Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

289 oppgaver · viser 81–90

Oppgavene

1T høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Maria tegner en likesidet trekant. Hun deler trekanten i flere og flere små likesidede trekanter og fargelegger et mønster. Figurene nedenfor viser hvordan hun arbeider.
Tenk deg at Maria fortsetter å dele opp trekanten og fargelegge etter samme mønster.

Oppgave 4a)

Sett opp en algoritme Maria kan bruke for å finne summen av arealene av de 100 første trekantene som vil bli grå.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Med A A som arealet Maria starter med: start med summen 0, og legg til A⋅14n {A \cdot \dfrac{1}{4^n}} for hver n n fra 1 til 100, så summen blir
S100=A(14+142+⋯+14100)‾‾ \underline{\underline{S_{100} = A\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \dots + \dfrac{1}{4^{100}}\right)}}
Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 04:57
Vi finner arealet av de første grå trekantene og ser hvilket mønster de følger. Så skriver vi opp summen av de 100 første.
Metode: For hånd
1. Regn ut de første grå arealene 1:18 Vi kaller arealet av trekanten Maria starter med, \( A\text{.} \) Når hun deler en trekant, får hun fire like store trekanter, så hver av dem har \( \dfrac{1}{4} \) av arealet. Den første grå trekanten er én av fire i den store trekanten: \[ T_1 = A \cdot \dfrac{1}{4} \]
Den andre grå trekanten er én av fire i den øverste trekanten, som har arealet \( {A \cdot \dfrac{1}{4}}\text{:} \) \[ T_2 = A \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = A \cdot \dfrac{1}{4^2} \]På samme måte er \( {T_3 = A \cdot \dfrac{1}{4^3}}\text{.} \)
2. Følg mønsteret 3:21 For hver ny grå trekant ganger vi med \( \dfrac{1}{4} \) én gang til. Eksponenten er nummeret til trekanten, så den grå trekanten nummer \( \textcolor{red}{n} \) har arealet: \[ T_{\textcolor{red}{n}} = A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{n}}} \]
3. Sett opp summen 3:53 Summen av de 100 første grå trekantene er: \[ \begin{aligned} S_{100} &= A \cdot \dfrac{1}{4} + A \cdot \dfrac{1}{4^2} \\ &\quad + \dots + A \cdot \dfrac{1}{4^{100}} \\ S_{100} &= \textcolor{darkorange}{A}\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \dots + \dfrac{1}{4^{100}}\right) \end{aligned} \]Vi har satt \( \textcolor{darkorange}{A} \) utenfor parentesen, fordi den står i alle leddene.
Som algoritme i steg: Start med summen 0. For hver \( \textcolor{red}{n} \) fra 1 til 100 legger vi \( {A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{n}}}} \) til summen. Til slutt er summen \( S_{100}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Ta utgangspunkt i algoritmen og lag et program som regner ut summen av arealene dersom arealet av den likesidede trekanten hun starter med er 36.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 04:59
Vi bruker algoritmen fra a): den grå trekanten nummer \( n \) har arealet \( {A \cdot \dfrac{1}{4^n}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi lar en løkke gå gjennom de 100 grå trekantene, regner ut arealet av hver og legger det til summen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne arealet av trekant nummer \( n\text{,} \) som i a), og på å skrive og lese slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Les programmet linje for linje 1:21 Programmet står i svaret. Linje 1 setter startarealet \( {A = 36}\text{,} \) og linje 3 setter summen til 0 før vi har lagt til noe.
Løkka i linje 5 går gjennom \( {i = 0, 1, 2, \dots, 99}\text{,} \) altså 100 ganger. Fordi \( i \) starter på 0, er trekantens nummer \( {\textcolor{red}{i + 1}}\text{.} \) Linje 6 regner derfor ut arealet av den grå trekanten nummer \( {\textcolor{red}{i + 1}}\text{:} \) \[ \texttt{areal} = A \cdot \dfrac{1}{4^{\textcolor{red}{i + 1}}} \]Linje 7 legger arealet til summen, og linje 9 skriver ut summen.
2. Kjør programmet 4:32 Programmet skriver ut \( 11{,}999999999999998\text{.} \) Hver ny trekant legger til mindre og mindre, så summen kommer nærmere og nærmere 12 uten å nå det. Summen av arealene er altså omtrent 12.

1T høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

4 poeng

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=10x2+3,x>0 f(x) = \dfrac{10}{x^2 + 3}, \quad x > 0
Punktene A, A\text{,} B, B\text{,} C C og D D danner et rektangel. Punktet A A ligger i origo, punktet B B ligger på x x -aksen, punktet C C ligger på grafen til f, f\text{,} og punktet D D ligger på y y -aksen. Se figuren nedenfor.

