Eksamensoppgaver etter tema

Hver av de tolv trekantene har to sider lik radien \( r \) og vinkelen \( 30^\circ \) mellom dem. Vi skriver arealet med arealsetningen, setter det lik 120 og løser for \( r\text{.} \)

1. Sett opp arealet med arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem er: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I hver trekant er begge sidene radien, \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Tolv slike trekanter har til sammen arealet \( 120\text{:} \) \[ 12 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = 120 \]

2. Finn radien og diameteren Siden \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) og \( {12 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 3}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 3r^2 &= 120 \\ r^2 &= 40 \\ r &= \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \end{aligned} \]Radien er positiv, så vi tar bare den positive roten, og \( {\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}}\text{.} \)

Diameteren er to ganger radien: \[ d = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10} \]

1. Løs i CAS Vi skriver arealet av tolvkanten som en funksjon av \( r \) og løser likningen med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: A(r) := 12*1/2*r*r*sin(30°) Løs(A(r) = 120, r)

CAS gir \( {r = \pm 2\sqrt{10}}\text{.} \) Radien er positiv, så \( {r = 2\sqrt{10}} \) og \( {d = 2r = 4\sqrt{10}}\text{.} \)

Vi bruker radien fra a), \( {r = 2\sqrt{10}}\text{,} \) altså \( {r^2 = 40}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Hver side i tolvkanten står mot vinkelen \( 30^\circ \) i en av trekantene. Vi finner siden med cosinussetningen og ganger med 12.

1. Finn siden med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden \( s \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) er gitt ved: \[ s^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{blue}{b} \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}} \) med \( {r^2 = 40}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Med \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) får vi: \[ \begin{aligned} s^2 &= \textcolor{blue}{40} + \textcolor{blue}{40} - 2 \cdot \textcolor{blue}{40} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ s^2 &= 80 - 40\sqrt{3} \\ s &= \sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \end{aligned} \]

2. Finn omkretsen Tolvkanten har tolv like sider: \[ O = 12s = 12\sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \approx 39{,}29 \]

1. Regn ut i CAS Vi setter inn radien fra a), finner siden med cosinussetningen og ganger med 12:

Skriv inn i GeoGebra: r := 2*sqrt(10) s := sqrt(r^2 + r^2 - 2*r*r*cos(30°)) O := 12*s O

CAS skriver omkretsen som \( {24\sqrt{15} - 24\sqrt{5} \approx 39{,}29}\text{.} \) Det er det samme tallet som \( {12\sqrt{80 - 40\sqrt{3}}}\text{,} \) fordi \( {s = 2\sqrt{15} - 2\sqrt{5}} \) og \( {\sqrt{75} = 5\sqrt{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (2\sqrt{15} - 2\sqrt{5})^2 &= 60 - 8\sqrt{75} + 20 \\ &= 80 - 40\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi finner hvor mange kvadrater figur \( n \) har. Så kan algoritmen la \( n \) gå fra 1 til 20 og regne ut antallet for hver figur.

1. Finn antallet i hver figur Vi følger figurene og danner et mønster, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Figur \( n \) har et kvadrat med \( {\textcolor{blue}{n \cdot n}} \) ruter øverst, en trapp med \( {\textcolor{red}{n + 1}} \) ruter på skrå nedover og en søyle med \( \textcolor{green}{n} \) ruter til høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{n^2} + \textcolor{red}{(n + 1)} + \textcolor{green}{n} &= n^2 + 2n + 1 \\ &= (n + 1)^2 \end{aligned} \]Det siste er første kvadratsetning baklengs, \( {a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2} \) med \( {a = n} \) og \( {b = 1}\text{,} \) som i videoen Kvadratsetningene.

Kontroll: Figur 1, 2 og 3 gir \( {2^2 = 4}\text{,} \) \( {3^2 = 9} \) og \( {4^2 = 16} \) kvadrater, som på figurene.

