R1 eksamen høsten 2022 – løsningsforslag

Oppgaven ber om en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. Først gjør vi årene om til år etter 1950.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på b) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra \( x \) er antall år etter 1950, så 1950 blir \( {x = 0}\text{,} \) 1960 blir \( {x = 10}\text{,} \) 1981 blir \( {x = 31} \) og så videre, til 2020, som blir \( {x = 70}\text{.} \)

Vi skriver \( x \) i kolonne A og produksjonen i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør logistisk regresjon En logistisk modell har formen \[ g(x) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}x}} \]Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) = RegLogist(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen. Det gir \( {\textcolor{red}{C} \approx \textcolor{red}{157\,303{,}07}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{9{,}6396}} \) og \( {\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{green}{0{,}0867}}\text{.} \)

I b) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {k \approx 0{,}09}\text{.} \) Regner vi videre med \( 0{,}09\text{,} \) blir svaret i b) 1975 i stedet for 1976.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Produksjonen øker raskest der den deriverte \( g'(x) \) er størst. Vi finner toppunktet til \( g' \) og gjør \( x \) om til et årstall.

1. Deriver modellen med kjerneregelen I a) fant vi modellen: \[ g(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{157\,303}}{1 + \textcolor{blue}{9{,}64} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0867}x}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi skriver modellen som \( {g(x) = \textcolor{red}{C} \cdot \textcolor{darkorange}{u}^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}x}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}x})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \textcolor{darkorange}{u'} = -\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}x} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{red}{C} \cdot \left(-\textcolor{darkorange}{u}^{-2}\right) \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \\ g'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}x}}{(1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}x})^2} \end{aligned} \]

2. Innfør en hjelpevariabel Uttrykket blir enklere med en hjelpevariabel \( w\text{:} \) \[ \begin{aligned} w &= \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}x} \\ g'(x) &= \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]Her er \( {w > 0}\text{,} \) og \( w \) avtar fra \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{9{,}64}} \) i \( {x = 0} \) mot \( 0 \) når \( x \) øker.

3. Finn hvor brøken er størst Vi kaller brøken \( {h(w) = \dfrac{w}{(1 + w)^2}}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{p}{q}\right)' = \dfrac{p' \cdot q - p \cdot q'}{q^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} p &= w & p' &= 1 \\ q &= (1 + w)^2 & q' &= 2(1 + w) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og forkorter med \( {1 + w}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} h'(w) &= \dfrac{(1 + w)^2 - w \cdot 2(1 + w)}{(1 + w)^4} \\ h'(w) &= \dfrac{1 - w}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]\( h'(w) \) er positiv når \( {w < 1} \) og negativ når \( {w > 1}\text{,} \) så brøken er størst når \( {w = 1}\text{.} \) Siden \( w \) går gjennom alle verdiene fra \( 9{,}64 \) ned mot \( 0\text{,} \) er \( g'(x) \) størst når \( {w = 1}\text{.} \)

4. Finn x og årstallet \( {w = 1} \) betyr \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}x} = 1}\text{.} \) Vi ganger med \( e^{\textcolor{green}{k}x} \) og tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{k}x} &= \textcolor{blue}{a} \\ x &= \dfrac{\ln \textcolor{blue}{a}}{\textcolor{green}{k}} \approx \dfrac{\ln \textcolor{blue}{9{,}64}}{\textcolor{green}{0{,}0867}} \approx 26{,}14 \end{aligned} \]Det er \( 26{,}14 \) år etter 1950, altså i løpet av 1976. Produksjonen økte raskest i 1976.

1. Finn toppunktet til den deriverte I a) lagret vi modellen som \( g \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ g(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{157\,303{,}0672}}{1 + \textcolor{blue}{9{,}6396} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0867}x}} \]

Vi lar GeoGebra derivere modellen og tegne grafen til \( g'\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Toppunktet mellom \( {x = 0} \) og \( {x = 70} \) finner vi med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(g) T = Ekstremalpunkt(g', 0, 70)

Toppunktet er \( {T \approx (26{,}1285;\ 3410{,}3514)}\text{.} \) Produksjonen økte raskest omtrent \( 26{,}13 \) år etter 1950, altså i 1976.

