R1 eksamen høsten 2024

Vi regner ut lengden av alle fire vektorene og sammenligner. Ortogonale vektorer har skalarprodukt \( 0\text{,} \) så vi regner ut skalarproduktet for hvert par.

1. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{u}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2} = \sqrt{13} \\ |\vec{v}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{4}^2 + (\textcolor{red}{-6})^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \\ |\vec{w}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + (\textcolor{red}{-3})^2} = \sqrt{13} \\ |\vec{p}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{12}^2} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \end{aligned} \]Bare \( \vec{u} \) og \( \vec{w} \) er like lange.

2. Regn ut skalarproduktene To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Vi regner ut alle seks parene: \[ \begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= \textcolor{blue}{3 \cdot 4} + \textcolor{red}{(-2) \cdot (-6)} = 24 \\ \vec{u} \cdot \vec{w} &= \textcolor{blue}{3 \cdot 2} + \textcolor{red}{(-2) \cdot (-3)} = 12 \\ \vec{u} \cdot \vec{p} &= \textcolor{blue}{3 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-2) \cdot 12} = 0 \\ \vec{v} \cdot \vec{w} &= \textcolor{blue}{4 \cdot 2} + \textcolor{red}{(-6) \cdot (-3)} = 26 \\ \vec{v} \cdot \vec{p} &= \textcolor{blue}{4 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-6) \cdot 12} = -40 \\ \vec{w} \cdot \vec{p} &= \textcolor{blue}{2 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-3) \cdot 12} = -20 \end{aligned} \]Bare \( {\vec{u} \cdot \vec{p} = 0}\text{,} \) så bare \( \vec{u} \) og \( \vec{p} \) er ortogonale.

Vi regner ut \( {\vec{u} + 2\vec{q}} \) med koordinater. To vektorer er like når førstekoordinatene er like og andrekoordinatene er like.

1. Regn ut vektoren Vi ganger begge koordinatene i \( \vec{q} \) med \( 2\text{,} \) som i videoen Hva er en Skalar?: \[ 2\vec{q} = [4a - 6,\ 2 + 6b] \]

Med \( {\vec{u} = [3, -2]} \) legger vi sammen koordinatene hver for seg, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} \vec{u} + 2\vec{q} &= [\textcolor{blue}{3 + 4a - 6},\ \textcolor{red}{-2 + 2 + 6b}] \\ &= [\textcolor{blue}{4a - 3},\ \textcolor{red}{6b}] \end{aligned} \]

2. Sett koordinatene like Vektoren skal være \( [\textcolor{blue}{7}, \textcolor{red}{5}]\text{,} \) så både førstekoordinatene og andrekoordinatene må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4a - 3} &= \textcolor{blue}{7} \\ a &= \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{6b} &= \textcolor{red}{5} \\ b &= \dfrac{5}{6} \end{aligned} \]

Vannmengden ved start er \( V(0)\text{.} \) Vi finner når \( V(t) \) er halvparten av den, og får \( t \) ned fra eksponenten med \( \ln\text{.} \)

1. Finn vannmengden ved start Ved start er \( {t = 0}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ V(0) = 10000 \cdot e^{0} + 500 = 10\,500 \]Halvparten er \( 5250 \) liter.

2. Løs likningen med ln Vi setter \( {V(t) = 5250}\text{,} \) trekker fra \( 500 \) og deler på \( 10000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 10000 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} + 500 &= 5250 \\ e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} &= 0{,}475 \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Siden \( {\ln\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right) = \textcolor{green}{u}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-0{,}07t} &= \ln 0{,}475 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}475}{-0{,}07} \approx 10{,}63 \end{aligned} \]Det tar omtrent \( 10{,}6 \) timer, altså omtrent \( 10 \) timer og \( 38 \) minutter.

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( V(t) \) i CAS og løser \( {V(t) = \dfrac{1}{2} \cdot V(0)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 10000*e^(-0.07t) + 500 V(0) Løs(V(t) = V(0)/2, t)

CAS gir \( {V(0) = 10\,500} \) og \( {t \approx 10{,}6349}\text{.} \) Det tar omtrent \( 10{,}6 \) timer.

