Eksamensoppgaver etter tema

Grafen dreies rundt førsteaksen, så vi bruker volumformelen for omdreiningslegemer med grensene \( 1 \) og \( 3\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et omdreiningslegeme rundt førsteaksen er: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {f(x) = 2x - 1}\text{:} \) \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{1}}^{\textcolor{red}{3}} (2x - 1)^2\,dx \]

2. Regn ut integralet Vi ganger ut med andre kvadratsetning, \( {(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1}\text{,} \) og integrerer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} V &= \pi \int_1^3 \left(4x^2 - 4x + 1\right) dx \\ &= \pi \left[\dfrac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x\right]_1^3 \end{aligned} \]

Vi setter inn grensene i parentesen: \[ \begin{aligned} x = 3\text{:} \quad & \dfrac{4}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 9 + 3 = 21 \\ x = 1\text{:} \quad & \dfrac{4}{3} - 2 + 1 = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ V = \pi \left(21 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{62\pi}{3} \]

Vi legger vasen ned langs førsteaksen, slik at \( f(x) \) er radien i høyden \( x\text{.} \) Formen på vasen gir \( c \) og \( \varphi\text{,} \) og volumet gir \( d\text{.} \)

1. Les av formen på vasen Vi lar førsteaksen gå gjennom midten av vasen, med bunnen i \( {x = 0} \) og kanten i \( {x = 20}\text{.} \) Vasen er da omdreiningslegemet vi får når grafen dreies rundt førsteaksen.

Fra bunnen og opp er vasen smal, bred, smal og bred igjen ved kanten. Radien går altså fra et bunnpunkt til et toppunkt, et bunnpunkt og et toppunkt. Det er tre halve perioder på \( 20\,\text{cm}\text{,} \) så perioden er: \[ \begin{aligned} p &= \dfrac{2}{3} \cdot 20 = \dfrac{40}{3} \\ \textcolor{green}{c} &= \dfrac{2\pi}{p} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}} \end{aligned} \]

Bunnen skal være et bunnpunkt. Sinus har bunnpunkt når det som står inni, er \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og i \( {x = 0} \) står det bare \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) inni: \[ \textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}} \]

2. Velg amplituden Vi velger \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så radien går \( 1\,\text{cm} \) ut og inn fra middelradien \( \textcolor{blue}{d}\text{.} \)

3. Finn middelradien fra volumet Vasen skal romme \( {1{,}5\,\text{L} = 1500\,\text{cm}^3}\text{.} \) Volumformelen forteller oss at: \[ V = \pi \int_0^{20} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Vi kaller det som står inni sinus, \( u\text{,} \) så \( {f(x) = \textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) og ganger ut kvadratet: \[ \begin{aligned} & \left(\textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}\right)^2 \\ &= \textcolor{red}{A}^2\sin^2 u + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin u + \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]Fra \( {x = 0} \) til \( {x = 20} \) går \( u \) fra \( {-\dfrac{\pi}{2}} \) til \( \dfrac{5\pi}{2}\text{.} \) Med \( {\sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^{20} \sin u\,dx &= \left[-\dfrac{\cos u}{\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 0 \\ \int_0^{20} \sin^2 u\,dx &= \left[\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2u}{4\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 10 \end{aligned} \]Leddene med \( \cos u \) og \( \sin 2u \) er \( 0 \) i begge endene. Det gir oss: \[ V = \pi\left(10\textcolor{red}{A}^2 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) \]

Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}} \) og \( {V = 1500} \) løser vi for \( \textcolor{blue}{d}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi\left(10 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) &= 1500 \\ 10 + 20\textcolor{blue}{d}^2 &= \dfrac{1500}{\pi} \approx 477{,}46 \\ 20\textcolor{blue}{d}^2 &\approx 467{,}46 \\ \textcolor{blue}{d}^2 &\approx 23{,}373 \\ \textcolor{blue}{d} &\approx \textcolor{blue}{4{,}83} \end{aligned} \]Vasen er da \( {2 \cdot (4{,}83 - 1) \approx 7{,}7\,\text{cm}} \) bred på det smaleste og \( {2 \cdot (4{,}83 + 1) \approx 11{,}7\,\text{cm}} \) på det bredeste. Det smaleste er omtrent to tredjedeler av det bredeste, som på bildet.

