Eksamensoppgaver etter tema

Dette er en tredjegradslikning. Vi gjetter oss fram til én løsning, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.

1. Gjett én løsning 0:17 Vi kaller venstre side \( P(x)\text{.} \) Dette er del 1, så en av løsningene er nok et lite heltall. Vi prøver \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(1) &= 1^3 - 7 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 + 16 \\ P(1) &= 1 - 7 - 10 + 16 = 0 \end{aligned} \]

Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ P(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{P(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {P(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon 1:30 Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -6x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-7x^2 + x^2 = -6x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-10x} \) og \( 16\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-6x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-6x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-6x} \\ \textcolor{magenta}{-6x} \cdot (x - 1) &= -6x^2 + 6x \\ -(-6x^2 + 6x) &= \textcolor{magenta}{6x^2 - 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 6x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x^2}} & {}- 10x & {}+ 16 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{6x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 6x} & \\ \hline & & -16x & {}+ 16 \end{array} \end{array} \]\( {-6x^2} \) strykes mot \( 6x^2\text{,} \) \( {-10x - 6x = -16x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 16\text{.} \) Linja \( {-16x + 16} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-16x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-16x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-16} \\ \textcolor{blue}{-16} \cdot (x - 1) &= -16x + 16 \\ -(-16x + 16) &= \textcolor{blue}{16x - 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 6x} \textcolor{blue}{{}- 16} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x^2}} & {}- 10x & {}+ 16 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{6x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 6x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-16x}} & {}+ 16 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{16x}} & \textcolor{blue}{{}- 16} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-16x} \) strykes mot \( 16x\text{,} \) og \( {16 - 16 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 7x^2 - 10x + 16 \\ &= (x - 1)(x^2 - 6x - 16) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen 4:10 Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 1} \) gir \( {x = 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 6x - 16 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-6}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-16}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-6}) = 6}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{6 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-6})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-16})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \dfrac{6 \pm 10}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{16}{2} = 8} \) eller \( {x = \dfrac{-4}{2} = -2}\text{.} \)

Vi bruker nullpunktene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafene har ingen tall på aksene. Vi ser derfor på hvor grafen skjærer \( y \)-aksen, og på om nullpunktene er positive eller negative.

1. Finn skjæringspunktet med y-aksen 0:25 Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= 0^3 - 7 \cdot 0^2 - 10 \cdot 0 + 16 \\ f(0) &= \textcolor{blue}{16} \end{aligned} \]

Grafen skjærer altså \( y \)-aksen i et positivt tall, over \( x \)-aksen. A og B skjærer \( y \)-aksen under \( x \)-aksen, så de kan ikke være grafen til \( f\text{.} \)

2. Bruk nullpunktene fra a) 1:48 Nullpunktene til \( f \) er løsningene av \( {f(x) = 0}\text{,} \) og den likningen løste vi i a): \[ x = \textcolor{red}{-2}, \quad x = 1 \quad \text{og} \quad x = 8 \]Det er \( \textcolor{red}{\text{ett negativt}} \) og to positive nullpunkter.

C har ett nullpunkt til venstre for \( y \)-aksen og to til høyre. D har to nullpunkter til venstre for \( y \)-aksen, så D kan ikke være grafen til \( f\text{.} \) Bare C passer.

Høyden deler den likesidede trekanten i to rettvinklede trekanter. Vi finner vinklene og sidene i den ene halvdelen og bruker definisjonene av sinus og cosinus.

1. Finn vinklene og sidene Alle vinklene i en likesidet trekant er like store, og vinkelsummen er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]Trekanten er symmetrisk om høyden, så høyden deler toppvinkelen i to. Hver halvdel har derfor vinklene \( 60^\circ\text{,} \) \( 30^\circ \) og \( 90^\circ\text{.} \)

Høyden deler også grunnlinja på midten, så den korte kateten er \( \textcolor{red}{1}\text{.} \) Hypotenusen er en side i den likesidede trekanten, \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \)

2. Bruk definisjonene av sinus og cosinus Definisjonene forteller oss at for en spiss vinkel \( v \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \sin v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \\ \cos v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Kateten \( \textcolor{red}{1} \) er motstående katet til \( 30^\circ \) og hosliggende katet til \( 60^\circ\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \\ \cos 60^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \end{aligned} \]Begge er \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Vi gjør det samme som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, der trekanten gir \( \sin 45^\circ\text{.} \)

Vi bruker \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi arealet med arealsetningen.

1. Bruk arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{b} \) og \( \textcolor{red}{c} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{A} \) mellom dem er: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{b} = AC = \textcolor{blue}{6}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = AB = \textcolor{red}{10}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{,} \) og fra a) vet vi at \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{10} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 15 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, og skal finne siden som står mot vinkelen. Da bruker vi cosinussetningen.

