Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

289 oppgaver · viser 111–120

Oppgavene

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

I blodet er det tre hovedtyper blodceller. De tre hovedtypene er hvite blodceller, røde blodceller og blodplater.
I en liter blod er det 7⋅109 {7 \cdot 10^9} hvite blodceller, 5⋅1012 {5 \cdot 10^{12}} røde blodceller og 3⋅1011 {3 \cdot 10^{11}} blodplater.
Hvor mange blodceller blir dette til sammen?
Vis løsning på oppgave 5

Svar

I en liter blod er det til sammen:
5,307⋅1012 blodceller‾‾ \underline{\underline{5{,}307 \cdot 10^{12} \text{ blodceller}}}
Tallene har ulike tierpotenser. Vi skriver alle med \( 10^9 \) og legger sammen tallene foran.
1. Skriv tallene med samme tierpotens Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ 10^m \cdot 10^n = 10^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.
Siden \( {10^{12} = 10^3 \cdot 10^9} \) og \( {10^{11} = 10^2 \cdot 10^9}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 5 \cdot 10^{12} &= 5 \cdot 10^3 \cdot 10^9 = \textcolor{red}{5000} \cdot 10^9 \\ 3 \cdot 10^{11} &= 3 \cdot 10^2 \cdot 10^9 = \textcolor{green}{300} \cdot 10^9 \end{aligned} \]
2. Legg sammen De hvite blodcellene er \( {\textcolor{blue}{7} \cdot 10^9}\text{.} \) Nå har alle tre tallene \( 10^9\text{,} \) så vi legger sammen tallene foran: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{7} \cdot 10^9 + \textcolor{red}{5000} \cdot 10^9 + \textcolor{green}{300} \cdot 10^9 \\ &= (\textcolor{blue}{7} + \textcolor{red}{5000} + \textcolor{green}{300}) \cdot 10^9 \\ &= 5307 \cdot 10^9 \end{aligned} \]
På standardform flytter vi kommaet tre plasser til venstre, som i videoen Hva er Standardform?, og legger \( 3 \) til eksponenten: \[ 5307 \cdot 10^9 = 5{,}307 \cdot 10^{12} \]

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

2 poeng

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Oppgave 6a)

Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur 5?
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
36 sma˚ grønne kvadrater‾‾ \underline{\underline{36 \text{ små grønne kvadrater}}}
Vi ser at hver figur består av en blokk øverst og tre deler under den. Vi finner hvor mange kvadrater hver del har i figur 5, og legger sammen.
1. Se hvordan figurene er bygd opp Vi følger figurene og danner et mønster, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Figur \( n \) har en blokk på \( {\textcolor{blue}{n \cdot n}} \) kvadrater øverst. Under blokken står ett kvadrat ut til venstre, en søyle på \( \textcolor{red}{n} \) kvadrater ut til høyre og en trapp på \( \textcolor{green}{n} \) kvadrater mellom dem. Figur 3 har altså: \[ \textcolor{blue}{3 \cdot 3} + 1 + \textcolor{red}{3} + \textcolor{green}{3} = 16 \]Det er de \( 16 \) kvadratene vi teller i figur 3.
2. Tell kvadratene i figur 5 Figur 5 har en blokk på \( {\textcolor{blue}{5 \cdot 5}} \) kvadrater, ett kvadrat til venstre, \( \textcolor{red}{5} \) i søyla og \( \textcolor{green}{5} \) i trappa: \[ \textcolor{blue}{5 \cdot 5} + 1 + \textcolor{red}{5} + \textcolor{green}{5} = 25 + 11 = 36 \]
Kontroll: Figur 1, 2 og 3 har \( 4\text{,} \) \( 9 \) og \( 16 \) kvadrater. Økningen er \( 5 \) og så \( 7\text{,} \) altså \( 2 \) mer hver gang. Med \( 9 \) og \( 11 \) videre får figur 4 og 5 \( 25 \) og \( 36 \) kvadrater.

