1T eksamen høsten 2025

Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer. Så ser vi i et fortegnsskjema hvor uttrykket er negativt.

1. Finn nullpunktene med abc-formelen 0:19 Vi setter uttrykket lik \( 0\text{:} \) \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{4}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-5})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{-4 \pm 6}{2} \end{aligned} \]

Det gir nullpunktene: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-4 + 6}{2} = \textcolor{darkorange}{1} \\ x_2 &= \dfrac{-4 - 6}{2} = \textcolor{magenta}{-5} \end{aligned} \]

2. Lag et fortegnsskjema 2:40 Med nullpunktene kan vi faktorisere uttrykket, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - \textcolor{darkorange}{x_1})(x - \textcolor{magenta}{x_2}) \]

Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{x_1} = \textcolor{darkorange}{1}} \) og \( {\textcolor{magenta}{x_2} = \textcolor{magenta}{-5}}\text{.} \) Vi kaller venstre side \( P(x)\text{,} \) så ulikheten blir: \[ P(x) = (\textcolor{darkorange}{x - 1})(\textcolor{magenta}{x + 5}) < 0 \]

Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{x - 1}} \) skifter fortegn i \( {x = 1}\text{,} \) og \( {\textcolor{magenta}{x + 5}} \) i \( {x = -5}\text{.} \) Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: \[ \begin{array}{r|ccccc} x & & -5 & & 1 & \\ \hline \textcolor{darkorange}{x - 1} & - & - & - & 0 & + \\ \textcolor{magenta}{x + 5} & - & 0 & + & + & + \\ \hline P(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \]

Produktet er negativt mellom nullpunktene. Ulikheten har \( {<}\text{,} \) så nullpunktene er ikke med: \[ -5 < x < 1 \]

Dette er en tredjegradsfunksjon. Vi prøver oss fram til ett nullpunkt, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.

1. Prøv små heltall 0:00 Nullpunktene er der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Dette er del 1, så ett av nullpunktene er nok et lite heltall. Vi prøver \( {x = 1}\text{:} \) \[ f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0 \]

Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ f(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{f(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {f(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon 1:38 Vi deler \( f(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -4x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-5x^2 + x^2 = -4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-8x} \) og \( 12\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-4x} \\ \textcolor{magenta}{-4x} \cdot (x - 1) &= -4x^2 + 4x \\ -(-4x^2 + 4x) &= \textcolor{magenta}{4x^2 - 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & -12x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( {-4x^2} \) strykes mot \( 4x^2\text{,} \) \( {-8x - 4x = -12x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 12\text{.} \) Linja \( {-12x + 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-12x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-12x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-12} \\ \textcolor{blue}{-12} \cdot (x - 1) &= -12x + 12 \\ -(-12x + 12) &= \textcolor{blue}{12x - 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \textcolor{blue}{{}- 12} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-12x}} & {}+ 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{12x}} & \textcolor{blue}{{}- 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-12x} \) strykes mot \( 12x\text{,} \) og \( {12 - 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 5x^2 - 8x + 12 \\ &= (x - 1)(x^2 - 4x - 12) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen 5:04 Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 1} \) gir \( {x = 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 4x - 12 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-12}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-4}) = 4}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{12}{2} = 6} \) eller \( {x = \dfrac{-4}{2} = -2}\text{.} \)

Vi tar påstandene én for én. Alle handler om telleren \( {\textcolor{blue}{2x + 6}} \) eller nevneren \( {\textcolor{red}{x^2 + 4}}\text{,} \) så vi ser hva som skjer med dem.

1. Avgjør påstand 1 0:09 Nullpunktene finner vi ved å sette \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0 \) og nevneren ikke er det: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{2x + 6}}{\textcolor{red}{x^2 + 4}} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \textcolor{blue}{2x + 6} = 0 \]

Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2x &= -6 \\ x &= -3 \end{aligned} \]Der er nevneren \( {(-3)^2 + 4 = 13}\text{,} \) så \( {x = -3} \) er det eneste nullpunktet. Påstand 1 er riktig.

