Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Tema

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

289 oppgaver · viser 71–80

1P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 7

6 poeng

Selma og Sofie vil lage et blomsterbed med gjerde rundt. Blomsterbedet skal ha form som et rektangel med en halvsirkel i enden. Se skissen nedenfor.

Formler for omkrets og areal av en sirkel

\begin{aligned} O &= 2 \cdot \pi \cdot r \\ A &= \pi \cdot r^2 \end{aligned}

Oppgave 7a)

Forklar at omkretsen

O

av blomsterbedet kan skrives som

O = 2 \cdot y + x + \dfrac{\pi \cdot x}{2}

Vis løsning

Svar

Gjerdet er to sider

y\text{,}

én side

x

og en halvsirkel med diameter

x\text{:}

\underline{\underline{O = 2 \cdot y + x + \dfrac{\pi \cdot x}{2}}}

Gjerdet går rundt hele bedet: langs to lange sider, én kort side og halvsirkelen. Vi legger sammen lengdene.

Metode: For hånd

1. Se hva x og y er Skissen har ingen mål, men formelen viser at \( \textcolor{red}{y} \) er de to lange sidene og \( \textcolor{blue}{x} \) den korte siden. Den korte siden er like lang som diameteren i halvsirkelen:

2. Legg sammen sidene og halvsirkelen Omkretsen er summen av alle sidene, som i videoen Areal og Omkrets. Rektangelet gir to sider \( \textcolor{red}{y} \) og én side \( \textcolor{blue}{x}\text{.} \) Den fjerde siden ligger inni bedet, der halvsirkelen begynner, så den har ikke gjerde: \[ \textcolor{red}{y} + \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} \]

Halvsirkelen er halve omkretsen av en sirkel med radius \( {r = \dfrac{x}{2}}\text{.} \) Med \( {O = 2 \cdot \pi \cdot r} \) fra oppgaven blir den: \[ \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \dfrac{x}{2} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} + \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]

Jentene har kjøpt inn materialer slik at de kan lage et gjerde som er 12 meter.

Selma foreslår at

x

skal være 1 meter.

Oppgave 7b)

Vis at

y

da må være ca.

4{,}7

meter.

Vis løsning

Svar

Med

{x = 1}

{y \approx 4{,}7146}\text{,}

altså:

\underline{\underline{y \approx 4{,}7\,\text{m}}}

Formelen for omkretsen står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Gjerdet er 12 meter, så omkretsen er 12. Vi setter inn \( {x = 1} \) i formelen og løser for \( y\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Sett inn i formelen Med \( {O = 12} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) gir formelen fra a): \[ 2 \cdot y + \textcolor{blue}{1} + \dfrac{\pi \cdot \textcolor{blue}{1}}{2} = 12 \]

2. Løs for y Vi trekker fra \( 1 \) og \( \dfrac{\pi}{2} \) på begge sider, og deler så med 2: \[ \begin{aligned} 2y &= 11 - \dfrac{\pi}{2} \approx 9{,}4292 \\ y &\approx \dfrac{9{,}4292}{2} \approx 4{,}7146 \end{aligned} \]Avrundet til én desimal er \( {y \approx 4{,}7} \) meter.

Oppgave 7c)

Hvor stort blir arealet av blomsterbedet dersom

{x = 1}

{y = 4{,}7}\text{?}

Vis løsning

Svar

Avrundet til to desimaler er arealet:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 5{,}09\,\text{m}^2}}

Bedet er et rektangel og en halvsirkel. Vi finner arealet av hver del og legger sammen.

Metode: For hånd

1. Finn arealet av rektangelet Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{red}{A_1} = 4{,}7\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = \textcolor{red}{4{,}7}\,\text{m}^2 \]

2. Finn arealet av halvsirkelen Halvsirkelen har diameter 1 m, altså radius \( {r = 0{,}5\,\text{m}}\text{.} \) Med \( {A = \pi \cdot r^2} \) fra oppgaven er en halv sirkel: \[ \textcolor{green}{A_2} = \dfrac{\pi \cdot (0{,}5\,\text{m})^2}{2} \approx \textcolor{green}{0{,}3927}\,\text{m}^2 \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{red}{A_1} + \textcolor{green}{A_2} \\ A &\approx \textcolor{red}{4{,}7} + \textcolor{green}{0{,}3927} \approx 5{,}09\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Sofie vil lage en systematisk oversikt som viser arealet av ulike blomsterbed de kan lage når gjerdet skal være 12 meter.

