Eksamensoppgaver etter tema

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:21 Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) = 0 \]Da må \( \textcolor{red}{e^x} \) eller \( {\textcolor{blue}{6 - e^x}} \) være \( 0\text{.} \)

\( \textcolor{red}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 1:12 Setter vi \( {\textcolor{blue}{6 - e^x} = 0}\text{,} \) får vi: \[ e^x = 6 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) = \ln 6 \]

Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{x} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 6 \\ x &= \ln 6 \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Deriver med produktregelen 0:28 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x} \) og konstanten \( 6 \) har derivert \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{6 - e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^x}) \]

2. Faktoriser 2:05 Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) og trekker sammen det som står i parentesen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - e^x - e^x) \\ f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - 2e^x) \end{aligned} \]

Vi kan faktorisere ut \( 2 \) også, siden \( {6 = 2 \cdot 3}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = 2\textcolor{darkorange}{e^x}(3 - e^x) \]Det er uttrykket i oppgaven.

Vi bruker nullpunktet fra a), og uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Om det er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av funksjonsverdiene på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:16 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{3 - e^x}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Derfor må \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 2:07 Vi flytter \( e^x \) over til høyre side: \[ e^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser og \( {\ln e = 1} \) gir \( {\ln\left(e^x\right) = x \cdot \ln e = x}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^x\right) &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]

3. Finn y-koordinaten 2:52 For å finne koordinatene plugger vi \( {x = \ln 3} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Siden \( {\textcolor{green}{e^{\ln 3}} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f(\ln 3) &= \textcolor{green}{e^{\ln 3}}(6 - \textcolor{green}{e^{\ln 3}}) \\ f(\ln 3) &= \textcolor{green}{3} \cdot (6 - \textcolor{green}{3}) = 9 \end{aligned} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 4:15 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \ln 3}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = 0} \) og nullpunktet \( {x = \ln 6} \) fra a): \[ f(0) = e^0(6 - e^0) = 1 \cdot 5 = 5 \]

Siden \( \ln \) er voksende, er \( {0 = \ln 1 < \ln 3 < \ln 6}\text{,} \) og \( {f(\ln 6) = 0}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \ln 3 & \ln 6 \\ \hline f(x) & 5 & 9 & 0 \end{array} \]

Grafen går opp fra \( 5 \) til \( 9 \) og ned igjen til \( 0\text{.} \) Punktet \( (\ln 3,\ 9) \) er derfor et toppunkt, og siden grafen bare snur der, har den ingen bunnpunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Siden \( {\textcolor{darkorange}{2e^x} > 0}\text{,} \) har \( f'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x}}\text{:} \) positiv når \( {x < \ln 3} \) og negativ når \( {x > \ln 3}\text{.} \) :::fortegnsskjema {"points": [1.0986122886681098], "labels": ["\\ln 3"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{3 - e^x}", "expr": "3 - e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(3 - e^x)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \ln 3} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så \( (\ln 3,\ 9) \) er et toppunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

Vi tar for oss uttrykkene hver for seg, og finner verdien, eller to tall den ligger mellom. Så sorterer vi dem.

1. Regn ut de to første uttrykkene 0:25 Fra definisjonen av logaritmer vet vi at \( \log_a b \) er tallet vi må opphøye grunntallet \( a \) i for å få \( b\text{:} \) \[ \log_a b = c \quad \text{betyr at} \quad a^c = b \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

\( \textcolor{blue}{\log_2 8}\text{:} \) Her holder det med hoderegning, siden \( {2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\underline{\log_2 8 = 3}} \]

\( \textcolor{red}{e^{3\ln 1}}\text{:} \) Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) siden \( {e^0 = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} = e^{3 \cdot 0} = e^0 = \textcolor{red}{\underline{1}} \]