2. Skriv algoritmen Trinn 1: Start med figur nummer \( {n = 1}\text{.} \) Trinn 2: Regn ut antall kvadrater i figur \( n\text{,} \) \( {(n + 1)^2}\text{.} \) Trinn 3: Skriv ut \( n \) og antallet. Trinn 4: Øk \( n \) med 1, og gå tilbake til trinn 2 så lenge \( {n \le 20}\text{.} \)

Vi bruker algoritmen fra a): figur \( n \) har \( {(n + 1)^2} \) kvadrater.

Vi lar en for-løkke gå gjennom figur 1 til 20 og skriver ut \( {(n + 1)^2} \) for hver figur.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne antallet i figur \( n\text{,} \) som i a), og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Løkka i linje 1 går gjennom figur 1 til 20, fordi \( \texttt{range(1, 21)} \) stopper før 21, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 2 regner ut antall kvadrater i figur \( n\text{,} \) \( {\textcolor{red}{(n + 1)^2}}\text{,} \) og linje 3 skriver det ut. Utskriften går fra 4 kvadrater i figur 1 til 441 i figur 20.

Vi trekker fra kvadratene til figur 1, figur 2 og så videre, så lenge det er nok kvadrater igjen til neste figur. Det gjør en while-løkke.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese en while-løkke på papir, og på å følge den noen runder for hånd.

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 starter med \( 1\,000\,000 \) kvadrater, og i linje 2 er \( \texttt{n} \) nummeret på figuren vi skal lage. Løkka i linje 4 går så lenge vi har minst \( {\textcolor{red}{(n + 1)^2}} \) kvadrater igjen, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 5 trekker fra kvadratene til figur \( n\text{,} \) og linje 6 går videre til neste figur. Når løkka stopper, er \( \texttt{n} \) den første figuren vi ikke har nok kvadrater til, så vi har laget \( {n - 1} \) figurer.

2. Les av utskriften Linje 8 og 9 skriver ut at vi kan lage 142 figurer og har \( 15\,017 \) kvadrater igjen. Figur 143 trenger \( {144^2 = 20\,736} \) kvadrater, og det er flere enn vi har igjen.

Vi løser volumformelen for \( h \) og finner høyden for hver radius. Så setter vi \( r \) og \( h \) inn i formelen for overflaten.

Merk – Boksen har ikke lokk: Tegningen ser ut som en lukket sylinder, men formelen for overflaten har bare én \( \pi r^2\text{,} \) altså bare bunnen. En lukket sylinder har \( {2\pi r^2 + 2\pi r h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Her er det formelen i oppgaven som gjelder.

1. Finn høyden Vi deler begge sider av volumformelen på \( \pi r^2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi r^2 h &= 450 \\ h &= \dfrac{450}{\pi r^2} \end{aligned} \]

Vi setter inn radiusene med kalkulator: \[ \begin{aligned} r = \textcolor{blue}{4}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2} \approx \textcolor{red}{8{,}952} \\ r = \textcolor{blue}{6}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{6}^2} \approx \textcolor{red}{3{,}979} \\ r = \textcolor{blue}{8}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{8}^2} \approx \textcolor{red}{2{,}238} \end{aligned} \]

2. Finn overflaten Vi setter \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{red}{h} \) inn i \( {O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{8{,}952} \approx 275{,}3 \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{6}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{3{,}979} \approx 263{,}1 \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{8}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{2{,}238} \approx 313{,}6 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Bruk alle desimalene til \( h \) fra kalkulatoren. Med \( {h = 9{,}0} \) blir overflaten for \( {r = 4} \) omtrent \( 276{,}5\text{,} \) ikke \( 275{,}3\text{.} \) Tallet \( 462{,}6 \) i oppgaven er også regnet med alle desimalene.

1. Regn ut i CAS Vi definerer høyden og overflaten som funksjoner av \( r \) og setter inn alle radiusene på en gang med en liste:

Skriv inn i GeoGebra: h(r) := 450/(pi*r^2) O(r) := pi*r^2 + 2*pi*r*h(r) h({2, 4, 6, 8}) O({2, 4, 6, 8})

CAS gir de samme høydene og overflatene som med kalkulator, og også de to tallene i oppgaven for \( {r = 2}\text{.} \)

Vi setter uttrykket for \( h \) fra volumformelen inn i formelen for overflaten. Da får vi \( O \) som en funksjon av \( r \) alene.

