Eksamensoppgaver etter tema

Motorveien ligger i \( xy \)-planet, så høyden over veien er \( z \)-koordinaten. Vi setter inn \( {t = 4}\text{.} \)

1. Sett inn tiden i høyden \( z \)-koordinaten til \( \vec{r}(t) \) er \( {\textcolor{green}{50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2}}\text{.} \) Med \( {t = 4} \) får vi: \[ \begin{aligned} z(4) &= \textcolor{green}{50\left(1 - \dfrac{4}{10}\right)^2} \\ &= 50 \cdot 0{,}6^2 = 18 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å lese av koordinatene i en parameterframstilling, kan du se videoen Forskjellige måter å skrive på.

Flyet lander når høyden er \( 0\text{.} \) Banefarten er lengden av fartsvektoren, som er den deriverte av posisjonsvektoren.

1. Finn når flyet lander Flyet lander når \( z \)-koordinaten er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= 0 \\ 1 - \dfrac{t}{10} &= 0 \\ t &= 10 \end{aligned} \]

2. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. For \( y \) og \( z \) bruker vi kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \big(g(u)\big)' = g'(u) \cdot u' \]

Kjernen \( \dfrac{\pi}{10}t \) har derivert \( \dfrac{\pi}{10}\text{,} \) og kjernen \( {1 - \dfrac{t}{10}} \) har derivert \( {-\dfrac{1}{10}}\text{.} \) Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \begin{aligned} x'(t) &= \textcolor{blue}{30 - 2t} \\ y'(t) &= 8\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right) \cdot \dfrac{\pi}{10} \\ &= \textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right)} \\ z'(t) &= 50 \cdot 2\left(1 - \dfrac{t}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{10}\right) \\ &= \textcolor{green}{t - 10} \end{aligned} \]

3. Regn ut banefarten ved landing Vi setter inn \( {t = 10}\text{.} \) Der er \( {\cos \pi = -1}\text{:} \) \[ \vec{v}(10) = [\textcolor{blue}{10},\ \textcolor{red}{-0{,}8\pi},\ \textcolor{green}{0}] \]

Banefarten er lengden av fartsvektoren. Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(10)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{10}^2 + (\textcolor{red}{-0{,}8\pi})^2 + \textcolor{green}{0}^2} \\ &= \sqrt{100 + 0{,}64\pi^2} \approx 10{,}31 \end{aligned} \]Banefarten idet flyet lander, er omtrent \( 10{,}31\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Regn ut banefarten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den, finner når \( {z = 0} \) og regner ut lengden av fartsvektoren da. Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (30t - t^2, 8*sin(π/10*t), 50*(1 - t/10)^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Løs(50*(1 - t/10)^2 = 0, t) Lengde(v(10))

Rad 3 viser at flyet lander ved \( {t = 10}\text{,} \) og rad 4 gir banefarten \( {|\vec{v}(10)| \approx 10{,}311\,\text{m/s}}\text{.} \)

Vi bruker fartsvektoren fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi skal finne \( t \) når lengden av fartsvektoren er \( 14{,}3\text{.} \) Vi tegner grafen til banefarten og finner skjæringen med linja \( {y = 14{,}3}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen. Øv heller på å finne fartsvektoren og banefarten, som i b), og på å regne ut banefarten for en gitt \( t\text{.} \)

1. Skriv opp banefarten I b) fant vi fartsvektoren. Kvadratet av banefarten er: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(t)|^2 = \ &(\textcolor{blue}{30 - 2t})^2 \\ &+ \left(\textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right)}\right)^2 \\ &+ (\textcolor{green}{t - 10})^2 \end{aligned} \]Vi skal finne \( t \) mellom \( 0 \) og landingen ved \( {t = 10} \) der \( {|\vec{v}(t)| = 14{,}3}\text{.} \) Likningen blander et polynom og cosinus, så den kan ikke løses for hånd.