Kontroll: Med \( {d = 4{,}83} \) blir \( {V = \pi\left(10 + 20 \cdot 4{,}83^2\right)}\text{,} \) som er omtrent \( 1497\,\text{cm}^3 \) eller \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)

4. Tegn grafen Funksjonen er: \[ f(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \sin\left(\textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}x \textcolor{darkorange}{- \dfrac{\pi}{2}}\right) + \textcolor{blue}{4{,}83} \]Vi tegner den for \( x \) fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med bunnpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = \dfrac{40}{3} \approx 13{,}3} \) og toppunkter i \( {x = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7} \) og \( {x = 20}\text{:} \)

Den stiplede kurven er \( {y = -f(x)}\text{,} \) så vi ser hele vasen liggende. Andre valg er også riktige, for eksempel \( {A = 1{,}5}\text{,} \) som gir \( {d \approx 4{,}77}\text{.} \)

1. Finn middelradien og tegn grafen Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}}} \) fra formen lar vi CAS regne ut volumet som en funksjon av \( \textcolor{blue}{d} \) og løse \( {V(d) = 1500} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: V(d) := π*Integral((sin(3π/20*x - π/2) + d)^2, x, 0, 20) Løs(V(d) = 1500, d)

Middelradien er positiv, så \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{4{,}83}}\text{.} \) Så tegner vi funksjonen fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med speilbildet stiplet:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = Funksjon(sin(3π/20 x - π/2) + 4.83, 0, 20) g(x) = -f(x)

Funksjonen gir en vase som er \( 20\,\text{cm} \) høy og rommer omtrent \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)

Innsiden av koppen er et omdreiningslegeme rundt førsteaksen. Vi finner derfor volumet med volumformelen, fra \( {x = 0} \) til \( {x = 10}\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et omdreiningslegeme rundt førsteaksen er: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{10}}\text{.} \) Kvadratet av en kvadratrot er det som står under rottegnet, så \( {\left(\sqrt{x + 4}\right)^2 = x + 4}\text{:} \) \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{10}} (x + 4)\,dx \]

2. Regn ut integralet Vi integrerer ledd for ledd og setter inn grensene: \[ \begin{aligned} V &= \pi \left[\dfrac{1}{2}x^2 + 4x\right]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{10}} \\ &= \pi \left(\dfrac{1}{2} \cdot 100 + 40\right) - \pi \cdot 0 \\ &= 90\pi \end{aligned} \]Enheten langs aksene er cm, så volumet er \( 90\pi\,\text{cm}^3\text{.} \)

Kontroll: Med \( {\pi \approx 3{,}14} \) er \( {90\pi \approx 283\,\text{cm}^3}\text{,} \) omtrent \( 2{,}8\,\text{dL}\text{.} \) Det er en vanlig kopp.

Vi legger jordbæret i et koordinatsystem med spissen i origo og \( x \)-aksen langs midten. Vi leser av punkter på kanten, lager en funksjon gjennom dem med regresjon, og dreier grafen om \( x \)-aksen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjonen. Øv heller på å lese av punkter fra et bilde, og på å sette opp volumet som \( \pi \int f(x)^2\,dx\text{.} \) For hånd kan du tilnærme jordbæret med noen sylindere og kjegler.

1. Les av punkter på kanten Vi legger \( x \)-aksen gjennom spissen og midten av stilken, og måler med linjalen. Avstanden fra aksen ut til kanten er radien \( \textcolor{blue}{f(x)} \) i omdreiningslegemet. Vi leser av ti punkter:

\[ \begin{array}{r|cccc} x & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 0 & 1 & 1{,}4 & 1{,}9 \end{array} \]\[ \begin{array}{r|cccc} x & 2 & 2{,}5 & 3 & 3{,}5 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 2{,}2 & 2{,}3 & 2{,}3 & 2{,}3 \end{array} \]\[ \begin{array}{r|cc} x & 4 & 4{,}3 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 1{,}8 & 0 \end{array} \]Alle målene er i centimeter.