Oppgave 6b)

Lag en formel for antallet små grønne kvadrater i figur n. n\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Antallet små grønne kvadrater i figur n n er:
Kn=n2+2n+1=(n+1)2‾‾ \underline{\underline{K_n = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2}}
Vi bruker oppbygningen av figurene fra a).
Vi skriver antallet i figur \( n \) med de samme fire delene som i a), med \( n \) i stedet for et bestemt tall.
1. Skriv antallet med n I a) så vi at figur \( n \) har en blokk på \( {\textcolor{blue}{n \cdot n}} \) kvadrater, ett kvadrat til venstre, \( \textcolor{red}{n} \) i søyla og \( \textcolor{green}{n} \) i trappa. Vi kaller antallet \( K_n\text{:} \) \[ \begin{aligned} K_n &= \textcolor{blue}{n \cdot n} + 1 + \textcolor{red}{n} + \textcolor{green}{n} \\ K_n &= n^2 + 2n + 1 \end{aligned} \]
2. Skriv formelen som et kvadrat Figur 1, 2 og 3 har \( {4 = 2^2}\text{,} \) \( {9 = 3^2} \) og \( {16 = 4^2} \) kvadrater, så figur \( n \) ser ut til å ha \( {(n + 1)^2}\text{.} \) Ganger vi ut parentesene, som i videoen Kvadratsetningene, får vi den samme formelen: \[ \begin{aligned} (n + 1)^2 &= (n + 1)(n + 1) \\ &= n^2 + n + n + 1 \\ &= n^2 + 2n + 1 \end{aligned} \]

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 7

3 poeng

Lars har spart penger i flere år. Han har nå 120 000 120\,000 kroner. Pengene står på en konto i banken. Lars vil fortsette å spare og har en plan. Han har laget programmet nedenfor.
Hva forteller programmet om planen til Lars?
Hva vil verdiene som skrives ut, fortelle Lars?
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Lars setter inn 24 000 24\,000 kroner hvert år og får 5,8 % 5{,}8\,\% rente til han har minst én million kroner, og utskriften viser:
Antall a˚r det tar‾‾Beløpet han da har‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Antall år det tar}}} \\ &\underline{\underline{\text{Beløpet han da har}}} \end{aligned}
Vi går gjennom programmet linje for linje, slik datamaskinen gjør. Så ser vi hva som skjer med kontoen hvert år, og når løkka stopper.
1. Les startverdiene Linje 1 til 4 gir startverdiene: Lars har \( 120\,000 \) kroner på kontoen, sparebeløpet er \( \textcolor{blue}{24\,000} \) kroner, vekstfaktoren er \( \textcolor{red}{1{,}058} \) og telleren for år starter på \( 0\text{.} \)
For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er: \[ \textcolor{red}{1{,}058} = 1 + 0{,}058 = 1 + \dfrac{5{,}8}{100} \]Kontoen gir altså \( 5{,}8\,\% \) rente.
2. Les hva løkka gjør Vi går gjennom løkka linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Hver runde er ett år, fordi linje 11 legger \( 1 \) til året. Linje 8 setter inn \( \textcolor{blue}{24\,000} \) kroner, og linje 9 ganger det som står på kontoen, med \( \textcolor{red}{1{,}058}\text{:} \) \[ \text{ny konto} = (\text{konto} + \textcolor{blue}{24\,000}) \cdot \textcolor{red}{1{,}058} \]Sparebeløpet settes inn før renten legges til, så det får rente det samme året.
Linje 6 gjentar dette så lenge kontoen har mindre enn \( 1\,000\,000 \) kroner. Planen er altså å sette inn \( 24\,000 \) kroner hvert år, med \( 5{,}8\,\% \) rente, til Lars har minst én million kroner.
3. Tolk utskriften Løkka stopper første gang kontoen har \( 1\,000\,000 \) kroner eller mer. Linje 13 skriver da ut året, altså hvor mange år Lars må spare før han har én million kroner. Linje 14 skriver ut hvor mye han da har på kontoen, som er minst én million kroner.

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 8

4 poeng

Nora bestemmer seg for å kjøpe en bøtte og fylle den med godteri. Hun ser at det er en lineær sammenheng mellom antall hektogram godteri hun fyller i bøtta, og prisen hun må betale for bøtta med godteriet.
Nedenfor ser du en modell som illustrerer dette.
Modellen kan uttrykkes på formen
G(x)=ax+b G(x) = ax + b

Oppgave 8a)

Bestem a a og b. b\text{.}
Vis løsning på oppgave 8a
Svar
Modellen er G(x)=12x+30: {G(x) = 12x + 30}\text{:}
a=12‾‾b=30‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{a = 12}} \\ &\underline{\underline{b = 30}} \end{aligned}
Vi kjenner to punkter på linja. Stigningstallet \( a \) finner vi fra endringen mellom punktene, og så finner vi \( b \) ved å sette inn ett av punktene.
1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Her er \( {(x_1, y_1) = (5, 90)} \) og \( {(x_2, y_2) = (20, 270)}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{270 - 90}{20 - 5} = \dfrac{180}{15} = \textcolor{red}{12} \]
2. Finn konstantleddet Vi setter inn \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{12}} \) og punktet \( (5, 90) \) i \( {G(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{12} \cdot 5 + \textcolor{blue}{b} &= 90 \\ 60 + \textcolor{blue}{b} &= 90 \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{30} \end{aligned} \]
Kontroll: \( {G(20) = 12 \cdot 20 + 30 = 270}\text{,} \) som i det andre punktet.