1. Sett opp funksjonsuttrykket Fra volumformelen er \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{\dfrac{450}{\pi r^2}}}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen for overflaten, slik arealet settes opp som en funksjon i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} O(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{red}{\dfrac{450}{\pi r^2}} \\ O(r) &= \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \end{aligned} \]Vi forkorter \( \pi \) og én \( r\text{,} \) og \( {2 \cdot 450 = 900}\text{.} \) Radien må være positiv, så \( {r > 0}\text{.} \)

2. Lag en verditabell og tegn grafen Vi regner ut \( O(r) \) for noen verdier av \( r\text{,} \) avrundet til hele tall: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 1 & 903 \\ 2 & 463 \\ 3 & 328 \\ 4 & 275 \\ 5 & 259 \\ 6 & 263 \\ 8 & 314 \\ 10 & 404 \end{array} \]

Vi tegner punktene og trekker en glatt kurve gjennom dem:

Overflaten er stor for små \( r\text{,} \) blir minst rundt \( {r = 5} \) og vokser igjen for store \( r\text{.} \)

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen med \( x \) for radien og en definisjonsmengde:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = pi*x^2 + 900/x, 0 < x < 12

Grafen viser at overflaten er minst når radien er litt over 5 cm.

Vi bruker funksjonen fra b), \( {O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Minst overflate er bunnpunktet til \( O\text{.} \) Med kalkulator finner vi det der den deriverte er \( 0\text{,} \) og i GeoGebra med Min.

1. Deriver funksjonen Vi skriver \( {\dfrac{900}{r} = 900 \cdot r^{-1}}\text{,} \) som i videoen Regneregler med Potenser. Potensregelen forteller oss at: \[ (r^n)' = n \cdot r^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{,} \) også \( {n = -1}\text{.} \) Hvis du er usikker på potensregelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd. \( \textcolor{blue}{\pi r^2} \) derivert blir \( \textcolor{blue}{\underline{2\pi r}}\text{,} \) og \( {\textcolor{red}{900r^{-1}}} \) derivert blir: \[ 900 \cdot (-1) \cdot r^{-2} = \textcolor{red}{\underline{-\dfrac{900}{r^2}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(r) = \textcolor{blue}{2\pi r} - \textcolor{red}{\dfrac{900}{r^2}} \]Du kan også derivere brøken med kvotientregelen, som i videoen Tangentlinje.

2. Sett den deriverte lik null I bunnpunktet er \( {O'(r) = 0}\text{:} \) \[ 2\pi r - \dfrac{900}{r^2} = 0 \]

Vi flytter brøken over, ganger begge sider med \( r^2 \) og deler på \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi r^3 &= 900 \\ r^3 &= \dfrac{450}{\pi} \\ r &= \sqrt[3]{\dfrac{450}{\pi}} \approx 5{,}2322 \end{aligned} \]

3. Vis at det er et bunnpunkt Vi sjekker fortegnet til \( O'(r) \) på hver side: \[ \begin{aligned} O'(5) &= 10\pi - 36 \approx -4{,}6 \\ O'(6) &= 12\pi - 25 \approx 12{,}7 \end{aligned} \]Overflaten minker før \( {r \approx 5{,}2322} \) og øker etter, så den er minst der.

4. Regn ut overflaten Vi setter \( r \) inn i \( O(r) \) med alle desimalene fra kalkulatoren, ledd for ledd: \[ \begin{aligned} \pi \cdot 5{,}2322^2 &\approx 86{,}00 \\ \dfrac{900}{5{,}2322} &\approx 172{,}01 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O \approx 86{,}00 + 172{,}01 \approx 258{,}0 \]Minst overflate får boksen med radius omtrent \( 5{,}2 \) cm, og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi tegner grafen fra b) og finner bunnpunktet med Min, slik du finner et toppunkt med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = pi*x^2 + 900/x, 0 < x < 12 A = Min(O, 1, 12)