\( V'(12) \) er hvor fort vannmengden endrer seg etter 12 timer, og \( V''(12) \) er hvor fort selve endringen endrer seg. Med kalkulator deriverer vi for hånd først.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-0{,}07t}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-0{,}07}}\text{.} \) Konstanten \( 500 \) har derivert \( 0\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} V'(t) &= 10000 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} \cdot (\textcolor{green}{-0{,}07}) \\ V'(t) &= -700 \cdot e^{-0{,}07t} \end{aligned} \]

Vi deriverer én gang til på samme måte: \[ \begin{aligned} V''(t) &= -700 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} \cdot (\textcolor{green}{-0{,}07}) \\ V''(t) &= 49 \cdot e^{-0{,}07t} \end{aligned} \]

2. Regn ut verdiene Med \( {t = 12} \) er \( {e^{-0{,}07 \cdot 12} = e^{-0{,}84}}\text{.} \) Med alle desimalene fra kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} V'(12) &= -700 \cdot e^{-0{,}84} \approx -302{,}2 \\ V''(12) &= 49 \cdot e^{-0{,}84} \approx 21{,}2 \end{aligned} \]

3. Tolk svarene \( V'(12) \) er endringen i vannmengden per time etter 12 timer. Den er negativ, så vannmengden minker med omtrent \( 302 \) liter per time.

\( V'' \) forteller hvor fort \( V' \) endrer seg, slik akselerasjonen er den dobbeltderiverte av posisjonen i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. \( {V''(12) > 0}\text{,} \) så \( V' \) øker: lekkasjen avtar, og vannmengden minker omtrent \( 21 \) liter per time saktere for hver time som går.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( V(t) \) i CAS og regner ut de deriverte i \( {t = 12} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 10000*e^(-0.07t) + 500 V'(12) V''(12)

CAS gir \( {V'(12) \approx -302{,}1974} \) og \( {V''(12) \approx 21{,}1538}\text{.} \) Etter 12 timer minker vannmengden altså med omtrent \( 302 \) liter per time, og lekkasjen avtar med omtrent \( 21 \) liter per time, per time.

Vi ser hva \( V(t) \) går mot når \( t \) vokser, og om \( V \) kan gå mot uendelig for en bestemt \( t\text{.} \)

1. La tiden gå mot uendelig Når \( t \to \infty\text{,} \) går \( {\textcolor{blue}{e^{-0{,}07t}} = \dfrac{1}{e^{0{,}07t}} \to 0}\text{,} \) fordi nevneren vokser uten grense. Det gir: \[ \lim_{t \to \infty} V(t) = 10000 \cdot \textcolor{blue}{0} + 500 = 500 \]

Grafen nærmer seg linja \( {V = 500}\text{,} \) så \( {V = 500} \) er en vannrett asymptote, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Leddet \( {10000 \cdot e^{-0{,}07t}} \) er alltid positivt, så \( {V(t) > 500} \) for alle \( t\text{.} \)

2. Se etter loddrette asymptoter En loddrett asymptote krever at funksjonen går mot uendelig når \( t \) nærmer seg et bestemt tall. \( V \) har ingen brøk med \( t \) i nevneren og ingen logaritme, så den er definert og kontinuerlig for alle \( t\text{.} \) Den har derfor ingen loddrette asymptoter.

3. Tolk asymptoten Vannmengden nærmer seg \( 500 \) liter, men blir aldri mindre. Etter lang tid er det altså omtrent \( 500 \) liter igjen i reservoaret, for eksempel fordi lekkasjen sitter et stykke opp fra bunnen.

Påstanden skal gjelde for alle funksjoner, så ett moteksempel er nok til å vise at den er usann. Grenseverdiene sier bare hva som skjer langt ute til venstre og til høyre.