2. Avgjør påstand 2 2:00 En vertikal asymptote kan vi bare få der nevneren er \( 0\text{.} \) Et tall i annen er aldri negativt, så: \[ \textcolor{red}{x^2 + 4} \ge 0 + 4 = 4 \]Nevneren blir altså aldri \( 0\text{,} \) og grafen har ingen vertikale asymptoter. Påstand 2 er riktig.

3. Avgjør påstand 3 3:18 Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{2 \cdot 0 + 6}{0^2 + 4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \]Grafen skjærer \( y \)-aksen i \( {\left(0, \dfrac{3}{2}\right)}\text{,} \) så påstand 3 er feil.

4. Avgjør påstand 4 4:34 Når telleren har lavere grad enn nevneren, er den horisontale asymptoten \( {y = 0}\text{.} \) Her har telleren \( {\textcolor{blue}{2x + 6}} \) grad 1, og nevneren \( {\textcolor{red}{x^2 + 4}} \) har grad 2: \[ \text{grad } \textcolor{blue}{1} < \text{grad } \textcolor{red}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 0 \]Når \( x \) blir stor, positiv eller negativ, vokser nevneren mye raskere enn telleren, så brøken går mot \( 0\text{.} \) Asymptoten er \( {y = 0}\text{,} \) ikke \( {y = 2}\text{,} \) så påstand 4 er feil.

Vi ser først hvilke uttrykk som er like. Så setter vi opp en likning for beløpet Oskar vant, og ser hvilke uttrykk som passer.

1. Se hvilke uttrykk som er like 0:17 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Derfor er uttrykk 4 og 5 like, og uttrykk 2 og 6 like: \[ \begin{aligned} 250\,000 \cdot \textcolor{darkorange}{0{,}955^{-5}} &= \dfrac{250\,000}{\textcolor{darkorange}{0{,}955^5}} \\ 250\,000 \cdot \textcolor{blue}{1{,}045^{-5}} &= \dfrac{250\,000}{\textcolor{blue}{1{,}045^5}} \end{aligned} \]

2. Sett opp en likning 1:21 En rente på 4,5 % gir vekstfaktoren: \[ 1 + 0{,}045 = \textcolor{blue}{1{,}045} \]

Hvert år ganges beløpet med \( \textcolor{blue}{1{,}045}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Kaller vi gevinsten \( \textcolor{red}{V}\text{,} \) har den etter fem år vokst til: \[ \textcolor{red}{V} \cdot \textcolor{blue}{1{,}045}^5 = 250\,000 \]

3. Løs for gevinsten 4:41 Vi deler begge sider på \( \textcolor{blue}{1{,}045}^5\text{:} \) \[ \textcolor{red}{V} = \dfrac{250\,000}{\textcolor{blue}{1{,}045}^5} \]Det er uttrykk 2, og fra steg 1 vet vi at uttrykk 6 er det samme.

De andre passer ikke. Uttrykk 3 regner fem år fram i tid, og \( 0{,}955 \) i uttrykk 1, 4 og 5 er vekstfaktoren for en nedgang på 4,5 %.

Vi tenker som datamaskinen og går gjennom programmet linje for linje. Så ser vi hvordan figurene vokser, og kobler det til differansen i programmet.

1. Følg programmet linje for linje 2:09 Linje 1 og 2 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 1} \) og \( {\textcolor{red}{\texttt{differanse}} = 4}\text{.} \) Så lenge \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} \le 60}\text{,} \) skriver linje 5 ut tallet, linje 6 legger differansen til tallet, og linje 7 legger 3 til differansen.