Oppgave 7d)

Lag en slik oversikt for Sofie.

Vis løsning

Svar

Arealet

A

i m² for

x

y

i meter, avrundet til to desimaler:

\begin{array}{r|r|r} x & y & A \\ \hline 0{,}5 & 5{,}36 & \underline{\underline{2{,}78}} \\ 1 & 4{,}71 & \underline{\underline{5{,}11}} \\ 1{,}5 & 4{,}07 & \underline{\underline{6{,}99}} \\ 2 & 3{,}43 & \underline{\underline{8{,}43}} \\ 2{,}5 & 2{,}79 & \underline{\underline{9{,}42}} \\ 3 & 2{,}14 & \underline{\underline{9{,}97}} \\ 3{,}5 & 1{,}50 & \underline{\underline{10{,}06}} \\ 4 & 0{,}86 & \underline{\underline{9{,}72}} \\ 4{,}5 & 0{,}22 & \underline{\underline{8{,}92}} \end{array}

Vi bruker formelen for omkretsen fra a) og regner ut arealet som i c).

Gjerdet er alltid 12 meter, så når vi velger \( x\text{,} \) er \( y \) bestemt. Vi lager en tabell med ulike verdier av \( x\text{,} \) og regner ut \( y \) og arealet for hver av dem.

Metode: For hånd

1. Skriv y og arealet med x Med \( {O = 12} \) i formelen fra a) får vi: \[ \begin{aligned} 2y &= 12 - x - \dfrac{\pi x}{2} \\ \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4} \end{aligned} \]Lengden \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv, og det er den når \( x \) er mindre enn omtrent \( 4{,}67\text{.} \)

Arealet er rektangelet, lengde ganger bredde som i videoen Areal og Omkrets, pluss halvsirkelen med radius \( \dfrac{x}{2}\text{:} \) \[ A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi}{2} \cdot \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8} \]

2. Regn ut radene i tabellen For \( {x = 1} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\pi}{4} \approx \textcolor{red}{4{,}7146} \\ A &\approx 1 \cdot \textcolor{red}{4{,}7146} + \dfrac{\pi}{8} \approx 5{,}11 \end{aligned} \]Slik regner vi ut \( y \) og \( A \) for \( x \) fra 0,5 til 4,5 meter, med et halvt meters mellomrom. Tabellen står i svaret. Arealet er størst når \( x \) er mellom 3 og 4 meter. Andre valg av \( x \) gir også en riktig oversikt.

Merk – Avrunding: For \( {x = 1} \) er arealet her \( 5{,}11\,\text{m}^2\text{,} \) mens c) ga \( 5{,}09\,\text{m}^2\text{.} \) I c) var \( y \) avrundet til 4,7 m.

Selma lurer på om de kan tegne en graf som de kan bruke for å finne den verdien av

x

som vil gi størst mulig areal når gjerdet skal være 12 meter. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk hun kan bruke.

Oppgave 7e)

Sett opp et funksjonsuttrykk for Selma. Tegn grafen og bestem det størst mulige arealet.

Vis løsning

Svar

Arealet er størst når

{x \approx 3{,}4}

m. Med arealet avrundet til to desimaler:

\begin{aligned} &\underline{\underline{A(x) = 6x - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8}\right) x^2}} \\ &\underline{\underline{A_{\text{maks}} \approx 10{,}08\,\text{m}^2}} \end{aligned}

Vi bruker uttrykkene for \( y \) og arealet fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter uttrykket for \( y \) inn i arealet, så arealet bare avhenger av \( x\text{.} \) Så tegner vi grafen og finner toppunktet.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp funksjonsuttrykket I d) fant vi \( {\textcolor{red}{y} = 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}} \) og \( {A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8}}\text{.} \) Setter vi inn \( \textcolor{red}{y}\text{,} \) får vi arealet som en funksjon av \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(x) &= x\textcolor{red}{\left(6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}\right)} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{\pi x^2}{4} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8}\right) x^2 \end{aligned} \]Her er \( x \) mellom 0 og omtrent \( 4{,}67\text{,} \) fordi \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv.

2. Tegn grafen Vi tegner punktene fra tabellen i d) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Grafen stiger til et toppunkt mellom \( {x = 3} \) og \( {x = 4}\text{,} \) og synker så.

