R1 eksamen våren 2025

For å finne nullpunktene setter vi \( {g(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:10 Vi setter \( {g(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0 \]

\( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \) Derfor må \( {\textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen 1:18 Vi tar kvadratroten på begge sider, og \( {\sqrt{0} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2x - 1 &= 0 \\ 2x &= 1 \\ x &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Skriv opp produktregelen 0:33 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'} \) og \( \textcolor{blue}{v} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{u'} = \textcolor{red}{u}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Gang ut parentesen og deriver 1:41 For å finne \( \textcolor{blue}{v'} \) ganger vi først ut parentesen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= (2x - 1)(2x - 1) \\ \textcolor{blue}{v} &= 4x^2 - 4x + 1 \end{aligned} \]

Så deriverer vi ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstanten \( 1 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{v'} = 8x - 4 = \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \]

3. Sett inn og faktoriser 3:39 Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) = {} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \\ &+ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

Begge leddene har faktorene \( {\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}}\text{.} \) Faktoriserer vi dem ut, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}\bigl(4 + (2x - 1)\bigr) \\ g'(x) &= \dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)(2x + 3) \end{aligned} \]Det er uttrykket i oppgaven.

Uttrykket for \( g'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {g'(x) = 0}\text{.} \) Om et punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av fortegnet til \( g'(x) \) på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:05 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(\textcolor{red}{2x - 1})(\textcolor{blue}{2x + 3}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \dfrac{1}{2}e^x \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2x - 1} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{blue}{2x + 3} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

2. Finn y-koordinatene 2:00 Vi setter \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og \( {x = \dfrac{1}{2}} \) inn i \( g(x)\text{.} \) Siden \( {2 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 1 = -4} \) og \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g\left(-\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{-\tfrac{3}{2}} \cdot (-4)^2 = 8e^{-\tfrac{3}{2}} \\ g\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{\tfrac{1}{2}} \cdot 0^2 = 0 \end{aligned} \]

3. Avgjør hva slags punkter det er 3:51 \( \dfrac{1}{2}e^x \) er alltid positiv, så fortegnet til \( g'(x) \) kommer fra de to andre faktorene. Vi lager en fortegnslinje, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: \[ \begin{array}{r|ccccc} x & & -\tfrac{3}{2} & & \tfrac{1}{2} & \\ \hline \tfrac{1}{2}e^x & + & + & + & + & + \\ \textcolor{blue}{2x + 3} & - & 0 & + & + & + \\ \textcolor{red}{2x - 1} & - & - & - & 0 & + \\ \hline g'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ g(x) & \nearrow & 8e^{-\tfrac{3}{2}} & \searrow & 0 & \nearrow \end{array} \]

Grafen stiger fram til \( {x = -\dfrac{3}{2}}\text{,} \) synker fram til \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og stiger igjen. Den har derfor et toppunkt i \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og et bunnpunkt i \( {x = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) I videoen sammenligner vi bare de to funksjonsverdiene, men fortegnslinja viser også at grafen faktisk snur i begge punktene.

Vi får potensen alene og skriver \( 81 \) som en potens av \( 3\text{.} \) Når grunntallene er like, må eksponentene være like.

1. Få potensen alene 0:07 Vi flytter \( {-5} \) over til høyre side: \[ \begin{aligned} 3^{3x + 2} - 5 &= 76 \\ 3^{3x + 2} &= 81 \end{aligned} \]

2. Skriv 81 som en potens 0:19 Her må vi se at \( {81 = 9 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\text{.} \) Fire like faktorer kan vi skrive som en potens, som i videoen Hva er en Potens: \[ 81 = 3^4 \]

Det gir oss: \[ 3^{\textcolor{green}{3x + 2}} = 3^{\textcolor{green}{4}} \]

3. Sett eksponentene like 1:00 Grunntallet er \( 3 \) på begge sider, så eksponentene må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{3x + 2} &= \textcolor{green}{4} \\ 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd med logaritmereglene, så alle blir et tall ganget med \( \lg x\text{.} \) Så trekker vi sammen og løser for \( x\text{.} \)

1. Skriv opp logaritmereglene 0:03 Likningen gir bare mening når \( {x > 0}\text{.} \) Da forteller logaritmereglene oss at: \[ \begin{aligned} \lg(a^n) &= n \cdot \lg a \\ \lg\dfrac{a}{b} &= \lg a - \lg b \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Skriv om ledd for ledd 0:30 \( 3\lg x \) er allerede et tall ganget med \( \lg x\text{.} \)

\( \textcolor{blue}{2\lg x^2}\text{:} \) Med den første regelen er \( {\lg x^2 = 2\lg x}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{2\lg x^2} = 2 \cdot 2\lg x = \textcolor{blue}{\underline{4\lg x}} \]

\( \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}}\text{:} \) Fra definisjonen er \( {\lg 1 = 0}\text{,} \) siden \( {10^0 = 1}\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?. Med de to reglene får vi: \[ \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}} = \lg 1 - \lg x^9 = \textcolor{red}{\underline{-9\lg x}} \]

3. Trekk sammen og løs 1:30 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} 3\lg x + \textcolor{blue}{4\lg x} \textcolor{red}{{}- 9\lg x} &= 2 \\ -2\lg x &= 2 \\ \lg x &= -1 \end{aligned} \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen er \( {10^{\lg x} = x}\text{,} \) så: \[ x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \]Den er positiv, så den er en løsning.