Oppgave 8b)

Gi en praktisk tolkning av a a og b b i denne modellen.
Vis løsning på oppgave 8b
Svar
I modellen G(x)=12x+30: {G(x) = 12x + 30}\text{:}
a: 12 kr per hg godteri‾‾b: 30 kr for bøtta‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{a\text{: } 12 \text{ kr per hg godteri}}} \\ &\underline{\underline{b\text{: } 30 \text{ kr for bøtta}}} \end{aligned}
Vi bruker \( {a = 12} \) og \( {b = 30} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Stigningstallet er det prisen øker med for hvert hektogram godteri, og konstantleddet er prisen når bøtta er tom.
1. Tolk a og b I a) fant vi modellen: \[ G(x) = \textcolor{red}{12}x + \textcolor{blue}{30} \]Stigningstallet er det \( G \) øker med når \( x \) øker med \( 1\text{,} \) og konstantleddet er verdien når \( {x = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp med stigningstall og konstantledd.
\( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{12}}\text{:} \) For hvert hektogram godteri øker prisen med \( 12 \) kroner. Godteriet koster altså \( 12 \) kroner per hektogram.
\( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{30}}\text{:} \) Uten godteri er prisen \( {G(0) = \textcolor{blue}{30}} \) kroner. Det er prisen for selve bøtta.

Oppgave 8c)

Hvor mye koster en bøtte med 8 hg godteri?
Vis løsning på oppgave 8c
Svar
En bøtte med 8 hg godteri koster:
126 kroner‾‾ \underline{\underline{126 \text{ kroner}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
8 hg godteri betyr \( {x = 8}\text{,} \) så vi setter inn \( 8 \) i modellen.
1. Sett inn 8 hektogram I a) fant vi modellen: \[ G(x) = \textcolor{red}{12}x + \textcolor{blue}{30} \]
Med \( {x = \textcolor{green}{8}} \) får vi: \[ G(\textcolor{green}{8}) = \textcolor{red}{12} \cdot \textcolor{green}{8} + \textcolor{blue}{30} = 96 + 30 = 126 \]

1P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Tabellen nedenfor viser antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.
Ma˚nedAntall registrertetilfellerJanuar 202329Mai 202393Oktober 2023164Februar 2024284August 20241035Oktober 20241657 \begin{array}{r|r} \text{Måned} & \begin{array}{c} \text{Antall registrerte} \\ \text{tilfeller} \end{array} \\ \hline \text{Januar 2023} & 29 \\ \text{Mai 2023} & 93 \\ \text{Oktober 2023} & 164 \\ \text{Februar 2024} & 284 \\ \text{August 2024} & 1035 \\ \text{Oktober 2024} & 1657 \end{array}
La x x være antall måneder etter desember 2022. Det vil si at x=1 {x = 1} tilsvarer januar 2023, x=3 {x = 3} tilsvarer mars 2023, og så videre.

Oppgave 1a)