2. Finn skjæringen med linja Vi tegner banefarten som en funksjon fra \( 0 \) til \( 10 \) og linja \( {y = 14{,}3}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: b(x) = Funksjon(sqrt((30 - 2x)^2 + (0.8π*cos(π/10*x))^2 + (x - 10)^2), 0, 10) h: y = 14.3

Skjæringspunktet er \( {S \approx (7{,}9939,\ 14{,}3)}\text{.} \) Grafen synker hele veien fra start til landing, så banefarten er \( 14{,}3\,\text{m/s} \) bare én gang, etter omtrent \( 8{,}0 \) sekunder.

Vi bruker fartsvektoren fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner når flyet og fuglen er i krysningspunktet. Fuglen treffer flyet hvis flyet ikke har rukket å passere punktet når fuglen kommer dit.

1. Finn når flyet er i krysningspunktet Flyet er i \( {\left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)} \) når \( z \)-koordinaten er \( \dfrac{25}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= \dfrac{25}{2} \\ \left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= \dfrac{1}{4} \\ 1 - \dfrac{t}{10} &= \pm\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {t = 5} \) eller \( {t = 15}\text{.} \) Flyet lander ved \( {t = 10}\text{,} \) så \( {t = 5}\text{.} \)

Vi sjekker de to andre koordinatene: \[ \begin{aligned} x(5) &= \textcolor{blue}{30 \cdot 5 - 5^2} = 125 \\ y(5) &= \textcolor{red}{8\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} = 8 \end{aligned} \]Flyet er i krysningspunktet etter \( \underline{5\,\text{s}}\text{.} \)

2. Finn tiden fuglen bruker Fuglen flyr i en rett linje fra \( (131, 67, 23) \) til \( (125, 8, 12{,}5)\text{.} \) Vi trekker koordinatene fra hverandre: \[ \begin{aligned} 125 - 131 &= \textcolor{blue}{-6} \\ 8 - 67 &= \textcolor{red}{-59} \\ 12{,}5 - 23 &= \textcolor{green}{-10{,}5} \end{aligned} \]Vektoren mellom punktene er \( {[\textcolor{blue}{-6}, \textcolor{red}{-59}, \textcolor{green}{-10{,}5}]}\text{.} \)

Avstanden er lengden av vektoren: \[ \begin{aligned} s &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-6})^2 + (\textcolor{red}{-59})^2 + (\textcolor{green}{-10{,}5})^2} \\ &= \sqrt{3627{,}25} \approx 60{,}227 \end{aligned} \]Tiden er strekning delt på fart, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ t = \dfrac{s}{v} \approx \dfrac{60{,}227}{12} \approx 5{,}019 \]Fuglen er i krysningspunktet etter omtrent \( \underline{5{,}02\,\text{s}}\text{.} \)

3. Sammenlign tidene Fuglen kommer \( {5{,}019 - 5 = 0{,}019\,\text{s}} \) etter flyet. Regnet som punkter er de ikke der samtidig, men forskjellen er svært liten.

I b) fant vi koordinatene til fartsvektoren. Med \( {t = 5} \) er de: \[ \begin{aligned} x'(5) &= \textcolor{blue}{30 - 2 \cdot 5} = 20 \\ y'(5) &= \textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\dfrac{\pi}{2}} = 0 \\ z'(5) &= \textcolor{green}{5 - 10} = -5 \end{aligned} \]

Banefarten til flyet er lengden av \( \vec{v}(5)\text{,} \) og strekningen det flytter seg på \( 0{,}019\,\text{s}\text{,} \) er banefart ganger tid: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(5)| &= \sqrt{20^2 + (-5)^2} \approx 20{,}6 \\ s_{\text{fly}} &\approx 20{,}6 \cdot 0{,}019 \approx 0{,}39 \end{aligned} \]Flyet flytter seg bare omtrent \( 0{,}4\,\text{m}\text{,} \) og et lite propellfly er flere meter langt. Flyet er altså fortsatt i krysningspunktet når fuglen kommer, så fuglen treffer flyet.

