Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

optimering

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

4 oppgaver i R1 om optimering

Oppgavene

R1 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

3 poeng

Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon f f gitt ved f(x)=100⋅0,8x {f(x) = 100 \cdot 0{,}8^x} og et rektangel ABCD. ABCD\text{.}
Punktet A A har koordinatene A(a,f(a)) A(a, f(a)) der a∈[0,5⟩. a \in [0, 5\rangle\text{.} Punktene B B og C C har førstekoordinat 5, 5\text{,} og punktene C C og D D har andrekoordinat 200. 200\text{.}

Oppgave 3a)

Uttrykk lengden av linjestykkene AB AB og AD AD ved a. a\text{.}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Uttrykt ved a: a\text{:}
AB=5−a‾‾AD=200−100⋅0,8a‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{AB = 5 - a}} \\ &\underline{\underline{AD = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a}} \end{aligned}
\( AB \) er vannrett, så lengden er forskjellen mellom førstekoordinatene. \( AD \) er loddrett, så lengden er forskjellen mellom andrekoordinatene.
Metode: For hånd
1. Finn lengdene \( A \) har førstekoordinat \( a\text{,} \) og \( B \) har førstekoordinat \( 5\text{.} \) Siden \( {a < 5}\text{,} \) er: \[ AB = \textcolor{red}{5 - a} \]
\( A \) har andrekoordinat \( {f(a) = 100 \cdot 0{,}8^a}\text{,} \) og \( D \) har andrekoordinat \( 200\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a \le 1} \) når \( {a \ge 0}\text{,} \) er \( {f(a) \le 100}\text{,} \) så \( D \) ligger over \( A\text{:} \) \[ AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a} \]

Oppgave 3b)

Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektangelet ABCD ABCD kan få.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Avrundet til et helt tall, når a≈0,17: {a \approx 0{,}17}\text{:}
Største areal≈501‾‾ \underline{\underline{\text{Største areal} \approx 501}}
Vi bruker lengdene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Arealet er \( {AB \cdot AD}\text{,} \) en funksjon av \( a\text{.} \) Vi finner der den deriverte er \( 0\text{,} \) viser at det er et toppunkt, og sammenligner med endepunktet \( {a = 0}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen der den deriverte er \( 0\text{,} \) kan ikke løses for hånd. Øv heller på å sette opp arealet og den deriverte for hånd, med produktregelen og \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{,} \) og på å avgjøre fortegnet til den deriverte.
Metode: Med GeoGebra
1. Sett opp arealet som en funksjon I a) fant vi \( {AB = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Navnet \( A \) er brukt på et punkt, så vi kaller arealet \( T(a)\text{:} \) \[ T(a) = (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \]der \( a \in [0, 5\rangle\text{.} \)
2. Deriver og løs med CAS Oppgaven krever derivasjon, fordi en annen metode, som å lese av en graf, bare gir noe uttelling. Arealet er et produkt, og produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
Her er \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a = e^{a \cdot \ln 0{,}8}}\text{,} \) gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, at \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= \textcolor{red}{-1} \cdot (\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \\ &{}+ (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \ln 0{,}8}) \end{aligned} \]
Vi lar CAS kontrollere den deriverte og løse \( {T'(a) = 0}\text{.} \) Likningen kan ikke løses eksakt, så vi bruker NLøs med startverdien \( {a = 0{,}2}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 100*0.8^x T(a) := (5 - a)*(200 - f(a)) T'(a) NLøs(T'(a) = 0, a = 0.2)
CAS gir \( {T'(a) = 0} \) når \( {a \approx 0{,}1707}\text{.} \)
3. Vis at det er et toppunkt Faktoriserer vi ut \( {100 \cdot 0{,}8^a} \) fra leddene som har den, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= 100 \cdot 0{,}8^a \cdot g(a) - 200 \\ g(a) &= 1 - (5 - a) \cdot \ln 0{,}8 \end{aligned} \]Siden \( {\ln 0{,}8 < 0}\text{,} \) er \( g(a) \) positiv og blir mindre når \( a \) øker, og \( 0{,}8^a \) blir også mindre. Derfor avtar \( T'(a)\text{,} \) og den er \( 0 \) bare én gang.
Vi sjekker fortegnet på hver side og regner ut arealet i CAS, radene 5 til 7 med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: T'(0) T'(1) T(0.1707) T(0)
CAS gir i rad 5 og 6: \[ \begin{aligned} T'(0) &\approx 11{,}57 > 0 \\ T'(1) &\approx -48{,}59 < 0 \end{aligned} \]Arealet vokser før \( {a \approx 0{,}1707} \) og avtar etter, så der har \( T \) et toppunkt.
Vi sammenligner med endepunktet \( {a = 0} \) i rad 7 og 8: \[ \begin{aligned} T(0{,}1707) &\approx 500{,}98 \\ T(0) &= 500 \end{aligned} \]Når \( a \) nærmer seg \( 5\text{,} \) går arealet mot \( 0\text{.} \) Det største arealet er derfor omtrent \( 501\text{.} \)