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen K K gitt ved
K(x)=27,8⋅1,2x K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x
er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023–oktober 2024.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Modellverdiene ligger nær tallene i tabellen, og eksponentiell regresjon gir 27,809⋅1,1987x, {27{,}809 \cdot 1{,}1987^x}\text{,} som avrundet er K(x): K(x)\text{:}
K er en god modell‾‾ \underline{\underline{K \text{ er en god modell}}}
Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( K(x) \) for månedene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi eksponentiell regresjon på punktene.
Metode: Med kalkulator
1. Finn x for månedene i tabellen Desember 2022 er \( {x = 0}\text{,} \) og desember 2023 er \( {x = 12}\text{.} \) Februar 2024 er derfor \( {x = 12 + 2 = 14}\text{.} \) Slik får vi: \[ \begin{array}{l|r} \text{Måned} & x \\ \hline \text{Januar 2023} & 1 \\ \text{Mai 2023} & 5 \\ \text{Oktober 2023} & 10 \\ \text{Februar 2024} & 14 \\ \text{August 2024} & 20 \\ \text{Oktober 2024} & 22 \end{array} \]
2. Regn ut modellverdiene For mai 2023 er \( {x = 5}\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \textcolor{red}{K(5)} = 27{,}8 \cdot 1{,}2^5 \approx \textcolor{red}{69{,}2} \]
Slik regner vi ut \( \textcolor{red}{K(x)} \) for alle seks månedene, avrundet til hele tilfeller, og setter verdiene ved siden av de \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{\text{Registrert}} & \textcolor{red}{K(x)} \\ \hline 1 & \textcolor{blue}{29} & \textcolor{red}{33} \\ 5 & \textcolor{blue}{93} & \textcolor{red}{69} \\ 10 & \textcolor{blue}{164} & \textcolor{red}{172} \\ 14 & \textcolor{blue}{284} & \textcolor{red}{357} \\ 20 & \textcolor{blue}{1035} & \textcolor{red}{1066} \\ 22 & \textcolor{blue}{1657} & \textcolor{red}{1535} \end{array} \]
3. Vurder modellen De \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene vokser fra \( \textcolor{blue}{29} \) til \( \textcolor{blue}{1657}\text{,} \) til mer enn \( 50 \) ganger så mange. \( \textcolor{red}{\text{Modellverdiene}} \) følger den veksten hele veien, og ingen av dem bommer med mer enn omtrent en firedel av det registrerte tallet. Derfor er \( K \) en god modell for perioden.
Metode: Med GeoGebra
1. Bruk eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner den modellen på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x} \) som går så nær punktene som mulig, der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren. Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)
GeoGebra gir \( {f(x) \approx \textcolor{blue}{27{,}809} \cdot \textcolor{red}{1{,}1987}^x}\text{.} \) Avrundet til én desimal er det \( {\textcolor{blue}{27{,}8} \cdot \textcolor{red}{1{,}2}^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( K \) en god modell.

Oppgave 1b)

Gi en praktisk tolkning av tallet 1,2 1{,}2 i modellen.
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
1,2 1{,}2 er vekstfaktoren i modellen, og antallet øker med:
20 % per ma˚ned‾‾ \underline{\underline{20\,\% \text{ per måned}}}
Tallet \( 1{,}2 \) er vekstfaktoren i modellen. Vi gjør den om til en prosent.
Metode: For hånd
1. Tolk vekstfaktoren For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er: \[ 1{,}2 = 1 + 0{,}20 = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{20}}{100} \]Hver måned ganges antallet med \( 1{,}2\text{.} \) Ifølge modellen øker antall registrerte tilfeller altså med \( \textcolor{red}{20}\,\% \) per måned.

Oppgave 1c)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (4,K(4)) (4, K(4)) og (21,K(21)). (21, K(21))\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Ifølge modellen økte antallet tilfeller per måned i gjennomsnitt med omtrent 72 72 hver måned fra april 2023 til september 2024 (stigningstallet avrundet til én desimal):
a≈71,8‾‾ \underline{\underline{a \approx 71{,}8}}
Linja går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.
Metode: For hånd
1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Her er punktene \( (\textcolor{blue}{4}, \textcolor{red}{K(4)}) \) og \( (\textcolor{blue}{21}, \textcolor{red}{K(21)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} K(\textcolor{blue}{4}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{4}} \approx \textcolor{red}{57{,}65} \\ K(\textcolor{blue}{21}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{21}} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{red}{57{,}65}}{\textcolor{blue}{21} - \textcolor{blue}{4}} \\ a &\approx \dfrac{1221{,}29}{17} \approx 71{,}8 \end{aligned} \]
2. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. Fra april 2023 til september 2024 økte antall registrerte tilfeller per måned altså i gjennomsnitt med omtrent \( 72 \) for hver måned, ifølge modellen.

Oppgave 1d)

Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Ifølge modellen, avrundet til et helt antall:
Omtrent 5499 tilfeller‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 5499 \text{ tilfeller}}}
Vi finner \( x \) for mai 2025 og setter inn i modellen.
Metode: For hånd
1. Finn x for mai 2025 Desember 2024 er \( 24 \) måneder etter desember 2022, og mai 2025 er \( 5 \) måneder etter det: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]
2. Sett inn i modellen Modellen ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall måneder, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]

1P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Har gått 83 ganger rundt Jorda I sommerens Stikk UT! har 40 000 deltagere registrert nær 1 million turer. De har tilbakelagt 3,3 millioner km på de ulike turene, noe som tilsvarer 83 gangar rundt jorda. Og når Stikk UT!-deltakerne i tillegg har lagt bak seg 78.000 høydekilometer, tilsvarer det nesten 9 000 ganger opp Mount Everest, går det frem av ei pressemelding fra Sunnmøre friluftsråd.
Artikkelen ovenfor er hentet fra aesby.no.