1. Sammenlign tidene i CAS Vi fortsetter i CAS fra b), der \( r(t) \) er definert. Rad 5 finner når flyet er i krysningspunktet, rad 6 tiden fuglen bruker, avstanden delt på farten, og rad 7 banefarten til flyet da, med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(r(t) = (125, 8, 25/2), t) Lengde((125, 8, 25/2) - (131, 67, 23)) / 12 Lengde(v(5))

Flyet er i krysningspunktet ved \( {t = 5}\text{,} \) og fuglen kommer dit etter omtrent \( 5{,}0189\,\text{s}\text{.} \) Rad 7 gir banefarten \( {|\vec{v}(5)| \approx 20{,}6155\,\text{m/s}}\text{,} \) så på de \( 0{,}0189\,\text{s} \) flytter flyet seg omtrent \( {20{,}6155 \cdot 0{,}0189 \approx 0{,}39\,\text{m}}\text{.} \) Det er mye mindre enn flyet er langt, så fuglen treffer flyet.

Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren. Vi deriverer, setter inn \( {t = 2} \) og regner ut lengden.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{6},\ \textcolor{red}{7},\ \textcolor{green}{-5 + 0{,}2t}] \]

2. Regn ut farten etter to sekunder Med \( {t = 2} \) er \( z \)-koordinaten \( {\textcolor{green}{-5 + 0{,}2 \cdot 2 = -4{,}6}}\text{.} \) Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(2)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2 + \textcolor{red}{7}^2 + (\textcolor{green}{-4{,}6})^2} \\ &= \sqrt{106{,}16} \approx 10{,}30 \end{aligned} \]Farten etter \( 2 \) sekunder er omtrent \( 10{,}30\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den og regner ut lengden av fartsvektoren for \( {t = 2}\text{.} \) Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (6t, 7t, -250 - 5t + 0.1t^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Lengde(v(2))

Rad 2 gir fartsvektoren, og rad 3 gir farten \( {|\vec{v}(2)| \approx 10{,}3034\,\text{m/s}}\text{.} \)

Dybden er gitt av \( z \)-koordinaten. Vi finner bunnpunktet til \( z(t) \) ved å sette den deriverte lik null.

1. Finn når ubåten er dypest \( z \)-koordinaten er \( {z(t) = -250 - 5t + 0{,}1t^2}\text{,} \) og den deriverte er \( {z'(t) = \textcolor{green}{-5 + 0{,}2t}}\text{.} \) Den er null når: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-5 + 0{,}2t} &= 0 \\ t &= 25 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på hvorfor vi setter den deriverte lik null, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

\( z'(t) \) er negativ før \( {t = 25} \) og positiv etter. Ubåten synker altså til \( {t = 25}\text{,} \) og stiger etterpå.

2. Regn ut dybden Vi setter inn \( {t = 25} \) i \( z(t)\text{:} \) \[ \begin{aligned} z(25) &= -250 - 5 \cdot 25 + 0{,}1 \cdot 25^2 \\ &= -250 - 125 + 62{,}5 \\ &= -312{,}5 \end{aligned} \]Ubåten er altså \( 312{,}5\,\text{m} \) under havoverflaten på det dypeste.

1. Finn bunnpunktet i CAS Vi fortsetter i CAS fra a). \( z \) er et navn GeoGebra bruker selv, så vi kaller \( z \)-koordinaten \( h(t)\text{.} \) Vi løser \( {h'(t) = 0} \) og setter løsningen inn:

Skriv inn i GeoGebra: h(t) := -250 - 5t + 0.1t^2 Løs(Derivert(h(t), t) = 0, t) h(25)

Rad 5 viser at den deriverte er null ved \( {t = 25}\text{,} \) og rad 6 gir \( {h(25) = -\dfrac{625}{2} = -312{,}5}\text{.} \) Ubåten er \( 312{,}5\,\text{m} \) under havoverflaten på det dypeste.

