Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

modellering

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

9 oppgaver i R2 om modellering

Oppgavene

R2 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Selskapet IntCom er en internettleverandør. Selskapet sørger for overføring av data mellom kundene og internett. Datatrafikken varierer gjennom døgnet. Tabellen nedenfor viser datatrafikken (gigabit per time) et døgn i mai.
TidspunktDatatrafikk(klokkeslett)(gigabit per time)00:0058 28002:0039 40006:0022 55008:0032 20012:0067 45016:0086 11020:00102 00722:0087 810 \begin{array}{r|r} \text{Tidspunkt} & \text{Datatrafikk} \\ \text{(klokkeslett)} & \text{(gigabit per time)} \\ \hline \text{00:00} & 58\,280 \\ \text{02:00} & 39\,400 \\ \text{06:00} & 22\,550 \\ \text{08:00} & 32\,200 \\ \text{12:00} & 67\,450 \\ \text{16:00} & 86\,110 \\ \text{20:00} & 102\,007 \\ \text{22:00} & 87\,810 \end{array}

Oppgave 1a)

Lag en god modell for datatrafikken S(t) S(t) gigabit per time, t t timer etter midnatt dette døgnet.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Avrundet til tre gjeldende sifre:
S(t)≈ 37 200sin⁡(0,243t−2,96)+63 200‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} S(t) \approx\ &37\,200\sin(0{,}243t - 2{,}96) \\ &+ 63\,200 \end{aligned}}}
Datatrafikken går opp og ned gjennom døgnet, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) til d) med modellen \( D \) fra oppgaven, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi regner klokkeslettene om til timer etter midnatt, så klokken 22:00 blir \( {t = 22}\text{.} \) Vi skriver tiden i kolonne A og datatrafikken i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ S(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: S(x) = RegSin(l1)
3. Skriv opp modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{37\,213{,}66}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{0{,}2426}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-2{,}9556}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{63\,196{,}61}}\text{.} \)
Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 25{,}9} \) timer, nær et døgn, og grafen går nær alle punktene. Modellen passer derfor godt med at trafikken følger døgnet.
Videre i oppgaven skal du bruke modellen
D(t)=63 000+37 000⋅sin⁡(0,24t−3,0) D(t) = 63\,000 + 37\,000 \cdot \sin(0{,}24t - 3{,}0)
for datatrafikken D(t), D(t)\text{,} t t timer etter midnatt dette døgnet.

Oppgave 1b)

Når var datatrafikken ut fra selskapet mer enn 90 000 90\,000 gigabit per time ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til to desimaler og til hele minutter:
15,91<t<22,18‾‾Fra kl. 15:54 til 22:11‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{15{,}91 < t < 22{,}18}} \\ &\underline{\underline{\text{Fra kl. 15:54 til 22:11}}} \end{aligned}
Vi skal finne når \( {D(t) > 90\,000}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner vinklene der sinus er større enn tallet på høyre side.
Metode: Med kalkulator
1. Få sinus alene Vi trekker fra \( 63\,000 \) på begge sider av \( {D(t) > 90\,000} \) og deler med \( 37\,000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 37\,000\sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> 27\,000 \\ \sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> \dfrac{27}{37} \end{aligned} \]
2. Finn vinklene på enhetssirkelen Vi kaller det som står inni sinus, \( \textcolor{green}{u}\text{.} \) Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( \dfrac{27}{37}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}\left(\dfrac{27}{37}\right) \approx 0{,}8179 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3237 \]Mellom \( u_1 \) og \( u_2 \) er sinus større enn \( \dfrac{27}{37}\text{,} \) fordi sinus har toppen sin i \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) mellom dem.
3. Regn om til klokkeslett Løser vi \( {0{,}24t - 3{,}0 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 3{,}0}{0{,}24}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{0{,}8179 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 15{,}908 \\ t_2 &= \dfrac{2{,}3237 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 22{,}182 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går \( u \) fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) så dette er det eneste tidsrommet i døgnet.
\( 0{,}908 \) timer er \( {0{,}908 \cdot 60 \approx 54} \) minutter, og \( 0{,}182 \) timer er omtrent \( 11 \) minutter. Datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktene med linja Vi skriver inn modellen og linja \( {y = 90\,000}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3) g: y = 90000
Skjæringspunktene er \( {A \approx (15{,}908,\ 90\,000)} \) og \( {B \approx (22{,}1819,\ 90\,000)}\text{.} \) Grafen ligger over linja mellom dem, så datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.

Oppgave 1c)

Når økte datatrafikken raskest, og hvor stor var denne økningen ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Målt i gigabit per time per time:
Raskest kl. 12:30‾‾D′(12,5)=8880‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Raskest kl. 12:30}}} \\ &\underline{\underline{D'(12{,}5) = 8880}} \end{aligned}
Økningen er den deriverte, så vi finner når \( D'(t) \) er størst. Vi deriverer sinusfunksjonen med kjerneregelen.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\sin \textcolor{green}{u}\right)' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.
Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{0{,}24}}\text{.} \) Konstanten \( 63\,000 \) har derivert \( 0\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} D'(t) &= 37\,000 \cdot \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{0{,}24} \\ &= 8880\cos(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) \end{aligned} \]
2. Finn når den deriverte er størst Cosinus er størst, lik \( 1\text{,} \) når det som står inni, er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}24t - 3{,}0 &= 0 \\ t &= 12{,}5 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går det som står inni, fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) og der er cosinus lik \( 1 \) bare når det er \( 0\text{.} \) Det er derfor det eneste toppunktet i døgnet.
Ved \( {t = 12{,}5} \) er økningen: \[ D'(12{,}5) = 8880 \cdot \cos 0 = 8880 \]\( {t = 12{,}5} \) er klokken 12:30. Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet på den deriverte Vi skriver inn modellen, deriverer den og finner toppunktet på grafen til \( D' \) mellom \( 0 \) og \( 24 \) med kommandoen Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3) D'(x) = Derivert(D) E = Ekstremalpunkt(D', 0, 24)
Toppunktet er \( {E = (12{,}5,\ 8880)}\text{.} \) Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.

Oppgave 1d)

Hvor stor del av den totale datamengden som IntCom overførte dette døgnet, ble overført i løpet av arbeidsdagen, det vil si mellom klokken 8 og klokken 16, ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Avrundet til én desimal:
Omtrent 31,5 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 31{,}5\,\%}}
Datamengden er integralet av datatrafikken. Vi deler integralet fra 8 til 16 på integralet over hele døgnet.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp andelen Datatrafikken er gigabit per time, så datamengden i et tidsrom er integralet av \( D(t)\text{.} \) Andelen er: \[ \text{Andel} = \dfrac{\int_8^{16} D(t)\,dt}{\int_0^{24} D(t)\,dt} \]
2. Finn en antiderivert For sinus med kjernen \( {\textcolor{green}{k}t + b} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \begin{aligned} & \int \sin(\textcolor{green}{k}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}\cos(\textcolor{green}{k}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{0{,}24}} \) får vi antideriverten: \[ \begin{aligned} F(t) &= 63\,000t \\ &\quad - \dfrac{37\,000}{\textcolor{green}{0{,}24}}\cos(\textcolor{green}{0{,}24}t - 3{,}0) \end{aligned} \]
3. Regn ut integralene og andelen Med kalkulatoren i radianer får vi: \[ \begin{aligned} F(16) &\approx 905\,099{,}5 \\ F(8) &\approx 431\,336{,}9 \\ F(24) &\approx 1\,655\,077{,}9 \\ F(0) &\approx 152\,623{,}8 \end{aligned} \]Datamengdene i gigabit er da: \[ \begin{aligned} \int_8^{16} D(t)\,dt &= F(16) - F(8) \\ &\approx 473\,763 \\ \int_0^{24} D(t)\,dt &= F(24) - F(0) \\ &\approx 1\,502\,454 \end{aligned} \]
Andelen er da: \[ \text{Andel} \approx \dfrac{473\,763}{1\,502\,454} \approx 0{,}315 \]Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut integralene i CAS Vi definerer modellen og regner ut de to integralene og forholdet mellom dem med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: D(t) := 63000 + 37000*sin(0.24t - 3) Integral(D(t), t, 8, 16) Integral(D(t), t, 0, 24) Integral(D(t), t, 8, 16) / Integral(D(t), t, 0, 24)
Rad 2 og 3 gir datamengdene omtrent \( 473\,762{,}6 \) og \( 1\,502\,454{,}0 \) gigabit, og rad 4 gir forholdet omtrent \( 0{,}3153\text{.} \) Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.