Oppgave 2a)

Hvor langt har hver deltaker i sommerens Stikk UT! i gjennomsnitt gått?
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
I gjennomsnitt har hver deltaker gått:
82,5 km‾‾ \underline{\underline{82{,}5\,\text{km}}}
I gjennomsnitt er den samlede strekningen fordelt likt på alle deltakerne. Vi deler derfor de \( 3{,}3 \) millioner kilometerne på \( 40\,000 \) deltakere.
Metode: For hånd
1. Del strekningen på deltakerne Gjennomsnittet er summen delt på antallet: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{sum}}}{\textcolor{red}{\text{antall}}} \]Hvis du er usikker på gjennomsnitt, kan du se videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023.
En million er \( 1\,000\,000\text{,} \) så \( 3{,}3 \) millioner km er \( \textcolor{blue}{3\,300\,000\,\text{km}}\text{.} \) Fordelt på \( \textcolor{red}{40\,000} \) deltakere blir det: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{3\,300\,000\,\text{km}}}{\textcolor{red}{40\,000}} = 82{,}5\,\text{km} \]

Oppgave 2b)

Hvor langt har Sunnmøre friluftsråd regnet at det er rundt jorda?
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Siden 3 300 000:83≈39 759, {3\,300\,000 : 83 \approx 39\,759}\text{,} har de regnet med omtrent:
40 000 km‾‾ \underline{\underline{40\,000\,\text{km}}}
De \( 3{,}3 \) millioner kilometerne tilsvarer \( 83 \) runder rundt jorda. Én runde er derfor strekningen delt på \( 83\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Del strekningen på antall runder Vi deler \( \textcolor{blue}{3\,300\,000\,\text{km}} \) på \( \textcolor{red}{83} \) runder: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{3\,300\,000\,\text{km}}}{\textcolor{red}{83}} \approx 39\,759\,\text{km} \]Både \( 3{,}3 \) millioner og \( 83 \) er avrundede tall i artikkelen. Sunnmøre friluftsråd har derfor regnet med omtrent \( 40\,000\,\text{km} \) rundt jorda.
Kontroll: Med \( 40\,000\,\text{km} \) per runde blir det \( {3\,300\,000 : 40\,000 = 82{,}5} \) runder, som avrundes til \( 83\text{.} \)

1P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

3 poeng

Elise skal gå fra dør til dør og selge aviser hver lørdag. En avis koster 49 kroner.
Firmaet hun skal arbeide for, beregner lønn på ulike måter. Elise kan velge mellom to tilbud.
Tilbud 1 Lønn: 35 % 35\,\% av beløpet hun selger aviser for
Tilbud 2 Fast lønn: 150 kroner per lørdag Tillegg: 10 kroner per avis hun selger
Gjør beregninger og gi Elise råd om hvilket tilbud hun bør velge.
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Tilbudene gir like mye ved omtrent 21 21 aviser, så med x x solgte aviser hver lørdag bør Elise velge:
x≤20: tilbud 2‾‾x≥21: tilbud 1‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{x \le 20\text{: tilbud 2}}} \\ &\underline{\underline{x \ge 21\text{: tilbud 1}}} \end{aligned}
Med tilbud 1 får Elise en prosent av salget, og med tilbud 2 et fast beløp pluss et tillegg per avis. Vi finner antallet aviser som gir like stor lønn, og sammenligner på hver side.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp lønna med hvert tilbud Vi kaller antall aviser Elise selger en lørdag for \( x\text{.} \) Da selger hun for \( 49x \) kroner. For prosent av et tall gjelder: \[ a\,\% \text{ av tall} = \dfrac{a}{100} \cdot \text{tall} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Lønna i kroner med de to tilbudene blir da: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{L_1(x)} &= \dfrac{35}{100} \cdot 49x = \textcolor{blue}{17{,}15x} \\ \textcolor{red}{L_2(x)} &= \textcolor{red}{150 + 10x} \end{aligned} \]
2. Finn når lønna er like stor Vi setter \( {\textcolor{blue}{L_1(x)} = \textcolor{red}{L_2(x)}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{17{,}15x} = \textcolor{red}{150 + 10x} \]
Vi trekker fra \( 10x \) på begge sider og deler med \( 7{,}15\text{:} \) \[ \begin{aligned} 7{,}15x &= 150 \\ x &\approx 20{,}98 \end{aligned} \]
3. Sammenlign på hver side Vi regner ut lønna for \( 20 \) og \( 21 \) aviser: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{L_1(20)} &= 343 & \textcolor{red}{L_2(20)} &= 350 \\ \textcolor{blue}{L_1(21)} &= 360{,}15 & \textcolor{red}{L_2(21)} &= 360 \end{aligned} \]Med tilbud 1 får Elise \( 17{,}15 \) kroner per avis, og med tilbud 2 bare \( 10\text{.} \) Fra \( 21 \) aviser og oppover gir derfor tilbud 1 mest, og med \( 20 \) eller færre gir tilbud 2 mest.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet mellom lønnene Vi skriver inn begge lønnene og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: L_1(x) = 0.35*49x L_2(x) = 150 + 10x S = Skjæring(L_1, L_2)
Skjæringspunktet er \( {S \approx (20{,}979,\ 359{,}7902)}\text{.} \) Til venstre for \( S \) ligger den røde linja, \( L_2\text{,} \) øverst, og til høyre den blå, \( L_1\text{.} \) Med \( 20 \) aviser eller færre gir altså tilbud 2 mest, og fra \( 21 \) aviser og oppover tilbud 1.

