Eksamensoppgaver etter tema

Formen i oppgaven er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. Først gjør vi årene om til år etter 1960.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør årene om til t 0:23 \( t \) er antall år etter 1960, så 1960 blir \( {t = 0}\text{,} \) 1961 blir \( {t = 1}\text{,} \) 1963 blir \( {t = 3} \) og så videre, til 1980, som blir \( {t = 20}\text{.} \)

Vi skriver \( t \) i kolonne A og folketallet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør logistisk regresjon 2:19 Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{red}{B}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{B} \approx \textcolor{red}{2840{,}8992}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{5{,}0748}} \) og \( {\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{green}{0{,}2470}}\text{.} \)

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {k \approx 0{,}25}\text{,} \) som i videoen. Regner vi videre med \( 0{,}25\text{,} \) starter perioden i c) etter omtrent \( 3{,}2 \) år i stedet for \( 3{,}3\text{.} \)

3. Vurder gyldighetsområdet 3:04 Tabellen har tall fra 1960 til 1980, altså for \( {0 \le t \le 20}\text{.} \) Der går grafen nær punktene.

Bakover i tid går modellen mot \( 0\text{,} \) og framover flater den ut mot omtrent \( 2841 \) personer. Vi har ingen tall som viser om det stemmer, så modellen gjelder bare for årene vi har data for.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( F'(12) \) er hvor fort folketallet vokser i 1972, og \( F''(12) \) er hvor fort veksten selv endrer seg. Med kalkulator deriverer vi modellen for hånd først.

1. Deriver modellen med kjerneregelen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247}t}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi kaller \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{.} \) Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}t})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \begin{aligned} F(t) &= \textcolor{red}{B} \cdot {\textcolor{darkorange}{(1 + w)}}^{-1} \\ w' &= -\textcolor{green}{k} \cdot w \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u} &= \textcolor{darkorange}{1 + w} & \textcolor{darkorange}{u'} &= w' = -\textcolor{green}{k}w \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} F'(t) &= \textcolor{red}{B} \cdot \left(-(1 + w)^{-2}\right) \cdot (-\textcolor{green}{k}w) \\ F'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \cdot w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]

2. Deriver én gang til \( F'(t) \) er \( \textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \) ganget med brøken \( {h = \dfrac{w}{(1 + w)^2}}\text{,} \) så vi deriverer brøken med kvotientregelen.

Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{p}{q}\right)' = \dfrac{p' \cdot q - p \cdot q'}{q^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er, med kjerneregelen for \( q'\text{:} \) \[ \begin{aligned} p &= w & p' &= w' \\ q &= (1 + w)^2 & q' &= 2(1 + w) \cdot w' \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og forkorter med \( {1 + w}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} h' &= \dfrac{w'(1 + w)^2 - w \cdot 2(1 + w)w'}{(1 + w)^4} \\ h' &= \dfrac{w'(1 - w)}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

Med \( {w' = -\textcolor{green}{k}w} \) og faktoren \( \textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \) foran blir det: \[ \begin{aligned} F''(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}^2 \cdot w(w - 1)}{(1 + w)^3} \\ F''(t) &= \textcolor{green}{k} \cdot F'(t) \cdot \dfrac{w - 1}{w + 1} \end{aligned} \]

3. Sett inn tallene Med tallene fra svaret i a) er: \[ w = \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247} \cdot 12} \approx 0{,}2617 \]

Med alle desimalene fra kalkulatoren gir det: \[ \begin{aligned} F'(12) &\approx \dfrac{\textcolor{red}{2841} \cdot \textcolor{green}{0{,}247} \cdot 0{,}2617}{1{,}2617^2} \\ &\approx 115{,}4 \\ F''(12) &\approx \textcolor{green}{0{,}247} \cdot 115{,}4 \cdot \dfrac{-0{,}7383}{1{,}2617} \\ &\approx -16{,}7 \end{aligned} \]

4. Tolk svarene 0:30 \( F'(12) \) er vekstfarten 12 år etter 1960: i 1972 økte folketallet med omtrent \( 115 \) personer per år.

