R1 eksamen høsten 2023

Hver side er like lang som vektoren mellom de to hjørnene. Vi finner de tre vektorene og regner ut lengdene med Pythagoras.

1. Finn vektorene langs sidene En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [2 - (-3),\ -2 - (-1)] \\ &= [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{-1}] \\ \overrightarrow{BC} &= [5 - 2,\ 2 - (-2)] \\ &= [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{4}] \\ \overrightarrow{AC} &= [5 - (-3),\ 2 - (-1)] \\ &= [\textcolor{blue}{8}, \textcolor{red}{3}] \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} = \sqrt{26} \\ |\overrightarrow{BC}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{25} = 5 \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{3}^2} = \sqrt{73} \end{aligned} \]

Siden \( {25 < 26 < 73}\text{,} \) er \( {\sqrt{25} < \sqrt{26} < \sqrt{73}}\text{.} \) Siden \( BC \) er altså kortest.

Vi bruker vektorene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vinkelen i et hjørne er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av de to vektorene som går ut fra hjørnet, er \( 0\text{.} \) Vi sjekker alle tre hjørnene.

1. Skriv opp kravet To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Regn ut skalarproduktet i hvert hjørne I a) fant vi \( {\overrightarrow{AB} = [5, -1]}\text{,} \) \( {\overrightarrow{BC} = [3, 4]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [8, 3]}\text{.} \) En vektor den andre veien har motsatt fortegn, for eksempel \( {\overrightarrow{BA} = [-5, 1]}\text{.} \)

Vinkelen i \( A \) ligger mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{:} \) \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \textcolor{blue}{5 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-1) \cdot 3} = \underline{37} \]

Vinkelen i \( B \) ligger mellom \( {\overrightarrow{BA} = [-5, 1]} \) og \( \overrightarrow{BC}\text{:} \) \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \textcolor{blue}{(-5) \cdot 3} + \textcolor{red}{1 \cdot 4} = \underline{-11} \]

Vinkelen i \( C \) ligger mellom \( {\overrightarrow{CA} = [-8, -3]} \) og \( {\overrightarrow{CB} = [-3, -4]}\text{.} \) Her er \( {\textcolor{blue}{(-8) \cdot (-3) = 24}} \) og \( {\textcolor{red}{(-3) \cdot (-4) = 12}}\text{:} \) \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \textcolor{blue}{24} + \textcolor{red}{12} = \underline{36} \]

Ingen av skalarproduktene er \( 0\text{,} \) så ingen av vinklene er \( 90^\circ\text{.} \)

Vi leser programmet linje for linje: først hva funksjonen \( \texttt{df} \) regner ut, og så hva løkka gjør med den.

1. Les hva df regner ut Linje 1 og 2 definerer \( {f(x) = 2x^2 - 9x - 2}\text{,} \) og linje 4 og 5 definerer: \[ \textcolor{red}{\texttt{df}(x, h)} = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

Brøken er stigningstallet til linja gjennom punktene \( (x, f(x)) \) og \( {(x + h, f(x + h))} \) på grafen. Den deriverte er grenseverdien av den samme brøken når \( h \) går mot \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Linje 7 setter \( {h = 0{,}001}\text{,} \) en svært liten \( h\text{.} \) Da er \( \textcolor{red}{\texttt{df}(x, h)} \) nesten lik \( f'(x)\text{.} \)

2. Forklar løkka Linje 8 starter med \( {a = 0}\text{.} \) Løkka i linje 10 og 11 øker \( a \) med \( 1 \) så lenge \( {\textcolor{red}{\texttt{df}(a, h)} < 0}\text{,} \) altså så lenge den deriverte er negativ og grafen synker.

Når \( \textcolor{red}{\texttt{df}(a, h)} \) ikke lenger er negativ, har grafen sluttet å synke. Da stopper løkka, og linje 13 skriver ut \( (a, f(a)) \) som bunnpunktet. Det bygger på at bunnpunktet ligger der den deriverte går fra negativ til positiv, som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

Vi bruker forklaringen av programmet fra a).

Løkka tar steg på \( 1\text{,} \) så den kan bare stoppe i hele tall. Bunnpunktet ligger ikke i et helt tall, så vi gjør steget mindre.