I første runde skrives 1 ut, \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) blir \( {1 + 4 = 5}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) blir \( {4 + 3 = 7}\text{.} \) Vi fører hver runde i en tabell: \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Skrives ut} & \textcolor{blue}{\texttt{tall}} & \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \\ \hline 1 & 5 & 7 \\ 5 & 12 & 10 \\ 12 & 22 & 13 \\ 22 & 35 & 16 \\ 35 & 51 & 19 \\ 51 & 70 & 22 \end{array} \]Nå er \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 70}\text{,} \) som er større enn 60, så løkka stopper før 70 blir skrevet ut.

2. Gjør rede for sammenhengen 5:49 Figurene viser femkanttallene 1, 5, 12 og 22, de samme tallene som programmet skriver ut. Hver figur er den forrige med et nytt skall av kuler utenpå: \[ 1 \xrightarrow{+\textcolor{red}{4}} 5 \xrightarrow{+\textcolor{red}{7}} 12 \xrightarrow{+\textcolor{red}{10}} 22 \]

Hvert skall har 3 kuler mer enn det forrige: \[ \textcolor{red}{4} \xrightarrow{+3} \textcolor{red}{7} \xrightarrow{+3} \textcolor{red}{10} \]Det nye skallet dekker tre av sidene i femkanten, og hver av dem blir én kule lengre.

Det er sammenhengen Siri har oppdaget. \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) er femkanttallet, og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) er antall kuler i neste skall. Den starter på 4 og øker med 3 for hver figur, og derfor legger linje 7 til 3.

Vi har tre ukjente, så vi setter opp tre likninger. Så skriver vi alle tre aldrene med Abids alder og løser.

1. Sett opp tre likninger 0:12 Vi kaller alderen til Abid \( \textcolor{blue}{A}\text{,} \) til Therese \( \textcolor{red}{T} \) og til Harald \( \textcolor{green}{H}\text{.} \) Opplysningene gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{T} + \textcolor{green}{H} &= 68 \\ \textcolor{red}{T} &= \textcolor{blue}{A} + 17 \\ \textcolor{blue}{A} + 3 &= 2(\textcolor{green}{H} + 3) \end{aligned} \]Om tre år er både Abid og Harald tre år eldre, derfor står \( {+3} \) på begge sider i den siste likningen.

2. Skriv H med A 1:44 Vi ganger ut parentesen i den siste likningen og løser for \( \textcolor{green}{H}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + 3 &= 2\textcolor{green}{H} + 6 \\ \textcolor{blue}{A} - 3 &= 2\textcolor{green}{H} \\ \textcolor{green}{H} &= \dfrac{\textcolor{blue}{A} - 3}{2} \end{aligned} \]

3. Sett inn i den første likningen 2:56 Vi setter \( {\textcolor{red}{T} = \textcolor{red}{A + 17}} \) og \( {\textcolor{green}{H} = \textcolor{green}{\dfrac{A - 3}{2}}} \) inn i den første likningen, som i videoen Oppgave 14B (Nullpunktsetningen + Likningssett). Da står bare \( A \) igjen: \[ \textcolor{blue}{A} + (\textcolor{red}{A + 17}) + \textcolor{green}{\dfrac{A - 3}{2}} = 68 \]

Vi slår sammen \( {A + A = 2A}\text{,} \) trekker fra 17 på begge sider og ganger så alle ledd med 2: \[ \begin{aligned} 2A + \dfrac{A - 3}{2} &= 51 \\ 4A + A - 3 &= 102 \\ 5A &= 105 \\ A &= 21 \end{aligned} \]

4. Finn alderen til Therese og Harald 5:45 Vi setter \( {A = 21} \) inn i uttrykkene for \( \textcolor{red}{T} \) og \( \textcolor{green}{H}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= 21 + 17 = 38 \\ \textcolor{green}{H} &= \dfrac{21 - 3}{2} = 9 \end{aligned} \]

Kontroll: \( {21 + 38 + 9 = 68}\text{,} \) og om tre år er Abid 24 og Harald 12, så Abid er dobbelt så gammel.