2. Avgrens de to siste uttrykkene 1:49 \( \textcolor{green}{\lg 7}\text{:} \) Når det ikke står noe grunntall, er grunntallet \( 10\text{.} \) Her bruker vi litt logikk: logaritmen er voksende, og \( {1 < 7 < 10}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{green}{\underline{0 = \lg 1 < \lg 7 < \lg 10 = 1}} \]

\( \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}}\text{:} \) Vi regner ut potensen under roten, \( {3^3 = 27}\text{.} \) Fjerderoten av \( 27 \) er tallet \( c \) der \( {c \cdot c \cdot c \cdot c = 27}\text{.} \) Siden \( {2^4 = 16} \) og \( {3^4 = 81}\text{,} \) og \( {16 < 27 < 81}\text{,} \) er: \[ \textcolor{darkorange}{\underline{2 = \sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{3^3} < \sqrt[4]{81} = 3}} \]

3. Sorter verdiene 4:27 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\lg 7} &< 1 = \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} \\ \textcolor{red}{e^{3\ln 1}} &< 2 < \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}} \\ \textcolor{darkorange}{\sqrt[4]{3^3}} &< 3 = \textcolor{blue}{\log_2 8} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd så enkelt som mulig med logaritmereglene, og trekker sammen.

1. Skriv opp logaritmereglene 0:14 Uttrykket i oppgaven er bare definert når \( {a > 0} \) og \( {b > 0}\text{.} \) Da forteller logaritmereglene oss at: \[ \begin{aligned} \lg(a \cdot b) &= \lg a + \lg b \\ \lg\dfrac{a}{b} &= \lg a - \lg b \\ \lg(a^n) &= n \cdot \lg a \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Skriv om ledd for ledd 0:49 \( \textcolor{blue}{\lg(ab)} \) kan vi skrive om som \( {\textcolor{blue}{\underline{\lg a + \lg b}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \) kan vi skrive om som \( {\textcolor{red}{\underline{\lg a - \lg b}}}\text{.} \)

\( \textcolor{green}{\lg(100b^3)} \) kan vi skrive om som \( {\lg 100 + \lg(b^3)}\text{.} \) Fra definisjonen vet vi at \( {\lg 100 = 2}\text{,} \) siden \( {10^2 = 100}\text{,} \) og med den siste regelen er \( {\lg(b^3) = 3\lg b}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\lg(100b^3)} = \textcolor{green}{\underline{2 + 3\lg b}} \]

3. Trekk sammen 3:00 Vi trekker sammen de to første leddene. Minus foran \( \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \) gjelder begge leddene den blir til: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\lg(ab)} - \textcolor{red}{\lg\dfrac{a}{b}} \\ &= \textcolor{blue}{\lg a + \lg b} - (\textcolor{red}{\lg a - \lg b}) \\ &= \lg a + \lg b - \lg a + \lg b \\ &= 2\lg b \end{aligned} \]

Legger vi til det siste leddet, får vi: \[ 2\lg b + \textcolor{green}{2 + 3\lg b} = 2 + 5\lg b \]

Vi kan stoppe her, eller samle alt i én logaritme. Går vi baklengs med reglene, er \( {2 = \lg 100} \) og \( {5\lg b = \lg(b^5)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 + 5\lg b &= \lg 100 + \lg(b^5) \\ 2 + 5\lg b &= \lg(100b^5) \end{aligned} \]

Påstanden gjelder alle funksjoner på denne formen, så vi undersøker om telleren kan være \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) der nevneren er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet for vertikal asymptote 0:23 Før vi setter i gang, må vi vite når en brøk har en vertikal asymptote. Det har den i \( {x = d} \) når: \[ \text{nevneren} = 0 \quad \text{og} \quad \text{telleren} \neq 0 \]Nevneren \( {x - d} \) er \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) men ingenting hindrer at telleren også er det.

2. Let etter et moteksempel 0:47 Påstanden sier «alle». Finner vi én funksjon på denne formen som ikke har en vertikal asymptote i \( {x = d}\text{,} \) er påstanden usann. Det kalles et moteksempel.

