1T eksamen våren 2025

Dette er en tredjegradslikning. Vi gjetter oss fram til én løsning, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.

1. Gjett én løsning 0:17 Vi kaller venstre side \( P(x)\text{.} \) Dette er del 1, så en av løsningene er nok et lite heltall. Vi prøver \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(1) &= 1^3 - 7 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 + 16 \\ P(1) &= 1 - 7 - 10 + 16 = 0 \end{aligned} \]

Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ P(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{P(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {P(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon 1:30 Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -6x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-7x^2 + x^2 = -6x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-10x} \) og \( 16\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-6x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-6x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-6x} \\ \textcolor{magenta}{-6x} \cdot (x - 1) &= -6x^2 + 6x \\ -(-6x^2 + 6x) &= \textcolor{magenta}{6x^2 - 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 6x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x^2}} & {}- 10x & {}+ 16 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{6x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 6x} & \\ \hline & & -16x & {}+ 16 \end{array} \end{array} \]\( {-6x^2} \) strykes mot \( 6x^2\text{,} \) \( {-10x - 6x = -16x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 16\text{.} \) Linja \( {-16x + 16} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-16x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-16x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-16} \\ \textcolor{blue}{-16} \cdot (x - 1) &= -16x + 16 \\ -(-16x + 16) &= \textcolor{blue}{16x - 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 7x^2 - 10x + 16) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 6x} \textcolor{blue}{{}- 16} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 7x^2 & {}- 10x & {}+ 16 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x^2}} & {}- 10x & {}+ 16 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{6x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 6x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-16x}} & {}+ 16 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{16x}} & \textcolor{blue}{{}- 16} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-16x} \) strykes mot \( 16x\text{,} \) og \( {16 - 16 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 7x^2 - 10x + 16 \\ &= (x - 1)(x^2 - 6x - 16) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen 4:10 Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 1} \) gir \( {x = 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 6x - 16 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-6}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-16}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-6}) = 6}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{6 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-6})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-16})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \dfrac{6 \pm 10}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{16}{2} = 8} \) eller \( {x = \dfrac{-4}{2} = -2}\text{.} \)

Vi bruker nullpunktene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafene har ingen tall på aksene. Vi ser derfor på hvor grafen skjærer \( y \)-aksen, og på om nullpunktene er positive eller negative.

1. Finn skjæringspunktet med y-aksen 0:25 Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= 0^3 - 7 \cdot 0^2 - 10 \cdot 0 + 16 \\ f(0) &= \textcolor{blue}{16} \end{aligned} \]

Grafen skjærer altså \( y \)-aksen i et positivt tall, over \( x \)-aksen. A og B skjærer \( y \)-aksen under \( x \)-aksen, så de kan ikke være grafen til \( f\text{.} \)

2. Bruk nullpunktene fra a) 1:48 Nullpunktene til \( f \) er løsningene av \( {f(x) = 0}\text{,} \) og den likningen løste vi i a): \[ x = \textcolor{red}{-2}, \quad x = 1 \quad \text{og} \quad x = 8 \]Det er \( \textcolor{red}{\text{ett negativt}} \) og to positive nullpunkter.

C har ett nullpunkt til venstre for \( y \)-aksen og to til høyre. D har to nullpunkter til venstre for \( y \)-aksen, så D kan ikke være grafen til \( f\text{.} \) Bare C passer.

Høyden deler den likesidede trekanten i to rettvinklede trekanter. Vi finner vinklene og sidene i den ene halvdelen og bruker definisjonene av sinus og cosinus.

1. Finn vinklene og sidene Alle vinklene i en likesidet trekant er like store, og vinkelsummen er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]Trekanten er symmetrisk om høyden, så høyden deler toppvinkelen i to. Hver halvdel har derfor vinklene \( 60^\circ\text{,} \) \( 30^\circ \) og \( 90^\circ\text{.} \)

Høyden deler også grunnlinja på midten, så den korte kateten er \( \textcolor{red}{1}\text{.} \) Hypotenusen er en side i den likesidede trekanten, \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \)

2. Bruk definisjonene av sinus og cosinus Definisjonene forteller oss at for en spiss vinkel \( v \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \sin v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \\ \cos v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Kateten \( \textcolor{red}{1} \) er motstående katet til \( 30^\circ \) og hosliggende katet til \( 60^\circ\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \\ \cos 60^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \end{aligned} \]Begge er \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Vi gjør det samme som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, der trekanten gir \( \sin 45^\circ\text{.} \)

Vi bruker \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi arealet med arealsetningen.