1. Let etter et moteksempel Finner vi to funksjoner som har de samme grenseverdiene, men som ikke er like, er påstanden usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

Vi velger: \[ \textcolor{blue}{f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}} \qquad \textcolor{red}{g(x) = 0} \]

2. Sjekk grenseverdiene Når \( x \to \infty \) eller \( {x \to -\infty}\text{,} \) vokser nevneren \( {x^2 + 1} \) uten grense, så brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to \infty} \textcolor{red}{g(x)} \\ \lim_{x \to -\infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to -\infty} \textcolor{red}{g(x)} \end{aligned} \]

Begge kravene i påstanden er oppfylt, men funksjonene er ikke like: \[ \textcolor{blue}{f(0)} = \dfrac{1}{0 + 1} = 1 \neq 0 = \textcolor{red}{g(0)} \]Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}} \) og \( {g(x) = 2}\text{.} \)

Vi skriver \( |x| \) uten absoluttverdi på hver side av \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) bruker vi definisjonen av den deriverte og ser på stigningstallet fra hver side.

1. Deriver på hver side av null For \( {x \ge 0} \) er \( {|x| = x}\text{,} \) og for \( {x < 0} \) er \( {|x| = -x}\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{-x}, & x < 0 \\ \textcolor{red}{x}, & x \ge 0 \end{cases} \]Det gir \( {\textcolor{red}{f'(x) = 1}} \) for \( {x > 0} \) og \( {\textcolor{blue}{f'(x) = -1}} \) for \( {x < 0}\text{,} \) så \( f \) er deriverbar for alle \( {x \neq 0}\text{.} \)

2. Bruk definisjonen i null Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er \( {f(0 + h) - f(0) = |h|}\text{.} \) Fra høyre er \( {h > 0}\text{,} \) og fra venstre er \( {h < 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} h > 0\text{:} \quad \dfrac{|h|}{h} &= \dfrac{h}{h} = \textcolor{red}{1} \\ h < 0\text{:} \quad \dfrac{|h|}{h} &= \dfrac{-h}{h} = \textcolor{blue}{-1} \end{aligned} \]Grenseverdiene fra høyre og fra venstre er ulike, så grenseverdien finnes ikke, og \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \) Grafen har en knekk i origo.

Påstanden stemmer derfor: \( f \) er deriverbar overalt unntatt i \( {x = 0}\text{.} \)

Påstanden sier «alltid», så den skal gjelde for alle \( a \in \mathbb{R}\text{.} \) Finner vi én verdi av \( a \) der likningen også har andre løsninger, er påstanden usann.

1. Let etter et moteksempel Vi prøver \( {\textcolor{green}{a = 1}}\text{.} \) En potens er et produkt der grunntallet er faktor like mange ganger som eksponenten sier, som i videoen Hva er en Potens, så for eksempel er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} &= 1 \cdot 1 = 1 \\ \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}} &= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]Da er \( {\textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} = \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}}}\text{,} \) så \( {x = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {y = \textcolor{red}{3}} \) er en løsning av likningen, selv om \( {2 \neq 3}\text{.} \) Dette er et moteksempel, og påstanden er usann.

Påstanden gjelder når \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{,} \) fordi \( a^x \) da enten vokser hele tiden eller avtar hele tiden, og tar hver verdi bare én gang.

Formen \( {A_0 \cdot k^t} \) er en eksponentiell modell, så vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra på alle punktene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på å tolke \( A_0 \) og \( k\text{,} \) og på c) og d) med modellene i svarene, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver månedene i kolonne A og antall tusen fisk i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A_0} \) og \( \textcolor{blue}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Kommandoen heter RegEksp, og GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ A(t) = \textcolor{red}{A_0} \cdot \textcolor{blue}{k}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{A_0} \approx \textcolor{red}{1{,}6012}} \) og \( {\textcolor{blue}{k} \approx \textcolor{blue}{1{,}6341}}\text{.} \)

3. Tolk tallene \( \textcolor{red}{A_0} \) er antall tusen fisk ved \( {t = 0}\text{,} \) da arten først ble registrert. Ifølge modellen var det omtrent \( 1600 \) fisk. Tabellen sier \( 1000\text{:} \) regresjonen går nær alle punktene, men ikke nødvendigvis gjennom det første.

\( \textcolor{blue}{k} \) er vekstfaktoren per måned. Siden \( {\textcolor{blue}{k} \approx 1{,}634 = 1 + 0{,}634}\text{,} \) øker antall fisk med omtrent \( 63\,\% \) hver måned.