3. Finn toppunktet med en finere tabell Vi regner ut \( A(x) \) rundt toppunktet, med tre desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & A(x) \\ \hline 3{,}2 & 10{,}059 \\ 3{,}3 & 10{,}079 \\ \textcolor{blue}{3{,}4} & \textcolor{blue}{10{,}080} \\ 3{,}5 & 10{,}064 \end{array} \]Det største arealet er omtrent \( \textcolor{blue}{10{,}08}\,\text{m}^2\text{,} \) når \( x \) er omtrent 3,4 meter.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn toppunktet med Maks Vi skriver inn arealfunksjonen med definisjonsmengden og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = x (12 - x - pi x / 2) / 2 + pi x^2 / 8, 0 < x < 4.67 T = Maks(A, 0, 4.67)

Toppunktet er \( {T \approx (3{,}3606,\ 10{,}0818)}\text{.} \) Det størst mulige arealet er omtrent \( 10{,}08\,\text{m}^2\text{,} \) når \( {x \approx 3{,}36} \) m.

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Løs ulikheten

x^2 + 4x - 5 < 0

Vis løsning

Svar

Ulikheten gjelder for

\underline{\underline{-5 < x < 1}}

Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025

Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer. Så ser vi i et fortegnsskjema hvor uttrykket er negativt.

1. Finn nullpunktene med abc-formelen 0:19 Vi setter uttrykket lik \( 0\text{:} \) \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{4}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-5})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{-4 \pm 6}{2} \end{aligned} \]

Det gir nullpunktene: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-4 + 6}{2} = \textcolor{darkorange}{1} \\ x_2 &= \dfrac{-4 - 6}{2} = \textcolor{magenta}{-5} \end{aligned} \]

2. Lag et fortegnsskjema 2:40 Med nullpunktene kan vi faktorisere uttrykket, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - \textcolor{darkorange}{x_1})(x - \textcolor{magenta}{x_2}) \]

Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{x_1} = \textcolor{darkorange}{1}} \) og \( {\textcolor{magenta}{x_2} = \textcolor{magenta}{-5}}\text{.} \) Vi kaller venstre side \( P(x)\text{,} \) så ulikheten blir: \[ P(x) = (\textcolor{darkorange}{x - 1})(\textcolor{magenta}{x + 5}) < 0 \]

Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{x - 1}} \) skifter fortegn i \( {x = 1}\text{,} \) og \( {\textcolor{magenta}{x + 5}} \) i \( {x = -5}\text{.} \) Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-5, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 5}", "expr": "x + 5"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x - 1)(x + 5)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

Produktet er negativt mellom nullpunktene. Ulikheten har \( {<}\text{,} \) så nullpunktene er ikke med: \[ -5 < x < 1 \]

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

Bestem nullpunktene til funksjonen

f

gitt ved

f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12

Vis løsning

Svar

Funksjonen har tre nullpunkter:

\underline{\underline{x = -2, \quad x = 1 \quad \text{og} \quad x = 6}}

Oppgave 2 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025

Dette er en tredjegradsfunksjon. Vi prøver oss fram til ett nullpunkt, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.

1. Prøv små heltall 0:00 Nullpunktene er der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Dette er del 1, så ett av nullpunktene er nok et lite heltall. Vi prøver \( {x = 1}\text{:} \) \[ f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0 \]

Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ f(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{f(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {f(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon 1:38 Vi deler \( f(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -4x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-5x^2 + x^2 = -4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-8x} \) og \( 12\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-4x} \\ \textcolor{magenta}{-4x} \cdot (x - 1) &= -4x^2 + 4x \\ -(-4x^2 + 4x) &= \textcolor{magenta}{4x^2 - 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & -12x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( {-4x^2} \) strykes mot \( 4x^2\text{,} \) \( {-8x - 4x = -12x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 12\text{.} \) Linja \( {-12x + 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-12x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-12x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-12} \\ \textcolor{blue}{-12} \cdot (x - 1) &= -12x + 12 \\ -(-12x + 12) &= \textcolor{blue}{12x - 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \textcolor{blue}{{}- 12} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-12x}} & {}+ 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{12x}} & \textcolor{blue}{{}- 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-12x} \) strykes mot \( 12x\text{,} \) og \( {12 - 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 5x^2 - 8x + 12 \\ &= (x - 1)(x^2 - 4x - 12) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen 5:04 Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 1} \) gir \( {x = 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 4x - 12 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-12}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-4}) = 4}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{12}{2} = 6} \) eller \( {x = \dfrac{-4}{2} = -2}\text{.} \)

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

En rasjonal funksjon

f

er gitt ved

f(x) = \dfrac{2x + 6}{x^2 + 4}

Hvilke av påstandene nedenfor er riktige? Husk å begrunne svarene dine.