\( F'' \) forteller hvor fort vekstfarten endrer seg, slik akselerasjonen er den dobbeltderiverte av posisjonen i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. \( {F''(12) \approx -16{,}7 < 0}\text{,} \) så veksten avtok: vekstfarten ble omtrent \( 17 \) personer per år mindre for hvert år. Folketallet økte fortsatt, men saktere.

1. Regn ut de deriverte 0:09 I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2840{,}8992}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}0748} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}2470}t}} \]

Vi skriver de deriverte i \( {t = 12} \) inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: d_1 = F'(12) d_2 = F''(12)

GeoGebra gir \( {F'(12) \approx 115{,}4053} \) og \( {F''(12) \approx -16{,}6769}\text{.} \) I 1972 økte folketallet altså med omtrent \( 115 \) personer per år, og veksten avtok med omtrent \( 17 \) personer per år, per år.

Vi bruker modellen fra a) og uttrykket for \( F'(t) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Økningen per år er \( F'(t)\text{.} \) Vi finner de to tidspunktene der \( {F'(t) = 150}\text{,} \) og mellom dem er \( {F'(t) > 150}\text{.} \)

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247}t}} \]

I b) fant vi den deriverte, med \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{:} \) \[ F'(t) = \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \cdot w}{(1 + w)^2} \]

Vi setter \( {F'(t) = 150}\text{,} \) ganger med \( {(1 + w)^2}\text{,} \) deler på \( 150 \) og samler alt på én side: \[ w^2 + \left(2 - \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}}{150}\right) \cdot w + 1 = 0 \]

2. Løs andregradslikningen Med tallene fra svaret i a) er: \[ \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}}{150} \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841} \cdot \textcolor{green}{0{,}247}}{150} = 4{,}67818 \]Det gir likningen: \[ w^2 - 2{,}67818 \cdot w + 1 = 0 \]

Bokstaven \( a \) er brukt i modellen, så vi skriver likningen som \( {p \cdot w^2 + q \cdot w + r = 0}\text{.} \) Løsningene finner vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ w = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 1}\text{,} \) \( {q = -2{,}67818} \) og \( {r = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} w &= \dfrac{2{,}67818 \pm \sqrt{2{,}67818^2 - 4}}{2} \\ w_1 &\approx 2{,}2297 \\ w_2 &\approx 0{,}4485 \end{aligned} \]

3. Finn de to tidspunktene Vi løser \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = w} \) for \( t\text{:} \) vi deler med \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln(e^u) = u}\text{.} \) Til slutt deler vi med \( {-\textcolor{green}{k}}\text{,} \) og minustegnet snur brøken inne i logaritmen: \[ \begin{aligned} e^{-\textcolor{green}{k}t} &= \dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}} \\ -\textcolor{green}{k}t &= \ln\left(\dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}}\right) \\ t &= \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{w}\right) \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( w_1 \) og \( w_2 \) med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} t_1 &\approx \dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}247}} \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{5{,}07}}{2{,}2297}\right) \approx 3{,}33 \\ t_2 &\approx \dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}247}} \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{5{,}07}}{0{,}4485}\right) \approx 9{,}82 \end{aligned} \]

Mellom de to tidspunktene er \( {F'(t) > 150}\text{,} \) for eksempel er \( {F'(6) \approx 175}\text{.} \) Folketallet økte altså med mer enn 150 personer per år fra \( {t \approx 3{,}3} \) til \( {t \approx 9{,}8}\text{.} \) Det er fra 1963,3 til 1969,8, altså fra våren 1963 til høsten 1969.

1. Finn skjæringspunktene med linja 0:30 I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2840{,}8992}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}0748} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}2470}t}} \]

Vi lar GeoGebra derivere den, tegner linja \( {y = 150} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter ved hvert skjæringspunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(F) g: y = 150

Skjæringspunktene er \( {K \approx (3{,}3286,\ 150)} \) og \( {L \approx (9{,}8222,\ 150)}\text{,} \) og grafen til \( F' \) ligger over linja mellom dem. Folketallet økte altså med mer enn 150 personer per år fra \( {t \approx 3{,}3} \) til \( {t \approx 9{,}8}\text{.} \) Det er fra 1963,3 til 1969,8, altså fra våren 1963 til høsten 1969.