R1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

4 poeng

En funksjon f f er gitt ved
f(x)=−x2+4,0≤x≤2 f(x) = -x^2 + 4, \quad 0 \le x \le 2
Lars har tegnet grafen til f f med et innskrevet rektangel ABCD. ABCD\text{.} Lars har også skrevet et program.

Oppgave 6a)

Forklar hva Lars prøver å finne ut med programmet. Hva blir svaret hvis man kjører programmet?
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Lars vil finne det største arealet rektangelet ABCD ABCD kan få. Programmet skriver ut 3,0791250000000003: 3{,}0791250000000003\text{:}
Største areal≈3,079‾‾ \underline{\underline{\text{Største areal} \approx 3{,}079}}
Vi leser programmet linje for linje og ser hva arealet og løkka står for. Så finner vi hvor løkka stopper.
Metode: Med kalkulator
1. Les hva programmet regner ut Linje 1 og 2 definerer \( {f(x) = -x^2 + 4}\text{.} \) Linje 4 og 5 regner ut arealet av rektangelet \( ABCD \) når \( B \) ligger i \( (x, 0)\text{:} \) bredden \( AB \) er \( \textcolor{blue}{x}\text{,} \) og høyden \( BC \) er \( \textcolor{red}{f(x)}\text{.} \) Vi kaller arealet \( T(x)\text{,} \) siden \( A \) er et hjørne: \[ \begin{aligned} T(x) &= \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{(-x^2 + 4)} \\ T(x) &= -x^3 + 4x \end{aligned} \]
Linje 7 til 9 regner ut den deriverte av arealet tilnærmet, med \( {h = 0{,}0001}\text{.} \) Det er brøken fra definisjonen av den deriverte, uten grenseverdien, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{T(x + h) - T(x)}{h} \approx T'(x) \]
Løkka i linje 13 og 14 øker \( x \) med \( {\texttt{dx} = 0{,}01} \) så lenge den deriverte i neste punkt er positiv, altså så lenge arealet vokser. Den stopper ved toppunktet, og linje 16 skriver ut arealet der. Lars vil altså finne det største arealet rektangelet kan få.
2. Finn hvor løkka stopper Toppunktet finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Med potensregelen er \( {T'(x) = -3x^2 + 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3x^2 + 4 &= 0 \\ x &= \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547 \end{aligned} \]
I \( {x = 1{,}14} \) er den deriverte i neste punkt, \( 1{,}15\text{,} \) positiv, så \( x \) blir \( 1{,}15\text{.} \) I \( {x = 1{,}15} \) er den deriverte i \( 1{,}16 \) negativ, fordi \( {1{,}16 > 1{,}1547}\text{.} \) Da stopper løkka, og programmet skriver ut: \[ \begin{aligned} T(1{,}15) &= 1{,}15 \cdot (-1{,}15^2 + 4) \\ T(1{,}15) &= 3{,}079125 \end{aligned} \]Det største arealet er \( {\dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}0792}\text{,} \) så programmet treffer det med tre desimaler.
Metode: Med Python
1. Kjør programmet Vi kjører programmet slik det står. Det skriver ut:
Det siste sifferet kommer av at datamaskinen regner med avrundede desimaltall. Det største arealet er altså omtrent \( 3{,}079\text{.} \)

Oppgave 6b)

