R1 eksamen våren 2026

Vi starter med å skrive ned det vi vet. \[f(x) = e^x(6-e^x)\]

For å finne nullpunkt setter vi \(f(x) = 0\). For å få \(f(x) = 0\) må et av leddene vi ganger sammen bli lik 0. Leddene er \(e^x\) og \((6-e^x)\).

\(e^x\) blir aldri lik 0 da vi ikke kan opphøye et tall for å få \(0\).

Setter vi \( (6-e^x) = 0 \), får vi: \[ 6 = e^x \]

Vi tar \(ln\) på begge sider og får: \[ \ln(6) = \ln(e^x) \]

Vi bruker logaritmereglene og skriver om \(\ln(e^x)\) som \(x\ln(e)\).

Fra definisjonen vet vi at \(\ln(e) = 1\).

Uttrykket vi står igjen med nå er: \[ \ln(6) = x \cdot 1 \]

For å vise at \( f'(x) = 2e^x(3-e^x) \) kan vi derivere uttrykket \( \underline{f(x) = e^x(6-e^x)} \). Som du sikkert ser er funksjonen et produkt hvor vi ganger sammen to ledd. Derfor kan vi bruke produktregelen.

Produktregelen forteller oss at: \[ (u\cdot v)' = u \cdot v' + u' \cdot v \]

Vi skriver ned det vi har fra oppgaven: \[ u = e^x, \quad u' = e^x \] \[ v = (6 - e^x), \quad v' = -e^x \] (Hvis dette er uklart kan du se på videoene i derivasjonskapittelet: Derivasjon)

Plugger vi verdiene over inn i produktregelen får vi: \[ f'(x) = (e^x(6-e^x))' = e^x \cdot (-e^x) + e^x(6-e^x) \]

Faktoriserer vi ut \(e^x\) får vi: \[ f'(x) = e^{x}( -e^x + (6-e^x) ) \]

Trekker vi sammen det som står i parantesen får vi: \[ f'(x) = e^{x}( -e^x + 6 - e^x ) = e^x(6 - 2e^x) \]

Vi kan fortsette med å faktorisere \( 2 \) ut av parantesen siden \( 6 = 2 \cdot 3 \). Dette gir oss: \[ f'(x) = 2e^{x}(3 -2e^x) \]

Husk at selv om du ikke klarte å løse oppgave 2b, så kan du fortsatt løse denne ved å bruke informasjonen fra oppgaven. \( f'(x) = 2e^x(3-e^x) \)

Vi vet at vi får topp- eller bunnpunkter for \( f'(x) = 0 \).

Siden \( f'(x) \) er to ledd ( \( 2e^x \) og \( (3-e^x) \) ) ganget med hverandre, får vi at \( f'(x) = 0 \) dersom et av leddene blir 0. Vi vet at \( 2e^x \) aldri blir 0 siden \( e^x \) aldri blir 0. Derfor står vi igjen med \( (3-e^x)=0 \).

Vi løser den ved å flytte \( -e^x \) over til høyre side. Dette gir oss: \[ 3 = e^x \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider av likhetstegnet slik at vi kan bruke logaritmereglene for å flytte ned \( x \). Det gir oss: \[ \ln(3) = \ln(e^x) \] \[ \ln(3) = x\ln(e) \]

Vi vet at \( \ln(e) = 1 \). Dermed står vi igjen med at vi får topp- eller bunnpunkt for: \[ x = \ln(3) \]

For å finne koordinatene kan vi plugge denne \( x \) verdien inn i \( f(x) \). Dette gir oss: \[ f(\ln(3)) = e^{\ln(3)}(6 - e^{\ln(3)}) \]

Ved å bruke logaritmereglene vet vi at \( e^{\ln(3)} = 3 \). Det betyr at: \[ f(\ln(3)) = 3(6 - 3) = 3 \cdot 3 = 9 \]

Koordinatene til topp- eller bunnpunkt blir da \( \underline{(\ln(3), 9)} \).