Påstand 1 Grafen til

f

har nøyaktig ett nullpunkt.

Påstand 2 Grafen til

f

har ingen vertikale asymptoter.

Påstand 3 Grafen til

f

skjærer aldri

y

-aksen.

Påstand 4 Grafen til

f

har horisontal asymptote

{y = 2}\text{.}

Vis løsning

Svar

Grafen skjærer

y

-aksen i

{\left(0, \dfrac{3}{2}\right)}\text{,}

og den horisontale asymptoten er

{y = 0}\text{:}

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Påstand 1 og 2 er riktige}}} \\ &\underline{\underline{\text{Påstand 3 og 4 er feil}}} \end{aligned}

Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025

Vi tar påstandene én for én. Alle handler om telleren \( {\textcolor{blue}{2x + 6}} \) eller nevneren \( {\textcolor{red}{x^2 + 4}}\text{,} \) så vi ser hva som skjer med dem.

1. Avgjør påstand 1 0:09 Nullpunktene finner vi ved å sette \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0 \) og nevneren ikke er det: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{2x + 6}}{\textcolor{red}{x^2 + 4}} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \textcolor{blue}{2x + 6} = 0 \]

Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2x &= -6 \\ x &= -3 \end{aligned} \]Der er nevneren \( {(-3)^2 + 4 = 13}\text{,} \) så \( {x = -3} \) er det eneste nullpunktet. Påstand 1 er riktig.

2. Avgjør påstand 2 2:00 En vertikal asymptote kan vi bare få der nevneren er \( 0\text{.} \) Et tall i annen er aldri negativt, så: \[ \textcolor{red}{x^2 + 4} \ge 0 + 4 = 4 \]Nevneren blir altså aldri \( 0\text{,} \) og grafen har ingen vertikale asymptoter. Påstand 2 er riktig.

3. Avgjør påstand 3 3:18 Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{2 \cdot 0 + 6}{0^2 + 4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \]Grafen skjærer \( y \)-aksen i \( {\left(0, \dfrac{3}{2}\right)}\text{,} \) så påstand 3 er feil.

4. Avgjør påstand 4 4:34 Når telleren har lavere grad enn nevneren, er den horisontale asymptoten \( {y = 0}\text{.} \) Her har telleren \( {\textcolor{blue}{2x + 6}} \) grad 1, og nevneren \( {\textcolor{red}{x^2 + 4}} \) har grad 2: \[ \text{grad } \textcolor{blue}{1} < \text{grad } \textcolor{red}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 0 \]Når \( x \) blir stor, positiv eller negativ, vokser nevneren mye raskere enn telleren, så brøken går mot \( 0\text{.} \) Asymptoten er \( {y = 0}\text{,} \) ikke \( {y = 2}\text{,} \) så påstand 4 er feil.

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

2 poeng

For fem år siden vant Oskar i Lotto. Han satte pengene i banken og har fått 4,5 % rente per år. I dag har han 250 000 kroner på kontoen.

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan vi bruke for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto?

\begin{aligned} \text{1)} &\quad 250\,000 \cdot 0{,}955^5 \\ \text{2)} &\quad \dfrac{250\,000}{1{,}045^5} \\ \text{3)} &\quad 250\,000 \cdot 1{,}045^5 \\ \text{4)} &\quad 250\,000 \cdot 0{,}955^{-5} \\ \text{5)} &\quad \dfrac{250\,000}{0{,}955^5} \\ \text{6)} &\quad 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5} \end{aligned}

Vis løsning

Svar

Gevinsten er

{V = \dfrac{250\,000}{1{,}045^5}}\text{,}

så vi kan bruke

\underline{\underline{\text{uttrykk 2 og uttrykk 6}}}

Oppgave 4 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025

Vi ser først hvilke uttrykk som er like. Så setter vi opp en likning for beløpet Oskar vant, og ser hvilke uttrykk som passer.