1. Finn det riktige bunnpunktet Potensregelen \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}} \) gir \( {f'(x) = 4x - 9}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Bunnpunktet ligger der den deriverte er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 4x - 9 &= 0 \\ x &= \textcolor{green}{\dfrac{9}{4}} \end{aligned} \]

Vi setter \( {x = \textcolor{green}{\dfrac{9}{4}}} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{9}{4}\right) &= 2 \cdot \dfrac{81}{16} - 9 \cdot \dfrac{9}{4} - 2 \\ f\left(\dfrac{9}{4}\right) &= \dfrac{81}{8} - \dfrac{162}{8} - \dfrac{16}{8} = -\dfrac{97}{8} \end{aligned} \]Bunnpunktet er \( {\left(\textcolor{green}{\dfrac{9}{4}},\ -\dfrac{97}{8}\right)}\text{,} \) altså \( {(\textcolor{green}{2{,}25};\ -12{,}125)}\text{.} \)

2. Se hvorfor svaret blir feil Den deriverte er negativ i \( {\textcolor{blue}{a = 2}}\text{,} \) siden \( {\textcolor{blue}{4 \cdot 2 - 9 = -1}}\text{,} \) og positiv i \( {\textcolor{red}{a = 3}}\text{,} \) siden \( {\textcolor{red}{4 \cdot 3 - 9 = 3}}\text{.} \) Løkka hopper derfor over \( {\textcolor{green}{x = 2{,}25}} \) og stopper i \( {\textcolor{red}{a = 3}}\text{,} \) der \( {f(3) = -11}\text{.} \)

3. Gjør steget mindre Vi endrer linje 11 slik at \( a \) øker med \( {h = 0{,}001} \) i stedet for \( 1\text{:} \)

Nå stopper løkka høyst \( 0{,}001 \) fra \( {\textcolor{green}{x = 2{,}25}}\text{,} \) og programmet skriver ut omtrent \( {(2{,}25;\ -12{,}125)}\text{.} \) Et annet lite steg, for eksempel \( 0{,}01\text{,} \) gir også et riktigere svar.

Den nederste raden viser hvor langt konsentrasjonen er fra \( 2{,}5\text{.} \) Vi bytter fortegn, bruker eksponentiell regresjon og sammenligner med \( f\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen \( f \) fra oppgaven, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi kaller konsentrasjonen \( K\text{.} \) Tallene i den nederste raden er \( {K - 2{,}5}\text{,} \) og de er negative. Eksponentiell regresjon trenger positive tall, så vi bytter fortegn og bruker \( {\textcolor{blue}{2{,}5 - K}}\text{:} \) \( 2{,}5\text{,} \) \( 2{,}22\text{,} \) \( 1{,}97 \) og så videre.

Vi skriver tiden i kolonne A og \( {\textcolor{blue}{2{,}5 - K}} \) i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \( {\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{green}{b}^t} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Kommandoen heter RegEksp, og GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(x) = RegEksp(l1)

Regresjonen gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{2{,}5006}} \) og \( {\textcolor{green}{b} \approx \textcolor{green}{0{,}9881}}\text{.} \) Med to desimaler er det: \[ \textcolor{blue}{2{,}5 - K} \approx \textcolor{red}{2{,}50} \cdot \textcolor{green}{0{,}99}^t \]

3. Sammenlign med modellen Vi løser for \( K \) og får modellen fra oppgaven: \[ K \approx 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t = f(t) \]

Modellen stemmer også med teksten. Siden \( {0{,}99^0 = 1}\text{,} \) er \( {f(0) = 2{,}5 - 2{,}5 = 0}\text{,} \) som i tabellen. Når \( t \) vokser, går \( 0{,}99^t \) mot \( 0\text{,} \) fordi \( {0{,}99 < 1}\text{.} \) Da går \( f(t) \) mot \( 2{,}5\text{,} \) der konsentrasjonen stabiliserer seg.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen \( f \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f(t) = 2{,}0}\text{,} \) får potensen \( 0{,}99^t \) alene og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Få potensen alene Modellen fra oppgaveteksten er: \[ f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t \]

Vi setter \( {f(t) = 2{,}0}\text{:} \) \[ 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t = 2{,}0 \]

Vi trekker fra \( 2{,}5 \) på begge sider og deler på \( {-2{,}5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2{,}5 \cdot 0{,}99^t &= -0{,}5 \\ 0{,}99^t &= 0{,}2 \end{aligned} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{t} \) ned fra eksponenten, som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{t} \cdot \ln 0{,}99 &= \ln 0{,}2 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}99} \approx 160{,}14 \end{aligned} \]Konsentrasjonen er \( 2{,}0\,\text{mmol/L} \) etter omtrent \( 160 \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver modellen inn i CAS og løser \( {f(t) = 2} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 2.5 - 2.5*0.99^t Løs(f(t) = 2, t)

CAS gir \( {t \approx 160{,}1377}\text{.} \) Konsentrasjonen er \( 2{,}0\,\text{mmol/L} \) etter omtrent \( 160 \) sekunder.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen \( f \) står i oppgaveteksten.