Bunnpunktet er \( {A \approx (5{,}2322,\ 258{,}0158)}\text{.} \) Minst overflate får boksen med radius omtrent \( 5{,}2 \) cm, og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)

For å finne nullpunktene setter vi \( {g(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:10 Vi setter \( {g(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0 \]

\( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \) Derfor må \( {\textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen 1:18 Vi tar kvadratroten på begge sider, og \( {\sqrt{0} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2x - 1 &= 0 \\ 2x &= 1 \\ x &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Skriv opp produktregelen 0:33 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'} \) og \( \textcolor{blue}{v} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{u'} = \textcolor{red}{u}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Gang ut parentesen og deriver 1:41 For å finne \( \textcolor{blue}{v'} \) ganger vi først ut parentesen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= (2x - 1)(2x - 1) \\ \textcolor{blue}{v} &= 4x^2 - 4x + 1 \end{aligned} \]

Så deriverer vi ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstanten \( 1 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{v'} = 8x - 4 = \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \]

3. Sett inn og faktoriser 3:39 Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) = {} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \\ &+ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

Begge leddene har faktorene \( {\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}}\text{.} \) Faktoriserer vi dem ut, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}\bigl(4 + (2x - 1)\bigr) \\ g'(x) &= \dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)(2x + 3) \end{aligned} \]Det er uttrykket i oppgaven.

Uttrykket for \( g'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {g'(x) = 0}\text{.} \) Om et punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av fortegnet til \( g'(x) \) på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:05 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(\textcolor{darkorange}{2x - 1})(\textcolor{magenta}{2x + 3}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \dfrac{1}{2}e^x \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x - 1} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{magenta}{2x + 3} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

2. Finn y-koordinatene 2:00 Vi setter \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og \( {x = \dfrac{1}{2}} \) inn i \( g(x)\text{.} \) Siden \( {2 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 1 = -4} \) og \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g\left(-\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{-\tfrac{3}{2}} \cdot (-4)^2 = 8e^{-\tfrac{3}{2}} \\ g\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{\tfrac{1}{2}} \cdot 0^2 = 0 \end{aligned} \]

3. Avgjør hva slags punkter det er 3:51 \( \dfrac{1}{2}e^x \) er alltid positiv, så fortegnet til \( g'(x) \) kommer fra de to andre faktorene. Vi lager en fortegnslinje, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-1.5, 0.5], "labels": ["-\\tfrac{3}{2}", "\\tfrac{1}{2}"], "rows": [{"label": "\\tfrac{1}{2}e^x", "expr": "0.5*e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 3}", "expr": "2x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{2x - 1}", "expr": "2x - 1"}, {"label": "g'(x)", "expr": "0.5*e^x*(2x - 1)*(2x + 3)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \)

Grafen stiger fram til \( {x = -\dfrac{3}{2}}\text{,} \) synker fram til \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og stiger igjen. Den har derfor et toppunkt i \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og et bunnpunkt i \( {x = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) I videoen sammenligner vi bare de to funksjonsverdiene, men fortegnslinja viser også at grafen faktisk snur i begge punktene.

Vi får potensen alene og skriver \( 81 \) som en potens av \( 3\text{.} \) Når grunntallene er like, må eksponentene være like.

1. Få potensen alene 0:07 Vi flytter \( {-5} \) over til høyre side: \[ \begin{aligned} 3^{3x + 2} - 5 &= 76 \\ 3^{3x + 2} &= 81 \end{aligned} \]

2. Skriv 81 som en potens 0:19 Her må vi se at \( {81 = 9 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\text{.} \) Fire like faktorer kan vi skrive som en potens, som i videoen Hva er en Potens: \[ 81 = 3^4 \]

Det gir oss: \[ 3^{\textcolor{green}{3x + 2}} = 3^{\textcolor{green}{4}} \]

3. Sett eksponentene like 1:00 Grunntallet er \( 3 \) på begge sider, så eksponentene må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{3x + 2} &= \textcolor{green}{4} \\ 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd med logaritmereglene, så alle blir et tall ganget med \( \lg x\text{.} \) Så trekker vi sammen og løser for \( x\text{.} \)

