1P eksamen høsten 2025

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 1

1 poeng

enheter,
formler

Sofie tok buss fra Mandal til Oslo. Bussen holdt en gjennomsnittsfart på

80\,\text{km/h}

og brukte 4 timer og 30 minutter på strekningen.

Hvor lang er denne strekningen?

Vis løsning

Svar

Strekningen er:

\underline{\underline{360\,\text{km}}}

Vi kjenner farten og tiden, og strekningen finner vi ved å gange dem. Farten er i kilometer per time, så først gjør vi om tiden til timer.

1. Gjør om tiden til timer En time har 60 minutter, så 30 minutter er \( {\dfrac{30}{60} = 0{,}5} \) time. Tiden er: \[ t = 4 + 0{,}5 = \textcolor{red}{4{,}5} \text{ timer} \]

2. Gang farten med tiden Strekningen er fart ganget med tid: \[ s = \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{t} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{80}\,\text{km/h}} \) og \( {\textcolor{red}{t} = \textcolor{red}{4{,}5}\,\text{h}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s &= \textcolor{blue}{80}\,\text{km/h} \cdot \textcolor{red}{4{,}5}\,\text{h} \\ s &= 80 \cdot 4\,\text{km} + 80 \cdot 0{,}5\,\text{km} \\ s &= 320\,\text{km} + 40\,\text{km} = 360\,\text{km} \end{aligned} \]Timene i km/h og h forkortes mot hverandre, så svaret blir i kilometer.

Oppgave 2

2 poeng

prosent,
vekstfaktor

Lukas har kjøpt et deksel til mobilen. Dekselet kostet 200 kroner inkludert merverdiavgift. Merverdiavgiften er

25\,\%\text{.}

Hvor mye betalte Lukas i merverdiavgift?

Vis løsning

Svar

Lukas betalte i merverdiavgift:

\underline{\underline{40 \text{ kroner}}}

200 kroner er prisen med merverdiavgift, og avgiften er \( 25\,\% \) av prisen uten avgift. Vi finner derfor prisen uten avgift med vekstfaktoren, og avgiften er forskjellen.

1. Finn vekstfaktoren Når en pris øker med \( p\,\%\text{,} \) ganger vi den med vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Merverdiavgiften legger \( 25\,\% \) til prisen, så \( {p = 25}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{V} = 1 + 0{,}25 = \textcolor{blue}{1{,}25} \]

2. Finn prisen uten avgift Vi kaller prisen uten merverdiavgift \( \textcolor{red}{x}\text{.} \) Ganget med vekstfaktoren blir den 200 kroner: \[ \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{1{,}25} = 200 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{1{,}25} \) på begge sider, og ganger så teller og nevner med 4, slik at nevneren blir et helt tall: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x} &= \dfrac{200}{\textcolor{blue}{1{,}25}} = \dfrac{200 \cdot 4}{1{,}25 \cdot 4} \\ \textcolor{red}{x} &= \dfrac{800}{5} = \textcolor{red}{160} \end{aligned} \]

3. Trekk fra prisen uten avgift Merverdiavgiften er forskjellen mellom prisen med og uten avgift: \[ 200 - \textcolor{red}{160} = 40 \text{ kroner} \]

Kontroll: \( 25\,\% \) av \( 160 \) kroner er \( {\dfrac{160}{4} = 40} \) kroner, og \( {160 + 40 = 200}\text{.} \)

Oppgave 3

2 poeng

potenser,
standardform

En støvpartikkel veier omtrent

0{,}000\,000\,005

gram.

Hvor mange støvpartikler er det i 20 gram støv?

Vis løsning

Svar

Det er omtrent 4 milliarder støvpartikler i 20 gram støv:

\underline{\underline{4 \cdot 10^9 \text{ støvpartikler}}}

Vi deler 20 gram på vekten av én partikkel. Den vekten har mange nuller, så vi skriver den på standardform først.

1. Skriv vekten på standardform På standardform er et tall et tall mellom 1 og 10 ganget med en tierpotens. Vi flytter kommaet 9 plasser til høyre: \[ 0{,}000\,000\,005 = \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{10^{-9}} \]

2. Del 20 gram på vekten Antall partikler er den samlede vekten delt på vekten av én: \[ \dfrac{20}{\textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{10^{-9}}} = \dfrac{20}{\textcolor{blue}{5}} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{red}{10^{-9}}} \]

En negativ eksponent betyr 1 delt på potensen med positiv eksponent: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Siden \( {\textcolor{red}{10^{-9}} = \dfrac{1}{10^9}}\text{,} \) er \( {\dfrac{1}{\textcolor{red}{10^{-9}}} = 10^9}\text{.} \) Det gir oss: \[ \dfrac{20}{\textcolor{blue}{5}} \cdot 10^9 = 4 \cdot 10^9 \]

Oppgave 4

3 poeng

formler,
proporsjonalitet,
volum

Volumet

V

av en pyramide er gitt ved

V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h

der

G

er arealet av grunnflaten, og

h

er høyden.

Ole arbeider med pyramider der • grunnflaten er et kvadrat • høyden er lik sidekantene i kvadratet

En av pyramidene har et volum på

9\,\text{dm}^3\text{.}

Oppgave 4a)

Hvor høy er denne pyramiden?

Vis løsning

Svar

Pyramiden er 3 dm høy:

\underline{\underline{h = 3\,\text{dm} = 30\,\text{cm}}}

Grunnflaten er et kvadrat med sider like lange som høyden. Vi skriver derfor volumet med bare \( h \) og løser likningen der volumet er 9.

1. Skriv volumet med høyden Volumformelen fra oppgaven forteller oss at: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot h \]

Grunnflaten er et kvadrat, og arealet av et kvadrat er side ganger side, som for et rektangel i videoen Areal og Omkrets. Sidene er like lange som høyden \( h\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{G} = \textcolor{blue}{h \cdot h} = \textcolor{blue}{h^2} \]

Plugger vi dette inn i volumformelen, får vi: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{h^2} \cdot h = \dfrac{h^3}{3} \]

2. Løs likningen Volumet er \( 9\,\text{dm}^3\text{:} \) \[ \dfrac{h^3}{3} = 9 \]

Vi ganger med 3 på begge sider. Tallet som opphøyd i tredje blir 27, er 3, fordi \( {3 \cdot 3 \cdot 3 = 27}\text{:} \) \[ \begin{aligned} h^3 &= 27 \\ h &= 3 \end{aligned} \]Volumet er i kubikkdesimeter, så høyden er i desimeter.