Hvilken strategi bruker Lars i programmet sitt? Vil strategien fungere uavhengig av hvilken funksjon f f er?
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Lars går i steg på 0,01 så lenge den deriverte av arealet er positiv, og stopper i toppunktet. Med f(x)=4 {f(x) = 4} stopper løkka aldri:
Nei, ikke for alle f‾‾ \underline{\underline{\text{Nei, ikke for alle } f}}
Vi bruker fra a) at løkka går så lenge den deriverte av arealet er positiv.
Vi beskriver hva løkka gjør, og ser etter funksjoner der den ikke stopper i det største arealet.
Metode: For hånd
1. Beskriv strategien Lars starter i \( {x = 0} \) og går mot høyre i steg på \( {\texttt{dx} = 0{,}01}\text{.} \) Så lenge den deriverte av arealet er positiv, vokser arealet, og han tar et steg til. Når den deriverte i neste punkt ikke lenger er positiv, har arealet nådd et toppunkt, der den deriverte går fra pluss til minus, som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Der stopper han.
2. Avgjør om den alltid virker Nei. Strategien virker bare når arealet først vokser og så avtar, med ett toppunkt.
Er \( {f(x) = 4}\text{,} \) er arealet \( {\textcolor{blue}{x} \cdot 4 = 4x}\text{,} \) og den deriverte er hele tiden \( 4\text{.} \) Da stopper løkka aldri.
Har arealet flere toppunkter, stopper løkka ved det første, og det er ikke nødvendigvis det største. Avtar arealet fra start, stopper løkka med en gang, i \( {x = 0}\text{.} \)
Svaret blir heller ikke helt nøyaktig, fordi \( x \) bare går i steg på \( 0{,}01\text{.} \)

R1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 7

2 poeng

En kule med radius r r deles i to like deler. Vi skal skjære ut en pyramide med rektangulær grunnflate av den ene halvkulen. Grunnflaten skal ligge i snittflaten til halvkulen.
Bestem et uttrykk for det største volumet en slik pyramide kan ha.
Volumet av en pyramide er gitt ved
V=h⋅G3 V = \dfrac{h \cdot G}{3}
der G G er grunnflaten og h h er høyden til pyramiden.
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Med toppen øverst og en kvadratisk grunnflate med diagonal 2r: 2r\text{:}
V=23r3‾‾ \underline{\underline{V = \dfrac{2}{3}r^3}}
Pyramiden blir høyest med toppen øverst på halvkulen, og grunnflaten blir størst med hjørnene på randen av snittflaten. Den største grunnflaten finner vi med derivasjon.
Metode: For hånd
1. Finn den største høyden Toppen av pyramiden må ligge i halvkulen, så høyden er høyst lik radien. Den største høyden får vi med toppen øverst, rett over sentrum av snittflaten, som på figuren: \[ h = \textcolor{darkorange}{r} \]
2. Sett opp grunnflaten Snittflaten er en sirkel med radius \( r\text{.} \) Ligger et hjørne av grunnflaten innenfor randen, kan vi gjøre rektangelet større, så det største rektangelet har alle hjørnene på randen. Da er diagonalen en diameter, \( 2r\text{,} \) og med sidene \( \textcolor{red}{a} \) og \( b \) gir Pythagoras: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a}^2 + b^2 &= (2r)^2 \\ b &= \sqrt{4r^2 - \textcolor{red}{a}^2} \end{aligned} \]
Grunnflaten er altså: \[ G(\textcolor{red}{a}) = \textcolor{red}{a} \cdot \sqrt{4r^2 - \textcolor{red}{a}^2} \]der \( {0 < \textcolor{red}{a} < 2r}\text{.} \)
3. Deriver grunnflaten \( G \) er et produkt, så vi deriverer med produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Roten deriverer vi med kjerneregelen, \( {\left(\sqrt{\textcolor{green}{w}}\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{w'}}{2\sqrt{\textcolor{green}{w}}}}\text{,} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{4r^2 - a^2}} \) og \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{-2a}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{a} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - a^2}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{-2a}{2\sqrt{4r^2 - a^2}}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} G'(a) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \\ &{}+ \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{-2a}{2\sqrt{4r^2 - a^2}}} \end{aligned} \]
Vi setter på felles brøkstrek, med \( {\sqrt{4r^2 - a^2}} \) som nevner: \[ \begin{aligned} G'(a) &= \dfrac{4r^2 - a^2 - a^2}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \\ G'(a) &= \dfrac{4r^2 - 2a^2}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \end{aligned} \]
4. Sett den deriverte lik null Den deriverte er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 4r^2 - 2\textcolor{red}{a}^2 &= 0 \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{2}\,r \end{aligned} \]Telleren er positiv for \( {a < \sqrt{2}\,r} \) og negativ for \( {a > \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten har et toppunkt der.
5. Regn ut det største volumet Med \( {\textcolor{red}{a} = \sqrt{2}\,r} \) er \( {b = \sqrt{4r^2 - 2r^2} = \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten er et kvadrat: \[ G = \sqrt{2}\,r \cdot \sqrt{2}\,r = 2r^2 \]
Plugger vi dette og \( {h = \textcolor{darkorange}{r}} \) inn i formelen for volumet, får vi: \[ V = \dfrac{\textcolor{darkorange}{r} \cdot 2r^2}{3} = \dfrac{2}{3}r^3 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Finn det største volumet i CAS Med toppen øverst er \( {h = r}\text{,} \) og med sidene \( a \) og \( {\sqrt{4r^2 - a^2}} \) er grunnflaten \( {G(a) = a \cdot \sqrt{4r^2 - a^2}}\text{,} \) som i ruten for hånd. Vi skriver \( G \) inn i CAS og løser \( {G'(a) = 0}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: G(a) := a*sqrt(4r^2 - a^2) Løs(G'(a) = 0, a) G(sqrt(2) r) 1/3*r*G(sqrt(2) r)
Sidelengden er positiv, så \( {a = \sqrt{2}\,r}\text{.} \) CAS gir grunnflaten \( 2r|r| \) og volumet \( \dfrac{2}{3}r^2|r|\text{.} \) Siden \( {r > 0}\text{,} \) er \( {|r| = r}\text{,} \) så det største volumet er \( \dfrac{2}{3}r^3\text{.} \)