1P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

2 poeng

Dagbladet Lørdag med Magasinet • Kjøp 4 aviser for 99 kroner, spar 49 % 49\,\% • Kjøp 12 aviser for 449 kroner, spar 24 % 24\,\% • Kjøp 24 aviser for 799 kroner, spar 32 % 32\,\% • Kjøp 52 aviser for 1399 kroner, spar 45 % 45\,\%
Informasjonen ovenfor er hentet fra nettsidene til Bladkongen.
Hvor mye koster Dagbladet Lørdag uten rabatt?
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Tilbudene gir mellom 48,53 48{,}53 og 49,23 49{,}23 kroner for én avis uten rabatt:
Omtrent 49 kroner per avis‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 49 \text{ kroner per avis}}}
«Spar \( 49\,\% \)» betyr at vi betaler \( 51\,\% \) av prisen uten rabatt. Vi går baklengs fra tilbudsprisen og finner prisen for én avis.
Metode: For hånd
1. Finn vekstfaktorene Når prisen settes ned med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ \textcolor{blue}{V} = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Med de fire rabattene får vi: \[ \begin{aligned} 1 - 0{,}49 &= \textcolor{blue}{0{,}51} \\ 1 - 0{,}24 &= \textcolor{blue}{0{,}76} \\ 1 - 0{,}32 &= \textcolor{blue}{0{,}68} \\ 1 - 0{,}45 &= \textcolor{blue}{0{,}55} \end{aligned} \]
2. Finn prisen for én avis Tilbudsprisen er prisen uten rabatt ganget med vekstfaktoren: \[ \text{tilbudspris} = \text{pris uten rabatt} \cdot \textcolor{blue}{V} \]
Vi går baklengs og deler tilbudsprisen på \( \textcolor{blue}{V}\text{,} \) og så på antall aviser. Det gir prisen for én avis uten rabatt, i kroner: \[ \begin{aligned} 4 \text{ aviser: } & \dfrac{99}{\textcolor{blue}{0{,}51} \cdot 4} \approx 48{,}53 \\ 12 \text{ aviser: } & \dfrac{449}{\textcolor{blue}{0{,}76} \cdot 12} \approx 49{,}23 \\ 24 \text{ aviser: } & \dfrac{799}{\textcolor{blue}{0{,}68} \cdot 24} \approx 48{,}96 \\ 52 \text{ aviser: } & \dfrac{1399}{\textcolor{blue}{0{,}55} \cdot 52} \approx 48{,}92 \end{aligned} \]Alle fire gir omtrent \( 49 \) kroner. De er ikke helt like, fordi prosentene på nettsiden er avrundet.

