Eksamensoppgaver etter tema

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = -2}\text{.} \) Den er kontinuerlig der bare hvis de to uttrykkene gir samme verdi i \( {x = -2}\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = -2} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn i begge uttrykkene Det første uttrykket, \( {2x - 2}\text{,} \) gjelder for \( {x \le -2}\text{,} \) så det gir både \( {f(-2)} \) og grensen fra venstre: \[ \textcolor{blue}{2 \cdot (-2) - 2} = \textcolor{blue}{-6} \]

Fra høyre gjelder \( {2x^3 + 2x^2 - 4x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2)} \\ &= -16 + 8 + 8 = \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]

Uttrykkene gir \( {\textcolor{blue}{-6}} \) og \( \textcolor{red}{0}\text{,} \) så grafen hopper i \( {x = -2}\text{.} \) Funksjonen er altså ikke kontinuerlig der.

I \( {x = k} \) skifter funksjonen fra \( {2x^3 + 2x^2 - 4x} \) til \( 4\text{.} \) De to uttrykkene må gi samme verdi der, og det gir en tredjegradslikning for \( k\text{.} \)

1. Sett uttrykkene like i skjøten Der funksjonen skifter uttrykk, er den kontinuerlig når uttrykkene på hver side gir samme verdi, som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon. For \( {x \ge k} \) er \( {f(k) = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) og fra venstre gjelder \( {\textcolor{red}{2x^3 + 2x^2 - 4x}}\text{.} \) Vi samler alt på én side og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2k^3 + 2k^2 - 4k} &= \textcolor{blue}{4} \\ 2k^3 + 2k^2 - 4k - 4 &= 0 \\ k^3 + k^2 - 2k - 2 &= 0 \end{aligned} \]

2. Faktoriser ved å gruppere leddene Vi setter \( \textcolor{darkorange}{k^2} \) utenfor parentes i de to første leddene og \( {\textcolor{darkorange}{-2}} \) i de to siste, som når vi setter en felles faktor utenfor i videoen Faktorisering steg for steg. Da står \( {\textcolor{green}{k + 1}} \) i begge parentesene, og den setter vi også utenfor: \[ \begin{aligned} &k^3 + k^2 - 2k - 2 \\ &= \textcolor{darkorange}{k^2}(\textcolor{green}{k + 1}) \textcolor{darkorange}{{}- 2}(\textcolor{green}{k + 1}) \\ &= (\textcolor{green}{k + 1})(k^2 - 2) \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{k + 1} = 0 \quad &\Rightarrow \quad k = -1 \\ k^2 - 2 = 0 \quad &\Rightarrow \quad k = \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Sjekk at k ligger i intervallet \( k \) må ligge i \( {\langle -2, \rightarrow \rangle}\text{.} \) Siden \( {1 < \sqrt{2} < 2}\text{,} \) ligger også \( {-\sqrt{2}} \) mellom \( {-2} \) og \( {-1}\text{:} \) \[ -2 < -\sqrt{2} < -1 < \sqrt{2} \]Alle tre verdiene er altså lov, og hver av dem gjør \( f \) kontinuerlig i \( {x = k}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi skriver det midterste uttrykket inn som en funksjon i CAS og løser \( {h(k) = 4} \) med Løs, som gir eksakte svar, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: h(x) := 2x^3 + 2x^2 - 4x Løs(h(k) = 4, k)

CAS gir \( {k = -\sqrt{2}}\text{,} \) \( {k = -1} \) og \( {k = \sqrt{2}}\text{.} \) Alle tre ligger i \( {\langle -2, \rightarrow \rangle}\text{.} \)

Sander tar 2 av de 18 dropsene uten å legge noen tilbake. Antallet gule han får, er derfor hypergeometrisk fordelt.