1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss hvor lang en side er når vi kjenner de to andre sidene og vinkelen mellom dem. I trekant \( PQR \) står \( QR \) mot vinkelen \( \textcolor{green}{P} \) mellom \( \textcolor{blue}{PQ} \) og \( \textcolor{red}{PR}\text{:} \) \[ \begin{aligned} QR^2 &= \textcolor{blue}{PQ}^2 + \textcolor{red}{PR}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{PQ} \cdot \textcolor{red}{PR} \cdot \cos \textcolor{green}{P} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{PQ} &= \textcolor{blue}{8} & \textcolor{red}{PR} &= \textcolor{red}{3} & \textcolor{green}{P} &= \textcolor{green}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), får vi: \[ \begin{aligned} QR^2 &= \textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{3}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \cos \textcolor{green}{60^\circ} \\ QR^2 &= 64 + 9 - 48 \cdot \dfrac{1}{2} = 49 \\ QR &= \sqrt{49} = 7 \end{aligned} \]

Vi regner ut hva modellen gir i månedene i tabellen og sammenligner med tallene som er registrert. I GeoGebra lager vi en eksponentiell regresjon av punktene og ser at den gir \( K\text{.} \)

1. Finn månedsnumrene i tabellen \( x \) er antall måneder etter desember 2022, så januar 2024 er \( {x = 13}\text{.} \) Månedene i tabellen er da: \[ x = 1, \ 5, \ 10, \ 14, \ 20 \text{ og } 22 \]

2. Sammenlign modellen med tabellen Modellen er startverdien \( 27{,}8 \) ganget med vekstfaktoren \( 1{,}2 \) én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. Vi regner ut \( \textcolor{blue}{K(x)} \) med kalkulator og setter den ved siden av de registrerte tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Registrert} & \textcolor{blue}{K(x)} \\ \hline 1 & 29 & \textcolor{blue}{33{,}4} \\ 5 & 93 & \textcolor{blue}{69{,}2} \\ 10 & 164 & \textcolor{blue}{172{,}1} \\ 14 & 284 & \textcolor{blue}{356{,}9} \\ 20 & 1035 & \textcolor{blue}{1065{,}8} \\ 22 & 1657 & \textcolor{blue}{1534{,}7} \end{array} \]

Modellen følger den raske veksten fra omtrent 30 til omtrent 1600 tilfeller i måneden, og de registrerte tallene ligger dels over og dels under modellen. Avvikene er små sammenlignet med veksten, så \( K \) er en god modell for perioden.

1. Lag en eksponentiell regresjon Vi lager en liste med punktene og bruker eksponentiell regresjon med RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{,} \) på samme måte som den logistiske regresjonen i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx 27{,}809 \cdot 1{,}1987^x}\text{.} \) Avrundet er det \( {27{,}8 \cdot 1{,}2^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går tett forbi punktene. \( K \) er altså en god modell.

Linjen går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut \( K(4) \) og \( K(21)\text{,} \) og finner stigningstallet mellom punktene.

1. Regn ut de to modellverdiene Vi setter inn i modellen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{K(4)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^4 \approx \textcolor{blue}{57{,}65} \\ \textcolor{red}{K(21)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{21} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{K(21)} - \textcolor{blue}{K(4)}}{21 - 4} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ a \approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{blue}{57{,}65}}{17} \approx 71{,}8 \]

3. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. \( K(x) \) er antall tilfeller som registreres i måned \( x\text{.} \) Stigningstallet forteller at dette antallet økte med i gjennomsnitt omtrent 72 tilfeller per måned fra april 2023 til september 2024.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS med \( {:=} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x (K(21) - K(4))/(21 - 4)

CAS gir stigningstallet \( {\approx 71{,}84}\text{.} \) Antall registrerte tilfeller i måneden økte altså med i gjennomsnitt omtrent 72 per måned fra april 2023 til september 2024.

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022. Vi setter derfor \( {x = 29} \) inn i modellen.

1. Finn månedsnummeret for mai 2025 Desember 2024 er 24 måneder etter desember 2022, og mai 2025 kommer 5 måneder senere: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]

2. Regn ut modellverdien Modellen er startverdien ganget med vekstfaktoren én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]Ifølge modellen blir det registrert omtrent 5499 tilfeller i mai 2025.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS og regner ut \( K(29) \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x K(29)

CAS gir \( {K(29) \approx 5499{,}2}\text{,} \) altså omtrent 5499 tilfeller.