Vi begynner med å sette inn \( {x = 3} \) i telleren og nevneren hver for seg, og ser hvilken form vi får.

1. Sett inn i teller og nevner 0:04 Vi setter inn \( {x = 3} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Teller: }} & 3(3^2 - 3) = 3 \cdot 6 = \textcolor{red}{18} \\ \textcolor{blue}{\text{Nevner: }} & 3 - 3 = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]Vi får ikke formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) men et tall delt på \( 0\text{.} \)

2. Se på hver side av 3 0:38 Telleren går mot \( \textcolor{red}{18}\text{,} \) mens nevneren går mot \( \textcolor{blue}{0}\text{.} \) Da blir brøken større og større i tallverdi, og fortegnet avhenger av hvilken side vi kommer fra, som i videoen Dele på null.

Fra høyre er \( {x > 3}\text{,} \) så nevneren er positiv. Fra venstre er nevneren negativ: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 3^+} \dfrac{3(x^2 - 3)}{x - 3} &= +\infty \\ \lim_{x \to 3^-} \dfrac{3(x^2 - 3)}{x - 3} &= -\infty \end{aligned} \]

Merk – Grenseverdien eksisterer ikke: Grensene fra høyre og fra venstre er ulike, så grenseverdien slik den står i oppgaven, eksisterer ikke. Det vi kan bestemme, er grensene fra hver side.

Vi begynner med å sette inn \( {x = 4} \) i telleren og nevneren hver for seg. Gir det formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) faktoriserer vi nevneren og forkorter.

1. Sett inn i teller og nevner 0:00 Vi setter inn \( {x = 4} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \text{Teller: } & \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0 \\ \text{Nevner: } & 4 - 4 = 0 \end{aligned} \]Både telleren og nevneren blir \( 0\text{,} \) så innsetting gir formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \)

2. Faktoriser nevneren 0:58 Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så vi faktoriserer nevneren. Konjugatsetningen forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{\sqrt{x}}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}}\text{,} \) fordi \( {(\sqrt{x})^2 = x} \) og \( {2^2 = 4}\text{.} \) Det gir oss: \[ x - 4 = (\textcolor{blue}{\sqrt{x}} - \textcolor{red}{2})(\textcolor{blue}{\sqrt{x}} + \textcolor{red}{2}) \]

3. Forkort og sett inn 2:07 Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{\sqrt{x} - 2}} \) står både i telleren og i nevneren. Den er ikke \( 0 \) når \( {x \neq 4}\text{,} \) så vi kan forkorte den: \[ \dfrac{\textcolor{darkorange}{\sqrt{x} - 2}}{(\textcolor{darkorange}{\sqrt{x} - 2})(\sqrt{x} + 2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} \]

Det nye uttrykket gir ikke lenger formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi setter inn \( {x = 4}\text{:} \) \[ \lim_{x \to 4} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} = \dfrac{1}{\sqrt{4} + 2} = \dfrac{1}{4} \]

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{.} \) Den er kontinuerlig der hvis de to uttrykkene gir samme verdi i \( {x = 0}\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn i begge uttrykkene Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^2 + 2}}\text{.} \) Fra høyre, og i \( {x = 0}\text{,} \) gjelder \( \textcolor{red}{2e^x}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \textcolor{blue}{0^2 + 2} = \textcolor{blue}{2} \\ \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) &= \textcolor{red}{2e^0} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]Begge uttrykkene gir \( 2\text{,} \) så grafen henger sammen i \( {x = 0}\text{.} \)

Vi bruker at \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 0}\text{,} \) som vi fant i a).

En funksjon som er kontinuerlig der den skifter uttrykk, er deriverbar der bare hvis uttrykkene på hver side også har samme derivert.

1. Deriver hvert uttrykk Der funksjonen skifter uttrykk, er den deriverbar når grafen ikke har noen knekk: de deriverte fra hver side må være like, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med potensregelen er \( {(\textcolor{blue}{x^2 + 2})' = \textcolor{blue}{2x}}\text{,} \) og siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) er \( {(\textcolor{red}{2e^x})' = \textcolor{red}{2e^x}}\text{.} \)

2. Sammenlign de deriverte i skjøten I \( {x = 0} \) får vi: \[ \begin{aligned} \text{Fra venstre: } & \textcolor{blue}{2 \cdot 0} = \textcolor{blue}{0} \\ \text{Fra høyre: } & \textcolor{red}{2e^0} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

Stigningstallet er \( 0 \) fra venstre og \( 2 \) fra høyre. Grafen har altså en knekk i \( {x = 0}\text{,} \) så \( f \) er ikke deriverbar der.

Avstanden mellom Nils og Ahmad er lengden av vektoren \( \overrightarrow{NA}\text{.} \) Vi finner vektoren og bruker Pythagoras.

1. Finn vektoren fra N til A En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{NA} &= [x_A - x_N,\ y_A - y_N] \\ \overrightarrow{NA} &= [1 - (-1),\ 1 - 2] = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}] \end{aligned} \]

2. Bruk Pythagoras Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{NA}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} \\ |\overrightarrow{NA}| &= \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\overrightarrow{NA} = [2, -1]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

To vektorer er parallelle når den ene er et tall ganget med den andre. Vi setter opp den sammenhengen og finner tallet og \( a\text{.} \)

1. Skriv opp kravet for parallelle vektorer To vektorer \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) er parallelle når det finnes et tall \( k \) slik at: \[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \]Tallet \( k \) kan også være negativt, og da peker vektorene motsatt vei. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 8B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

2. Finn tallet og a Vi kaller punktet til ballen \( {B(-1, a)}\text{.} \) Vektoren fra Jelena til ballen er: \[ \overrightarrow{JB} = [-1 - 0,\ a - 0] = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{a}] \]

I a) fant vi \( {\overrightarrow{NA} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}]}\text{,} \) så kravet er: \[ [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{a}] = k \cdot [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}] \]

Førstekoordinatene gir \( {\textcolor{blue}{-1} = k \cdot \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) altså \( {k = -\dfrac{1}{2}}\text{.} \) Andrekoordinatene gir da: \[ \textcolor{red}{a} = k \cdot (\textcolor{red}{-1}) = -\dfrac{1}{2} \cdot (-1) = \dfrac{1}{2} \]

\( M \) skal ligge \( \sqrt{10} \) meter fra Jelena, og vinkelen i \( A \) mellom \( \overrightarrow{AM} \) og \( \overrightarrow{AJ} \) skal være \( 90^\circ\text{.} \) Det gir to likninger for koordinatene til \( M\text{.} \)

1. Skriv opp de to kravene Vi kaller koordinatene til \( M \) for \( x \) og \( y\text{.} \) Med Pythagoras er avstanden fra \( J(0, 0) \) lik \( {\sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) så: \[ x^2 + y^2 = 10 \]

Vinkelen \( \angle MAJ \) ligger i \( A\text{.} \) Den er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av \( \overrightarrow{AM} \) og \( \overrightarrow{AJ} \) er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Her er \( {\overrightarrow{AM} = [\textcolor{blue}{x - 1}, \textcolor{red}{y - 1}]} \) og \( {\overrightarrow{AJ} = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{-1}]}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x - 1})(\textcolor{blue}{-1}) + (\textcolor{red}{y - 1})(\textcolor{red}{-1}) &= 0 \\ -x + 1 - y + 1 &= 0 \\ y &= 2 - x \end{aligned} \]

2. Løs likningssettet Vi setter \( {y = 2 - x} \) inn i \( {x^2 + y^2 = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 + (2 - x)^2 &= 10 \\ 2x^2 - 4x + 4 &= 10 \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} \]

Bokstaven \( a \) er brukt i b), så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-2}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = 3} \) eller \( {x = -1}\text{,} \) og med \( {y = 2 - x} \) punktene \( {(3, -1)} \) og \( {(-1, 3)}\text{.} \)

3. Velg punktet nærmest Nils Nils står i \( {N(-1, 2)}\text{.} \) Punktet \( {(-1, 3)} \) ligger \( 1 \) meter rett over ham. Punktet \( {(3, -1)} \) ligger \( 4 \) meter bortover og \( 3 \) meter nedover, altså \( {\sqrt{4^2 + 3^2} = 5} \) meter unna. Det nærmeste punktet er derfor \( {(-1, 3)}\text{.} \)

Byen har 3 millioner husstander, så halvparten er \( 1\,500\,000\text{.} \) Vi finner \( t \) når \( {S(t) = 1\,500\,000}\text{.} \)

1. Sett opp likningen Vi skal finne \( t \) når \( {S(t) = 1\,500\,000}\text{,} \) og vil få potensen \( {\textcolor{green}{e^{-0{,}08t}}} \) alene: \[ \dfrac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot \textcolor{green}{e^{-0{,}08t}}} = 1\,500\,000 \]

2. Få potensen alene Vi ganger med nevneren og deler på \( 1\,500\,000\text{.} \) Så trekker vi fra \( 1 \) og deler på \( 2500\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2500 \cdot \textcolor{green}{e^{-0{,}08t}} &= \dfrac{2\,500\,000}{1\,500\,000} = \dfrac{5}{3} \\ 2500 \cdot \textcolor{green}{e^{-0{,}08t}} &= \dfrac{2}{3} \\ \textcolor{green}{e^{-0{,}08t}} &= \dfrac{1}{3750} \end{aligned} \]

3. Ta ln på begge sider Siden \( {e^{-u} = \dfrac{1}{e^u}}\text{,} \) er \( {\textcolor{green}{e^{0{,}08t}} = 3750}\text{.} \) Vi tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln(e^u) = u \cdot \ln e = u}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{0{,}08t} &= \ln 3750 \\ t &= \dfrac{\ln 3750}{0{,}08} \approx 102{,}87 \end{aligned} \]Det tar omtrent \( 102{,}9 \) uker, så antallet passerer 1,5 millioner i løpet av uke 103.

1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 1\,500\,000} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: S(x) = 2500000 / (1 + 2500 e^(-0.08x)) g: y = 1500000

Skjæringspunktet er \( {A \approx (102{,}8689,\ 1\,500\,000)}\text{.} \) Det tar omtrent \( 102{,}9 \) uker.

\( S'(52) \) er hvor fort antallet husstander med batteriet vokser 52 uker etter lanseringen. Med kalkulator deriverer vi modellen for hånd først.

1. Deriver modellen med kjerneregelen Modellen har formen \[ S(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]med \( {\textcolor{red}{C} = \textcolor{red}{2\,500\,000}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2500}} \) og \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{0{,}08}}\text{.} \) Vi regner med bokstavene og setter inn tallene til slutt.

Vi kaller \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{.} \) Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}t})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \begin{aligned} S(t) &= \textcolor{red}{C} \cdot {\textcolor{darkorange}{(1 + w)}}^{-1} \\ w' &= -\textcolor{green}{k} \cdot w \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u} &= \textcolor{darkorange}{1 + w} & \textcolor{darkorange}{u'} &= w' = -\textcolor{green}{k}w \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} S'(t) &= \textcolor{red}{C} \cdot \left(-(1 + w)^{-2}\right) \cdot (-\textcolor{green}{k}w) \\ S'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn tallene I \( {t = 52} \) er: \[ w = \textcolor{blue}{2500} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}08} \cdot 52} \approx 39{,}0189 \]

Med alle desimalene fra kalkulatoren gir det: \[ \begin{aligned} S'(52) &\approx \dfrac{\textcolor{red}{2\,500\,000} \cdot \textcolor{green}{0{,}08} \cdot 39{,}0189}{40{,}0189^2} \\ &\approx 4872{,}76 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Den deriverte er stigningstallet til grafen i et punkt, altså hvor fort \( S \) vokser akkurat da, som i videoen Definisjonen til den deriverte. 52 uker etter lanseringen, altså omtrent ett år etter, øker antallet husstander med batteriet med omtrent 4873 per uke.

1. Regn ut den deriverte Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet og regner ut den deriverte i \( {t = 52}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: S(x) = 2500000 / (1 + 2500 e^(-0.08x)) d = S'(52)

GeoGebra gir \( {S'(52) \approx 4872{,}7573}\text{.} \) Ett år etter lanseringen øker antallet husstander med batteriet altså med omtrent 4873 per uke.

Vi bruker den deriverte av en logistisk modell fra b).

Vi bruker samme form som \( S\text{.} \) De tre antakelsene gir de tre tallene i modellen etter tur: antallet modellen flater ut mot, antallet ved lanseringen og når veksten er størst.

1. Finn C og a En logistisk modell har formen \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]der \( \textcolor{red}{C} \) er antallet modellen flater ut mot, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. PowBat vil totalt selge batteriet til 1,5 millioner husstander, så \( {\textcolor{red}{C} = \textcolor{red}{1\,500\,000}}\text{.} \)

Ved lanseringen er \( {t = 0} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(0) = \dfrac{\textcolor{red}{1\,500\,000}}{1 + \textcolor{blue}{a}} &= 500 \\ 1 + \textcolor{blue}{a} &= 3000 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2999} \end{aligned} \]

2. Finn når veksten er størst I b) fant vi den deriverte av en slik modell. Med \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \) er den: \[ F'(t) = \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \]

Vi viser at brøken \( {\dfrac{w}{(1 + w)^2}} \) aldri er større enn \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) og sammenligner derfor \( {(1 + w)^2} \) med \( 4w\text{:} \) \[ \begin{aligned} (1 + w)^2 - 4w &= 1 - 2w + w^2 \\ &= (1 - w)^2 \ge 0 \end{aligned} \]

Altså er \( {(1 + w)^2 \ge 4w}\text{.} \) Deler vi på \( {4(1 + w)^2}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{w}{(1 + w)^2} \le \dfrac{1}{4} \]med likhet bare når \( {w = 1}\text{.} \) Veksten er altså størst når \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = 1}\text{.} \)

3. Finn k Veksten skal være størst når \( {t = 60}\text{.} \) Vi ganger med \( e^{60\textcolor{green}{k}} \) og tar \( \ln \) på begge sider: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2999} \cdot e^{-60\textcolor{green}{k}} &= 1 \\ e^{60\textcolor{green}{k}} &= 2999 \\ 60\textcolor{green}{k} &= \ln 2999 \\ \textcolor{green}{k} &= \dfrac{\ln 2999}{60} \approx \textcolor{green}{0{,}1334} \end{aligned} \]

Setter vi inn tallene, får vi modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{1\,500\,000}}{1 + \textcolor{blue}{2999} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}1334}t}} \]

1. Løs kravene i CAS Veksten \( F'(t) \) er størst der grafen til \( F \) har vendepunkt, altså der \( {F''(t) = 0}\text{.} \) Vi skriver modellen med de ukjente \( a \) og \( k \) inn i CAS og løser \( {F(0) = 500} \) og \( {F''(60) = 0} \) sammen. Rad 3 er rad 2 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: F(t) := 1500000 / (1 + a e^(-k t)) Løs({F(0) = 500, F''(60) = 0}, {a, k})

CAS gir \( {a = 2999} \) og \( {k = \dfrac{\ln 2999}{60} \approx 0{,}1334}\text{.} \) Løsningen \( {k = 0} \) gir en modell som ikke vokser, så den forkaster vi.

En kontinuerlig funksjon har en omvendt funksjon på et intervall der den hele tiden vokser eller hele tiden avtar. Vi finner derfor ut hvor \( f \) vokser og hvor den avtar.

1. Finn nullpunktene til den deriverte Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ f'(x) = \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x = x^2 - 4x \]

Faktoriserer vi ut \( x\text{,} \) får vi \( {f'(x) = \textcolor{blue}{x}(\textcolor{red}{x - 4})}\text{.} \) Den er \( 0 \) når \( {x = 0} \) og når \( {x = 4}\text{.} \)

2. Lag en fortegnslinje Vi lager en fortegnslinje for \( f'(x)\text{,} \) som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: \[ \begin{array}{r|ccccc} x & & 0 & & 4 & \\ \hline \textcolor{blue}{x} & - & 0 & + & + & + \\ \textcolor{red}{x - 4} & - & - & - & 0 & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array} \]\( f \) vokser fram til \( {x = 0}\text{,} \) avtar fra \( {x = 0} \) til \( {x = 4} \) og vokser igjen.

3. Velg intervallet rundt 2 For å finne den omvendte funksjonen må vi kunne løse \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når hver verdi av \( y \) kommer fra bare én verdi av \( x\text{.} \)

\( 2 \) ligger mellom \( 0 \) og \( 4\text{,} \) der \( f \) hele tiden avtar. Tar vi med noe utenfor \( [0, 4]\text{,} \) snur grafen, og \( f \) får noen av verdiene to ganger. Det største intervallet er derfor \( [0, 4]\text{.} \)

Vi bruker at \( g \) er den omvendte funksjonen til \( f \) på \( {I = [0, 4]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Punktet \( {(-10, 3)} \) på grafen til \( g \) svarer til punktet \( {(3, -10)} \) på grafen til \( f\text{.} \) Stigningstallet til \( g \) finner vi fra stigningstallet til \( f \) i det punktet.

1. Sjekk punktet Vi setter \( {x = 3} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(3) = \dfrac{1}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 9 - 1 = -10 \]Siden \( 3 \) ligger i \( [0, 4]\text{,} \) er \( {g(-10) = 3}\text{.} \)

2. Deriver den omvendte funksjonen Siden \( g \) er den omvendte funksjonen til \( f\text{,} \) er \( {f(g(x)) = x}\text{.} \) Vi deriverer begge sider. Kjerneregelen forteller oss at: \[ \bigl(f(\textcolor{green}{g(x)})\bigr)' = f'(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot \textcolor{green}{g'(x)} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Høyre side, \( x\text{,} \) har derivert \( 1\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} f'(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot \textcolor{green}{g'(x)} &= 1 \\ g'(x) &= \dfrac{1}{f'(g(x))} \end{aligned} \]

3. Sett inn punktet I a) fant vi \( {f'(x) = x^2 - 4x}\text{,} \) så \( {f'(3) = 9 - 12 = -3}\text{.} \) Med \( {g(-10) = 3} \) får vi: \[ g'(-10) = \dfrac{1}{f'(3)} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3} \]