Vi velger en teller med \( {\textcolor{darkorange}{x - d}} \) som faktor ved å gange nevneren med seg selv, som i andre kvadratsetning: \[ (\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d) = x^2 - 2dx + d^2 \]Hvis du er usikker på kvadratsetningene, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Det står \( 1 \) foran \( x^2\text{,} \) \( {-2d} \) foran \( x\text{,} \) og konstantleddet er \( d^2\text{.} \) Det er formen \( {ax^2 + bx + c} \) med: \[ a = 1, \quad b = -2d, \quad c = d^2 \]

3. Forkort brøken 3:07 Med disse tallene kan vi skrive om funksjonsuttrykket og forkorte \( {\textcolor{darkorange}{x - d}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{x^2 - 2dx + d^2}{x - d} \\ f(x) &= \dfrac{(\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d)}{\textcolor{darkorange}{x - d}} \\ f(x) &= x - d, \quad x \neq d \end{aligned} \]

Dette gir en rett linje med et hull i \( {x = d}\text{,} \) som i eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Når \( x \) nærmer seg \( d\text{,} \) går \( f(x) \) mot \( 0\text{,} \) ikke mot uendelig, så \( {x = d} \) er ingen vertikal asymptote. Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {a = b = c = 0}\text{.} \)

For å finne ut om påstanden stemmer, finner vi den omvendte funksjonen selv og sammenligner. Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er verdimengden til \( g\text{.} \)

1. Løs likningen for x 1:05 For å finne den omvendte funksjonen skriver vi \( {y = e^{x - 3}} \) og løser for \( x\text{.} \) Vi starter med å ta \( \ln \) på begge sider: \[ \ln y = \ln\left(e^{\textcolor{green}{x - 3}}\right) \]

Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( {\textcolor{green}{x - 3}} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln y &= (\textcolor{green}{x - 3}) \cdot \ln e \\ \ln y &= x - 3 \\ x &= \ln y + 3 \end{aligned} \]

2. Finn definisjonsmengden 2:35 Vi kan ikke ta \( \ln \) av \( 0 \) eller av et negativt tall, så \( {y > 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på hvorfor, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det passer med at \( {e^{x - 3}} \) er positiv for alle \( x \) og tar alle positive verdier. Verdimengden til \( g \) blir definisjonsmengden til den omvendte funksjonen: \[ D_{g^{-1}} = V_g = \langle 0, \rightarrow \rangle \]

3. Sammenlign med påstanden 3:00 Vi bytter navn på variabelen og skriver den omvendte funksjonen med \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} g^{-1}(x) &= \ln(x) + 3 \\ D_{g^{-1}} &= \langle 0, \rightarrow \rangle \end{aligned} \]Både uttrykket og definisjonsmengden er det påstanden sier. Påstanden er derfor sann.

Vinkel \( BAC \) er vinkelen mellom vektorene \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet av dem.

1. Bruk at skalarproduktet er null 0:55 To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{.} \) Vinkelen i \( A \) er derfor \( 90^\circ \) når: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Finn vektorene fra A 1:34 En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?. Begge vektorene starter i \( {A(1, -3)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [4 - 1,\ 1 - (-3)] = [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{4}] \\ \overrightarrow{AC} &= [-2 - 1,\ a - (-3)] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{-3}, \textcolor{red}{a + 3}] \end{aligned} \]

3. Sett skalarproduktet lik null 3:19 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{blue}{-3}) + \textcolor{red}{4} \cdot (\textcolor{red}{a + 3}) &= 0 \\ -9 + 4a + 12 &= 0 \\ 4a &= -3 \\ a &= -\dfrac{3}{4} \end{aligned} \]

Vi regner ut lengden av begge vektorene og setter dem like. Det gir en andregradslikning for \( a\text{.} \)

1. Regn ut begge lengdene 0:12 Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Vektorene fra \( A \) finner vi ved å trekke koordinatene til \( A \) fra koordinatene til sluttpunktet: \( {\overrightarrow{AB} = [3, 4]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [-3, a + 3]}\text{.} \) Siden \( {(a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{(-3)^2 + (a + 3)^2} \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{a^2 + 6a + 18} \end{aligned} \]

