ 10\text{:} $ \[ \textcolor{blue}{5{,}0\,\text{cm}} = \textcolor{blue}{50\,\text{mm}} \]

2. Skriv målestokken Målestokken er lengden på tegningen til lengden i virkeligheten, i samme enhet og med kolon mellom, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{\text{tegning}} : \textcolor{red}{\text{virkelighet}} \]

Her er tegningen $ \textcolor{blue}{50\,\text{mm}} $ og virkeligheten $ \textcolor{red}{2\,\text{mm}}\text{:} $ \[ \textcolor{blue}{50} : \textcolor{red}{2} = 25 : 1 \]Tegningen er en forstørrelse: $ \textcolor{red}{1\,\text{mm}} $ i virkeligheten er $ \textcolor{blue}{25\,\text{mm}} $ på tegningen.

Oppgave 9

3 poeng

Flere oppgaver om areal

Bestem arealet av hver av de fire figurene som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor.

Vis løsning

Svar

Arealene av figur 1, 2, 3 og 4:

\begin{aligned} &\underline{\underline{A_1 = 12}} \\ &\underline{\underline{A_2 = 4}} \\ &\underline{\underline{A_3 = 30}} \\ &\underline{\underline{A_4 = 3\pi}} \end{aligned}

Vi ser to trekanter, et trapes og tre fjerdedeler av en sirkel. Alle står mellom x-aksen og linja $ {y = 4}\text{,} $ så høyden er $ 4\text{,} $ og de andre målene leser vi av koordinatene.

1. Finn arealet av trekantene Arealet av en trekant er grunnlinja ganget med høyden delt på to: \[ A = \dfrac{\textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Areal og Omkrets.

Begge trekantene har grunnlinja på x-aksen og toppen på linja $ {y = 4}\text{,} $ så $ {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4}}\text{.} $ Figur 2 er stump, så høyden faller utenfor trekanten, men avstanden fra toppen ned til grunnlinja er fortsatt $ \textcolor{red}{4}\text{.} $ Grunnlinja går fra $ 0 $ til $ 6 $ i figur 1 og fra $ 8 $ til $ 10 $ i figur 2: \[ \begin{aligned} A_1 &= \dfrac{\textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{4}}{2} = \underline{12} \\ A_2 &= \dfrac{\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{4}}{2} = \underline{4} \end{aligned} \]

2. Finn arealet av trapeset Figur 3 har to parallelle sider, den øverste fra $ 10 $ til $ 19 $ og den nederste fra $ 14 $ til $ 20\text{.} $ Arealet av et trapes er: \[ A = \dfrac{(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{green}{b}) \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Areal og Omkrets.

Her er $ {\textcolor{blue}{a} = 19 - 10 = \textcolor{blue}{9}}\text{,} $ $ {\textcolor{green}{b} = 20 - 14 = \textcolor{green}{6}} $ og $ {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4}}\text{:} $ \[ A_3 = \dfrac{(\textcolor{blue}{9} + \textcolor{green}{6}) \cdot \textcolor{red}{4}}{2} = \dfrac{60}{2} = \underline{30} \]

3. Finn arealet av sirkeldelen Arealet av en sirkel med radius $ r $ er: \[ A = \pi r^2 \]Det er arealet av toppen av sylinderen i videoen Volum og Overflate.

Sirkelen går fra x-aksen opp til linja $ {y = 4}\text{,} $ så diameteren er $ 4 $ og radien $ {r = 2}\text{.} $ Det mangler en firedel, så figur 4 er $ \dfrac{3}{4} $ av sirkelen: \[ A_4 = \dfrac{3}{4} \cdot \pi \cdot 2^2 = \dfrac{3}{4} \cdot 4\pi = \underline{3\pi} \]

Oppgave 10

1 poeng

Flere oppgaver om andregradslikninger

Løs likningen

(x - 2)(x + 3) = 0

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{x = 2 \quad \text{eller} \quad x = -3}}

Venstre side er et produkt av to parenteser, og høyre side er $ 0\text{.} $ Et produkt er $ 0 $ bare når en av faktorene er $ 0\text{,} $ så vi setter hver parentes lik $ 0\text{.} $

1. Sett hver faktor lik 0 Når to tall ganges sammen og svaret blir $ 0\text{,} $ må ett av dem være $ 0\text{,} $ som i videoen Oppgave 4 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} = 0 \quad \text{gir} \quad \textcolor{blue}{a} = 0 \ \text{ eller } \ \textcolor{red}{b} = 0 \]

Her er faktorene $ {\textcolor{blue}{x - 2}} $ og $ {\textcolor{red}{x + 3}}\text{:} $ \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x - 2} = 0 \quad &\text{gir} \quad x = 2 \\ \textcolor{red}{x + 3} = 0 \quad &\text{gir} \quad x = -3 \end{aligned} \]

