R1 eksamen våren 2024

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Faktoren \( \ln(3x) \) deriverer vi med kjerneregelen.

1. Skriv opp produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Kjerneregelen for \( \ln \) gir \( {\left(\ln(\textcolor{green}{3x})\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3x}} \cdot \textcolor{green}{3} = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln(3x)} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln(3x)} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x\ln(3x) + 4x \end{aligned} \]Vi kan bare ta \( \ln \) av positive tall, så funksjonen er definert for \( {x > 0}\text{.} \)

Vi ser at \( \ln x \) står både i andre potens og alene. Vi gir den et nytt navn, \( k\text{,} \) og får en andregradslikning.

1. Skriv om med en ny variabel Det står \( (\ln x)^2\text{,} \) ikke \( \ln(x^2)\text{,} \) så det er hele \( \ln x \) som er opphøyd i andre. Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, og flytter \( 6 \) over: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{k}^2 - \textcolor{darkorange}{k} &= 6 \\ \textcolor{darkorange}{k}^2 - \textcolor{darkorange}{k} - 6 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs med abc-formelen Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}k^2 + \textcolor{red}{b}k + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ k = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-1}) = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{1 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ k &= \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {k = 3} \) eller \( {k = -2}\text{.} \)

3. Finn x Vi setter tilbake \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\ln x}} \) og opphøyer \( e \) i begge sider. Fra definisjonen av logaritmen er \( \ln x \) tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( x\text{,} \) så: \[ e^{\ln x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{darkorange}{\ln x}} = e^3 \quad &\Rightarrow \quad x = e^3 \\ e^{\textcolor{darkorange}{\ln x}} = e^{-2} \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-2} \end{aligned} \]Begge er positive, så begge er løsninger.

Vi skriver potensen som en brøk med positiv eksponent. Så ser vi hva nevneren gjør når \( x \) går mot uendelig og mot minus uendelig.

1. Skriv potensen som en brøk En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Siden \( {-x + 1 = -(x - 1)}\text{,} \) får vi: \[ f(x) = e^{-(x - 1)} = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{e^{x - 1}}} \]

2. La x gå mot uendelig Når \( x \to \infty\text{,} \) går \( {x - 1} \) mot uendelig, og nevneren \( {\textcolor{blue}{e^{x - 1}}} \) vokser uten grense. Én delt på noe som vokser uten grense, går mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{\textcolor{blue}{e^{x - 1}}} = 0 \]

3. La x gå mot minus uendelig Når \( {x \to -\infty}\text{,} \) går \( {x - 1} \) mot minus uendelig. Da er nevneren \( {\textcolor{blue}{e^{x - 1}}} \) positiv og kommer nærmere og nærmere \( 0\text{.} \) Én delt på et slikt tall vokser uten grense, som i videoen Dele på null: \[ \dfrac{1}{\textcolor{blue}{e^{x - 1}}} \to \infty \quad \text{når } x \to -\infty \]Funksjonen nærmer seg ikke noe tall, så denne grenseverdien eksisterer ikke.

Vi finner verdimengden og punktet der \( f \) ikke er kontinuerlig. Så tar vi ut så lite som mulig av definisjonsmengden, uten å endre verdimengden.

1. Finn verdimengden På \( [0, 2] \) gir \( \textcolor{blue}{x} \) verdiene \( \textcolor{blue}{[0, 2]}\text{.} \) På \( \langle 2, 5] \) avtar \( {\textcolor{red}{5 - x}} \) fra nesten \( 3 \) ned til \( 0\text{.} \) Den når aldri \( 3\text{,} \) fordi \( {x = 2} \) ikke er med i denne delen, så den gir \( \textcolor{red}{0, 3\rangle}\text{.} \) Klammeparentesen betyr at endepunktet er med, og vinkelparentesen at det ikke er det, som i videoen [Symboler. Til sammen er verdimengden: \[ V_f = \textcolor{blue}{[0, 2]} \cup \textcolor{red}{[0, 3\rangle} = [0, 3\rangle \]

2. Finn hvor f ikke er kontinuerlig Hver del er en rett linje, så \( f \) kan bare være diskontinuerlig der den skifter uttrykk, i \( {x = 2}\text{.} \) Der gir uttrykkene ulike verdier: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x}\text{:} \quad & f(2) = \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{5 - x}\text{:} \quad & 5 - 2 = \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]Grafen hopper fra \( 2 \) til \( 3\text{,} \) som i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Med \( {x = 2} \) i definisjonsmengden er \( f \) ikke kontinuerlig.