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = -2}\text{.} \) Den er kontinuerlig der bare hvis de to uttrykkene gir samme verdi i \( {x = -2}\text{.} \)

1. Skriv opp kravet 0:19 \( f \) er kontinuerlig i \( {x = -2} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn i begge uttrykkene 1:33 Med \( {a = 2} \) og \( {b = -2} \) er det første uttrykket \( {2x - 2}\text{.} \) Det gjelder for \( {x \le -2}\text{,} \) så det gir både \( {f(-2)} \) og grensen fra venstre: \[ \textcolor{blue}{2 \cdot (-2) - 2} = \textcolor{blue}{-6} \]

Fra høyre gjelder \( {2x^3 + 2x^2 - 2x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2)} \\ &= -16 + 8 + 4 = \textcolor{red}{-4} \end{aligned} \]

Uttrykkene gir \( {\textcolor{blue}{-6}} \) og \( {\textcolor{red}{-4}}\text{,} \) så grafen hopper i \( {x = -2}\text{.} \) Funksjonen er altså ikke kontinuerlig der.

Der funksjonen skifter uttrykk, må uttrykkene på hver side gi samme verdi og ha samme derivert. Det gir to krav i \( {x = -2} \) og to i \( {x = k}\text{.} \)

1. Deriver hvert uttrykk 1:30 Der funksjonen skifter uttrykk, er den kontinuerlig når uttrykkene på hver side gir samme verdi, som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon. Den er i tillegg deriverbar når de deriverte også er like.

Vi deriverer hvert uttrykk med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{.} \) Konstantene \( b \) og \( c \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} (ax + b)' &= \textcolor{blue}{a} \\ (2x^3 + 2x^2 - 2x)' &= \textcolor{red}{6x^2 + 4x - 2} \\ (c)' &= \textcolor{green}{0} \end{aligned} \]

2. Finn a og b 2:47 Like deriverte i \( {x = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{red}{6 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 2} \\ \textcolor{blue}{a} &= 24 - 8 - 2 = 14 \end{aligned} \]

Like verdier i \( {x = -2}\text{.} \) Det midterste uttrykket gir: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2)} \\ &= -16 + 8 + 4 = \textcolor{red}{-4} \end{aligned} \]

Det første uttrykket må gi det samme: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{14 \cdot (-2) + b} &= \textcolor{red}{-4} \\ b &= 24 \end{aligned} \]

3. Finn k med abc-formelen 5:39 I \( {x = k} \) må den deriverte av det midterste uttrykket være lik den deriverte av konstanten \( c\text{,} \) som er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{red}{6k^2 + 4k - 2} = \textcolor{green}{0} \]

Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{.} \) Da gir abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ k = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 6}\text{,} \) \( {q = 4} \) og \( {r = -2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2)}}{2 \cdot 6} \\ k &= \dfrac{-4 \pm 8}{12} \\ k &= \dfrac{1}{3} \quad \text{eller} \quad k = -1 \end{aligned} \]Begge ligger i \( {\langle -2, \rightarrow \rangle}\text{.} \)

4. Finn c for hver k 9:30 Like verdier i \( {x = k} \) gir \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{red}{2k^3 + 2k^2 - 2k}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = \dfrac{1}{3}\text{:} \quad c &= \dfrac{2}{27} + \dfrac{2}{9} - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{10}{27} \\ k = -1\text{:} \quad c &= -2 + 2 + 2 = 2 \end{aligned} \]Begge valgene gir en funksjon som er kontinuerlig og deriverbar i \( {x = -2} \) og \( {x = k}\text{.} \)

1. Løs kravene i CAS Vi skriver de tre uttrykkene inn som egne funksjoner i CAS, med gangetegn i \( {a \cdot x}\text{,} \) og løser kravene i \( {x = -2} \) og i \( {x = k} \) hver for seg, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := a*x + b h(x) := 2x^3 + 2x^2 - 2x l(x) := c Løs({g(-2) = h(-2), g'(-2) = h'(-2)}, {a, b}) Løs({h(k) = l(k), h'(k) = l'(k)}, {c, k})

CAS gir \( {a = 14} \) og \( {b = 24}\text{,} \) og de samme to løsningene for \( k \) og \( c\text{:} \) enten \( {k = \dfrac{1}{3}} \) og \( {c = -\dfrac{10}{27}}\text{,} \) eller \( {k = -1} \) og \( {c = 2}\text{.} \)

Vi setter de to luktverdiene inn i formelen for \( I \) og ser hvor i tabellen svarene havner.