1. Sett opp modellen Det er \( {3 + 8 + 7 = 18} \) drops i posen. \( \textcolor{blue}{8} \) av dem er gule, og \( \textcolor{red}{10} \) er grønne eller røde. Vi kaller antallet gule Sander tar, for \( X\text{.} \) I videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 er sannsynligheten den samme hver gang, og da er fordelingen binomisk. Her kan det samme dropset ikke tas to ganger, så sannsynligheten endrer seg, og \( X \) er hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{8}}{k} \cdot \binom{\textcolor{red}{10}}{2 - k}}{\binom{18}{2}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de gule og \( {2 - k} \) av de andre på. Nevneren er antall måter å velge 2 av alle 18 på.

2. Regn ut for to gule To gule betyr \( {k = 2}\text{,} \) og da tar han ingen av de andre: \( {\binom{\textcolor{red}{10}}{0} = 1}\text{.} \) For hånd eller med knappen nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{blue}{8}}{2} &= \dfrac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \\ \binom{18}{2} &= \dfrac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 153 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ P(X = 2) = \dfrac{28 \cdot 1}{153} = \dfrac{28}{153} \approx 0{,}183 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver brøken inn i CAS med nCr og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: nCr(8, 2)/nCr(18, 2)

CAS gir \( {P(X = 2) \approx 0{,}183}\text{.} \)

Henny tar 3 av de 18 dropsene uten å legge noen tilbake. Vi teller utvalgene med ett drops av hver farge, og deler på alle måtene å ta 3 av 18 på.

1. Tell de gunstige utvalgene Ett av hver farge betyr ett av de \( \textcolor{green}{3} \) grønne, ett av de \( \textcolor{blue}{8} \) gule og ett av de \( \textcolor{red}{7} \) røde. Hvert valg kan kombineres med hvert av de andre: \[ \binom{\textcolor{green}{3}}{1} \cdot \binom{\textcolor{blue}{8}}{1} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{1} = \textcolor{green}{3} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{7} = 168 \]

2. Del på alle utvalgene Antall måter å velge 3 av de 18 dropsene på er: \[ \binom{18}{3} = \dfrac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 816 \]

Alle utvalgene er like sannsynlige, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{168}{816} = \dfrac{7}{34} \approx 0{,}206 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver brøken inn i CAS med nCr og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: (nCr(3, 1)*nCr(8, 1)*nCr(7, 1))/nCr(18, 3)

CAS gir \( {P \approx 0{,}2059}\text{.} \)

De tre tar ett drops hver fra hver sin pose, uavhengig av hverandre. Alle får samme farge hvis alle får grønn, alle gul eller alle rød, så vi regner ut de tre tilfellene og legger sammen.

1. Regn ut hvert tilfelle Dropsene er lagt tilbake, så hver pose har 18 drops. Hver av de tre får grønn med sannsynlighet \( \textcolor{green}{\dfrac{3}{18}}\text{,} \) gul med \( \textcolor{blue}{\dfrac{8}{18}} \) og rød med \( \textcolor{red}{\dfrac{7}{18}}\text{.} \) Trekkene er uavhengige, så vi ganger, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P(\text{alle grønne}) &= \left(\textcolor{green}{\dfrac{3}{18}}\right)^3 = \dfrac{27}{5832} \\ P(\text{alle gule}) &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{8}{18}}\right)^3 = \dfrac{512}{5832} \\ P(\text{alle røde}) &= \left(\textcolor{red}{\dfrac{7}{18}}\right)^3 = \dfrac{343}{5832} \end{aligned} \]

2. Legg sammen Tilfellene kan ikke skje samtidig, så vi legger sammen: \[ \begin{aligned} P &= \dfrac{27 + 512 + 343}{5832} = \dfrac{882}{5832} \\ P &= \dfrac{49}{324} \approx 0{,}151 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver summen inn i CAS og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: (3/18)^3 + (8/18)^3 + (7/18)^3

CAS gir \( {P \approx 0{,}1512}\text{.} \)

Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Det blir en andregradsfunksjon, og det største overskuddet ligger i toppunktet, der den deriverte er null.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er det elevbedriften får for produktene, minus det de koster, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \text{overskudd} = \textcolor{blue}{\text{inntekt}} - \textcolor{red}{\text{kostnader}} \]