1. Skriv opp logaritmereglene 0:03 Likningen gir bare mening når \( {x > 0}\text{.} \) Da forteller logaritmereglene oss at: \[ \begin{aligned} \lg(a^n) &= n \cdot \lg a \\ \lg\dfrac{a}{b} &= \lg a - \lg b \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Skriv om ledd for ledd 0:30 \( 3\lg x \) er allerede et tall ganget med \( \lg x\text{.} \)

\( \textcolor{blue}{2\lg x^2}\text{:} \) Med den første regelen er \( {\lg x^2 = 2\lg x}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{2\lg x^2} = 2 \cdot 2\lg x = \textcolor{blue}{\underline{4\lg x}} \]

\( \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}}\text{:} \) Fra definisjonen er \( {\lg 1 = 0}\text{,} \) siden \( {10^0 = 1}\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?. Med de to reglene får vi: \[ \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}} = \lg 1 - \lg x^9 = \textcolor{red}{\underline{-9\lg x}} \]

3. Trekk sammen og løs 1:30 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} 3\lg x + \textcolor{blue}{4\lg x} \textcolor{red}{{}- 9\lg x} &= 2 \\ -2\lg x &= 2 \\ \lg x &= -1 \end{aligned} \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen er \( {10^{\lg x} = x}\text{,} \) så: \[ x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \]Den er positiv, så den er en løsning.

Vi begynner med å sette inn \( {x = 3} \) i telleren og nevneren hver for seg, og ser hvilken form vi får.

1. Sett inn i teller og nevner 0:04 Vi setter inn \( {x = 3} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Teller: }} & 3(3^2 - 3) = 3 \cdot 6 = \textcolor{red}{18} \\ \textcolor{blue}{\text{Nevner: }} & 3 - 3 = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]Vi får ikke formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) men et tall delt på \( 0\text{.} \)

2. Se på hver side av 3 0:38 Telleren går mot \( \textcolor{red}{18}\text{,} \) mens nevneren går mot \( \textcolor{blue}{0}\text{.} \) Da blir brøken større og større i tallverdi, og fortegnet avhenger av hvilken side vi kommer fra, som i videoen Dele på null.

Fra høyre er \( {x > 3}\text{,} \) så nevneren er positiv. Fra venstre er nevneren negativ: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 3^+} \dfrac{3(x^2 - 3)}{x - 3} &= +\infty \\ \lim_{x \to 3^-} \dfrac{3(x^2 - 3)}{x - 3} &= -\infty \end{aligned} \]

Merk – Grenseverdien eksisterer ikke: Grensene fra høyre og fra venstre er ulike, så grenseverdien slik den står i oppgaven, eksisterer ikke. Det vi kan bestemme, er grensene fra hver side.

Vi begynner med å sette inn \( {x = 4} \) i telleren og nevneren hver for seg. Gir det formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) faktoriserer vi nevneren og forkorter.

1. Sett inn i teller og nevner 0:00 Vi setter inn \( {x = 4} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \text{Teller: } & \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0 \\ \text{Nevner: } & 4 - 4 = 0 \end{aligned} \]Både telleren og nevneren blir \( 0\text{,} \) så innsetting gir formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \)

2. Faktoriser nevneren 0:58 Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så vi faktoriserer nevneren. Konjugatsetningen forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{\sqrt{x}}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}}\text{,} \) fordi \( {(\sqrt{x})^2 = x} \) og \( {2^2 = 4}\text{.} \) Det gir oss: \[ x - 4 = (\textcolor{blue}{\sqrt{x}} - \textcolor{red}{2})(\textcolor{blue}{\sqrt{x}} + \textcolor{red}{2}) \]

3. Forkort og sett inn 2:07 Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{\sqrt{x} - 2}} \) står både i telleren og i nevneren. Den er ikke \( 0 \) når \( {x \neq 4}\text{,} \) så vi kan forkorte den: \[ \dfrac{\textcolor{darkorange}{\sqrt{x} - 2}}{(\textcolor{darkorange}{\sqrt{x} - 2})(\sqrt{x} + 2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} \]

Det nye uttrykket gir ikke lenger formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi setter inn \( {x = 4}\text{:} \) \[ \lim_{x \to 4} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} = \dfrac{1}{\sqrt{4} + 2} = \dfrac{1}{4} \]

Skuddene er uavhengige av hverandre, så vi ganger sannsynlighetene for de to skuddene. Det tredje skuddet spiller ingen rolle her.

