Eksamensoppgaver etter tema

Sidelengdene minker med \( 0{,}1\,\text{m} \) for hver plate, så summen av dem er en aritmetisk rekke. Det største antallet plater finner vi ved at sidelengden må være positiv.

1. Sett opp rekken I en aritmetisk rekke er ledd nummer \( n\text{:} \) \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{-0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot (\textcolor{red}{-0{,}1}) \\ &= 5{,}1 - 0{,}1n \end{aligned} \]

Summen av sidelengdene i meter er rekken: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + (5{,}1 - 0{,}1n) \]

2. Finn det største antallet plater Hver treplate må ha en sidelengde større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5{,}1 - 0{,}1n &> 0 \\ n &< 51 \end{aligned} \]

Det største antallet er altså \( {n = 50}\text{.} \) Da er den øverste platen \( {a_{50} = 5{,}1 - 5 = 0{,}1\,\text{m}}\text{,} \) og rekken er: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + 0{,}2 + 0{,}1 \]

Arealet blir ganget med det samme tallet for hver ny plate, så arealene danner en geometrisk rekke. Det samlede arealet kan ikke bli større enn summen av den uendelige rekken.

1. Finn kvotienten Når sidelengden blir \( 10\,\% \) kortere, blir den ganget med \( 0{,}9\text{.} \) Arealet er sidelengden i andre, så arealet blir ganget med: \[ \textcolor{red}{k} = 0{,}9^2 = \textcolor{red}{0{,}81} \]

Arealene i kvadratmeter danner derfor en geometrisk rekke: \[ \textcolor{blue}{19} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81}^2 + \dots \]

2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{19}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}81}}\text{.} \) Siden \( {-1 < 0{,}81 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{19}}{1 - \textcolor{red}{0{,}81}} = \dfrac{19}{0{,}19} = 100 \]Med uendelig mange plater blir arealet \( 100\,\text{m}^2\text{.} \) Et tårn har endelig mange plater, så arealet blir litt mindre, men kan komme så nær \( 100\,\text{m}^2 \) vi vil.

Vi ser at rekken øker med \( 3 \) for hvert ledd. Vi finner derfor antall ledd med formelen for det \( n \)-te leddet, og bruker summeformelen for aritmetiske rekker.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) og det siste leddet er \( 69\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{3} &= 69 \\ (n - 1) \cdot 3 &= 72 \\ n &= 25 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = n \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{a_1} + a_n}{2} \]Hvis du er usikker på summeformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 25}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {a_{25} = 69}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_{25} &= 25 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{-3} + 69}{2} \\ &= 25 \cdot 33 = 825 \end{aligned} \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten for \( x\text{.} \)

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med det samme tallet, så kvotienten er: \[ \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} \]

2. Løs ulikheten En uendelig geometrisk rekke konvergerer når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} &< 1 \\ -\dfrac{3}{2} < -x &< \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} < x &< \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]Vi trakk fra \( \dfrac{1}{2} \) og ganget med \( {-1}\text{.} \) Da snur ulikhetstegnene.

Etter det første fallet går ballen like langt opp som ned hver gang. Høydene den spretter, er en uendelig geometrisk rekke med \( {k = 0{,}75}\text{.} \)

1. Sett opp strekningene Ballen faller først \( 2\,\text{m}\text{.} \) Så spretter den \( {2 \cdot 0{,}75 = 1{,}5\,\text{m}} \) opp og faller like langt ned, så \( {1{,}5 \cdot 0{,}75\,\text{m}} \) opp og ned, og så videre: \[ \begin{aligned} s = 2 + 2 \cdot (&\textcolor{blue}{1{,}5} + 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75} \\ &+ 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^2 + \dots) \end{aligned} \]

2. Summer rekken Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på summen av en uendelig geometrisk rekke, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}5}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}75}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s &= 2 + 2 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}5}}{1 - \textcolor{red}{0{,}75}} \\ &= 2 + 2 \cdot 6 = 14 \end{aligned} \]

Hver natt kommer det \( 2 \) enheter til, og hver dag blir \( 82\,\% \) av mengden igjen. Mengden etter hver natt er derfor summen av en geometrisk rekke med \( {k = 0{,}82}\text{.} \)