Hver enhet gir 100 kroner, så \( x \) enheter gir inntekten \( \textcolor{blue}{100x}\text{.} \) Vi trekker fra hele \( \textcolor{red}{K(x)}\text{,} \) så minus gjelder alle leddene i den, og \( {100x - 60x = 40x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{100x} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{100x} \textcolor{red}{{}- 0{,}02x^2} \\ &\quad \textcolor{red}{{}- 60x - 12000} \\ &= -0{,}02x^2 + 40x - 12000 \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O'(x) = -0{,}04x + 40 \]

Vi setter \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}04x + 40 &= 0 \\ x &= \dfrac{40}{0{,}04} = 1000 \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-0{,}02 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.

3. Regn ut overskuddet Vi setter \( {x = 1000} \) inn i \( O(x)\text{.} \) Her er \( {-0{,}02 \cdot 1000^2 = -20\,000} \) og \( {40 \cdot 1000 = 40\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &O(1000) \\ &= -20\,000 + 40\,000 - 12\,000 \\ &= 8000 \end{aligned} \]Det største overskuddet er 8000 kroner, når elevbedriften lager og selger 1000 enheter.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( K \) og overskuddet \( O\text{,} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 0.02x^2 + 60x + 12000 O(x) = 100x - K(x) T = Ekstremalpunkt(O)

Toppunktet er \( {T = (1000,\ 8000)}\text{.} \) Det største overskuddet er 8000 kroner, med 1000 enheter.

Nå er antallet fast, 1000 enheter, og prisen er ukjent. Elevbedriften unngår underskudd når inntekten er minst like stor som kostnadene.

1. Regn ut de nye kostnadene De faste kostnadene er konstantleddet i \( K(x)\text{,} \) det som må betales uansett hvor mange enheter som lages. Det blir 8000 i stedet for 12 000: \[ K(x) = 0{,}02x^2 + 60x + \textcolor{darkorange}{8000} \]

Med 1000 enheter er \( {0{,}02 \cdot 1000^2 = 20\,000} \) og \( {60 \cdot 1000 = 60\,000}\text{,} \) så kostnadene er: \[ \begin{aligned} K(1000) &= 20\,000 + 60\,000 + \textcolor{darkorange}{8000} \\ K(1000) &= \textcolor{red}{88\,000} \end{aligned} \]

2. Finn den laveste prisen Med prisen \( p \) kroner per enhet er inntekten \( \textcolor{blue}{1000p}\text{.} \) Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det blir ikke underskudd når inntekten er minst like stor som kostnadene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1000p} &\ge \textcolor{red}{88\,000} \\ p &\ge 88 \end{aligned} \]Med 88 kroner per enhet er overskuddet akkurat 0.

1. Løs i CAS Vi skriver de nye kostnadene inn i CAS og løser likningen der inntekten er lik kostnadene:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 0.02x^2 + 60x + 8000 Løs(1000p = K(1000), p)

CAS gir \( {p = 88}\text{.} \) Med en lavere pris blir det underskudd.

Vi setter de to luktverdiene inn i formelen for \( I \) og ser hvor i tabellen svarene havner.

1. Sett inn de to luktverdiene \( C \) er luktverdien i \( \text{OU}/\text{m}^3\text{,} \) så vi setter \( {C = 500} \) og \( {C = 1400} \) inn i formelen, som i videoen Oppgave 3A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi bruker \( \lg \) på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} I(\textcolor{blue}{500}) &= 1{,}4 \cdot \lg(\textcolor{blue}{500}) - 0{,}3 \\ &\approx \textcolor{blue}{3{,}48} \\ I(\textcolor{red}{1400}) &= 1{,}4 \cdot \lg(\textcolor{red}{1400}) - 0{,}3 \\ &\approx \textcolor{red}{4{,}10} \end{aligned} \]