1. Gang sannsynlighetene Arne treffer med sannsynlighet \( \textcolor{blue}{0{,}8} \) på hvert skudd. Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B) \]

Treff på det første og treff på det andre skuddet gir: \[ P(\text{treff, treff}) = \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{blue}{0{,}8} = 0{,}64 \]Det tredje skuddet kan bli treff eller bom, så det kommer ikke inn.

Bommen kan komme på det første, det andre eller det tredje skuddet. Vi regner ut én rekkefølge, og ganger med antall rekkefølger.

1. Regn ut én rekkefølge Arne treffer med sannsynlighet \( \textcolor{blue}{0{,}8} \) og bommer med \( {1 - 0{,}8 = \textcolor{red}{0{,}2}}\text{.} \) Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Treff, treff og så bom gir: \[ P(\text{TTB}) = \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = 0{,}128 \]

2. Tell rekkefølgene Bommen kan komme på skudd 1, 2 eller 3, altså BTT, TBT eller TTB. Alle tre har sannsynligheten \( 0{,}128\text{,} \) så vi legger sammen: \[ 3 \cdot 0{,}128 = 0{,}384 \]Det er binomisk sannsynlighet med \( {n = 3} \) skudd og \( {p = 0{,}8}\text{.} \)

«Høyst ett» betyr null eller ett treff. Vi regner ut begge sannsynlighetene og legger dem sammen.

1. Regn ut null treff Null treff betyr bom på alle tre skuddene. Arne bommer med sannsynlighet \( \textcolor{red}{0{,}2}\text{,} \) og skuddene er uavhengige, så vi ganger, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{BBB}) = \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = \underline{0{,}008} \]

2. Regn ut ett treff Treffet kan komme på skudd 1, 2 eller 3, altså TBB, BTB eller BBT. Hver rekkefølge har sannsynligheten: \[ \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = 0{,}032 \]Tre rekkefølger gir \( {3 \cdot 0{,}032 = \underline{0{,}096}}\text{.} \)

3. Legg sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ 0{,}008 + 0{,}096 = 0{,}104 \]

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{.} \) Den er kontinuerlig der hvis de to uttrykkene gir samme verdi i \( {x = 0}\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn i begge uttrykkene Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^2 + 2}}\text{.} \) Fra høyre, og i \( {x = 0}\text{,} \) gjelder \( \textcolor{red}{2e^x}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \textcolor{blue}{0^2 + 2} = \textcolor{blue}{2} \\ \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) &= \textcolor{red}{2e^0} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]Begge uttrykkene gir \( 2\text{,} \) så grafen henger sammen i \( {x = 0}\text{.} \)

\( g \) har de samme uttrykkene som \( f \) på hver side av \( {x = 0}\text{,} \) men en egen verdi i \( {x = 0}\text{.} \) Vi sammenligner grenseverdiene fra hver side med \( g(0)\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( g \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sammenlign med funksjonsverdien Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^2 + 2}}\text{,} \) og fra høyre \( \textcolor{red}{2e^x}\text{.} \) Siden \( {e^0 = 1}\text{,} \) går begge mot \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} g(x) &= \textcolor{blue}{0^2 + 2} = \textcolor{blue}{2} \\ \lim_{x \to 0^+} g(x) &= \textcolor{red}{2e^0} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

Men i \( {x = 0} \) gjelder den midterste linja, så \( {\textcolor{green}{g(0) = 1}}\text{,} \) og \( {1 \neq 2}\text{.} \) Grafen nærmer seg punktet \( (0, 2) \) fra begge sider, mens funksjonsverdien ligger i \( (0, 1)\text{.} \) Grafen henger altså ikke sammen i \( {x = 0}\text{.} \)