2. Lag modellen og regn ut volumet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er: \[ V = \pi \int_a^b \textcolor{blue}{f(x)}^2\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Vi legger punktene i en liste og bruker RegPoly med grad \( 6\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Så regner vi ut integralet fra \( 0 \) til \( 4{,}3\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 0), (0.5, 1), (1, 1.4), (1.5, 1.9), (2, 2.2), (2.5, 2.3), (3, 2.3), (3.5, 2.3), (4, 1.8), (4.3, 0)} f(x) = RegPoly(l1, 6) V = π*Integral((f(x))^2, 0, 4.3)

Grafen følger punktene godt, og volumet er \( {V \approx 47{,}6\,\text{cm}^3}\text{.} \)

3. Kommenter formen og vurder svaret Omdreiningslegemet er rundt om \( x \)-aksen, mens et ekte jordbær ikke er helt rundt. Vi antar at jordbæret er like bredt i alle retninger som på bildet.

Bildet er klippet flatt øverst og nederst, så jordbæret var nok litt bredere enn vi har målt. Spissen og stilkenden er litt butte, mens modellen lar radien gå til \( 0 \) i begge ender. Slike feil gjør at svaret bare er et overslag.

Jordbæret er omtrent \( 4{,}3\,\text{cm} \) langt og \( 4{,}6\,\text{cm} \) bredt, et stort jordbær. En sylinder med de målene har volumet \( {\pi \cdot 2{,}3^2 \cdot 4{,}3 \approx 71\,\text{cm}^3}\text{,} \) og jordbæret skal ha mindre volum enn det. Omtrent \( 48\,\text{cm}^3 \) er derfor et rimelig svar.

Vi skjærer legemet i tynne skiver vinkelrett på \( y \)-aksen. Hver skive er en ring, en stor skive med et hull i midten, og vi integrerer arealet av ringene fra \( {y = -R} \) til \( {y = R}\text{.} \)

1. Finn radiene i en ring Sirkelen har likningen \( {(x - a)^2 + y^2 = R^2}\text{.} \) For en fast \( y \) løser vi for \( x\text{:} \) \[ x = a \pm \sqrt{R^2 - y^2} \]

Når sirkelen dreies om \( y \)-aksen, blir skiven i høyden \( y \) en ring med ytre radius \( {\textcolor{red}{a + \sqrt{R^2 - y^2}}} \) og indre radius \( {\textcolor{blue}{a - \sqrt{R^2 - y^2}}}\text{.} \) Siden \( {R < a}\text{,} \) er den indre radien positiv.

2. Sett opp volumet Volumet er summen av skivene, som i videoen Omdreiningslegeme x-akse, med \( y \) i stedet for \( x\text{.} \) For en ring trekker vi hullet fra: \[ V = \pi \int_{-R}^{R} \left(\textcolor{red}{r_{\text{ytre}}}^2 - \textcolor{blue}{r_{\text{indre}}}^2\right) dy \]

Med kvadratsetningene er \( {(a + w)^2 - (a - w)^2 = 4aw}\text{,} \) der \( {w = \sqrt{R^2 - y^2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \pi \int_{-R}^{R} 4a\sqrt{R^2 - y^2}\,dy \\ &= 4\pi a \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - y^2}\,dy \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Grafen til \( {\sqrt{R^2 - y^2}} \) fra \( {-R} \) til \( R \) er den øvre halvdelen av en sirkel med radius \( R\text{.} \) Integralet er derfor arealet av en halv sirkel: \[ \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - y^2}\,dy = \dfrac{\pi R^2}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = 4\pi a \cdot \dfrac{\pi R^2}{2} = 2\pi^2 R^2 a \]

Pæra er et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen, og kanten i bildet er grafen som dreies. Vi leser av punkter på kanten, lager en funksjon gjennom dem med regresjon, og regner ut volumet med integralet.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjonen. Øv heller på å lese av punkter fra et bilde, og på å sette opp volumet som \( \pi \int f(x)^2\,dx\text{.} \) For hånd kan du tilnærme pæra med noen sylindere.

1. Les av punkter på kanten Vi leser av høyden \( \textcolor{blue}{f(x)} \) til kanten i rutenettet. Den er radien i omdreiningslegemet: \[ \begin{array}{r|ccccc} x & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 0 & 2 & 2{,}6 & 3{,}4 & 3{,}7 \end{array} \]\[ \begin{array}{r|ccccc} x & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 3{,}9 & 3{,}9 & 3{,}6 & 3{,}1 & 2{,}6 \end{array} \]\[ \begin{array}{r|cccc} x & 9 & 10 & 11 & 11{,}9 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 2 & 1{,}5 & 0{,}8 & 0 \end{array} \]Alle målene er i centimeter.

2. Lag modellen og regn ut volumet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er: \[ V = \pi \int_a^b \textcolor{blue}{f(x)}^2\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Vi legger punktene i en liste og bruker RegPoly med grad \( 6\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Så regner vi ut integralet fra \( 0 \) til \( 11{,}9\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 0), (0.5, 2), (1, 2.6), (2, 3.4), (3, 3.7), (4, 3.9), (5, 3.9), (6, 3.6), (7, 3.1), (8, 2.6), (9, 2), (10, 1.5), (11, 0.8), (11.9, 0)} f(x) = RegPoly(l1, 6) V = π*Integral((f(x))^2, 0, 11.9)

Grafen følger kanten godt, og volumet er \( {V \approx 313\,\text{cm}^3}\text{.} \)

3. Vurder svaret Vi har antatt at pæra er rund om \( x \)-aksen, og punktene er lest av med en nøyaktighet på omtrent en millimeter. Svaret er derfor et overslag, og vi runder av til omtrent \( 310\,\text{cm}^3\text{,} \) eller \( 3{,}1 \) dl. Det passer med en stor pære som er omtrent \( 12\,\text{cm} \) lang og \( 8\,\text{cm} \) bred.

Vi legger tønna ned langs \( x \)-aksen med midten i \( {x = 0}\text{.} \) Da er siden grafen til en parabel \( r(x)\text{,} \) og tønna er omdreiningslegemet vi får når grafen dreies om \( x \)-aksen.

1. Finn parabelen Radien er halve diameteren: \( 26 \) cm på midten og \( 22{,}5 \) cm i endene, \( 37{,}5 \) cm fra midten. Parabelen har toppunkt i \( (0, 26)\text{,} \) så: \[ r(x) = \textcolor{red}{a}x^2 + 26 \]

Med \( {r(37{,}5) = 22{,}5} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} \cdot 37{,}5^2 + 26 &= 22{,}5 \\ \textcolor{red}{a} &= -\dfrac{3{,}5}{1406{,}25} \\ &= \textcolor{red}{-\dfrac{14}{5625}} \end{aligned} \]

2. Sett opp volumet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er \( \pi \) ganger integralet av radien i andre, her fra den ene enden til den andre: \[ V = \pi \int_{-37{,}5}^{37{,}5} r(x)^2\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Vi kvadrerer \( {r(x) = 26 + \textcolor{red}{a}x^2}\text{:} \) \[ r(x)^2 = 676 + 52\textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{red}{a}^2x^4 \]

3. Integrer Tønna er symmetrisk om midten, så vi integrerer fra \( 0 \) til \( 37{,}5 \) og ganger med \( 2\text{:} \) \[ V = 2\pi\left[676x + \dfrac{52\textcolor{red}{a}}{3}x^3 + \dfrac{\textcolor{red}{a}^2}{5}x^5\right]_0^{37{,}5} \]

Ledd for ledd med \( {x = 37{,}5} \) og \( {\textcolor{red}{a} = -\dfrac{14}{5625}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 676 \cdot 37{,}5 &= 25\,350 \\ \dfrac{52\textcolor{red}{a}}{3} \cdot 37{,}5^3 &= -2275 \\ \dfrac{\textcolor{red}{a}^2}{5} \cdot 37{,}5^5 &= 91{,}875 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V &= 2\pi(25\,350 - 2275 + 91{,}875) \\ &\approx 145\,562\,\text{cm}^3 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 146 \) liter.

1. Regn ut volumet i CAS Vi finner \( a \) med Løs, og regner ut integralet:

Skriv inn i GeoGebra: r(x) := a*x^2 + 26 Løs(r(37.5) = 22.5, a) r(x) := -14/5625 x^2 + 26 ≈ π*Integral(r(x)^2, -37.5, 37.5)

Rad 4 gir \( {V \approx 145\,562\,\text{cm}^3}\text{,} \) det samme som med kalkulatoren.