R1 eksamen våren 2023 – løsningsforslag

Vi finner den faste vekstfaktoren \( V \) som gjør 272,55 kroner i 2008 til 340,10 kroner i 2022, altså 14 år senere.

1. Sett opp likningen Med fast vekst er lønnen etter \( n \) år startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i \( n\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Fra 2008 til 2022 er det 14 år: \[ 272{,}55 \cdot \textcolor{blue}{V}^{14} = 340{,}10 \]

2. Løs for vekstfaktoren Vi deler på \( 272{,}55 \) og tar fjortenderoten på begge sider. En rot kan skrives som en potens, \( {\sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}}}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V}^{14} &= \dfrac{340{,}10}{272{,}55} \\ \textcolor{blue}{V} &= \left(\dfrac{340{,}10}{272{,}55}\right)^{\tfrac{1}{14}} \approx \textcolor{blue}{1{,}0159} \end{aligned} \]

Vekstfaktoren er \( 1 \) pluss prosenten som desimaltall, som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{V} = 1 + \dfrac{p}{100} \]\( {\textcolor{blue}{V} \approx \textcolor{blue}{1{,}0159}} \) betyr altså at lønnen har vokst med omtrent \( 1{,}59\,\% \) per år.

1. Løs likningen i CAS Vi løser \( {272{,}55 \cdot x^{14} = 340{,}10} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(272.55*x^14 = 340.1, x)

Vekstfaktoren er positiv, så \( {V \approx 1{,}0159}\text{.} \) Lønnen har vokst med omtrent \( 1{,}6\,\% \) per år.

En eksponentialfunksjon har formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) Vi bruker alle punktene i tabellen og eksponentiell regresjon i GeoGebra, med \( x \) som år etter 2008.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon, men vi kan lage en modell selv, med timelønnen i 2008 og vekstfaktoren fra a): \( {g(x) = 272{,}55 \cdot 1{,}0159^x}\text{.} \) Øv på det, og på c) med modellen i svaret.

1. Legg punktene inn i GeoGebra \( x \) er antall år etter 2008, så 2008 blir \( {x = 0}\text{,} \) 2010 blir \( {x = 2}\text{,} \) 2013 blir \( {x = 5} \) og så videre, til 2022, som blir \( {x = 14}\text{.} \)

Vi skriver \( x \) i kolonne A og timelønnen i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) i \( {\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^x} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Kommandoen heter RegEksp:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) = RegEksp(l1)

Regresjonen gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{277{,}8327}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}0155}}\text{.} \)

I c) regner vi videre med tallene i svaret, både med kalkulator og i regnearket.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}02}\text{.} \) Regner vi videre med \( 1{,}02\text{,} \) blir Pers samlede lønn i c) omtrent 8,17 millioner kroner i stedet for 7,91.

Vi bruker modellen \( g \) fra b) for Per. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den samlede lønnen er summen av årslønnene i de 15 årene fra 2008 til 2022. Årslønnen er 1700 timer ganget med timelønnen det året.

1. Skriv opp Amalies årslønn Amalies timelønn vokser med 2,3 prosent per år, så vekstfaktoren er \( \textcolor{green}{1{,}023}\text{.} \) Etter \( n \) år er timelønnen startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i \( n\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Årslønnen \( n \) år etter 2008 er da: \[ 1700 \cdot 272{,}55 \cdot \textcolor{green}{1{,}023}^n \]

2. Legg sammen de 15 årene Fra 2008 til 2022 går \( n \) fra \( 0 \) til \( 14\text{.} \) Vi setter \( {1700 \cdot 272{,}55 = 463\,335} \) utenfor og legger sammen potensene på kalkulatoren: \[ 1 + \textcolor{green}{1{,}023} + \cdots + \textcolor{green}{1{,}023}^{14} \approx 17{,}6732 \]

Med alle desimalene på kalkulatoren gir det Amalies samlede lønn: \[ \begin{aligned} S_A &= 463\,335 \cdot 17{,}6732\ldots \\ S_A &\approx 8\,188\,601 \end{aligned} \]