R2 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Du får i oppdrag å lage en vase med form som på bildet nedenfor. Vasen skal romme omtrent 1,5 L 1{,}5\,\text{L} vann og ha høyde 20 cm. 20\,\text{cm}\text{.}
Bruk det du kan om omdreiningslegemer og trigonometri, til å lage en funksjon på formen
f(x)=A⋅sin⁡(cx+φ)+d f(x) = A \cdot \sin(cx + \varphi) + d
som ved omdreining gir en vase med denne formen.
Tegn grafen til funksjonen i et koordinatsystem der enhetene langs aksene er centimeter.
Husk å begrunne ditt valg av parameterne A, A\text{,} c, c\text{,} φ \varphi og d, d\text{,} og la funksjonsuttrykket komme tydelig fram i besvarelsen din.
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Et mulig funksjonsuttrykk, med x x og f(x) f(x) i centimeter:
f(x)=sin⁡(3π20x−π2)+4,83‾‾ \underline{\underline{f(x) = \sin\left(\dfrac{3\pi}{20}x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 4{,}83}}
Vi legger vasen ned langs førsteaksen, slik at \( f(x) \) er radien i høyden \( x\text{.} \) Formen på vasen gir \( c \) og \( \varphi\text{,} \) og volumet gir \( d\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Les av formen på vasen Vi lar førsteaksen gå gjennom midten av vasen, med bunnen i \( {x = 0} \) og kanten i \( {x = 20}\text{.} \) Vasen er da omdreiningslegemet vi får når grafen dreies rundt førsteaksen.
Fra bunnen og opp er vasen smal, bred, smal og bred igjen ved kanten. Radien går altså fra et bunnpunkt til et toppunkt, et bunnpunkt og et toppunkt. Det er tre halve perioder på \( 20\,\text{cm}\text{,} \) så perioden er: \[ \begin{aligned} p &= \dfrac{2}{3} \cdot 20 = \dfrac{40}{3} \\ \textcolor{green}{c} &= \dfrac{2\pi}{p} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}} \end{aligned} \]
Bunnen skal være et bunnpunkt. Sinus har bunnpunkt når det som står inni, er \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og i \( {x = 0} \) står det bare \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) inni: \[ \textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}} \]
2. Velg amplituden Vi velger \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så radien går \( 1\,\text{cm} \) ut og inn fra middelradien \( \textcolor{blue}{d}\text{.} \)
3. Finn middelradien fra volumet Vasen skal romme \( {1{,}5\,\text{L} = 1500\,\text{cm}^3}\text{.} \) Volumformelen forteller oss at: \[ V = \pi \int_0^{20} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Vi kaller det som står inni sinus, \( u\text{,} \) så \( {f(x) = \textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) og ganger ut kvadratet: \[ \begin{aligned} & \left(\textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}\right)^2 \\ &= \textcolor{red}{A}^2\sin^2 u + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin u + \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]Fra \( {x = 0} \) til \( {x = 20} \) går \( u \) fra \( {-\dfrac{\pi}{2}} \) til \( \dfrac{5\pi}{2}\text{.} \) Med \( {\sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^{20} \sin u\,dx &= \left[-\dfrac{\cos u}{\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 0 \\ \int_0^{20} \sin^2 u\,dx &= \left[\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2u}{4\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 10 \end{aligned} \]Leddene med \( \cos u \) og \( \sin 2u \) er \( 0 \) i begge endene. Det gir oss: \[ V = \pi\left(10\textcolor{red}{A}^2 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) \]
Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}} \) og \( {V = 1500} \) løser vi for \( \textcolor{blue}{d}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi\left(10 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) &= 1500 \\ 10 + 20\textcolor{blue}{d}^2 &= \dfrac{1500}{\pi} \approx 477{,}46 \\ 20\textcolor{blue}{d}^2 &\approx 467{,}46 \\ \textcolor{blue}{d}^2 &\approx 23{,}373 \\ \textcolor{blue}{d} &\approx \textcolor{blue}{4{,}83} \end{aligned} \]Vasen er da \( {2 \cdot (4{,}83 - 1) \approx 7{,}7\,\text{cm}} \) bred på det smaleste og \( {2 \cdot (4{,}83 + 1) \approx 11{,}7\,\text{cm}} \) på det bredeste. Det smaleste er omtrent to tredjedeler av det bredeste, som på bildet.
Kontroll: Med \( {d = 4{,}83} \) blir \( {V = \pi\left(10 + 20 \cdot 4{,}83^2\right)}\text{,} \) som er omtrent \( 1497\,\text{cm}^3 \) eller \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)
4. Tegn grafen Funksjonen er: \[ f(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \sin\left(\textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}x \textcolor{darkorange}{- \dfrac{\pi}{2}}\right) + \textcolor{blue}{4{,}83} \]Vi tegner den for \( x \) fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med bunnpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = \dfrac{40}{3} \approx 13{,}3} \) og toppunkter i \( {x = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7} \) og \( {x = 20}\text{:} \)
Den stiplede kurven er \( {y = -f(x)}\text{,} \) så vi ser hele vasen liggende. Andre valg er også riktige, for eksempel \( {A = 1{,}5}\text{,} \) som gir \( {d \approx 4{,}77}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Finn middelradien og tegn grafen Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}}} \) fra formen lar vi CAS regne ut volumet som en funksjon av \( \textcolor{blue}{d} \) og løse \( {V(d) = 1500} \) med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: V(d) := π*Integral((sin(3π/20*x - π/2) + d)^2, x, 0, 20) Løs(V(d) = 1500, d)
Middelradien er positiv, så \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{4{,}83}}\text{.} \) Så tegner vi funksjonen fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med speilbildet stiplet:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) = Funksjon(sin(3π/20 x - π/2) + 4.83, 0, 20) g(x) = -f(x)
Funksjonen gir en vase som er \( 20\,\text{cm} \) høy og rommer omtrent \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)

R2 høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

6 poeng

Tabellen nedenfor viser elektrisk spenning målt i en stikkontakt i Norge.
Sekunder etterat ma˚lingenestartet (t)Ma˚ltspenning (U)0,00201890,00503230,00702590,0100−2,120,0130−2610,0150−3270,0180−1890,02003,52 \begin{array}{r|r} \begin{array}{c} \text{Sekunder etter} \\ \text{at målingene} \\ \text{startet } (t) \end{array} & \begin{array}{c} \text{Målt} \\ \text{spenning } (U) \end{array} \\ \hline 0{,}0020 & 189 \\ 0{,}0050 & 323 \\ 0{,}0070 & 259 \\ 0{,}0100 & -2{,}12 \\ 0{,}0130 & -261 \\ 0{,}0150 & -327 \\ 0{,}0180 & -189 \\ 0{,}0200 & 3{,}52 \end{array}