2. Sett lengdene like 2:55 Med \( {|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|} \) får vi: \[ \sqrt{a^2 + 6a + 18} = 5 \]

Begge sider er positive, så vi kan kvadrere begge sider: \[ \begin{aligned} a^2 + 6a + 18 &= 25 \\ a^2 + 6a - 7 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs med abc-formelen 4:00 Bokstaven \( a \) er den ukjente her, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}a^2 + \textcolor{red}{q}a + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ a = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{6}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-7}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-\textcolor{red}{6} \pm \sqrt{\textcolor{red}{6}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-7})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ a &= \dfrac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{-6 \pm 8}{2} \end{aligned} \]

Det gir to løsninger: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-6 + 8}{2} = 1 \\ a &= \dfrac{-6 - 8}{2} = -7 \end{aligned} \]

Vi går fra \( A \) til \( B \) og fra \( P \) til \( R \) via \( O\text{,} \) der vi kjenner vektorene.

1. Finn vektoren fra A til B 1:05 Vi går fra \( A \) til \( O \) og videre fra \( O \) til \( B\text{.} \) Å gå fra \( A \) til \( O \) er det motsatte av \( {\overrightarrow{OA} = \textcolor{blue}{\vec{a}}}\text{,} \) altså \( {-\textcolor{blue}{\vec{a}}}\text{:} \) \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\textcolor{blue}{\vec{a}} + \textcolor{red}{\vec{b}} = \textcolor{red}{\vec{b}} - \textcolor{blue}{\vec{a}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer.

2. Finn vektoren fra P til R 2:53 \( P \) ligger \( \dfrac{2}{3} \) av veien fra \( O \) til \( A\text{,} \) og \( R \) ligger \( \dfrac{2}{3} \) av veien fra \( O \) til \( B\text{.} \) Når vi ganger en vektor med et positivt tall, beholder den retningen, og lengden blir ganget med tallet, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \overrightarrow{OP} = \dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{\vec{a}} \qquad \overrightarrow{OR} = \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{\vec{b}} \]

Vi går fra \( P \) til \( O \) og videre til \( R\text{,} \) på samme måte som for \( \overrightarrow{AB}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{PR} &= \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OR} = -\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{\vec{a}} + \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{\vec{b}} \\ \overrightarrow{PR} &= \dfrac{2}{3}(\textcolor{red}{\vec{b}} - \textcolor{blue}{\vec{a}}) \end{aligned} \]

Vi bruker uttrykkene for \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{PR} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

I uttrykkene fra a) ser vi etter et tall \( k \) slik at \( {\overrightarrow{PR} = k \cdot \overrightarrow{AB}}\text{.} \)

1. Skriv opp når vektorer er parallelle 0:08 To vektorer \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) som ikke er nullvektorer, er parallelle når det finnes et tall \( k \) slik at: \[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \]Et tall ganget med en vektor gir en vektor langs samme linje, som i videoen Hva er en Skalar?.

2. Bruk uttrykkene fra a) 1:00 I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \textcolor{green}{\vec{b} - \vec{a}} \\ \overrightarrow{PR} &= \dfrac{2}{3}(\textcolor{green}{\vec{b} - \vec{a}}) \end{aligned} \]

Parentesen er \( \textcolor{green}{\overrightarrow{AB}}\text{,} \) så: \[ \overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \textcolor{green}{\overrightarrow{AB}} \]Det er formen \( {\vec{u} = k \cdot \vec{v}} \) med \( {k = \dfrac{2}{3}}\text{,} \) så vektorene er parallelle.