3. Regn ut Pers samlede lønn Pers timelønn følger modellen fra b): \[ g(x) \approx \textcolor{red}{277{,}83} \cdot \textcolor{blue}{1{,}0155}^x \]

Årslønnen \( n \) år etter 2008 er \( {1700 \cdot g(n)}\text{,} \) og \( {1700 \cdot 277{,}83 = 472\,311}\text{.} \) Vi legger sammen på samme måte: \[ \begin{aligned} &1 + \textcolor{blue}{1{,}0155} + \cdots + \textcolor{blue}{1{,}0155}^{14} \\ &\approx 16{,}7421 \end{aligned} \]

Det gir Pers samlede lønn: \[ \begin{aligned} S_P &\approx 472\,311 \cdot 16{,}7421\ldots \\ S_P &\approx 7\,907\,466 \end{aligned} \]Amalie har altså tjent omtrent 8,19 millioner kroner, og Per omtrent 7,91 millioner kroner.

1. Lag en tabell år for år Vi skriver årene i kolonne A, med 2008 i A2 og \( {\texttt{=A2+1}} \) i A3, og årslønnene til Amalie og Per i kolonne B og C. I 2008 er årslønnen 1700 timer ganget med timelønnen, og for Per bruker vi modellen fra b) med tallene i svaret, som med kalkulator. Hvert år etter er årslønnen året før ganget med vekstfaktoren: \[ \begin{aligned} \text{B2:}\quad & \texttt{=1700*272,55} \\ \text{C2:}\quad & \texttt{=1700*}\textcolor{red}{\texttt{277,83}} \\ \text{B3:}\quad & \texttt{=B2*}\textcolor{green}{\texttt{1,023}} \\ \text{C3:}\quad & \texttt{=C2*}\textcolor{blue}{\texttt{1,0155}} \end{aligned} \]Vi drar A3 til C3 ned til rad 16, altså 2022, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. I B17 og C17 summerer vi med \( {\texttt{=SUMMER(B2:B16)}} \) og \( {\texttt{=SUMMER(C2:C16)}}\text{:} \)

Regnearket gir \( 8\,188\,601 \) kroner for Amalie og \( 7\,907\,466 \) kroner for Per, det samme som med kalkulator, altså omtrent 8,19 og 7,91 millioner kroner.

Vi finner Amalies timelønn i 2025, og den faste vekstfaktoren som gjør Pers timelønn i 2022 til det samme på tre år.

1. Finn Amalies timelønn i 2025 2025 er 17 år etter 2008. Med vekstfaktoren \( 1{,}023 \) er timelønnen hennes da, som i videoen Vekstfaktor: \[ 272{,}55 \cdot 1{,}023^{17} \approx \textcolor{green}{401{,}17} \]

2. Finn Pers vekstfaktor Pers lønn har fulgt tabellen, så i 2022 var timelønnen hans \( 340{,}10 \) kroner. Fra 2022 til 2025 er det tre år. Med vekstfaktoren \( \textcolor{blue}{V} \) får vi: \[ \begin{aligned} 340{,}10 \cdot \textcolor{blue}{V}^3 &= \textcolor{green}{401{,}17} \\ \textcolor{blue}{V} &= \left(\dfrac{\textcolor{green}{401{,}17}}{340{,}10}\right)^{\tfrac{1}{3}} \approx \textcolor{blue}{1{,}0566} \end{aligned} \]Med \( {\textcolor{blue}{V} = 1 + \dfrac{p}{100}} \) er det en økning på omtrent \( 5{,}66\,\% \) per år.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver Amalies timelønn inn som \( A(x)\text{,} \) regner ut \( A(17) \) og løser \( {340{,}10 \cdot x^3 = A(17)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) := 272.55*1.023^x A(17) Løs(340.1*x^3 = A(17), x)

CAS gir \( {A(17) \approx 401{,}1732} \) og vekstfaktoren \( {x \approx 1{,}0566}\text{.} \) Pers lønn må gå opp med omtrent \( 5{,}7\,\% \) per år.

Vi finner hvert hjørne ved å starte i et punkt vi kjenner og legge til en vektor.

1. Finn B og D Vi starter i \( A(3, 2) \) og legger til \( \vec{u} \) og \( \vec{v}\text{.} \) Vi legger sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene hver for seg, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{OB} &= [3 + \textcolor{blue}{4},\ 2 + \textcolor{red}{3}] = [7, 5] \\ \overrightarrow{OD} &= [3 + \textcolor{blue}{2t},\ 2 + \textcolor{red}{5t}] \end{aligned} \]

2. Finn C I et parallellogram er de motstående sidene parallelle og like lange, så \( {\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{v}}\text{.} \) Vi starter i \( B \) og går langs \( \vec{v}\text{:} \) \[ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \vec{v} = [7 + \textcolor{blue}{2t},\ 5 + \textcolor{red}{5t}] \]

Kontroll: Vi kommer også til \( C \) fra \( D \) langs \( \vec{u}\text{:} \) \( {3 + 2t + 4 = 7 + 2t} \) og \( {2 + 5t + 3 = 5 + 5t}\text{.} \)

Vi bruker koordinatene til \( C \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Diagonalene i et parallellogram deler hverandre på midten. Skjæringspunktet er derfor midtpunktet på diagonalen \( AC\text{,} \) og vi setter det lik \( P(8, 11)\text{.} \)

1. Finn midtpunktet på AC I a) fant vi \( {C(7 + 2t,\ 5 + 5t)}\text{,} \) så: \[ \overrightarrow{AC} = [4 + 2t,\ 3 + 5t] \]

Midtpunktet \( M \) når vi ved å starte i \( A(3, 2) \) og gå halvveis langs \( \overrightarrow{AC}\text{.} \) Det er et tall ganget med en vektor, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{OM} &= \overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{OM} &= \left[3 + \dfrac{4 + 2t}{2},\ 2 + \dfrac{3 + 5t}{2}\right] \\ \overrightarrow{OM} &= \left[\textcolor{blue}{5 + t},\ \textcolor{red}{\dfrac{7 + 5t}{2}}\right] \end{aligned} \]

2. Sett midtpunktet lik P Begge koordinatene må stemme med \( P(8, 11)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{5 + t} &= 8 & \textcolor{red}{\dfrac{7 + 5t}{2}} &= 11 \\ t &= 3 & 7 + 5t &= 22 \\ & & t &= 3 \end{aligned} \]Begge koordinatene gir \( {t = 3}\text{.} \)

Kontroll: Med \( {t = 3} \) er \( C(13, 20)\text{,} \) og midtpunktet på \( AC \) er \( (8, 11)\text{,} \) siden \( {\dfrac{3 + 13}{2} = 8} \) og \( {\dfrac{2 + 20}{2} = 11}\text{.} \)

Påstanden skal gjelde for alle \( {x > 0}\text{.} \) Vi sammenligner med logaritmeregelen for potenser og ser etter et moteksempel.

1. Se på logaritmeregelen Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(x^{\textcolor{green}{4}}\right) = \textcolor{green}{4} \cdot \ln x \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Der er det \( x \) som er opphøyd i fjerde. I \( (\ln x)^{\textcolor{green}{4}} \) er det hele logaritmen som er opphøyd i fjerde, så regelen sier ingenting om den.

2. Finn et moteksempel Påstanden sier at likheten gjelder for alle \( {x > 0}\text{.} \) Finner vi én \( x \) der den ikke gjelder, er påstanden usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

Vi velger \( {x = e}\text{,} \) der \( {\ln e = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\ln e)^{\textcolor{green}{4}} &= 1^{\textcolor{green}{4}} = 1 \\ \textcolor{green}{4}\ln e &= \textcolor{green}{4} \cdot 1 = 4 \end{aligned} \]Siden \( {1 \neq 4}\text{,} \) gjelder ikke likheten for \( {x = e}\text{,} \) og påstanden er usann.

En fjerdegradsfunksjon har en derivert av tredje grad. Vi viser at den deriverte alltid skifter fortegn, og der har funksjonen et ekstremalpunkt.

1. Deriver fjerdegradsfunksjonen Bokstaven \( e \) er brukt om Eulers tall, så vi skriver en fjerdegradsfunksjon som \[ f(x) = \textcolor{blue}{a}x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + k \]der \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ f'(x) = 4\textcolor{blue}{a}x^3 + 3bx^2 + 2cx + d \]

2. Se på fortegnet til den deriverte Når \( x \) blir stor i tallverdi, bestemmer leddet \( 4\textcolor{blue}{a}x^3 \) fortegnet til \( f'(x)\text{.} \) Er \( {\textcolor{blue}{a} > 0}\text{,} \) er \( f'(x) \) negativ langt til venstre og positiv langt til høyre: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f'(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to \infty} f'(x) &= \infty \end{aligned} \]

\( f' \) er kontinuerlig, så på veien fra minus til pluss må den krysse \( x \)-aksen, som i videoen Skjærsetningen. Den har høyst tre nullpunkter, så i minst ett av dem går den fra minus til pluss.

3. Konkluder Der går grafen til \( f \) fra å synke til å stige, så \( f \) har et bunnpunkt. Er \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) er alt omvendt, og \( f \) har et toppunkt. Påstanden er derfor sann.

En funksjon har en omvendt funksjon når hver \( y \)-verdi kommer fra bare én \( x \)-verdi. Vi ser etter en slik funksjon som verken er strengt voksende eller strengt avtakende.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går når ulike \( x \) gir ulike \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]

En funksjon som er strengt voksende eller strengt avtakende, oppfyller kravet. Påstanden sier at det også er nødvendig. For en kontinuerlig funksjon på et intervall stemmer det, så et moteksempel må ha et brudd eller et hull i definisjonsmengden.

2. Finn et moteksempel Vi velger \( {f(x) = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) \( {x \neq 0}\text{.} \) Løser vi \( {y = \dfrac{1}{x}} \) for \( x\text{,} \) får vi \( {x = \dfrac{1}{y}}\text{.} \) Hver \( {y \neq 0} \) kommer altså fra bare én \( x\text{,} \) og \( f \) har en omvendt funksjon.

Men \( f \) er ikke strengt avtakende, for \( {\textcolor{blue}{-1} < \textcolor{red}{1}}\text{,} \) mens \( {f(\textcolor{blue}{-1}) = -1 < 1 = f(\textcolor{red}{1})}\text{.} \) Den er heller ikke strengt voksende, for \( {f(1) = 1 > \dfrac{1}{2} = f(2)}\text{.} \)

Dette er et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, så påstanden er usann. Grafen til \( h \) i oppgave 4 er et annet moteksempel.

En funksjon har en omvendt funksjon når hver \( y \)-verdi kommer fra bare én \( x \)-verdi. Da kan ingen vannrett linje skjære grafen mer enn én gang. Vi ser på hver graf for seg.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike \( x \) gir ulike \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]Endene på grafene er tegnet som i et intervall: en hakeparentes betyr at endepunktet er med, og en vinkelparentes, lik en pilspiss, at det ikke er med.

2. Se på hver graf \( f \) er symmetrisk om \( y \)-aksen. Den vannrette linja \( {y = 2} \) skjærer grafen to ganger, én gang på hver side av \( y \)-aksen, så to ulike \( x \) gir \( {y = 2}\text{.} \) \( f \) har ingen omvendt funksjon.

\( g \) vokser hele tiden fra \( {(-4, 1)} \) til \( (4, 6)\text{,} \) og \( k \) avtar hele tiden fra \( {(-4, 3)} \) mot \( {(4, -1)}\text{.} \) Da kommer hver \( y \)-verdi fra bare én \( x\text{,} \) så begge har en omvendt funksjon.

\( h \) både synker og stiger. Linjestykket synker fra \( 3 \) mot \( 2\text{,} \) men \( {(-2, 2)} \) er ikke med, så det gir \( \textcolor{blue}{y \in \langle 2, 3]}\text{.} \) Kurven stiger fra \( {-1} \) til \( 2 \) og gir \( {\textcolor{red}{y \in [-1, 2]}}\text{.} \) Ingen \( y \)-verdi kommer fra begge delene, så hver \( y \) kommer fra bare én \( x\text{,} \) og \( h \) har en omvendt funksjon.

Vi bruker fra a) at \( g\text{,} \) \( h \) og \( k \) har en omvendt funksjon. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den omvendte funksjonen tar \( y \)-verdiene tilbake til \( x\text{.} \) Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er derfor verdimengden til funksjonen, og den leser vi av grafen.

1. Les av verdimengdene Har vi et funksjonsuttrykk, kan vi finne definisjonsmengden til den omvendte funksjonen fra uttrykket, som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Her har vi bare grafene, så vi leser av verdimengdene.

\( g \) vokser fra \( {g(-4) = 1} \) til \( {g(4) = 6}\text{,} \) og begge endepunktene er med: \[ D_{g^{-1}} = V_g = [1, 6] \]

\( h \) gir \( \textcolor{blue}{\langle 2, 3]} \) på linjestykket og \( {\textcolor{red}{[-1, 2]}} \) på kurven. Til sammen er det alle tall fra \( {-1} \) til \( 3\text{:} \) \[ D_{h^{-1}} = V_h = [-1, 3] \]

\( k \) avtar fra \( {k(-4) = 3}\text{,} \) som er med, mot \( {-1}\text{,} \) som ikke er med: \[ D_{k^{-1}} = V_k = \langle -1, 3] \]

Vi setter \( {L = 130} \) inn i formelen, får \( \lg I \) alene og bruker definisjonen av \( \lg\text{.} \)

1. Få lg I alene Vi setter \( {L = 130} \) inn i formelen: \[ \begin{aligned} 120 + 10 \cdot \lg I &= 130 \\ 10 \cdot \lg I &= 10 \\ \textcolor{green}{\lg I} &= \textcolor{green}{1} \end{aligned} \]

2. Bruk definisjonen av lg \( \lg I \) er tallet vi må opphøye \( 10 \) i for å få \( I\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?: \[ \textcolor{green}{\lg I = 1} \quad \Leftrightarrow \quad I = 10^{\textcolor{green}{1}} = 10 \]

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen i CAS, med \( x \) for \( I\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(120 + 10*lg(x) = 130, x)

CAS gir \( {I = 10}\text{,} \) altså \( 10\,\text{W}/\text{m}^2\text{.} \)

Vi sammenligner intensiteten \( I_1 \) ved lydstyrken \( L \) med \( I_2 \) ved \( {L + 2}\text{.} \) Forskjellen mellom logaritmene gir forholdet \( \dfrac{I_2}{I_1}\text{,} \) og det er vekstfaktoren.

1. Sett opp de to lydstyrkene Vi kaller intensiteten \( \textcolor{blue}{I_1} \) ved lydstyrken \( L\text{,} \) og \( \textcolor{red}{I_2} \) ved \( {L + 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} L &= 120 + 10 \cdot \lg \textcolor{blue}{I_1} \\ L + 2 &= 120 + 10 \cdot \lg \textcolor{red}{I_2} \end{aligned} \]

Trekker vi den første likningen fra den andre og deler på \( 10\text{,} \) får vi: \[ 0{,}2 = \lg \textcolor{red}{I_2} - \lg \textcolor{blue}{I_1} \]

2. Bruk logaritmeregelen Logaritmeregelen for brøk forteller oss at: \[ \lg \textcolor{red}{a} - \lg \textcolor{blue}{b} = \lg \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir \( {\lg \dfrac{\textcolor{red}{I_2}}{\textcolor{blue}{I_1}} = 0{,}2}\text{,} \) og med definisjonen av \( \lg\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{I_2}}{\textcolor{blue}{I_1}} = 10^{0{,}2} \approx 1{,}585 \]

Intensiteten blir altså ganget med \( 1{,}585\text{,} \) uansett hva \( L \) er. Det er vekstfaktoren \( {1 + \dfrac{p}{100}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor, så intensiteten øker med omtrent \( 58{,}5\,\%\text{.} \)