2. Sammenlign med tabellen Jo større \( C \) er, jo større er \( \lg(C)\text{,} \) så alle prøvene har en luktintensitet mellom \( \textcolor{blue}{3{,}48} \) og \( \textcolor{red}{4{,}10}\text{.} \) Det er «plagsom lukt, bør begrenses», og for de høyeste luktverdiene «plagsomt, tiltak kreves». Beboerne har derfor grunnlag for å klage.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( I(C) \) i CAS og regner ut verdiene med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(C) := 1.4*lg(C) - 0.3 I(500) I(1400)

CAS gir \( {I(500) \approx 3{,}4786} \) og \( {I(1400) \approx 4{,}1046}\text{.} \) Begge er over 3 i tabellen, så beboerne har grunnlag for å klage.

I tabellen er luktintensiteten akseptabel opp til 2. Vi løser ulikheten \( {I \le 2} \) for \( C\text{,} \) og fjerner \( \lg \) til slutt.

Merk – Tolkning: Under 1 er lukten uproblematisk, som er enda bedre enn akseptabel, så vi krever bare \( {I \le 2}\text{.} \) Leser vi «akseptabel» som akkurat 1 til 2, må også \( {C \ge 10^{\tfrac{13}{14}} \approx 8{,}5}\text{.} \) Eksamensveiledningen sier at sensorene skal være åpne for rimelige tolkninger.

1. Sett opp ulikheten Luktintensiteten må være høyst \( 2\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ 1{,}4 \cdot \textcolor{green}{\lg(C)} - 0{,}3 \le 2 \]

2. Løs ulikheten Vi legger til \( 0{,}3 \) og deler på \( 1{,}4\text{.} \) Det er et positivt tall, så tegnet snur ikke: \[ \begin{aligned} 1{,}4 \cdot \textcolor{green}{\lg(C)} &\le 2{,}3 \\ \textcolor{green}{\lg(C)} &\le \dfrac{2{,}3}{1{,}4} = \dfrac{23}{14} \end{aligned} \]

For å få \( C \) alene opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. \( 10^x \) er voksende, så tegnet snur ikke, og siden \( {10^{\textcolor{green}{\lg C}} = C}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, får vi: \[ C \le 10^{\tfrac{23}{14}} \approx 43{,}94 \]Luktverdien må altså være høyst omtrent \( 43{,}9\,\text{OU}/\text{m}^3\text{.} \)

1. Løs ulikheten i CAS Vi løser ulikheten \( {I(C) \le 2} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(C) := 1.4*lg(C) - 0.3 Løs(I(C) <= 2, C)

CAS gir \( {0 < C \le 43{,}9397}\text{.} \) Luktverdien må være høyst omtrent \( 43{,}9\,\text{OU}/\text{m}^3\text{.} \)

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hva som skjer med terningene i hver runde.

1. Les starten og løkkene Linje 4 og 5 starter med \( {\texttt{runder} = 0} \) og \( {\texttt{terninger} = 100}\text{.} \) Løkka i linje 6 går så lenge det er terninger igjen, som while-løkka i videoen Oppgave 4C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang den går, er én runde.

Løkka i linje 7 kaster én gang for hver terning Ola har når runden starter. \( \texttt{randint(1,6)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, altså et vanlig terningkast, slik kommentaren i linje 2 sier.

2. Les hva hvert kast gjør Viser terningen 6, legger linje 9 til \( \textcolor{green}{3} \) terninger. Terningen selv blir, så Ola får \( \textcolor{green}{3} \) terninger til. Viser den noe annet, trekker linje 11 fra \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) så den terningen er borte.

Linje 12 teller rundene. Når det ikke er flere terninger igjen, stopper løkka, og linje 14 skriver ut hvor mange runder spillet varte.

Vi bygger videre på programmet til Ola og reglene fra a).

Vi lar et program spille spillet mange ganger og regner ut gjennomsnittet av antall runder.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å gjøre et spill om til en funksjon, og på å forklare hva løkkene gjør.