Oppgave 2a)

Bestem en modell U U for spenningen U(t) U(t) volt (V) i stikkontakten t t sekunder etter at målingene startet.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Med A, A\text{,} c c og d d avrundet til to desimaler og φ \varphi til fire:
U(t)≈−0,91+323,47sin⁡(314,81t−0,0026)‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} &U(t) \approx -0{,}91 \\ &+ 323{,}47\sin(314{,}81t - 0{,}0026) \end{aligned}}}
Spenningen går opp og ned periodisk, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) og c) med modellen fra a), med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver tiden i kolonne A og spenningen i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ U(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: U(x) = RegSin(l1)
3. Skriv opp modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{323{,}47}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{314{,}81}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-0{,}0026}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{.} \)
Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 0{,}0200} \) sekunder, og grafen går nær alle punktene. Andre modeller som passer tabellen, er også riktige, for eksempel \( {U(t) = 325\sin(100\pi t)}\text{,} \) med amplituden og perioden lest av tabellen. Vi bruker denne modellen i b) og c).

Oppgave 2b)

På hvilke tidspunkter i løpet av de første 0,0200 0{,}0200 sekundene er spenningen 230 V 230\,\text{V} ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til fire desimaler er spenningen 230 V 230\,\text{V} ved
t≈0,0025 s og t≈0,0075 s‾‾ \underline{\underline{t \approx 0{,}0025\,\text{s} \ \text{og} \ t \approx 0{,}0075\,\text{s}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi skal løse \( {U(t) = 230}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner de to vinklene der sinus har den verdien.
Metode: Med kalkulator
1. Få sinus alene I a) fant vi modellen. Vi kaller det som står inni sinus, \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}}\text{:} \) \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]
Vi setter \( {U(t) = 230}\text{,} \) legger til \( \textcolor{blue}{0{,}91} \) og deler med \( \textcolor{red}{323{,}47}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{u} = \dfrac{230 + \textcolor{blue}{0{,}91}}{\textcolor{red}{323{,}47}} \approx 0{,}7139 \]
2. Finn vinklene Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( 0{,}7139\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}(0{,}7139) \approx 0{,}7951 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3465 \]Fra \( {t = 0} \) til \( {t = 0{,}0200} \) går \( \textcolor{green}{u} \) fra \( {-0{,}0026} \) til omtrent \( 6{,}29\text{,} \) én periode. Den neste vinkelen, \( {u_1 + 2\pi \approx 7{,}08}\text{,} \) er for stor.
3. Regn om til tid Løser vi \( {314{,}81t - 0{,}0026 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 0{,}0026}{314{,}81}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{\textcolor{green}{0{,}7951} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0025 \\ t_2 &= \dfrac{\textcolor{green}{2{,}3465} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0075 \end{aligned} \]Spenningen er \( 230\,\text{V} \) etter omtrent \( 0{,}0025 \) og \( 0{,}0075 \) sekunder.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) inn i CAS. Grafen i a) går gjennom \( 230 \) to ganger i den første perioden, nær \( {t = 0{,}0025} \) og \( {t = 0{,}0075}\text{.} \) Vi bruker dem som startverdier i NLøs:
Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0025) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0075)
Rad 2 og 3 gir \( {t \approx 0{,}0025} \) og \( {t \approx 0{,}0075}\text{.} \)
Nettspenningen i Norge (den elektriske spenningen i vanlige stikkontakter) er 230 V. 230\,\text{V}\text{.}
Truls lurer på om målingene som er gjort, kan være riktige. Han finner ut at spenningen i kontakten er en vekselspenning. Det betyr at spenningen varierer periodisk med tiden. Når spenningen oppgis å være 230 V, 230\,\text{V}\text{,} er dette noe som kalles effektivverdien til spenningen og er gitt ved
Ueffektiv=1T∫0T(U(t))2 dt U_{\text{effektiv}} = \sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T \big(U(t)\big)^2\,dt}
der T T er perioden til funksjonen U. U\text{.}

Oppgave 2c)

Bruk modellen fra oppgave a og formelen ovenfor til å hjelpe Truls med å avgjøre om målingene kan være riktige.
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Effektivverdien til modellen er omtrent 228,7 V, 228{,}7\,\text{V}\text{,} svært nær 230 V: 230\,\text{V}\text{:}
Ma˚lingene kan stemme‾‾ \underline{\underline{\text{Målingene kan stemme}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi setter modellen inn i formelen og integrerer over én periode. Blir effektivverdien omtrent \( 230\,\text{V}\text{,} \) kan målingene være riktige.
Metode: Med kalkulator
1. Integrer kvadratet av modellen I a) fant vi modellen. Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}} \) er den: \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]
Vi kaller \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{323{,}47}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{,} \) og perioden er \( {T = \dfrac{2\pi}{314{,}81}}\text{.} \) Med første kvadratsetning, \( {(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \big(U(t)\big)^2 = \ &\textcolor{red}{A}^2\sin^2 \textcolor{green}{u} + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin \textcolor{green}{u} \\ &+ \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]
Over en hel periode er integralet av \( \sin u \) lik \( 0\text{,} \) fordi arealet over og under aksen er like store. For \( \sin^2 u \) bruker vi formelen for dobbel vinkel: \[ \sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2} \]
Integralet av \( \cos 2u \) over en hel periode er også \( 0\text{,} \) så \( \sin^2 u \) gir \( \dfrac{T}{2}\text{:} \) \[ \int_0^T \big(U(t)\big)^2\,dt = \textcolor{red}{A}^2 \cdot \dfrac{T}{2} + \textcolor{blue}{d}^2 \cdot T \]
2. Regn ut effektivverdien Vi deler på \( T \) og tar kvadratroten. \( T \) forkortes bort: \[ \begin{aligned} U_{\text{effektiv}} &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{A}^2}{2} + \textcolor{blue}{d}^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{323{,}47}^2}{2} + (\textcolor{blue}{-0{,}91})^2} \\ &\approx 228{,}7 \end{aligned} \]
Effektivverdien til modellen er omtrent \( 228{,}7\,\text{V}\text{,} \) bare \( 1{,}3\,\text{V} \) under \( 230\,\text{V}\text{.} \) Målingene kan altså være riktige.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut effektivverdien i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) og perioden inn i CAS, og regner ut formelen med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) T := 2π/314.81 sqrt(1/T*Integral(U(t)^2, t, 0, T))
Rad 3 gir \( {U_{\text{effektiv}} \approx 228{,}7\,\text{V}}\text{,} \) svært nær \( 230\,\text{V}\text{,} \) så målingene kan være riktige.

R2 høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

Karbontetraklorid (CCl4 \text{CCl}_4 ) er et skadelig stoff som brytes sakte ned i kroppen og delvis lagres i fettvev. Så lenge konsentrasjonen av CCl4 \text{CCl}_4 i kroppen er under 10 10 enheter, klarer leveren å skille ut stoffet som normalt. Når konsentrasjonen overstiger 10 10 enheter, begynner ammoniakk å hope seg opp i blodet, og det blir potensielt farlig.
Sofie skal bo nær et gammelt industriområde der det har foregått ulovlig dumping av kjemikalier. Hver natt kommer hun til å puste inn CCl4 \text{CCl}_4 som fordamper fra grunnen og kommer inn på soverommet hennes gjennom ventilasjon og sprekker i kjelleren.
Sofie utsettes for 2 2 enheter CCl4 \text{CCl}_4 per natt. Vi regner med at kroppen hennes klarer å skille ut 18 % 18\,\% av total mengde i kroppen i løpet av en dag.
Anta at Sofie kun skiller ut CCl4 \text{CCl}_4 når hun ikke blir utsatt for stoffet, og at hun bare blir utsatt for CCl4 \text{CCl}_4 om natten.

Oppgave 3a)

Regn ut hvor mange netter Sofie kan sove på soverommet sitt før konsentrasjonen av CCl4 \text{CCl}_4 i kroppen hennes kommer opp på et potensielt farlig nivå.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Mengden kommer over 10 10 enheter den 12. natten, så Sofie kan sove
11 netter‾‾ \underline{\underline{11\ \text{netter}}}
Hver natt kommer det \( 2 \) enheter til, og hver dag blir \( 82\,\% \) av mengden igjen. Mengden etter hver natt er derfor summen av en geometrisk rekke med \( {k = 0{,}82}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp mengden etter n netter Etter den første natten har Sofie \( 2 \) enheter i kroppen. Om dagen skiller hun ut \( 18\,\% \text{,} \) så \( 82\,\% \) blir igjen. Etter den andre natten har hun \( {2 \cdot 0{,}82 + 2} \) enheter, og etter \( n \) netter: \[ a_n = \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{0{,}82} + \dots + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{0{,}82}^{n-1} \]
Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{red}{k}^n}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}82}}\text{:} \) \[ a_n = \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{red}{0{,}82}^n}{1 - \textcolor{red}{0{,}82}} = \dfrac{2(1 - 0{,}82^n)}{0{,}18} \]
2. Finn når mengden blir over ti Mengden er farlig når \( {a_n > 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{2(1 - 0{,}82^n)}{0{,}18} &> 10 \\ 1 - 0{,}82^n &> 0{,}9 \\ 0{,}82^n &< 0{,}1 \end{aligned} \]
Vi tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln b^n = n \ln b}\text{.} \) \( \ln 0{,}82 \) er negativ, så ulikhetstegnet snur når vi deler på den: \[ \begin{aligned} n \ln 0{,}82 &< \ln 0{,}1 \\ n &> \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}82} \approx 11{,}6 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på logaritmeregelen eller på at ulikhetstegnet snur, kan du se videoene Naturlige Logaritmer og Introduksjon til Ulikheter.
3. Se på hele netter Antall netter er et helt tall, så vi regner ut mengden etter 11 og 12 netter: \[ \begin{aligned} a_{11} &= \dfrac{2(1 - 0{,}82^{11})}{0{,}18} \approx 9{,}86 \\ a_{12} &= \dfrac{2(1 - 0{,}82^{12})}{0{,}18} \approx 10{,}08 \end{aligned} \]Etter 11 netter er mengden fortsatt under \( 10 \) enheter, men den 12. natten kommer den over. Sofie kan altså sove 11 netter på soverommet.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi bruker uttrykket for \( a_n \) fra kalkulatorruten, løser \( {a_n = 10} \) og regner ut \( a_{11} \) og \( a_{12}\text{,} \) med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Løs(2*(1 - 0.82^n)/0.18 = 10, n) 2*(1 - 0.82^11)/0.18 2*(1 - 0.82^12)/0.18
Rad 1 gir \( {n \approx 11{,}6}\text{,} \) og rad 2 og 3 gir \( {a_{11} \approx 9{,}8588} \) og \( {a_{12} \approx 10{,}0842}\text{.} \) Mengden er under \( 10 \) etter 11 netter og over etter 12, så Sofie kan sove 11 netter.
Sofie leser en artikkel om CCl4 \text{CCl}_4 der det blir påstått at en voksen person aldri vil ha mer enn 10 10 enheter av stoffet i kroppen dersom personen utsettes for 2 2 enheter CCl4 \text{CCl}_4 per natt.

Oppgave 3b)

Regn ut hvor mange prosent av mengden CCl4 \text{CCl}_4 artikkelen antar at en voksen person skiller ut fra kroppen per dag.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Artikkelen antar at en voksen person skiller ut
20 % per dag‾‾ \underline{\underline{20\,\%\ \text{per dag}}}
Mengden etter hver natt vokser mot summen av en uendelig geometrisk rekke. Artikkelen antar at denne summen er \( 10\text{,} \) og vi finner hvor stor andel som da skilles ut.
Metode: For hånd
1. Finn hva mengden vokser mot Vi kaller andelen som skilles ut per dag, \( \textcolor{green}{p}\text{.} \) Da blir andelen \( {\textcolor{red}{k} = 1 - \textcolor{green}{p}} \) igjen, og mengden etter \( n \) netter er den samme rekken som i a), med denne \( \textcolor{red}{k}\text{.} \)
Når \( n \) vokser, nærmer mengden seg summen av den uendelige rekken, fordi \( {0 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{:} \) \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på hvor formelen kommer fra, kan du se videoen Geometrisk rekke test, der \( k^n \) går mot \( 0 \) i formelen for \( S_n\text{.} \)
Med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = 1 - \textcolor{green}{p}} \) får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{1 - (1 - \textcolor{green}{p})} = \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{green}{p}} \]Mengden vokser hele tiden, men blir aldri større enn \( S\text{.} \)
2. Sett grensen lik ti Artikkelen sier at mengden aldri blir mer enn \( 10 \) enheter, så \( {S = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{green}{p}} &= 10 \\ \textcolor{green}{p} &= 0{,}2 \end{aligned} \]Artikkelen antar altså at en voksen person skiller ut \( 20\,\% \) per dag. Med \( 18\,\% \) som i a) blir grensen \( {\dfrac{2}{0{,}18} \approx 11{,}1}\text{,} \) og da kommer mengden over \( 10\text{.} \)

R2 vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

6 poeng

En hare løper vekk fra en rev som angriper den. Farten v v til haren er gitt ved
v(t)=8,3−17,4⋅e−5t+9,1⋅e−0,08t v(t) = 8{,}3 - 17{,}4 \cdot e^{-5t} + 9{,}1 \cdot e^{-0{,}08t}
Her er v v meter per sekund, og t t er antall sekunder etter at haren starter å løpe.

Oppgave 3a)

Hvor lang tid vil det gå før akselerasjonen til haren er null? Hva forteller dette svaret?
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Akselerasjonen er null når haren har den største farten, avrundet til to og én desimal:
t≈0,97 s‾‾v(0,97)≈16,6 m/s‾‾ \begin{aligned} t &\approx \underline{\underline{0{,}97\,\text{s}}} \\ v(0{,}97) &\approx \underline{\underline{16{,}6\,\text{m/s}}} \end{aligned}
Akselerasjonen er den deriverte av farten. Vi deriverer, setter den deriverte lik null og løser likningen med \( \ln\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Deriver farten Når eksponenten er \( \textcolor{green}{k}t\text{,} \) gir kjerneregelen: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}t}\right)' = \textcolor{green}{k}e^{\textcolor{green}{k}t} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen. Vi deriverer ledd for ledd:
\( {-17{,}4e^{-5t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-5}}\text{,} \) så derivert blir den \( {\underline{\textcolor{blue}{87e^{-5t}}}}\text{,} \) fordi \( {-17{,}4 \cdot (\textcolor{green}{-5}) = 87}\text{.} \)
\( {9{,}1e^{-0{,}08t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-0{,}08}}\text{,} \) så derivert blir den \( {\underline{\textcolor{red}{-0{,}728e^{-0{,}08t}}}}\text{,} \) fordi \( {9{,}1 \cdot (\textcolor{green}{-0{,}08}) = -0{,}728}\text{.} \)
Konstanten \( 8{,}3 \) blir borte, så akselerasjonen er: \[ a(t) = v'(t) = \textcolor{blue}{87e^{-5t}} \textcolor{red}{- 0{,}728e^{-0{,}08t}} \]
2. Løs likningen Vi setter \( {a(t) = 0} \) og flytter det ene leddet over: \[ \textcolor{blue}{87e^{-5t}} = \textcolor{red}{0{,}728e^{-0{,}08t}} \]
Vi ganger begge sider med \( \dfrac{e^{5t}}{0{,}728}\text{.} \) Eksponenten blir \( {-0{,}08t + 5t = 4{,}92t}\text{:} \) \[ e^{4{,}92t} = \dfrac{87}{0{,}728} \]
Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Naturlige Logaritmer, og får: \[ \begin{aligned} 4{,}92t &= \ln\left(\dfrac{87}{0{,}728}\right) \\ t &\approx 0{,}972 \end{aligned} \]
3. Tolk svaret Vi sjekker fortegnet til akselerasjonen på hver side: \[ \begin{aligned} a(0) &= 87 - 0{,}728 \approx 86{,}3 > 0 \\ a(2) &= 87e^{-10} - 0{,}728e^{-0{,}16} \\ &\approx -0{,}62 < 0 \end{aligned} \]Farten øker altså til \( {t \approx 0{,}972} \) og avtar etterpå. Hvis du er usikker på hvordan vi avgjør om det er et toppunkt, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.
Da har haren den største farten: \[ v(0{,}972) \approx 16{,}58 \]Etter omtrent \( 0{,}97 \) sekunder løper haren fortest, med omtrent \( 16{,}6\,\text{m/s}\text{,} \) og etter det går farten ned.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( v(t)\text{,} \) løser \( {v'(t) = 0} \) og setter løsningen inn i \( v\text{.} \) Rad 2 og 3 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: v(t) := 8.3 - 17.4ℯ^(-5t) + 9.1ℯ^(-0.08t) Løs(Derivert(v(t), t) = 0, t) v(0.9722)
Rad 2 gir \( {t \approx 0{,}9722}\text{,} \) og rad 3 gir farten da, \( {v \approx 16{,}58\,\text{m/s}}\text{.} \) Akselerasjonen er positiv før og negativ etter, for eksempel \( {a(0) \approx 86{,}3} \) og \( {a(2) \approx -0{,}62}\text{,} \) så dette er den største farten.

Oppgave 3b)

Hvor langt løper haren i løpet av de første 7 7 sekundene?
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Avrundet til én desimal løper haren
103,4 m‾‾ \underline{\underline{103{,}4\,\text{m}}}
Strekningen er integralet av farten. Vi finner en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene \( 0 \) og \( 7\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Finn en antiderivert Når eksponenten er \( \textcolor{green}{k}t\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int e^{\textcolor{green}{k}t}\,dt = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}t} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
\( 8{,}3 \) integrert blir \( \underline{8{,}3t}\text{.} \)
\( {-17{,}4e^{-5t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-5}}\text{,} \) så integrert blir den \( {\underline{3{,}48e^{-5t}}}\text{,} \) fordi \( {\dfrac{-17{,}4}{\textcolor{green}{-5}} = 3{,}48}\text{.} \)
\( {9{,}1e^{-0{,}08t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-0{,}08}}\text{,} \) så integrert blir den \( {\underline{-113{,}75e^{-0{,}08t}}}\text{,} \) fordi \( {\dfrac{9{,}1}{\textcolor{green}{-0{,}08}} = -113{,}75}\text{.} \)
Vi kaller den antideriverte \( F\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(t) = \ &8{,}3t + 3{,}48e^{-5t} \\ &- 113{,}75e^{-0{,}08t} \end{aligned} \]
2. Sett inn grensene Strekningen er integralet av farten: \[ s = \int_0^7 v(t)\,dt = F(\textcolor{blue}{7}) - F(\textcolor{red}{0}) \]
Vi regner ut hver for seg: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{7}) &= 58{,}1 + 3{,}48e^{-35} \\ &\quad - 113{,}75e^{-0{,}56} \\ &\approx \textcolor{blue}{-6{,}875} \\ F(\textcolor{red}{0}) &= 3{,}48 - 113{,}75 = \textcolor{red}{-110{,}27} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ s = \textcolor{blue}{-6{,}875} - (\textcolor{red}{-110{,}27}) \approx 103{,}4 \]Haren løper omtrent \( 103{,}4\,\text{m} \) de første \( 7 \) sekundene.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut integralet i CAS Vi fortsetter i CAS fra a), og regner ut integralet med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Integral(v(t), t, 0, 7)
Rad 4 gir strekningen, \( 103{,}395\,\text{m}\text{.} \)
Gjennomsnittsfarten vg v_g til haren de første x x sekundene er gitt ved
vg(x)=1x∫0xv(t) dt v_g(x) = \dfrac{1}{x}\int_0^x v(t)\,dt

Oppgave 3c)

Bestem gjennomsnittsfarten til haren de første 200 200 meterne.
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Haren løper de første 200 200 meterne på omtrent 14,95 14{,}95 sekunder, så avrundet til to desimaler er
vg≈13,37 m/s‾‾ \underline{\underline{v_g \approx 13{,}37\,\text{m/s}}}
Integralet i formelen er strekningen haren har løpt etter \( x \) sekunder. Vi finner når strekningen er \( 200\,\text{m}\text{,} \) og deler \( 200 \) på den tiden.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse likningen for hånd, fordi \( x \) står både alene og i eksponenter. Øv heller på å sette opp likningen, og på å forklare at gjennomsnittsfarten er strekningen delt på tiden.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn tiden for 200 meter Vi fortsetter i CAS fra a). Rad 5 definerer strekningen etter \( x \) sekunder, \( {S(x) = \displaystyle\int_0^x v(t)\,dt}\text{,} \) og rad 6 løser \( {S(x) = 200} \) med NLøs og startverdien \( {x = 15}\text{.} \) Rad 7 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: S(x) := Integral(v(t), t, 0, x) NLøs(S(x) = 200, x = 15) 200 / 14.9539
Rad 6 viser at haren har løpt \( 200\,\text{m} \) etter omtrent \( 14{,}9539 \) sekunder.
2. Regn ut gjennomsnittsfarten Etter \( {\textcolor{red}{x \approx 14{,}9539}} \) sekunder er integralet \( \textcolor{blue}{200}\text{,} \) så formelen gir strekningen delt på tiden, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ v_g = \dfrac{1}{\textcolor{red}{x}} \cdot \textcolor{blue}{200} \approx \dfrac{\textcolor{blue}{200}}{\textcolor{red}{14{,}9539}} \approx 13{,}37 \]Dette er rad 7.

R2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

6 poeng

En sensor skal slå på utelyset foran ytterdøra til et hus. Lyset blir slått på T(x) T(x) timer etter midnatt. T(x) T(x) er gitt ved
T(x)=4⋅sin⁡(0,0055π⋅x−0,5π)+19 T(x) = 4 \cdot \sin(0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi) + 19
x x er antall dager etter 31. desember 2023 slik at x=1 {x = 1} svarer til 1. januar 2024. Tidspunktet sensoren slår på utelyset, varierer fra kl. 15:00 til kl. 23:00, og det varierer periodisk i løpet av et år. Den 1. april slår lyset seg på kl. 19:00.

Oppgave 3a)

Forklar hvordan de ulike verdiene i modellen T(x) T(x) passer med opplysningene gitt ovenfor.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Midt mellom 15 og 23 er 19‾‾, \underline{\underline{19}}\text{,} halve forskjellen er amplituden 4‾‾, \underline{\underline{4}}\text{,} perioden 2π0,0055π≈364 dager‾‾ {\dfrac{2\pi}{0{,}0055\pi} \approx \underline{\underline{364 \text{ dager}}}} er omtrent ett år, og −0,5π {-0{,}5\pi} gjør at T(91)≈19‾‾, {\underline{\underline{T(91) \approx 19}}}\text{,} kl. 19:00 rundt 1. april.
Vi sammenligner med den generelle formen \( {\textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}x + \varphi) + \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) og ser hva hver verdi betyr for tidspunktet.
Metode: For hånd
1. Likevektslinja og amplituden Tidspunktet varierer fra \( 15 \) til \( 23\text{.} \) Midt mellom ligger likevektslinja, og amplituden er avstanden derfra til toppen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} &= \dfrac{15 + 23}{2} = \textcolor{blue}{19} \\ \textcolor{red}{A} &= \dfrac{23 - 15}{2} = \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]Det er tallene \( \textcolor{red}{4} \) og \( \textcolor{blue}{19} \) i modellen.
2. Perioden Perioden er \( \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}}\text{,} \) og her er \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0{,}0055\pi}}\text{:} \) \[ \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{0{,}0055\pi}} \approx 364 \]Det er omtrent ett år, så tidspunktet gjentar seg hvert år.
3. Forskyvningen \( {-0{,}5\pi} \) bestemmer hvor i året vi starter. Sinus er \( 0\text{,} \) og \( {T = 19}\text{,} \) når det som står inni er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}0055\pi x - 0{,}5\pi &= 0 \\ x &= \dfrac{0{,}5}{0{,}0055} \approx 91 \end{aligned} \]Siden 2024 er et skuddår, er \( {x = 31 + 29 + 31 = 91} \) den 31. mars. Lyset slår seg altså på kl. 19:00 rundt 1. april, som i teksten. Den 1. april, \( {x = 92}\text{,} \) gir \( {T(92) \approx 19{,}08}\text{,} \) omtrent kl. 19:05.

Oppgave 3b)

Når i 2024 vil tidspunktet da lyset slår seg på, flytte seg 3 3 minutter per dag?
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Tidspunktet flytter seg 3 3 minutter per dag omtrent 16. februar‾‾, \underline{\underline{\text{16. februar}}}\text{,} 14. mai‾‾, \underline{\underline{\text{14. mai}}}\text{,} 16. august‾‾ \underline{\underline{\text{16. august}}} og 12. november‾‾. \underline{\underline{\text{12. november}}}\text{.}
Hvor mye tidspunktet flytter seg per dag, er den deriverte \( T'(x)\text{,} \) målt i timer per dag. \( 3 \) minutter er \( 0{,}05 \) timer, så vi løser \( {T'(x) = 0{,}05} \) og \( {T'(x) = -0{,}05}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen Vi bruker kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen. Kjernen har derivert \( 0{,}0055\pi\text{,} \) og sinus derivert er cosinus: \[ \begin{aligned} T'(x) &= 4 \cdot 0{,}0055\pi \cdot \cos(\textcolor{red}{u}) \\ &= 0{,}022\pi\cos(\textcolor{red}{u}) \end{aligned} \]der \( {\textcolor{red}{u = 0{,}0055\pi x - 0{,}5\pi}}\text{.} \)
2. Løs likningene \( {T'(x) = \pm 0{,}05} \) gir: \[ \cos(\textcolor{red}{u}) = \pm\dfrac{0{,}05}{0{,}022\pi} \approx \pm 0{,}7234 \]
Kalkulatoren gir \( {\cos^{-1}(0{,}7234) \approx 0{,}7620}\text{,} \) og cosinus har samme verdi i \( {-0{,}7620}\text{.} \) For \( {-0{,}7234} \) er vinklene \( \pi \mp 0{,}7620\text{.} \) Hvis du er usikker på de to vinklene, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
I 2024 går \( \textcolor{red}{u} \) fra omtrent \( {-1{,}55} \) til \( 4{,}75\text{,} \) så vi får fire vinkler. Vi løser \( {x = \dfrac{\textcolor{red}{u} + 0{,}5\pi}{0{,}0055\pi}} \) for hver: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} = -0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 46{,}8 \\ \textcolor{red}{u} = 0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 135{,}0 \\ \textcolor{red}{u} = \pi - 0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 228{,}6 \\ \textcolor{red}{u} = \pi + 0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 316{,}8 \end{aligned} \]
3. Gjør om til datoer Januar har \( 31 \) dager, februar \( 29\text{,} \) og så videre. \( {x \approx 47} \) er 16. februar, \( {x = 135} \) er 14. mai, \( {x \approx 229} \) er 16. august og \( {x \approx 317} \) er 12. november. I februar og mai kommer lyset \( 3 \) minutter senere for hver dag, i august og november \( 3 \) minutter tidligere.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningene i CAS Vi definerer modellen og den deriverte, og løser \( {T'(x) = \pm 0{,}05} \) med NLøs og fire startverdier:
Skriv inn i GeoGebra: T(x) := 4sin(0.0055π x - 0.5π) + 19 D(x) := Derivert(T(x), x) NLøs(D(x) = 0.05, x = 50) NLøs(D(x) = 0.05, x = 130) NLøs(D(x) = -0.05, x = 230) NLøs(D(x) = -0.05, x = 320)
Radene 3 til 6 gir de samme fire dagene som med kalkulatoren.

Oppgave 3c)

Når endrer dette tidspunktet seg raskest, og hvor stor er endringen da?
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Tidspunktet endrer seg raskest rundt
31. mars og 29. september‾‾ \underline{\underline{\text{31. mars og 29. september}}}
og da endrer det seg med 0,022π≈0,069 {0{,}022\pi \approx 0{,}069} timer, omtrent 4,1 4{,}1 minutter, per dag.
Vi bruker den deriverte fra b), \( {T'(x) = \textcolor{blue}{0{,}022\pi}\cos(\textcolor{red}{u})}\text{,} \) der \( {\textcolor{red}{u = 0{,}0055\pi x - 0{,}5\pi}}\text{.} \)
Endringen er størst når \( |T'(x)| \) er størst, altså når cosinus er \( 1 \) eller \( {-1}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn når endringen er størst Cosinus er \( {\pm 1} \) når vinkelen \( \textcolor{red}{u} \) er \( 0 \) eller \( \pi\text{:} \) \[ \textcolor{red}{u} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{0{,}5\pi}{0{,}0055\pi} \approx 90{,}9 \]\[ \textcolor{red}{u} = \pi \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1{,}5\pi}{0{,}0055\pi} \approx 272{,}7 \]\( {x \approx 91} \) er 31. mars, og \( {x \approx 273} \) er 29. september.
2. Regn ut endringen Da er \( {|T'(x)| = \textcolor{blue}{0{,}022\pi} \approx \textcolor{blue}{0{,}0691}} \) timer per dag. Ganget med \( 60 \) er det omtrent \( 4{,}1 \) minutter per dag. Rundt 31. mars kommer lyset senere for hver dag, og rundt 29. september tidligere.

R2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

Tabellen nedenfor viser vannstanden (tidevannshøyden) ved Stord verft i Sunnhordland, for noen tidspunkter 24. april 2023.
Tidevann er de periodiske endringene i havnivået som oppstår som et resultat av gravitasjonskreftene som månen og solen virker på jorden med.
Antall timeretter midnattVannstand(cm)199,63119594,3760,5953,41176,01396,7151151799,91968,1 \begin{array}{r|r} \text{Antall timer} \atop \text{etter midnatt} & \text{Vannstand} \\ & \text{(cm)} \\ \hline 1 & 99{,}6 \\ 3 & 119 \\ 5 & 94{,}3 \\ 7 & 60{,}5 \\ 9 & 53{,}4 \\ 11 & 76{,}0 \\ 13 & 96{,}7 \\ 15 & 115 \\ 17 & 99{,}9 \\ 19 & 68{,}1 \end{array}
En oljeplattform skal slepes ut fra verftet dagen etter. Dette må gjøres når vannstanden er mer enn 90 90 cm.

Oppgave 1a)

Lag en modell f f som du kan bruke til å bestemme vannstanden ved verftet i den aktuelle perioden.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med x x timer etter midnatt 24. april:
f(x)≈ 31,04sin⁡(0,5144x+0,1898)+83,59‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} f(x) \approx\ &31{,}04\sin(0{,}5144x \\ &+ 0{,}1898) + 83{,}59 \end{aligned}}}
Vannstanden går opp og ned med en fast periode, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) og c) med en gitt sinusmodell, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver timene i kolonne A og vannstanden i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a}\text{,} \) \( \textcolor{green}{b}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{c} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ f(x) = \textcolor{red}{a} \sin(\textcolor{green}{b}x + \textcolor{darkorange}{c}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) = RegSin(l1)
3. Vurder modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{31{,}04}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{b} \approx \textcolor{green}{0{,}5144}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{c} \approx \textcolor{darkorange}{0{,}1898}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{83{,}59}}\text{.} \)
Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{b}} \approx 12{,}2} \) timer, omtrent som tidevannet, som har to flo og to fjære i døgnet. Grafen går nær alle punktene. Den aktuelle perioden er 25. april, altså \( {24 \le x \le 48}\text{,} \) der \( x \) er timer etter midnatt 24. april.

Oppgave 1b)

Når vil vannstanden øke raskest den 25. april, ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Vannstanden øker raskest den 25. april omtrent
kl. 00:04 og kl. 12:17‾‾ \underline{\underline{\text{kl. 00:04 og kl. 12:17}}}
Vi bruker modellen fra a): \[ \begin{aligned} f(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04}\sin(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \\ &+ 83{,}59 \end{aligned} \]
Vannstanden øker raskest der den deriverte \( f'(x) \) er størst. Den 25. april er \( {24 \le x \le 48}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen Vi bruker kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} f'(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04} \cdot \textcolor{green}{0{,}5144} \\ &\cdot \cos(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \end{aligned} \]
2. Finn når cosinus er 1 \( f'(x) \) er størst når cosinus er \( 1\text{,} \) altså når vinkelen er \( 2\pi k\text{:} \) \[ x = \dfrac{2\pi k - \textcolor{darkorange}{0{,}1898}}{\textcolor{green}{0{,}5144}} \]
\( {k = 2} \) og \( {k = 3} \) gir \( x \) mellom \( 24 \) og \( 48\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 2&\text{:} \quad x \approx 24{,}06 \\ k = 3&\text{:} \quad x \approx 36{,}27 \end{aligned} \]
3. Gjør om til klokkeslett \( {x = 24{,}06} \) er \( {0{,}06 \cdot 60 \approx 4} \) minutter over midnatt 25. april, og \( {x \approx 36{,}27} \) er omtrent kl. 12:16. Med alle desimalene i modellen blir det kl. 12:17, så forskjellen er bare avrunding. Da stiger vannet med \( {31{,}04 \cdot 0{,}5144 \approx 16} \) cm per time.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs f''(x) = 0 i CAS Der \( f' \) er størst, er \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi henter modellen inn i CAS og løser med NLøs og startverdier i begynnelsen og midt på dagen:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := RegSin(l1) NLøs(Derivert(f(x), x, 2) = 0, x = 24) NLøs(Derivert(f(x), x, 2) = 0, x = 36)
Grafen i a) stiger ved begge, så det er der vannstanden øker raskest: kl. 00:04 og kl. 12:17.
Det vil ta 2 2 timer å slepe ut oljeplattformen.

Oppgave 1c)

Ved hvilket klokkeslett kan de senest starte med å slepe ut plattformen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Vannstanden synker under 90 90 cm ved x≈41,98, {x \approx 41{,}98}\text{,} så de må starte senest omtrent
kl. 15:58 den 25. april‾‾ \underline{\underline{\text{kl. 15:58 den 25. april}}}
Vi bruker modellen fra a): \[ \begin{aligned} f(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04}\sin(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \\ &+ 83{,}59 \end{aligned} \]
Vannstanden må være over \( 90 \) cm i hele de \( 2 \) timene. Vi finner det siste tidspunktet den 25. april der vannstanden synker under \( 90 \) cm, og trekker fra \( 2 \) timer.
Metode: Med kalkulator
1. Få sinus alene \( {f(x) = 90} \) gir: \[ \sin(\textcolor{blue}{u}) = \dfrac{90 - 83{,}59}{31{,}04} \approx 0{,}2065 \]der \( {\textcolor{blue}{u = 0{,}5144x + 0{,}1898}}\text{.} \)
2. Når vannet synker under 90 cm Kalkulatoren gir \( {\sin^{-1}(0{,}2065) \approx 0{,}208}\text{.} \) Vannet synker forbi \( 90 \) cm der sinus synker, i den andre vinkelen \( {\pi - 0{,}208}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den 25. april går \( \textcolor{blue}{u} \) fra \( {0{,}5144 \cdot 24 + 0{,}1898 \approx 12{,}5} \) til \( {0{,}5144 \cdot 48 + 0{,}1898 \approx 24{,}9}\text{,} \) så den siste vinkelen er tre hele runder senere: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \pi - 0{,}208 + 3 \cdot 2\pi \approx 21{,}783 \\ x &= \dfrac{21{,}783 - 0{,}1898}{0{,}5144} \approx 41{,}98 \end{aligned} \]
3. Trekk fra 2 timer Vannet stiger forbi \( 90 \) cm i den første vinkelen, \( {\textcolor{blue}{u} = 0{,}208 + 3 \cdot 2\pi \approx 19{,}058}\text{,} \) altså ved \( {x = \dfrac{19{,}058 - 0{,}1898}{0{,}5144} \approx 36{,}7}\text{.} \) Vannstanden er over \( 90 \) cm fra \( {x \approx 36{,}7} \) til \( {x \approx 41{,}98}\text{,} \) mer enn \( 2 \) timer. De må altså starte senest ved \( {x = 41{,}98 - 2 = 39{,}98}\text{,} \) som er \( 15 \) timer og \( {0{,}98 \cdot 60 \approx 58{,}8} \) minutter etter midnatt 25. april. Det er det seneste de kan starte, så vi runder ned til kl. 15:58.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs f(x) = 90 i CAS Vi bruker modellen fra b) i CAS, og løser \( {f(x) = 90} \) med en startverdi sent på ettermiddagen:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(f(x) = 90, x = 42) ≈ 41.9807 - 2
Vannstanden synker under \( 90 \) cm ved \( {x \approx 41{,}98}\text{,} \) så de må starte senest ved \( {x \approx 39{,}98}\text{,} \) like før kl. 15:59. Vi runder ned til kl. 15:58.