Vi bruker at \( {\overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB}}\text{,} \) som vi viste i b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når en vektor ganges med \( \dfrac{2}{3}\text{,} \) blir lengden også ganget med \( \dfrac{2}{3}\text{.} \) Vi viser det med koordinater, og løser for lengden av \( \overrightarrow{AB}\text{.} \)

1. Skriv lengdene med koordinater 0:48 I b) viste vi at: \[ \overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB} \]

Vi kaller koordinatene til \( \overrightarrow{AB} \) for \( \textcolor{blue}{x} \) og \( \textcolor{red}{y}\text{.} \) Da blir begge koordinatene til \( \overrightarrow{PR} \) ganget med \( \dfrac{2}{3}\text{:} \) \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}] \qquad \overrightarrow{PR} = \left[\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{x}, \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{y}\right] \]

Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{x}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{3}\textcolor{red}{y}\right)^2} \end{aligned} \]

2. Forenkle kvadratroten 3:16 Vi kvadrerer parentesene, setter \( \dfrac{4}{9} \) utenfor og bruker at \( {\sqrt{m \cdot n} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{n}} \) for \( {m, n \ge 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\dfrac{4}{9}\textcolor{blue}{x}^2 + \dfrac{4}{9}\textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\dfrac{4}{9}} \cdot \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \dfrac{2}{3}|\overrightarrow{AB}| \end{aligned} \]

3. Sett inn lengden og løs 4:19 Vi setter inn \( {|\overrightarrow{PR}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{2}{3}|\overrightarrow{AB}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \]

Ganger vi begge sider med \( \dfrac{3}{2}\text{,} \) får vi: \[ |\overrightarrow{AB}| = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Linjestykket \( AB \) er like langt som vektoren \( \overrightarrow{AB}\text{.} \)

Alternativ metode: Lengden av et tall ganget med en vektor For et tall \( k \) og en vektor \( \vec{v} \) er \( {|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|}\text{.} \) Da gir \( {\overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB}} \) med en gang: \[ |\overrightarrow{AB}| = \dfrac{3}{2} \cdot |\overrightarrow{PR}| = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Regelen sparer utregningen med koordinater.

Vi leser hva linje 4 til 6 regner ut, og sammenligner brøken med definisjonen av den deriverte.

1. Les hva de to funksjonene gjør Linje 1 og 2 definerer funksjonen \( \textcolor{blue}{f}\text{,} \) og linje 4 til 6 definerer \( \textcolor{red}{g}\text{.} \) Linje 5 setter \( {h = 0{,}000001}\text{,} \) og linje 6 returnerer: \[ \textcolor{red}{g(x)} = \dfrac{\textcolor{blue}{f(x + h)} - \textcolor{blue}{f(x)}}{h} \]

2. Sammenlign med definisjonen av den deriverte Brøken er stigningstallet til linja gjennom punktene \( (x, f(x)) \) og \( {(x + h, f(x + h))} \) på grafen, en sekant. Den deriverte er grenseverdien av den samme brøken når \( h \) går mot \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{blue}{f(x + h)} - \textcolor{blue}{f(x)}}{h} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Koden tar ikke grenseverdien, men bruker en svært liten \( h\text{.} \) Da er sekanten nesten lik tangenten, og \( \textcolor{red}{g(x)} \) er nesten lik \( f'(x)\text{.} \)

Vi bruker at \( {g(x) \approx f'(x)}\text{,} \) som vi fant i a).

Programmet skriver bare ut der \( g(x)\text{,} \) og dermed \( f'(x)\text{,} \) er nesten \( 0\text{.} \) Fortegnet til den deriverte like før og like etter punktet avgjør hva slags punkt det er.

1. Finn ut når programmet skriver ut I a) fant vi at: \[ g(x) \approx f'(x) \]Løkka i linje 13 til 24 går gjennom \( x \) fra \( {-4} \) til \( 4 \) med steg \( {\texttt{dx} = 0{,}002}\text{.} \) Programmet kan bare skrive ut når testen i linje 15 er sann, altså når \( {|g(x)| < 0{,}000001}\text{.} \) Da er \( {f'(x) \approx 0}\text{,} \) og grafen har en vannrett tangent.

