S1 eksamen høsten 2025

Vi ser at funksjonen består av tre ledd, og at roten er vanskelig å derivere slik den står. Vi skriver den derfor som en potens og deriverer ledd for ledd.

1. Skriv roten som en potens 0:15 En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Potenser og røtter.

Kvadratroten er andreroten, så \( {n = 2}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} + \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} + 2 \]

2. Deriver ledd for ledd 1:04 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = \textcolor{blue}{\underline{x^2}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{2} \cdot x^{\tfrac{1}{2} - 1} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}}}}\text{.} \)

\( 2 \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.

3. Skriv svaret med rot 1:42 Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}} \]

En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir \( {x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{x^{\tfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}}\text{.} \) Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så for \( {x > 0} \) er: \[ f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen. Så setter vi inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \)

1. Skriv opp kvotientregelen 0:19 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x - 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle 1:13 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - (\textcolor{red}{2x - 3}) \cdot \textcolor{blue}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren og skriver \( {(e^x)^2 = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x}\text{,} \) får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x}\bigl(2 - (2x - 3)\bigr)}{\textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x} \]

Vi forkorter \( \textcolor{darkorange}{e^x}\text{.} \) Minus foran parentesen gjelder begge leddene, så \( {-(2x - 3) = -2x + 3}\text{:} \) \[ g'(x) = \dfrac{2 - 2x + 3}{e^x} = \dfrac{5 - 2x}{e^x} \]

3. Regn ut de to verdiene 2:46 Vi setter inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(2) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 2}{e^2} = \dfrac{1}{e^2} \\ g'(3) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 3}{e^3} = -\dfrac{1}{e^3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( g'(2) \) og \( g'(3) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den deriverte er stigningstallet til grafen. Fortegnet til \( g'(2) \) og \( g'(3) \) forteller derfor om grafen stiger eller synker der.

1. Tolk fortegnene 3:37 I b) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(2)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{e^2}} > 0 \\ \textcolor{red}{g'(3)} &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{e^3}} < 0 \end{aligned} \]

Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen stiger altså i \( {\textcolor{blue}{x = 2}} \) og synker i \( {\textcolor{red}{x = 3}}\text{.} \)

Siden \( g \) er kontinuerlig og deriverbar, må grafen snu et sted mellom \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Der er \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og grafen har et toppunkt.

Vi ser at \( \lg x \) står både i andre potens og alene. Vi gir den et nytt navn, \( k\text{,} \) og får en andregradslikning.

1. Skriv om med en ny variabel 0:39 Det står \( (\lg x)^2\text{,} \) ikke \( \lg(x^2)\text{,} \) så det er hele \( \lg x \) som er opphøyd i andre. Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og flytter \( 8 \) over: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} &= 8 \\ \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} - 8 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs med abc-formelen 1:09 Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}k^2 + \textcolor{red}{b}k + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ k = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-2}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {k = 4} \) eller \( {k = -2}\text{.} \)

3. Finn x 3:19 Vi setter tilbake \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og opphøyer \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen av logaritmen er \( \lg x \) tallet vi må opphøye \( 10 \) i for å få \( x\text{,} \) så: \[ 10^{\lg x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^4 \quad &\Rightarrow \quad x = 10^4 \\ 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^{-2} \quad &\Rightarrow \quad x = 10^{-2} \end{aligned} \]Begge er positive, så begge er løsninger.

Her er det grunntallet \( a \) som er ukjent. Vi skriver om likningen med definisjonen av logaritmen og finner \( a\text{.} \)

1. Bruk definisjonen av logaritmen 0:13 Fra definisjonen av logaritmen vet vi at: \[ \log_{\textcolor{blue}{a}} \textcolor{red}{b} = \textcolor{green}{c} \quad \text{betyr at} \quad \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{c}} = \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Her er \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3}}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{-3}} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}} \]

2. Skriv om den negative eksponenten 1:00 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{a^3} &= \dfrac{1}{64} \\ a^3 &= 64 \end{aligned} \]

3. Prøv deg fram 1:20 Uten kalkulator prøver vi med hele tall. \( {3^3 = 27} \) er for lite, men: \[ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \]Altså er \( {a = 4}\text{,} \) som er et gyldig grunntall, siden \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{.} \)

Grensen finnes bare hvis brøken nærmer seg et tall. Vi ser derfor hva telleren og nevneren går mot hver for seg.