3. Ta ut bare x = 2 En funksjon er kontinuerlig når den er kontinuerlig i hvert punkt i definisjonsmengden: \[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \quad \text{for alle } a \in D_f \]

Tar vi ut bare \( {x = 2}\text{,} \) er \( f \) en av de rette linjene i hvert punkt som er igjen, og dermed kontinuerlig: \[ D_f = [0, 2\rangle \cup \langle 2, 5] \]

Verdimengden er fortsatt \( [0, 3\rangle\text{.} \) Verdien \( 2\text{,} \) som forsvant med \( {x = 2}\text{,} \) får vi fortsatt i \( {x = 3}\text{,} \) fordi \( {5 - 3 = 2}\text{.} \)

Vi kan ikke beholde \( {x = 2}\text{.} \) Verdiene nær \( 3 \) får vi bare for \( x \) like til høyre for \( 2\text{,} \) så de punktene må være med, og da hopper grafen i \( {x = 2}\text{.} \) Mindre kan vi derfor ikke ta ut.

Pyramiden blir høyest med toppen øverst på halvkulen, og grunnflaten blir størst med hjørnene på randen av snittflaten. Den største grunnflaten finner vi med derivasjon.

1. Finn den største høyden Toppen av pyramiden må ligge i halvkulen, så høyden er høyst lik radien. Den største høyden får vi med toppen øverst, rett over sentrum av snittflaten, som på figuren: \[ h = \textcolor{darkorange}{r} \]

2. Sett opp grunnflaten Snittflaten er en sirkel med radius \( r\text{.} \) Ligger et hjørne av grunnflaten innenfor randen, kan vi gjøre rektangelet større, så det største rektangelet har alle hjørnene på randen. Da er diagonalen en diameter, \( 2r\text{,} \) og med sidene \( \textcolor{red}{a} \) og \( b \) gir Pythagoras: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a}^2 + b^2 &= (2r)^2 \\ b &= \sqrt{4r^2 - \textcolor{red}{a}^2} \end{aligned} \]

Grunnflaten er altså: \[ G(\textcolor{red}{a}) = \textcolor{red}{a} \cdot \sqrt{4r^2 - \textcolor{red}{a}^2} \]der \( {0 < \textcolor{red}{a} < 2r}\text{.} \)

3. Deriver grunnflaten \( G \) er et produkt, så vi deriverer med produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Roten deriverer vi med kjerneregelen, \( {\left(\sqrt{\textcolor{green}{w}}\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{w'}}{2\sqrt{\textcolor{green}{w}}}}\text{,} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{4r^2 - a^2}} \) og \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{-2a}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{a} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - a^2}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{-2a}{2\sqrt{4r^2 - a^2}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} G'(a) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \\ &{}+ \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{-2a}{2\sqrt{4r^2 - a^2}}} \end{aligned} \]

Vi setter på felles brøkstrek, med \( {\sqrt{4r^2 - a^2}} \) som nevner: \[ \begin{aligned} G'(a) &= \dfrac{4r^2 - a^2 - a^2}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \\ G'(a) &= \dfrac{4r^2 - 2a^2}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \end{aligned} \]

4. Sett den deriverte lik null Den deriverte er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 4r^2 - 2\textcolor{red}{a}^2 &= 0 \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{2}\,r \end{aligned} \]Telleren er positiv for \( {a < \sqrt{2}\,r} \) og negativ for \( {a > \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten har et toppunkt der.

5. Regn ut det største volumet Med \( {\textcolor{red}{a} = \sqrt{2}\,r} \) er \( {b = \sqrt{4r^2 - 2r^2} = \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten er et kvadrat: \[ G = \sqrt{2}\,r \cdot \sqrt{2}\,r = 2r^2 \]

Plugger vi dette og \( {h = \textcolor{darkorange}{r}} \) inn i formelen for volumet, får vi: \[ V = \dfrac{\textcolor{darkorange}{r} \cdot 2r^2}{3} = \dfrac{2}{3}r^3 \]

1. Finn det største volumet i CAS Med toppen øverst er \( {h = r}\text{,} \) og med sidene \( a \) og \( {\sqrt{4r^2 - a^2}} \) er grunnflaten \( {G(a) = a \cdot \sqrt{4r^2 - a^2}}\text{,} \) som i ruten for hånd. Vi skriver \( G \) inn i CAS og løser \( {G'(a) = 0}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: G(a) := a*sqrt(4r^2 - a^2) Løs(G'(a) = 0, a) G(sqrt(2) r) 1/3*r*G(sqrt(2) r)

Sidelengden er positiv, så \( {a = \sqrt{2}\,r}\text{.} \) CAS gir grunnflaten \( 2r|r| \) og volumet \( \dfrac{2}{3}r^2|r|\text{.} \) Siden \( {r > 0}\text{,} \) er \( {|r| = r}\text{,} \) så det største volumet er \( \dfrac{2}{3}r^3\text{.} \)