1. Sett opp mengden etter n netter Etter den første natten har Sofie \( 2 \) enheter i kroppen. Om dagen skiller hun ut \( 18\,\% \text{,} \) så \( 82\,\% \) blir igjen. Etter den andre natten har hun \( {2 \cdot 0{,}82 + 2} \) enheter, og etter \( n \) netter: \[ a_n = \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{0{,}82} + \dots + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{0{,}82}^{n-1} \]

Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{red}{k}^n}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}82}}\text{:} \) \[ a_n = \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{red}{0{,}82}^n}{1 - \textcolor{red}{0{,}82}} = \dfrac{2(1 - 0{,}82^n)}{0{,}18} \]

2. Finn når mengden blir over ti Mengden er farlig når \( {a_n > 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{2(1 - 0{,}82^n)}{0{,}18} &> 10 \\ 1 - 0{,}82^n &> 0{,}9 \\ 0{,}82^n &< 0{,}1 \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln b^n = n \ln b}\text{.} \) \( \ln 0{,}82 \) er negativ, så ulikhetstegnet snur når vi deler på den: \[ \begin{aligned} n \ln 0{,}82 &< \ln 0{,}1 \\ n &> \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}82} \approx 11{,}6 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på logaritmeregelen eller på at ulikhetstegnet snur, kan du se videoene Naturlige Logaritmer og Introduksjon til Ulikheter.

3. Se på hele netter Antall netter er et helt tall, så vi regner ut mengden etter 11 og 12 netter: \[ \begin{aligned} a_{11} &= \dfrac{2(1 - 0{,}82^{11})}{0{,}18} \approx 9{,}86 \\ a_{12} &= \dfrac{2(1 - 0{,}82^{12})}{0{,}18} \approx 10{,}08 \end{aligned} \]Etter 11 netter er mengden fortsatt under \( 10 \) enheter, men den 12. natten kommer den over. Sofie kan altså sove 11 netter på soverommet.

1. Løs likningen i CAS Vi bruker uttrykket for \( a_n \) fra kalkulatorruten, løser \( {a_n = 10} \) og regner ut \( a_{11} \) og \( a_{12}\text{,} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(2*(1 - 0.82^n)/0.18 = 10, n) 2*(1 - 0.82^11)/0.18 2*(1 - 0.82^12)/0.18

Rad 1 gir \( {n \approx 11{,}6}\text{,} \) og rad 2 og 3 gir \( {a_{11} \approx 9{,}8588} \) og \( {a_{12} \approx 10{,}0842}\text{.} \) Mengden er under \( 10 \) etter 11 netter og over etter 12, så Sofie kan sove 11 netter.

Mengden etter hver natt vokser mot summen av en uendelig geometrisk rekke. Artikkelen antar at denne summen er \( 10\text{,} \) og vi finner hvor stor andel som da skilles ut.

1. Finn hva mengden vokser mot Vi kaller andelen som skilles ut per dag, \( \textcolor{green}{p}\text{.} \) Da blir andelen \( {\textcolor{red}{k} = 1 - \textcolor{green}{p}} \) igjen, og mengden etter \( n \) netter er den samme rekken som i a), med denne \( \textcolor{red}{k}\text{.} \)

Når \( n \) vokser, nærmer mengden seg summen av den uendelige rekken, fordi \( {0 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{:} \) \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på hvor formelen kommer fra, kan du se videoen Geometrisk rekke test, der \( k^n \) går mot \( 0 \) i formelen for \( S_n\text{.} \)

Med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = 1 - \textcolor{green}{p}} \) får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{1 - (1 - \textcolor{green}{p})} = \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{green}{p}} \]Mengden vokser hele tiden, men blir aldri større enn \( S\text{.} \)

2. Sett grensen lik ti Artikkelen sier at mengden aldri blir mer enn \( 10 \) enheter, så \( {S = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{green}{p}} &= 10 \\ \textcolor{green}{p} &= 0{,}2 \end{aligned} \]Artikkelen antar altså at en voksen person skiller ut \( 20\,\% \) per dag. Med \( 18\,\% \) som i a) blir grensen \( {\dfrac{2}{0{,}18} \approx 11{,}1}\text{,} \) og da kommer mengden over \( 10\text{.} \)

Vi ser at hvert innskudd får renter fram til slutten av 2055, men i ulikt antall år. Summen av innskuddene med renter er derfor en geometrisk rekke.

1. Sett opp rekka Vi kaller beløpet \( x\text{.} \) Vekstfaktoren for \( 2{,}5\,\% \) er \( 1{,}025\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.