1. Sett inn i teller og nevner 0:10 Vi setter inn \( {x = -2} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Teller: }} & (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 2 = \textcolor{red}{14} \\ \textcolor{blue}{\text{Nevner: }} & (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Avgjør om grensen finnes 1:11 Telleren går mot \( \textcolor{red}{14}\text{,} \) mens nevneren går mot \( \textcolor{blue}{0}\text{.} \) Et tall som ikke er \( 0\text{,} \) delt på noe som går mot \( 0\text{,} \) blir større og større i tallverdi, som i videoen Dele på null: \[ \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} \to \pm\infty \]Brøken nærmer seg ikke noe tall, så grenseverdien eksisterer ikke.

Nevneren er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{.} \) Skal grensen finnes, må telleren også være \( 0 \) der, slik at vi får formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \)

1. Sett telleren lik null 0:00 Setter vi inn \( {x = -2}\text{,} \) blir nevneren \( {(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = 0}\text{.} \) Går telleren mot et tall som ikke er \( 0\text{,} \) eksisterer ikke grensen, som i a). Telleren må derfor også bli \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} (-2)^2 + a \cdot (-2) + 2 &= 0 \\ 6 - 2a &= 0 \\ a &= 3 \end{aligned} \]

2. Bruk L'Hôpitals regel 1:46 Med \( {a = 3} \) gir innsetting formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \) Da kan vi bruke L'Hôpitals regel. Den forteller oss at når vi får formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) er: \[ \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{g(x)}} = \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{f'(x)}}{\textcolor{blue}{g'(x)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hôpitals regel.

Her er \( {\textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{x^2 + 3x + 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{g(x)} = \textcolor{blue}{x^2 - 2x - 8}}\text{.} \) Deriverer vi telleren og nevneren hver for seg, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f'(x)} &= \textcolor{red}{2x + 3} \\ \textcolor{blue}{g'(x)} &= \textcolor{blue}{2x - 2} \end{aligned} \]

3. Sett inn og regn ut 3:21 Det nye uttrykket gir ikke lenger formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi setter inn \( {x = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{x^2 + 3x + 2}}{\textcolor{blue}{x^2 - 2x - 8}} &= \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{2x + 3}}{\textcolor{blue}{2x - 2}} \\ &= \dfrac{2 \cdot (-2) + 3}{2 \cdot (-2) - 2} \\ &= \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6} \end{aligned} \]

Alternativ metode: Faktoriser og forkort 2:05 Begge polynomene er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{,} \) så begge har \( {(x + 2)} \) som faktor: \[ \begin{aligned} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 8} &= \dfrac{(x + 1)\textcolor{darkorange}{(x + 2)}}{(x - 4)\textcolor{darkorange}{(x + 2)}} \\ &= \dfrac{x + 1}{x - 4} \end{aligned} \]Når \( {x \to -2}\text{,} \) går brøken mot \( {\dfrac{-2 + 1}{-2 - 4} = \dfrac{1}{6}}\text{,} \) som i videoen Grenseverdier. Metoden lønner seg når faktorene er lette å se.

Vi tar de tre plassene i passordet én om gangen og teller hvor mange tegn som kan stå på hver av dem. Så ganger vi antallene sammen.

1. Tell valgene på hver plass Det første tegnet skal være en av bokstavene A til F, så der har vi \( \textcolor{blue}{6} \) valg.

Det andre tegnet er ett av sifrene 1 til 9, altså \( \textcolor{red}{9} \) valg. Det tredje skal være et annet siffer enn det andre, så der er det \( \textcolor{green}{8} \) igjen. Det er som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023, der den andre terningen må vise noe annet enn den første.

2. Gang sammen Hvert valg på én plass kan kombineres med hvert av valgene på de andre plassene, så vi ganger antallene: \[ \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{9} \cdot \textcolor{green}{8} = 432 \]

Det er lettere å telle passordene som ikke er lov. Vi teller alle passordene og trekker fra dem med bare siffer og dem med bare bokstaver.