Vi finner avstanden mellom ubåten og midten av fiskestimen som en funksjon av \( t\text{,} \) og finner den minste avstanden. Ubåten kan bare kollidere hvis midtpunktene kommer nærmere enn radien til stimen pluss halve diagonalen til ubåten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke finne bunnpunktet til denne avstanden for hånd. Øv heller på å sette opp vektoren mellom to punkter som beveger seg, og på å regne ut avstanden for en gitt \( t\text{.} \)

1. Sett opp avstanden Vektoren fra midten av stimen til ubåten er \( {\vec{r}(t) - \vec{s}(t)}\text{.} \) Vi trekker koordinatene fra hverandre, og \( {-250} \) i \( z \)-koordinaten forsvinner: \[ \begin{aligned} \vec{r}(t) - \vec{s}(t) = [&\textcolor{blue}{4t - 40},\ \textcolor{red}{5t - 60}, \\ &\textcolor{green}{0{,}1t^2 - 5t}] \end{aligned} \]

Avstanden \( d(t) \) er lengden av denne vektoren: \[ \begin{aligned} d(t)^2 = \ &(\textcolor{blue}{4t - 40})^2 + (\textcolor{red}{5t - 60})^2 \\ &+ (\textcolor{green}{0{,}1t^2 - 5t})^2 \end{aligned} \]

2. Finn den minste avstanden Vi tegner \( d \) for \( t \) fra \( 0 \) til \( 60 \) og finner bunnpunktet med kommandoen Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: d(x) = Funksjon(sqrt((4x - 40)^2 + (5x - 60)^2 + (0.1x^2 - 5x)^2), 0, 60) E = Ekstremalpunkt(d, 0, 60)

Bunnpunktet er \( {E \approx (8{,}3908,\ 39{,}8251)}\text{.} \) Etter omtrent \( 8{,}4 \) sekunder er ubåten nærmest midten av stimen, omtrent \( 39{,}8\,\text{m} \) unna. Etterpå øker avstanden hele tiden.

3. Vurder om de kolliderer Ingen del av ubåten er lenger fra midten av ubåten enn halve diagonalen: \[ \sqrt{2^2 + 2{,}5^2 + 4^2} = \sqrt{26{,}25} \approx 5{,}1 \]

Ubåten kan altså bare treffe stimen hvis midtpunktene kommer nærmere enn \( {15 + 5{,}1 \approx 20{,}1\,\text{m}}\text{.} \) Den minste avstanden er \( 39{,}8\,\text{m}\text{,} \) så ubåten kolliderer ikke med fiskestimen.

Bakkenivået er \( xy \)-planet, så høyden over bakken er \( z \)-koordinaten. Vi setter inn \( {t = 5}\text{.} \)

1. Regn ut z-koordinaten \( z \)-koordinaten er \( {\textcolor{green}{z(t) = 5 + \dfrac{1}{3}t}}\text{.} \) Med \( {t = \textcolor{red}{5}} \) får vi: \[ z(\textcolor{red}{5}) = 5 + \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{red}{5} = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67 \]Etter \( 5 \) sekunder er bilen omtrent \( 6{,}67\,\text{m} \) over bakken.

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og farten er lengden av fartsvektoren. Vi deriverer hver koordinat, setter inn \( {t = 10} \) og regner ut lengden.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg. Kjerneregelen forteller oss at: \[ \begin{aligned} \big(\cos \textcolor{darkorange}{u}\big)' &= -\sin \textcolor{darkorange}{u} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \\ \big(\sin \textcolor{darkorange}{u}\big)' &= \cos \textcolor{darkorange}{u} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{darkorange}{u} = \dfrac{\pi}{5}t}\text{,} \) så \( {\textcolor{darkorange}{u'} = \dfrac{\pi}{5}}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \vec{v}(t) = \Big[&\textcolor{blue}{-\dfrac{4\pi}{5}\sin\left(\dfrac{\pi}{5}t\right)}, \\ &\textcolor{red}{\dfrac{4\pi}{5}\cos\left(\dfrac{\pi}{5}t\right)},\ \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\Big] \end{aligned} \]