1. Gjør spillet om til en funksjon Vi flytter linje 4 til 12 fra programmet til Ola inn i funksjonen \( \texttt{spill()} \) i linje 3 til 13. Den spiller ett spill og returnerer antall runder, som funksjonen i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her er hele programmet, med utskriften fra én kjøring:

2. Regn ut gjennomsnittet Løkka i linje 18 og 19 spiller \( \textcolor{red}{100\,000} \) spill og legger sammen antall runder i \( \textcolor{blue}{\texttt{sum\_runder}}\text{,} \) som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 21 deler summen på antall spill: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{alle rundene}}}{\textcolor{red}{\text{antall spill}}} \]Utskriften viser at et spill i gjennomsnitt varte omtrent \( 8{,}52 \) runder. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 8{,}5\text{.} \)

Vi ser at funksjonen består av tre ledd, og at roten er vanskelig å derivere slik den står. Vi skriver den derfor som en potens og deriverer ledd for ledd.

1. Skriv roten som en potens 0:15 En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Potenser og røtter.

Kvadratroten er andreroten, så \( {n = 2}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} + \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} + 2 \]

2. Deriver ledd for ledd 1:04 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = \textcolor{blue}{\underline{x^2}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{2} \cdot x^{\tfrac{1}{2} - 1} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}}}}\text{.} \)

\( 2 \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.

3. Skriv svaret med rot 1:42 Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}} \]

En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir \( {x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{x^{\tfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}}\text{.} \) Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så for \( {x > 0} \) er: \[ f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen. Så setter vi inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \)

1. Skriv opp kvotientregelen 0:19 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x - 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle 1:13 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - (\textcolor{red}{2x - 3}) \cdot \textcolor{blue}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren og skriver \( {(e^x)^2 = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x}\text{,} \) får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x}\bigl(2 - (2x - 3)\bigr)}{\textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x} \]

Vi forkorter \( \textcolor{darkorange}{e^x}\text{.} \) Minus foran parentesen gjelder begge leddene, så \( {-(2x - 3) = -2x + 3}\text{:} \) \[ g'(x) = \dfrac{2 - 2x + 3}{e^x} = \dfrac{5 - 2x}{e^x} \]

3. Regn ut de to verdiene 2:46 Vi setter inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(2) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 2}{e^2} = \dfrac{1}{e^2} \\ g'(3) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 3}{e^3} = -\dfrac{1}{e^3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( g'(2) \) og \( g'(3) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den deriverte er stigningstallet til grafen. Fortegnet til \( g'(2) \) og \( g'(3) \) forteller derfor om grafen stiger eller synker der.

1. Tolk fortegnene 3:37 I b) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(2)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{e^2}} > 0 \\ \textcolor{red}{g'(3)} &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{e^3}} < 0 \end{aligned} \]

Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen stiger altså i \( {\textcolor{blue}{x = 2}} \) og synker i \( {\textcolor{red}{x = 3}}\text{.} \)

Siden \( g \) er kontinuerlig og deriverbar, må grafen snu et sted mellom \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Der er \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og grafen har et toppunkt.

Vi ser at \( \lg x \) står både i andre potens og alene. Vi gir den et nytt navn, \( k\text{,} \) og får en andregradslikning.

1. Skriv om med en ny variabel 0:39 Det står \( (\lg x)^2\text{,} \) ikke \( \lg(x^2)\text{,} \) så det er hele \( \lg x \) som er opphøyd i andre. Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og flytter \( 8 \) over: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} &= 8 \\ \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} - 8 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs med abc-formelen 1:09 Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}k^2 + \textcolor{red}{b}k + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ k = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-2}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {k = 4} \) eller \( {k = -2}\text{.} \)

3. Finn x 3:19 Vi setter tilbake \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og opphøyer \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen av logaritmen er \( \lg x \) tallet vi må opphøye \( 10 \) i for å få \( x\text{,} \) så: \[ 10^{\lg x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^4 \quad &\Rightarrow \quad x = 10^4 \\ 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^{-2} \quad &\Rightarrow \quad x = 10^{-2} \end{aligned} \]Begge er positive, så begge er løsninger.