Fra oppgave 2a vet vi at vi får nullpunkt i \( \underline{ (\ln(6), 0) } \), og \( \ln(6) > \ln(3) \). Det betyr at vi starter i \( \ln(3) \) med at y verdien er 9 og ender med en y verdi lik 0 for \( \ln(6) \).

Vi løser denne ved å ta for oss leddene hver for seg.

\( \log_{2}(8) \): Denne står for log med basetall \( 2 \). Fra definisjonen vet vi at når vi tar log til et tall, så finner vi ut av hva vi kan opphøye base-tallet med slik at vi får det vi tar log til. Her kan vi ta enkel hoderegning og komme frem til at vi kan ta \( 2^3 \) og få at dette blir \( 8 \). Så vi vet: \[ \underline{\log_{2}(8) = 3} \]

\( e^{3\ln(1)} \): Fra definisjonen vet vi at \( \ln(1) = 0 \). Så uttrykket blir \( e^{3 \cdot 0} = e^0 = 1 \). Det betyr at: \[ \underline{e^{3\ln(1)} = 1} \]

\( \lg(7) \): Hvis vi får \( \lg \) oppgitt og ingen basetall er spesifisert, så betyr det at basetallet er 10. Hva kan vi opphøye 10 med for å få 7? Her bruker vi litt logikk. Vi vet at \( \lg(10)=1 \) og \( \lg(100) = 2 \). Logaritmefunksjonen er stigende, og siden vi tar \( \lg(7) \), så skal den gi en lavere verdi enn \( \lg(10) \) som igjen betyr at: \[ \underline{ \lg(7) = \text{Et tall som er lavere enn 1} } \]

\( \sqrt[4]{3^3} \): Hvis vi løser potensen inne i roten får vi \( \sqrt[4]{27} \). Når vi finner 4-roten til 27, finner vi det tallet vi kan multiplisere med seg selv for å ende opp med 27. Typ. \( a \cdot a \cdot a \cdot a = 27 \). Vi vet at \( 2^4 = 16 \) og \( 3^4 = 81 \). Det betyr at tallet som vi kan opphøye med 4 for å få 27 må være et tall mellom 2 og 3. \[ \underline{ \sqrt[4]{3^3} = \text{Et tall mellom 2 og 3} } \]

Vi starter med å skrive om hvert ledd så enkelt som mulig ved å bruke definisjonen og logaritmereglene.

\( \lg(ab) \): Vi kan skrive denne om som \( \underline{\lg(a) + \lg(b)} \)

\( \lg{ (\dfrac{a}{b}) } \): Vi kan skrive denne om som \( \underline{\lg(a) - \lg(b)} \)

\( \lg{100b^3} \): Vi kan skrive denne om som \( \lg(100) + \lg(b^3) \). Fra definisjonen vet vi at \( \lg(100) = 2 \). Vi kan bruke logaritmereglene og skrive om \( \lg(b^3) = 3\lg(b) \). Dette gir oss at: \[ \underline{\lg{100b^3} = 2 + 3\lg(b)} \]

Vi kan nå trekke alt sammen: \[ \lg(ab) - \lg{ \frac{a}{b} } + \lg{100b^3} = \lg(a) + \lg(b) - (\lg(a) - \lg(b)) + 2 + 3\lg(b) \] \[ \lg(ab) - \lg{ \frac{a}{b} } + \lg{100b^3} = \lg(a) + \lg(b) - \lg(a) + \lg(b) + 2 + 3\lg(b) \] \[ \lg(ab) - \lg{ \frac{a}{b} } + \lg{100b^3} = \lg(b) + \lg(b) + 2 + 3\lg(b) \] \[ \underline{\lg(ab) - \lg{ \frac{a}{b} } + \lg{100b^3} = 2 + 5\lg(b)} \]

Vi kan stoppe i leddet over eller forenkle enda mer. Vi vet at \( 2 = \lg(100) \) og \( 5\lg(b) = \lg(b^5) \) hvis vi går baklengs med logaritmereglene. Dermed får vi. \[ \underline{\lg(ab) - \lg{ \frac{a}{b} } + \lg{100b^3} = 2 + 5\lg(b) = \lg(100b^5) } \]