1. Se hvilke uttrykk som er like 0:17 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Derfor er uttrykk 4 og 5 like, og uttrykk 2 og 6 like: \[ \begin{aligned} 250\,000 \cdot \textcolor{darkorange}{0{,}955^{-5}} &= \dfrac{250\,000}{\textcolor{darkorange}{0{,}955^5}} \\ 250\,000 \cdot \textcolor{blue}{1{,}045^{-5}} &= \dfrac{250\,000}{\textcolor{blue}{1{,}045^5}} \end{aligned} \]

2. Sett opp en likning 1:21 En rente på 4,5 % gir vekstfaktoren: \[ 1 + 0{,}045 = \textcolor{blue}{1{,}045} \]

Hvert år ganges beløpet med \( \textcolor{blue}{1{,}045}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Kaller vi gevinsten \( \textcolor{red}{V}\text{,} \) har den etter fem år vokst til: \[ \textcolor{red}{V} \cdot \textcolor{blue}{1{,}045}^5 = 250\,000 \]

3. Løs for gevinsten 4:41 Vi deler begge sider på \( \textcolor{blue}{1{,}045}^5\text{:} \) \[ \textcolor{red}{V} = \dfrac{250\,000}{\textcolor{blue}{1{,}045}^5} \]Det er uttrykk 2, og fra steg 1 vet vi at uttrykk 6 er det samme.

De andre passer ikke. Uttrykk 3 regner fem år fram i tid, og \( 0{,}955 \) i uttrykk 1, 4 og 5 er vekstfaktoren for en nedgang på 4,5 %.

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

5 poeng

Oppgave 5a)

Bruk trekanten ovenfor til å vise at

{\sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}}

Vis løsning

Svar

De spisse vinklene er

45^\circ\text{,}

katetene

1

og hypotenusen

\sqrt{2}\text{,}

så

\underline{\underline{\sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}}}

Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025

Trekanten er rettvinklet og har to like lange kateter. Vi finner vinklene og hypotenusen, og bruker definisjonen av sinus.

1. Finn vinklene 0:30 Katetene er like lange, så de to andre vinklene er like store. Vi kaller dem \( \textcolor{green}{v}\text{.} \) Summen av vinklene i en trekant er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} 90^\circ + \textcolor{green}{v} + \textcolor{green}{v} &= 180^\circ \\ 2\textcolor{green}{v} &= 90^\circ \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]

2. Finn hypotenusen 2:00 Pytagoras' setning forteller oss at: \[ \textcolor{red}{k_1}^2 + \textcolor{red}{k_2}^2 = \textcolor{blue}{h}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Oppgave 3B (Pytagoras).

Begge katetene er \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{1}^2 + \textcolor{red}{1}^2 &= \textcolor{blue}{h}^2 \\ \textcolor{blue}{h}^2 &= 2 \\ \textcolor{blue}{h} &= \sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Bruk definisjonen av sinus 2:46 Definisjonen av sinus forteller oss at: \[ \sin \textcolor{green}{v} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Mot vinkelen \( \textcolor{green}{45^\circ} \) står en katet som er \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og hypotenusen er \( \textcolor{blue}{\sqrt{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \sin \textcolor{green}{45^\circ} = \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{\sqrt{2}}} \]

Gitt en trekant

ABC

der

{AB = 3\sqrt{2}}\text{,}

{AC = 8}

{\angle A = 45^\circ}

Oppgave 5b)

Bestem arealet av trekanten.

Vis løsning

Svar

Arealet av trekant

ABC

\underline{\underline{T = 12}}

Oppgave 5B - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025

Vi bruker \( {\sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi arealet med arealsetningen.

1. Bruk arealsetningen 1:00 Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3\sqrt{2}}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{8}} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{45^\circ}}\text{,} \) og fra a) vet vi at \( {\sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{8} \cdot \sin \textcolor{green}{45^\circ} \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot 3\textcolor{darkorange}{\sqrt{2}} \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{darkorange}{\sqrt{2}}} \end{aligned} \]

Vi stryker \( \textcolor{darkorange}{\sqrt{2}} \) mot \( \textcolor{darkorange}{\sqrt{2}}\text{:} \) \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 = 12 \]

Gitt en trekant

PQR

der

{PQ = 3\sqrt{2}}\text{,}

{PR = 8}

{\angle P = 140^\circ}

Oppgave 5c)

Hvilken av trekantene

ABC

PQR

har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.

Vis løsning

Svar

Sidene er like lange, og

{\sin 140^\circ < \sin 45^\circ}\text{,}

så

\underline{\underline{\text{trekant } ABC \text{ har størst areal}}}

Oppgave 5C - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025

Vi bruker arealsetningen og arealet \( 12 \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Trekantene har like lange sider rundt vinkelen. Da er det sinus til vinkelen som avgjør hvilken som har størst areal.

