1P eksamen våren 2025

Vi sammenligner prisen på bensinstasjonen med prisen i butikken. Vi deler derfor endringen i pris på butikkprisen, som er den gamle prisen.

1. Finn endringen i pris Formelen for hvor mange prosent dyrere noe er, forteller oss at: \[ \text{prosent dyrere} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Akkurat denne oppgaven er løst på samme måte i videoen Regler og Formler med Prosent.

Platen er dyrere på bensinstasjonen enn i butikken, så den gamle prisen er butikkprisen, \( \textcolor{blue}{40} \) kroner. Endringen er ny pris minus gammel pris: \[ \textcolor{red}{\text{endring}} = 60 - \textcolor{blue}{40} = \textcolor{red}{20} \]

2. Del på den gamle prisen Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \text{prosent dyrere} = \dfrac{\textcolor{red}{20}}{\textcolor{blue}{40}} \cdot 100\,\% \]

Vi forkorter brøken med \( 20 \) og ganger med \( 100\,\%\text{:} \) \[ \dfrac{20}{40} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{2} \cdot 100\,\% = 50\,\% \]

Begge partiene har økt med 5 prosentpoeng, men fra ulike nivåer. Vi finner hvor mange prosent økningen er av oppslutningen ved valget, for hvert parti.

1. Skriv opp formelen Hvor mange prosent noe har økt, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Endringen er \( \textcolor{red}{5} \) prosentpoeng for begge partiene. Den gamle verdien er oppslutningen ved valget, \( \textcolor{blue}{40\,\%} \) og \( \textcolor{blue}{20\,\%}\text{.} \)

2. Regn ut for hvert parti Arbeiderpartiet økte fra \( 40\,\% \) til \( 45\,\%\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{40}} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{8} \cdot 100\,\% = \underline{12{,}5\,\%} \]

Senterpartiet økte fra \( 20\,\% \) til \( 25\,\%\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{20}} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{4} \cdot 100\,\% = \underline{25\,\%} \]

De samme 5 prosentpoengene er en dobbelt så stor del av \( 20\,\% \) som av \( 40\,\%\text{.} \) Senterpartiet har derfor hatt størst prosentvis framgang.

To størrelser er omvendt proporsjonale når produktet av dem er det samme hele tiden. Vi velger en tur med fast lengde, der fart ganger tid alltid er lik strekningen.

1. Beskriv situasjonen Vi skal kjøre en tur på \( 120\,\text{km}\text{.} \) Farten er \( \textcolor{blue}{v} \) km/h, og tiden turen tar, er \( \textcolor{red}{t} \) timer. Jo fortere vi kjører, desto kortere tid bruker vi.

2. Forklar hvorfor de er omvendt proporsjonale To størrelser \( x \) og \( y \) er omvendt proporsjonale når produktet av dem er et fast tall \( k\text{:} \) \[ x \cdot y = k \]

Strekningen er fart ganger tid, og den er \( 120\,\text{km} \) uansett hvor fort vi kjører: \[ \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{t} = 120 \]Produktet er det samme hele tiden, så farten og tiden er omvendt proporsjonale. Dobler vi farten, blir tiden halvparten så lang.

3. Regn ut tre punkter Vi deler med \( \textcolor{blue}{v} \) på begge sider og får \( {\textcolor{red}{t} = \dfrac{120}{\textcolor{blue}{v}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} = 40 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{40} = 3 \\ \textcolor{blue}{v} = 60 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{60} = 2 \\ \textcolor{blue}{v} = 120 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{120} = 1 \end{aligned} \]

4. Tegn grafen Vi setter av punktene \( (40, 3)\text{,} \) \( (60, 2) \) og \( (120, 1) \) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Kurven når aldri førsteaksen, fordi tiden aldri blir \( 0\text{.} \)

Andre situasjoner er også riktige, for eksempel antall personer som deler en regning på 600 kroner likt, og beløpet hver av dem betaler.

Vi skriver svaret med en tierpotens. Da ser vi hva tallene i rutene må være, og kan sette opp to løsninger som ikke har noe tall felles.