Her er det grunntallet \( a \) som er ukjent. Vi skriver om likningen med definisjonen av logaritmen og finner \( a\text{.} \)

1. Bruk definisjonen av logaritmen 0:13 Fra definisjonen av logaritmen vet vi at: \[ \log_{\textcolor{blue}{a}} \textcolor{red}{b} = \textcolor{green}{c} \quad \text{betyr at} \quad \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{c}} = \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Her er \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3}}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{-3}} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}} \]

2. Skriv om den negative eksponenten 1:00 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{a^3} &= \dfrac{1}{64} \\ a^3 &= 64 \end{aligned} \]

3. Prøv deg fram 1:20 Uten kalkulator prøver vi med hele tall. \( {3^3 = 27} \) er for lite, men: \[ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \]Altså er \( {a = 4}\text{,} \) som er et gyldig grunntall, siden \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{.} \)

Grensen finnes bare hvis brøken nærmer seg et tall. Vi ser derfor hva telleren og nevneren går mot hver for seg.

1. Sett inn i teller og nevner 0:10 Vi setter inn \( {x = -2} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Teller: }} & (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 2 = \textcolor{red}{14} \\ \textcolor{blue}{\text{Nevner: }} & (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Avgjør om grensen finnes 1:11 Telleren går mot \( \textcolor{red}{14}\text{,} \) mens nevneren går mot \( \textcolor{blue}{0}\text{.} \) Et tall som ikke er \( 0\text{,} \) delt på noe som går mot \( 0\text{,} \) blir større og større i tallverdi, som i videoen Dele på null: \[ \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} \to \pm\infty \]Brøken nærmer seg ikke noe tall, så grenseverdien eksisterer ikke.

Nevneren er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{.} \) Skal grensen finnes, må telleren også være \( 0 \) der, slik at vi får formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \)

1. Sett telleren lik null 0:00 Setter vi inn \( {x = -2}\text{,} \) blir nevneren \( {(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = 0}\text{.} \) Går telleren mot et tall som ikke er \( 0\text{,} \) eksisterer ikke grensen, som i a). Telleren må derfor også bli \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} (-2)^2 + a \cdot (-2) + 2 &= 0 \\ 6 - 2a &= 0 \\ a &= 3 \end{aligned} \]

2. Bruk L'Hôpitals regel 1:46 Med \( {a = 3} \) gir innsetting formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \) Da kan vi bruke L'Hôpitals regel. Den forteller oss at når vi får formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) er: \[ \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{g(x)}} = \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{f'(x)}}{\textcolor{blue}{g'(x)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hôpitals regel.

Her er \( {\textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{x^2 + 3x + 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{g(x)} = \textcolor{blue}{x^2 - 2x - 8}}\text{.} \) Deriverer vi telleren og nevneren hver for seg, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f'(x)} &= \textcolor{red}{2x + 3} \\ \textcolor{blue}{g'(x)} &= \textcolor{blue}{2x - 2} \end{aligned} \]

3. Sett inn og regn ut 3:21 Det nye uttrykket gir ikke lenger formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi setter inn \( {x = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{x^2 + 3x + 2}}{\textcolor{blue}{x^2 - 2x - 8}} &= \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{2x + 3}}{\textcolor{blue}{2x - 2}} \\ &= \dfrac{2 \cdot (-2) + 3}{2 \cdot (-2) - 2} \\ &= \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6} \end{aligned} \]

Alternativ metode: Faktoriser og forkort 2:05 Begge polynomene er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{,} \) så begge har \( {(x + 2)} \) som faktor: \[ \begin{aligned} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 8} &= \dfrac{(x + 1)\textcolor{darkorange}{(x + 2)}}{(x - 4)\textcolor{darkorange}{(x + 2)}} \\ &= \dfrac{x + 1}{x - 4} \end{aligned} \]Når \( {x \to -2}\text{,} \) går brøken mot \( {\dfrac{-2 + 1}{-2 - 4} = \dfrac{1}{6}}\text{,} \) som i videoen Grenseverdier. Metoden lønner seg når faktorene er lette å se.