1. Sammenlign arealene 1:13 Arealsetningen gir begge arealene med de samme to sidene, \( 3\sqrt{2} \) og \( 8\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin \textcolor{blue}{45^\circ} \\ T_{PQR} &= \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin \textcolor{red}{140^\circ} \end{aligned} \]Alt er likt bortsett fra sinusverdien, så trekanten med størst sinusverdi har størst areal.

2. Sammenlign sinusverdiene 2:21 Grafen til sinus fra \( 0^\circ \) til \( 180^\circ \) er symmetrisk om \( 90^\circ\text{,} \) og jo lenger fra \( 90^\circ \) vi går, desto mindre blir sinusverdien:

Vinklene ligger så langt fra \( 90^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} 90^\circ - \textcolor{blue}{45^\circ} &= 45^\circ \\ \textcolor{red}{140^\circ} - 90^\circ &= 50^\circ \end{aligned} \]\( \textcolor{red}{140^\circ} \) ligger lengst fra \( 90^\circ\text{,} \) så \( {\sin \textcolor{red}{140^\circ} < \sin \textcolor{blue}{45^\circ}}\text{.} \) Dermed er \( {T_{PQR} < T_{ABC} = 12}\text{.} \)

Alternativ metode: Sinus til en stump vinkel Mange lærebøker bruker at \( {\sin(180^\circ - v) = \sin v}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \sin 140^\circ &= \sin(180^\circ - 140^\circ) \\ \sin 140^\circ &= \sin 40^\circ \end{aligned} \]Sinus vokser fra \( 0^\circ \) til \( 90^\circ\text{,} \) så \( {\sin 40^\circ < \sin 45^\circ}\text{.} \) Regelen er rask når du husker den, og grafen viser hvorfor den stemmer.

1T høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

3 poeng

Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet nedenfor.

Hvilke tall vil bli skrevet ut når programmet kjøres? Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.

Vis løsning

Svar

Programmet skriver ut femkanttallene opp til 60, og hvert nytt skall har 3 kuler mer enn det forrige:

\begin{aligned} &\underline{\underline{1,\ 5,\ 12,\ 22,\ 35 \text{ og } 51}} \\ &\underline{\underline{\text{Differansen øker med } 3}} \end{aligned}

Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025

Vi tenker som datamaskinen og går gjennom programmet linje for linje. Så ser vi hvordan figurene vokser, og kobler det til differansen i programmet.

1. Følg programmet linje for linje 2:09 Linje 1 og 2 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 1} \) og \( {\textcolor{red}{\texttt{differanse}} = 4}\text{.} \) Så lenge \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} \le 60}\text{,} \) skriver linje 5 ut tallet, linje 6 legger differansen til tallet, og linje 7 legger 3 til differansen.

I første runde skrives 1 ut, \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) blir \( {1 + 4 = 5}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) blir \( {4 + 3 = 7}\text{.} \) Vi fører hver runde i en tabell: \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Skrives ut} & \textcolor{blue}{\texttt{tall}} & \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \\ \hline 1 & 5 & 7 \\ 5 & 12 & 10 \\ 12 & 22 & 13 \\ 22 & 35 & 16 \\ 35 & 51 & 19 \\ 51 & 70 & 22 \end{array} \]Nå er \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 70}\text{,} \) som er større enn 60, så løkka stopper før 70 blir skrevet ut.

2. Gjør rede for sammenhengen 5:49 Figurene viser femkanttallene 1, 5, 12 og 22, de samme tallene som programmet skriver ut. Hver figur er den forrige med et nytt skall av kuler utenpå: \[ 1 \xrightarrow{+\textcolor{red}{4}} 5 \xrightarrow{+\textcolor{red}{7}} 12 \xrightarrow{+\textcolor{red}{10}} 22 \]

Hvert skall har 3 kuler mer enn det forrige: \[ \textcolor{red}{4} \xrightarrow{+3} \textcolor{red}{7} \xrightarrow{+3} \textcolor{red}{10} \]Det nye skallet dekker tre av sidene i femkanten, og hver av dem blir én kule lengre.

Det er sammenhengen Siri har oppdaget. \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) er femkanttallet, og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) er antall kuler i neste skall. Den starter på 4 og øker med 3 for hver figur, og derfor legger linje 7 til 3.

1T høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler