Eksamensoppgaver etter tema

Vinkel \( BAC \) er vinkelen mellom vektorene \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet av dem.

1. Bruk at skalarproduktet er null 0:55 To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{.} \) Vinkelen i \( A \) er derfor \( 90^\circ \) når: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Finn vektorene fra A 1:34 En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?. Begge vektorene starter i \( {A(1, -3)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [4 - 1,\ 1 - (-3)] = [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{4}] \\ \overrightarrow{AC} &= [-2 - 1,\ a - (-3)] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{-3}, \textcolor{red}{a + 3}] \end{aligned} \]

3. Sett skalarproduktet lik null 3:19 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{blue}{-3}) + \textcolor{red}{4} \cdot (\textcolor{red}{a + 3}) &= 0 \\ -9 + 4a + 12 &= 0 \\ 4a &= -3 \\ a &= -\dfrac{3}{4} \end{aligned} \]

Vi regner ut lengden av begge vektorene og setter dem like. Det gir en andregradslikning for \( a\text{.} \)

1. Regn ut begge lengdene 0:12 Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Vektorene fra \( A \) finner vi ved å trekke koordinatene til \( A \) fra koordinatene til sluttpunktet: \( {\overrightarrow{AB} = [3, 4]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [-3, a + 3]}\text{.} \) Siden \( {(a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{(-3)^2 + (a + 3)^2} \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{a^2 + 6a + 18} \end{aligned} \]

2. Sett lengdene like 2:55 Med \( {|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|} \) får vi: \[ \sqrt{a^2 + 6a + 18} = 5 \]

Begge sider er positive, så vi kan kvadrere begge sider: \[ \begin{aligned} a^2 + 6a + 18 &= 25 \\ a^2 + 6a - 7 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs med abc-formelen 4:00 Bokstaven \( a \) er den ukjente her, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}a^2 + \textcolor{red}{q}a + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ a = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{6}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-7}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-\textcolor{red}{6} \pm \sqrt{\textcolor{red}{6}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-7})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ a &= \dfrac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{-6 \pm 8}{2} \end{aligned} \]

Det gir to løsninger: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-6 + 8}{2} = 1 \\ a &= \dfrac{-6 - 8}{2} = -7 \end{aligned} \]

Linjestykket \( AB \) er like langt som vektoren \( \overrightarrow{AB}\text{.} \) Vi finner vektoren og bruker Pythagoras.

1. Finn vektoren fra A til B 0:35 En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [x_B - x_A,\ y_B - y_A] \\ \overrightarrow{AB} &= [3 - (-2),\ 2 - 3] = [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{-1}] \end{aligned} \]

2. Bruk Pythagoras 1:25 Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} \\ AB &= \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \end{aligned} \]

Vi bruker vektoren \( {\overrightarrow{AB} = [5, -1]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner likningen \( {y = ax + b} \) for linja gjennom \( A \) og \( B\text{.} \) \( C \) ligger på \( x \)-aksen, så der er \( {y = 0}\text{.} \)

1. Finn stigningstallet 0:35 En rett linje har likningen: \[ y = \textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]der \( \textcolor{blue}{a} \) er stigningstallet og \( \textcolor{red}{b} \) er der linja skjærer \( y \)-aksen.

Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. I a) fant vi \( {\overrightarrow{AB} = [5, -1]}\text{:} \) når vi går \( 5 \) bortover, går linja \( 1 \) ned. Det gir: \[ \textcolor{blue}{a} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-1}{5} = \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}} \]

2. Finn konstantleddet 1:52 Linja går gjennom \( {A(-2, 3)}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = -2} \) og \( {y = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}} \cdot (-2) + \textcolor{red}{b} \\ 3 &= \dfrac{2}{5} + \textcolor{red}{b} \\ \textcolor{red}{b} &= \dfrac{15}{5} - \dfrac{2}{5} = \textcolor{red}{\dfrac{13}{5}} \end{aligned} \]

3. Sett y lik null 3:44 \( C \) ligger på \( x \)-aksen, der \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}}x + \textcolor{red}{\dfrac{13}{5}} \\ \dfrac{1}{5}x &= \dfrac{13}{5} \\ x &= 13 \end{aligned} \]

Vinkelen \( \angle ABD \) ligger i \( B\text{,} \) mellom vektorene \( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BD}\text{.} \) Den er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av dem er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet 1:10 Skalarproduktet av to vektorer er: \[ \vec{u} \cdot \vec{w} = |\vec{u}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos v \]der \( v \) er vinkelen mellom dem. Når \( {v = 90^\circ}\text{,} \) er \( {\cos v = 0}\text{,} \) så skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Finn vektorene fra B 2:14 Begge vektorene starter i \( B(3, 2)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BA} &= [-2 - 3,\ 3 - 2] = [\textcolor{blue}{-5}, \textcolor{red}{1}] \\ \overrightarrow{BD} &= [2 - 3,\ t - 2] = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{t - 2}] \end{aligned} \]

3. Sett skalarproduktet lik null 3:17 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{-5}) \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{red}{t - 2}) &= 0 \\ 5 + t - 2 &= 0 \\ t &= -3 \end{aligned} \]

Vi kjenner bare lengdene og vinkelen, ikke selve vektorene. Vi gir dem ukjente koordinater, skriver opp \( |\vec{p}|^2 \) og bruker det vi vet.

1. Gi vektorene koordinater 1:21 Vi skriver \( {\vec{a} = [x_1, y_1]} \) og \( {\vec{b} = [x_2, y_2]}\text{.} \) Da er \( {\vec{p} = [x_1 + x_2,\ y_1 + y_2]}\text{,} \) og med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor, er: \[ |\vec{p}|^2 = (x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 \]

Vi ganger ut med \( {(u + w)^2 = u^2 + 2uw + w^2} \) og samler leddene: \[ \begin{aligned} |\vec{p}|^2 = {} & \textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2} + \textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2} \\ &+ 2(\textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2}) \end{aligned} \]

2. Finn de tre delene 4:30 Lengden av en vektor gir de to første delene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2} &= |\vec{a}|^2 = 4^2 = \textcolor{blue}{16} \\ \textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2} &= |\vec{b}|^2 = (2\sqrt{3})^2 = \textcolor{red}{12} \end{aligned} \]

Den tredje delen er skalarproduktet \( {\vec{a} \cdot \vec{b}} \) med koordinater. Med vinkelen \( v \) mellom vektorene er skalarproduktet: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos v \]

Med \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) får vi: \[ \textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2} = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \textcolor{green}{12} \]

3. Sett sammen 7:35 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{p}|^2 &= \textcolor{blue}{16} + \textcolor{red}{12} + 2 \cdot \textcolor{green}{12} = 52 \\ |\vec{p}| &= \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \end{aligned} \]

1. Legg vektorene inn i CAS Bare lengdene og vinkelen er gitt, så vi kan velge hvor vektorene ligger, som i videoen Oppgave 5A + B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi legger \( \vec{a} \) langs \( x \)-aksen og \( \vec{b} \) med vinkelen \( 30^\circ\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: a := Vektor((4, 0)) b := Vektor((2*sqrt(3)*cos(30°), 2*sqrt(3)*sin(30°))) p := a + b Lengde(p)

CAS gir \( {\vec{p} = [7, \sqrt{3}]} \) og \( {|\vec{p}| = 2\sqrt{13}}\text{.} \)

Alternativ metode: Regneregler for skalarproduktet Siden \( {\vec{p} \cdot \vec{p} = |\vec{p}|^2}\text{,} \) kan vi gange ut med vektorene direkte: \[ \begin{aligned} |\vec{p}|^2 &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ &= |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \end{aligned} \]Det gir \( {16 + 2 \cdot 12 + 12 = 52}\text{.} \) Metoden sparer koordinatene når lengdene og vinkelen er gitt.

Vi bruker \( {|\vec{a}|^2 = 16}\text{,} \) \( {|\vec{b}|^2 = 12} \) og \( {\vec{a} \cdot \vec{b} = 12} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er \( 0\text{.} \) Vi skriver \( {\vec{p} \cdot \vec{q}} \) ved de tre tallene fra a) og løser for \( t\text{.} \)

1. Skriv opp kravet 0:19 Ortogonale vektorer står vinkelrett på hverandre, og da er skalarproduktet \( 0\text{:} \) \[ \vec{p} \cdot \vec{q} = 0 \]

Med koordinatene fra a) er: \[ \begin{aligned} \vec{p} &= [x_1 + x_2,\ y_1 + y_2] \\ \vec{q} &= [t x_1 + x_2,\ t y_1 + y_2] \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet 1:44 Vi ganger førstekoordinatene og andrekoordinatene: \[ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} = {} & (x_1 + x_2)(t x_1 + x_2) \\ &+ (y_1 + y_2)(t y_1 + y_2) \end{aligned} \]

Ganger vi ut og samler leddene, får vi: \[ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} = {} & t \cdot (\textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2}) \\ &+ (t + 1) \cdot (\textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2}) \\ &+ (\textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2}) \end{aligned} \]

3. Sett inn og løs 4:14 I a) fant vi \( {\textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2 = 16}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2 = 12}} \) og \( {\textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2 = 12}}\text{.} \) Plugger vi dem inn og setter skalarproduktet lik \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{16}t + \textcolor{green}{12}(t + 1) + \textcolor{red}{12} &= 0 \\ 28t + 24 &= 0 \\ t &= -\dfrac{24}{28} = -\dfrac{6}{7} \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Vi fortsetter i CAS-vinduet fra a), der \( \vec{a} \) ligger langs \( x \)-aksen, og løser \( {\vec{p} \cdot \vec{q} = 0}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: q := t*a + b Løs(p*q = 0, t)

CAS gir \( {t = -\dfrac{6}{7}}\text{.} \)

Alternativ metode: Regneregler for skalarproduktet Vi ganger ut med vektorene direkte: \[ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (t\vec{a} + \vec{b}) \\ &= t|\vec{a}|^2 + (t + 1)\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \end{aligned} \]Det gir den samme likningen, \( {16t + 12(t + 1) + 12 = 0}\text{.} \) Metoden sparer koordinatene.

Avstanden mellom Nils og Ahmad er lengden av vektoren \( \overrightarrow{NA}\text{.} \) Vi finner vektoren og bruker Pythagoras.

1. Finn vektoren fra N til A En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{NA} &= [x_A - x_N,\ y_A - y_N] \\ \overrightarrow{NA} &= [1 - (-1),\ 1 - 2] = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}] \end{aligned} \]

2. Bruk Pythagoras Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{NA}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} \\ |\overrightarrow{NA}| &= \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\overrightarrow{NA} = [2, -1]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

To vektorer er parallelle når den ene er et tall ganget med den andre. Vi setter opp den sammenhengen og finner tallet og \( a\text{.} \)

1. Skriv opp kravet for parallelle vektorer To vektorer \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) er parallelle når det finnes et tall \( k \) slik at: \[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \]Tallet \( k \) kan også være negativt, og da peker vektorene motsatt vei. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 8B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

2. Finn tallet og a Vi kaller punktet til ballen \( {B(-1, a)}\text{.} \) Vektoren fra Jelena til ballen er: \[ \overrightarrow{JB} = [-1 - 0,\ a - 0] = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{a}] \]

I a) fant vi \( {\overrightarrow{NA} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}]}\text{,} \) så kravet er: \[ [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{a}] = k \cdot [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}] \]

Førstekoordinatene gir \( {\textcolor{blue}{-1} = k \cdot \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) altså \( {k = -\dfrac{1}{2}}\text{.} \) Andrekoordinatene gir da: \[ \textcolor{red}{a} = k \cdot (\textcolor{red}{-1}) = -\dfrac{1}{2} \cdot (-1) = \dfrac{1}{2} \]

\( M \) skal ligge \( \sqrt{10} \) meter fra Jelena, og vinkelen i \( A \) mellom \( \overrightarrow{AM} \) og \( \overrightarrow{AJ} \) skal være \( 90^\circ\text{.} \) Det gir to likninger for koordinatene til \( M\text{.} \)

1. Skriv opp de to kravene Vi kaller koordinatene til \( M \) for \( x \) og \( y\text{.} \) Med Pythagoras er avstanden fra \( J(0, 0) \) lik \( {\sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) så: \[ x^2 + y^2 = 10 \]

Vinkelen \( \angle MAJ \) ligger i \( A\text{.} \) Den er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av \( \overrightarrow{AM} \) og \( \overrightarrow{AJ} \) er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Her er \( {\overrightarrow{AM} = [\textcolor{blue}{x - 1}, \textcolor{red}{y - 1}]} \) og \( {\overrightarrow{AJ} = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{-1}]}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x - 1})(\textcolor{blue}{-1}) + (\textcolor{red}{y - 1})(\textcolor{red}{-1}) &= 0 \\ -x + 1 - y + 1 &= 0 \\ y &= 2 - x \end{aligned} \]

2. Løs likningssettet Vi setter \( {y = 2 - x} \) inn i \( {x^2 + y^2 = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 + (2 - x)^2 &= 10 \\ 2x^2 - 4x + 4 &= 10 \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} \]