1. Sett inn de to luktverdiene 0:49 \( C \) er luktverdien i \( \text{OU}/\text{m}^3\text{,} \) så vi setter \( {C = 500} \) og \( {C = 1400} \) inn i formelen, med \( \lg \) på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} I(\textcolor{blue}{500}) &= 1{,}4 \cdot \lg(\textcolor{blue}{500}) - 0{,}3 \\ &\approx \textcolor{blue}{3{,}48} \\ I(\textcolor{red}{1400}) &= 1{,}4 \cdot \lg(\textcolor{red}{1400}) - 0{,}3 \\ &\approx \textcolor{red}{4{,}10} \end{aligned} \]

2. Sammenlign med tabellen 2:30 Jo større \( C \) er, jo større er \( \lg(C)\text{,} \) så alle prøvene har en luktintensitet mellom \( \textcolor{blue}{3{,}48} \) og \( \textcolor{red}{4{,}10}\text{.} \) Det er «plagsom lukt, bør begrenses», og for de høyeste luktverdiene «plagsomt, tiltak kreves». Beboerne har derfor grunnlag for å klage.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( I(C) \) i CAS og regner ut verdiene med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(C) := 1.4*lg(C) - 0.3 I(500) I(1400)

CAS gir \( {I(500) \approx 3{,}4786} \) og \( {I(1400) \approx 4{,}1046}\text{.} \) Begge er over 3 i tabellen, så beboerne har grunnlag for å klage.

I tabellen er luktintensiteten akseptabel opp til 2. Vi løser ulikheten \( {I \le 2} \) for \( C\text{,} \) og fjerner \( \lg \) til slutt.

Merk – Tolkning: Under 1 er lukten uproblematisk, som er enda bedre enn akseptabel, så vi krever bare \( {I \le 2}\text{.} \) Leser vi «akseptabel» som akkurat 1 til 2, må også \( {C \ge 10^{\tfrac{13}{14}} \approx 8{,}5}\text{.} \) Eksamensveiledningen sier at sensorene skal være åpne for rimelige tolkninger.

1. Sett opp ulikheten 0:11 Luktintensiteten må være høyst \( 2\text{:} \) \[ 1{,}4 \cdot \textcolor{green}{\lg(C)} - 0{,}3 \le 2 \]

2. Løs ulikheten 0:57 Vi legger til \( 0{,}3 \) og deler på \( 1{,}4\text{.} \) Det er et positivt tall, så tegnet snur ikke: \[ \begin{aligned} 1{,}4 \cdot \textcolor{green}{\lg(C)} &\le 2{,}3 \\ \textcolor{green}{\lg(C)} &\le \dfrac{2{,}3}{1{,}4} = \dfrac{23}{14} \end{aligned} \]

For å få \( C \) alene opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. \( 10^x \) er voksende, så tegnet snur ikke, og siden \( {10^{\textcolor{green}{\lg C}} = C}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, får vi: \[ C \le 10^{\tfrac{23}{14}} \approx 43{,}94 \]Luktverdien må altså være høyst omtrent \( 43{,}9\,\text{OU}/\text{m}^3\text{.} \)

1. Løs ulikheten i CAS Vi løser ulikheten \( {I(C) \le 2} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(C) := 1.4*lg(C) - 0.3 Løs(I(C) <= 2, C)

CAS gir \( {0 < C \le 43{,}9397}\text{.} \) Luktverdien må være høyst omtrent \( 43{,}9\,\text{OU}/\text{m}^3\text{.} \)

Vi sjekker at \( {s = 0} \) gir hytta og \( {s = 1} \) gir utsiktspunktet. Så finner vi linja gjennom dem og viser at parameterframstillingen følger den.