1. Bruk arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{b} \) og \( \textcolor{red}{c} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{A} \) mellom dem er: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{b} = AC = \textcolor{blue}{6}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = AB = \textcolor{red}{10}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{,} \) og fra a) vet vi at \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{10} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 15 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, og skal finne siden som står mot vinkelen. Da bruker vi cosinussetningen.

1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss hvor lang en side er når vi kjenner de to andre sidene og vinkelen mellom dem. I trekant \( PQR \) står \( QR \) mot vinkelen \( \textcolor{green}{P} \) mellom \( \textcolor{blue}{PQ} \) og \( \textcolor{red}{PR}\text{:} \) \[ \begin{aligned} QR^2 &= \textcolor{blue}{PQ}^2 + \textcolor{red}{PR}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{PQ} \cdot \textcolor{red}{PR} \cdot \cos \textcolor{green}{P} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{PQ} &= \textcolor{blue}{8} & \textcolor{red}{PR} &= \textcolor{red}{3} & \textcolor{green}{P} &= \textcolor{green}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), får vi: \[ \begin{aligned} QR^2 &= \textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{3}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \cos \textcolor{green}{60^\circ} \\ QR^2 &= 64 + 9 - 48 \cdot \dfrac{1}{2} = 49 \\ QR &= \sqrt{49} = 7 \end{aligned} \]

Vi regner ut hva modellen gir i månedene i tabellen og sammenligner med tallene som er registrert. I GeoGebra lager vi en eksponentiell regresjon av punktene og ser at den gir \( K\text{.} \)

1. Finn månedsnumrene i tabellen \( x \) er antall måneder etter desember 2022, så januar 2024 er \( {x = 13}\text{.} \) Månedene i tabellen er da: \[ x = 1, \ 5, \ 10, \ 14, \ 20 \text{ og } 22 \]

2. Sammenlign modellen med tabellen Modellen er startverdien \( 27{,}8 \) ganget med vekstfaktoren \( 1{,}2 \) én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor. Vi regner ut \( \textcolor{blue}{K(x)} \) med kalkulator og setter den ved siden av de registrerte tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Registrert} & \textcolor{blue}{K(x)} \\ \hline 1 & 29 & \textcolor{blue}{33{,}4} \\ 5 & 93 & \textcolor{blue}{69{,}2} \\ 10 & 164 & \textcolor{blue}{172{,}1} \\ 14 & 284 & \textcolor{blue}{356{,}9} \\ 20 & 1035 & \textcolor{blue}{1065{,}8} \\ 22 & 1657 & \textcolor{blue}{1534{,}7} \end{array} \]

Modellen følger den raske veksten fra omtrent 30 til omtrent 1600 tilfeller i måneden, og de registrerte tallene ligger dels over og dels under modellen. Avvikene er små sammenlignet med veksten, så \( K \) er en god modell for perioden.

1. Lag en eksponentiell regresjon Vi lager en liste med punktene og bruker eksponentiell regresjon med RegEksp, som gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{,} \) på samme måte som den logistiske regresjonen i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx 27{,}809 \cdot 1{,}1987^x}\text{.} \) Avrundet er det \( {27{,}8 \cdot 1{,}2^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går tett forbi punktene. \( K \) er altså en god modell.

Linjen går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut \( K(4) \) og \( K(21)\text{,} \) og finner stigningstallet mellom punktene.

1. Regn ut de to modellverdiene Vi setter inn i modellen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{K(4)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^4 \approx \textcolor{blue}{57{,}65} \\ \textcolor{red}{K(21)} &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{21} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{K(21)} - \textcolor{blue}{K(4)}}{21 - 4} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ a \approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{blue}{57{,}65}}{17} \approx 71{,}8 \]

3. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. \( K(x) \) er antall tilfeller som registreres i måned \( x\text{.} \) Stigningstallet forteller at dette antallet økte med i gjennomsnitt omtrent 72 tilfeller per måned fra april 2023 til september 2024.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS med \( {:=} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x (K(21) - K(4))/(21 - 4)

CAS gir stigningstallet \( {\approx 71{,}84}\text{.} \) Antall registrerte tilfeller i måneden økte altså med i gjennomsnitt omtrent 72 per måned fra april 2023 til september 2024.