2. Regn ut farten etter ti sekunder Med \( {t = 10} \) er \( {\dfrac{\pi}{5} \cdot 10 = 2\pi}\text{,} \) og \( {\sin 2\pi = 0} \) og \( {\cos 2\pi = 1}\text{.} \) Det gir: \[ \vec{v}(10) = \left[\textcolor{blue}{0},\ \textcolor{red}{\dfrac{4\pi}{5}},\ \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\right] \]

Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{x'}^2 + \textcolor{red}{y'}^2 + \textcolor{green}{z'}^2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(10)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{0}^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{4\pi}{5}}\right)^2 + \left(\textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\right)^2} \\ &\approx 2{,}54 \end{aligned} \]Farten etter \( 10 \) sekunder er omtrent \( 2{,}54\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den og setter inn \( {t = 10}\text{.} \) Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (4cos(π/5 t), 4sin(π/5 t) + 2, 5 + 1/3 t) v(t) := Derivert(r(t), t) v(10) Lengde(v(10))

Rad 2 gir fartsvektoren, og rad 4 gir farten \( {|\vec{v}(10)| \approx 2{,}5353\,\text{m/s}}\text{.} \)

Vi antar at bilen kjører én hel runde i spiralen fra en etasje til den neste. Da er avstanden mellom etasjene hvor mye bilen stiger på én runde.

1. Finn tiden for én runde \( x \) og \( y \) beskriver en sirkel med radius \( 4\text{.} \) Bilen har kjørt én hel runde når \( \dfrac{\pi}{5}t \) har økt med \( 2\pi\text{:} \) \[ \dfrac{\pi}{5}T = 2\pi \quad\Rightarrow\quad T = 10 \]Én runde tar altså \( 10 \) sekunder.

2. Finn hvor mye bilen stiger \( z \)-koordinaten øker med \( \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\,\text{m} \) hvert sekund, fra b). På én runde stiger bilen derfor: \[ \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}} \cdot 10 = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33 \]Med denne antakelsen er det omtrent \( 3{,}33\,\text{m} \) mellom etasjene, som er en rimelig høyde for en etasje. På de \( 20 \) sekundene kjører bilen to runder, altså to etasjer opp.

Ballen forlater taket ved \( {t = 0}\text{,} \) og høyden er \( z \)-koordinaten. Vi setter inn \( {t = 0} \) og \( {t = 0{,}5}\text{.} \)

1. Finn høyden til takkanten Ved \( {t = 0} \) er ballen på kanten av taket. Høyden er \( z \)-koordinaten, \( {\textcolor{green}{z(t) = 6 - 0{,}7t - 4{,}9t^2}}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{z(0)} = 6 - 0{,}7 \cdot 0 - 4{,}9 \cdot 0^2 = 6 \]

2. Finn posisjonen etter et halvt sekund Vi setter inn \( {t = 0{,}5} \) i hver koordinat: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x(0{,}5)} &= 2 \cdot 0{,}5 = 1 \\ \textcolor{red}{y(0{,}5)} &= 4 \cdot 0{,}5 = 2 \\ \textcolor{green}{z(0{,}5)} &= 6 - 0{,}35 - 1{,}225 = 4{,}425 \end{aligned} \]

Ballen treffer bakken når \( {z = 0}\text{.} \) Farten er lengden av fartsvektoren, som er den deriverte av posisjonsvektoren.

1. Finn når ballen treffer bakken Vi setter \( z \)-koordinaten lik \( 0 \) og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ 4{,}9t^2 + 0{,}7t - 6 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {a = 4{,}9}\text{,} \) \( {b = 0{,}7} \) og \( {c = -6}\text{.} \) Tiden er positiv, så vi tar \( {+}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-0{,}7 + \sqrt{0{,}49 + 117{,}6}}{9{,}8} \\ &= \dfrac{-0{,}7 + \sqrt{118{,}09}}{9{,}8} \approx 1{,}0374 \end{aligned} \]

2. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{4},\ \textcolor{green}{-0{,}7 - 9{,}8t}] \]