Kontroll: $ {x = 2} $ gir $ {(2 - 2)(2 + 3) = 0 \cdot 5 = 0}\text{,} $ og $ {x = -3} $ gir $ {(-5) \cdot 0 = 0}\text{.} $

Oppgave 11

4 poeng

Gitt likningssystemet

\left[ \begin{aligned} 4x + y &= 8 \\ 3x - y &= 6 \end{aligned} \right]

Oppgave 11a)

Løs likningssystemet ved regning.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{x = 2 \text{ og } y = 0}}

Den øverste likningen har $ {+y} $ og den nederste $ {-y}\text{.} $ Legger vi sammen likningene, faller $ y $ bort, og vi står igjen med en likning med bare $ x\text{.} $

1. Legg sammen likningene Vi legger sammen venstresidene for seg og høyresidene for seg, som med addisjonsmetoden i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ \begin{aligned} (4x + \textcolor{darkorange}{y}) + (3x - \textcolor{darkorange}{y}) &= 8 + 6 \\ 7x &= 14 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

2. Finn y Vi setter $ {x = 2} $ inn i den øverste likningen: \[ \begin{aligned} 4 \cdot 2 + y &= 8 \\ y &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: Den nederste likningen: $ {3 \cdot 2 - 0 = 6}\text{.} $

Oppgave 11b)

Løs likningssystemet grafisk.

Vis løsning

Svar

Linjene skjærer hverandre i

(2, 0)\text{:}

\underline{\underline{x = 2 \text{ og } y = 0}}

Vi skriver begge likningene på formen $ {y = ax + b}\text{,} $ tegner de to linjene i samme koordinatsystem og leser av skjæringspunktet.

1. Skriv likningene som linjer Vi løser hver likning for $ y\text{:} $ \[ \begin{aligned} 4x + y = 8 \quad &\text{gir} \quad y = \textcolor{blue}{-4x + 8} \\ 3x - y = 6 \quad &\text{gir} \quad y = \textcolor{red}{3x - 6} \end{aligned} \]Begge er rette linjer $ {y = ax + b}\text{,} $ der $ a $ er stigningstallet og $ b $ er der linja skjærer y-aksen, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Lag en verditabell Vi regner ut $ y $ for noen verdier av $ x\text{:} $ \[ \begin{array}{r|rr} x & \textcolor{blue}{-4x + 8} & \textcolor{red}{3x - 6} \\ \hline 0 & 8 & -6 \\ 1 & 4 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & -4 & 3 \end{array} \]

3. Tegn linjene og les av Vi tegner punktene og trekker en rett linje gjennom punktene til hver likning:

Linjene skjærer hverandre i $ (2, 0)\text{.} $ Der har begge likningene samme $ x $ og $ y\text{,} $ så skjæringspunktet er løsningen. Det ser vi i verditabellen også: for $ {x = 2} $ gir begge uttrykkene $ 0\text{.} $

Oppgave 12

1 poeng

Kari har laget programmet nedenfor.

Hva forteller verdien som skrives ut når programmet kjøres?

Vis løsning

Svar

Verdien er gjennomsnittet av tallene i lista

L\text{:}

\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt} = 10}}

Vi leser programmet linje for linje og ser hva det regner ut med tallene i lista $ L\text{.} $

1. Les programmet Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 3 teller hvor mange tall det er i lista, og linje 4 legger dem sammen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{5} \\ \textcolor{blue}{s} &= 2 + 4 + 8 + 16 + 20 = \textcolor{blue}{50} \end{aligned} \]

Linje 6 deler summen på antallet: \[ g = \dfrac{\textcolor{blue}{s}}{\textcolor{red}{a}} = \dfrac{\textcolor{blue}{50}}{\textcolor{red}{5}} = 10 \]

2. Tolk verdien Summen av tallene delt på antall tall er gjennomsnittet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Programmet skriver ut $ 10 $ med én desimal, fordi deling med / i Python alltid gir et desimaltall.

Oppgave 13

3 poeng

Tabellen til høyre viser aldersfordelingen for de 200 personene som bor i blokk Z på Tirilltoppen.

\begin{array}{r|r} \text{Alder} & \text{Frekvens} \\ \text{(år)} & \\ \hline [0, 10\rangle & 40 \\ [10, 20\rangle & 20 \\ [20, 30\rangle & 60 \\ [30, 50\rangle & 20 \\ [50, 60\rangle & 20 \\ [60, 80\rangle & 40 \\ \text{Sum} & 200 \end{array}

Aurora har laget diagrammet nedenfor.

Oppgave 13a)

Hva forteller koordinatene til punkt

A

om aldersfordelingen i blokk Z?

Vis løsning

Svar

140

av de

200

som bor i blokk Z:

\underline{\underline{70\,\% \text{ er under } 50 \text{ år}}}

Diagrammet viser kumulativ frekvens i prosent: hvor stor del av beboerne som er yngre enn alderen på x-aksen.

1. Tell opp dem under 50 år Den kumulative frekvensen ved en alder er alle i klassene under den alderen til sammen. Under $ \textcolor{blue}{50} $ år er klassene fra $ 0 $ til $ 50\text{:} $ \[ 40 + 20 + 60 + 20 = 140 \text{ personer} \]

Som del av alle de $ 200 $ som bor i blokka, er det, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \dfrac{140}{200} \cdot 100\,\% = \textcolor{red}{70\,\%} \]

2. Tolk punktet $ A(\textcolor{blue}{50}, \textcolor{red}{70}) $ forteller altså at $ \textcolor{red}{70\,\%} $ av beboerne er under $ \textcolor{blue}{50} $ år. Den siste av disse klassene er $ [30, 50\rangle\text{,} $ så den som har fylt $ 50\text{,} $ er ikke med.

Aurora kan bruke diagrammet til å finne en verdi hun kan anta er medianalderen.

Oppgave 13b)

Hvilken verdi er dette, og hvilken antakelse må hun gjøre? Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Svar

Hun må anta at alderen er jevnt fordelt i klassen fra 20 til 30 år (medianen avrundet til én desimal):

\underline{\underline{\text{Medianalder} \approx 26{,}7 \text{ år}}}

Medianalderen er alderen der halvparten av beboerne er yngre. Vi går fra $ 50\,\% $ på y-aksen bort til grafen og ned til x-aksen.

1. Les av ved 50 prosent Medianen er verdien i midten når alle står i stigende rekkefølge, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Diagrammet viser at $ 30\,\% $ er under $ 20 $ år og $ 60\,\% $ er under $ 30 $ år. Halvparten, $ \textcolor{red}{50\,\%}\text{,} $ nås derfor mellom $ 20 $ og $ 30 $ år:

Linjestykket stiger $ {60 - 30 = 30} $ prosentpoeng på $ 10 $ år, altså $ 3 $ prosentpoeng per år. Fra $ 30\,\% $ til $ \textcolor{red}{50\,\%} $ er det $ 20 $ prosentpoeng: \[ \begin{aligned} \text{Median} &= 20 + \dfrac{20}{3} \\ &= \dfrac{80}{3} \approx \textcolor{blue}{26{,}7} \end{aligned} \]

2. Begrunn antakelsen Tabellen sier bare hvor mange som er i hver klasse, ikke hvor gamle de er. Når Aurora leser av på den rette linja mellom $ (20, 30) $ og $ (30, 60)\text{,} $ antar hun at de $ 60 $ personene i klassen $ [20, 30\rangle $ er jevnt fordelt på alderne fra $ 20 $ til $ 30\text{.} $ Uten den antakelsen vet vi bare at medianen ligger et sted mellom $ 20 $ og $ 30 $ år.

Del 2

Med hjelpemidler · 4 oppgaver · 17 poeng

Oppgave 1

4 poeng

En bedrift har fått krav om å redusere utslippet av et miljøskadelig stoff.

• I dag er utslippet

16\,000

tonn per år.

• Kravet er at utslippet skal halveres for hvert sjette år. Det betyr at utslippet skal være 8000 tonn per år om 6 år, 4000 tonn per år om 12 år, og så videre.

Ledelsen mener funksjonen

U

gitt ved

U(x) = 16000 \cdot 0{,}89^x

vil være en god modell for utslippet

U(x)

tonn per år om

x

år dersom bedriften klarer å innfri kravet.

Oppgave 1a)

Vis hvordan ledelsen kan ha kommet fram til modellen.

Vis løsning

Svar

Halvert etter 6 år gir

{a^6 = 0{,}5}\text{,}

så

{a = 0{,}5^{1/6} \approx 0{,}89}\text{:}

\underline{\underline{U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x}}

Utslippet skal ganges med det samme tallet hvert år og være halvert etter $ 6 $ år. Vi setter opp en likning for vekstfaktoren og løser den.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren $ \textcolor{red}{a} $ én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I dag er utslippet $ \textcolor{blue}{16\,000} $ tonn: \[ U(x) = \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{a}^x \]

Om $ 6 $ år skal utslippet være halvert, $ 8000 $ tonn. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{a}^6 = 8000 \]

2. Løs likningen Vi deler med $ \textcolor{blue}{16\,000} $ på begge sider og tar sjette rot med kalkulatoren, altså opphøyer i $ \dfrac{1}{6}\text{:} $ \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a}^6 &= \dfrac{8000}{16\,000} = 0{,}5 \\ \textcolor{red}{a} &= 0{,}5^{1/6} \approx \textcolor{red}{0{,}8909} \end{aligned} \]

Avrundet til to desimaler er $ {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{0{,}89}}\text{,} $ og det gir ledelsens modell: \[ U(x) = \textcolor{blue}{16\,000} \cdot \textcolor{red}{0{,}89}^x \]

Kontroll: $ {16\,000 \cdot 0{,}89^6 \approx 7952} $ og $ {16\,000 \cdot 0{,}89^{12} \approx 3952}\text{,} $ nær $ 8000 $ og $ 4000\text{.} $

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen $ {16\,000 \cdot a^6 = 8000} $ inn i CAS og løser den med Løs og ≈-knappen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(16000 a^6 = 8000, a)

CAS gir $ {a \approx -0{,}8909} $ og $ {a \approx 0{,}8909}\text{.} $ En vekstfaktor kan ikke være negativ, så vi bruker $ {a \approx 0{,}8909 \approx 0{,}89}\text{,} $ og det gir $ {U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x}\text{.} $

Oppgave 1b)

Hvor mange prosent vil utslippet reduseres med per år, ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Ifølge modellen reduseres utslippet med:

\underline{\underline{11\,\% \text{ per år}}}

Vekstfaktoren i modellen er $ 0{,}89\text{.} $ Den er mindre enn $ 1\text{,} $ så utslippet minker, og prosenten finner vi fra vekstfaktoren.

Metode: For hånd

1. Les av prosenten Når noe minker med $ \textcolor{red}{p}\,\% $ per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

I modellen er $ {V = 0{,}89}\text{:} $ \[ 0{,}89 = 1 - 0{,}11 = 1 - \dfrac{\textcolor{red}{11}}{100} \]Utslippet reduseres altså med $ \textcolor{red}{11}\,\% $ hvert år.

Oppgave 1c)

Hvor mange tonn vil utslippet i gjennomsnitt reduseres med per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele tonn reduseres utslippet i gjennomsnitt med:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 1413 \text{ tonn per år}}}

Den gjennomsnittlige endringen per år er endringen i utslippet de fem første årene delt på $ 5\text{.} $ Det er stigningstallet mellom $ {x = 0} $ og $ {x = 5}\text{.} $

Metode: For hånd

1. Regn ut utslippet om 5 år Med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} U(0) &= 16\,000 \cdot 0{,}89^0 = \textcolor{blue}{16\,000} \\ U(5) &= 16\,000 \cdot 0{,}89^5 \approx \textcolor{red}{8934{,}5} \end{aligned} \]

2. Finn den gjennomsnittlige endringen Stigningstallet er endringen i $ y $ delt på endringen i $ x\text{,} $ som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{U(5)} - \textcolor{blue}{U(0)}}{5 - 0} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8934{,}5} - \textcolor{blue}{16\,000}}{5} \\ &= \dfrac{-7065{,}5}{5} \approx -1413 \end{aligned} \]Utslippet går altså i gjennomsnitt ned med omtrent $ 1413 $ tonn per år de fem første årene.

Oppgave 2

7 poeng

Nedenfor ser du hvor mange fraværsdager hver av de 15 ansatte i bedrift A hadde i 2025.

2 \enspace 0 \enspace 0 \enspace 5 \enspace 4 \enspace 1 \enspace 1 \enspace 12 \enspace 15 \enspace 0 \enspace 0 \enspace 1 \enspace 1 \enspace 2 \enspace 1

Oppgave 2a)

Bestem gjennomsnittet, medianen og standardavviket for antall fraværsdager.

Vis løsning

Svar

Standardavviket er for alle de 15 ansatte, avrundet til to desimaler:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt} = 3 \text{ dager}}} \\ &\underline{\underline{\text{Median} = 1 \text{ dag}}} \\ &\underline{\underline{\text{Standardavvik} \approx 4{,}38 \text{ dager}}} \end{aligned}

Vi sorterer de $ 15 $ tallene først. Gjennomsnittet og medianen finner vi for hånd, og standardavviket med formelen eller i et regneark.

Metode: Med kalkulator

1. Finn gjennomsnittet og medianen Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023, og medianen er tallet i midten når tallene er sortert. Sortert: \[ 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 1 \;\, \textcolor{blue}{1} \;\, 1 \;\, 2 \;\, 2 \;\, 4 \;\, 5 \;\, 12 \;\, 15 \]

Tall nummer $ 8 $ av $ 15 $ står i midten, så medianen er $ \textcolor{blue}{1}\text{.} $ Vi samler like tall i summen, og nullene gir ingenting: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\bar{x}} &= \dfrac{\text{sum}}{\text{antall}} \\ &= \dfrac{5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 + 5 + 12 + 15}{15} \\ &= \dfrac{45}{15} = \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]

2. Finn standardavviket Standardavviket måler hvor langt tallene typisk ligger fra gjennomsnittet $ \textcolor{red}{\bar{x}}\text{:} $ \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \textcolor{red}{\bar{x}})^2 + \ldots + (x_n - \textcolor{red}{\bar{x}})^2}{n}} \]Vi deler på $ n\text{,} $ fordi vi bruker hele datasettet, alle de $ 15 $ ansatte i bedriften. Det er standardavvik p i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Vi samler like tall. Med $ {\textcolor{red}{\bar{x}} = \textcolor{red}{3}} $ blir summen over brøkstreken: \[ \begin{aligned} &4 \cdot (0 - \textcolor{red}{3})^2 + 5 \cdot (1 - \textcolor{red}{3})^2 \\ &{} + 2 \cdot (2 - \textcolor{red}{3})^2 + (4 - \textcolor{red}{3})^2 \\ &{} + (5 - \textcolor{red}{3})^2 + (12 - \textcolor{red}{3})^2 + (15 - \textcolor{red}{3})^2 \\ &= 36 + 20 + 2 + 1 + 4 + 81 + 144 \\ &= 288 \end{aligned} \]

Det gir: \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{288}{15}} = \sqrt{19{,}2} \approx 4{,}38 \]

Metode: Med regneark

1. Bruk funksjonene i regnearket Vi skriver de $ 15 $ tallene i A2 til A16 og bruker GJENNOMSNITT, MEDIAN og STDAV.P: \[ \begin{aligned} \text{D1:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=GJENNOMSNITT(A2:A16)}} \\ \text{D2:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=MEDIAN(A2:A16)}} \\ \text{D3:}\quad & \texttt{=STDAV.P(A2:A16)} \end{aligned} \]STDAV.P deler på $ n\text{,} $ og den bruker vi fordi vi har alle de ansatte, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. STDAV.S deler på $ {n - 1}\text{.} $

Regnearket gir gjennomsnittet $ \textcolor{red}{3}\text{,} $ medianen $ \textcolor{blue}{1} $ og standardavviket $ 4{,}38\text{,} $ det samme som med kalkulator.

Oppgave 2b)

Bestem den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Svar

13

av de

15

ansatte hadde 5 fraværsdager eller færre:

\underline{\underline{\text{Kumulativ frekvens} = 13}}

Den kumulative frekvensen for $ 5 $ dager er antall ansatte som hadde $ 5 $ fraværsdager eller færre.

Metode: For hånd

1. Legg sammen frekvensene Vi legger sammen frekvensene for alle verdiene opp til og med $ 5\text{.} $ I den sorterte lista i a) har $ 4 $ ansatte $ 0 $ dager, $ 5 $ har $ 1 $ dag og $ 2 $ har $ 2 $ dager, og én har $ 4 $ og én har $ 5\text{:} $ \[ \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{5} + \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{1} + \textcolor{blue}{1} = 13 \]Bare de to med $ 12 $ og $ 15 $ dager hadde mer enn $ 5\text{.} $

2. Tolk svaret $ 13 $ av de $ 15 $ ansatte hadde $ 5 $ fraværsdager eller færre i 2025, altså $ {\dfrac{13}{15} \approx 87\,\%} $ av de ansatte.

Metode: Med regneark

1. Lag en frekvenstabell Vi skriver fraværet i A2 til A16 og de ulike verdiene i C2 til C8. ANTALL.HVIS teller hvor mange ganger hver verdi forekommer, så i D2 skriver vi: \[ \textcolor{blue}{\texttt{=ANTALL.HVIS(\$A\$2:\$A\$16;C2)}} \]Den kumulative frekvensen er summen av frekvensene til og med raden, så i E2 skriver vi $ {\texttt{=D2}} $ og i E3 $ {\texttt{=E2+D3}}\text{.} $ Vi drar D2 ned til D8 og E3 ned til E8:

I raden for $ 5 $ dager er den kumulative frekvensen $ 13\text{,} $ altså hadde $ 13 $ av de $ 15 $ ansatte $ 5 $ fraværsdager eller færre.

Bedrift B har også 15 ansatte.

• Gjennomsnittet for antall fraværsdager i 2025 er det samme for bedrift B som for bedrift A. • Medianen er høyere for bedrift B. • Standardavviket er lavere for bedrift B.

Oppgave 2c)

Hva forteller disse opplysningene om fraværet i bedrift B sammenlignet med fraværet i bedrift A?

Vis løsning

Svar

Begge har 45 fraværsdager til sammen, men i B er fraværet jevnere fordelt:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Midterste i B: mer fravær}}} \\ &\underline{\underline{\text{Mindre spredning i B}}} \end{aligned}

Vi bruker gjennomsnittet, medianen og standardavviket fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi tar for oss ett mål om gangen og ser hva det sier om hvordan fraværet er fordelt på de ansatte.

Metode: For hånd

1. Sammenlign gjennomsnittet Begge bedriftene har $ \textcolor{blue}{15} $ ansatte og samme gjennomsnitt, $ \textcolor{red}{3} $ dager. Gjennomsnittet er summen delt på antallet, så summen er også den samme: \[ \text{sum} = \textcolor{blue}{15} \cdot \textcolor{red}{3} = 45 \text{ fraværsdager} \]

2. Sammenlign median og standardavvik I a) fant vi at medianen i A er $ 1 $ dag, mens gjennomsnittet er $ 3\text{.} $ De fleste i A har lite fravær, og noen få med mye fravær, $ 12 $ og $ 15 $ dager, trekker gjennomsnittet opp, slik medianen og gjennomsnittet sammenlignes i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

I B er medianen høyere, så den midterste ansatte har mer fravær enn i A. Medianen er et helt antall dager, så minst $ 8 $ av de $ 15 $ i B har $ 2 $ fraværsdager eller mer, mot $ 6 $ i A. Standardavviket er lavere, så fraværet varierer mindre fra ansatt til ansatt.

Kari påstår at den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager i bedrift B må være høyere enn for bedrift A.

Oppgave 2d)

Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Svar

Med 12 ansatte på 2 dager og 3 på 7 dager har B kumulativ frekvens

{12 < 13}\text{:}

\underline{\underline{\text{Påstanden er ikke riktig}}}

Vi bruker gjennomsnittet, medianen og standardavviket fra a) og den kumulative frekvensen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Påstanden sier at noe må gjelde. Finner vi ett tenkt fravær for B som passer med alle tre opplysningene, men der den kumulative frekvensen ikke er høyere enn $ 13\text{,} $ er påstanden feil.

Metode: For hånd

1. Lag et moteksempel Vi prøver med $ 12 $ ansatte som har $ \textcolor{blue}{2} $ fraværsdager, og $ 3 $ som har $ \textcolor{red}{7}\text{.} $ Gjennomsnittet er: \[ \dfrac{12 \cdot \textcolor{blue}{2} + 3 \cdot \textcolor{red}{7}}{15} = \dfrac{45}{15} = 3 \]Medianen er tall nummer $ 8\text{,} $ som er $ \textcolor{blue}{2}\text{,} $ høyere enn $ 1\text{,} $ som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023.

2. Sjekk standardavviket Alle ligger $ 1 $ eller $ 4 $ dager fra gjennomsnittet $ 3\text{:} $ \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{12 \cdot 1^2 + 3 \cdot 4^2}{15}} = \sqrt{\dfrac{60}{15}} = 2 \]Det er lavere enn $ 4{,}38 $ i A, så alle tre opplysningene stemmer.

3. Sammenlign den kumulative frekvensen Bare de $ 12 $ med $ \textcolor{blue}{2} $ dager har $ 5 $ fraværsdager eller færre, så den kumulative frekvensen for $ 5 $ dager er $ 12\text{.} $ I b) fant vi $ 13 $ for A, og $ {12 < 13}\text{.} $ Dette kalles et moteksempel: B kan ha alle tre egenskapene og likevel lavere kumulativ frekvens enn A.

Oppgave 3

4 poeng

Hvert år undersøker Reuters Institute, Universitetet i Bergen og Stiftelsen Fritt Ord hvordan vi får med oss nyheter, og i hvilken grad vi unngår nyheter. Dersom vi unngår nyheter over tid, kan vi gå glipp av viktig informasjon og få en svakere tilknytning til samfunnet. Forskerne er derfor spesielt opptatt av dette.

Nedenfor ser du noen resultater fra undersøkelsene.

Hvordan nordmenn får med seg dagens første nyheter i 2019 og 2025 Prosentandel som oppgir hver kilde

\begin{array}{r|r|r} \text{Kilde} & \text{2019} & \text{2025} \\ \hline \text{Smarttelefon} & 32\,\% & 50\,\% \\ \text{Radio} & 19\,\% & 14\,\% \\ \text{PC} & 15\,\% & 12\,\% \\ \text{TV} & 13\,\% & 11\,\% \\ \text{Nettbrett} & 6\,\% & 5\,\% \\ \text{Papiravis} & 7\,\% & 2\,\% \\ \text{Ingen av disse} & 4\,\% & 4\,\% \\ \text{Vet ikke} & 4\,\% & 2\,\% \end{array}

Nyhetsunngåelse i Norge 2025 Hvor ofte nordmenn aktivt unngår nyheter

\begin{array}{r|r} \text{Svar} & \text{2025} \\ \hline \text{Aldri} & 37\,\% \\ \text{En gang iblant} & 29\,\% \\ \text{Noen ganger} & 23\,\% \\ \text{Ofte} & 7\,\% \\ \text{Vet ikke} & 4\,\% \end{array}

Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.

Gjør beregninger og sammenligninger, og lag ulike diagrammer som du kan bruke i en presentasjon.

Vis løsning

Svar

Et søylediagram for kildene og et sektordiagram for nyhetsunngåelsen, med disse funnene:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Smarttelefon: } {+18} \text{ prosentpoeng}}} \\ &\underline{\underline{\text{Papiravis: omtrent } {-71}\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Unngår aldri: } 37\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Unngår iblant} \text{ eller oftere: } 59\,\%}} \end{aligned}

Vi sammenligner 2019 med 2025 i prosentpoeng og i prosent, og viser tallene i et søylediagram og et sektordiagram. Andre valg kan også være riktige, for eksempel søyler for endringene.

Metode: Med kalkulator

1. Regn ut endringene Endringen i prosentpoeng er forskjellen mellom de to prosenttallene. Hvor mange prosent noe har endret seg, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Smarttelefon gikk fra $ \textcolor{blue}{32\,\%} $ i 2019 til $ 50\,\% $ i 2025: \[ \begin{aligned} 50 - \textcolor{blue}{32} &= \textcolor{red}{18} \text{ prosentpoeng} \\ \dfrac{\textcolor{red}{18}}{\textcolor{blue}{32}} \cdot 100\,\% &= 56{,}25\,\% \end{aligned} \]

Papiravis gikk fra $ \textcolor{blue}{7\,\%} $ til $ 2\,\%\text{:} $ \[ \begin{aligned} 2 - \textcolor{blue}{7} &= \textcolor{red}{-5} \text{ prosentpoeng} \\ \dfrac{\textcolor{red}{-5}}{\textcolor{blue}{7}} \cdot 100\,\% &\approx -71{,}4\,\% \end{aligned} \]Radio gikk også ned $ 5 $ prosentpoeng, men det er bare $ {\dfrac{5}{19} \approx 26\,\%} $ av radioandelen.

I 2025 unngikk $ 37\,\% $ aldri nyheter. Andelen som unngikk nyheter en gang iblant eller oftere, er: \[ 29\,\% + 23\,\% + 7\,\% = 59\,\% \]

2. Tegn et søylediagram Vi tegner to søyler for hver kilde, én for 2019 og én for 2025, så det er lett å sammenligne årene:

Diagrammet viser at smarttelefonen er den eneste kilden som har vokst.

3. Tegn et sektordiagram Svarene om nyhetsunngåelse er deler av en helhet, $ 100\,\%\text{,} $ så de passer i et sektordiagram. En hel sirkel er $ 360^\circ\text{,} $ så hver prosent er $ 3{,}6^\circ\text{:} $ \[ \begin{aligned} \text{Aldri: } 37 \cdot 3{,}6^\circ &= 133{,}2^\circ \\ \text{En gang iblant: } 29 \cdot 3{,}6^\circ &= 104{,}4^\circ \\ \text{Noen ganger: } 23 \cdot 3{,}6^\circ &= 82{,}8^\circ \\ \text{Ofte: } 7 \cdot 3{,}6^\circ &= 25{,}2^\circ \\ \text{Vet ikke: } 4 \cdot 3{,}6^\circ &= 14{,}4^\circ \end{aligned} \]

Vi tegner sektorene etter hverandre med gradskive:

Metode: Med regneark

1. Regn ut endringene Vi skriver tabellene inn med prosenttallene som vanlige tall, og årstallene som tekst, med en apostrof foran, '2019 og '2025, så Excel bruker dem som navn på søylene. Endringen i prosentpoeng er forskjellen, og endringen i prosent er den delt på tallet for 2019, med prosentformat i kolonne E: \[ \begin{aligned} \text{D2:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=C2-B2}} \\ \text{E2:}\quad & \texttt{=D2/B2} \end{aligned} \]Vi drar D2 og E2 ned til rad 9. I B17 legger vi sammen dem som unngår nyheter en gang iblant eller oftere, med $ {\texttt{=SUMMER(B13:B15)}}\text{:} $

2. Lag diagrammene Vi markerer A1 til C9 og velger Sett inn, Liggende stolpediagram, og A11 til B16 med Sett inn, Sektordiagram. Vi slår på dataetiketter, så tallene står ved søylene og sektorene, og i stolpediagrammet velger vi kategorier i motsatt rekkefølge, så smarttelefon står øverst, som i tabellen. Så gir vi hvert diagram en tittel, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Smarttelefon har gått opp $ 18 $ prosentpoeng, papiravis ned $ 71{,}43\,\%\text{,} $ og $ 59\,\% $ unngår nyheter en gang iblant eller oftere, det samme som med kalkulator.

Oppgave 4

2 poeng

Jens tar opp et forbrukslån på

75\,000

kroner.

Han skal betale tilbake lånet med månedlige terminer.

Rentesats:

0{,}975\,\%

per måned Terminbeløp: 3520 kroner per måned

Lag en nedbetalingsplan som viser hvor mye Jens skal betale i avdrag og renter hver måned.

Vis løsning

Svar

Renter og avdrag i kroner, avrundet til hele øre, med 3520,33 kroner i den siste terminen:

\begin{array}{r|r|r} \text{Termin} & \text{Renter} & \text{Avdrag} \\ \hline 1 & \underline{\underline{731{,}25}} & \underline{\underline{2788{,}75}} \\ 2 & \underline{\underline{704{,}06}} & \underline{\underline{2815{,}94}} \\ 3 & \underline{\underline{676{,}60}} & \underline{\underline{2843{,}40}} \\ 4 & \underline{\underline{648{,}88}} & \underline{\underline{2871{,}12}} \\ 5 & \underline{\underline{620{,}89}} & \underline{\underline{2899{,}11}} \\ 6 & \underline{\underline{592{,}62}} & \underline{\underline{2927{,}38}} \\ 7 & \underline{\underline{564{,}08}} & \underline{\underline{2955{,}92}} \\ 8 & \underline{\underline{535{,}26}} & \underline{\underline{2984{,}74}} \\ 9 & \underline{\underline{506{,}16}} & \underline{\underline{3013{,}84}} \\ 10 & \underline{\underline{476{,}77}} & \underline{\underline{3043{,}23}} \\ 11 & \underline{\underline{447{,}10}} & \underline{\underline{3072{,}90}} \\ 12 & \underline{\underline{417{,}14}} & \underline{\underline{3102{,}86}} \\ 13 & \underline{\underline{386{,}89}} & \underline{\underline{3133{,}11}} \\ 14 & \underline{\underline{356{,}34}} & \underline{\underline{3163{,}66}} \\ 15 & \underline{\underline{325{,}49}} & \underline{\underline{3194{,}51}} \\ 16 & \underline{\underline{294{,}35}} & \underline{\underline{3225{,}65}} \\ 17 & \underline{\underline{262{,}90}} & \underline{\underline{3257{,}10}} \\ 18 & \underline{\underline{231{,}14}} & \underline{\underline{3288{,}86}} \\ 19 & \underline{\underline{199{,}07}} & \underline{\underline{3320{,}93}} \\ 20 & \underline{\underline{166{,}70}} & \underline{\underline{3353{,}30}} \\ 21 & \underline{\underline{134{,}00}} & \underline{\underline{3386{,}00}} \\ 22 & \underline{\underline{100{,}99}} & \underline{\underline{3419{,}01}} \\ 23 & \underline{\underline{67{,}65}} & \underline{\underline{3452{,}35}} \\ 24 & \underline{\underline{33{,}99}} & \underline{\underline{3486{,}34}} \end{array}

Terminbeløpet er det samme hver måned, men rentene er $ 0{,}975\,\% $ av det Jens skylder, og resten er avdrag. Det regner vi ut måned for måned i et regneark.

Metode: Med regneark

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC regner du ut de første månedene med kalkulator, som i første steg, og forklarer at resten av planen regnes ut på samme måte.

1. Regn ut første måned Hver måned er rentene $ 0{,}975\,\% $ av restbeløpet, og avdraget er resten av terminbeløpet, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Siden $ {0{,}975\,\% = 0{,}00975}\text{,} $ er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{renter}} &= \textcolor{blue}{\text{restbeløp}} \cdot 0{,}00975 \\ \textcolor{green}{\text{avdrag}} &= 3520 - \textcolor{red}{\text{renter}} \end{aligned} \]Neste måned er restbeløpet det gamle restbeløpet minus avdraget.

Den første måneden er restbeløpet hele lånet, $ \textcolor{blue}{75\,000} $ kroner: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{renter}} &= \textcolor{blue}{75\,000} \cdot 0{,}00975 = \textcolor{red}{731{,}25} \\ \textcolor{green}{\text{avdrag}} &= 3520 - \textcolor{red}{731{,}25} = \textcolor{green}{2788{,}75} \end{aligned} \]Etter den første måneden skylder Jens $ 72\,211{,}25 $ kroner, $ 2788{,}75 $ kroner mindre enn lånet, og neste måned regnes rentene av det.

2. Lag planen i regnearket Vi skriver lånet, rentesatsen og terminbeløpet i B1, B2 og B3, og overskriftene Termin, Renter, Avdrag og Restbeløp i rad 5. Rad 6 er termin 0, der restbeløpet er hele lånet, så i D6 skriver vi $ {\texttt{=B1}}\text{.} $ Rad 7 er den første måneden: \[ \begin{aligned} \text{A7:}\quad & \texttt{=A6+1} \\ \text{B7:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=D6*\$B\$2}} \\ \text{C7:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=\$B\$3-B7}} \\ \text{D7:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=D6-C7}} \end{aligned} \]Dollartegnene holder rentesatsen og terminbeløpet fast når vi drar rad 7 ned til rad 30, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Etter 24 terminer står det igjen $ 0{,}33 $ kroner, fordi terminbeløpet er avrundet. Jens betaler dem med den siste terminen, som da blir $ 3520{,}33 $ kroner, med $ 3486{,}34 $ kroner i avdrag.

Ferdig med settet? Se de andre 2P-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.