1. Tell alle passordene Hver av de tre plassene kan være ett av de \( {4 + 3 = \textcolor{blue}{7}} \) tegnene 1, 2, 3, 4, A, B og C, og tegnene kan komme flere ganger: \[ \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{blue}{7} = 343 \]

2. Trekk fra de ugyldige passordene Et passord mangler en bokstav når alle tre tegnene er siffer, og mangler et siffer når alle tre er bokstaver: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Bare siffer: }} & 4 \cdot 4 \cdot 4 = \textcolor{red}{64} \\ \textcolor{green}{\text{Bare bokstaver: }} & 3 \cdot 3 \cdot 3 = \textcolor{green}{27} \end{aligned} \]

Ingen passord er begge deler, så vi trekker hvert av dem fra én gang. Resten har minst én bokstav og minst ett siffer. Vi teller altså det motsatte og trekker fra, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 343 - \textcolor{red}{64} - \textcolor{green}{27} = 252 \]

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hvor mange treff det kan bli. Programmet skriver ut antall treff delt på antall skudd.

1. Les løkka Linje 7 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) så løkka i linje 10 til 13 går tre ganger, én gang for hvert skudd, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang trekker \( \texttt{choice} \) et tilfeldig element fra lista i linje 4. Er det \( \texttt{"treff"}\text{,} \) øker linje 13 \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) med 1.

Linje 8 starter tellingen på 0, så etter løkka er \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) lik \( \textcolor{red}{0}\text{,} \) \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) \( \textcolor{red}{2} \) eller \( \textcolor{red}{3}\text{.} \)

2. Regn ut utskriftene Linje 15 står utenfor løkka og skriver ut ett tall: \( \textcolor{red}{\text{antall treff}} \) delt på \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0}}{\textcolor{blue}{3}} = 0 \qquad \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{3}} = 1 \]Programmet skriver dem som desimaltall, så tre treff gir \( 1{,}0\text{,} \) som i b).

Programmet skriver ut \( 1{,}0 \) når alle tre skuddene er treff. Hvert skudd er treff med samme sannsynlighet, uavhengig av de andre, så vi ganger.

1. Finn sannsynligheten for ett treff Lista i linje 4 har 5 elementer, og 2 av dem er \( \texttt{"treff"}\text{.} \) \( \texttt{choice} \) velger hvert element med samme sannsynlighet, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P(\text{treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \]

2. Gang sammen for tre skudd Lista endrer seg ikke, så skuddene er uavhengige. Vi ganger sannsynlighetene for hvert skudd, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{tre treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{8}{125} \]Antallet treff er altså binomisk fordelt med \( {n = 3} \) skudd og \( {p = \dfrac{2}{5}}\text{.} \)

«Minst ett mål» er det motsatte av «ingen mål». Vi finner sannsynligheten for at Einar bommer på alle straffesparkene, og prøver oss fram med antallet.

1. Bruk den motsatte hendelsen Einar bommer med sannsynligheten \( {1 - 0{,}3 = \textcolor{red}{0{,}7}}\text{.} \) Enten scorer han minst ett mål, eller så bommer han på alle, så vi teller det motsatte og trekker fra, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst ett mål}) \\ &= 1 - P(\text{ingen mål}) \end{aligned} \]

Straffesparkene er uavhengige, så med \( n \) straffespark ganger vi \( \textcolor{red}{0{,}7} \) med seg selv \( n \) ganger: \[ P(\text{minst ett mål}) = 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^n \]

2. Prøv deg fram Med ett straffespark er sannsynligheten \( {1 - \textcolor{red}{0{,}7} = 0{,}3}\text{,} \) som er for lite. Med to får vi: \[ \begin{aligned} 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^2 &= 1 - 0{,}49 \\ &= 0{,}51 \end{aligned} \]Det er mer enn \( 0{,}5\text{,} \) altså over \( 50\,\%\text{.} \)

Formen i oppgaven er en eksponentialfunksjon, så vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra. Først gjør vi årene om til år etter 1910.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre eksponentiell regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør årene om til t \( t \) er antall år etter 1910, så 1910 blir \( {t = 0}\text{,} \) 1913 blir \( {t = 3} \) og så videre, til 1935, som blir \( {t = 25}\text{.} \)

Vi skriver \( t \) i kolonne A og folketallet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra heter kommandoen RegEksp, og den gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{820{,}6398}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}0510}}\text{.} \)

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}05}\text{.} \) Regner vi videre med \( 1{,}05\text{,} \) blir svaret i b) 1925 i stedet for 1924, og i c) 26 år i stedet for 25.

3. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har tall fra 1910 til 1935, altså for \( {0 \le t \le 25}\text{.} \) Der går grafen nær punktene.

Framover vokser modellen med omtrent \( 5{,}1\,\% \) hvert år, uten stopp, og folketallet i en bygd kan ikke vokse slik for alltid. Vi har ingen tall før 1910 eller etter 1935, så modellen gjelder bare for årene vi har data for.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Økningen per år er vekstfarten \( F'(t)\text{.} \) Vi finner når \( {F'(t) = 80}\text{,} \) og ser fra hvilket år vekstfarten er over 80.

1. Deriver modellen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi skriver \( {\textcolor{blue}{b}^t = e^{t \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{t \cdot \ln b}} \) er \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln b}}\text{,} \) så \( {(b^t)' = b^t \cdot \ln b}\text{.} \) Det gir oss: \[ F'(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]

2. Sett den deriverte lik 80 Vi setter \( {F'(t) = 80} \) og deler på \( {\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{b}^t = \dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen \( {\ln\left(b^t\right) = t \cdot \ln b} \) flytter \( t \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\right)}{\ln \textcolor{blue}{b}} \]

3. Sett inn tallene Med tallene fra svaret i a) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{821} \cdot \ln \textcolor{blue}{1{,}051} &\approx 40{,}84 \\ t &\approx \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{40{,}84}\right)}{\ln \textcolor{blue}{1{,}051}} \approx 13{,}5 \end{aligned} \]

Siden \( {\textcolor{blue}{b} > 1}\text{,} \) vokser \( F'(t) \) hele tiden, så \( {F'(t) > 80} \) når \( {t > 13{,}5}\text{.} \) Det er midt i 1923. Det første hele året med vekst på mer enn 80 personer er \( {t = 14}\text{,} \) altså 1924, og det gjelder resten av perioden modellen gjelder for.

1. Finn skjæringspunktet med linja I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{820{,}6398} \cdot \textcolor{blue}{1{,}0510}^t \]

Vi lar GeoGebra derivere den, tegner linja \( {y = 80} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(F) g: y = 80

Skjæringspunktet er \( {K \approx (13{,}5382,\ 80)}\text{,} \) og grafen til \( F' \) ligger over linja til høyre for det. Vekstfarten er over 80 personer per år fra \( {t \approx 13{,}5}\text{,} \) midt i 1923, så det første hele året er 1924.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den gjennomsnittlige veksten fra 1910 er endringen i folketallet delt på antall år. Vi regner den ut for hele år, og ser når den blir større enn 80.

1. Sett opp gjennomsnittet Den gjennomsnittlige veksten er endringen i folketallet delt på endringen i tid, som stigningstallet \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) i videoen Definisjonen til den deriverte. Fra 1910, der \( {t = 0}\text{,} \) til \( t \) år etter er den: \[ G(t) = \dfrac{F(t) - F(0)}{t - 0} \]

I a) fant vi \( {F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t}\text{,} \) så \( {F(0) = \textcolor{red}{821}} \) og: \[ G(t) = \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t - \textcolor{red}{821}}{t} \]

2. Prøv deg fram med hele år Likningen \( {G(t) = 80} \) kan vi ikke løse for hånd, fordi \( t \) står både i eksponenten og i nevneren. Grafen til \( F \) blir stadig brattere, så gjennomsnittet vokser med \( t\text{.} \) Vi prøver oss fram med hele år, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} G(24) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{24} - \textcolor{red}{821}}{24} \approx 78{,}7 \\ G(25) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{25} - \textcolor{red}{821}}{25} \approx 81{,}0 \end{aligned} \]Etter 24 år, i 1934, var gjennomsnittet under 80, og etter 25 år, i 1935, var det over. Det gikk altså 25 år.