Linjestykket \( AB \) er like langt som vektoren \( \overrightarrow{AB}\text{.} \) Vi finner vektoren og bruker Pythagoras.

1. Finn vektoren fra A til B 0:35 En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [x_B - x_A,\ y_B - y_A] \\ \overrightarrow{AB} &= [3 - (-2),\ 2 - 3] = [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{-1}] \end{aligned} \]

2. Bruk Pythagoras 1:25 Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} \\ AB &= \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \end{aligned} \]

Vi bruker vektoren \( {\overrightarrow{AB} = [5, -1]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner likningen \( {y = ax + b} \) for linja gjennom \( A \) og \( B\text{.} \) \( C \) ligger på \( x \)-aksen, så der er \( {y = 0}\text{.} \)

1. Finn stigningstallet 0:35 En rett linje har likningen: \[ y = \textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]der \( \textcolor{blue}{a} \) er stigningstallet og \( \textcolor{red}{b} \) er der linja skjærer \( y \)-aksen.

Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. I a) fant vi \( {\overrightarrow{AB} = [5, -1]}\text{:} \) når vi går \( 5 \) bortover, går linja \( 1 \) ned. Det gir: \[ \textcolor{blue}{a} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-1}{5} = \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}} \]

2. Finn konstantleddet 1:52 Linja går gjennom \( {A(-2, 3)}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = -2} \) og \( {y = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}} \cdot (-2) + \textcolor{red}{b} \\ 3 &= \dfrac{2}{5} + \textcolor{red}{b} \\ \textcolor{red}{b} &= \dfrac{15}{5} - \dfrac{2}{5} = \textcolor{red}{\dfrac{13}{5}} \end{aligned} \]

3. Sett y lik null 3:44 \( C \) ligger på \( x \)-aksen, der \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}}x + \textcolor{red}{\dfrac{13}{5}} \\ \dfrac{1}{5}x &= \dfrac{13}{5} \\ x &= 13 \end{aligned} \]

Vinkelen \( \angle ABD \) ligger i \( B\text{,} \) mellom vektorene \( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BD}\text{.} \) Den er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av dem er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet 1:10 Skalarproduktet av to vektorer er: \[ \vec{u} \cdot \vec{w} = |\vec{u}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos v \]der \( v \) er vinkelen mellom dem. Når \( {v = 90^\circ}\text{,} \) er \( {\cos v = 0}\text{,} \) så skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Finn vektorene fra B 2:14 Begge vektorene starter i \( B(3, 2)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BA} &= [-2 - 3,\ 3 - 2] = [\textcolor{blue}{-5}, \textcolor{red}{1}] \\ \overrightarrow{BD} &= [2 - 3,\ t - 2] = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{t - 2}] \end{aligned} \]

3. Sett skalarproduktet lik null 3:17 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{-5}) \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{red}{t - 2}) &= 0 \\ 5 + t - 2 &= 0 \\ t &= -3 \end{aligned} \]

\( \ln x \) er bare definert for \( {x > 0}\text{,} \) og der er \( f \) deriverbar, så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi deriverer med produktregelen.

1. Deriver med produktregelen 0:10 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x \ln x + 4x \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null 2:12 Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{:} \) \[ 8x \ln x + 4x = 0 \]

Vi trekker fra \( 4x \) og deler på \( 8x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8x \ln x &= -4x \\ \ln x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi \( e \) i begge sider. Siden \( {e^{\ln x} = x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ x = e^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \]