Vi sammenligner med modellen \( g \) for produksjonen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Forbruket vokser også fort og flater ut, så vi lager en logistisk modell for det. På sikt nærmer begge modellene seg et tak, og vi sammenligner takene.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å finne taket \( C \) i en logistisk modell og å sammenligne to modeller.

1. Lag en modell for forbruket Vi legger forbruket inn i regnearket som i a), med \( x \) år etter 1950, og lager lista \( l_2\text{.} \) Logistisk regresjon gir en modell \( f \) for forbruket:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = RegLogist(l2)

Det gir modellen: \[ f(x) \approx \dfrac{\textcolor{darkorange}{136\,386{,}59}}{1 + 7{,}4388 \cdot e^{-0{,}0832x}} \]

2. Sammenlign modellene på sikt I a) fant vi modellen for produksjonen: \[ g(x) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{157\,303{,}07}}{1 + 9{,}6396 \cdot e^{-0{,}0867x}} \]

Når \( x \) blir stor, går \( {e^{-kx}} \) mot \( 0\text{,} \) så en logistisk modell \( {\dfrac{C}{1 + a \cdot e^{-kx}}} \) nærmer seg taket \( C\text{.} \) Det ser vi også på grafene, som begge flater ut: \[ \begin{aligned} g(x) &\to \textcolor{blue}{157\,303} \\ f(x) &\to \textcolor{darkorange}{136\,387} \end{aligned} \]Fargene er de samme som grafene i GeoGebra: \( g \) blå og \( f \) oransje. Produksjonen nærmer seg omtrent \( 157\,300 \) GWh i året og forbruket omtrent \( 136\,400 \) GWh. Ifølge modellene produserer vi da omtrent \( 21\,000 \) GWh mer enn vi bruker hvert år, så vi vil være selvforsynte på sikt.

Modellene viser bare hva som skjer hvis utviklingen fortsetter som i tabellene, og langt fram i tid må vi bruke dem med varsomhet, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Andre modeller kan også begrunnes, for eksempel en modell for forskjellen mellom produksjonen og forbruket.

Den omvendte funksjonen gir tiden når vi kjenner ladningen. Vi setter \( {y = Q(t)} \) og løser for \( t\text{.} \)

1. Få potensen alene For å finne den omvendte funksjonen skriver vi \( {y = Q(t)} \) og løser for \( t\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ y = Q_0(1 - e^{-2{,}3t}) \]

Vi deler på \( Q_0 \) og flytter over: \[ e^{\textcolor{green}{-2{,}3t}} = 1 - \dfrac{y}{Q_0} \]

2. Ta ln på begge sider Logaritmeregelen for potenser og \( {\ln e = 1} \) forteller oss at: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right) = \textcolor{green}{u} \cdot \ln e = \textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Vi tar \( \ln \) på begge sider og deler på \( {-2{,}3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-2{,}3t} &= \ln\left(1 - \dfrac{y}{Q_0}\right) \\ t &= -\dfrac{1}{2{,}3} \ln\left(1 - \dfrac{y}{Q_0}\right) \end{aligned} \]

3. Finn definisjonsmengden Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er verdimengden til \( Q\text{.} \) \( {Q(0) = Q_0(1 - 1) = 0}\text{,} \) og når \( t \) vokser, går \( {e^{-2{,}3t}} \) mot \( 0\text{,} \) så \( Q(t) \) vokser mot \( Q_0 \) uten å nå den: \[ D_{Q^{-1}} = V_Q = [0, Q_0\rangle \]Det passer med at vi bare kan ta \( \ln \) av positive tall, som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, og \( {1 - \dfrac{y}{Q_0} > 0} \) når \( {y < Q_0}\text{.} \)