1. Løs likningen og sjekk hele år I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi løser \( {G(t) = 80} \) med NLøs og startverdien \( {t = 20}\text{,} \) og regner ut gjennomsnittet etter 24 og 25 år med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs((F(t) - F(0))/t = 80, t = 20) (F(24) - F(0))/24 (F(25) - F(0))/25

CAS gir \( {t \approx 24{,}5995}\text{,} \) og gjennomsnittet er omtrent \( 78{,}59 \) etter 24 år og \( 80{,}96 \) etter 25 år. Det gikk altså 25 år, til 1935.

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = -2}\text{.} \) Den er kontinuerlig der bare hvis de to uttrykkene gir samme verdi i \( {x = -2}\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = -2} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn i begge uttrykkene Det første uttrykket, \( {2x - 2}\text{,} \) gjelder for \( {x \le -2}\text{,} \) så det gir både \( {f(-2)} \) og grensen fra venstre: \[ \textcolor{blue}{2 \cdot (-2) - 2} = \textcolor{blue}{-6} \]

Fra høyre gjelder \( {2x^3 + 2x^2 - 4x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2)} \\ &= -16 + 8 + 8 = \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]

Uttrykkene gir \( {\textcolor{blue}{-6}} \) og \( \textcolor{red}{0}\text{,} \) så grafen hopper i \( {x = -2}\text{.} \) Funksjonen er altså ikke kontinuerlig der.

I \( {x = k} \) skifter funksjonen fra \( {2x^3 + 2x^2 - 4x} \) til \( 4\text{.} \) De to uttrykkene må gi samme verdi der, og det gir en tredjegradslikning for \( k\text{.} \)

1. Sett uttrykkene like i skjøten Der funksjonen skifter uttrykk, er den kontinuerlig når uttrykkene på hver side gir samme verdi, som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon. For \( {x \ge k} \) er \( {f(k) = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) og fra venstre gjelder \( {\textcolor{red}{2x^3 + 2x^2 - 4x}}\text{.} \) Vi samler alt på én side og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2k^3 + 2k^2 - 4k} &= \textcolor{blue}{4} \\ 2k^3 + 2k^2 - 4k - 4 &= 0 \\ k^3 + k^2 - 2k - 2 &= 0 \end{aligned} \]

2. Faktoriser ved å gruppere leddene Vi setter \( \textcolor{darkorange}{k^2} \) utenfor parentes i de to første leddene og \( {\textcolor{darkorange}{-2}} \) i de to siste, som når vi setter en felles faktor utenfor i videoen Faktorisering steg for steg. Da står \( {\textcolor{green}{k + 1}} \) i begge parentesene, og den setter vi også utenfor: \[ \begin{aligned} &k^3 + k^2 - 2k - 2 \\ &= \textcolor{darkorange}{k^2}(\textcolor{green}{k + 1}) \textcolor{darkorange}{{}- 2}(\textcolor{green}{k + 1}) \\ &= (\textcolor{green}{k + 1})(k^2 - 2) \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{k + 1} = 0 \quad &\Rightarrow \quad k = -1 \\ k^2 - 2 = 0 \quad &\Rightarrow \quad k = \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Sjekk at k ligger i intervallet \( k \) må ligge i \( {\langle -2, \rightarrow \rangle}\text{.} \) Siden \( {1 < \sqrt{2} < 2}\text{,} \) ligger også \( {-\sqrt{2}} \) mellom \( {-2} \) og \( {-1}\text{:} \) \[ -2 < -\sqrt{2} < -1 < \sqrt{2} \]Alle tre verdiene er altså lov, og hver av dem gjør \( f \) kontinuerlig i \( {x = k}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi skriver det midterste uttrykket inn som en funksjon i CAS og løser \( {h(k) = 4} \) med Løs, som gir eksakte svar, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: h(x) := 2x^3 + 2x^2 - 4x Løs(h(k) = 4, k)

CAS gir \( {k = -\sqrt{2}}\text{,} \) \( {k = -1} \) og \( {k = \sqrt{2}}\text{.} \) Alle tre ligger i \( {\langle -2, \rightarrow \rangle}\text{.} \)

Sander tar 2 av de 18 dropsene uten å legge noen tilbake. Antallet gule han får, er derfor hypergeometrisk fordelt.