1. Skriv svaret med en tierpotens \( 8\,000\,000\,000 \) er \( 8 \) med \( 9 \) nuller etter: \[ 8\,000\,000\,000 = 8 \cdot 10^9 \]

2. Finn hva rutene må være Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ 10^m \cdot 10^n = 10^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Vi kaller tallene i de store rutene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) og eksponentene \( \textcolor{red}{m} \) og \( \textcolor{red}{n}\text{.} \) Vi bytter rekkefølgen på faktorene: \[ \textcolor{blue}{a} \cdot 10^{\textcolor{red}{m}} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot 10^{\textcolor{red}{n}} = \textcolor{blue}{a \cdot b} \cdot 10^{\textcolor{red}{m + n}} \]Skal dette bli \( {8 \cdot 10^9}\text{,} \) må \( {\textcolor{blue}{a \cdot b} = 8} \) og \( {\textcolor{red}{m + n} = 9}\text{.} \)

3. Sett opp to løsninger Vi får \( 8 \) som \( {1 \cdot 8} \) og som \( {2 \cdot 4}\text{.} \) Da er \( 1\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4 \) og \( 8 \) brukt, så eksponentene tar vi fra de andre tallene: \( {9 = 0 + 9} \) og \( {9 = 3 + 6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1} \cdot 10^{\textcolor{red}{0}} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot 10^{\textcolor{red}{9}} &= 8 \cdot 10^{0 + 9} = 8 \cdot 10^9 \\ \textcolor{blue}{2} \cdot 10^{\textcolor{red}{3}} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot 10^{\textcolor{red}{6}} &= 8 \cdot 10^{3 + 6} = 8 \cdot 10^9 \end{aligned} \]

Den første løsningen bruker \( 1\text{,} \) \( 0\text{,} \) \( 8 \) og \( 9\text{,} \) og den andre \( 2\text{,} \) \( 3\text{,} \) \( 4 \) og \( 6\text{.} \) Det er åtte ulike tall, og ingen er brukt to ganger. Elias har altså rett.

Tallene har ulike tierpotenser. Vi skriver alle med \( 10^9 \) og legger sammen tallene foran.

1. Skriv tallene med samme tierpotens Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ 10^m \cdot 10^n = 10^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Siden \( {10^{12} = 10^3 \cdot 10^9} \) og \( {10^{11} = 10^2 \cdot 10^9}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 5 \cdot 10^{12} &= 5 \cdot 10^3 \cdot 10^9 = \textcolor{red}{5000} \cdot 10^9 \\ 3 \cdot 10^{11} &= 3 \cdot 10^2 \cdot 10^9 = \textcolor{green}{300} \cdot 10^9 \end{aligned} \]

2. Legg sammen De hvite blodcellene er \( {\textcolor{blue}{7} \cdot 10^9}\text{.} \) Nå har alle tre tallene \( 10^9\text{,} \) så vi legger sammen tallene foran: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{7} \cdot 10^9 + \textcolor{red}{5000} \cdot 10^9 + \textcolor{green}{300} \cdot 10^9 \\ &= (\textcolor{blue}{7} + \textcolor{red}{5000} + \textcolor{green}{300}) \cdot 10^9 \\ &= 5307 \cdot 10^9 \end{aligned} \]

På standardform flytter vi kommaet tre plasser til venstre og legger \( 3 \) til eksponenten: \[ 5307 \cdot 10^9 = 5{,}307 \cdot 10^{12} \]

Vi går gjennom programmet linje for linje, slik datamaskinen gjør. Så ser vi hva som skjer med kontoen hvert år, og når løkka stopper.

1. Les startverdiene Linje 1 til 4 gir startverdiene: Lars har \( 120\,000 \) kroner på kontoen, sparebeløpet er \( \textcolor{blue}{24\,000} \) kroner, vekstfaktoren er \( \textcolor{red}{1{,}058} \) og telleren for år starter på \( 0\text{.} \)

For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ \textcolor{red}{1{,}058} = 1 + 0{,}058 = 1 + \dfrac{5{,}8}{100} \]Kontoen gir altså \( 5{,}8\,\% \) rente.

2. Les hva løkka gjør Vi går gjennom løkka linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Hver runde er ett år, fordi linje 11 legger \( 1 \) til året. Linje 8 setter inn \( \textcolor{blue}{24\,000} \) kroner, og linje 9 ganger det som står på kontoen, med \( \textcolor{red}{1{,}058}\text{:} \) \[ \text{ny konto} = (\text{konto} + \textcolor{blue}{24\,000}) \cdot \textcolor{red}{1{,}058} \]Sparebeløpet settes inn før renten legges til, så det får rente det samme året.