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022. Vi setter derfor \( {x = 29} \) inn i modellen.

1. Finn månedsnummeret for mai 2025 Desember 2024 er 24 måneder etter desember 2022, og mai 2025 kommer 5 måneder senere: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]

2. Regn ut modellverdien Modellen er startverdien ganget med vekstfaktoren én gang per måned, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]Ifølge modellen blir det registrert omtrent 5499 tilfeller i mai 2025.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS og regner ut \( K(29) \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 27.8*1.2^x K(29)

CAS gir \( {K(29) \approx 5499{,}2}\text{,} \) altså omtrent 5499 tilfeller.

Hver av de tolv trekantene har to sider lik radien \( r \) og vinkelen \( 30^\circ \) mellom dem. Vi skriver arealet med arealsetningen, setter det lik 120 og løser for \( r\text{.} \)

1. Sett opp arealet med arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem er: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I hver trekant er begge sidene radien, \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Tolv slike trekanter har til sammen arealet \( 120\text{:} \) \[ 12 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = 120 \]

2. Finn radien og diameteren Siden \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) og \( {12 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 3}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 3r^2 &= 120 \\ r^2 &= 40 \\ r &= \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \end{aligned} \]Radien er positiv, så vi tar bare den positive roten, og \( {\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}}\text{.} \)

Diameteren er to ganger radien: \[ d = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10} \]

1. Løs i CAS Vi skriver arealet av tolvkanten som en funksjon av \( r \) og løser likningen med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: A(r) := 12*1/2*r*r*sin(30°) Løs(A(r) = 120, r)

CAS gir \( {r = \pm 2\sqrt{10}}\text{.} \) Radien er positiv, så \( {r = 2\sqrt{10}} \) og \( {d = 2r = 4\sqrt{10}}\text{.} \)

Vi bruker radien fra a), \( {r = 2\sqrt{10}}\text{,} \) altså \( {r^2 = 40}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Hver side i tolvkanten står mot vinkelen \( 30^\circ \) i en av trekantene. Vi finner siden med cosinussetningen og ganger med 12.

1. Finn siden med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden \( s \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) er gitt ved: \[ s^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{blue}{b} \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}} \) med \( {r^2 = 40}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Med \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) får vi: \[ \begin{aligned} s^2 &= \textcolor{blue}{40} + \textcolor{blue}{40} - 2 \cdot \textcolor{blue}{40} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ s^2 &= 80 - 40\sqrt{3} \\ s &= \sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \end{aligned} \]

2. Finn omkretsen Tolvkanten har tolv like sider: \[ O = 12s = 12\sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \approx 39{,}29 \]

1. Regn ut i CAS Vi setter inn radien fra a), finner siden med cosinussetningen og ganger med 12:

Skriv inn i GeoGebra: r := 2*sqrt(10) s := sqrt(r^2 + r^2 - 2*r*r*cos(30°)) O := 12*s O

CAS skriver omkretsen som \( {24\sqrt{15} - 24\sqrt{5} \approx 39{,}29}\text{.} \) Det er det samme tallet som \( {12\sqrt{80 - 40\sqrt{3}}}\text{,} \) fordi \( {s = 2\sqrt{15} - 2\sqrt{5}} \) og \( {\sqrt{75} = 5\sqrt{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (2\sqrt{15} - 2\sqrt{5})^2 &= 60 - 8\sqrt{75} + 20 \\ &= 80 - 40\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi finner hvor mange kvadrater figur \( n \) har. Så kan algoritmen la \( n \) gå fra 1 til 20 og regne ut antallet for hver figur.

1. Finn antallet i hver figur Vi følger figurene og danner et mønster, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Figur \( n \) har et kvadrat med \( {\textcolor{blue}{n \cdot n}} \) ruter øverst, en trapp med \( {\textcolor{red}{n + 1}} \) ruter på skrå nedover og en søyle med \( \textcolor{green}{n} \) ruter til høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{n^2} + \textcolor{red}{(n + 1)} + \textcolor{green}{n} &= n^2 + 2n + 1 \\ &= (n + 1)^2 \end{aligned} \]Det siste er første kvadratsetning baklengs, \( {a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2} \) med \( {a = n} \) og \( {b = 1}\text{,} \) som i videoen Kvadratsetningene.