Innskuddet i 2055 får renter i ett år, innskuddet i 2054 i to år, og så videre, til innskuddet i 2026, som får renter i \( 30 \) år: \[ \begin{aligned} &x \cdot 1{,}025 + x \cdot 1{,}025^2 \\ &+ \dots + x \cdot 1{,}025^{30} \end{aligned} \]Dette er en geometrisk rekke med \( {n = 30} \) ledd, første ledd \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}025x}} \) og kvotient \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{1{,}025}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^n - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn og setter summen lik \( 3\,750\,000\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{1{,}025x} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}025}^{30} - 1}{\textcolor{red}{1{,}025} - 1} = 3\,750\,000 \]

Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3\,750\,000 \cdot 0{,}025}{1{,}025 \cdot (1{,}025^{30} - 1)} \\ &\approx 83\,333 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi skriver summen med kommandoen Sum, der leddet \( {x \cdot 1{,}025^n} \) går fra \( {n = 1} \) til \( {n = 30}\text{.} \) Vi løser likningen med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(Sum(x*1.025^n, n, 1, 30) = 3750000, x)

Rad 1 gir \( {x \approx 83\,332{,}83}\text{.} \)

Lånet er like stort som summen av nåverdiene av alle terminbeløpene. Vi setter summen lik \( 3\,000\,000 \) og løser for vekstfaktoren.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen for hånd, fordi den har \( 33 \) ledd med den ukjente vekstfaktoren. Øv heller på å sette opp summen av nåverdiene, og på å kontrollere en rentesats med summeformelen for geometriske rekker.

1. Sett opp likningen Fra og med januar 2026 til og med januar 2058 er det \( 33 \) terminer. Vi kaller vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k}\text{.} \) Et terminbeløp som betales \( n \) år etter januar 2026, er verdt \( \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} \) i januar 2026.

Den første terminen betaler Nora i januar 2026, med \( {n = 0}\text{,} \) og den siste i januar 2058, med \( {n = 32}\text{.} \) Summen av nåverdiene er lånet: \[ \sum_{n=0}^{32} \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} = 3\,000\,000 \]

2. Løs likningen i CAS Vi fortsetter i CAS fra a), og løser likningen med NLøs og startverdien \( {k = 1{,}03}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(150000/k^n, n, 0, 32) = 3000000, k = 1.03)

Rad 2 gir \( {\textcolor{red}{k} \approx 1{,}0353}\text{,} \) så rentesatsen er omtrent \( 3{,}53\,\%\text{.} \)

Vi ser at differansen er \( 4\text{.} \) Vi finner først hvor mange ledd rekken har, og bruker så sumformelen.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{4}}\text{.} \) Det siste leddet er \( 399\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{4} &= 399 \\ n - 1 &= 99 \\ n &= 100 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

Vi setter inn i formelen for summen av en uendelig geometrisk rekke og løser for \( k\text{.} \)

1. Sett opp sumformelen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på når rekken konvergerer, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

2. Løs for k Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{12}} \) og \( {S = 18}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{12}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 18 \\ 12 &= 18 - 18\textcolor{red}{k} \\ \textcolor{red}{k} &= \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]\( {k = \dfrac{1}{3}} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer.

Sifrene \( 75 \) gjentar seg, og hver gang står de to plasser lenger til høyre. Vi deler tallet opp i ledd der hvert ledd er \( 0{,}01 \) ganger det forrige.

1. Skriv tallet som en rekke Vi deler tallet opp etter hver gruppe på \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}7575\dots &= \textcolor{blue}{0{,}75} + 0{,}0075 \\ &\quad + 0{,}000075 + \dots \end{aligned} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{0{,}01}\text{,} \) så dette er en uendelig geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{0{,}75}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \)

2. Regn ut summen \( \textcolor{red}{k} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer, som i videoen Geometrisk rekke test. Med sumformelen fra b) får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}75}}{1 - \textcolor{red}{0{,}01}} = \dfrac{0{,}75}{0{,}99} \\ &= \dfrac{75}{99} = \dfrac{25}{33} \end{aligned} \]

3. Legg til 1 \( 1{,}7575\dots \) er \( 1 \) pluss tallet over: \[ \begin{aligned} 1{,}7575\dots &= 1 + \dfrac{25}{33} \\ &= \dfrac{33}{33} + \dfrac{25}{33} = \dfrac{58}{33} \end{aligned} \]

For å sette opp likningen til et plan trenger vi en normalvektor. Vi ser hva som skjer når de tre punktene ligger på én linje.