1P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

Anne skal bygge en brygge og lurer på hvilken type terrassebord hun skal velge.
Hun finner informasjonen nedenfor på nettsiden til en byggevareforhandler. Tykkelse og bredde er gitt i mm. Byggevareforhandleren oppgir pris per meter terrassebord.
Furu 28x145 ter concise brun royal 67,90 kr Tykkelse: 28 Bredde: 145
Furu 28x095 ter concise brun royal 49,90 kr Tykkelse: 28 Bredde: 95
Hva blir prisen per kvadratmeter for hver av de to typene terrassebord?
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Uten mellomrom mellom bordene, avrundet til hele kroner, for bordene som er 145 mm 145\,\text{mm} og 95 mm 95\,\text{mm} brede:
145 mm: omtrent 468 kr/m2‾‾95 mm: omtrent 525 kr/m2‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{145\,\text{mm}\text{: omtrent } 468\,\text{kr/m}^2}} \\ &\underline{\underline{95\,\text{mm}\text{: omtrent } 525\,\text{kr/m}^2}} \end{aligned}
Prisen er oppgitt per meter bord. Vi finner hvor stort areal én meter bord dekker, og deler prisen på det arealet.
Metode: For hånd
1. Gjør bredden om til meter Det går \( 1000\,\text{mm} \) på \( 1\,\text{m}\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Måleenheter. Vi deler derfor med \( 1000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 145\,\text{mm} &= \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}} \\ 95\,\text{mm} &= \textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}} \end{aligned} \]
2. Finn arealet til én meter bord Én meter bord er et rektangel, og arealet er lengde ganger bredde: \[ A = l \cdot b \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Areal og Omkrets.
Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A_1 &= 1\,\text{m} \cdot \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}} = \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}^2} \\ A_2 &= 1\,\text{m} \cdot \textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}} = \textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}^2} \end{aligned} \]
3. Finn prisen per kvadratmeter Én meter av det brede bordet koster \( 67{,}90 \) kroner og dekker \( \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}^2}\text{.} \) Vi deler prisen på arealet, og gjør det samme med det smale bordet: \[ \begin{aligned} \dfrac{67{,}90\,\text{kr}}{\textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}^2}} &\approx 468{,}28\,\text{kr/m}^2 \\ \dfrac{49{,}90\,\text{kr}}{\textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}^2}} &\approx 525{,}26\,\text{kr/m}^2 \end{aligned} \]Her ser vi bort fra mellomrommene mellom bordene.

1P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

6 poeng

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.
Formel for å regne ut volumet av en boks med radius r r og høyde h h
V=π⋅r2⋅h V = \pi \cdot r^2 \cdot h
Formel for å regne ut arealet av overflaten av boksen
O=π⋅r2+2⋅π⋅r⋅h O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h
Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha • et volum V V på 450 cm3 450\,\text{cm}^3 • minst mulig overflate O O
Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen V=π⋅r2⋅h {V = \pi \cdot r^2 \cdot h}

Oppgave 6a)

Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.
Radius,r (cm)Høyde,h (cm)Overflate,O (cm2)Volum,V (cm3)235,8462,6450445064508450 \footnotesize \begin{array}{c|c|c|c} \begin{gathered} \text{Radius,} \\ r\ (\text{cm}) \end{gathered} & \begin{gathered} \text{Høyde,} \\ h\ (\text{cm}) \end{gathered} & \begin{gathered} \text{Overflate,} \\ O\ (\text{cm}^2) \end{gathered} & \begin{gathered} \text{Volum,} \\ V\ (\text{cm}^3) \end{gathered} \\ \hline 2 & 35{,}8 & 462{,}6 & 450 \\ 4 & & & 450 \\ 6 & & & 450 \\ 8 & & & 450 \end{array}
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Med høyden og overflaten avrundet til én desimal, og V=450 cm3 {V = 450\,\text{cm}^3} i alle:
r (cm)h (cm)O (cm2)235,8462,649,0‾‾275,3‾‾64,0‾‾263,1‾‾82,2‾‾313,6‾‾ \begin{array}{c|c|c} r\ (\text{cm}) & h\ (\text{cm}) & O\ (\text{cm}^2) \\ \hline 2 & 35{,}8 & 462{,}6 \\ 4 & \underline{\underline{9{,}0}} & \underline{\underline{275{,}3}} \\ 6 & \underline{\underline{4{,}0}} & \underline{\underline{263{,}1}} \\ 8 & \underline{\underline{2{,}2}} & \underline{\underline{313{,}6}} \end{array}
Vi kjenner volumet og radien. Vi finner høyden fra volumformelen, og setter radien og høyden inn i formelen for overflaten.
Merk – Boksen har ikke lokk: Tegningen ser ut som en lukket sylinder, men formelen for overflaten har bare én \( \pi r^2\text{,} \) altså bare bunnen. En lukket sylinder har \( {2\pi r^2 + 2\pi r h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Her er det formelen i oppgaven som gjelder.
Metode: For hånd
1. Finn et uttrykk for høyden Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate. For boksen er grunnflaten en sirkel med areal \( {\pi \cdot r^2}\text{:} \) \[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \]
Med \( {V = 450} \) deler vi med \( {\pi \cdot r^2} \) på begge sider: \[ h = \dfrac{450}{\pi \cdot r^2} \]
2. Regn ut høyde og overflate For \( {r = \textcolor{blue}{4}} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2} \approx \textcolor{red}{8{,}952} \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2 + 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{8{,}952} \approx 275{,}3 \end{aligned} \]
På samme måte for \( {r = 6} \) og \( {r = 8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} r = 6\text{: } \quad h &\approx 3{,}979 & O &\approx 263{,}1 \\ r = 8\text{: } \quad h &\approx 2{,}238 & O &\approx 313{,}6 \end{aligned} \]
Merk – Ikke rund av for tidlig: Regn ut \( O \) med høyden slik kalkulatoren gir den, og rund av til slutt. Med \( {h = 9{,}0} \) for \( {r = 4} \) blir \( {O \approx 276{,}5} \) i stedet for \( 275{,}3\text{.} \) Tallet \( 462{,}6 \) i oppgavens tabell er regnet ut på samme måte.
Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.