1. Regn ut forholdet i CAS Vi løser formelen for \( I\text{:} \) først er \( {\lg I = \dfrac{L - 120}{10}}\text{,} \) og med definisjonen av \( \lg \) blir det \[ I = 10^{\tfrac{L - 120}{10}} \]Så lar vi CAS regne ut forholdet mellom intensitetene ved \( {L + 2} \) og \( L\text{.} \) Den siste raden er med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(L) := 10^((L - 120)/10) Forenkle(I(L + 2)/I(L)) I(L + 2)/I(L)

Forholdet er \( {\sqrt[5]{10} = 10^{0{,}2} \approx 1{,}5849}\text{,} \) uansett \( L\text{.} \) Intensiteten øker med omtrent \( 58{,}5\,\%\text{.} \)

Vi bruker at 130 dB gir \( {I = 10\,\text{W}/\text{m}^2}\text{,} \) som vi fant i a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner effekten \( E \) fra opplysningene om 140 dB i 50 m. Så finner vi avstanden der intensiteten er \( 10\,\text{W}/\text{m}^2\text{,} \) som svarer til 130 dB.

1. Finn effekten til flyet Med \( {L = 140} \) får vi som i a), med definisjonen av \( \lg \) som i videoen Hva er en Logaritme?: \[ \begin{aligned} 10 \cdot \lg I &= 20 \\ \lg I &= 2 \\ I &= 10^2 = 100 \end{aligned} \]

I avstanden \( {r = 50} \) er altså \( {I = 100}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen og løser for \( \textcolor{blue}{E}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 100 &= \dfrac{\textcolor{blue}{E}}{4\pi \cdot 50^2} \\ \textcolor{blue}{E} &= 100 \cdot 4\pi \cdot 2500 = \textcolor{blue}{1\,000\,000\pi} \end{aligned} \]

2. Finn avstanden for 130 dB I a) fant vi at 130 dB svarer til \( {I = 10}\text{.} \) Vi finner avstanden der flyet gir akkurat det: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000\pi}}{4\pi r^2} = 10 \]

Vi forkorter \( \pi\text{,} \) ganger begge sider med \( 4r^2 \) og deler på \( 40\text{:} \) \[ \begin{aligned} r^2 &= \dfrac{1\,000\,000}{40} = 25\,000 \\ r &= \sqrt{25\,000} = 50\sqrt{10} \end{aligned} \]Det er omtrent \( 158{,}1 \) m. Intensiteten, og dermed lydstyrken, avtar når \( r \) øker. Lydstyrken er derfor under 130 dB når avstanden er mer enn \( {50\sqrt{10} \approx 158{,}1} \) m.

1. Løs likningene i CAS Vi finner intensiteten ved 140 dB, regner ut \( E \) og løser \( {L = 130} \) for \( r\text{.} \) Den siste raden er med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(120 + 10*lg(x) = 140, x) E := 100*4*pi*50^2 Løs(120 + 10*lg(E/(4*pi*r^2)) = 130, r) 50*sqrt(10)

Avstanden er positiv, så \( {r = 50\sqrt{10} \approx 158{,}1139}\text{.} \) Lydstyrken er under 130 dB når flyet er mer enn omtrent 158,1 m unna.

Den korteste veien fra \( P \) til linjen står vinkelrett på linjen. Vi finner punktet \( Q \) på \( \ell \) der \( \overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{AB}\text{,} \) og regner ut lengden av \( \overrightarrow{PQ}\text{.} \)

1. Skriv et punkt på linjen En vektor langs \( \ell \) er: \[ \overrightarrow{AB} = [6 - 4,\ 6 - (-2)] = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{8}] \]

Et punkt \( Q \) på \( \ell \) får vi ved å starte i \( {A(4, -2)} \) og gå et tall \( s \) ganget med \( \overrightarrow{AB}\text{,} \) som i videoen Hva er en Skalar?. Da er \( {Q = (4 + 2s,\ -2 + 8s)}\text{,} \) og vektoren fra \( P(2, 8) \) er: \[ \overrightarrow{PQ} = [\textcolor{blue}{2 + 2s},\ \textcolor{red}{-10 + 8s}] \]

2. Sett skalarproduktet lik null To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Vi krever derfor: \[ \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \]