3. Regn ut farten Med \( {t \approx 1{,}0374} \) er \( z \)-koordinaten: \[ \textcolor{green}{-0{,}7 - 9{,}8 \cdot 1{,}0374 \approx -10{,}867} \]

Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &\approx \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + \textcolor{red}{4}^2 + (\textcolor{green}{-10{,}867})^2} \\ &\approx 11{,}75 \end{aligned} \]Ballen treffer bakken med en fart på omtrent \( 11{,}75\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den, finner når \( {z = 0} \) og regner ut lengden av fartsvektoren da. Rad 3 og 4 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (2t, 4t, 6 - 0.7t - 4.9t^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Løs(6 - 0.7t - 4.9t^2 = 0, t) Lengde(v(1.0374))

Rad 3 viser at ballen treffer bakken ved \( {t \approx 1{,}0374}\text{,} \) siden tiden er positiv. Rad 4 gir farten \( {|\vec{v}| \approx 11{,}7508\,\text{m/s}}\text{.} \)

Vi bruker fartsvektoren fra b), \( {\vec{v}(t) = [2,\ 4,\ -0{,}7 - 9{,}8t]}\text{.} \)

Vi setter lengden av fartsvektoren lik \( 10\text{,} \) og løser for \( t\text{.} \) Det er enklest å kvadrere begge sider først.

1. Sett opp likningen Farten er lengden av fartsvektoren, som i videoen Lengden til en Vektor. Den er \( 10 \) når kvadratet av lengden er \( 100\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2}^2 + \textcolor{red}{4}^2 + (\textcolor{green}{-0{,}7 - 9{,}8t})^2 &= 100 \\ (0{,}7 + 9{,}8t)^2 &= 80 \end{aligned} \]

2. Løs for t \( {t \ge 0}\text{,} \) så \( {0{,}7 + 9{,}8t} \) er positiv, og vi tar den positive roten: \[ \begin{aligned} 0{,}7 + 9{,}8t &= \sqrt{80} \\ t &= \dfrac{\sqrt{80} - 0{,}7}{9{,}8} \approx 0{,}8413 \end{aligned} \]Det er før ballen treffer bakken ved \( {t \approx 1{,}04} \) fra b), så svaret gjelder.

1. Løs likningen i CAS Vi fortsetter i CAS fra b), der \( v(t) \) er definert, og løser \( {|\vec{v}(t)| = 10} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(Lengde(v(t)) = 10, t)

Tiden er positiv, så farten er \( 10\,\text{m/s} \) ved \( {t \approx 0{,}8413\,\text{s}}\text{.} \)

Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren. Ballen blir skutt ved \( {t = 0}\text{.} \)

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{30},\ \textcolor{red}{5},\ \textcolor{green}{7 - 9{,}8t}] \]

2. Regn ut farten ved start Med \( {t = 0} \) er \( {\vec{v}(0) = [\textcolor{blue}{30}, \textcolor{red}{5}, \textcolor{green}{7}]}\text{.} \) Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(0)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{30}^2 + \textcolor{red}{5}^2 + \textcolor{green}{7}^2} \\ &= \sqrt{974} \approx 31{,}21 \end{aligned} \]

1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den og regner ut lengden av fartsvektoren for \( {t = 0}\text{.} \) Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (30t, 5t, 7t - 4.9t^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Lengde(v(0))

Rad 3 gir farten \( {|\vec{v}(0)| \approx 31{,}209\,\text{m/s}}\text{.} \)

Ballen treffer banen når \( {z = 0}\text{.} \) Avstanden fra hjørnemerket i origo er lengden av \( [x, y] \) langs bakken.