Kontroll: \( {G = 3 \cdot 3 = 9\,\text{dm}^2}\text{,} \) og \( {V = \dfrac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 = 9\,\text{dm}^3}\text{.} \)

Ole påstår at høyde og volum er proporsjonale størrelser for pyramidene han arbeider med.

Oppgave 4b)

Avgjør om påstanden er riktig. Husk å begrunne svaret ditt.

Vis løsning

Svar

Dobbel høyde gir 8 ganger så stort volum:

\underline{\underline{\text{Påstanden er ikke riktig}}}

Vi bruker uttrykket for volumet fra a).

Før vi starter, må vi vite hva proporsjonale størrelser er. Så sammenligner vi to pyramider, der den ene er dobbelt så høy som den andre.

1. Skriv opp hva proporsjonal betyr Volumet og høyden er proporsjonale hvis volumet er høyden ganget med et fast tall \( k\text{:} \) \[ V = k \cdot h \]Da er \( {\dfrac{V}{h} = k} \) det samme for alle pyramidene, og dobbel høyde gir dobbelt volum.

2. Sammenlign to pyramider I a) fant vi at: \[ V = \dfrac{h^3}{3} \]

Vi regner ut volumet for høyden \( \textcolor{blue}{3} \) dm og den dobbelte, \( \textcolor{red}{6} \) dm: \[ \begin{aligned} h &= \textcolor{blue}{3} & V &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}^3}{3} = \dfrac{27}{3} = \textcolor{blue}{9} \\ h &= \textcolor{red}{6} & V &= \dfrac{\textcolor{red}{6}^3}{3} = \dfrac{216}{3} = \textcolor{red}{72} \end{aligned} \]

Dobbel høyde gir \( {\dfrac{\textcolor{red}{72}}{\textcolor{blue}{9}} = 8} \) ganger så stort volum, ikke dobbelt så stort. Dette kalles et moteksempel, og påstanden er derfor ikke riktig.

Oppgave 5

2 poeng

lineære funksjoner,
proporsjonalitet

Den grønne grafen i koordinatsystemet ovenfor viser sammenhengen mellom antall timer Nora arbeider, og lønnen hun får.

Den blå grafen viser sammenhengen mellom antall timer Nils arbeider, og lønnen han får.

Oppgave 5a)

Bestem timelønnen til Nora og timelønnen til Nils.

Vis løsning

Svar

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Nora: } 200 \text{ kr per time}}} \\ &\underline{\underline{\text{Nils: } 180 \text{ kr per time}}} \end{aligned}

Timelønnen er hvor mye lønnen øker for hver time. Begge grafene går gjennom origo, så vi deler lønnen på antall timer i et punkt vi kan lese av nøyaktig.

1. Les av et punkt per graf En rute i rutenettet er 1 time bortover og 200 kroner oppover. Vi leser av der grafene går gjennom et kryss i rutenettet. Etter 10 timer har Nora fått \( \textcolor{green}{2000} \) kroner, og Nils \( \textcolor{blue}{1800} \) kroner.

2. Del lønnen på antall timer Timelønnen er stigningstallet, endringen i lønn delt på endringen i antall timer, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Grafene starter i \( (0, 0)\text{,} \) så endringen etter 10 timer er hele lønnen: \[ \begin{aligned} \text{Nora: } & \dfrac{\textcolor{green}{2000}}{10} = \textcolor{green}{200} \\ \text{Nils: } & \dfrac{\textcolor{blue}{1800}}{10} = \textcolor{blue}{180} \end{aligned} \]

En uke arbeidet Nora og Nils like mange timer. Nora tjente 720 kroner mer enn Nils.

Oppgave 5b)

Hvor mange timer arbeidet hver av dem denne uken?

Vis løsning

Svar

Nora og Nils arbeidet hver:

\underline{\underline{36 \text{ timer}}}

Vi bruker timelønnene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

De arbeidet like mange timer, så de 720 kronene kommer av at Nora tjener mer per time. Vi finner hvor mange timer som skal til for at forskjellen blir 720 kroner.

1. Finn forskjellen per time I a) fant vi at Nora tjener \( \textcolor{green}{200} \) kroner per time og Nils \( \textcolor{blue}{180}\text{.} \) For hver time tjener Nora: \[ \textcolor{green}{200} - \textcolor{blue}{180} = \textcolor{red}{20} \text{ kroner mer} \]

2. Løs likningen Vi kaller antall timer \( x\text{.} \) Etter \( x \) timer har Nora tjent \( \textcolor{red}{20}x \) kroner mer enn Nils: \[ \textcolor{red}{20}x = 720 \]

Vi deler med \( \textcolor{red}{20} \) på begge sider: \[ x = \dfrac{720}{\textcolor{red}{20}} = 36 \]

Kontroll: Nora: \( {36 \cdot 200 = 7200} \) kroner. Nils: \( {36 \cdot 180 = 6480} \) kroner. Forskjellen er \( 720 \) kroner.

Oppgave 6

5 poeng

funksjoner,
proporsjonalitet

I en by koster det 1200 kroner for en 30-dagersbillett med buss. Du kan ta bussen så mange ganger du ønsker i denne perioden.

Siri har kjøpt en 30-dagersbillett og lurer på hva prisen per busstur blir dersom hun bruker billetten 4, 8, 20 eller 30 ganger.

Oppgave 6a)

Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn tallene som mangler.

\begin{array}{r|r} \begin{array}{c} \text{Antall} \\ \text{bussturer} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Pris per} \\ \text{busstur} \end{array} \\ \hline 4 & \\ 8 & \\ 20 & \\ 30 & \end{array}

Vis løsning

Svar

Prisen per busstur er 1200 kroner delt på antall turer:

\begin{array}{c|c} \text{Antall turer} & \text{Pris (kr)} \\ \hline 4 & \underline{\underline{300}} \\ 8 & \underline{\underline{150}} \\ 20 & \underline{\underline{60}} \\ 30 & \underline{\underline{40}} \end{array}

Billetten koster 1200 kroner uansett hvor mange ganger Siri tar bussen. Prisen per busstur er derfor 1200 kroner delt på antall turer.