Oppgave 5a)

Bestem arealet av rektangelet dersom punktet B B har koordinatene (3,0). (3, 0)\text{.}
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Bredden er 3 og høyden f(3)=56, {f(3) = \dfrac{5}{6}}\text{,} så arealet er
52=2,5‾‾ \underline{\underline{\dfrac{5}{2} = 2{,}5}}
Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 02:12
\( ABCD \) er et rektangel, så \( C \) ligger rett over \( B\text{.} \) Bredden er derfor \( 3\text{,} \) og høyden er \( f(3)\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn bredden og høyden 0:25 \( A \) ligger i origo og \( B \) i \( (3, 0)\text{,} \) så bredden er \( \textcolor{blue}{3}\text{.} \) Alle vinklene i et rektangel er \( 90^\circ\text{,} \) så \( C \) ligger rett over \( B\text{,} \) på grafen til \( f\text{.} \) Høyden er derfor: \[ \textcolor{red}{f(3)} = \dfrac{10}{3^2 + 3} = \dfrac{10}{12} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} \]
2. Regn ut arealet 1:12 Arealet av et rektangel er bredde ganger høyde: \[ T = \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS 0:55 Vi definerer \( f \) i CAS med \( {:=} \) og regner ut bredden \( b\text{,} \) høyden \( h \) og arealet \( {b \cdot h}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 10/(x^2+3), x>0 b := 3 h := f(3) A := b*h
CAS gir høyden \( {h = \dfrac{5}{6}} \) og arealet \( \dfrac{5}{2}\text{.} \)

Oppgave 5b)

Hvor på x x -aksen må punktet B B ligge for at arealet av rektangelet ABCD ABCD skal bli størst mulig?
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
B B ligger på x x -aksen der x=3≈1,73: {x = \sqrt{3} \approx 1{,}73}\text{:}
B=(3,0)≈(1,73, 0)‾‾ \underline{\underline{B = (\sqrt{3}, 0) \approx (1{,}73,\ 0)}}
Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 03:57
Når \( B \) ligger i \( (x, 0)\text{,} \) er bredden \( x \) og høyden \( f(x)\text{.} \) Vi lager en funksjon for arealet og finner toppunktet.
Metode: For hånd
1. Sett opp arealfunksjonen 0:22 Arealet er bredde ganger høyde, så: \[ \begin{aligned} A(x) &= x \cdot f(x) \\ A(x) &= x \cdot \dfrac{10}{x^2 + 3} = \dfrac{10x}{x^2 + 3} \end{aligned} \]Her er \( A(x) \) arealet, og \( {x > 0}\text{.} \)
2. Deriver med kvotientregelen Arealet er størst der \( {A'(x) = 0}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{10x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} A'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{10} \cdot (\textcolor{blue}{x^2 + 3}) - \textcolor{red}{10x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 3})^2} \\ A'(x) &= \dfrac{30 - 10x^2}{(x^2 + 3)^2} \end{aligned} \]
3. Sett den deriverte lik null Nevneren er alltid positiv, så \( {A'(x) = 0} \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 30 - 10x^2 &= 0 \\ x^2 &= 3 \\ x &= \sqrt{3} \end{aligned} \]Vi tar bare den positive løsningen, fordi \( {x > 0}\text{.} \)
For \( {x < \sqrt{3}} \) er telleren positiv, og for \( {x > \sqrt{3}} \) er den negativ. Arealet vokser altså fram til \( {x = \sqrt{3}} \) og avtar etterpå, så det er størst der, og \( B \) må ligge i \( (\sqrt{3}, 0)\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet til arealet 1:17 Vi skriver inn \( f\text{,} \) arealet \( {A(x) = x \cdot f(x)} \) og finner toppunktet med Maks. Siden \( {x > 0}\text{,} \) starter vi like over 0 og slutter på et stort tall:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) = 10/(x^2+3), x>0 A(x) = x*f(x) T = Maks(A, 0.01, 10000)
Toppunktet er \( {T \approx (1{,}7321,\ 2{,}8868)}\text{,} \) så arealet er størst når \( {x \approx 1{,}73}\text{.} \) \( B \) ligger på \( x \)-aksen, så \( {B \approx (1{,}73,\ 0)}\text{.} \)

1T høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

3 poeng

En arkitekt har tegnet et snitt av en lagerhall. Lagerhallen er 20 meter høy og har form som en parabel gitt ved
p(x)=−112x2+20 p(x) = -\dfrac{1}{12}x^2 + 20
På taket av lagerhallen skal det plasseres et webkamera. Webkameraet skal festes på en stang som er 3 meter lang.
Den rette linjen på figuren går gjennom punktet (0,23) (0, 23) og er en tangent til grafen.