3. Finn y-koordinaten 4:05 Vi setter \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Her er \( {\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 = \dfrac{1}{e}} \) og \( {\ln\left(e^{-\tfrac{1}{2}}\right) = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{e} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{2}{e} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 6:07 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = \dfrac{1}{e}} \) og \( {x = 1}\text{,} \) siden \( {\dfrac{1}{e} < \dfrac{1}{\sqrt{e}} < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{e}\right) &= 4 \cdot \dfrac{1}{e^2} \cdot (-1) = -\dfrac{4}{e^2} \\ f(1) &= 4 \cdot 1^2 \cdot \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

Siden \( {e > 2}\text{,} \) er \( {\dfrac{2}{e} < 1}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{e^2} &= \dfrac{2}{e} \cdot \dfrac{2}{e} < \dfrac{2}{e} \\ -\dfrac{4}{e^2} &> -\dfrac{2}{e} \end{aligned} \]

Begge verdiene er altså større enn \( {-\dfrac{2}{e}}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & \dfrac{1}{e} & \dfrac{1}{\sqrt{e}} & 1 \\ \hline f(x) & -\dfrac{4}{e^2} & -\dfrac{2}{e} & 0 \end{array} \]Grafen går ned til \( {-\dfrac{2}{e}} \) og opp igjen, så punktet er et bunnpunkt. Grafen snur ikke noe annet sted, så den har ingen toppunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Vi faktoriserer \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{4x}(\textcolor{magenta}{2\ln x + 1})}\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {\textcolor{darkorange}{4x} > 0}\text{,} \) så \( f'(x) \) har samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{2\ln x + 1}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.6065306597126334], "labels": ["\\tfrac{1}{\\sqrt{e}}"], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{4x}", "expr": "4x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2\\ln x + 1}", "expr": "2ln(x) + 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "4x(2ln(x) + 1)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hva som får løkka til å stoppe.

1. Finn ut hva programmet leter etter 2:32 Linje 8 og 9 definerer \( {f(x) = 4x^2 \cdot \ln x}\text{.} \) Løkka i linje 13 går så lenge \( {|f(m)| \ge 0{,}0001}\text{,} \) og linje 22 skriver ut \( m\text{.} \) Programmet stopper altså først når \( f(m) \) er nesten \( 0\text{.} \) Eleven vil finne nullpunktet til \( f\text{.} \)

2. Forklar linje 11 til 20 3:39 Linje 11 setter \( \textcolor{green}{m} \) midt mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}}{2} \]

Linje 15 tester om \( {f(\textcolor{blue}{a}) \cdot f(\textcolor{green}{m}) < 0}\text{,} \) altså om \( f(\textcolor{blue}{a}) \) og \( f(\textcolor{green}{m}) \) har ulikt fortegn. Da krysser grafen \( x \)-aksen mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{m}\text{,} \) og linje 16 flytter \( \textcolor{red}{b} \) til \( \textcolor{green}{m}\text{.} \)

Ellers ligger nullpunktet mellom \( \textcolor{green}{m} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{,} \) og linje 18 flytter \( \textcolor{blue}{a} \) til \( \textcolor{green}{m}\text{.} \) Linje 20 finner det nye midtpunktet.

Intervallet som nullpunktet ligger i, blir altså halvert for hver runde i løkka. Dette er halveringsmetoden, som i videoen Halveringsmetoden/​Midtpunktsmetoden.

3. Finn verdien som skrives ut 9:07 Vi finner nullpunktet selv. Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {4x^2 \neq 0}\text{,} \) så \( {\ln x = 0}\text{.} \) Fra definisjonen er \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) så: \[ x = 1 \]Det ligger mellom \( 0{,}1 \) og \( 3\text{,} \) og \( {f(0{,}1) < 0 < f(3)}\text{,} \) siden \( {\ln 0{,}1 < 0 < \ln 3}\text{.} \) Halveringsmetoden finner det derfor.

Løkka stopper så snart \( {|f(m)| < 0{,}0001}\text{,} \) så programmet skriver ut en tilnærming til \( 1\text{:} \) et tall så nær \( 1 \) at \( f(m) \) er nesten \( 0\text{,} \) men ikke nødvendigvis nøyaktig \( 1\text{.} \)