Vi bruker \( {f'(x) = x^2 - 4x} \) fra a) og \( {g'(x) = \dfrac{1}{f'(g(x))}} \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafen til \( g \) har stigningstall \( {-\dfrac{1}{3}} \) der grafen til \( f \) har stigningstall \( {-3}\text{.} \) Vi løser derfor \( {f'(x) = -3} \) for \( x \) i \( [0, 4]\text{.} \)

1. Finn punktene med samme stigningstall Fra b) er stigningstallet til grafen til \( g \) i punktet \( (f(x), x) \) lik \( \dfrac{1}{f'(x)}\text{.} \) Det er \( {-\dfrac{1}{3}} \) når \( {f'(x) = -3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 - 4x &= -3 \\ x^2 - 4x + 3 &= 0 \end{aligned} \]

Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i oppgaven, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ x = \dfrac{4 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{4 \pm 2}{2} \]Det gir \( {x = 3} \) eller \( {x = 1}\text{.} \)

2. Finn tangeringspunktet \( {x = 3} \) gir punktet \( {(-10, 3)} \) fra b). Den andre løsningen, \( {x = 1}\text{,} \) ligger i \( [0, 4]\text{:} \) \[ f(1) = \dfrac{1}{3} - 2 - 1 = -\dfrac{8}{3} \]Punktet \( {\left(1, -\dfrac{8}{3}\right)} \) på grafen til \( f \) svarer til punktet \( {\left(-\dfrac{8}{3}, 1\right)} \) på grafen til \( g\text{.} \)

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og farten er lengden av fartsvektoren. Til slutt gjør vi kilometer per time om til knop.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( \vec{r}\,'(t)\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg, og konstantene \( 1 \) og \( 4 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \vec{r}\,'(t) = [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{8}] \]

2. Regn ut farten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Enhetene er kilometer og timer, så farten er: \[ \begin{aligned} |\vec{r}\,'(t)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{red}{8}^2} = \sqrt{89} \\ |\vec{r}\,'(t)| &\approx 9{,}434\,\text{km/h} \end{aligned} \]

3. Gjør om til knop 1 knop er 1852 meter per time, altså \( 1{,}852\,\text{km/h}\text{.} \) Vi deler farten på \( 1{,}852\text{:} \) \[ \dfrac{\sqrt{89}}{1{,}852} \approx 5{,}09 \]Fiskebåten holder omtrent \( 5{,}1 \) knop.

1. Regn ut i CAS Vi deriverer posisjonen i CAS og regner ut lengden av fartsvektoren. Den siste raden deler på 1,852 km/h med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (1 + 5t, 4 + 8t) v(t) := r'(t) Lengde(v(t)) Lengde(v(t))*1000/1852

CAS gir fartsvektoren \( (5, 8)\text{,} \) farten \( \sqrt{89} \) km/h og omtrent \( 5{,}0939 \) knop.

Vi skriver avstanden mellom båten og fyret som en funksjon av \( t \) og finner der den er minst. Det er enklest å finne bunnpunktet til kvadratet av avstanden.

1. Skriv opp avstanden Vektoren fra fyret til båten er \( {\vec{r}(t) - [4, 7]}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &[1 + 5t - 4,\ 4 + 8t - 7] \\ &= [\textcolor{blue}{5t - 3}, \textcolor{red}{8t - 3}] \end{aligned} \]

Avstanden \( d(t) \) er lengden av den, som vi finner med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor. Vi ganger ut med andre kvadratsetning, \( {(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} d(t)^2 &= (\textcolor{blue}{5t - 3})^2 + (\textcolor{red}{8t - 3})^2 \\ d(t)^2 &= 89t^2 - 78t + 18 \end{aligned} \]

2. Finn når avstanden er minst Avstanden er minst når \( d(t)^2 \) er minst, fordi \( {d(t) \ge 0}\text{.} \) Vi deriverer og setter den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \left(d(t)^2\right)' = 178t - 78 &= 0 \\ t &= \dfrac{39}{89} \end{aligned} \]Grafen til \( d(t)^2 \) er en parabel som vender opp, så det er et bunnpunkt.

3. Regn ut avstanden Vi setter \( {t = \dfrac{39}{89}} \) inn: \[ \begin{aligned} d^2 &= 89 \cdot \dfrac{39^2}{89^2} - 78 \cdot \dfrac{39}{89} + 18 = \dfrac{81}{89} \\ d &= \sqrt{\dfrac{81}{89}} = \dfrac{9}{\sqrt{89}} \approx 0{,}954 \end{aligned} \]Den minste avstanden er omtrent \( 0{,}954 \) km, altså omtrent 954 meter.