Oppgave 6a)

Bestem likningen for tangenten.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
y=−x+23‾‾ \underline{\underline{y = -x + 23}}
Oppgave 6A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 08:34
Tangenten er en rett linje gjennom \( (0, 23)\text{.} \) Stigningstallet er den deriverte i punktet der linja rører parabelen, så vi finner det punktet først.
Metode: For hånd
1. Skriv opp formen til tangenten 1:03 En rett linje har stigningstallet \( \textcolor{red}{a} \) og skjærer \( y \)-aksen i \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) som i videoen Tangentlinje: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Tangenten går gjennom \( (0, 23)\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{23}}\text{.} \)
2. Finn stigningstallet med den deriverte 1:27 Vi kaller \( x \)-verdien der tangenten rører parabelen, for \( \textcolor{green}{t}\text{.} \) Der er stigningstallet lik den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]
Konstanten 20 har derivert 0, så: \[ p'(x) = -\dfrac{2}{12}x = -\dfrac{1}{6}x \]Stigningstallet er altså \( {\textcolor{red}{a} = -\dfrac{1}{6}\textcolor{green}{t}}\text{.} \)
3. Finn punktet der tangenten rører parabelen 4:34 I \( {x = \textcolor{green}{t}} \) har parabelen og tangenten samme \( y \)-verdi: \[ -\dfrac{1}{12}\textcolor{green}{t}^2 + 20 = -\dfrac{1}{6}\textcolor{green}{t} \cdot \textcolor{green}{t} + \textcolor{blue}{23} \]
Vi samler leddene med \( t^2 \) på venstre side og tallene på høyre side: \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{12}t^2 + \dfrac{1}{6}t^2 &= 23 - 20 \\ \dfrac{1}{12}t^2 &= 3 \\ t^2 &= 36 \end{aligned} \]Det gir \( {t = 6} \) eller \( {t = -6}\text{.} \) Tangenten på figuren rører parabelen til høyre for \( y \)-aksen, så \( {\textcolor{green}{t} = \textcolor{green}{6}}\text{.} \)
4. Sett sammen tangenten 7:43 Stigningstallet er: \[ \textcolor{red}{a} = -\dfrac{1}{6} \cdot \textcolor{green}{6} = -1 \]Med \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{23}} \) blir tangenten \( {y = -x + 23}\text{.} \)
Vanlig feil: ✗ \( {a = 6}\text{,} \) fordi tangenten rører i \( {x = 6}\text{.} \) ✓ \( {a = -\dfrac{1}{6} \cdot 6 = -1}\text{.} \)

Oppgave 6b)

Hvor langt fra veggen på lagerhallen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert av webkameraet?
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Avrundet til én desimal kan tyven bevege seg
7,5 m fra veggen‾‾ \underline{\underline{7{,}5\,\text{m fra veggen}}}
Oppgave 6B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, video, 07:28
Vi bruker tangenten \( {y = -x + 23} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Kameraet ser ikke det som ligger under tangenten, fordi taket er i veien. Tyven er skjult mellom veggen og punktet der tangenten treffer bakken.
Metode: For hånd
1. Se hva kameraet ser 1:23 Lys går i rette linjer. Kameraet står i \( (0, 23)\text{,} \) og tangenten er linja som så vidt går klar av taket. Til høyre for veggen ser kameraet bare det som ligger over tangenten, så en tyv på bakken er skjult fram til tangenten treffer bakken.
2. Finn der tangenten treffer bakken 3:00 Bakken er \( x \)-aksen, så vi setter \( {y = 0} \) i tangenten: \[ \begin{aligned} 0 &= -x + 23 \\ x &= \textcolor{red}{23} \end{aligned} \]
3. Finn veggen 3:30 Veggen står der parabelen treffer bakken, altså der \( {p(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{12}x^2 + 20 &= 0 \\ \dfrac{1}{12}x^2 &= 20 \\ x^2 &= 240 \\ x &= \sqrt{240} \approx \textcolor{blue}{15{,}49} \end{aligned} \]Vi ser på veggen til høyre, så \( x \) er positiv.
4. Regn ut avstanden 4:47 Tyven er skjult fra veggen og ut til der tangenten treffer bakken: \[ \textcolor{red}{23} - \textcolor{blue}{15{,}49} \approx 7{,}5 \]
Merk – Tyvens høyde: Står tyven oppreist, blir han sett før. Tangenten synker 1 meter for hver meter bortover, så en tyv som er \( h \) meter høy, kan bevege seg omtrent \( {7{,}5 - h} \) meter fra veggen.

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

5 poeng

Oppgave 1a)

Deriver funksjonen f f gitt ved
f(x)=13x3+x+2 f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
For x>0 {x > 0} er
f′(x)=x2+12x‾‾ \underline{\underline{f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}
Oppgave 1A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 02:51
Vi ser at funksjonen består av tre ledd, og at roten er vanskelig å derivere slik den står. Vi skriver den derfor som en potens og deriverer ledd for ledd.
1. Skriv roten som en potens 0:15 En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Potenser og røtter.
Kvadratroten er andreroten, så \( {n = 2}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} + \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} + 2 \]
2. Deriver ledd for ledd 1:04 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = \textcolor{blue}{\underline{x^2}}}\text{.} \)
\( \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{2} \cdot x^{\tfrac{1}{2} - 1} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}}}}\text{.} \)
\( 2 \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.
3. Skriv svaret med rot 1:42 Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}} \]
En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.
Det gir \( {x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{x^{\tfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}}\text{.} \) Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så for \( {x > 0} \) er: \[ f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]
Funksjon g g gitt ved
g(x)=2x−3ex g(x) = \dfrac{2x - 3}{e^x}
er kontinuerlig og deriverbar for alle x∈R. x \in \mathbb{R}\text{.}

Oppgave 1b)