Formen er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. \( N_0 \) er verdien modellen gir ved \( {t = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på c) og d) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Kjør logistisk regresjon Lista med punkt fra a) heter \( l_1\text{.} \) Logistisk regresjon finner de tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Til slutt regner vi ut \( N(0)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: N(x) = RegLogist(l1) N_0 = N(0)

2. Les av de tre tallene GeoGebra gir modellen på formen \( {\dfrac{\textcolor{red}{B}}{1 + \textcolor{green}{b} \cdot e^{-\textcolor{blue}{r}x}}}\text{.} \) Sammenligner vi med formen i oppgaven, er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{B} &\approx \textcolor{red}{111{,}3734} \\ \textcolor{blue}{r} &\approx \textcolor{blue}{0{,}5244} \\ \textcolor{green}{\dfrac{B - N_0}{N_0}} &\approx \textcolor{green}{57{,}2048} \end{aligned} \]

\( N_0 \) er antall tusen fisk ved \( {t = 0} \) i modellen, altså \( {N(0) \approx 1{,}9135}\text{,} \) som GeoGebra regnet ut. Tabellen sier \( 1\text{:} \) RegLogist tilpasser kurven til alle punktene, så modellens verdi ved \( {t = 0} \) er ikke den første verdien i tabellen, som i a).

Kontroll: \( {\dfrac{111{,}3734 - 1{,}9135}{1{,}9135} \approx 57{,}20}\text{,} \) som er tallet foran \( e \) i modellen.

Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer begge modellene og ser om vekstfarten øker hele tiden, eller om den har et toppunkt.

1. Deriver den eksponentielle modellen I a) fant vi modellen: \[ A(t) \approx 1{,}60 \cdot \textcolor{blue}{1{,}634}^t \]Den deriverte av \( \textcolor{blue}{k}^t \) er: \[ \left(\textcolor{blue}{k}^t\right)' = \textcolor{blue}{k}^t \cdot \ln \textcolor{blue}{k} \]Den følger av kjerneregelen, siden \( {\textcolor{blue}{k}^t = e^{t \cdot \ln \textcolor{blue}{k}}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Det gir: \[ \begin{aligned} A'(t) &= 1{,}60 \cdot \textcolor{blue}{1{,}634}^t \cdot \ln \textcolor{blue}{1{,}634} \\ A'(t) &\approx 0{,}786 \cdot 1{,}634^t \end{aligned} \]Dette er \( A(t) \) ganget med \( \ln 1{,}634\text{,} \) så vekstfarten øker med samme prosent som antall fisk, \( 63\,\% \) per måned. Den øker hele tiden, og fortere og fortere.

2. Deriver den logistiske modellen I b) fant vi modellen, som vi skriver med \( {\textcolor{darkorange}{w} = \textcolor{darkorange}{57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t}}}\text{:} \) \[ N(t) \approx \dfrac{111{,}4}{1 + \textcolor{darkorange}{w}} = 111{,}4 \cdot (1 + \textcolor{darkorange}{w})^{-1} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(u^{-1}\right)' = -u^{-2} \cdot u' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {u = 1 + \textcolor{darkorange}{w}}\text{.} \) Siden \( {(e^{-0{,}524t})' = -0{,}524 \cdot e^{-0{,}524t}}\text{,} \) er \( {u' = \textcolor{darkorange}{w'} = -0{,}524 \cdot \textcolor{darkorange}{w}}\text{.} \) De to minustegnene gir pluss: \[ N'(t) = \dfrac{111{,}4 \cdot 0{,}524 \cdot \textcolor{darkorange}{w}}{(1 + \textcolor{darkorange}{w})^2} \]

Setter vi inn \( \textcolor{darkorange}{w}\text{,} \) og bruker at \( {111{,}4 \cdot 0{,}524 \cdot 57{,}20 \approx 3340}\text{,} \) avrundet til tre gjeldende sifre, får vi: \[ N'(t) \approx \dfrac{3340 \cdot e^{-0{,}524t}}{(1 + 57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t})^2} \]

3. Finn ut når vekstfarten er størst Siden \( {N = \dfrac{111{,}4}{1 + w}} \) og \( {1 - \dfrac{N}{111{,}4} = \dfrac{w}{1 + w}}\text{,} \) kan den deriverte skrives: \[ N'(t) = 0{,}524 \cdot N \cdot \left(1 - \dfrac{N}{111{,}4}\right) \]