1. Sett opp modellen Det er \( {3 + 8 + 7 = 18} \) drops i posen. \( \textcolor{blue}{8} \) av dem er gule, og \( \textcolor{red}{10} \) er grønne eller røde. Vi kaller antallet gule Sander tar, for \( X\text{.} \) I videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 er sannsynligheten den samme hver gang, og da er fordelingen binomisk. Her kan det samme dropset ikke tas to ganger, så sannsynligheten endrer seg, og \( X \) er hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{8}}{k} \cdot \binom{\textcolor{red}{10}}{2 - k}}{\binom{18}{2}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de gule og \( {2 - k} \) av de andre på. Nevneren er antall måter å velge 2 av alle 18 på.

2. Regn ut for to gule To gule betyr \( {k = 2}\text{,} \) og da tar han ingen av de andre: \( {\binom{\textcolor{red}{10}}{0} = 1}\text{.} \) For hånd eller med knappen nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{blue}{8}}{2} &= \dfrac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \\ \binom{18}{2} &= \dfrac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 153 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ P(X = 2) = \dfrac{28 \cdot 1}{153} = \dfrac{28}{153} \approx 0{,}183 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver brøken inn i CAS med nCr og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: nCr(8, 2)/nCr(18, 2)

CAS gir \( {P(X = 2) \approx 0{,}183}\text{.} \)

Henny tar 3 av de 18 dropsene uten å legge noen tilbake. Vi teller utvalgene med ett drops av hver farge, og deler på alle måtene å ta 3 av 18 på.

1. Tell de gunstige utvalgene Ett av hver farge betyr ett av de \( \textcolor{green}{3} \) grønne, ett av de \( \textcolor{blue}{8} \) gule og ett av de \( \textcolor{red}{7} \) røde. Hvert valg kan kombineres med hvert av de andre: \[ \binom{\textcolor{green}{3}}{1} \cdot \binom{\textcolor{blue}{8}}{1} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{1} = \textcolor{green}{3} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{7} = 168 \]

2. Del på alle utvalgene Antall måter å velge 3 av de 18 dropsene på er: \[ \binom{18}{3} = \dfrac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 816 \]

Alle utvalgene er like sannsynlige, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{168}{816} = \dfrac{7}{34} \approx 0{,}206 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver brøken inn i CAS med nCr og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: (nCr(3, 1)*nCr(8, 1)*nCr(7, 1))/nCr(18, 3)

CAS gir \( {P \approx 0{,}2059}\text{.} \)

De tre tar ett drops hver fra hver sin pose, uavhengig av hverandre. Alle får samme farge hvis alle får grønn, alle gul eller alle rød, så vi regner ut de tre tilfellene og legger sammen.

1. Regn ut hvert tilfelle Dropsene er lagt tilbake, så hver pose har 18 drops. Hver av de tre får grønn med sannsynlighet \( \textcolor{green}{\dfrac{3}{18}}\text{,} \) gul med \( \textcolor{blue}{\dfrac{8}{18}} \) og rød med \( \textcolor{red}{\dfrac{7}{18}}\text{.} \) Trekkene er uavhengige, så vi ganger, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P(\text{alle grønne}) &= \left(\textcolor{green}{\dfrac{3}{18}}\right)^3 = \dfrac{27}{5832} \\ P(\text{alle gule}) &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{8}{18}}\right)^3 = \dfrac{512}{5832} \\ P(\text{alle røde}) &= \left(\textcolor{red}{\dfrac{7}{18}}\right)^3 = \dfrac{343}{5832} \end{aligned} \]

2. Legg sammen Tilfellene kan ikke skje samtidig, så vi legger sammen: \[ \begin{aligned} P &= \dfrac{27 + 512 + 343}{5832} = \dfrac{882}{5832} \\ P &= \dfrac{49}{324} \approx 0{,}151 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver summen inn i CAS og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: (3/18)^3 + (8/18)^3 + (7/18)^3

CAS gir \( {P \approx 0{,}1512}\text{.} \)

Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Det blir en andregradsfunksjon, og det største overskuddet ligger i toppunktet, der den deriverte er null.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er det elevbedriften får for produktene, minus det de koster, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \text{overskudd} = \textcolor{blue}{\text{inntekt}} - \textcolor{red}{\text{kostnader}} \]

Hver enhet gir 100 kroner, så \( x \) enheter gir inntekten \( \textcolor{blue}{100x}\text{.} \) Vi trekker fra hele \( \textcolor{red}{K(x)}\text{,} \) så minus gjelder alle leddene i den, og \( {100x - 60x = 40x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{100x} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{100x} \textcolor{red}{{}- 0{,}02x^2} \\ &\quad \textcolor{red}{{}- 60x - 12000} \\ &= -0{,}02x^2 + 40x - 12000 \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O'(x) = -0{,}04x + 40 \]

Vi setter \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}04x + 40 &= 0 \\ x &= \dfrac{40}{0{,}04} = 1000 \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-0{,}02 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.