Kontroll: Figur 1, 2 og 3 gir \( {2^2 = 4}\text{,} \) \( {3^2 = 9} \) og \( {4^2 = 16} \) kvadrater, som på figurene.

2. Skriv algoritmen Trinn 1: Start med figur nummer \( {n = 1}\text{.} \) Trinn 2: Regn ut antall kvadrater i figur \( n\text{,} \) \( {(n + 1)^2}\text{.} \) Trinn 3: Skriv ut \( n \) og antallet. Trinn 4: Øk \( n \) med 1, og gå tilbake til trinn 2 så lenge \( {n \le 20}\text{.} \)

Vi bruker algoritmen fra a): figur \( n \) har \( {(n + 1)^2} \) kvadrater.

Vi lar en for-løkke gå gjennom figur 1 til 20 og skriver ut \( {(n + 1)^2} \) for hver figur.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne antallet i figur \( n\text{,} \) som i a), og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Løkka i linje 1 går gjennom figur 1 til 20, fordi \( \texttt{range(1, 21)} \) stopper før 21, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 2 regner ut antall kvadrater i figur \( n\text{,} \) \( {\textcolor{red}{(n + 1)^2}}\text{,} \) og linje 3 skriver det ut. Utskriften går fra 4 kvadrater i figur 1 til 441 i figur 20.

Vi trekker fra kvadratene til figur 1, figur 2 og så videre, så lenge det er nok kvadrater igjen til neste figur. Det gjør en while-løkke.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese en while-løkke på papir, og på å følge den noen runder for hånd.

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 starter med \( 1\,000\,000 \) kvadrater, og i linje 2 er \( \texttt{n} \) nummeret på figuren vi skal lage. Løkka i linje 4 går så lenge vi har minst \( {\textcolor{red}{(n + 1)^2}} \) kvadrater igjen, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 5 trekker fra kvadratene til figur \( n\text{,} \) og linje 6 går videre til neste figur. Når løkka stopper, er \( \texttt{n} \) den første figuren vi ikke har nok kvadrater til, så vi har laget \( {n - 1} \) figurer.

2. Les av utskriften Linje 8 og 9 skriver ut at vi kan lage 142 figurer og har \( 15\,017 \) kvadrater igjen. Figur 143 trenger \( {144^2 = 20\,736} \) kvadrater, og det er flere enn vi har igjen.

Vi løser volumformelen for \( h \) og finner høyden for hver radius. Så setter vi \( r \) og \( h \) inn i formelen for overflaten.

Merk – Boksen har ikke lokk: Tegningen ser ut som en lukket sylinder, men formelen for overflaten har bare én \( \pi r^2\text{,} \) altså bare bunnen. En lukket sylinder har \( {2\pi r^2 + 2\pi r h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Her er det formelen i oppgaven som gjelder.

1. Finn høyden Vi deler begge sider av volumformelen på \( \pi r^2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi r^2 h &= 450 \\ h &= \dfrac{450}{\pi r^2} \end{aligned} \]

Vi setter inn radiusene med kalkulator: \[ \begin{aligned} r = \textcolor{blue}{4}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2} \approx \textcolor{red}{8{,}952} \\ r = \textcolor{blue}{6}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{6}^2} \approx \textcolor{red}{3{,}979} \\ r = \textcolor{blue}{8}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{8}^2} \approx \textcolor{red}{2{,}238} \end{aligned} \]

2. Finn overflaten Vi setter \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{red}{h} \) inn i \( {O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{8{,}952} \approx 275{,}3 \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{6}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{3{,}979} \approx 263{,}1 \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{8}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{2{,}238} \approx 313{,}6 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Bruk alle desimalene til \( h \) fra kalkulatoren. Med \( {h = 9{,}0} \) blir overflaten for \( {r = 4} \) omtrent \( 276{,}5\text{,} \) ikke \( 275{,}3\text{.} \) Tallet \( 462{,}6 \) i oppgaven er også regnet med alle desimalene.

1. Regn ut i CAS Vi definerer høyden og overflaten som funksjoner av \( r \) og setter inn alle radiusene på en gang med en liste:

Skriv inn i GeoGebra: h(r) := 450/(pi*r^2) O(r) := pi*r^2 + 2*pi*r*h(r) h({2, 4, 6, 8}) O({2, 4, 6, 8})

CAS gir de samme høydene og overflatene som med kalkulator, og også de to tallene i oppgaven for \( {r = 2}\text{.} \)

Vi setter uttrykket for \( h \) fra volumformelen inn i formelen for overflaten. Da får vi \( O \) som en funksjon av \( r \) alene.