1. Se på hvordan likningen finnes Gjennom tre punkter \( A\text{,} \) \( B \) og \( C \) finner vi en normalvektor som vektorproduktet: \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \]Så setter vi inn i likningen for planet, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

2. Finn et moteksempel Ta punktene \( A(0, 0, 0)\text{,} \) \( B(1, 0, 0) \) og \( C(2, 0, 0)\text{,} \) som alle ligger på \( x \)-aksen. Da er \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[1, 0, 0]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[2, 0, 0]} = 2\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}}\text{.} \) Vektorene er parallelle, så: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [0, 0, 0] \]

Nullvektoren kan ikke være normalvektor. Alle plan som inneholder \( x \)-aksen, går gjennom de tre punktene, for eksempel \( xy \)-planet \( {z = 0} \) og \( xz \)-planet \( {y = 0}\text{.} \) Tre punkter bestemmer bare ett plan når de ikke ligger på samme linje, så påstanden er usann.

Vi finner kvotienten for \( {x = \dfrac{1}{e}}\text{,} \) og ser om rekken konvergerer før vi bruker sumformelen.

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{red}{k = \ln x - 1}}\text{.} \) Med \( {x = \dfrac{1}{e}} \) er \( {\ln \dfrac{1}{e} = -1}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = -1 - 1 = \textcolor{red}{-2} \]

2. Sjekk om rekken konvergerer En uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{red}{k = -2}} \) er rekken \( {1 - 2 + 4 - 8 + \dots}\text{,} \) og leddene blir større og større. Rekken divergerer, så den har ingen sum.

Sumformelen ville gitt \( {\dfrac{1}{1 - (-2)} = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) men formelen gjelder ikke når rekken divergerer. Påstanden er derfor usann.

Vi ser på differansen \( {f(x) - g(x)}\text{.} \) Den finner skjæringspunktene, og arealet mellom grafene er integralet av den.

1. Finn skjæringspunktene Vi trekker \( g \) fra \( f\text{,} \) og \( {-x^2} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^3 - (a + 1)x \\ &= x\left(x^2 - (a + 1)\right) \end{aligned} \]

Når \( {a > -1} \) er \( {a + 1 > 0}\text{,} \) og grafene skjærer hverandre i tre punkter: \[ x = 0 \quad \vee \quad x = \pm\sqrt{a + 1} \]Mellom dem avgrenser grafene to områder.

2. Regn ut de to arealene Arealet mellom grafene er integralet av differansen. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Vi kaller \( {s = \sqrt{a + 1}}\text{,} \) så \( {s^2 = a + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{s}} h(x)\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{s^2 x^2}{2}\right]_0^{\textcolor{red}{s}} \\ &= \dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2} = -\dfrac{s^4}{4} \end{aligned} \]

På samme måte er: \[ \int_{\textcolor{blue}{-s}}^0 h(x)\,dx = 0 - \left(\dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2}\right) = \dfrac{s^4}{4} \]Det ene området har \( f \) over \( g\text{,} \) det andre \( g \) over \( f\text{,} \) og begge har arealet \( {\dfrac{s^4}{4} = \dfrac{(a + 1)^2}{4}}\text{.} \)

Det kunne vi også sett av at \( {h(-x) = -h(x)}\text{:} \) grafen til \( h \) er symmetrisk om origo. Påstanden er sann.

Vi finner kvotienten fra summen av den uendelige rekka. Så legger vi sammen de fire første leddene.

1. Finn kvotienten Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn \( {S = 8} \) og \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 8 \\ 1 - \textcolor{red}{k} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Legg sammen de fire første leddene Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} S_4 &= 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Vi skriver alle tre leddene med \( a_1 \) og differansen \( d\text{,} \) og ser at summen er tre ganger \( a_4\text{.} \)

1. Skriv leddene med a₁ og d Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Da er \( {\textcolor{blue}{a_4 = a_1 + 3\textcolor{red}{d}}} \) og \( {a_7 = a_1 + 6\textcolor{red}{d}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} a_1 + a_4 + a_7 &= 3a_1 + 9\textcolor{red}{d} \\ &= 3(\textcolor{blue}{a_1 + 3\textcolor{red}{d}}) = 3\textcolor{blue}{a_4} \end{aligned} \]

2. Løs for a₄ \[ \begin{aligned} 3\textcolor{blue}{a_4} &= 114 \\ \textcolor{blue}{a_4} &= 38 \end{aligned} \]