2. Tolk de tre testene Linje 17, 20 og 23 sammenligner den deriverte like før punktet, \( {\textcolor{green}{g(x - \texttt{dx})}}\text{,} \) med den like etter, \( {\textcolor{darkorange}{g(x + \texttt{dx})}}\text{.} \)

Linje 17 er sann når produktet \( {\textcolor{green}{g(x - \texttt{dx})} \cdot \textcolor{darkorange}{g(x + \texttt{dx})}} \) er positivt, altså når den deriverte har samme fortegn på begge sider. Da fortsetter grafen samme vei gjennom punktet, og det er et terrassepunkt.

Kommer programmet til linje 20, har den deriverte ulikt fortegn på de to sidene. Linje 20 er sann når den går fra minus til pluss: grafen går ned og så opp, og det er et bunnpunkt. Linje 23 er det motsatte, fra pluss til minus, og det er et toppunkt.

I tabellen står linja som skriver ut, fortegnet til \( f' \) før og etter punktet, og hva slags punkt det er: \[ \begin{array}{c|cc|l} 18 & + & + & \text{terrassepunkt} \\ 18 & - & - & \text{terrassepunkt} \\ 21 & - & + & \text{bunnpunkt} \\ 24 & + & - & \text{toppunkt} \end{array} \]

Vi bruker fra a) og b) at programmet skriver ut der \( {f'(x) \approx 0}\text{,} \) og hva linje 18, 21 og 24 betyr.

Vi deriverer \( f\text{,} \) finner hvor \( {f'(x) = 0}\text{,} \) og ser på fortegnet til \( f' \) på hver side. Fortegnet avgjør hvilken linje som skriver ut.

1. Deriver funksjonen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 + \dfrac{5}{3} \cdot 2x + \dfrac{25}{9} \\ f'(x) &= x^2 + \dfrac{10}{3}x + \dfrac{25}{9} \end{aligned} \]

2. Faktoriser den deriverte Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Vi bruker den baklengs, som i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}}\text{,} \) fordi \( {\textcolor{red}{b}^2 = \dfrac{25}{9}} \) og \( {2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} = \dfrac{10}{3}x}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = \left(\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right)^2 \]

3. Avgjør fortegnet rundt nullpunktet Et kvadrat er aldri negativt, og \( {\left(x + \dfrac{5}{3}\right)^2} \) er \( 0 \) bare i \( {x = -\dfrac{5}{3}}\text{,} \) som ligger mellom \( {-4} \) og \( 4\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) > 0 \quad \text{for } x \neq -\dfrac{5}{3} \]Den deriverte er positiv på begge sider av punktet, så grafen stiger både før og etter det. Det er et terrassepunkt.

Siden \( {g(x) \approx f'(x)}\text{,} \) er begge faktorene i linje 17 positive, og produktet er positivt. Programmet skriver derfor ut setningen i linje 18.

Formen i oppgaven er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på b) til d) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver tiden i kolonne A og farten i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = RegLogist(l1)

3. Skriv opp modellen Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ V(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{C} \approx \textcolor{red}{223{,}48}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{27{,}33}} \) og \( {\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{green}{0{,}0478}}\text{.} \)

I b) til d) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Runder vi \( k \) av til \( 0{,}05\text{,} \) blir svaret i b) omtrent \( 61{,}9\,\text{s} \) i stedet for \( 64{,}8\,\text{s}\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi skal finne \( t \) når \( {V(t) = 100}\text{.} \) Med kalkulator får vi potensen \( {e^{-kt}} \) alene og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi regner med bokstavene \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k}\text{,} \) og setter inn tallene til slutt. Vi skal finne \( t \) når \( {V(t) = 100}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} = 100 \]

2. Få potensen alene Vi ganger begge sider med nevneren, trekker fra \( 100 \) og deler med \( {100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{C} &= 100 + 100 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \\ e^{-\textcolor{green}{k}t} &= \dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}} \end{aligned} \]

3. Ta ln på begge sider Brøken er positiv, fordi \( {\textcolor{red}{C} > 100}\text{,} \) så vi kan ta \( \ln \) på begge sider. Siden \( {\ln(e^u) = u \cdot \ln e = u}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -\textcolor{green}{k}t &= \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\right) \\ t &= -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\right) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å ta \( \ln \) på begge sider, kan du se videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

4. Sett inn tallene Plugger vi inn tallene fra svaret i a), er brøken \[ \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{27{,}33}} = \dfrac{123{,}48}{2733} \]

Så regner vi ut \( t \) med kalkulatoren, uten å runde av brøken først: \[ t \approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{123{,}48}{2733}\right) \approx 64{,}79 \]Farten er \( 100\,\text{m/s} \) etter omtrent \( 64{,}8 \) sekunder.

1. Finn skjæringspunktet med linja I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi tegner linja \( {y = 100} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 100

Skjæringspunktet er \( {A \approx (64{,}7903,\ 100)}\text{.} \) Farten er \( 100\,\text{m/s} \) etter omtrent \( 64{,}8 \) sekunder.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Fartsøkningen er den deriverte \( V'(t)\text{.} \) Den er størst i toppunktet til \( V'\text{,} \) der den andrederiverte \( V''(t) \) er \( 0 \) og skifter fortegn fra pluss til minus.

1. Deriver modellen med kjerneregelen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi skriver modellen som \( {V(t) = \textcolor{red}{C} \cdot \textcolor{darkorange}{u}^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}t})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \textcolor{darkorange}{u'} = -\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} V'(t) &= \textcolor{red}{C} \cdot \left(-\textcolor{darkorange}{u}^{-2}\right) \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \\ V'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}{(1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t})^2} \end{aligned} \]

2. Innfør en hjelpevariabel Uttrykket blir enklere med en hjelpevariabel \( w\text{:} \) \[ \begin{aligned} w &= \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \\ V'(t) &= \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]Her er \( {w > 0}\text{,} \) og siden \( {w' = -\textcolor{green}{k} \cdot w < 0}\text{,} \) avtar \( w \) fra \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{27{,}33}} \) mot \( 0 \) når \( t \) øker.

3. Deriver én gang til Vi kaller brøken \( {h(w) = \dfrac{w}{(1 + w)^2}}\text{,} \) så \( {V'(t) = \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot h(w)}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{p}{q}\right)' = \dfrac{p' \cdot q - p \cdot q'}{q^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} p &= w & p' &= 1 \\ q &= (1 + w)^2 & q' &= 2(1 + w) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og forkorter med \( {1 + w}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} h'(w) &= \dfrac{(1 + w)^2 - w \cdot 2(1 + w)}{(1 + w)^4} \\ h'(w) &= \dfrac{(1 + w) - 2w}{(1 + w)^3} \\ h'(w) &= \dfrac{1 - w}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

Med kjerneregelen ganger vi med \( {w' = -\textcolor{green}{k} \cdot w}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V''(t) &= \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot h'(w) \cdot (-\textcolor{green}{k} \cdot w) \\ V''(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}^2 \cdot w \cdot (w - 1)}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

4. Finn toppunktet til den deriverte Alt i \( V''(t) \) er positivt bortsett fra \( {w - 1}\text{,} \) og \( w \) avtar når \( t \) øker: \[ \begin{array}{r|ccc} w & > 1 & 1 & < 1 \\ \hline V''(t) & + & 0 & - \\ V'(t) & \nearrow & \text{maks} & \searrow \end{array} \]

Fartsøkningen er derfor størst når \( {w = 1}\text{,} \) altså når \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = 1}\text{.} \) Vi ganger med \( e^{\textcolor{green}{k}t} \) og tar \( \ln \) på begge sider: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{blue}{a} \\ t &= \dfrac{\ln \textcolor{blue}{a}}{\textcolor{green}{k}} \approx \dfrac{\ln \textcolor{blue}{27{,}33}}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \approx 69{,}20 \end{aligned} \]

Setter vi \( {w = 1} \) inn i \( V'(t)\text{,} \) får vi den største fartsøkningen: \[ \begin{aligned} V'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}}{4} \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48} \cdot \textcolor{green}{0{,}0478}}{4} \\ V'(t) &\approx 2{,}67 \end{aligned} \]Fartsøkningen er størst etter omtrent \( 69{,}2 \) sekunder, og da er den omtrent \( 2{,}67\,\text{m/s}^2\text{.} \)

1. Finn toppunktet til den deriverte I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi lar GeoGebra derivere modellen og tegne grafen til \( V'\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Toppunktet mellom \( {t = 0} \) og \( {t = 150} \) finner vi med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(V) Ekstremalpunkt(V', 0, 150)

Toppunktet er \( {B \approx (69{,}2022,\ 2{,}6706)}\text{.} \) Fartsøkningen er størst etter omtrent \( 69{,}2 \) sekunder, og da er den omtrent \( 2{,}67\,\text{m/s}^2\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a) og uttrykket for \( V'(t) \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) når \( {V'(t) > 2}\text{.} \) Vi finner de to tidspunktene der \( {V'(t) = 2}\text{,} \) og tiden mellom dem.

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

I c) fant vi, med \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) at: \[ V'(t) = \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \]Den vokser til omtrent \( 2{,}67 \) og avtar igjen, så farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) mellom de to tidspunktene der \( {V'(t) = 2}\text{.} \)

Vi setter \( {V'(t) = 2}\text{,} \) ganger med \( {(1 + w)^2} \) og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot w &= 2(1 + w)^2 \\ 0 &= 2w^2 + (4 - \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}) \cdot w + 2 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen Med tallene fra svaret i a) er \[ \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{red}{223{,}48} \cdot \textcolor{green}{0{,}0478} = 10{,}682344 \]Vi setter inn og deler med \( 2\text{:} \) \[ w^2 - 3{,}341172 \cdot w + 1 = 0 \]

Bokstaven \( a \) er brukt i modellen, så vi skriver likningen som \( {p \cdot w^2 + q \cdot w + r = 0}\text{.} \) Løsningene finner vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ w = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 1}\text{,} \) \( {q = -3{,}341172} \) og \( {r = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} w &= \dfrac{3{,}341172 \pm \sqrt{3{,}341172^2 - 4}}{2} \\ w_1 &\approx 3{,}0088 \\ w_2 &\approx 0{,}3324 \end{aligned} \]Begge ligger mellom \( 0 \) og \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) så begge gir en tid etter start.

3. Finn de to tidspunktene Vi løser \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = w} \) for \( t \) som i b): vi deler med \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln(e^u) = u}\text{:} \) \[ t = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}}\right) \]

Plugger vi inn \( w_1 \) og \( w_2 \) med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} t_1 &\approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{3{,}0088}{\textcolor{blue}{27{,}33}}\right) \approx 46{,}16 \\ t_2 &\approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{0{,}3324}{\textcolor{blue}{27{,}33}}\right) \approx 92{,}25 \end{aligned} \]

Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) fra \( t_1 \) til \( t_2\text{.} \) Med alle desimalene er \[ t_2 - t_1 \approx 46{,}09 \]Det er omtrent \( 46{,}1 \) sekunder.

1. Finn skjæringspunktene med linja I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi tegner grafen til \( V' \) og linja \( {y = 2}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter ved hvert skjæringspunkt, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Til slutt regner vi ut avstanden mellom førstekoordinatene:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(V) h: y = 2 d = x(Q) - x(P)

Skjæringspunktene er \( {P \approx (46{,}1577,\ 2)} \) og \( {Q \approx (92{,}2467,\ 2)}\text{,} \) og \( {d \approx 46{,}0891}\text{.} \) Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) i omtrent \( 46{,}1 \) sekunder.