1. Del 1200 på antall turer Prisen per busstur er: \[ \textcolor{blue}{\text{pris per tur}} = \dfrac{1200}{\text{antall turer}} \]

For de fire antallene i tabellen får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1200}{4} &= \textcolor{blue}{300} & \dfrac{1200}{8} &= \textcolor{blue}{150} \\ \dfrac{1200}{20} &= \textcolor{blue}{60} & \dfrac{1200}{30} &= \textcolor{blue}{40} \end{aligned} \]Antall turer ganger pris per tur er 1200 hver gang, så størrelsene er omvendt proporsjonale: dobbelt så mange turer gir halv pris per tur.

Oppgave 6b)

Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antall bussturer og prisen per busstur.

Vis løsning

Svar

Grafen er en kurve som synker, gjennom

(4, 300)\text{,}

(8, 150)\text{,}

(20, 60)

(30, 40)\text{:}

\underline{\underline{y = \dfrac{1200}{x}}}

Vi bruker tabellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Prisen per tur er 1200 kroner delt på antall turer. Vi tegner punktene fra tabellen i et koordinatsystem og trekker en jevn kurve gjennom dem.

1. Skriv sammenhengen som en funksjon Med \( x \) turer er prisen per tur \( y \) kroner: \[ \textcolor{blue}{y = \dfrac{1200}{x}} \]Punktene fra a) ligger på grafen, og vi kan regne ut flere, for eksempel \( {\dfrac{1200}{10} = 120} \) og \( {\dfrac{1200}{15} = 80}\text{.} \)

2. Tegn punktene og kurven Vi setter antall turer langs x-aksen og prisen per tur langs y-aksen, tegner punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Kurven synker hele tiden: jo flere turer, desto lavere pris per tur. Den kommer nærmere og nærmere 0, men når aldri 0.

En enkeltbillett med buss koster 80 kroner.

Oppgave 6c)

Vis grafisk hvor mange ganger Siri må ta bussen for at det skal lønne seg å kjøpe en 30-dagersbillett i stedet for enkeltbilletter.

Vis løsning

Svar

Grafene skjærer hverandre i

(15, 80)\text{,}

så det lønner seg når Siri tar bussen mer enn 15 ganger:

\underline{\underline{\text{Minst 16 ganger}}}

Vi bruker grafen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

30-dagersbilletten lønner seg når prisen per tur blir lavere enn en enkeltbillett. Vi tegner linja \( {y = 80} \) i samme koordinatsystem og ser hvor grafen ligger under den.

1. Tegn linja for enkeltbilletten I b) tegnet vi grafen til: \[ \textcolor{blue}{y = \dfrac{1200}{x}} \]

En enkeltbillett koster \( \textcolor{red}{80} \) kroner per tur, uansett hvor mange turer Siri tar. Det er den vannrette linja \( {\textcolor{red}{y = 80}}\text{,} \) som vi tegner i samme koordinatsystem:

2. Les av skjæringspunktet Grafene skjærer hverandre i \( (15, \textcolor{red}{80})\text{.} \) Det kan vi sjekke: \[ \dfrac{1200}{15} = \textcolor{red}{80} \]

Til høyre for 15 ligger kurven under linja: da koster hver tur mindre enn 80 kroner med 30-dagersbilletten.

Ved akkurat 15 turer koster det like mye, fordi \( {15 \cdot 80 = 1200} \) kroner. Billetten lønner seg altså først når enkeltbillettene til sammen koster mer enn 1200 kroner, som i videoen Oppgave 1A - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Siri må derfor ta bussen minst 16 ganger.

Oppgave 7

3 poeng

programmering,
tallfølger

Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet nedenfor.

Lag en oversikt som viser hvilke tall som blir skrevet ut når programmet kjøres. Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.

Vis løsning

Svar

Programmet skriver ut femkanttallene opp til 60, og hvert nytt skall har 3 kuler mer enn det forrige:

\begin{aligned} &\underline{\underline{1,\ 5,\ 12,\ 22,\ 35 \text{ og } 51}} \\ &\underline{\underline{\text{Differansen øker med } 3}} \end{aligned}

Vi tenker som datamaskinen og går gjennom programmet linje for linje. Så ser vi hvordan figurene vokser, og kobler det til differansen i programmet.

1. Les programmet linje for linje Linje 1 og 2 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 1} \) og \( {\textcolor{red}{\texttt{differanse}} = 4}\text{.} \) Så lenge \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} \le 60}\text{,} \) gjentar løkka linje 5 til 7: linje 5 skriver ut tallet, linje 6 legger differansen til tallet, og linje 7 gjør differansen 3 større.

2. Lag oversikten Vi går gjennom løkka runde for runde, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, der akkurat denne oppgaven er løst. I første runde skrives 1 ut, \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) blir \( {1 + 4 = 5}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) blir \( {4 + 3 = 7}\text{.} \) Det som skrives ut, står i grønt: \[ \begin{array}{c|c|c} \begin{matrix} \text{Skrives} \\ \text{ut} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Nytt} \\ \text{tall} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Ny} \\ \text{differanse} \end{matrix} \\ \hline \textcolor{green}{1} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{green}{5} & \textcolor{blue}{12} & \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{green}{12} & \textcolor{blue}{22} & \textcolor{red}{13} \\ \textcolor{green}{22} & \textcolor{blue}{35} & \textcolor{red}{16} \\ \textcolor{green}{35} & \textcolor{blue}{51} & \textcolor{red}{19} \\ \textcolor{green}{51} & \textcolor{blue}{70} & \textcolor{red}{22} \end{array} \]

Etter sjette runde er \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 70}\text{.} \) Siden \( {70 > 60}\text{,} \) stopper løkka, og 70 blir ikke skrevet ut.