1. Sjekk endepunktene 0:30 Vi setter inn \( {s = 0} \) og \( {s = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} s = 0\text{:} \quad (x, y) &= (0, 300) = H \\ s = 1\text{:} \quad (x, y) &= (1200, 400) = U \end{aligned} \]

2. Finn linja gjennom H og U 2:00 En rett linje har likningen: \[ y = \textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]

Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte, og linja skjærer \( y \)-aksen i hytta, \( (0, 300)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{400 - 300}{1200 - 0} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{12}} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{300} \end{aligned} \]Stien er altså linja \( {y = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{12}}x + \textcolor{red}{300}} \) for \( {0 \le x \le 1200}\text{.} \)

3. Parametriser med s 4:32 Når \( s \) går fra \( 0 \) til \( 1\text{,} \) går \( x \) fra \( 0 \) til \( 1200\text{.} \) For hver økning på \( 1 \) i \( s \) øker \( x \) altså med: \[ \dfrac{\Delta x}{\Delta s} = \dfrac{1200 - 0}{1 - 0} = 1200 \]Det gir \( {x = 1200s}\text{,} \) som i videoen Parametrisering, eksempel oppgave 1.

Setter vi \( {x = 1200s} \) inn i likningen for linja, får vi: \[ y = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{12}} \cdot 1200s + \textcolor{red}{300} = 300 + 100s \]Det er nøyaktig parameterframstillingen \( l\text{.} \) Punktene ligger på den rette linja, og \( s \in [0, 1] \) gir hele stien fra \( H \) til \( U\text{,} \) og ikke mer.

Alternativ metode: Punkt og retningsvektor Vi starter i \( H \) og går langs vektoren \( {\overrightarrow{HU} = [1200, 100]}\text{:} \) \[ \begin{aligned} [x, y] &= [0, 300] + s \cdot [1200, 100] \\ [x, y] &= [1200s,\ 300 + 100s] \end{aligned} \]Med \( s \in [0, 1] \) går punktet fra \( H \) til \( U\text{.} \) Metoden er raskest når vi kjenner to punkter på linja.

Parameterframstillingen \( l \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Parameteren \( s \) er ikke tiden. Ina går med konstant fart, så \( s \) øker jevnt fra \( 0 \) til \( 1 \) i løpet av de 20 minuttene.

1. Finn s etter 5 minutter 0:50 \( {s = 1} \) svarer til hele turen, 20 minutter. Etter 5 minutter har Ina gått \( \dfrac{5}{20} \) av turen: \[ \textcolor{blue}{s} = \dfrac{5}{20} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \]

Vanlig feil: ✗ \( {s = 5} \) gir punktet \( (6000, 800)\text{,} \) langt forbi stien. ✓ Etter 5 av 20 minutter er \( {s = \dfrac{5}{20}}\text{.} \)

2. Regn ut posisjonen 1:47 Vi setter \( {\textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}}} \) inn i \( l\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= 1200 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} = 300 \\ y &= 300 + 100 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} = 325 \end{aligned} \]

Farten er strekningen delt på tiden. Stien er skrå, så vi finner lengden med Pythagoras, og vi regner tiden om til sekunder.

1. Finn lengden av stien 0:33 Stien er ikke \( 1200 \) m lang: Ina går \( 1200 \) m bortover og \( 100 \) m oppover samtidig. Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Vektoren fra \( H \) til \( U \) er \( {\overrightarrow{HU} = [\textcolor{blue}{1200}, \textcolor{red}{100}]}\text{,} \) så stien er: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{HU}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{1200}^2 + \textcolor{red}{100}^2} \\ |\overrightarrow{HU}| &= \sqrt{1\,450\,000} = 100\sqrt{145} \end{aligned} \]

2. Del strekningen på tiden 1:49 Tiden er \( {20 \cdot 60 = 1200} \) sekunder. Farten er strekningen delt på tiden: \[ \begin{aligned} v &= \dfrac{100\sqrt{145}\,\text{m}}{1200\,\text{s}} \\ v &= \dfrac{\sqrt{145}}{12}\,\text{m/s} \approx 1{,}00\,\text{m/s} \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi finner lengden av stien med Avstand og deler på tiden i sekunder, med knappen ≈ i rad 2:

Skriv inn i GeoGebra: d := Avstand((0, 300), (1200, 400)) d/(20*60)

CAS gir stien \( 100\sqrt{145} \) m og farten \( {\approx 1{,}0035\,\text{m/s}}\text{,} \) altså omtrent \( 1{,}00\,\text{m/s}\text{.} \)

Vi bruker \( l \) fra a) og at \( {s = \dfrac{k}{20}} \) etter \( k \) minutter, som i b).