R1 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

Du skal lage en kasse uten lokk. Den skal ha form som et rett prisme. Grunnflaten i kassen skal være kvadratisk. For at vekten ikke skal bli for stor, kan ikke det samlede arealet av platene som brukes til å lage kassen, være mer enn 120 dm2. 120\,\text{dm}^2\text{.}

Oppgave 4a)

Hva er det største volumet kassen kan få dersom sidene i bunnen skal være 5 dm? 5\,\text{dm}\text{?}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Med høyden 4,75 dm blir det største volumet:
V=118,75 dm3‾‾ \underline{\underline{V = 118{,}75\,\text{dm}^3}}
Med bunnsider på 5 dm blir volumet større jo høyere kassen er. Høyden begrenses av at platene til sammen kan være høyst \( 120\,\text{dm}^2\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Skriv opp volum og areal Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 5A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.
Vi kaller sidene i bunnen \( \textcolor{blue}{s} \) og høyden \( \textcolor{red}{h}\text{.} \) Volumet er grunnflaten ganget med høyden. Platene er bunnen og de fire sideflatene, men ikke lokket: \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} \\ A &= \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} \end{aligned} \]
2. Finn den største høyden Med \( {\textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{5}} \) kan arealet være høyst 120: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{5}^2 + 4 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{h} &\le 120 \\ 20\textcolor{red}{h} &\le 95 \\ \textcolor{red}{h} &\le 4{,}75 \end{aligned} \]
3. Regn ut volumet Volumet er størst når \( \textcolor{red}{h} \) er størst, altså \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm}}\text{.} \) Vi ganger tallene og enhetene hver for seg, og \( {\text{dm} \cdot \text{dm} \cdot \text{dm} = \text{dm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm} \\ V &= 118{,}75\,\text{dm}^3 \end{aligned} \]

Oppgave 4b)