3. Gjør rede for sammenhengen Figurene viser femkanttallene 1, 5, 12 og 22, de samme tallene som programmet skriver ut. Hver figur er den forrige med et nytt skall av kuler utenpå, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ 1 \xrightarrow{+\textcolor{red}{4}} 5 \xrightarrow{+\textcolor{red}{7}} 12 \xrightarrow{+\textcolor{red}{10}} 22 \]

Hvert skall har 3 kuler mer enn det forrige. Det nye skallet dekker tre av sidene i femkanten, og hver av dem blir én kule lengre.

Det er sammenhengen Siri har oppdaget. \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) er femkanttallet, og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) er antall kuler i neste skall. Den starter på 4 i linje 2 og øker med 3 for hver figur, og derfor legger linje 7 til 3.

Del 2

Med hjelpemidler · 7 oppgaver · 27 poeng

Oppgave 1

7 poeng

modellering,
potensfunksjoner,
prosent,
regresjon

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.

\begin{array}{r|r} \text{Lengde} & \text{Vekt} \\ \text{(cm)} & \text{(gram)} \\ \hline 50 & 1190 \\ 70 & 3320 \\ 80 & 5070 \\ 100 & 9610 \\ 120 & 16\,080 \\ 130 & 21\,590 \end{array}

Sammenhengen kan beskrives med en modell

F

gitt på formen

F(x) = a \cdot x^b

der

F(x)

gram er vekten til en fisk som er

x

centimeter lang.

Oppgave 1a)

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene

a

b\text{.}

Tegn grafen til

F\text{.}

Vis løsning

Svar

Med

a

avrundet til fire gjeldende siffer og

b

til fire desimaler, og med grafen i GeoGebra-bildet:

\begin{aligned} &\underline{\underline{a \approx 0{,}009657 \text{ og } b \approx 2{,}9996}} \\ &\underline{\underline{F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996}}} \end{aligned}

Tabellen har seks punkter, og modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{.} \) Vi finner \( a \) og \( b \) med potensregresjon i GeoGebra, som også tegner grafen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) til d) med modellen i svaret, med kalkulator. Du kan også se at \( b \) må være nær 3: når lengden dobles fra 50 til 100 cm, blir vekten \( {\dfrac{9610}{1190} \approx 8{,}1} \) ganger så stor, og \( {2^3 = 8}\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( a \) og \( b \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(50, 1190), (70, 3320), (80, 5070), (100, 9610), (120, 16080), (130, 21590)} F(x) = RegPot(l1)

2. Les av a og b Med seks desimaler gir GeoGebra: \[ F(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}999583}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Grafen til \( F \) er kurven i skjermbildet.

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {a \approx 0{,}01} \) og \( {b \approx 3}\text{.} \) Regner vi videre med dem, blir stigningstallet i c) omtrent 218 i stedet for 210. Vis derfor flere desimaler i GeoGebra.

Oppgave 1b)

Hvor lang er en fisk som veier

11{,}5\,\text{kg}

ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele centimeter er fisken:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 106\,\text{cm}}}

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gir vekten i gram, så vi gjør om 11,5 kg til gram og løser likningen \( {F(x) = 11\,500}\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} \]

Fisken veier \( {11{,}5\,\text{kg} = 11\,500\,\text{g}}\text{,} \) så vi setter \( {F(x) = 11\,500}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} = 11\,500 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{0{,}009657} \) på begge sider: \[ x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} = \dfrac{11\,500}{\textcolor{blue}{0{,}009657}} \approx 1\,190\,846 \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi begge sider i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ x \approx 1\,190\,846^{1/\textcolor{red}{2{,}9996}} \approx 106{,}06 \]Siden \( {\textcolor{red}{b} \approx 3}\text{,} \) er dette nesten tredjeroten: \( {\sqrt[3]{1\,190\,846} \approx 106{,}0}\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Finn skjæringspunktet Med \( F \) fra a) i GeoGebra tegner vi linja \( {y = 11\,500} \) og finner skjæringspunktet med grafen til \( F\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = 11500 S = Skjæring(F, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (106{,}06,\ 11\,500)}\text{,} \) så fisken er omtrent 106 cm lang.

Oppgave 1c)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene

\big(75, F(75)\big)

\big(95, F(95)\big)\text{.}

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Svar

Mellom 75 og 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter, avrundet til hele gram per centimeter:

\underline{\underline{\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \approx 210\,\text{g/cm}}}

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut vekten for en fisk på 75 cm og en på 95 cm med modellen. Stigningstallet er endringen i vekt delt på endringen i lengde.

Metode: Med kalkulator

1. Regn ut vekten for begge lengdene I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996} \]

Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{F(75)} &\approx 0{,}009657 \cdot 75^{2{,}9996} \\ \textcolor{blue}{F(75)} &\approx \textcolor{blue}{4067{,}0} \\ \textcolor{red}{F(95)} &\approx 0{,}009657 \cdot 95^{2{,}9996} \\ \textcolor{red}{F(95)} &\approx \textcolor{red}{8264{,}6} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{F(95)} - \textcolor{blue}{F(75)}}{95 - 75} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8264{,}6} - \textcolor{blue}{4067{,}0}}{20} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{4197{,}6}{20} \approx 209{,}9 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Vekten er i gram og lengden i centimeter, så stigningstallet er i gram per centimeter. Når en fisk er mellom 75 og 95 cm lang, øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram for hver centimeter fisken blir lengre.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut stigningstallet I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi skriver stigningstallet inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: s = (F(95) - F(75)) / (95 - 75)

GeoGebra gir \( {s \approx 209{,}8548}\text{.} \) Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter.

Oppgave 1d)

Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med

20\,\%

ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Vekten ganges med

{1{,}2^b \approx 1{,}7279}

for alle lengder. Avrundet til én desimal øker den med:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 72{,}8\,\%}}

Vi bruker \( b \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når lengden øker med \( 20\,\%\text{,} \) ganges den med 1,2. Vi ser hva det gjør med vekten i modellen.

Metode: For hånd

1. Gang lengden med 1,2 En økning på \( 20\,\% \) gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}20 = \textcolor{red}{1{,}2}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Den nye lengden er \( \textcolor{red}{1{,}2}x\text{.} \)

Når et produkt opphøyes i en potens, opphøyes hver faktor, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (p \cdot q)^n = p^n \cdot q^n \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{red}{1{,}2}x) &= a \cdot (\textcolor{red}{1{,}2}x)^b \\ F(\textcolor{red}{1{,}2}x) &= \textcolor{red}{1{,}2}^b \cdot a \cdot x^b = \textcolor{red}{1{,}2}^b \cdot F(x) \end{aligned} \]Vekten ganges altså med \( \textcolor{red}{1{,}2}^b\text{,} \) uansett hvor lang fisken er.

