Eksamensoppgaver etter tema

Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer. Så ser vi i et fortegnsskjema hvor uttrykket er negativt eller \( 0\text{.} \)

1. Finn nullpunktene med abc-formelen Vi setter uttrykket lik \( 0\text{:} \) \[ x^2 + 7x + 6 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-7 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir nullpunktene: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-7 + 5}{2} = \textcolor{darkorange}{-1} \\ x_2 &= \dfrac{-7 - 5}{2} = \textcolor{magenta}{-6} \end{aligned} \]

2. Faktoriser uttrykket Med nullpunktene kan vi faktorisere uttrykket, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - \textcolor{darkorange}{x_1})(x - \textcolor{magenta}{x_2}) \]

Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{x_1} = \textcolor{darkorange}{-1}} \) og \( {\textcolor{magenta}{x_2} = \textcolor{magenta}{-6}}\text{.} \) Vi kaller venstre side \( P(x)\text{,} \) så ulikheten blir: \[ P(x) = (\textcolor{darkorange}{x + 1})(\textcolor{magenta}{x + 6}) \le 0 \]

3. Sett opp et fortegnsskjema Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{x + 1}} \) skifter fortegn i \( {x = -1}\text{,} \) og \( {\textcolor{magenta}{x + 6}} \) i \( {x = -6}\text{.} \) Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-6, -1], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 6}", "expr": "x + 6"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x + 1)(x + 6)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

Produktet er negativt mellom nullpunktene og \( 0 \) i dem. Ulikheten har \( {\le}\text{,} \) så nullpunktene er med: \[ -6 \le x \le -1 \]

Dette er en tredjegradslikning. Vi prøver oss fram til én løsning, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.

1. Prøv små heltall Vi kaller venstre side \( P(x)\text{.} \) Dette er del 1, så en av løsningene er nok et lite heltall. Vi prøver oss fram, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} P(1) &= 2 + 3 - 18 + 8 = -5 \\ P(2) &= 16 + 12 - 36 + 8 = 0 \end{aligned} \]

Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ P(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{P(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 2} \) går divisjonen \( {P(x) : (x - 2)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 2)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 2) &= 2x^3 - 4x^2 \\ -(2x^3 - 4x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 4x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & 7x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + 4x^2 = 7x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-18x} \) og \( 8\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{7x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{7x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{7x} \\ \textcolor{magenta}{7x} \cdot (x - 2) &= 7x^2 - 14x \\ -(7x^2 - 14x) &= \textcolor{magenta}{-7x^2 + 14x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 18x & {}+ 8 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 8 \end{array} \end{array} \]\( 7x^2 \) strykes mot \( {-7x^2}\text{,} \) \( {-18x + 14x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 8\text{.} \) Linja \( {-4x + 8} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 2) &= -4x + 8 \\ -(-4x + 8) &= \textcolor{blue}{4x - 8} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 18x & {}+ 8 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 8 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 8} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {8 - 8 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 \\ &= (x - 2)(2x^2 + 7x - 4) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 2} \) gir \( {x = 2}\text{,} \) og \( {2x^2 + 7x - 4 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ x &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} = \dfrac{-7 \pm 9}{4} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}} \) eller \( {x = \dfrac{-16}{4} = -4}\text{.} \)

En identitet stemmer for alle \( x\text{.} \) Vi ganger ut venstre side og krever at tallene foran \( x^2\text{,} \) foran \( x \) og konstantleddene er like på begge sider.

1. Gang ut venstre side Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Ganger vi med \( a\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} a(x + b)^2 &= a(x^2 + 2bx + b^2) \\ a(x + b)^2 &= \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{2ab}x + \textcolor{green}{ab^2} \end{aligned} \]

2. Sammenlign leddene Skal likningen stemme for alle \( x\text{,} \) må leddene med \( x^2\text{,} \) leddene med \( x \) og konstantleddene være like på hver side, som når vi faktoriserer baklengs i videoen Kvadratsetningene: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{2ab}x + \textcolor{green}{ab^2} = \textcolor{blue}{1}x^2 + \textcolor{red}{8}x + \textcolor{green}{c} \]

Det gir tre likninger, som vi løser ovenfra og ned: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{2 \cdot 1 \cdot b} &= \textcolor{red}{8}, \quad \text{så } b = 4 \\ \textcolor{green}{c} &= \textcolor{green}{1 \cdot 4^2} = 16 \end{aligned} \]

Kontroll: Første kvadratsetning gir \( {(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16}\text{.} \)

Tangens til vinkel \( A \) er motstående katet delt på hosliggende katet. Når den er \( 1\text{,} \) er de to katetene like lange.

1. Skriv opp tangens til vinkel A Vinkel \( B \) er \( 90^\circ\text{,} \) så \( AB \) og \( BC \) er katetene, og \( AC \) er hypotenusen. Definisjonen av tangens forteller oss at: \[ \tan A = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hosliggende katet}}} = \dfrac{\textcolor{red}{BC}}{\textcolor{blue}{AB}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Siden \( {\tan A = 1}\text{,} \) er: \[ \dfrac{\textcolor{red}{BC}}{\textcolor{blue}{AB}} = 1 \quad \text{så} \quad \textcolor{red}{BC} = \textcolor{blue}{AB} \]

2. Finn vinklene og tegn trekanten Katetene er like lange, så trekanten er likebeint, og vinkel \( A \) og vinkel \( C \) er like store, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Vinkelsummen i en trekant er \( 180^\circ\text{:} \) \[ A = C = \dfrac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ \]

Trekanten er altså et halvt kvadrat, delt langs diagonalen \( AC\text{.} \) Opplysningene sier ingenting om størrelsen, så alle slike trekanter passer.