Hva er det maksimale volumet kassen kan få?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Med sidene 40≈6,32 {\sqrt{40} \approx 6{,}32} dm i bunnen blir volumet, avrundet til to desimaler,
Vmaks≈126,49 dm3‾‾ \underline{\underline{V_{\text{maks}} \approx 126{,}49\,\text{dm}^3}}
Volumet blir størst når hele arealet på \( 120\,\text{dm}^2 \) brukes. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver volumet som en funksjon av \( s \) og finner toppunktet.
Metode: Med kalkulator
1. Uttrykk høyden ved sidene Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.
Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Vi setter arealet lik 120 og løser for \( \textcolor{red}{h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} &= 120 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \end{aligned} \]
2. Skriv volumet som en funksjon Plugger vi høyden inn i volumet og stryker en \( s\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V(s) &= s^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \\ V(s) &= \dfrac{s(120 - s^2)}{4} = 30s - \dfrac{1}{4}s^3 \end{aligned} \]Sidene må være mellom 0 og \( {\sqrt{120} \approx 10{,}95} \) dm, ellers blir høyden negativ.
3. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V'(s) = 30 - \dfrac{3}{4}s^2 &= 0 \\ s^2 &= 40 \\ s &= \sqrt{40} \approx 6{,}32 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt{40} \approx 6{,}32}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V'(6) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 36 = 3 > 0 \\ V'(7) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 49 = -6{,}75 < 0 \end{aligned} \]Volumet vokser før og avtar etter, så det er et toppunkt.
4. Regn ut volumet Vi setter \( {s = \sqrt{40}} \) inn i \( V(s)\text{.} \) Siden \( {(\sqrt{40})^3 = 40\sqrt{40}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} V(\sqrt{40}) &= 30\sqrt{40} - \dfrac{1}{4} \cdot 40\sqrt{40} \\ V(\sqrt{40}) &= 20\sqrt{40} \approx 126{,}49 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i GeoGebra Med høyden fra kalkulatorruten er \( {V(s) = s^2 \cdot \dfrac{120 - s^2}{4s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le \sqrt{120}} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: V(s) = Funksjon(s^2*(120 - s^2)/(4s), 0, sqrt(120)) T = Ekstremalpunkt(V, 0, 10)
Toppunktet er \( {T \approx (6{,}3246,\ 126{,}4911)}\text{.} \) Det største volumet er omtrent \( 126{,}49\,\text{dm}^3\text{.} \)
Du skal lage en slik kasse som rommer 80 dm3. 80\,\text{dm}^3\text{.}

Oppgave 4c)

Hva er det minste samlede arealet platene kan ha, dersom du skal lage en slik kasse?
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Med sidene 1603≈5,43 {\sqrt[3]{160} \approx 5{,}43} dm i bunnen blir arealet, avrundet til to desimaler,
Amin≈88,42 dm2‾‾ \underline{\underline{A_{\text{min}} \approx 88{,}42\,\text{dm}^2}}
Nå er volumet fast. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver arealet som en funksjon av \( s \) og finner bunnpunktet.
Metode: Med kalkulator
1. Uttrykk høyden ved sidene Oppgaven var også med på S1-eksamen høsten 2023, og du kan se den løst i videoen Oppgave 5C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.
Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Volumet skal være 80: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} &= 80 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \end{aligned} \]
2. Skriv arealet som en funksjon Plugger vi høyden inn i arealet, får vi: \[ \begin{aligned} A(s) &= s^2 + 4s \cdot \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \\ A(s) &= s^2 + \dfrac{320}{s} \end{aligned} \]for \( {s > 0}\text{.} \)
3. Finn bunnpunktet Vi skriver \( {\dfrac{320}{s} = 320s^{-1}}\text{,} \) så potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) gir: \[ \begin{aligned} A'(s) = 2s - \dfrac{320}{s^2} &= 0 \\ 2s^3 &= 320 \\ s^3 &= 160 \\ s &= \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A'(5) &= 10 - \dfrac{320}{25} = -2{,}8 < 0 \\ A'(6) &= 12 - \dfrac{320}{36} \approx 3{,}11 > 0 \end{aligned} \]Arealet avtar før og vokser etter, så det er et bunnpunkt.
4. Regn ut arealet Vi setter \( {s = \sqrt[3]{160}} \) inn i \( A(s) \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} A\left(\sqrt[3]{160}\right) &= \left(\sqrt[3]{160}\right)^2 + \dfrac{320}{\sqrt[3]{160}} \\ A\left(\sqrt[3]{160}\right) &\approx 88{,}42 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Finn bunnpunktet i GeoGebra Med høyden fra kalkulatorruten er \( {A(s) = s^2 + \dfrac{320}{s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le 20} \) og finner bunnpunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 5C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: A(s) = Funksjon(s^2 + 320/s, 0, 20) B = Ekstremalpunkt(A, 0, 20)
Bunnpunktet er \( {B \approx (5{,}4288,\ 88{,}4168)}\text{.} \) Det minste arealet er omtrent \( 88{,}42\,\text{dm}^2\text{.} \)