2. Finn vekstfaktoren for vekten Med \( {b \approx 2{,}9996} \) fra a) får vi: \[ \textcolor{red}{1{,}2}^{2{,}9996} \approx 1{,}7279 = 1 + 0{,}7279 \]Vekten øker altså med omtrent \( 72{,}8\,\%\text{.} \)

Oppgave 2

4 poeng

eksponentialfunksjoner,
funksjoner,
proporsjonalitet

En elev har beskrevet fire situasjoner og tegnet ni grafer. Se nedenfor.

Hvilken graf beskriver situasjon A? Hvilken graf beskriver situasjon B? Hvilken graf beskriver situasjon C? Hvilken graf beskriver situasjon D?

Husk å begrunne svarene dine.

Situasjon A En dyrebestand avtar med en fast prosent hvert år.

Situasjon B Noen personer vil leie en badstue til en fast pris og fordele kostnadene likt. Jo flere som blir med, jo lavere blir prisen per person.

Situasjon C En fuglebestand økte tilnærmet eksponentielt i en periode. Deretter økte bestanden lineært, før den stabiliserte seg på et nivå.

Situasjon D Tabellen nedenfor viser priser for å sende pakker i Norge.

\begin{array}{r|r} \text{Vekt} & \text{Pris} \\ \hline \text{0–5 kg} & \text{73 kroner} \\ \text{5–10 kg} & \text{135 kroner} \\ \text{10–25 kg} & \text{240 kroner} \end{array}

Vis løsning

Svar

Grafene har samme form som situasjonene:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{A: graf 4}}} \qquad \underline{\underline{\text{B: graf 8}}} \\ &\underline{\underline{\text{C: graf 2}}} \qquad \underline{\underline{\text{D: graf 3}}} \end{aligned}

Vi ser på hvordan hver størrelse endrer seg: med en fast prosent, som en fast pris delt på flere, i tre faser eller i trinn. Så finner vi grafen som har den formen.

Metode: For hånd

1. Finn grafen til situasjon A Når bestanden avtar med en fast prosent, ganges den hvert år med den samme vekstfaktoren \( \textcolor{red}{V}\text{,} \) som er mindre enn 1, som i videoen Vekstfaktor. Med bestanden \( \textcolor{blue}{B} \) når vi begynner å telle, er bestanden etter \( x \) år: \[ y = \textcolor{blue}{B} \cdot \textcolor{red}{V}^x, \quad 0 < \textcolor{red}{V} < 1 \]Grafen starter i \( \textcolor{blue}{B} \) på y-aksen og synker først raskt, så saktere, fordi prosenten tas av et stadig mindre tall. Den når aldri 0. Det er graf 4. Graf 1 synker like mye hvert år, altså et fast antall dyr, ikke en fast prosent.

2. Finn grafen til situasjon B Med \( x \) personer er prisen per person den faste prisen \( \textcolor{blue}{k} \) delt på \( x\text{:} \) \[ y = \dfrac{\textcolor{blue}{k}}{x} \]Antall personer ganger pris per person er alltid \( \textcolor{blue}{k}\text{,} \) så størrelsene er omvendt proporsjonale: dobbelt så mange personer gir halv pris. Prisen er høy når få deler, og kommer nærmere og nærmere 0 når mange blir med. Grafen har ingen verdi for \( {x = 0}\text{,} \) og det er graf 8.

3. Finn grafen til situasjon C Grafen må ha tre deler: først eksponentiell vekst, som starter sakte og blir brattere, så en rett, stigende del, og til slutt en vannrett del der bestanden har stabilisert seg. Det er graf 2. Graf 7 har de to første delene, men flater aldri ut.

4. Finn grafen til situasjon D Prisen er den samme for alle vekter innenfor hvert intervall, og den hopper opp ved 5 kg og 10 kg. Grafen er derfor tre vannrette streker som trappetrinn, og det er graf 3. Trinnene passer med tabellen: de to første er like lange (5 kg hver), det siste er tre ganger så langt (15 kg), og høydene er 73, 135 og 240 kroner.

Oppgave 3

2 poeng

prosent

Teksten nedenfor er hentet fra nrk.no.

14. april 2025 kl. 13:48 PERSONLIG ØKONOMI Nordmenn skylder nesten 57 milliarder i betalingsanmerkninger Nordmenns beløp i utestående betalingsanmerkninger har økt med rett over 7 prosent sammenlignet med samme tidspunkt i fjor.

Nå skylder 229.963 nordmenn 57 milliarder kroner i betalingsanmerkninger, skriver Experian i en pressemelding.

Antallet personer som skylder penger, er om lag det samme som i fjor, og utgjør 4,8 prosent av landets befolkning over 18 år. Men hver av disse skylder altså litt mer i gjennomsnitt.

Kilde: NRK. (2025, 14. april). Nordmenn skylder nesten 57 milliarder i betalingsanmerkninger. nrk.no.

Oppgave 3a)

Hvor mye skylder hver person som har utestående betalingsanmerkninger, i gjennomsnitt?

Vis løsning

Svar

Avrundet til nærmeste tusen kroner skylder hver person i gjennomsnitt:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 248\,000 \text{ kroner}}}

Vi deler det samlede beløpet på antall personer.

Metode: For hånd

1. Del beløpet på antall personer Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{blue}{\text{antall}}} \]

NRK skriver «229.963» med punktum mellom tusenene, så det er \( \textcolor{blue}{229\,963} \) personer. De skylder 57 milliarder kroner, altså \( \textcolor{red}{57\,000\,000\,000} \) kroner: \[ \dfrac{\textcolor{red}{57\,000\,000\,000}}{\textcolor{blue}{229\,963}} \approx 247\,866 \]Hver av dem skylder i gjennomsnitt omtrent 248 000 kroner. Beløpet er avrundet i artikkelen, så vi avrunder svaret til nærmeste tusen kroner.