Bestem g′(2) g'(2) og g′(3). g'(3)\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
g′(2)=1e2‾‾g′(3)=−1e3‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{g'(2) = \dfrac{1}{e^2}}} \\ &\underline{\underline{g'(3) = -\dfrac{1}{e^3}}} \end{aligned}
Oppgave 1B + C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:30
Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen. Så setter vi inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \)
1. Skriv opp kvotientregelen 0:19 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x - 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]
2. Sett inn og forenkle 1:13 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - (\textcolor{red}{2x - 3}) \cdot \textcolor{blue}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \]
Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren og skriver \( {(e^x)^2 = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x}\text{,} \) får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x}\bigl(2 - (2x - 3)\bigr)}{\textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x} \]
Vi forkorter \( \textcolor{darkorange}{e^x}\text{.} \) Minus foran parentesen gjelder begge leddene, så \( {-(2x - 3) = -2x + 3}\text{:} \) \[ g'(x) = \dfrac{2 - 2x + 3}{e^x} = \dfrac{5 - 2x}{e^x} \]
3. Regn ut de to verdiene 2:46 Vi setter inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(2) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 2}{e^2} = \dfrac{1}{e^2} \\ g'(3) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 3}{e^3} = -\dfrac{1}{e^3} \end{aligned} \]

Oppgave 1c)

Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til g g når x∈[2,3]? x \in [2, 3]\text{?}
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Grafen stiger i x=2 {x = 2} og synker i x=3: {x = 3}\text{:}
Et toppunkt der 2<x<3‾‾ \underline{\underline{\text{Et toppunkt der } 2 < x < 3}}
Oppgave 1B + C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:30
Vi bruker \( g'(2) \) og \( g'(3) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Den deriverte er stigningstallet til grafen. Fortegnet til \( g'(2) \) og \( g'(3) \) forteller derfor om grafen stiger eller synker der.
1. Tolk fortegnene 3:37 I b) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(2)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{e^2}} > 0 \\ \textcolor{red}{g'(3)} &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{e^3}} < 0 \end{aligned} \]
Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen stiger altså i \( {\textcolor{blue}{x = 2}} \) og synker i \( {\textcolor{red}{x = 3}}\text{.} \)
Siden \( g \) er kontinuerlig og deriverbar, må grafen snu et sted mellom \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Der er \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og grafen har et toppunkt.

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

Oppgave 2a)

Løs likningen
(lg⁡x)2−2lg⁡x=8 (\lg x)^2 - 2\lg x = 8
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Likningen har to løsninger:
x=104ellerx=10−2‾‾ \underline{\underline{x = 10^4 \quad \text{eller} \quad x = 10^{-2}}}
Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:45
Vi ser at \( \lg x \) står både i andre potens og alene. Vi gir den et nytt navn, \( k\text{,} \) og får en andregradslikning.
1. Skriv om med en ny variabel 0:39 Det står \( (\lg x)^2\text{,} \) ikke \( \lg(x^2)\text{,} \) så det er hele \( \lg x \) som er opphøyd i andre. Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og flytter \( 8 \) over: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} &= 8 \\ \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} - 8 &= 0 \end{aligned} \]
2. Løs med abc-formelen 1:09 Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}k^2 + \textcolor{red}{b}k + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ k = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-2}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {k = 4} \) eller \( {k = -2}\text{.} \)
3. Finn x 3:19 Vi setter tilbake \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og opphøyer \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen av logaritmen er \( \lg x \) tallet vi må opphøye \( 10 \) i for å få \( x\text{,} \) så: \[ 10^{\lg x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.
Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^4 \quad &\Rightarrow \quad x = 10^4 \\ 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^{-2} \quad &\Rightarrow \quad x = 10^{-2} \end{aligned} \]Begge er positive, så begge er løsninger.

Oppgave 2b)

Bestem a a slik at
log⁡a164=−3 \log_a \dfrac{1}{64} = -3
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
a=4‾‾ \underline{\underline{a = 4}}
Oppgave 2B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 02:21
Her er det grunntallet \( a \) som er ukjent. Vi skriver om likningen med definisjonen av logaritmen og finner \( a\text{.} \)
1. Bruk definisjonen av logaritmen 0:13 Fra definisjonen av logaritmen vet vi at: \[ \log_{\textcolor{blue}{a}} \textcolor{red}{b} = \textcolor{green}{c} \quad \text{betyr at} \quad \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{c}} = \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.
Her er \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3}}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{-3}} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}} \]
2. Skriv om den negative eksponenten 1:00 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.
Det gir oss: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{a^3} &= \dfrac{1}{64} \\ a^3 &= 64 \end{aligned} \]
3. Prøv deg fram 1:20 Uten kalkulator prøver vi med hele tall. \( {3^3 = 27} \) er for lite, men: \[ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \]Altså er \( {a = 4}\text{,} \) som er et gyldig grunntall, siden \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{.} \)

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

3 poeng

Oppgave 3a)

Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:
lim⁡x→−2x2−4x+2x2−2x−8 \lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Telleren går mot 14 14 og nevneren mot 0: 0\text{:}
Grensen eksisterer ikke‾‾ \underline{\underline{\text{Grensen eksisterer ikke}}}
Oppgave 3A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 01:42
Grensen finnes bare hvis brøken nærmer seg et tall. Vi ser derfor hva telleren og nevneren går mot hver for seg.
1. Sett inn i teller og nevner 0:10 Vi setter inn \( {x = -2} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Teller: }} & (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 2 = \textcolor{red}{14} \\ \textcolor{blue}{\text{Nevner: }} & (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]
2. Avgjør om grensen finnes 1:11 Telleren går mot \( \textcolor{red}{14}\text{,} \) mens nevneren går mot \( \textcolor{blue}{0}\text{.} \) Et tall som ikke er \( 0\text{,} \) delt på noe som går mot \( 0\text{,} \) blir større og større i tallverdi, som i videoen Dele på null: \[ \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} \to \pm\infty \]Brøken nærmer seg ikke noe tall, så grenseverdien eksisterer ikke.

Oppgave 3b)

1) Bestem a a slik at grenseverdien eksisterer:
lim⁡x→−2x2+ax+2x2−2x−8 \lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8}
2) Bestem grenseverdien for denne verdien av a. a\text{.}
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Telleren må være 0 0 i x=−2: {x = -2}\text{:}
1) a=3‾‾2) Grenseverdien er 16‾‾ \begin{aligned} &1)\ \underline{\underline{a = 3}} \\ &2)\ \underline{\underline{\text{Grenseverdien er } \dfrac{1}{6}}} \end{aligned}
Oppgave 3B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:04
Nevneren er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{.} \) Skal grensen finnes, må telleren også være \( 0 \) der, slik at vi får formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \)
1. Sett telleren lik null 0:00 Setter vi inn \( {x = -2}\text{,} \) blir nevneren \( {(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = 0}\text{.} \) Går telleren mot et tall som ikke er \( 0\text{,} \) eksisterer ikke grensen, som i a). Telleren må derfor også bli \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} (-2)^2 + a \cdot (-2) + 2 &= 0 \\ 6 - 2a &= 0 \\ a &= 3 \end{aligned} \]
2. Bruk L'Hôpitals regel 1:46 Med \( {a = 3} \) gir innsetting formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \) Da kan vi bruke L'Hôpitals regel. Den forteller oss at når vi får formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) er: \[ \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{g(x)}} = \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{f'(x)}}{\textcolor{blue}{g'(x)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hôpitals regel.
Her er \( {\textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{x^2 + 3x + 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{g(x)} = \textcolor{blue}{x^2 - 2x - 8}}\text{.} \) Deriverer vi telleren og nevneren hver for seg, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f'(x)} &= \textcolor{red}{2x + 3} \\ \textcolor{blue}{g'(x)} &= \textcolor{blue}{2x - 2} \end{aligned} \]
3. Sett inn og regn ut 3:21 Det nye uttrykket gir ikke lenger formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi setter inn \( {x = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{x^2 + 3x + 2}}{\textcolor{blue}{x^2 - 2x - 8}} &= \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{2x + 3}}{\textcolor{blue}{2x - 2}} \\ &= \dfrac{2 \cdot (-2) + 3}{2 \cdot (-2) - 2} \\ &= \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6} \end{aligned} \]
Alternativ metode: Faktoriser og forkort 2:05 Begge polynomene er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{,} \) så begge har \( {(x + 2)} \) som faktor: \[ \begin{aligned} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 8} &= \dfrac{(x + 1)\textcolor{darkorange}{(x + 2)}}{(x - 4)\textcolor{darkorange}{(x + 2)}} \\ &= \dfrac{x + 1}{x - 4} \end{aligned} \]Når \( {x \to -2}\text{,} \) går brøken mot \( {\dfrac{-2 + 1}{-2 - 4} = \dfrac{1}{6}}\text{,} \) som i videoen Grenseverdier. Metoden lønner seg når faktorene er lette å se.

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Oppgave 4a)

Et passord skal bestå av tre tegn og lages av sifrene 1–9 og bokstavene A–F. Det første tegnet skal være en bokstav, og de to neste tegnene skal være to ulike siffer. Hvor mange ulike passord er det mulig å lage med disse betingelsene?
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
432 passord‾‾ \underline{\underline{432 \text{ passord}}}
Vi tar de tre plassene i passordet én om gangen og teller hvor mange tegn som kan stå på hver av dem. Så ganger vi antallene sammen.
1. Tell valgene på hver plass Det første tegnet skal være en av bokstavene A til F, så der har vi \( \textcolor{blue}{6} \) valg.
Det andre tegnet er ett av sifrene 1 til 9, altså \( \textcolor{red}{9} \) valg. Det tredje skal være et annet siffer enn det andre, så der er det \( \textcolor{green}{8} \) igjen. Det er som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023, der den andre terningen må vise noe annet enn den første.
2. Gang sammen Hvert valg på én plass kan kombineres med hvert av valgene på de andre plassene, så vi ganger antallene: \[ \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{9} \cdot \textcolor{green}{8} = 432 \]
Et annet passord skal også bestå av tre tegn. • Hvert tegn skal være et av sifrene 1, 2, 3, 4 eller en av bokstavene A, B, C. • Både sifrene og bokstavene kan forekomme flere ganger. • Passordet må inneholde minst én bokstav og minst ett siffer.

Oppgave 4b)

Hvor mange ulike passord er det mulig å lage med disse betingelsene?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
252 passord‾‾ \underline{\underline{252 \text{ passord}}}
Det er lettere å telle passordene som ikke er lov. Vi teller alle passordene og trekker fra dem med bare siffer og dem med bare bokstaver.
1. Tell alle passordene Hver av de tre plassene kan være ett av de \( {4 + 3 = \textcolor{blue}{7}} \) tegnene 1, 2, 3, 4, A, B og C, og tegnene kan komme flere ganger: \[ \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{blue}{7} = 343 \]
2. Trekk fra de ugyldige passordene Et passord mangler en bokstav når alle tre tegnene er siffer, og mangler et siffer når alle tre er bokstaver: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Bare siffer: }} & 4 \cdot 4 \cdot 4 = \textcolor{red}{64} \\ \textcolor{green}{\text{Bare bokstaver: }} & 3 \cdot 3 \cdot 3 = \textcolor{green}{27} \end{aligned} \]
Ingen passord er begge deler, så vi trekker hvert av dem fra én gang. Resten har minst én bokstav og minst ett siffer. Vi teller altså det motsatte og trekker fra, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 343 - \textcolor{red}{64} - \textcolor{green}{27} = 252 \]

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

En funksjon f f er gitt ved
f(x)=4x2⋅ln⁡x f(x) = 4x^2 \cdot \ln x
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Grafen har ett bunnpunkt og ingen toppunkter:
Bunnpunkt: (1e, −2e)‾‾ \underline{\underline{\text{Bunnpunkt: } \left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\ -\dfrac{2}{e}\right)}}
Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 09:17
\( \ln x \) er bare definert for \( {x > 0}\text{,} \) og der er \( f \) deriverbar, så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi deriverer med produktregelen.
1. Deriver med produktregelen 0:10 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x \ln x + 4x \end{aligned} \]
2. Sett den deriverte lik null 2:12 Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{:} \) \[ 8x \ln x + 4x = 0 \]
Vi trekker fra \( 4x \) og deler på \( 8x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8x \ln x &= -4x \\ \ln x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]
For å få \( x \) alene opphøyer vi \( e \) i begge sider. Siden \( {e^{\ln x} = x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ x = e^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \]
3. Finn y-koordinaten 4:05 Vi setter \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Her er \( {\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 = \dfrac{1}{e}} \) og \( {\ln\left(e^{-\tfrac{1}{2}}\right) = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{e} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{2}{e} \]
4. Avgjør hva slags punkt det er 6:07 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = \dfrac{1}{e}} \) og \( {x = 1}\text{,} \) siden \( {\dfrac{1}{e} < \dfrac{1}{\sqrt{e}} < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{e}\right) &= 4 \cdot \dfrac{1}{e^2} \cdot (-1) = -\dfrac{4}{e^2} \\ f(1) &= 4 \cdot 1^2 \cdot \ln 1 = 0 \end{aligned} \]
Siden \( {e > 2}\text{,} \) er \( {\dfrac{2}{e} < 1}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{e^2} &= \dfrac{2}{e} \cdot \dfrac{2}{e} < \dfrac{2}{e} \\ -\dfrac{4}{e^2} &> -\dfrac{2}{e} \end{aligned} \]
Begge verdiene er altså større enn \( {-\dfrac{2}{e}}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & \dfrac{1}{e} & \dfrac{1}{\sqrt{e}} & 1 \\ \hline f(x) & -\dfrac{4}{e^2} & -\dfrac{2}{e} & 0 \end{array} \]Grafen går ned til \( {-\dfrac{2}{e}} \) og opp igjen, så punktet er et bunnpunkt. Grafen snur ikke noe annet sted, så den har ingen toppunkter.
Alternativ metode: Fortegnslinje Vi faktoriserer \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{4x}(\textcolor{magenta}{2\ln x + 1})}\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {\textcolor{darkorange}{4x} > 0}\text{,} \) så \( f'(x) \) har samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{2\ln x + 1}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.6065306597126334], "labels": ["\\tfrac{1}{\\sqrt{e}}"], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{4x}", "expr": "4x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2\\ln x + 1}", "expr": "2ln(x) + 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "4x(2ln(x) + 1)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

5 poeng

Einar er fotballspiller og har skrevet programmet nedenfor.

Oppgave 6a)

Hvilke mulige verdier kan programmet skrive ut?
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Programmet skriver ut antall treff delt på 3:
0,13,23og1‾‾ \underline{\underline{0, \quad \dfrac{1}{3}, \quad \dfrac{2}{3} \quad \text{og} \quad 1}}
Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hvor mange treff det kan bli. Programmet skriver ut antall treff delt på antall skudd.
1. Les løkka Linje 7 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) så løkka i linje 10 til 13 går tre ganger, én gang for hvert skudd, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang trekker \( \texttt{choice} \) et tilfeldig element fra lista i linje 4. Er det \( \texttt{"treff"}\text{,} \) øker linje 13 \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) med 1.
Linje 8 starter tellingen på 0, så etter løkka er \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) lik \( \textcolor{red}{0}\text{,} \) \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) \( \textcolor{red}{2} \) eller \( \textcolor{red}{3}\text{.} \)
2. Regn ut utskriftene Linje 15 står utenfor løkka og skriver ut ett tall: \( \textcolor{red}{\text{antall treff}} \) delt på \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0}}{\textcolor{blue}{3}} = 0 \qquad \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{3}} = 1 \]Programmet skriver dem som desimaltall, så tre treff gir \( 1{,}0\text{,} \) som i b).

Oppgave 6b)

Bestem sannsynligheten for at programmet skriver ut 1,0. 1{,}0\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Utskriften er 1,0 1{,}0 når alle tre skuddene er treff:
P=8125=0,064‾‾ \underline{\underline{P = \dfrac{8}{125} = 0{,}064}}
Programmet skriver ut \( 1{,}0 \) når alle tre skuddene er treff. Hvert skudd er treff med samme sannsynlighet, uavhengig av de andre, så vi ganger.
1. Finn sannsynligheten for ett treff Lista i linje 4 har 5 elementer, og 2 av dem er \( \texttt{"treff"}\text{.} \) \( \texttt{choice} \) velger hvert element med samme sannsynlighet, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P(\text{treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \]
2. Gang sammen for tre skudd Lista endrer seg ikke, så skuddene er uavhengige. Vi ganger sannsynlighetene for hvert skudd, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{tre treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{8}{125} \]Antallet treff er altså binomisk fordelt med \( {n = 3} \) skudd og \( {p = \dfrac{2}{5}}\text{.} \)
Når Einar tar et straffespark, er sannsynligheten for at han scorer mål, 30 %. 30\,\%\text{.}

Oppgave 6c)

Hva er det minste antallet straffespark Einar må ta for at sannsynligheten for at han scorer minst ett mål, skal være 50 % 50\,\% eller mer?
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Med ett straffespark er sannsynligheten 30 %, 30\,\%\text{,} med to 51 %: 51\,\%\text{:}
2 straffespark‾‾ \underline{\underline{2 \text{ straffespark}}}
«Minst ett mål» er det motsatte av «ingen mål». Vi finner sannsynligheten for at Einar bommer på alle straffesparkene, og prøver oss fram med antallet.
1. Bruk den motsatte hendelsen Einar bommer med sannsynligheten \( {1 - 0{,}3 = \textcolor{red}{0{,}7}}\text{.} \) Enten scorer han minst ett mål, eller så bommer han på alle, så vi teller det motsatte og trekker fra, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst ett mål}) \\ &= 1 - P(\text{ingen mål}) \end{aligned} \]
Straffesparkene er uavhengige, så med \( n \) straffespark ganger vi \( \textcolor{red}{0{,}7} \) med seg selv \( n \) ganger: \[ P(\text{minst ett mål}) = 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^n \]
2. Prøv deg fram Med ett straffespark er sannsynligheten \( {1 - \textcolor{red}{0{,}7} = 0{,}3}\text{,} \) som er for lite. Med to får vi: \[ \begin{aligned} 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^2 &= 1 - 0{,}49 \\ &= 0{,}51 \end{aligned} \]Det er mer enn \( 0{,}5\text{,} \) altså over \( 50\,\%\text{.} \)

S1 høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Tabellen nedenfor viser folketallet i en bygd, noen år i perioden 1910–1935.
A˚rFolketall19108001913963191912531921151119251720192718791931238719352774 \begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Folketall} \\ \hline 1910 & 800 \\ 1913 & 963 \\ 1919 & 1253 \\ 1921 & 1511 \\ 1925 & 1720 \\ 1927 & 1879 \\ 1931 & 2387 \\ 1935 & 2774 \end{array}

Oppgave 1a)

Bruk informasjonen til å lage en modell F F på formen
F(t)=a⋅bt F(t) = a \cdot b^t
for antall personer F(t) F(t) som bodde i bygda t t år etter 1910. Vurder modellens gyldighetsområde.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med a a avrundet til hele personer og b b til tre desimaler:
F(t)≈821⋅1,051t‾‾Gyldig for 0≤t≤25‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{F(t) \approx 821 \cdot 1{,}051^t}} \\ &\underline{\underline{\text{Gyldig for } 0 \le t \le 25}} \end{aligned}
Formen i oppgaven er en eksponentialfunksjon, så vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra. Først gjør vi årene om til år etter 1910.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre eksponentiell regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Gjør årene om til t \( t \) er antall år etter 1910, så 1910 blir \( {t = 0}\text{,} \) 1913 blir \( {t = 3} \) og så videre, til 1935, som blir \( {t = 25}\text{.} \)
Vi skriver \( t \) i kolonne A og folketallet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra heter kommandoen RegEksp, og den gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegEksp(l1)
Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{820{,}6398}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}0510}}\text{.} \)
I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.
Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}05}\text{.} \) Regner vi videre med \( 1{,}05\text{,} \) blir svaret i b) 1925 i stedet for 1924, og i c) 26 år i stedet for 25.
3. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har tall fra 1910 til 1935, altså for \( {0 \le t \le 25}\text{.} \) Der går grafen nær punktene.
Framover vokser modellen med omtrent \( 5{,}1\,\% \) hvert år, uten stopp, og folketallet i en bygd kan ikke vokse slik for alltid. Vi har ingen tall før 1910 eller etter 1935, så modellen gjelder bare for årene vi har data for.