Ina og Jonas har hver sin klokke, så Ina får sin egen tidsvariabel. Der de møtes, er begge koordinatene like.

1. Skriv Inas posisjon med minutter 1:00 Jonas sin \( t \) er minutter etter at han startet, og vi vet ikke når det var. Vi kaller Inas tid \( k \) minutter. Turen tar 20 minutter, så \( {s = \dfrac{k}{20}}\text{,} \) og \( l \) gir: \[ \begin{aligned} x &= 1200 \cdot \dfrac{k}{20} = 60k \\ y &= 300 + 100 \cdot \dfrac{k}{20} = 300 + 5k \end{aligned} \]

2. Sett koordinatene like 3:33 Der de møtes, er begge koordinatene like: \[ \begin{aligned} 60k &= 520 - 20t \\ 300 + 5k &= 310 + 5t \end{aligned} \]

Den andre likningen gir \( {5k = 10 + 5t}\text{,} \) altså \( {k = t + 2}\text{.} \) Setter vi det inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} 60(t + 2) &= 520 - 20t \\ 80t &= 400 \\ t &= 5 \end{aligned} \]Da er \( {k = 7}\text{:} \) Ina har gått i 7 minutter, og Jonas startet 2 minutter etter henne.

3. Finn strekningen 5:20 Etter 7 minutter er Ina i punktet \( (420, 335)\text{,} \) siden \( {60 \cdot 7 = 420} \) og \( {300 + 5 \cdot 7 = 335}\text{.} \) Hun har gått \( 420 \) m bortover og \( 35 \) m oppover fra \( H(0, 300)\text{,} \) så med Pythagoras, \( {|[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2}}\text{,} \) er strekningen \( d\text{:} \) \[ \begin{aligned} d &= \sqrt{\textcolor{blue}{420}^2 + \textcolor{red}{35}^2}\,\text{m} \\ d &= \sqrt{177\,625}\,\text{m} \approx 421{,}5\,\text{m} \end{aligned} \]

1. Løs likningssettet i CAS 4:36 Med Inas posisjon \( {(60k,\ 300 + 5k)} \) fra kalkulatorruten skriver vi de to likningene i hver sin rad i CAS, markerer dem og trykker på knappen Løs. Så regner vi ut avstanden fra hytta til møtepunktet. Rad 5 er rad 4 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 520 - 20t = 60k 310 + 5t = 300 + 5k Løs({$1, $2}, {k, t}) Avstand((0, 300), (60*7, 300 + 5*7))

CAS gir \( {k = 7} \) og \( {t = 5}\text{,} \) og strekningen \( {35\sqrt{145} \approx 421{,}4558}\text{.} \) Ina har gått omtrent \( 421{,}5 \) m.

Vi kjenner bare lengdene og vinkelen, ikke selve vektorene. Vi gir dem ukjente koordinater, skriver opp \( |\vec{p}|^2 \) og bruker det vi vet.

1. Gi vektorene koordinater 1:21 Vi skriver \( {\vec{a} = [x_1, y_1]} \) og \( {\vec{b} = [x_2, y_2]}\text{.} \) Da er \( {\vec{p} = [x_1 + x_2,\ y_1 + y_2]}\text{,} \) og med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor, er: \[ |\vec{p}|^2 = (x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 \]

Vi ganger ut med \( {(u + w)^2 = u^2 + 2uw + w^2} \) og samler leddene: \[ \begin{aligned} |\vec{p}|^2 = {} & \textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2} + \textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2} \\ &+ 2(\textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2}) \end{aligned} \]

2. Finn de tre delene 4:30 Lengden av en vektor gir de to første delene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2} &= |\vec{a}|^2 = 4^2 = \textcolor{blue}{16} \\ \textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2} &= |\vec{b}|^2 = (2\sqrt{3})^2 = \textcolor{red}{12} \end{aligned} \]