Dette er et andregradsuttrykk i \( N \) med nullpunkter \( {N = 0} \) og \( {N = 111{,}4}\text{.} \) Det er størst midt mellom dem, når \( {N = 55{,}7}\text{.} \) Antallet \( N \) vokser hele tiden mot \( 111{,}4\text{,} \) så vekstfarten øker til \( {N = 55{,}7} \) og avtar etterpå. Det skjer når \( {\textcolor{darkorange}{w} = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t}} &= 1 \\ t &= \dfrac{\ln 57{,}20}{0{,}524} \approx 7{,}7 \end{aligned} \]Da er vekstfarten: \[ N'(t) = 0{,}524 \cdot 55{,}7 \cdot \dfrac{1}{2} \approx 14{,}6 \]Vekstfarten øker altså til omtrent \( 14{,}6 \) tusen fisk per måned etter omtrent \( 7{,}7 \) måneder, og avtar så mot \( 0 \) når antallet nærmer seg bæreevnen.

1. Deriver i CAS I a) og b) lagret vi modellene som \( A \) og \( N \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi deriverer dem i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: A'(x) N'(x)

Nevneren i \( N'(x) \) er \( {(1 + 57{,}2048 \cdot e^{-0{,}5244x})^2} \) ganget ut, og \( {e^{0{,}4911} \approx 1{,}6341}\text{.} \) CAS gir altså: \[ \begin{aligned} A'(t) &\approx 0{,}7863 \cdot 1{,}6341^t \\ N'(t) &\approx \dfrac{3340{,}95 \cdot e^{-0{,}5244t}}{(1 + 57{,}2048 \cdot e^{-0{,}5244t})^2} \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet til den deriverte Vi tegner grafene til \( A' \) og \( N'\text{,} \) og finner toppunktet til \( N' \) med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(A) Derivert(N) T = Ekstremalpunkt(N', 0, 14)

Grafen til \( A' \) stiger stadig brattere, og grafen til \( N' \) har toppunktet \( {T \approx (7{,}7168,\ 14{,}6008)}\text{.} \) Med den eksponentielle modellen øker vekstfarten hele tiden. Med den logistiske er den størst etter omtrent \( 7{,}7 \) måneder, omtrent \( 14{,}6 \) tusen fisk per måned, og avtar så mot \( 0\text{.} \)

Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

En innsjø har bare plass og mat til et begrenset antall fisk. Den logistiske modellen har en bæreevne, så vi velger den og regner ut \( N(12)\text{.} \)

1. Velg modell Vi sammenligner modellene med tabellen og ser hvordan de oppfører seg etter det siste punktet, som når vi vurderer gyldighetsområdet i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den eksponentielle modellen gir for mye allerede ved \( {t = 8}\text{,} \) og den vokser uten grense: \[ A(8) \approx 1{,}60 \cdot 1{,}634^8 \approx 81 \]mens tabellen sier \( 60 \) tusen fisk.

Den logistiske modellen går nær alle punktene i tabellen og flater ut mot bæreevnen, omtrent \( 111\,400 \) fisk. Den beskriver situasjonen best.

2. Regn ut antallet etter 12 måneder I b) fant vi modellen: \[ N(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{111{,}4}}{1 + \textcolor{green}{57{,}20} \cdot e^{-\textcolor{blue}{0{,}524}t}} \]

Vi setter inn \( {t = 12}\text{:} \) \[ \begin{aligned} N(12) &\approx \dfrac{\textcolor{red}{111{,}4}}{1 + \textcolor{green}{57{,}20} \cdot e^{-\textcolor{blue}{0{,}524} \cdot 12}} \\ &\approx 100{,}7 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 100\,700 \) fisk.

1. Regn ut antallet i GeoGebra I a) og b) lagret vi modellene som \( A \) og \( N \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi tegner begge sammen med punktene og regner ut \( N(12)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: n = N(12)

Grafen til \( A \) stiger forbi det siste punktet, mens \( N \) følger punktene og flater ut. GeoGebra gir \( {N(12) \approx 100{,}7163}\text{,} \) altså omtrent \( 100\,700 \) fisk.

En funksjon har en omvendt funksjon når hver verdi av \( y \) kommer fra bare én verdi av \( x\text{.} \) Vi ser på hver graf for seg.

1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike verdier av \( x \) gir ulike verdier av \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]

2. Se på hver graf \( f \) stiger hele tiden fra \( (0, 3) \) mot \( (2, 7)\text{,} \) så hver verdi av \( y \) kommer fra bare én \( x\text{.} \) \( f \) har en omvendt funksjon.

\( h \) stiger, synker og stiger igjen. Den vannrette linja \( {y = 5} \) skjærer grafen tre ganger, én av dem i \( (0, 5)\text{,} \) så tre verdier av \( x \) gir \( {y = 5}\text{.} \) \( h \) har ingen omvendt funksjon.

\( g \) består av to linjestykker, og endene er tegnet som i et intervall: en hakeparentes betyr at endepunktet er med, og en vinkelparentes, lik en pilspiss, at det ikke er med. Slik må det være, ellers ville \( g \) hatt to verdier i \( {x = 1}\text{.} \) Det nederste linjestykket gir \( {\textcolor{blue}{y \in \langle -3, 0\rangle}}\text{,} \) og det øverste gir \( \textcolor{red}{y \in [0, 2]}\text{.} \) Punktet \( (1, 0) \) er ikke med, så \( {y = 0} \) kommer bare fra \( (2, 0)\text{.} \) Hver verdi av \( y \) kommer fra bare én \( x\text{,} \) så \( g \) har en omvendt funksjon, selv om grafen både stiger og synker.

Vi bruker fra a) at \( f \) og \( g \) har en omvendt funksjon. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner funksjonsuttrykkene fra grafene, skriver \( {y = f(x)} \) og løser for \( x\text{.} \) Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er verdimengden til funksjonen.

1. Finn uttrykket for f Grafen til \( f \) ser ut som en parabel med bunnpunkt i \( (0, 3)\text{,} \) og den går gjennom \( (1, 4) \) og \( (2, 7)\text{.} \) Det passer med \[ f(x) = x^2 + 3, \quad x \in [0, 2\rangle \]siden \( {1^2 + 3 = 4} \) og \( {2^2 + 3 = 7}\text{.} \)

2. Finn den omvendte funksjonen til f Vi skriver \( {y = x^2 + 3} \) og løser for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Siden \( {x \ge 0}\text{,} \) tar vi den positive roten: \[ \begin{aligned} x^2 &= y - 3 \\ x &= \sqrt{y - 3} \end{aligned} \]

Verdimengden til \( f \) er \( [3, 7\rangle\text{,} \) fordi \( (0, 3) \) er med og \( (2, 7) \) ikke er med. Den blir definisjonsmengden til den omvendte funksjonen, og vi bytter navn på variabelen: \[ f^{-1}(x) = \sqrt{x - 3}, \quad D_{f^{-1}} = [3, 7\rangle \]

3. Finn uttrykkene for g En rett linje har likningen \[ y = ax + b \]der stigningstallet er \( {a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}}\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det nederste linjestykket går gjennom \( {(-2, -3)} \) og \( (1, 0)\text{,} \) og det øverste gjennom \( (1, 2) \) og \( (2, 0)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{0 - (-3)}{1 - (-2)}} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{a_2} &= \textcolor{red}{\dfrac{0 - 2}{2 - 1}} = \textcolor{red}{-2} \end{aligned} \]

Det nederste skjærer \( y \)-aksen i \( {-1}\text{,} \) så \( {b_1 = -1}\text{.} \) For det øverste gir punktet \( (2, 0) \) at \( {0 = \textcolor{red}{-2} \cdot 2 + b_2}\text{,} \) så \( {b_2 = 4}\text{:} \) \[ g(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{x - 1}, & x \in \langle -2, 1\rangle \\ \textcolor{red}{-2x + 4}, & x \in [1, 2] \end{cases} \]

4. Finn den omvendte funksjonen til g Vi løser hvert uttrykk for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{x - 1} & x &= y + 1 \\ \textcolor{red}{y} &= \textcolor{red}{-2x + 4} & x &= 2 - \dfrac{y}{2} \end{aligned} \]

Verdimengdene fra a), \( {\textcolor{blue}{\langle -3, 0\rangle}} \) og \( \textcolor{red}{[0, 2]}\text{,} \) blir definisjonsmengdene. Vi bytter navn på variabelen: \[ g^{-1}(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{x + 1}, & x \in \langle -3, 0\rangle \\ \textcolor{red}{2 - \dfrac{x}{2}}, & x \in [0, 2] \end{cases} \]Definisjonsmengden er \( {D_{g^{-1}} = \langle -3, 2]}\text{.} \)

Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren.

1. Finn fartsvektorene Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg, og konstantene har derivert \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \vec{v}_1(t) &= [\textcolor{blue}{6}, \textcolor{red}{-3}] \\ \vec{v}_2(t) &= [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{4}] \end{aligned} \]Fartsvektorene er de samme hele tiden, så begge fuglene flyr med konstant fart.

2. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}_1| &= \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2 + (\textcolor{red}{-3})^2} = \sqrt{45} \approx 6{,}71 \\ |\vec{v}_2| &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}40 \end{aligned} \]

Avstanden mellom fuglene er lengden av vektoren mellom posisjonene deres.

1. Finn posisjonene Vi setter \( {t = 0} \) inn i begge posisjonsvektorene: \[ \begin{aligned} \vec{r}_1(0) &= [-10, 35] \\ \vec{r}_2(0) &= [2, 0] \end{aligned} \]

2. Regn ut avstanden En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \vec{r}_2(0) - \vec{r}_1(0) = [\textcolor{blue}{12}, \textcolor{red}{-35}] \]

Lengden finner vi med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} d &= \sqrt{\textcolor{blue}{12}^2 + (\textcolor{red}{-35})^2} \\ d &= \sqrt{1369} = 37 \end{aligned} \]

Vi finner avstanden mellom fuglene som en funksjon \( d(t)\text{.} \) Den er minst der den deriverte er \( 0\text{.} \)

1. Finn avstanden som funksjon av tiden Vektoren fra fugl 1 til fugl 2 har førstekoordinat \( {2 + 5t - (-10 + 6t) = \textcolor{blue}{12 - t}} \) og andrekoordinat \( {4t - (35 - 3t) = \textcolor{red}{7t - 35}}\text{.} \) Med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) er avstanden: \[ d(t) = \sqrt{(\textcolor{blue}{12 - t})^2 + (\textcolor{red}{7t - 35})^2} \]

Ganger vi ut kvadratene og trekker sammen, får vi: \[ d(t) = \sqrt{50t^2 - 514t + 1369} \]

2. Finn når avstanden er minst Avstanden er minst der \( {d'(t) = 0}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{u}}\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{u'}}{2\sqrt{\textcolor{green}{u}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen. Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{50t^2 - 514t + 1369}}\text{:} \) \[ d'(t) = \dfrac{\textcolor{green}{100t - 514}}{2\sqrt{50t^2 - 514t + 1369}} \]

Nevneren er positiv, så \( {d'(t) = 0} \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 100t - 514 &= 0 \\ t &= 5{,}14 \end{aligned} \]Telleren er negativ før og positiv etter, så avstanden minker og så øker. Fuglene er nærmest hverandre etter \( 5{,}14 \) sekunder.

3. Regn ut den minste avstanden Vi setter inn \( {t = 5{,}14} \) i koordinatene til vektoren: \( {\textcolor{blue}{12 - 5{,}14 = 6{,}86}} \) og \( {\textcolor{red}{7 \cdot 5{,}14 - 35 = 0{,}98}}\text{.} \) Det gir: \[ d(5{,}14) = \sqrt{\textcolor{blue}{6{,}86}^2 + \textcolor{red}{0{,}98}^2} \approx 6{,}93 \]

1. Løs i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og lar Avstand gi avstanden \( d(t)\text{.} \) Så løser vi \( {d'(t) = 0}\text{,} \) og regner ut den siste raden med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r_1(t) := (-10 + 6t, 35 - 3t) r_2(t) := (2 + 5t, 4t) d(t) := Avstand(r_1(t), r_2(t)) Løs(d'(t) = 0, t) d(257/50)

CAS gir \( {t = \dfrac{257}{50} = 5{,}14} \) og \( {d \approx 6{,}9296}\text{.} \) Fuglene er nærmest hverandre etter \( 5{,}14 \) sekunder, omtrent \( 6{,}93 \) meter fra hverandre.