1. Finn når ballen lander Vi setter \( z \)-koordinaten lik \( 0 \) og faktoriserer: \[ \begin{aligned} 7t - 4{,}9t^2 &= 0 \\ t(7 - 4{,}9t) &= 0 \end{aligned} \]\( {t = 0} \) er når ballen blir skutt, så den lander ved \( {t = \dfrac{7}{4{,}9} = \dfrac{10}{7} \approx 1{,}43\,\text{s}}\text{.} \)

2. Regn ut avstanden Med \( {t = \dfrac{10}{7}} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= 30 \cdot \dfrac{10}{7} = \textcolor{blue}{\dfrac{300}{7}} \\ \textcolor{red}{y} &= 5 \cdot \dfrac{10}{7} = \textcolor{red}{\dfrac{50}{7}} \end{aligned} \]

Avstanden fra origo finner vi med Pythagoras: \[ \begin{aligned} \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} &= \sqrt{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{300}{7}}\right)^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{50}{7}}\right)^2} \\ &\approx 43{,}45 \end{aligned} \]

1. Finn landingen i CAS Vi fortsetter i CAS fra a). Vi løser \( {z = 0}\text{,} \) og regner ut avstanden fra origo med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(7t - 4.9t^2 = 0, t) sqrt((30*10/7)^2 + (5*10/7)^2)

Rad 4 viser at ballen lander ved \( {t = \dfrac{10}{7}}\text{,} \) og rad 5 gir avstanden \( 43{,}4483\,\text{m}\text{.} \)

Vi bruker fartsvektoren fra a), \( {\vec{v}(t) = [30,\ 5,\ 7 - 9{,}8t]}\text{.} \)

Ballen er på sitt høyeste når \( z \)-koordinaten har toppunkt, altså når \( {z'(t) = 0}\text{.} \) Vi setter inn den tiden i farten og i høyden.

1. Finn når ballen er høyest \( z \)-koordinaten til fartsvektoren er \( {z'(t) = \textcolor{green}{7 - 9{,}8t}}\text{.} \) Den er null når: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{7 - 9{,}8t} &= 0 \\ t &= \dfrac{7}{9{,}8} = \dfrac{5}{7} \end{aligned} \]\( z'(t) \) er positiv før og negativ etter, så dette er toppunktet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Regn ut farten og høyden I toppunktet er \( {\textcolor{green}{z'} = \textcolor{green}{0}}\text{,} \) så farten er: \[ \begin{aligned} \left|\vec{v}\left(\dfrac{5}{7}\right)\right| &= \sqrt{\textcolor{blue}{30}^2 + \textcolor{red}{5}^2 + \textcolor{green}{0}^2} \\ &= \sqrt{925} \approx 30{,}41 \end{aligned} \]

Høyden er \( z \)-koordinaten til \( \vec{r}\text{:} \) \[ \begin{aligned} z\left(\dfrac{5}{7}\right) &= 7 \cdot \dfrac{5}{7} - 4{,}9 \cdot \dfrac{25}{49} \\ &= 5 - 2{,}5 = 2{,}5 \end{aligned} \]

1. Finn toppunktet i CAS Vi fortsetter i CAS fra a). Vi løser \( {z'(t) = 0}\text{,} \) og setter løsningen inn i farten med \( {\approx} \) og i posisjonen:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(7 - 9.8t = 0, t) Lengde(v(5/7)) r(5/7)

Ballen er høyest ved \( {t = \dfrac{5}{7}}\text{,} \) farten er da \( 30{,}4138\,\text{m/s}\text{,} \) og \( z \)-koordinaten i rad 8 viser at høyden er \( {\dfrac{5}{2} = 2{,}5\,\text{m}}\text{.} \)

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og banefarten er lengden av fartsvektoren.

1. Deriver posisjonsvektoren Vi deriverer hver koordinat for seg, som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Med kjerneregelen er \( {\left(e^{t/20}\right)' = \dfrac{1}{20}e^{t/20}} \) og \( {\left(e^{-2t + 2}\right)' = -2e^{-2t + 2}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Fartsvektoren er \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

2. Sett inn t = 1 Kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \dfrac{1}{20}e^{0{,}05} \approx \textcolor{blue}{0{,}0526} \\ \textcolor{red}{v_y} &= -\cos 1 \approx \textcolor{red}{-0{,}5403} \\ \textcolor{green}{v_z} &= -\dfrac{1}{5}e^{0} - \sin 1 \approx \textcolor{green}{-1{,}0415} \end{aligned} \]