Den tredje delen er skalarproduktet \( {\vec{a} \cdot \vec{b}} \) med koordinater. Med vinkelen \( v \) mellom vektorene er skalarproduktet: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos v \]

Med \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) får vi: \[ \textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2} = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \textcolor{green}{12} \]

3. Sett sammen 7:35 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{p}|^2 &= \textcolor{blue}{16} + \textcolor{red}{12} + 2 \cdot \textcolor{green}{12} = 52 \\ |\vec{p}| &= \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \end{aligned} \]

1. Legg vektorene inn i CAS Bare lengdene og vinkelen er gitt, så vi kan velge hvor vektorene ligger, som i videoen Oppgave 5A + B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi legger \( \vec{a} \) langs \( x \)-aksen og \( \vec{b} \) med vinkelen \( 30^\circ\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: a := Vektor((4, 0)) b := Vektor((2*sqrt(3)*cos(30°), 2*sqrt(3)*sin(30°))) p := a + b Lengde(p)

CAS gir \( {\vec{p} = [7, \sqrt{3}]} \) og \( {|\vec{p}| = 2\sqrt{13}}\text{.} \)

Alternativ metode: Regneregler for skalarproduktet Siden \( {\vec{p} \cdot \vec{p} = |\vec{p}|^2}\text{,} \) kan vi gange ut med vektorene direkte: \[ \begin{aligned} |\vec{p}|^2 &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ &= |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \end{aligned} \]Det gir \( {16 + 2 \cdot 12 + 12 = 52}\text{.} \) Metoden sparer koordinatene når lengdene og vinkelen er gitt.

Vi bruker \( {|\vec{a}|^2 = 16}\text{,} \) \( {|\vec{b}|^2 = 12} \) og \( {\vec{a} \cdot \vec{b} = 12} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er \( 0\text{.} \) Vi skriver \( {\vec{p} \cdot \vec{q}} \) ved de tre tallene fra a) og løser for \( t\text{.} \)

1. Skriv opp kravet 0:19 Ortogonale vektorer står vinkelrett på hverandre, og da er skalarproduktet \( 0\text{:} \) \[ \vec{p} \cdot \vec{q} = 0 \]

Med koordinatene fra a) er: \[ \begin{aligned} \vec{p} &= [x_1 + x_2,\ y_1 + y_2] \\ \vec{q} &= [t x_1 + x_2,\ t y_1 + y_2] \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet 1:44 Vi ganger førstekoordinatene og andrekoordinatene: \[ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} = {} & (x_1 + x_2)(t x_1 + x_2) \\ &+ (y_1 + y_2)(t y_1 + y_2) \end{aligned} \]

Ganger vi ut og samler leddene, får vi: \[ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} = {} & t \cdot (\textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2}) \\ &+ (t + 1) \cdot (\textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2}) \\ &+ (\textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2}) \end{aligned} \]

3. Sett inn og løs 4:14 I a) fant vi \( {\textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2 = 16}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2 = 12}} \) og \( {\textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2 = 12}}\text{.} \) Plugger vi dem inn og setter skalarproduktet lik \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{16}t + \textcolor{green}{12}(t + 1) + \textcolor{red}{12} &= 0 \\ 28t + 24 &= 0 \\ t &= -\dfrac{24}{28} = -\dfrac{6}{7} \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Vi fortsetter i CAS-vinduet fra a), der \( \vec{a} \) ligger langs \( x \)-aksen, og løser \( {\vec{p} \cdot \vec{q} = 0}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: q := t*a + b Løs(p*q = 0, t)

CAS gir \( {t = -\dfrac{6}{7}}\text{.} \)

Alternativ metode: Regneregler for skalarproduktet Vi ganger ut med vektorene direkte: \[ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (t\vec{a} + \vec{b}) \\ &= t|\vec{a}|^2 + (t + 1)\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \end{aligned} \]Det gir den samme likningen, \( {16t + 12(t + 1) + 12 = 0}\text{.} \) Metoden sparer koordinatene.

Vi bruker to ting: \( a^x \) er \( 1 \) i \( {x = 0}\text{,} \) og graden til et polynom synker med to når vi deriverer to ganger.