Linje 6 gjentar dette så lenge kontoen har mindre enn \( 1\,000\,000 \) kroner. Planen er altså å sette inn \( 24\,000 \) kroner hvert år, med \( 5{,}8\,\% \) rente, til Lars har minst én million kroner.

3. Tolk utskriften Løkka stopper første gang kontoen har \( 1\,000\,000 \) kroner eller mer. Linje 13 skriver da ut året, altså hvor mange år Lars må spare før han har én million kroner. Linje 14 skriver ut hvor mye han da har på kontoen, som er minst én million kroner.

Med tilbud 1 får Elise en prosent av salget, og med tilbud 2 et fast beløp pluss et tillegg per avis. Vi finner antallet aviser som gir like stor lønn, og sammenligner på hver side.

1. Sett opp lønna med hvert tilbud Vi kaller antall aviser Elise selger en lørdag for \( x\text{.} \) Da selger hun for \( 49x \) kroner. For prosent av et tall gjelder: \[ a\,\% \text{ av tall} = \dfrac{a}{100} \cdot \text{tall} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Lønna i kroner med de to tilbudene blir da: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{L_1(x)} &= \dfrac{35}{100} \cdot 49x = \textcolor{blue}{17{,}15x} \\ \textcolor{red}{L_2(x)} &= \textcolor{red}{150 + 10x} \end{aligned} \]

2. Finn når lønna er like stor Vi setter \( {\textcolor{blue}{L_1(x)} = \textcolor{red}{L_2(x)}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{17{,}15x} = \textcolor{red}{150 + 10x} \]

Vi trekker fra \( 10x \) på begge sider og deler med \( 7{,}15\text{:} \) \[ \begin{aligned} 7{,}15x &= 150 \\ x &\approx 20{,}98 \end{aligned} \]

3. Sammenlign på hver side Vi regner ut lønna for \( 20 \) og \( 21 \) aviser: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{L_1(20)} &= 343 & \textcolor{red}{L_2(20)} &= 350 \\ \textcolor{blue}{L_1(21)} &= 360{,}15 & \textcolor{red}{L_2(21)} &= 360 \end{aligned} \]Med tilbud 1 får Elise \( 17{,}15 \) kroner per avis, og med tilbud 2 bare \( 10\text{.} \) Fra \( 21 \) aviser og oppover gir derfor tilbud 1 mest, og med \( 20 \) eller færre gir tilbud 2 mest.

1. Finn skjæringspunktet mellom lønnene Vi skriver inn begge lønnene og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: L_1(x) = 0.35*49x L_2(x) = 150 + 10x S = Skjæring(L_1, L_2)

Skjæringspunktet er \( {S \approx (20{,}979,\ 359{,}7902)}\text{.} \) Til venstre for \( S \) ligger den røde linja, \( L_2\text{,} \) øverst, og til høyre den blå, \( L_1\text{.} \) Med \( 20 \) aviser eller færre gir altså tilbud 2 mest, og fra \( 21 \) aviser og oppover tilbud 1.

«Spar \( 49\,\% \)» betyr at vi betaler \( 51\,\% \) av prisen uten rabatt. Vi går baklengs fra tilbudsprisen og finner prisen for én avis.

1. Finn vekstfaktorene Når prisen settes ned med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ \textcolor{blue}{V} = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Med de fire rabattene får vi: \[ \begin{aligned} 1 - 0{,}49 &= \textcolor{blue}{0{,}51} \\ 1 - 0{,}24 &= \textcolor{blue}{0{,}76} \\ 1 - 0{,}32 &= \textcolor{blue}{0{,}68} \\ 1 - 0{,}45 &= \textcolor{blue}{0{,}55} \end{aligned} \]

2. Finn prisen for én avis Tilbudsprisen er prisen uten rabatt ganget med vekstfaktoren: \[ \text{tilbudspris} = \text{pris uten rabatt} \cdot \textcolor{blue}{V} \]