Vi bytter navn på variabelen og skriver den omvendte funksjonen med \( x\text{:} \) \[ Q^{-1}(x) = -\dfrac{1}{2{,}3} \ln\left(1 - \dfrac{x}{Q_0}\right) \]

1. Løs likningen i CAS Vi skriver \( {y = Q(t)} \) inn i CAS og løser for \( t \) med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(y = Q_0*(1 - e^(-2.3t)), t)

CAS gir \( {t = -\dfrac{10}{23} \ln\left(\dfrac{Q_0 - y}{Q_0}\right)}\text{.} \) Det er det samme, fordi \( {\dfrac{10}{23} = \dfrac{1}{2{,}3}} \) og \( {\dfrac{Q_0 - y}{Q_0} = 1 - \dfrac{y}{Q_0}}\text{.} \)

Vi bruker den omvendte funksjonen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den omvendte funksjonen fra a) gir tiden når vi kjenner ladningen. Vi setter inn ladningen \( {0{,}9 \cdot Q_0}\text{.} \)

1. Sett inn i den omvendte funksjonen I a) fant vi: \[ Q^{-1}(x) = -\dfrac{1}{2{,}3} \ln\left(1 - \dfrac{x}{Q_0}\right) \]

90 prosent av den maksimale ladningen er \( {x = 0{,}9 \cdot Q_0}\text{.} \) Vi setter inn og forkorter \( \textcolor{darkorange}{Q_0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t &= -\dfrac{1}{2{,}3} \ln\left(1 - \dfrac{0{,}9 \cdot \textcolor{darkorange}{Q_0}}{\textcolor{darkorange}{Q_0}}\right) \\ t &= -\dfrac{\ln 0{,}1}{2{,}3} = \dfrac{\ln 10}{2{,}3} \approx 1{,}0011 \end{aligned} \]Det tar omtrent ett sekund, uansett hvor stor \( Q_0 \) er.

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( Q(t) \) i CAS og løser \( {Q(t) = 0{,}9 \cdot Q_0} \) med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Rad 4 er rad 3 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Q(t) := Q_0*(1 - e^(-2.3t)) Løs(Q(t) = 0.9*Q_0, t)

CAS gir \( {t = \dfrac{10}{23} \ln 10 \approx 1{,}0011}\text{.} \) Det tar omtrent ett sekund.

\( C \) ligger på \( \ell \) når én og samme \( {t > 0} \) gir begge koordinatene til \( C\text{.} \)

1. Finn t fra koordinatene Hvert punkt på \( \ell \) hører til en verdi av \( t\text{,} \) som i kapittelet Parametrisering. Vi setter førstekoordinaten \( \textcolor{blue}{24} \) og andrekoordinaten \( \textcolor{red}{10} \) til \( C \) inn i parameterframstillingen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{12t} = \textcolor{blue}{24} \quad &\Rightarrow \quad t = 2 \\ \textcolor{red}{5t} = \textcolor{red}{10} \quad &\Rightarrow \quad t = 2 \end{aligned} \]Begge koordinatene gir den samme \( {t = 2}\text{,} \) og \( {2 > 0}\text{.} \) Altså ligger \( C \) på \( \ell\text{.} \)

\( \angle BAC \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{.} \) Skalarproduktet gir oss cosinus til den.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet av to vektorer er: \[ \vec{u} \cdot \vec{w} = |\vec{u}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos v \]der \( v \) er vinkelen mellom dem, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Løser vi for \( \cos v\text{,} \) får vi: \[ \cos v = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{w}|} \]