Oppgave 1b)

Når økte befolkningen med mer enn 80 personer per år ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Vekstfarten passerer 80 personer per år midt i 1923, når t≈13,5: {t \approx 13{,}5}\text{:}
Fra og med 1924‾‾ \underline{\underline{\text{Fra og med } 1924}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Økningen per år er vekstfarten \( F'(t)\text{.} \) Vi finner når \( {F'(t) = 80}\text{,} \) og ser fra hvilket år vekstfarten er over 80.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt.
Vi skriver \( {\textcolor{blue}{b}^t = e^{t \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{t \cdot \ln b}} \) er \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln b}}\text{,} \) så \( {(b^t)' = b^t \cdot \ln b}\text{.} \) Det gir oss: \[ F'(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]
2. Sett den deriverte lik 80 Vi setter \( {F'(t) = 80} \) og deler på \( {\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{b}^t = \dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}} \]
Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen \( {\ln\left(b^t\right) = t \cdot \ln b} \) flytter \( t \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\right)}{\ln \textcolor{blue}{b}} \]
3. Sett inn tallene Med tallene fra svaret i a) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{821} \cdot \ln \textcolor{blue}{1{,}051} &\approx 40{,}84 \\ t &\approx \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{40{,}84}\right)}{\ln \textcolor{blue}{1{,}051}} \approx 13{,}5 \end{aligned} \]
Siden \( {\textcolor{blue}{b} > 1}\text{,} \) vokser \( F'(t) \) hele tiden, så \( {F'(t) > 80} \) når \( {t > 13{,}5}\text{.} \) Det er midt i 1923. Det første hele året med vekst på mer enn 80 personer er \( {t = 14}\text{,} \) altså 1924, og det gjelder resten av perioden modellen gjelder for.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet med linja I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{820{,}6398} \cdot \textcolor{blue}{1{,}0510}^t \]
Vi lar GeoGebra derivere den, tegner linja \( {y = 80} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: Derivert(F) g: y = 80
Skjæringspunktet er \( {K \approx (13{,}5382,\ 80)}\text{,} \) og grafen til \( F' \) ligger over linja til høyre for det. Vekstfarten er over 80 personer per år fra \( {t \approx 13{,}5}\text{,} \) midt i 1923, så det første hele året er 1924.

Oppgave 1c)

Hvor mange år gikk det før den gjennomsnittlige befolkningsveksten fra 1910 var større enn 80 personer per år ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Etter 24 år var gjennomsnittet under 80 personer per år, og etter 25 år var det over:
25 a˚r‾‾ \underline{\underline{25 \text{ år}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Den gjennomsnittlige veksten fra 1910 er endringen i folketallet delt på antall år. Vi regner den ut for hele år, og ser når den blir større enn 80.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp gjennomsnittet Den gjennomsnittlige veksten er endringen i folketallet delt på endringen i tid, som stigningstallet \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) i videoen Definisjonen til den deriverte. Fra 1910, der \( {t = 0}\text{,} \) til \( t \) år etter er den: \[ G(t) = \dfrac{F(t) - F(0)}{t - 0} \]
I a) fant vi \( {F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t}\text{,} \) så \( {F(0) = \textcolor{red}{821}} \) og: \[ G(t) = \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t - \textcolor{red}{821}}{t} \]
2. Prøv deg fram med hele år Likningen \( {G(t) = 80} \) kan vi ikke løse for hånd, fordi \( t \) står både i eksponenten og i nevneren. Grafen til \( F \) blir stadig brattere, så gjennomsnittet vokser med \( t\text{.} \) Vi prøver oss fram med hele år, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.
Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} G(24) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{24} - \textcolor{red}{821}}{24} \approx 78{,}7 \\ G(25) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{25} - \textcolor{red}{821}}{25} \approx 81{,}0 \end{aligned} \]Etter 24 år, i 1934, var gjennomsnittet under 80, og etter 25 år, i 1935, var det over. Det gikk altså 25 år.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen og sjekk hele år I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi løser \( {G(t) = 80} \) med NLøs og startverdien \( {t = 20}\text{,} \) og regner ut gjennomsnittet etter 24 og 25 år med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs((F(t) - F(0))/t = 80, t = 20) (F(24) - F(0))/24 (F(25) - F(0))/25
CAS gir \( {t \approx 24{,}5995}\text{,} \) og gjennomsnittet er omtrent \( 78{,}59 \) etter 24 år og \( 80{,}96 \) etter 25 år. Det gikk altså 25 år, til 1935.