1. Finn eksponentialfunksjonen 0:46 Bare A og G vokser stadig brattere, slik eksponentialfunksjoner gjør. Den deriverte av \( a^x \) er \( a^x \) ganget med \( \ln a\text{,} \) så den dobbeltderiverte er også en eksponentialfunksjon: \[ \begin{aligned} (a^x)' &= a^x \cdot \ln a \\ (a^x)'' &= (\ln a)^2 \cdot a^x \end{aligned} \]

\( {a^0 = 1} \) for alle \( a\text{,} \) så grafen til \( a^x \) går gjennom \( (0, 1)\text{.} \) Det gjør G, men ikke A. G går også gjennom \( (1, 2)\text{,} \) så \( {G = 2^x} \) og \( {A = (\ln 2)^2 \cdot 2^x \approx 0{,}48 \cdot 2^x}\text{.} \)

2. Bruk at graden synker med to 4:19 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} (x^b - c)' &= b \cdot x^{b - 1} \\ (x^b - c)'' &= b(b - 1) \cdot x^{b - 2} \end{aligned} \]Graden er den største eksponenten, som i videoen Hva er et Polynom?, så den synker fra \( b \) til \( {b - 2}\text{.} \)

I \( {x = 0} \) er \( {x^b - c = -c}\text{,} \) som er negativ. Det passer med B, E og F. C og D går gjennom origo, og H ligger over \( x \)-aksen, så C, D og H er dobbeltderiverte.

3. Finn de tre parene 4:51 \( \textcolor{blue}{B} \) har et terrassepunkt i \( {(0, -1)}\text{,} \) så \( {c = 1} \) og \( b \) er et oddetall større enn 2. Den dobbeltderiverte har da oddetallsgrad, og bare den rette linja \( \textcolor{blue}{C} \) passer. Da er \( {b - 2 = 1}\text{,} \) så \( {B = x^3 - 1}\text{:} \) \[ (x^3 - 1)'' = 3 \cdot 2 \cdot x = 6x \]

\( \textcolor{red}{E} \) går gjennom \( {(0, -2)}\text{,} \) så \( {c = 2}\text{,} \) og gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {2^b - 2 = 2}\text{.} \) Det gir \( {b = 2}\text{,} \) og den dobbeltderiverte er konstant, \( \textcolor{red}{H}\text{:} \) \[ (x^2 - 2)'' = 2 \cdot 1 = 2 \]

\( \textcolor{green}{F} \) har bunnpunkt i \( {(0, -1)}\text{,} \) så \( {c = 1} \) og \( b \) er et partall. Den dobbeltderiverte er \( \textcolor{green}{D}\text{,} \) den eneste som er igjen, og den har grad 2. Da er \( {b - 2 = 2}\text{,} \) så \( {F = x^4 - 1}\text{:} \) \[ (x^4 - 1)'' = 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12x^2 \]Det stemmer med figurene: \( {6 \cdot 0{,}5 = 3} \) og \( {12 \cdot 0{,}5^2 = 3}\text{,} \) og både C og D går gjennom \( (0{,}5;\ 3)\text{.} \)

En funksjon har en omvendt funksjon når hver \( y \)-verdi kommer fra bare én \( x \)-verdi. Da kan ingen vannrett linje skjære grafen mer enn én gang.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike \( x \) gir ulike \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]For en kontinuerlig funksjon betyr det at den hele tiden vokser eller hele tiden avtar.

2. Se på hver graf Grafene med omvendt funksjon er blå, de andre røde. \( \textcolor{blue}{A}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{C} \) og \( \textcolor{blue}{G} \) vokser hele tiden. B flater ut i \( {(0, -1)}\text{,} \) men stiger på begge sider, så også B gir én \( x \) for hver \( y\text{.} \)

\( \textcolor{red}{D}\text{,} \) \( \textcolor{red}{E} \) og \( \textcolor{red}{F} \) er symmetriske om \( y \)-aksen, så for eksempel \( {x = -1} \) og \( {x = 1} \) gir samme \( y \)-verdi. \( \textcolor{red}{H} \) er konstant, så alle \( x \) gir \( {y = 2}\text{.} \) Disse fire har ingen omvendt funksjon.