3. Finn lengden Lengden av en vektor er: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Vi regner ut kvadratene først: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(1)|^2 &\approx \textcolor{blue}{0{,}0028} + \textcolor{red}{0{,}2919} + \textcolor{green}{1{,}0847} \\ &\approx 1{,}3794 \\ |\vec{v}(1)| &\approx \sqrt{1{,}3794} \approx 1{,}17 \end{aligned} \]

1. Regn ut banefarten i CAS Vi skriver \( \vec{r}(t) \) som et punkt, deriverer og tar lengden:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (1 + ℯ^(t/20), 1 - sin(t), 1/10 ℯ^(-2t+2) + cos(t)) v(t) := Derivert(r(t), t) ≈ Lengde(v(1))

Rad 3 gir det samme som med kalkulatoren.

Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

Banefarten \( |\vec{v}(t)| \) er en funksjon av \( t\text{.} \) Vi tegner grafen for \( t \in [0, 5] \) i GeoGebra og finner bunnpunktet.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke finne bunnpunktet til en så sammensatt funksjon. Øv heller på å sette opp banefarten som lengden av fartsvektoren, og på å regne den ut for gitte \( t \) med kalkulator.

1. Tegn banefarten Banefarten er lengden av fartsvektoren, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ s(t) = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]

Vi skriver den inn i algebrafeltet med \( x \) for \( t\text{,} \) bare for \( {0 \le x \le 5}\text{,} \) og finner bunnpunktet med Min:

Skriv inn i GeoGebra: s(x) = Hvis(0 <= x <= 5, sqrt((ℯ^(x/20)/20)^2 + cos(x)^2 + (-0.2ℯ^(2-2x) - sin(x))^2)) M = Min(s, 0, 5)

2. Les av bunnpunktet Grafen faller fra \( {s(0) \approx 1{,}79} \) og er nesten flat fra \( {t \approx 2}\text{.} \) Bunnpunktet er \( {M \approx (3{,}54;\ 1{,}0013)}\text{,} \) det laveste punktet på hele \( [0, 5]\text{.} \)

Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

Fartsvektoren er parallell med \( xy \)-planet når \( {\textcolor{green}{v_z = 0}}\text{,} \) og parallell med \( yz \)-planet når \( {\textcolor{blue}{v_x = 0}}\text{.} \) Vi ser om hver av dem kan bli \( 0\text{.} \)

1. Parallell med yz-planet? \( e^{t/20} \) er alltid positiv, så: \[ \textcolor{blue}{v_x} = \dfrac{1}{20}e^{t/20} > 0 \]\( \textcolor{blue}{v_x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så fartsretningen er aldri parallell med \( yz \)-planet.

2. Parallell med xy-planet? Vi regner ut \( \textcolor{green}{v_z} \) i to tidspunkter med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-4} - \sin 3 \approx -0{,}145 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}5)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-5} - \sin 3{,}5 \approx 0{,}349 \end{aligned} \]

\( \textcolor{green}{v_z} \) er kontinuerlig og skifter fortegn mellom \( {t = 3} \) og \( {t = 3{,}5}\text{,} \) så den er \( 0 \) for en \( t \) der imellom. Da er fartsvektoren parallell med \( xy \)-planet. Prøver vi oss fram, finner vi fortegnsskiftet mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3{,}14)} &\approx -0{,}004 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}15)} &\approx 0{,}006 \end{aligned} \]Det er altså ved \( {t \approx 3{,}14}\text{.} \)

1. Løs v_z = 0 i CAS Vi bruker \( \vec{v}(t) \) fra a), og løser \( {\textcolor{green}{v_z = 0}} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(-1/5 ℯ^(-2t+2) - sin(t) = 0, t = 3)

Ved \( {t \approx 3{,}14} \) er \( {\textcolor{green}{v_z} = 0}\text{.} \) \( \textcolor{blue}{v_x} \) er alltid positiv.