Hvor fort konsentrasjonen øker, er den deriverte \( f'(t)\text{.} \) Vi finner når \( {f'(t) = 0{,}001}\text{,} \) og ser at \( f'(t) \) avtar.

1. Deriver modellen Modellen fra oppgaveteksten er: \[ f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot \textcolor{green}{0{,}99^t} \]

Vi skriver \( {\textcolor{green}{0{,}99^t} = e^{t \cdot \ln 0{,}99}}\text{.} \) Da gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(\textcolor{green}{0{,}99^t}\right)' = \textcolor{green}{0{,}99^t} \cdot \ln 0{,}99 \]

Konstanten \( 2{,}5 \) har derivert \( 0\text{,} \) så: \[ f'(t) = -2{,}5 \cdot \ln 0{,}99 \cdot \textcolor{green}{0{,}99^t} \]Siden \( {\ln 0{,}99 < 0}\text{,} \) er \( {f'(t) > 0}\text{,} \) og den avtar når \( t \) øker, fordi \( \textcolor{green}{0{,}99^t} \) avtar.

2. Finn når økningen blir så liten Vi setter \( {f'(t) = 0{,}001} \) og deler på \( {-2{,}5 \cdot \ln 0{,}99}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{0{,}99^t} = \dfrac{0{,}001}{-2{,}5 \cdot \ln 0{,}99} \approx 0{,}0398 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i b), og regner med alle desimalene på kalkulatoren: \[ t = \dfrac{\ln 0{,}0398\ldots}{\ln 0{,}99} \approx 320{,}8 \]Etter det er \( {f'(t) < 0{,}001}\text{,} \) fordi \( f'(t) \) avtar. Det tar altså omtrent \( 321 \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi lar CAS derivere modellen og løser \( {f'(t) = 0{,}001} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 2.5 - 2.5*0.99^t f'(t) Løs(f'(t) = 0.001, t)

CAS gir \( {t \approx 320{,}775}\text{.} \) Siden \( f'(t) \) avtar, øker konsentrasjonen med mindre enn \( 0{,}001\,\text{mmol/L} \) per sekund etter omtrent \( 321 \) sekunder.

Hver del er et andregradsuttrykk, så grafen kan bare gjøre et sprang i skjøten \( {x = k}\text{.} \) Vi viser at begge uttrykkene gir samme verdi der.

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = k} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^+} f(x) = f(k) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi i skjøten, som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn skjøten i begge uttrykkene Fra venstre gjelder det øverste uttrykket: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-k^2 + (2 + k)k} &= -k^2 + 2k + k^2 \\ &= \textcolor{blue}{2k} \end{aligned} \]

Det nederste uttrykket gjelder for \( {x \ge k}\text{,} \) så det gir både \( f(k) \) og grensen fra høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k^2 + (2 - k)k} &= k^2 + 2k - k^2 \\ &= \textcolor{red}{2k} \end{aligned} \]

Begge uttrykkene gir \( 2k\text{,} \) uansett hva \( k \) er. Delene møtes altså i punktet \( (k, 2k)\text{,} \) og \( f \) er kontinuerlig for alle verdier av \( k\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at \( f \) er kontinuerlig, står i oppgaveteksten til a).

Delene møtes i \( {x = k}\text{.} \) Da er \( f \) deriverbar der når de to uttrykkene også har samme derivert i \( {x = k}\text{.} \)

1. Deriver begge uttrykkene En delt forskrift er deriverbar i skjøten når den er kontinuerlig der og uttrykkene på hver side har samme derivert, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) deriverer vi hvert uttrykk: \[ \begin{aligned} \left(-x^2 + (2 + k)x\right)' &= \textcolor{blue}{-2x + 2 + k} \\ \left(x^2 + (2 - k)x\right)' &= \textcolor{red}{2x + 2 - k} \end{aligned} \]

I \( {x = k} \) gir de den deriverte fra venstre og fra høyre: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-2k + 2 + k} &= \textcolor{blue}{2 - k} \\ \textcolor{red}{2k + 2 - k} &= \textcolor{red}{k + 2} \end{aligned} \]

2. Sett de deriverte like De deriverte fra hver side må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2 - k} &= \textcolor{red}{k + 2} \\ -2k &= 0 \\ k &= 0 \end{aligned} \]Da er den deriverte \( 2 \) fra begge sider.

Vi bruker de deriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( f \) har en omvendt funksjon når hver \( y \)-verdi kommer fra bare én \( x \)-verdi. \( f \) er kontinuerlig, så da må grafen vokse hele tiden.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike \( x \) gir ulike \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]For en kontinuerlig funksjon betyr det at den hele tiden vokser eller hele tiden avtar. Langt til venstre vokser \( {-x^2 + (2 + k)x}\text{,} \) så \( f \) må vokse hele tiden.

2. Finn når begge delene vokser I b) fant vi de deriverte på hver side: \[ \begin{aligned} x < k\text{:} \quad & \textcolor{blue}{-2x + 2 + k} \\ x > k\text{:} \quad & \textcolor{red}{2x + 2 - k} \end{aligned} \]

\( {\textcolor{blue}{-2x + 2 + k}} \) blir mindre når \( x \) øker. For \( {x < k} \) er den derfor større enn verdien i \( {x = k}\text{,} \) som er \( {\textcolor{blue}{2 - k}}\text{.} \) Den venstre delen vokser hele tiden når: \[ \textcolor{blue}{2 - k} \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad k \le 2 \]

\( {\textcolor{red}{2x + 2 - k}} \) blir større når \( x \) øker, så for \( {x > k} \) er den større enn \( {\textcolor{red}{k + 2}}\text{.} \) Den høyre delen vokser hele tiden når: \[ \textcolor{red}{k + 2} \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad k \ge -2 \]

3. Sjekk verdiene utenfor Delene møtes i \( {x = k}\text{,} \) så når begge vokser, vokser \( f \) hele tiden. Det gjelder når \( {-2 \le k \le 2}\text{.} \)

Er \( {k > 2}\text{,} \) er den deriverte \( {\textcolor{blue}{-2x + 2 + k}} \) negativ like til venstre for \( {x = k}\text{,} \) så grafen snur. For eksempel gir \( {k = 3} \) at \( {f(2) = f(3) = 6}\text{.} \) På samme måte snur grafen like til høyre for \( {x = k} \) når \( {k < -2}\text{.} \) Da har \( f \) ingen omvendt funksjon.

Påstanden gjelder alle tredjegradsfunksjoner. Ekstremalpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så vi ser etter en tredjegradsfunksjon der den deriverte aldri er null.

1. Deriver tredjegradsfunksjonen Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 6A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

En tredjegradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {a \neq 0}\text{.} \) Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]Den deriverte er et andregradsuttrykk.

2. Se når den deriverte er null Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene i \( f'(x) \) for \( {\textcolor{blue}{p} = 3a}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = 2b} \) og \( {\textcolor{green}{r} = c}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {f'(x) = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Er tallet under rottegnet negativt, finnes det ingen løsning, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Da er \( f'(x) \) aldri null, og grafen har ingen ekstremalpunkter.

3. Finn et moteksempel Vi velger \( {f(x) = x^3 + x}\text{.} \) Da er: \[ f'(x) = 3x^2 + 1 \]Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{0}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) så tallet under rottegnet er \( {\textcolor{red}{0}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{green}{1} = -12 < 0}\text{.} \)

Siden \( {x^2 \ge 0}\text{,} \) er \( {f'(x) \ge 1} \) for alle \( x\text{.} \) Grafen stiger hele tiden og har ingen ekstremalpunkter. Det er et moteksempel, så påstanden er usann.

Linja skjærer grafen der \( f(x) \) er lik linja. Samler vi alt på én side, får vi en tredjegradslikning, og en tredjegradsfunksjon har alltid minst ett nullpunkt.

1. Se hvor grafen kommer fra Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 6B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi skriver \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 + cx + d} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Når \( x \) blir stor i tallverdi, bestemmer leddet \( \textcolor{blue}{a}x^3 \) hvor grafen går. Er \( {\textcolor{blue}{a} > 0}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to \infty} f(x) &= \infty \end{aligned} \]Er \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) er det omvendt.

Grafen henger sammen, så på veien fra \( {-\infty} \) til \( \infty \) må den krysse \( x \)-aksen minst én gang. En tredjegradsfunksjon har altså alltid minst ett nullpunkt.

2. Sett funksjonen lik linja Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i \( f\text{,} \) så vi skriver linja \( {y = kx + m}\text{.} \) Den skjærer grafen der \( {f(x) = kx + m}\text{,} \) altså der \( {g(x) = 0} \) med: \[ \begin{aligned} g(x) &= f(x) - kx - m \\ &= \textcolor{blue}{a}x^3 + bx^2 \\ &\quad + (c - k)x + (d - m) \end{aligned} \]

\( g \) er en tredjegradsfunksjon, fordi \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Den har minst ett nullpunkt, så linja skjærer grafen minst én gang, uansett hva \( k \) og \( m \) er. Påstanden er derfor sann.

Et vendepunkt ligger der \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi deriverer \( f \) to ganger, bruker at \( {f''(3) = 0}\text{,} \) og regner ut \( f'(1) \) og \( f'(5)\text{.} \)

1. Deriver to ganger Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Med \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + cx + d} \) og potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + c \\ f''(x) &= 6\textcolor{blue}{a}x + 2\textcolor{red}{b} \end{aligned} \]

2. Bruk vendepunktet Vendepunktet i \( {x = 3} \) gir \( {f''(3) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{a} \cdot 3 + 2\textcolor{red}{b} &= 0 \\ \textcolor{red}{b} &= -9\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

3. Regn ut de to deriverte Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {\textcolor{red}{b} = -9\textcolor{blue}{a}} \) i \( f'(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} + 2\textcolor{red}{b} + c \\ f'(1) &= 3\textcolor{blue}{a} - 18\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

Og så \( {x = 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} + 10\textcolor{red}{b} + c \\ f'(5) &= 75\textcolor{blue}{a} - 90\textcolor{blue}{a} + c = c - 15\textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]

Begge er \( {c - 15\textcolor{blue}{a}}\text{,} \) så \( {f'(1) = f'(5)}\text{,} \) og påstanden er sann. Det passer med at grafen til \( f' \) er en parabel med toppunkt eller bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og 1 og 5 ligger like langt fra 3.

Med bunnsider på 5 dm blir volumet større jo høyere kassen er. Høyden begrenses av at platene til sammen kan være høyst \( 120\,\text{dm}^2\text{.} \)

1. Skriv opp volum og areal Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 5A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi kaller sidene i bunnen \( \textcolor{blue}{s} \) og høyden \( \textcolor{red}{h}\text{.} \) Volumet er grunnflaten ganget med høyden. Platene er bunnen og de fire sideflatene, men ikke lokket: \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} \\ A &= \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} \end{aligned} \]

2. Finn den største høyden Med \( {\textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{5}} \) kan arealet være høyst 120: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{5}^2 + 4 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{h} &\le 120 \\ 20\textcolor{red}{h} &\le 95 \\ \textcolor{red}{h} &\le 4{,}75 \end{aligned} \]

3. Regn ut volumet Volumet er størst når \( \textcolor{red}{h} \) er størst, altså \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm}}\text{.} \) Vi ganger tallene og enhetene hver for seg, og \( {\text{dm} \cdot \text{dm} \cdot \text{dm} = \text{dm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm} \\ V &= 118{,}75\,\text{dm}^3 \end{aligned} \]

Volumet blir størst når hele arealet på \( 120\,\text{dm}^2 \) brukes. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver volumet som en funksjon av \( s \) og finner toppunktet.

1. Uttrykk høyden ved sidene Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Vi setter arealet lik 120 og løser for \( \textcolor{red}{h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} &= 120 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \end{aligned} \]

2. Skriv volumet som en funksjon Plugger vi høyden inn i volumet og stryker en \( s\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V(s) &= s^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \\ V(s) &= \dfrac{s(120 - s^2)}{4} = 30s - \dfrac{1}{4}s^3 \end{aligned} \]Sidene må være mellom 0 og \( {\sqrt{120} \approx 10{,}95} \) dm, ellers blir høyden negativ.

3. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V'(s) = 30 - \dfrac{3}{4}s^2 &= 0 \\ s^2 &= 40 \\ s &= \sqrt{40} \approx 6{,}32 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt{40} \approx 6{,}32}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V'(6) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 36 = 3 > 0 \\ V'(7) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 49 = -6{,}75 < 0 \end{aligned} \]Volumet vokser før og avtar etter, så det er et toppunkt.

4. Regn ut volumet Vi setter \( {s = \sqrt{40}} \) inn i \( V(s)\text{.} \) Siden \( {(\sqrt{40})^3 = 40\sqrt{40}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} V(\sqrt{40}) &= 30\sqrt{40} - \dfrac{1}{4} \cdot 40\sqrt{40} \\ V(\sqrt{40}) &= 20\sqrt{40} \approx 126{,}49 \end{aligned} \]

1. Finn toppunktet i GeoGebra Med høyden fra kalkulatorruten er \( {V(s) = s^2 \cdot \dfrac{120 - s^2}{4s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le \sqrt{120}} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(s) = Funksjon(s^2*(120 - s^2)/(4s), 0, sqrt(120)) T = Ekstremalpunkt(V, 0, 10)

Toppunktet er \( {T \approx (6{,}3246,\ 126{,}4911)}\text{.} \) Det største volumet er omtrent \( 126{,}49\,\text{dm}^3\text{.} \)

Nå er volumet fast. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver arealet som en funksjon av \( s \) og finner bunnpunktet.

1. Uttrykk høyden ved sidene Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 5C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Volumet skal være 80: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} &= 80 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \end{aligned} \]

2. Skriv arealet som en funksjon Plugger vi høyden inn i arealet, får vi: \[ \begin{aligned} A(s) &= s^2 + 4s \cdot \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \\ A(s) &= s^2 + \dfrac{320}{s} \end{aligned} \]for \( {s > 0}\text{.} \)

3. Finn bunnpunktet Vi skriver \( {\dfrac{320}{s} = 320s^{-1}}\text{,} \) så potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) gir: \[ \begin{aligned} A'(s) = 2s - \dfrac{320}{s^2} &= 0 \\ 2s^3 &= 320 \\ s^3 &= 160 \\ s &= \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A'(5) &= 10 - \dfrac{320}{25} = -2{,}8 < 0 \\ A'(6) &= 12 - \dfrac{320}{36} \approx 3{,}11 > 0 \end{aligned} \]Arealet avtar før og vokser etter, så det er et bunnpunkt.

4. Regn ut arealet Vi setter \( {s = \sqrt[3]{160}} \) inn i \( A(s) \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} A\left(\sqrt[3]{160}\right) &= \left(\sqrt[3]{160}\right)^2 + \dfrac{320}{\sqrt[3]{160}} \\ A\left(\sqrt[3]{160}\right) &\approx 88{,}42 \end{aligned} \]

1. Finn bunnpunktet i GeoGebra Med høyden fra kalkulatorruten er \( {A(s) = s^2 + \dfrac{320}{s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le 20} \) og finner bunnpunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 5C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: A(s) = Funksjon(s^2 + 320/s, 0, 20) B = Ekstremalpunkt(A, 0, 20)

Bunnpunktet er \( {B \approx (5{,}4288,\ 88{,}4168)}\text{.} \) Det minste arealet er omtrent \( 88{,}42\,\text{dm}^2\text{.} \)

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og farten er lengden av fartsvektoren. Pucken ble sendt av gårde ved \( {t = 0}\text{.} \)

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg. Kjerneregelen gir \( {(e^{-t})' = -e^{-t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{8(-e^{-t} - 1)},\ \textcolor{red}{5(-e^{-t} - 1)}] \]

Pucken ble sendt av gårde ved \( {t = 0}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \vec{v}(0) &= [\textcolor{blue}{8 \cdot (-2)},\ \textcolor{red}{5 \cdot (-2)}] \\ \vec{v}(0) &= [\textcolor{blue}{-16}, \textcolor{red}{-10}] \end{aligned} \]

2. Regn ut farten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(0)| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-16})^2 + (\textcolor{red}{-10})^2} \\ |\vec{v}(0)| &= \sqrt{356} \approx 18{,}87 \end{aligned} \]Posisjonen er i meter og tiden i sekunder, så farten er omtrent \( 18{,}87\,\text{m/s}\text{.} \)

Begge koordinatene er et tall ganget med \( {e^{-t} - t}\text{,} \) så pucken går langs en rett linje. Vi finner hvilket vant den treffer først, og løser likningen for det.

1. Finn banen til pucken Vi kaller \( {\textcolor{green}{s} = \textcolor{green}{e^{-t} - t}}\text{.} \) Da er: \[ \vec{r}(t) = [8\textcolor{green}{s},\ 5\textcolor{green}{s}] = \textcolor{green}{s} \cdot [8, 5] \]Pucken går altså langs linja gjennom origo med retningen \( [8, 5]\text{.} \) Ved \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{s} = 1}\text{,} \) så pucken starter i \( (8, 5)\text{.} \)

Den deriverte av \( \textcolor{green}{s} \) er \( {-e^{-t} - 1 < 0}\text{,} \) så \( \textcolor{green}{s} \) avtar hele tiden. Pucken går derfor mot origo og videre ned mot venstre.

2. Finn vantet den treffer Banen er \( 60\,\text{m} \) lang og \( 30\,\text{m} \) bred, så vantet nede til venstre ligger på \( {x = -30} \) og \( {y = -15}\text{.} \) Vi finner \( \textcolor{green}{s} \) for hver av dem: \[ \begin{aligned} 8\textcolor{green}{s} = -30 \quad &\Rightarrow \quad \textcolor{green}{s} = -3{,}75 \\ 5\textcolor{green}{s} = -15 \quad &\Rightarrow \quad \textcolor{green}{s} = -3 \end{aligned} \]Siden \( \textcolor{green}{s} \) avtar fra \( 1\text{,} \) kommer \( {\textcolor{green}{s} = -3} \) først. Pucken treffer langveggen \( {y = -15} \) i \( {x = 8 \cdot (-3) = -24}\text{,} \) \( 6\,\text{m} \) fra kortveggen, der vantet på figuren er rett.

3. Prøv deg fram med kalkulatoren Vi skal løse \( {e^{-t} - t = -3}\text{,} \) altså finne når \( {e^{-t} - t + 3 = 0}\text{.} \) Den likningen kan vi ikke løse for hånd, så vi prøver oss fram og ser hvor fortegnet skifter, som i videoen Halveringsmetoden/​Midtpunktsmetoden: \[ \begin{array}{r|r} t & e^{-t} - t + 3 \\ \hline 3 & 0{,}0498 \\ 3{,}1 & -0{,}0550 \\ 3{,}05 & -0{,}0026 \\ 3{,}04 & 0{,}0078 \\ 3{,}045 & 0{,}0026 \end{array} \]Fortegnet skifter mellom \( {t = 3{,}045} \) og \( {t = 3{,}05}\text{,} \) så \( {t \approx 3{,}05}\text{.} \)

1. Løs likningene i CAS Pucken når enten \( {y = -15} \) eller \( {x = -30} \) først. Vi løser begge likningene med NLøs og startverdien \( {t = 3}\text{,} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(5(e^(-t) - t) = -15, t = 3) NLøs(8(e^(-t) - t) = -30, t = 3)

Pucken når \( {y = -15} \) etter omtrent \( 3{,}0475 \) sekunder, før den ville nådd \( {x = -30}\text{.} \) Den treffer altså vantet etter omtrent \( 3{,}05 \) sekunder.

Vi bruker at pucken går langs en rett linje, som vi viste i b).

Spilleren blir truffet bare hvis pucken og spilleren er på samme sted til samme tid. Vi finner når spilleren er på linja pucken går langs, og hvor pucken er da.

1. Skriv opp posisjonene Spilleren har den samme farten hele tiden, så hvert sekund flytter spilleren seg \( 3\,\text{m} \) bortover og \( 7\,\text{m} \) nedover, som \( \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \) i videoen Parametrisering, eksempel oppgave 1. Spilleren starter i \( {P(-18, 11)}\text{,} \) så etter \( t \) sekunder er spilleren i: \[ \vec{p}(t) = [\textcolor{blue}{-18 + 3t},\ \textcolor{red}{11 - 7t}] \]

I b) så vi at pucken er i \( [8s,\ 5s] \) med \( {s = e^{-t} - t}\text{.} \) Der er \( {5x = 40s = 8y}\text{,} \) så pucken er hele tiden på linja \( {5x = 8y}\text{.} \)

2. Finn når spilleren er på linja Spilleren er på linja når \( {5x = 8y}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5(\textcolor{blue}{-18 + 3t}) &= 8(\textcolor{red}{11 - 7t}) \\ -90 + 15t &= 88 - 56t \\ 71t &= 178 \\ t &= \dfrac{178}{71} \approx 2{,}51 \end{aligned} \]Det er det eneste tidspunktet spilleren er på linja til pucken, og det er før pucken treffer vantet etter omtrent \( 3{,}05 \) sekunder.

3. Sammenlign posisjonene Da er spilleren i: \[ \vec{p}\left(\dfrac{178}{71}\right) \approx [-10{,}48,\ -6{,}55] \]

Pucken er samtidig i, regnet ut med kalkulatoren: \[ \vec{r}\left(\dfrac{178}{71}\right) \approx [-19{,}40,\ -12{,}13] \]De er ikke på samme sted. Pucken har allerede passert stedet der spilleren krysser linja, så spilleren blir ikke truffet.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser \( {\vec{r}(t) = \vec{p}(t)}\text{.} \) For å se hvor nær de kommer, lar vi Avstand gi avstanden \( d(t) \) og finner bunnpunktet med NLøs, der \( {d'(t) = 0}\text{.} \) De to siste radene er med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (8(e^(-t) - t), 5(e^(-t) - t)) p(t) := (-18 + 3t, 11 - 7t) Løs(r(t) = p(t), t) d(t) := Avstand(r(t), p(t)) NLøs(d'(t) = 0, t = 2) d(1.8124)

Likningen er uten løsning, så de er aldri på samme sted til samme tid. De kommer aldri nærmere hverandre enn omtrent \( 6{,}59\,\text{m}\text{,} \) etter omtrent \( 1{,}81 \) sekunder.

Vi regner ut brøken på høyre side med \( {a = 1} \) og \( {b = 3}\text{,} \) og finner \( c \) der den deriverte er lik brøken.