3. Regn ut overskuddet Vi setter \( {x = 1000} \) inn i \( O(x)\text{.} \) Her er \( {-0{,}02 \cdot 1000^2 = -20\,000} \) og \( {40 \cdot 1000 = 40\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &O(1000) \\ &= -20\,000 + 40\,000 - 12\,000 \\ &= 8000 \end{aligned} \]Det største overskuddet er 8000 kroner, når elevbedriften lager og selger 1000 enheter.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( K \) og overskuddet \( O\text{,} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 0.02x^2 + 60x + 12000 O(x) = 100x - K(x) T = Ekstremalpunkt(O)

Toppunktet er \( {T = (1000,\ 8000)}\text{.} \) Det største overskuddet er 8000 kroner, med 1000 enheter.

Nå er antallet fast, 1000 enheter, og prisen er ukjent. Elevbedriften unngår underskudd når inntekten er minst like stor som kostnadene.

1. Regn ut de nye kostnadene De faste kostnadene er konstantleddet i \( K(x)\text{,} \) det som må betales uansett hvor mange enheter som lages. Det blir 8000 i stedet for 12 000: \[ K(x) = 0{,}02x^2 + 60x + \textcolor{darkorange}{8000} \]

Med 1000 enheter er \( {0{,}02 \cdot 1000^2 = 20\,000} \) og \( {60 \cdot 1000 = 60\,000}\text{,} \) så kostnadene er: \[ \begin{aligned} K(1000) &= 20\,000 + 60\,000 + \textcolor{darkorange}{8000} \\ K(1000) &= \textcolor{red}{88\,000} \end{aligned} \]

2. Finn den laveste prisen Med prisen \( p \) kroner per enhet er inntekten \( \textcolor{blue}{1000p}\text{.} \) Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det blir ikke underskudd når inntekten er minst like stor som kostnadene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1000p} &\ge \textcolor{red}{88\,000} \\ p &\ge 88 \end{aligned} \]Med 88 kroner per enhet er overskuddet akkurat 0.

1. Løs i CAS Vi skriver de nye kostnadene inn i CAS og løser likningen der inntekten er lik kostnadene:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 0.02x^2 + 60x + 8000 Løs(1000p = K(1000), p)

CAS gir \( {p = 88}\text{.} \) Med en lavere pris blir det underskudd.

Vi setter de to luktverdiene inn i formelen for \( I \) og ser hvor i tabellen svarene havner.

1. Sett inn de to luktverdiene \( C \) er luktverdien i \( \text{OU}/\text{m}^3\text{,} \) så vi setter \( {C = 500} \) og \( {C = 1400} \) inn i formelen, som i videoen Oppgave 3A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi bruker \( \lg \) på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} I(\textcolor{blue}{500}) &= 1{,}4 \cdot \lg(\textcolor{blue}{500}) - 0{,}3 \\ &\approx \textcolor{blue}{3{,}48} \\ I(\textcolor{red}{1400}) &= 1{,}4 \cdot \lg(\textcolor{red}{1400}) - 0{,}3 \\ &\approx \textcolor{red}{4{,}10} \end{aligned} \]

2. Sammenlign med tabellen Jo større \( C \) er, jo større er \( \lg(C)\text{,} \) så alle prøvene har en luktintensitet mellom \( \textcolor{blue}{3{,}48} \) og \( \textcolor{red}{4{,}10}\text{.} \) Det er «plagsom lukt, bør begrenses», og for de høyeste luktverdiene «plagsomt, tiltak kreves». Beboerne har derfor grunnlag for å klage.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( I(C) \) i CAS og regner ut verdiene med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(C) := 1.4*lg(C) - 0.3 I(500) I(1400)

CAS gir \( {I(500) \approx 3{,}4786} \) og \( {I(1400) \approx 4{,}1046}\text{.} \) Begge er over 3 i tabellen, så beboerne har grunnlag for å klage.