1. Sett opp funksjonsuttrykket Fra volumformelen er \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{\dfrac{450}{\pi r^2}}}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen for overflaten, slik arealet settes opp som en funksjon i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} O(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{red}{\dfrac{450}{\pi r^2}} \\ O(r) &= \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \end{aligned} \]Vi forkorter \( \pi \) og én \( r\text{,} \) og \( {2 \cdot 450 = 900}\text{.} \) Radien må være positiv, så \( {r > 0}\text{.} \)

2. Lag en verditabell og tegn grafen Vi regner ut \( O(r) \) for noen verdier av \( r\text{,} \) avrundet til hele tall: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 1 & 903 \\ 2 & 463 \\ 3 & 328 \\ 4 & 275 \\ 5 & 259 \\ 6 & 263 \\ 8 & 314 \\ 10 & 404 \end{array} \]

Vi tegner punktene og trekker en glatt kurve gjennom dem:

Overflaten er stor for små \( r\text{,} \) blir minst rundt \( {r = 5} \) og vokser igjen for store \( r\text{.} \)

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen med \( x \) for radien og en definisjonsmengde:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = pi*x^2 + 900/x, 0 < x < 12

Grafen viser at overflaten er minst når radien er litt over 5 cm.

Vi bruker funksjonen fra b), \( {O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Minst overflate er bunnpunktet til \( O\text{.} \) Med kalkulator finner vi det der den deriverte er \( 0\text{,} \) og i GeoGebra med Min.

1. Deriver funksjonen Vi skriver \( {\dfrac{900}{r} = 900 \cdot r^{-1}}\text{,} \) som i videoen Regneregler med Potenser. Potensregelen forteller oss at: \[ (r^n)' = n \cdot r^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{,} \) også \( {n = -1}\text{.} \) Hvis du er usikker på potensregelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd. \( \textcolor{blue}{\pi r^2} \) derivert blir \( \textcolor{blue}{\underline{2\pi r}}\text{,} \) og \( {\textcolor{red}{900r^{-1}}} \) derivert blir: \[ 900 \cdot (-1) \cdot r^{-2} = \textcolor{red}{\underline{-\dfrac{900}{r^2}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(r) = \textcolor{blue}{2\pi r} - \textcolor{red}{\dfrac{900}{r^2}} \]Du kan også derivere brøken med kvotientregelen, som i videoen Tangentlinje.

2. Sett den deriverte lik null I bunnpunktet er \( {O'(r) = 0}\text{:} \) \[ 2\pi r - \dfrac{900}{r^2} = 0 \]

Vi flytter brøken over, ganger begge sider med \( r^2 \) og deler på \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi r^3 &= 900 \\ r^3 &= \dfrac{450}{\pi} \\ r &= \sqrt[3]{\dfrac{450}{\pi}} \approx 5{,}2322 \end{aligned} \]

3. Vis at det er et bunnpunkt Vi sjekker fortegnet til \( O'(r) \) på hver side: \[ \begin{aligned} O'(5) &= 10\pi - 36 \approx -4{,}6 \\ O'(6) &= 12\pi - 25 \approx 12{,}7 \end{aligned} \]Overflaten minker før \( {r \approx 5{,}2322} \) og øker etter, så den er minst der.

4. Regn ut overflaten Vi setter \( r \) inn i \( O(r) \) med alle desimalene fra kalkulatoren, ledd for ledd: \[ \begin{aligned} \pi \cdot 5{,}2322^2 &\approx 86{,}00 \\ \dfrac{900}{5{,}2322} &\approx 172{,}01 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O \approx 86{,}00 + 172{,}01 \approx 258{,}0 \]Minst overflate får boksen med radius omtrent \( 5{,}2 \) cm, og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi tegner grafen fra b) og finner bunnpunktet med Min, slik du finner et toppunkt med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = pi*x^2 + 900/x, 0 < x < 12 A = Min(O, 1, 12)

Bunnpunktet er \( {A \approx (5{,}2322,\ 258{,}0158)}\text{.} \) Minst overflate får boksen med radius omtrent \( 5{,}2 \) cm, og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)