Oppgave 6b)

Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Overflaten i cm2 \text{cm}^2 når radien er r r cm, med en graf som synker til et bunnpunkt like over r=5 {r = 5} og stiger igjen:
O(r)=πr2+900r, r>0‾‾ \underline{\underline{O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r},\ r > 0}}
Vi bruker uttrykket for høyden fra a).
Vi setter uttrykket for høyden inn i formelen for overflaten. Da blir overflaten en funksjon av radien alene, og den kan vi tegne.
Metode: Med kalkulator
1. Sett høyden inn i formelen I a) fant vi \( {h = \dfrac{450}{\pi \cdot r^2}}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen for overflaten: \[ O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \dfrac{450}{\pi \cdot r^2} \]
I det siste leddet forkorter vi \( \textcolor{darkorange}{\pi} \) og én \( \textcolor{darkorange}{r}\text{,} \) og \( {2 \cdot 450 = 900}\text{:} \) \[ 2 \cdot \textcolor{darkorange}{\pi \cdot r} \cdot \dfrac{450}{\textcolor{darkorange}{\pi \cdot r} \cdot r} = \dfrac{900}{r} \]
Overflaten i \( \text{cm}^2 \) som funksjon av radien \( r \) i cm er da: \[ O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}, \quad r > 0 \]
2. Lag en verditabell Vi regner ut \( O(r) \) for noen radier med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 2 & 462{,}6 \\ 3 & 328{,}3 \\ 4 & 275{,}3 \\ 5 & 258{,}5 \\ 6 & 263{,}1 \\ 8 & 313{,}6 \\ 10 & 404{,}2 \end{array} \]
3. Tegn grafen Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:
Overflaten er stor for små radier, blir minst like over \( {r = 5} \) og øker igjen for større radier.
Metode: Med GeoGebra
1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen fra kalkulatorruten med \( {r > 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: O(r) = pi*r^2 + 900/r, r > 0
Grafen viser at overflaten er minst når radien er litt over \( 5\,\text{cm}\text{.} \)

Oppgave 6c)

Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Avrundet til én desimal:
r≈5,2 cm‾‾O≈258,0 cm2‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{r \approx 5{,}2\,\text{cm}}} \\ &\underline{\underline{O \approx 258{,}0\,\text{cm}^2}} \end{aligned}
Vi bruker funksjonen \( O(r) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi leter etter radien som gir minst overflate. Med kalkulator bruker vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi bunnpunktet på grafen.
Metode: Med kalkulator
1. Finn hvor overflaten er minst I b) fant vi: \[ O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \]Verditabellen i b) har \( {O(4) \approx 275{,}3}\text{,} \) \( {O(5) \approx 258{,}5} \) og \( {O(6) \approx 263{,}1}\text{.} \) Den minste overflaten ligger altså mellom \( {r = 4} \) og \( {r = 6}\text{.} \)
2. Lag en finere tabell rundt 5 Vi regner ut \( O(r) \) for hver tidels centimeter rundt \( 5\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 5{,}0 & 258{,}54 \\ 5{,}1 & 258{,}18 \\ \textcolor{red}{5{,}2} & \textcolor{red}{258{,}03} \\ 5{,}3 & 258{,}06 \\ 5{,}4 & 258{,}28 \end{array} \]Overflaten er minst ved omtrent \( {\textcolor{red}{r = 5{,}2\,\text{cm}}}\text{,} \) og da er den omtrent \( \textcolor{red}{258{,}0\,\text{cm}^2}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Finn bunnpunktet på grafen Vi finner bunnpunktet mellom \( {r = 1} \) og \( {r = 10} \) med Min, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: O(r) = pi*r^2 + 900/r, r > 0 B = Min(O, 1, 10)
Bunnpunktet er \( {B \approx (5{,}2322,\ 258{,}0158)}\text{.} \) Radien bør være omtrent \( 5{,}2\,\text{cm}\text{,} \) og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)