I tabellen er luktintensiteten akseptabel opp til 2. Vi løser ulikheten \( {I \le 2} \) for \( C\text{,} \) og fjerner \( \lg \) til slutt.

Merk – Tolkning: Under 1 er lukten uproblematisk, som er enda bedre enn akseptabel, så vi krever bare \( {I \le 2}\text{.} \) Leser vi «akseptabel» som akkurat 1 til 2, må også \( {C \ge 10^{\tfrac{13}{14}} \approx 8{,}5}\text{.} \) Eksamensveiledningen sier at sensorene skal være åpne for rimelige tolkninger.

1. Sett opp ulikheten Luktintensiteten må være høyst \( 2\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ 1{,}4 \cdot \textcolor{green}{\lg(C)} - 0{,}3 \le 2 \]

2. Løs ulikheten Vi legger til \( 0{,}3 \) og deler på \( 1{,}4\text{.} \) Det er et positivt tall, så tegnet snur ikke: \[ \begin{aligned} 1{,}4 \cdot \textcolor{green}{\lg(C)} &\le 2{,}3 \\ \textcolor{green}{\lg(C)} &\le \dfrac{2{,}3}{1{,}4} = \dfrac{23}{14} \end{aligned} \]

For å få \( C \) alene opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. \( 10^x \) er voksende, så tegnet snur ikke, og siden \( {10^{\textcolor{green}{\lg C}} = C}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, får vi: \[ C \le 10^{\tfrac{23}{14}} \approx 43{,}94 \]Luktverdien må altså være høyst omtrent \( 43{,}9\,\text{OU}/\text{m}^3\text{.} \)

1. Løs ulikheten i CAS Vi løser ulikheten \( {I(C) \le 2} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(C) := 1.4*lg(C) - 0.3 Løs(I(C) <= 2, C)

CAS gir \( {0 < C \le 43{,}9397}\text{.} \) Luktverdien må være høyst omtrent \( 43{,}9\,\text{OU}/\text{m}^3\text{.} \)

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hva som skjer med terningene i hver runde.

1. Les starten og løkkene Linje 4 og 5 starter med \( {\texttt{runder} = 0} \) og \( {\texttt{terninger} = 100}\text{.} \) Løkka i linje 6 går så lenge det er terninger igjen, som while-løkka i videoen Oppgave 4C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang den går, er én runde.

Løkka i linje 7 kaster én gang for hver terning Ola har når runden starter. \( \texttt{randint(1,6)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, altså et vanlig terningkast, slik kommentaren i linje 2 sier.

2. Les hva hvert kast gjør Viser terningen 6, legger linje 9 til \( \textcolor{green}{3} \) terninger. Terningen selv blir, så Ola får \( \textcolor{green}{3} \) terninger til. Viser den noe annet, trekker linje 11 fra \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) så den terningen er borte.

Linje 12 teller rundene. Når det ikke er flere terninger igjen, stopper løkka, og linje 14 skriver ut hvor mange runder spillet varte.

Vi bygger videre på programmet til Ola og reglene fra a).

Vi lar et program spille spillet mange ganger og regner ut gjennomsnittet av antall runder.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å gjøre et spill om til en funksjon, og på å forklare hva løkkene gjør.

1. Gjør spillet om til en funksjon Vi flytter linje 4 til 12 fra programmet til Ola inn i funksjonen \( \texttt{spill()} \) i linje 3 til 13. Den spiller ett spill og returnerer antall runder, som funksjonen i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her er hele programmet, med utskriften fra én kjøring:

2. Regn ut gjennomsnittet Løkka i linje 18 og 19 spiller \( \textcolor{red}{100\,000} \) spill og legger sammen antall runder i \( \textcolor{blue}{\texttt{sum\_runder}}\text{,} \) som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 21 deler summen på antall spill: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{alle rundene}}}{\textcolor{red}{\text{antall spill}}} \]Utskriften viser at et spill i gjennomsnitt varte omtrent \( 8{,}52 \) runder. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 8{,}5\text{.} \)