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen. Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] &= \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \\ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| &= \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet og lengdene Vektorene fra \( A(0, 0) \) er \( {\overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{9}, \textcolor{red}{1}]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [\textcolor{blue}{24}, \textcolor{red}{10}]}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= \textcolor{blue}{9 \cdot 24} + \textcolor{red}{1 \cdot 10} = 226 \\ |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{9}^2 + \textcolor{red}{1}^2} = \sqrt{82} \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{24}^2 + \textcolor{red}{10}^2} = 26 \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos v &= \dfrac{226}{\sqrt{82} \cdot 26} = \dfrac{113}{13\sqrt{82}} \\ v &= \cos^{-1}\left(\dfrac{113}{13\sqrt{82}}\right) \approx 16{,}28^\circ \end{aligned} \]Altså er \( {\angle BAC \approx 16{,}28^\circ}\text{.} \)

1. Mål vinkelen mellom vektorene Vi legger inn punktene, lager vektorene \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) og finner vinkelen mellom dem med Vinkel:

Skriv inn i GeoGebra: A = (0, 0) B = (9, 1) C = (24, 10) u = Vektor(A, B) w = Vektor(A, C) α = Vinkel(u, w)

GeoGebra gir \( {\alpha \approx 16{,}2797^\circ}\text{,} \) altså \( {\angle BAC \approx 16{,}28^\circ}\text{.} \)

Vi skriver \( D \) med parameteren \( t \) og bruker skalarproduktet som i b), nå med vinkelen \( 120^\circ \) mellom \( \overrightarrow{DA} \) og \( \overrightarrow{DB}\text{.} \)

1. Skriv vektorene fra D Et punkt på \( \ell \) er \( {D = (12t, 5t)} \) med \( {t > 0}\text{.} \) Vektorene fra \( D \) til \( A \) og \( B \) er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{DA} &= [\textcolor{blue}{-12t}, \textcolor{red}{-5t}] \\ \overrightarrow{DB} &= [\textcolor{blue}{9 - 12t}, \textcolor{red}{1 - 5t}] \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet og lengdene Med koordinater og Pythagoras, som i b), får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} &= \textcolor{blue}{-12t(9 - 12t)} \\ &\quad \textcolor{red}{{}- 5t(1 - 5t)} \\ &= 169t^2 - 113t \end{aligned} \]

Lengdene er: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{DA}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{(-12t)}^2 + \textcolor{red}{(-5t)}^2} = 13t \\ |\overrightarrow{DB}| &= \sqrt{169t^2 - 226t + 82} \end{aligned} \]

3. Sett opp likningen Vinkelen mellom \( \overrightarrow{DA} \) og \( \overrightarrow{DB} \) skal være \( 120^\circ\text{,} \) og \( {\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}}\text{.} \) Som i b) bruker vi at: \[ \cos v = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{w}|} \]

Med \( {\vec{u} = \overrightarrow{DA}} \) og \( {\vec{w} = \overrightarrow{DB}} \) får vi: \[ \dfrac{169t^2 - 113t}{13t \cdot \sqrt{169t^2 - 226t + 82}} = -\dfrac{1}{2} \]

Vi forkorter med \( {t > 0}\text{,} \) og ganger med \( {-2} \) og med \( {13\sqrt{169t^2 - 226t + 82}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &-2(169t - 113) \\ &= 13\sqrt{169t^2 - 226t + 82} \end{aligned} \]Høyre side er positiv, så venstre side må også være det. Det betyr at \( {169t - 113 < 0}\text{.} \)

4. Kvadrer begge sider Vi kvadrerer begge sider: \[ \begin{aligned} &4(169t - 113)^2 \\ &= 169(169t^2 - 226t + 82) \end{aligned} \]

Tallene blir mindre med \( {u = 169t}\text{.} \) Da er \( {169 \cdot 169t^2 = u^2} \) og \( {169 \cdot 226t = 226u}\text{,} \) og \( {169 \cdot 82 = 13\,858}\text{:} \) \[ 4(u - 113)^2 = u^2 - 226u + 13\,858 \]

Vi ganger ut, samler alt på venstre side og deler på \( 3\text{:} \) \[ u^2 - 226u + 12\,406 = 0 \]