R2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

I et veikryss varierer en type luftforurensning periodisk hvert døgn. Luftforurensningen øker ut over formiddagen og minker igjen mot kvelden. Mengden luftforurensning M M kan beskrives med funksjonen
M(t)=A⋅sin⁡(ct+k)+d M(t) = A \cdot \sin(ct + k) + d
der t t er antall timer etter midnatt.
Den største mengden luftforurensning i løpet av døgnet er 31,2 μg/m3, 31{,}2\,\mu\text{g/m}^3\text{,} og den minste mengden er 18,2 μg/m3. 18{,}2\,\mu\text{g/m}^3\text{.}

Oppgave 4a)

Bestem A, A\text{,} c c og d. d\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
A=6,5,d=24,7‾‾ \underline{\underline{A = 6{,}5\text{,} \quad d = 24{,}7}}
c=π12≈0,262‾‾ \underline{\underline{c = \dfrac{\pi}{12} \approx 0{,}262}}
Likevektslinja ligger midt mellom den største og den minste verdien, og amplituden er avstanden derfra til toppen. Perioden er ett døgn.
Metode: For hånd
1. Finn d og A \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} &= \dfrac{31{,}2 + 18{,}2}{2} = \textcolor{blue}{24{,}7} \\ \textcolor{red}{A} &= \dfrac{31{,}2 - 18{,}2}{2} = \textcolor{red}{6{,}5} \end{aligned} \]
2. Finn c Forurensningen varierer hvert døgn, så perioden er \( 24 \) timer. Perioden er \( \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}}\text{:} \) \[ \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} = 24 \quad\Rightarrow\quad \textcolor{green}{c} = \dfrac{2\pi}{24} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{12}} \]
Ved to tidspunkter i løpet av døgnet er mengden luftforurensning 27 μg/m3. 27\,\mu\text{g/m}^3\text{.} Den første gangen er klokken 13:00.

Oppgave 4b)

Når er det andre tidspunktet?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
De to tidspunktene ligger 9,24 9{,}24 timer fra hverandre, så det andre tidspunktet er omtrent
kl. 22:14‾‾ \underline{\underline{\text{kl. 22:14}}}
Vi bruker \( {\textcolor{red}{A = 6{,}5}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c = \dfrac{\pi}{12}}} \) og \( {\textcolor{blue}{d = 24{,}7}} \) fra a).
De to tidspunktene ligger like langt fra toppen av grafen, ett på vei opp og ett på vei ned. Vi finner tiden mellom dem fra de to vinklene der sinus har samme verdi.
Metode: Med kalkulator
1. Få sinus alene \( {M(t) = 27} \) gir: \[ \sin(\textcolor{darkorange}{u}) = \dfrac{27 - \textcolor{blue}{24{,}7}}{\textcolor{red}{6{,}5}} \approx 0{,}3538 \]der \( {\textcolor{darkorange}{u = ct + k}}\text{.} \)
2. Finn de to vinklene Kalkulatoren gir \( {\sin^{-1}(0{,}3538) \approx 0{,}3617}\text{,} \) og sinus har samme verdi i \( {\pi - 0{,}3617 \approx 2{,}7799}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
Kl. 13:00 er første gang i døgnet. Hadde forurensningen vært på vei ned da, ville den vært \( 27 \) også tidligere samme dag, på vei opp. Kl. 13:00 hører altså til den første vinkelen, \( 0{,}3617\text{.} \)
3. Finn tiden mellom Vinkelen øker med \( {\textcolor{green}{c} = \dfrac{\pi}{12}} \) per time: \[ \begin{aligned} \Delta t &= \dfrac{2{,}7799 - 0{,}3617}{\textcolor{green}{\pi/12}} \\ &\approx 9{,}24 \text{ timer} \end{aligned} \]Det er \( 9 \) timer og \( {0{,}24 \cdot 60 \approx 14} \) minutter etter kl. 13:00, altså kl. 22:14.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn k og løs i CAS Vi finner \( k \) slik at \( {M(13) = 27} \) med NLøs, og løser så \( {M(t) = 27} \) med en startverdi om kvelden:
Skriv inn i GeoGebra: M(t) := 6.5 sin(π/12 t + k) + 24.7 NLøs(M(13) = 27, k = -3) M(t) := 6.5 sin(π/12 t - 3.0417) + 24.7 NLøs(M(t) = 27, t = 22)
Med \( {k \approx -3{,}0417} \) har grafen topp ved \( {t \approx 17{,}6}\text{,} \) så den stiger kl. 13:00. Rad 4 gir \( {t \approx 22{,}24}\text{,} \) kl. 22:14.

R2 vår 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming av musikk i Norge noen år i perioden 2008–2018.
A˚rStrømming200822010702012246201445620165822018655 \begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Strømming} \\ \hline 2008 & 2 \\ 2010 & 70 \\ 2012 & 246 \\ 2014 & 456 \\ 2016 & 582 \\ 2018 & 655 \end{array}

Oppgave 1a)

Lag en modell F F som du kan bruke til å bestemme hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming i Norge per år i perioden 2008–2018 og årene etterpå. Velg x x -verdier slik at F(0) F(0) gir hvor mange millioner kroner som ble brukt i 2008. Begrunn valget av modell.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med x x år etter 2008 og F(x) F(x) i millioner kroner per år:
F(x)≈660,361+30,72e−0,7066x‾‾ \underline{\underline{F(x) \approx \dfrac{660{,}36}{1 + 30{,}72e^{-0{,}7066x}}}}
Veksten bremser opp i tabellen, og en logistisk modell flater ut mot en øvre grense, også i årene etterpå.
Tallene vokser sakte, så raskt, og så saktere igjen. Det er formen til en logistisk modell, som også flater ut i årene etterpå. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.
2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)
Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år.
Nedenfor ser du fire formler.
I=∫−0,510,5F(x) dxG=15∫2,57,5F(x) dxS=∑i=010F(i)D=F(5,001)−F(5)0,001 \begin{aligned} I &= \int_{-0{,}5}^{10{,}5} F(x)\,dx \\ G &= \dfrac{1}{5}\int_{2{,}5}^{7{,}5} F(x)\,dx \\ S &= \sum_{i = 0}^{10} F(i) \\ D &= \dfrac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001} \end{aligned}

Oppgave 1b)

Bestem I, I\text{,} G, G\text{,} S S og D. D\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
I≈3729G≈344S≈3729D≈116‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} I &\approx 3729 & G &\approx 344 \\ S &\approx 3729 & D &\approx 116 \end{aligned}}}
Vi bruker modellen fra a): \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]
Vi henter modellen inn i CAS og skriver de fire formlene som de står. CAS gir et tall for hver.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC har du ikke modellen fra a). Øv heller på å forstå hva et integral, en gjennomsnittsverdi, en sum og en differansekvotient betyr, som i c).
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001
\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Oppgave 1c)

Gi en praktisk tolkning av svarene i oppgave b.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
- I≈3729: {I \approx 3729}\text{:} Til sammen ble det brukt omtrent 3,7 3{,}7 milliarder kroner på strømming fra 2008 til 2018. - G≈344: {G \approx 344}\text{:} I årene 2011 til 2015 ble det i gjennomsnitt brukt omtrent 344 344 millioner kroner per år. - S≈3729: {S \approx 3729}\text{:} Summen av beløpene for hvert av årene 2008 til 2018, også omtrent 3,7 3{,}7 milliarder kroner. - D≈116: {D \approx 116}\text{:} I 2013 økte beløpet med omtrent 116 116 millioner kroner per år.
Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008.
Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Tolk integralene Integralet av en vekstfart er det som samles opp, her millioner kroner. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]
\( \textcolor{red}{G} \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.
2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.
\( \textcolor{darkorange}{D} \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.