Bokstaven \( a \) er brukt i b), så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-2}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = 3} \) eller \( {x = -1}\text{,} \) og med \( {y = 2 - x} \) punktene \( {(3, -1)} \) og \( {(-1, 3)}\text{.} \)

3. Velg punktet nærmest Nils Nils står i \( {N(-1, 2)}\text{.} \) Punktet \( {(-1, 3)} \) ligger \( 1 \) meter rett over ham. Punktet \( {(3, -1)} \) ligger \( 4 \) meter bortover og \( 3 \) meter nedover, altså \( {\sqrt{4^2 + 3^2} = 5} \) meter unna. Det nærmeste punktet er derfor \( {(-1, 3)}\text{.} \)

Vi regner ut lengden av alle fire vektorene og sammenligner. Ortogonale vektorer har skalarprodukt \( 0\text{,} \) så vi regner ut skalarproduktet for hvert par.

1. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{u}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2} = \sqrt{13} \\ |\vec{v}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{4}^2 + (\textcolor{red}{-6})^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \\ |\vec{w}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + (\textcolor{red}{-3})^2} = \sqrt{13} \\ |\vec{p}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{12}^2} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \end{aligned} \]Bare \( \vec{u} \) og \( \vec{w} \) er like lange.

2. Regn ut skalarproduktene To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Vi regner ut alle seks parene: \[ \begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= \textcolor{blue}{3 \cdot 4} + \textcolor{red}{(-2) \cdot (-6)} = 24 \\ \vec{u} \cdot \vec{w} &= \textcolor{blue}{3 \cdot 2} + \textcolor{red}{(-2) \cdot (-3)} = 12 \\ \vec{u} \cdot \vec{p} &= \textcolor{blue}{3 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-2) \cdot 12} = 0 \\ \vec{v} \cdot \vec{w} &= \textcolor{blue}{4 \cdot 2} + \textcolor{red}{(-6) \cdot (-3)} = 26 \\ \vec{v} \cdot \vec{p} &= \textcolor{blue}{4 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-6) \cdot 12} = -40 \\ \vec{w} \cdot \vec{p} &= \textcolor{blue}{2 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-3) \cdot 12} = -20 \end{aligned} \]Bare \( {\vec{u} \cdot \vec{p} = 0}\text{,} \) så bare \( \vec{u} \) og \( \vec{p} \) er ortogonale.

Vi regner ut \( {\vec{u} + 2\vec{q}} \) med koordinater. To vektorer er like når førstekoordinatene er like og andrekoordinatene er like.

1. Regn ut vektoren Vi ganger begge koordinatene i \( \vec{q} \) med \( 2\text{,} \) som i videoen Hva er en Skalar?: \[ 2\vec{q} = [4a - 6,\ 2 + 6b] \]

Med \( {\vec{u} = [3, -2]} \) legger vi sammen koordinatene hver for seg, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} \vec{u} + 2\vec{q} &= [\textcolor{blue}{3 + 4a - 6},\ \textcolor{red}{-2 + 2 + 6b}] \\ &= [\textcolor{blue}{4a - 3},\ \textcolor{red}{6b}] \end{aligned} \]

2. Sett koordinatene like Vektoren skal være \( [\textcolor{blue}{7}, \textcolor{red}{5}]\text{,} \) så både førstekoordinatene og andrekoordinatene må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4a - 3} &= \textcolor{blue}{7} \\ a &= \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{6b} &= \textcolor{red}{5} \\ b &= \dfrac{5}{6} \end{aligned} \]

Punktene ligger på en rett linje når \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) er parallelle. Da er den ene vektoren et tall ganget med den andre.

1. Finn vektorene fra A En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?. Begge vektorene starter i \( A(3, 4)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [-1 - 3,\ -2 - 4] \\ \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{-4}, \textcolor{red}{-6}] \\ \overrightarrow{AC} &= [3 + t - 3,\ 2t - 4] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{t}, \textcolor{red}{2t - 4}] \end{aligned} \]

2. Skriv opp kravet for parallelle vektorer To vektorer er parallelle når det finnes et tall \( k \) slik at den ene er \( k \) ganget med den andre, som i videoen Oppgave 8B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \]

Med koordinatene får vi: \[ [\textcolor{blue}{t}, \textcolor{red}{2t - 4}] = k \cdot [\textcolor{blue}{-4}, \textcolor{red}{-6}] \]