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Plugger vi inn \( \overrightarrow{PQ} \) og \( \overrightarrow{AB}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2(2 + 2s)} + \textcolor{red}{8(-10 + 8s)} &= 0 \\ 4 + 4s - 80 + 64s &= 0 \\ 68s &= 76 \\ s &= \dfrac{19}{17} \end{aligned} \]

3. Regn ut lengden Med \( {s = \dfrac{19}{17}} \) er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \left[2 + \dfrac{38}{17},\ -10 + \dfrac{152}{17}\right] \\ \overrightarrow{PQ} &= \left[\dfrac{72}{17},\ -\dfrac{18}{17}\right] = \dfrac{18}{17} \cdot [4, -1] \end{aligned} \]

Lengden finner vi med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor. Den positive faktoren \( \dfrac{18}{17} \) kan stå utenfor roten: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{PQ}| &= \dfrac{18}{17} \cdot \sqrt{4^2 + (-1)^2} \\ |\overrightarrow{PQ}| &= \dfrac{18\sqrt{17}}{17} \end{aligned} \]

1. Regn ut avstanden i CAS Avstand gir den korteste avstanden fra et punkt til en linje, og Linje lager linjen gjennom to punkter:

Skriv inn i GeoGebra: Avstand((2, 8), Linje((4, -2), (6, 6)))

CAS gir den eksakte avstanden \( \dfrac{18\sqrt{17}}{17}\text{.} \)

Vi regner ut avstanden fra et punkt til \( \ell \) som i a).

Grafen er nærmest linjen der tangenten er parallell med \( \ell\text{.} \) Vi finner punktet der \( f'(x) \) er lik stigningstallet til \( \ell\text{,} \) og avstanden derfra til linjen.

1. Sjekk at grafen ikke når linjen \( {\overrightarrow{AB} = [2, 8]} \) gir stigningstallet \( {\dfrac{8}{2} = 4}\text{,} \) som \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) i videoen Definisjonen til den deriverte. Linjen går gjennom \( {A(4, -2)}\text{,} \) så \( {-2 = 4 \cdot 4 + b} \) gir \( {b = -18}\text{,} \) og \( \ell \) er \( {y = 4x - 18}\text{.} \) Forskjellen mellom grafen og linjen er: \[ \begin{aligned} f(x) - (4x - 18) &= x^2 - 2x + 18 \\ &= (x - 1)^2 + 17 \end{aligned} \]Her bruker vi andre kvadratsetning, \( {(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1}\text{.} \) Forskjellen er alltid minst \( 17\text{,} \) så grafen ligger over linjen og når den aldri.

2. Finn der tangenten er parallell I punktet på grafen som er nærmest linjen, må tangenten være parallell med \( \ell\text{.} \) Ellers kunne vi gått litt langs grafen og kommet nærmere. Tangenten har stigningstallet \( f'(x)\text{,} \) som i videoen Tangentlinje: \[ \begin{aligned} f'(x) = 2x + 2 &= 4 \\ x &= 1 \end{aligned} \]Punktet på grafen er \( {T(1, f(1)) = (1, 3)}\text{.} \)

3. Regn ut avstanden fra T Vi gjør som i a), med \( T(1, 3) \) i stedet for \( P\text{.} \) Med \( {Q = (4 + 2s,\ -2 + 8s)} \) er \( {\overrightarrow{TQ} = [\textcolor{blue}{3 + 2s},\ \textcolor{red}{-5 + 8s}]}\text{,} \) og skalarproduktet med \( {\overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{8}]} \) skal være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2(3 + 2s)} + \textcolor{red}{8(-5 + 8s)} &= 0 \\ 68s - 34 &= 0 \\ s &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Da er \( {Q = (5, 2)} \) og \( {\overrightarrow{TQ} = [4, -1]}\text{,} \) så avstanden er: \[ |\overrightarrow{TQ}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17} \]

1. Løs i CAS Vi finner der \( {f'(x) = 4}\text{,} \) og avstanden fra det punktet på grafen til linjen:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := x^2 + 2x Løs(f'(x) = 4, x) Avstand((1, f(1)), Linje((4, -2), (6, 6)))

CAS gir \( {x = 1} \) og den eksakte avstanden \( \sqrt{17}\text{.} \)