Oppgave 3b)

Omtrent hvor mange personer i Norge er over 18 år?

Vis løsning

Svar

Avrundet til nærmeste hundre tusen er antallet:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 4{,}8 \text{ millioner}}}

De \( 229\,963 \) personene er \( 4{,}8\,\% \) av alle over 18 år. Vi kjenner delen og prosenten, og skal finne det hele.

Metode: For hånd

1. Sett opp likningen Prosent av et tall finner vi med: \[ a\,\% \text{ av } \textcolor{red}{\text{tall}} = \dfrac{a}{100} \cdot \textcolor{red}{\text{tall}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Vi kaller antall personer over 18 år \( \textcolor{red}{N}\text{.} \) Her er \( {a = 4{,}8}\text{,} \) og \( 4{,}8\,\% \) av \( \textcolor{red}{N} \) er \( 229\,963\text{:} \) \[ \dfrac{4{,}8}{100} \cdot \textcolor{red}{N} = 0{,}048 \cdot \textcolor{red}{N} = 229\,963 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( 0{,}048 \) på begge sider: \[ \textcolor{red}{N} = \dfrac{229\,963}{0{,}048} \approx 4\,790\,896 \]Prosenten er oppgitt med én desimal, så svaret er omtrent 4,8 millioner.

Oppgave 4

2 poeng

enheter

Synnøve er på ferie i USA. En dag går hun innom en butikk for å kjøpe epler. Hun betaler

4{,}18

amerikanske dollar for en pose med 3 pund epler.

• Pund (lb) er en måleenhet for masse som er vanlig å bruke i USA.

{1\,\text{lb} \approx 0{,}454\,\text{kg}}

• Sist Synnøve sjekket valutakursen, tilsvarte 1 amerikansk dollar

10{,}16

norske kroner.

Hvor mange norske kroner kostet ett kilogram epler?

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele øre kostet ett kilogram epler:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 31{,}18 \text{ kroner}}}

Vi gjør om prisen fra dollar til kroner og vekten fra pund til kilogram. Så deler vi prisen på vekten.

Metode: For hånd

1. Gjør om prisen til kroner 1 dollar er 10,16 kroner, så posen kostet: \[ 4{,}18 \cdot 10{,}16 \text{ kr} = \textcolor{blue}{42{,}4688} \text{ kr} \]

2. Gjør om vekten til kilogram 1 lb er omtrent 0,454 kg, så 3 pund er: \[ 3 \cdot 0{,}454\,\text{kg} = \textcolor{red}{1{,}362}\,\text{kg} \]

3. Del prisen på vekten Prisen for ett kilogram er prisen delt på antall kilogram: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{42{,}4688} \text{ kr}}{\textcolor{red}{1{,}362}\,\text{kg}} \approx 31{,}18 \text{ kr/kg} \]

Oppgave 5

2 poeng

prosent,
vekstfaktor

Verdien av en aksje har gått ned med

23\,\%\text{.}

Hvor mange prosent må verdien øke med for at aksjen skal ha samme verdi som før nedgangen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal må verdien øke med:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 29{,}9\,\%}}

Etter nedgangen er verdien lavere, og økningen tilbake regnes av den lavere verdien. Vi bruker vekstfaktorer og finner den som får verdien tilbake.

Metode: For hånd

1. Finn vekstfaktoren for nedgangen Når en verdi går ned med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {p = 23}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{V_1} = 1 - 0{,}23 = \textcolor{red}{0{,}77} \]

2. Finn vekstfaktoren tilbake Vi kaller vekstfaktoren for økningen \( \textcolor{blue}{V_2}\text{.} \) Etter begge endringene skal aksjen ha samme verdi som før, så produktet av vekstfaktorene er 1: \[ \textcolor{red}{0{,}77} \cdot \textcolor{blue}{V_2} = 1 \]

Vi deler med \( \textcolor{red}{0{,}77} \) på begge sider: \[ \textcolor{blue}{V_2} = \dfrac{1}{\textcolor{red}{0{,}77}} \approx 1{,}2987 = 1 + 0{,}2987 \]Det er en økning på omtrent \( 29{,}9\,\%\text{,} \) altså mer enn de \( 23\,\% \) verdien gikk ned.

Kontroll: En aksje til 100 kroner faller til 77 kroner, og \( {77 \cdot 1{,}2987 \approx 100}\text{.} \)

Oppgave 6

4 poeng

enheter,
prosent

Breddegrader angir hvor langt nord eller sør et sted ligger i forhold til ekvator.

Ekvator ligger på

0^\circ

bredde. Nordpolen ligger på

90^\circ

nordlig bredde, og Sydpolen ligger på

90^\circ

sørlig bredde. Det er altså

180^\circ

mellom Nord- og Sydpolen.

En breddegrad er delt inn i 60 bueminutter. Avstanden mellom hvert bueminutt tilsvarer omtrent en nautisk mil. En nautisk mil er 1852 meter.

Oppgave 6a)

Vis at avstanden mellom hver breddegrad er omtrent

111{,}12

kilometer.

Vis løsning

Svar

Siden

{60 \cdot 1852\,\text{m} = 111\,120\,\text{m}}\text{,}

er avstanden mellom hver breddegrad omtrent:

\underline{\underline{111{,}12\,\text{km}}}

En breddegrad er 60 bueminutter, og hvert bueminutt er omtrent én nautisk mil. Vi ganger derfor 60 med 1852 meter og gjør om til kilometer.

Metode: For hånd

1. Gang bueminuttene med en nautisk mil Hvert av de \( \textcolor{blue}{60} \) bueminuttene er omtrent \( \textcolor{red}{1852} \) meter: \[ \textcolor{blue}{60} \cdot \textcolor{red}{1852}\,\text{m} = 111\,120\,\text{m} \]

2. Gjør om til kilometer Kilo betyr 1000, så \( {1\,\text{km} = 1000\,\text{m}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Vi deler med 1000: \[ \begin{aligned} 111\,120\,\text{m} &= \dfrac{111\,120}{1000}\,\text{km} \\ 111\,120\,\text{m} &= 111{,}12\,\text{km} \end{aligned} \]

Oppgave 6b)

Bruk svaret fra oppgave a) til å bestemme en tilnærmet verdi for omkretsen av jorden.

Vis løsning

Svar

Omkretsen er

40\,003{,}2

km, altså omtrent:

\underline{\underline{40\,000\,\text{km}}}

Avstanden per breddegrad, \( 111{,}12 \) km, står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Fra Nordpolen til Sydpolen er det \( 180^\circ\text{,} \) og det er halve veien rundt jorden. Vi ganger derfor gradene rundt hele jorden med avstanden per grad.

Metode: For hånd

1. Gang gradene med avstanden per grad En hel runde rundt jorden over begge polene er \( {2 \cdot 180^\circ = \textcolor{red}{360^\circ}}\text{,} \) og hver grad er \( \textcolor{blue}{111{,}12} \) km: \[ O \approx \textcolor{red}{360} \cdot \textcolor{blue}{111{,}12}\,\text{km} = 40\,003{,}2\,\text{km} \]Omkretsen av jorden er altså omtrent 40 000 km.

Oslo ligger på breddegrad

59{,}9^\circ\text{,}

og Trondheim ligger på breddegrad

63{,}4^\circ\text{.}

De to byene ligger omtrent på samme lengdegrad.

Oppgave 6c)

Hvor stor prosentandel utgjør avstanden mellom Oslo og Trondheim av hele omkretsen av jorden?

Vis løsning

Svar

Avrundet til to desimaler utgjør avstanden:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 0{,}97\,\%}}

Vi bruker avstanden per breddegrad fra a) og omkretsen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Byene ligger på samme lengdegrad, så avstanden mellom dem går rett nordover langs lengdegraden. Den er forskjellen i breddegrad ganger avstanden per grad.

Metode: For hånd

1. Finn avstanden mellom byene Forskjellen i breddegrad er: \[ 63{,}4^\circ - 59{,}9^\circ = \textcolor{red}{3{,}5^\circ} \]

Hver grad er \( \textcolor{blue}{111{,}12} \) km, så avstanden er: \[ \textcolor{red}{3{,}5} \cdot \textcolor{blue}{111{,}12}\,\text{km} = \textcolor{green}{388{,}92}\,\text{km} \]

2. Del på omkretsen Hvor mange prosent en del er av det hele, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{green}{\text{del}}}{\text{hel}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

I b) fant vi omkretsen \( 40\,003{,}2 \) km: \[ \dfrac{\textcolor{green}{388{,}92}}{40\,003{,}2} \cdot 100\,\% \approx 0{,}97\,\% \]Det er det samme som \( {\dfrac{3{,}5}{360} \cdot 100\,\%}\text{,} \) fordi både avstanden og omkretsen er antall grader ganger 111,12 km.

Oppgave 7

6 poeng

formler,
funksjoner,
optimering

Selma og Sofie vil lage et blomsterbed med gjerde rundt. Blomsterbedet skal ha form som et rektangel med en halvsirkel i enden. Se skissen nedenfor.

Formler for omkrets og areal av en sirkel

\begin{aligned} O &= 2 \cdot \pi \cdot r \\ A &= \pi \cdot r^2 \end{aligned}

Oppgave 7a)

Forklar at omkretsen

O

av blomsterbedet kan skrives som

O = 2 \cdot y + x + \dfrac{\pi \cdot x}{2}

Vis løsning

Svar

Gjerdet er to sider

y\text{,}

én side

x

og en halvsirkel med diameter

x\text{:}

\underline{\underline{O = 2 \cdot y + x + \dfrac{\pi \cdot x}{2}}}

Gjerdet går rundt hele bedet: langs to lange sider, én kort side og halvsirkelen. Vi legger sammen lengdene.

Metode: For hånd

1. Se hva x og y er Skissen har ingen mål, men formelen viser at \( \textcolor{red}{y} \) er de to lange sidene og \( \textcolor{blue}{x} \) den korte siden. Den korte siden er like lang som diameteren i halvsirkelen:

2. Legg sammen sidene og halvsirkelen Omkretsen er summen av alle sidene, som i videoen Areal og Omkrets. Rektangelet gir to sider \( \textcolor{red}{y} \) og én side \( \textcolor{blue}{x}\text{.} \) Den fjerde siden ligger inni bedet, der halvsirkelen begynner, så den har ikke gjerde: \[ \textcolor{red}{y} + \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} \]

Halvsirkelen er halve omkretsen av en sirkel med radius \( {r = \dfrac{x}{2}}\text{.} \) Med \( {O = 2 \cdot \pi \cdot r} \) fra oppgaven blir den: \[ \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \dfrac{x}{2} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} + \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]

Jentene har kjøpt inn materialer slik at de kan lage et gjerde som er 12 meter.

Selma foreslår at

x

skal være 1 meter.

Oppgave 7b)

Vis at

y

da må være ca.

4{,}7

meter.

Vis løsning

Svar

Med

{x = 1}

{y \approx 4{,}7146}\text{,}

altså:

\underline{\underline{y \approx 4{,}7\,\text{m}}}

Formelen for omkretsen står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Gjerdet er 12 meter, så omkretsen er 12. Vi setter inn \( {x = 1} \) i formelen og løser for \( y\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Sett inn i formelen Med \( {O = 12} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) gir formelen fra a): \[ 2 \cdot y + \textcolor{blue}{1} + \dfrac{\pi \cdot \textcolor{blue}{1}}{2} = 12 \]

2. Løs for y Vi trekker fra \( 1 \) og \( \dfrac{\pi}{2} \) på begge sider, og deler så med 2: \[ \begin{aligned} 2y &= 11 - \dfrac{\pi}{2} \approx 9{,}4292 \\ y &\approx \dfrac{9{,}4292}{2} \approx 4{,}7146 \end{aligned} \]Avrundet til én desimal er \( {y \approx 4{,}7} \) meter.

Oppgave 7c)

Hvor stort blir arealet av blomsterbedet dersom

{x = 1}

{y = 4{,}7}\text{?}

Vis løsning

Svar

Avrundet til to desimaler er arealet:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 5{,}09\,\text{m}^2}}

Bedet er et rektangel og en halvsirkel. Vi finner arealet av hver del og legger sammen.