3. Løs for k og t Førstekoordinatene gir \( {\textcolor{blue}{t} = k \cdot (\textcolor{blue}{-4})}\text{,} \) altså \( {k = -\dfrac{t}{4}}\text{.} \) Setter vi det inn i andrekoordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2t - 4} &= -\dfrac{t}{4} \cdot (\textcolor{red}{-6}) \\ 2t - 4 &= \dfrac{3}{2}t \\ \dfrac{1}{2}t &= 4 \\ t &= 8 \end{aligned} \]Da er \( {k = -2}\text{,} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [8, 12]}\text{,} \) som er \( {-2 \cdot [-4, -6]}\text{.} \)

Vinkelen i \( C \) ligger mellom vektorene \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB}\text{.} \) Den er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av dem er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0 \]

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Finn vektorene fra C Begge vektorene starter i \( {C(3 + t, 2t)}\text{,} \) så vi trekker koordinatene til \( C \) fra koordinatene til \( A \) og \( B\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [3 - (3 + t),\ 4 - 2t] \\ \overrightarrow{CA} &= [\textcolor{blue}{-t}, \textcolor{red}{4 - 2t}] \\ \overrightarrow{CB} &= [-1 - (3 + t),\ -2 - 2t] \\ \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{-4 - t}, \textcolor{red}{-2 - 2t}] \end{aligned} \]

3. Sett skalarproduktet lik null Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{blue}{-t})(\textcolor{blue}{-4 - t}) \\ &+ (\textcolor{red}{4 - 2t})(\textcolor{red}{-2 - 2t}) = 0 \end{aligned} \]

Vi ganger ut parentesene og trekker sammen: \[ \begin{aligned} 4t + t^2 - 8 - 8t + 4t + 4t^2 &= 0 \\ 5t^2 - 8 &= 0 \\ t^2 &= \dfrac{8}{5} \end{aligned} \]

Det gir to løsninger: \[ t = \pm\sqrt{\dfrac{8}{5}} = \pm\dfrac{\sqrt{40}}{5} = \pm\dfrac{2\sqrt{10}}{5} \]For begge er \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB} \) ulik nullvektoren, så punktene danner en trekant med rett vinkel i \( C\text{.} \)

Hver side er like lang som vektoren mellom de to hjørnene. Vi finner de tre vektorene og regner ut lengdene med Pythagoras.

1. Finn vektorene langs sidene En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [2 - (-3),\ -2 - (-1)] \\ &= [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{-1}] \\ \overrightarrow{BC} &= [5 - 2,\ 2 - (-2)] \\ &= [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{4}] \\ \overrightarrow{AC} &= [5 - (-3),\ 2 - (-1)] \\ &= [\textcolor{blue}{8}, \textcolor{red}{3}] \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} = \sqrt{26} \\ |\overrightarrow{BC}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{25} = 5 \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{3}^2} = \sqrt{73} \end{aligned} \]

Siden \( {25 < 26 < 73}\text{,} \) er \( {\sqrt{25} < \sqrt{26} < \sqrt{73}}\text{.} \) Siden \( BC \) er altså kortest.

Vi bruker vektorene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vinkelen i et hjørne er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av de to vektorene som går ut fra hjørnet, er \( 0\text{.} \) Vi sjekker alle tre hjørnene.

1. Skriv opp kravet To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Regn ut skalarproduktet i hvert hjørne I a) fant vi \( {\overrightarrow{AB} = [5, -1]}\text{,} \) \( {\overrightarrow{BC} = [3, 4]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [8, 3]}\text{.} \) En vektor den andre veien har motsatt fortegn, for eksempel \( {\overrightarrow{BA} = [-5, 1]}\text{.} \)

Vinkelen i \( A \) ligger mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{:} \) \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \textcolor{blue}{5 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-1) \cdot 3} = \underline{37} \]

Vinkelen i \( B \) ligger mellom \( {\overrightarrow{BA} = [-5, 1]} \) og \( \overrightarrow{BC}\text{:} \) \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \textcolor{blue}{(-5) \cdot 3} + \textcolor{red}{1 \cdot 4} = \underline{-11} \]

Vinkelen i \( C \) ligger mellom \( {\overrightarrow{CA} = [-8, -3]} \) og \( {\overrightarrow{CB} = [-3, -4]}\text{.} \) Her er \( {\textcolor{blue}{(-8) \cdot (-3) = 24}} \) og \( {\textcolor{red}{(-3) \cdot (-4) = 12}}\text{:} \) \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \textcolor{blue}{24} + \textcolor{red}{12} = \underline{36} \]

Ingen av skalarproduktene er \( 0\text{,} \) så ingen av vinklene er \( 90^\circ\text{.} \)