Vi sammenligner med farten til småfuglene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Rovfuglen tar en småfugl bare hvis de er på samme sted til samme tid. Vi sjekker om begge koordinatene kan være like samtidig.

1. Sjekk om rovfuglen tar fugl 1 Skal rovfuglen ta fugl 1, må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \) Førstekoordinatene gir: \[ \begin{aligned} 7t - 10 &= -10 + 6t \\ t &= 0 \end{aligned} \]Ved \( {t = 0} \) er andrekoordinatene ulike: \[ \begin{aligned} \text{rovfuglen: } \textcolor{red}{2 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 5} &= \textcolor{red}{5} \\ \text{fugl 1: } \textcolor{blue}{35 - 3 \cdot 0} &= \textcolor{blue}{35} \end{aligned} \]De er ikke på samme sted, så rovfuglen tar ikke fugl 1.

2. Sjekk om rovfuglen tar fugl 2 Førstekoordinatene gir: \[ \begin{aligned} 7t - 10 &= 2 + 5t \\ t &= 6 \end{aligned} \]Ved \( {t = 6} \) er andrekoordinatene ulike: \[ \begin{aligned} \text{rovfuglen: } \textcolor{red}{2 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 5} &= \textcolor{red}{41} \\ \text{fugl 2: } \textcolor{blue}{4 \cdot 6} &= \textcolor{blue}{24} \end{aligned} \]Heller ikke de er på samme sted, så rovfuglen tar ikke fugl 2.

3. Beskriv jakten Rovfuglen starter i \( {(-10, 5)}\text{,} \) \( 30 \) meter fra fugl 1. Fartsvektoren er den deriverte, \( {\vec{v}_R(t) = [7,\ 4t - 6]}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon, så farten er: \[ |\vec{v}_R(t)| = \sqrt{7^2 + (4t - 6)^2} \]Den er minst, \( 7 \) m/s, når \( {t = 1{,}5}\text{.} \) Rovfuglen er altså hele tiden raskere enn småfuglene, som i a) flyr med omtrent \( 6{,}71 \) og \( 6{,}40 \) m/s. Etter \( {t = 1{,}5} \) flyr den stadig fortere, og ved \( {t = 6} \) er farten \( {\sqrt{373} \approx 19{,}3} \) m/s. Likevel er den da i \( (32, 41)\text{,} \) \( 17 \) meter fra fugl 2 i \( (32, 24)\text{.} \) Den tar ingen av dem.

Andre beskrivelser er også riktige, for eksempel hvor nær rovfuglen kommer hver av småfuglene, som i GeoGebra-ruten.

1. Sjekk om de møtes Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser \( {\vec{r}_R(t) = \vec{r}_1(t)} \) og \( {\vec{r}_R(t) = \vec{r}_2(t)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: R(t) := (7t - 10, 2t^2 - 6t + 5) r_1(t) := (-10 + 6t, 35 - 3t) r_2(t) := (2 + 5t, 4t) Løs(R(t) = r_1(t), t) Løs(R(t) = r_2(t), t)

Begge likningene er uten løsning, så rovfuglen er aldri på samme sted som en småfugl til samme tid.

2. Finn hvor nær rovfuglen kommer Vi lar Avstand gi avstanden til hver småfugl, og finner den minste avstanden de første 6 sekundene med Min, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: D_1(t) := Avstand(R(t), r_1(t)) D_2(t) := Avstand(R(t), r_2(t)) Min(D_1, 0, 6) Min(D_2, 0, 6)

Rovfuglen kommer nærmest fugl 2, omtrent \( 3{,}0 \) meter etter omtrent \( 4{,}5 \) sekunder, og fugl 1, omtrent \( 4{,}7 \) meter etter omtrent \( 4{,}7 \) sekunder. Den tar ingen av dem.