Metode: For hånd

1. Finn arealet av rektangelet Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{red}{A_1} = 4{,}7\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = \textcolor{red}{4{,}7}\,\text{m}^2 \]

2. Finn arealet av halvsirkelen Halvsirkelen har diameter 1 m, altså radius \( {r = 0{,}5\,\text{m}}\text{.} \) Med \( {A = \pi \cdot r^2} \) fra oppgaven er en halv sirkel: \[ \textcolor{green}{A_2} = \dfrac{\pi \cdot (0{,}5\,\text{m})^2}{2} \approx \textcolor{green}{0{,}3927}\,\text{m}^2 \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{red}{A_1} + \textcolor{green}{A_2} \\ A &\approx \textcolor{red}{4{,}7} + \textcolor{green}{0{,}3927} \approx 5{,}09\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Sofie vil lage en systematisk oversikt som viser arealet av ulike blomsterbed de kan lage når gjerdet skal være 12 meter.

Oppgave 7d)

Lag en slik oversikt for Sofie.

Vis løsning

Svar

Arealet

A

i m² for

x

y

i meter, avrundet til to desimaler:

\begin{array}{r|r|r} x & y & A \\ \hline 0{,}5 & 5{,}36 & \underline{\underline{2{,}78}} \\ 1 & 4{,}71 & \underline{\underline{5{,}11}} \\ 1{,}5 & 4{,}07 & \underline{\underline{6{,}99}} \\ 2 & 3{,}43 & \underline{\underline{8{,}43}} \\ 2{,}5 & 2{,}79 & \underline{\underline{9{,}42}} \\ 3 & 2{,}14 & \underline{\underline{9{,}97}} \\ 3{,}5 & 1{,}50 & \underline{\underline{10{,}06}} \\ 4 & 0{,}86 & \underline{\underline{9{,}72}} \\ 4{,}5 & 0{,}22 & \underline{\underline{8{,}92}} \end{array}

Vi bruker formelen for omkretsen fra a) og regner ut arealet som i c).

Gjerdet er alltid 12 meter, så når vi velger \( x\text{,} \) er \( y \) bestemt. Vi lager en tabell med ulike verdier av \( x\text{,} \) og regner ut \( y \) og arealet for hver av dem.

Metode: For hånd

1. Skriv y og arealet med x Med \( {O = 12} \) i formelen fra a) får vi: \[ \begin{aligned} 2y &= 12 - x - \dfrac{\pi x}{2} \\ \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4} \end{aligned} \]Lengden \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv, og det er den når \( x \) er mindre enn omtrent \( 4{,}67\text{.} \)

Arealet er rektangelet, lengde ganger bredde som i videoen Areal og Omkrets, pluss halvsirkelen med radius \( \dfrac{x}{2}\text{:} \) \[ A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi}{2} \cdot \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8} \]

2. Regn ut radene i tabellen For \( {x = 1} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\pi}{4} \approx \textcolor{red}{4{,}7146} \\ A &\approx 1 \cdot \textcolor{red}{4{,}7146} + \dfrac{\pi}{8} \approx 5{,}11 \end{aligned} \]Slik regner vi ut \( y \) og \( A \) for \( x \) fra 0,5 til 4,5 meter, med et halvt meters mellomrom. Tabellen står i svaret. Arealet er størst når \( x \) er mellom 3 og 4 meter. Andre valg av \( x \) gir også en riktig oversikt.

Merk – Avrunding: For \( {x = 1} \) er arealet her \( 5{,}11\,\text{m}^2\text{,} \) mens c) ga \( 5{,}09\,\text{m}^2\text{.} \) I c) var \( y \) avrundet til 4,7 m.

Selma lurer på om de kan tegne en graf som de kan bruke for å finne den verdien av

x

som vil gi størst mulig areal når gjerdet skal være 12 meter. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk hun kan bruke.

Oppgave 7e)

Sett opp et funksjonsuttrykk for Selma. Tegn grafen og bestem det størst mulige arealet.

Vis løsning

Svar

Arealet er størst når

{x \approx 3{,}4}

m. Med arealet avrundet til to desimaler:

\begin{aligned} &\underline{\underline{A(x) = 6x - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8}\right) x^2}} \\ &\underline{\underline{A_{\text{maks}} \approx 10{,}08\,\text{m}^2}} \end{aligned}

Vi bruker uttrykkene for \( y \) og arealet fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter uttrykket for \( y \) inn i arealet, så arealet bare avhenger av \( x\text{.} \) Så tegner vi grafen og finner toppunktet.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp funksjonsuttrykket I d) fant vi \( {\textcolor{red}{y} = 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}} \) og \( {A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8}}\text{.} \) Setter vi inn \( \textcolor{red}{y}\text{,} \) får vi arealet som en funksjon av \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(x) &= x\textcolor{red}{\left(6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}\right)} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{\pi x^2}{4} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8}\right) x^2 \end{aligned} \]Her er \( x \) mellom 0 og omtrent \( 4{,}67\text{,} \) fordi \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv.

2. Tegn grafen Vi tegner punktene fra tabellen i d) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Grafen stiger til et toppunkt mellom \( {x = 3} \) og \( {x = 4}\text{,} \) og synker så.

3. Finn toppunktet med en finere tabell Vi regner ut \( A(x) \) rundt toppunktet, med tre desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & A(x) \\ \hline 3{,}2 & 10{,}059 \\ 3{,}3 & 10{,}079 \\ \textcolor{blue}{3{,}4} & \textcolor{blue}{10{,}080} \\ 3{,}5 & 10{,}064 \end{array} \]Det største arealet er omtrent \( \textcolor{blue}{10{,}08}\,\text{m}^2\text{,} \) når \( x \) er omtrent 3,4 meter.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn toppunktet med Maks Vi skriver inn arealfunksjonen med definisjonsmengden og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = x (12 - x - pi x / 2) / 2 + pi x^2 / 8, 0 < x < 4.67 T = Maks(A, 0, 4.67)

Toppunktet er \( {T \approx (3{,}3606,\ 10{,}0818)}\text{.} \) Det størst mulige arealet er omtrent \( 10{,}08\,\text{m}^2\text{,} \) når \( {x \approx 3{,}36} \) m.

Ferdig med settet? Se de andre 1P-eksamenene