Vi går baklengs og deler tilbudsprisen på \( \textcolor{blue}{V}\text{,} \) og så på antall aviser. Det gir prisen for én avis uten rabatt, i kroner: \[ \begin{aligned} 4 \text{ aviser: } & \dfrac{99}{\textcolor{blue}{0{,}51} \cdot 4} \approx 48{,}53 \\ 12 \text{ aviser: } & \dfrac{449}{\textcolor{blue}{0{,}76} \cdot 12} \approx 49{,}23 \\ 24 \text{ aviser: } & \dfrac{799}{\textcolor{blue}{0{,}68} \cdot 24} \approx 48{,}96 \\ 52 \text{ aviser: } & \dfrac{1399}{\textcolor{blue}{0{,}55} \cdot 52} \approx 48{,}92 \end{aligned} \]Alle fire gir omtrent \( 49 \) kroner. De er ikke helt like, fordi prosentene på nettsiden er avrundet.

Prisen er oppgitt per meter bord. Vi finner hvor stort areal én meter bord dekker, og deler prisen på det arealet.

1. Gjør bredden om til meter Det går \( 1000\,\text{mm} \) på \( 1\,\text{m}\text{,} \) så vi deler med \( 1000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 145\,\text{mm} &= \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}} \\ 95\,\text{mm} &= \textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}} \end{aligned} \]

2. Finn arealet til én meter bord Én meter bord er et rektangel, og arealet er lengde ganger bredde: \[ A = l \cdot b \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Areal og Omkrets.

Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A_1 &= 1\,\text{m} \cdot \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}} = \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}^2} \\ A_2 &= 1\,\text{m} \cdot \textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}} = \textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}^2} \end{aligned} \]

3. Finn prisen per kvadratmeter Én meter av det brede bordet koster \( 67{,}90 \) kroner og dekker \( \textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}^2}\text{.} \) Vi deler prisen på arealet, og gjør det samme med det smale bordet: \[ \begin{aligned} \dfrac{67{,}90\,\text{kr}}{\textcolor{blue}{0{,}145\,\text{m}^2}} &\approx 468{,}28\,\text{kr/m}^2 \\ \dfrac{49{,}90\,\text{kr}}{\textcolor{red}{0{,}095\,\text{m}^2}} &\approx 525{,}26\,\text{kr/m}^2 \end{aligned} \]Her ser vi bort fra mellomrommene mellom bordene.

Vi må anta hvor mange skoledager det er i en måned, og hvor lenge hver pakke varer. Så sammenligner vi hva bagettene koster i kantina og i butikken.

1. Gjør antakelser Vi antar at en måned har \( 20 \) skoledager, fem dager i uka i fire uker. Sofie trenger da \( 20 \) bagetter, og en pakke har to bagetter, så hun trenger \( 10 \) pakker.

Vi antar at en pakke smør og en pakke ost holder hele måneden, at en pakke skinke holder til fem bagetter, at en tomat holder til to bagetter, og at en pakke salat holder til ti bagetter. Da trenger hun \( 4 \) pakker skinke, \( 10 \) tomater og \( 2 \) pakker salat.

2. Regn ut hva kantina koster \( 20 \) bagetter til \( 65 \) kroner koster: \[ 20 \cdot 65 = \textcolor{blue}{1300} \text{ kroner} \]

3. Regn ut hva butikken koster Vi regner ut hver vare for seg, i kroner: \[ \begin{aligned} \text{Bagetter: } & 10 \cdot 19{,}90 = 199{,}00 \\ \text{Smør: } & 1 \cdot 36{,}90 = 36{,}90 \\ \text{Ost: } & 1 \cdot 83{,}00 = 83{,}00 \\ \text{Skinke: } & 4 \cdot 32{,}30 = 129{,}20 \\ \text{Tomat: } & 10 \cdot 4{,}29 = 42{,}90 \\ \text{Salat: } & 2 \cdot 20{,}00 = 40{,}00 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi i kroner: \[ \begin{aligned} &199{,}00 + 36{,}90 + 83{,}00 \\ &{}+ 129{,}20 + 42{,}90 + 40{,}00 \\ &{}= \textcolor{red}{531{,}00} \end{aligned} \]

4. Finn hvor mye hun sparer Forskjellen er det Sofie sparer på en måned: \[ \textcolor{blue}{1300} - \textcolor{red}{531} = 769 \text{ kroner} \]Andre antakelser er også riktige og gir et annet svar, for eksempel \( 21 \) skoledager eller mer pålegg på hver bagett.