1. Finn bunnpunktet i CAS Vi skriver avstanden mellom båten og fyret som en funksjon i CAS, setter den deriverte lik \( 0 \) og regner ut avstanden. Rad 4 er rad 3 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: d(t) := Avstand((1 + 5t, 4 + 8t), (4, 7)) Løs(d'(t) = 0, t) d(39/89)

CAS gir \( {t = \dfrac{39}{89}} \) og den minste avstanden \( {\dfrac{9}{89}\sqrt{89} \approx 0{,}954} \) km.

Båten treffer stimen bare hvis de er på samme sted til samme tid. Da må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \)

1. Skriv opp posisjonen til stimen Stimen har den samme farten hele tiden, så for hver time flytter den seg \( 4 \) km bortover og \( 11 \) km oppover, som \( \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \) i videoen Parametrisering, eksempel oppgave 1. Den starter i \( {(1, -3)}\text{,} \) så etter \( t \) timer er den i: \[ [\textcolor{blue}{1 + 4t},\ \textcolor{red}{-3 + 11t}] \]

2. Sett koordinatene like Båten er i \( {[\textcolor{blue}{1 + 5t},\ \textcolor{red}{4 + 8t}]}\text{.} \) Førstekoordinatene er like når: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1 + 5t} &= \textcolor{blue}{1 + 4t} \\ t &= 0 \end{aligned} \]

Da er andrekoordinatene \( {\textcolor{red}{4 + 8 \cdot 0} = 4} \) og \( {\textcolor{red}{-3 + 11 \cdot 0} = -3}\text{,} \) som ikke er like. Førstekoordinatene er altså like bare når andrekoordinatene er ulike, så båten og stimen er aldri på samme sted til samme tid.

Vi bruker posisjonen til fiskestimen fra c), \( {[1 + 4t,\ -3 + 11t]}\text{.} \)

Båten går i retning langs \( {\vec{u} = [6, 4]} \) med en ukjent fart, så fartsvektoren er \( {k \cdot \vec{u}}\text{.} \) Vi finner \( k \) slik at båten og stimen er på samme sted til samme tid.

1. Skriv opp posisjonen til båten Fartsvektoren er \( {\textcolor{green}{k} \cdot [6, 4] = [6\textcolor{green}{k}, 4\textcolor{green}{k}]}\text{,} \) der \( {\textcolor{green}{k} > 0}\text{.} \) Båten starter i \( {(-2, 0)}\text{,} \) så etter \( t \) timer er den i: \[ [\textcolor{blue}{-2 + 6\textcolor{green}{k}t},\ \textcolor{red}{4\textcolor{green}{k}t}] \]

2. Sett koordinatene like Båten og stimen skal være på samme sted til samme tid. Førstekoordinatene er blå og andrekoordinatene røde: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-2 + 6\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{blue}{1 + 4t} \\ \textcolor{red}{4\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{red}{-3 + 11t} \end{aligned} \]

Den andre likningen gir \( {\textcolor{green}{k}t = \dfrac{11t - 3}{4}}\text{.} \) Vi setter det inn i den første og ganger med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2 + \dfrac{3(11t - 3)}{2} &= 1 + 4t \\ -4 + 33t - 9 &= 2 + 8t \\ 25t &= 15 \\ t &= \dfrac{3}{5} = 0{,}6 \end{aligned} \]

Da er \( {\textcolor{green}{k}t = \dfrac{11 \cdot 0{,}6 - 3}{4} = 0{,}9}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{k} = \dfrac{0{,}9}{0{,}6} = \textcolor{green}{\dfrac{3}{2}}}\text{.} \)

3. Regn ut farten Fartsvektoren er \( {\textcolor{green}{\dfrac{3}{2}} \cdot [6, 4] = [9, 6]}\text{.} \) Med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor, er farten: \[ \begin{aligned} |[9, 6]| &= \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{117} \\ |[9, 6]| &= 3\sqrt{13} \approx 10{,}82 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 10{,}8\,\text{km/h}\text{,} \) eller \( {\dfrac{10{,}82}{1{,}852} \approx 5{,}8} \) knop.

1. Løs likningssettet i CAS Vi løser de to likningene for \( k \) og \( t \) i CAS, som i videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Så regner vi ut lengden av fartsvektoren \( {\dfrac{3}{2} \cdot [6, 4]} \) og deler på 1,852 km/h. Rad 3 er rad 2 med knappen ≈, og rad 4 regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs({-2 + 6k*t = 1 + 4t, 4k*t = -3 + 11t}, {k, t}) Lengde(3/2*Vektor((6, 4))) Lengde(3/2*Vektor((6, 4)))*1000/1852

CAS gir \( {k = \dfrac{3}{2}} \) og \( {t = \dfrac{3}{5}}\text{,} \) og farten \( {3\sqrt{13} \approx 10{,}8167} \) km/h, altså omtrent \( 5{,}8405 \) knop.