1. Regn ut brøken Brøken \( {\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}} \) er stigningstallet til linja gjennom \( (a, f(a)) \) og \( (b, f(b))\text{,} \) endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Vi regner ut funksjonsverdiene: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{1}) &= 1 + 3 + 1 = \textcolor{blue}{5} \\ f(\textcolor{red}{3}) &= 9 + 9 + 1 = \textcolor{red}{19} \end{aligned} \]

Det gir: \[ \dfrac{f(\textcolor{red}{3}) - f(\textcolor{blue}{1})}{\textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{\textcolor{red}{19} - \textcolor{blue}{5}}{2} = 7 \]

2. Finn c Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {f'(x) = 2x + 3}\text{.} \) Vi setter \( {f'(c) = 7}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2c + 3 &= 7 \\ 2c &= 4 \\ c &= 2 \end{aligned} \]Det ligger i \( \langle 1, 3 \rangle\text{,} \) som setningen sier.

Vi gjør det samme som i a), men med \( a \) og \( b \) som bokstaver.

Programmet regner ut brøken på høyre side og løser \( {f'(c) =} \) brøken, slik vi gjorde for hånd i a).

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir: en funksjon og noen regnelinjer.

1. Løs likningen for c Vi kaller brøken \( \textcolor{blue}{m}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{m} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

I a) fant vi \( {f'(x) = 2x + 3}\text{.} \) Da gir \( {f'(c) = \textcolor{blue}{m}} \) at: \[ \begin{aligned} 2c + 3 &= \textcolor{blue}{m} \\ c &= \dfrac{\textcolor{blue}{m} - 3}{2} \end{aligned} \]

2. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 og 2 definerer funksjonen \( f\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. I linje 4 og 5 gir vi verdier til \( a \) og \( b\text{.} \)

Linje 7 regner ut \( \textcolor{blue}{m}\text{,} \) linje 9 regner ut \( {c = \dfrac{\textcolor{blue}{m} - 3}{2}}\text{,} \) og linje 11 skriver ut \( c\text{.} \) Med \( {a = 1} \) og \( {b = 3} \) skriver programmet ut \( {c = 2}\text{,} \) som i a). Andre programmer er også riktige, for eksempel et som prøver seg fram med en løkke.

Vi bygger videre på programmet fra b).

Vi lar programmet regne ut \( c \) for flere par \( a \) og \( b\text{,} \) og ser etter et mønster.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir, særlig løkker som går gjennom flere verdier.

1. Kjør programmet for flere verdier Vi bytter ut linje 4 og 5 i programmet fra b) med en liste med fire par \( a \) og \( b\text{,} \) og en løkke som går gjennom dem, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

2. Se etter et mønster I hver linje ligger \( \textcolor{green}{c} \) midt mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{,} \) for eksempel er \( {\dfrac{\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{8}}{2} = \textcolor{green}{5}} \) og \( {\dfrac{\textcolor{blue}{0{,}5} + \textcolor{red}{2}}{2} = \textcolor{green}{1{,}25}}\text{.} \) Sammenhengen er: \[ \textcolor{green}{c} = \dfrac{\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}}{2} \]

Påstanden gjelder alle andregradsfunksjoner, så vi regner med en generell andregradsfunksjon og ser om vi alltid får \( {c = 5}\text{.} \)

1. Skriv en generell andregradsfunksjon Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} \quad \text{der } \textcolor{blue}{p} \neq 0 \]Med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {g'(x) = 2\textcolor{blue}{p}x + \textcolor{red}{q}}\text{.} \)

2. Regn ut brøken Med \( {a = 2} \) og \( {b = 8} \) er: \[ \begin{aligned} g(8) &= 64\textcolor{blue}{p} + 8\textcolor{red}{q} + \textcolor{green}{r} \\ g(2) &= 4\textcolor{blue}{p} + 2\textcolor{red}{q} + \textcolor{green}{r} \end{aligned} \]

Konstantleddet \( \textcolor{green}{r} \) forsvinner når vi trekker fra, så brøken blir: \[ \dfrac{g(8) - g(2)}{8 - 2} = \dfrac{60\textcolor{blue}{p} + 6\textcolor{red}{q}}{6} = 10\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q} \]

3. Løs for c Vi setter \( g'(c) \) lik brøken: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{blue}{p}c + \textcolor{red}{q} &= 10\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q} \\ 2\textcolor{blue}{p}c &= 10\textcolor{blue}{p} \\ c &= 5 \end{aligned} \]Vi kan dele på \( 2\textcolor{blue}{p}\text{,} \) fordi \( {\textcolor{blue}{p} \neq 0}\text{.} \) Vi får \( {c = 5} \) uansett hva \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r} \) er, så påstanden er riktig. Det passer med mønsteret i c), siden \( 5 \) er midt mellom \( 2 \) og \( 8\text{.} \)