Vi skriver opp tangenten i et punkt \( {x = b} \) på grafen, og krever at den går gjennom \( A(0, 0)\text{.} \) Det gir en likning for \( b\text{.} \)

1. Skriv opp tangenten i et punkt Vi kaller førstekoordinaten til \( B \) for \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) Tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{b}} \) har stigningstallet \( f'(\textcolor{blue}{b}) \) og går gjennom punktet \( (\textcolor{blue}{b}, f(\textcolor{blue}{b}))\text{:} \) \[ y = f'(\textcolor{blue}{b}) \cdot (x - \textcolor{blue}{b}) + f(\textcolor{blue}{b}) \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {f'(\textcolor{blue}{b}) = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}}}\text{.} \) Det gir tangenten: \[ y = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}} \cdot (x - \textcolor{blue}{b}) + \ln \textcolor{blue}{b} \]

2. Krev at tangenten går gjennom A Tangenten går gjennom \( A(0, 0) \) når \( {y = 0} \) for \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= \dfrac{1}{\textcolor{blue}{b}} \cdot (0 - \textcolor{blue}{b}) + \ln \textcolor{blue}{b} \\ 0 &= -1 + \ln \textcolor{blue}{b} \\ \ln \textcolor{blue}{b} &= 1 \end{aligned} \]

Fra definisjonen er \( {\ln e = 1}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = e}\text{.} \) Andrekoordinaten er \( {f(e) = \ln e = 1}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Tangenten i \( {x = b} \) er \[ g(x) = f'(b) \cdot (x - b) + f(b) \]og den går gjennom origo når \( {g(0) = 0}\text{.} \) Vi skriver funksjonen og tangenten inn i CAS og løser likningen med Løs, som gir eksakte svar:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := ln(x) g(x) := f'(b)*(x - b) + f(b) Løs(g(0) = 0, b) f(e)

CAS gir \( {b = e} \) og \( {f(e) = 1}\text{,} \) så \( {B = (e, 1)}\text{.} \)

Vi bruker \( B(e, 1) \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( C \) ligger på \( {y = x}\text{,} \) så \( {C = (c, c)}\text{.} \) Vinkelen i \( C \) er rett når \( {\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0}\text{,} \) og arealet er halvparten av produktet av katetene.

1. Skriv opp kravet Vinkelen \( \angle ACB \) er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB} \) er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Begge vektorene starter i \( C(c, c)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [0 - c,\ 0 - c] = [\textcolor{blue}{-c}, \textcolor{red}{-c}] \\ \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{e - c}, \textcolor{red}{1 - c}] \end{aligned} \]

2. Finn C Plugger vi dette inn og faktoriserer ut \( {-c}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{-c})(\textcolor{blue}{e - c}) + (\textcolor{red}{-c})(\textcolor{red}{1 - c}) &= 0 \\ -c\,(e + 1 - 2c) &= 0 \end{aligned} \]

\( {c = 0} \) gir \( {C = A}\text{,} \) og da er det ingen trekant. Altså er \( {e + 1 - 2c = 0}\text{,} \) så: \[ c = \dfrac{e + 1}{2} \]

3. Regn ut arealet Vinkelen i \( C \) er rett, så \( CA \) og \( CB \) er katetene, og arealet \( T \) er halvparten av produktet av dem. Med \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) er \( {\overrightarrow{CB} = \left[\dfrac{e - 1}{2},\ \dfrac{1 - e}{2}\right]}\text{,} \) og med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{CA}| &= \sqrt{2c^2} = \dfrac{e + 1}{\sqrt{2}} \\ |\overrightarrow{CB}| &= \sqrt{2 \cdot \left(\dfrac{e - 1}{2}\right)^2} = \dfrac{e - 1}{\sqrt{2}} \end{aligned} \]

Konjugatsetningen, \( {(e + 1)(e - 1) = e^2 - 1}\text{,} \) gir da: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{e + 1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{e - 1}{\sqrt{2}} = \dfrac{e^2 - 1}{4} \]

1. Løs i CAS Vi fortsetter i CAS-vinduet fra a) og skriver \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB} \) inn som \( u \) og \( w\text{,} \) løser \( {u \cdot w = 0} \) og setter \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) inn i arealet med ByttUt. Rad 9 er rad 8 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: u := Vektor((-c, -c)) w := Vektor((e - c, 1 - c)) Løs(u*w = 0, c) ByttUt(1/2*Lengde(u)*Lengde(w), c = (e + 1)/2)

CAS gir \( {c = \dfrac{e + 1}{2}} \) og arealet \( {\dfrac{1}{4}e^2 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 - 1}{4} \approx 1{,}5973}\text{.} \) Løsningen \( {c = 0} \) gir \( {C = A}\text{,} \) så den forkaster vi.