5. Løs med abc-formelen Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}u^2 + \textcolor{red}{b}u + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-226}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12\,406}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{226 \pm \sqrt{226^2 - 4 \cdot 12\,406}}{2} \\ u &= \dfrac{226 \pm \sqrt{1452}}{2} \\ u &\approx 132{,}05 \quad \text{eller} \quad u \approx 93{,}95 \end{aligned} \]

6. Velg løsningen og finn D Kravet \( {169t - 113 < 0} \) betyr \( {u < 113}\text{,} \) så \( {u \approx 93{,}95}\text{.} \) Den andre løsningen gir \( 60^\circ\text{,} \) fordi kvadreringen også tar med \( {\cos v = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Med alle desimalene fra kalkulatoren er: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{u}{169} \approx 0{,}5559 \\ D &\approx (12 \cdot 0{,}5559;\ 5 \cdot 0{,}5559) \\ D &\approx (6{,}67;\ 2{,}78) \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi skriver punktene inn i CAS, med \( {D = (12t, 5t)}\text{,} \) og løser likningen for skalarproduktet med Løs. Rad 5 setter løsningen inn i \( D\text{,} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: A := (0, 0) B := (9, 1) D := (12t, 5t) Løs((A - D)*(B - D) = Lengde(A - D)*Lengde(B - D)*cos(120°), t) ByttUt(D, t = (113 - 11*sqrt(3))/169)

\( {t = 0} \) gir \( {D = A}\text{,} \) og den er ikke med, siden \( {t > 0}\text{.} \) Den andre løsningen er \( {t = \dfrac{113 - 11\sqrt{3}}{169} \approx 0{,}5559}\text{,} \) og \( {D \approx (6{,}6708;\ 2{,}7795)}\text{.} \)

Vi bruker \( {\cos v = \dfrac{113}{13\sqrt{82}}} \) og \( {|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{82}} \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( E \) ligger på strålen fra \( A \) gjennom \( C\text{,} \) så vinkelen i \( A \) er vinkelen \( v \) fra b). Vi bruker arealsetningen og løser for \( t\text{.} \)

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant er halvparten av to sider ganget med sinus til vinkelen mellom dem: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{|\overrightarrow{AB}|} \cdot \textcolor{red}{|\overrightarrow{AE}|} \cdot \textcolor{green}{\sin v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

2. Finn sin v eksakt I b) fant vi \( {\cos v = \dfrac{113}{13\sqrt{82}}}\text{.} \) I en rettvinklet trekant med hypotenus \( 1 \) er katetene \( \sin v \) og \( \cos v\text{,} \) så Pythagoras gir \( {\sin^2 v + \cos^2 v = 1}\text{.} \)

Her er \( {(13\sqrt{82})^2 = 13\,858} \) og \( {113^2 = 12\,769}\text{,} \) og forskjellen er \( {1089 = 33^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin^2 v &= 1 - \dfrac{12\,769}{13\,858} = \dfrac{1089}{13\,858} \\ \textcolor{green}{\sin v} &= \textcolor{green}{\dfrac{33}{13\sqrt{82}}} \end{aligned} \]

3. Sett arealet lik 11 \( {E = (12t, 5t)} \) med \( {t > 0}\text{,} \) så \( {\textcolor{red}{|\overrightarrow{AE}|} = \textcolor{red}{13t}}\text{,} \) siden \( {(12t)^2 + (5t)^2 = 169t^2}\text{.} \) Med \( {\textcolor{blue}{|\overrightarrow{AB}|} = \textcolor{blue}{\sqrt{82}}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{82}} \cdot \textcolor{red}{13t} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{33}{13\sqrt{82}}} &= 11 \\ \dfrac{33t}{2} &= 11 \\ t &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Det gir: \[ E = \left(12 \cdot \dfrac{2}{3},\ 5 \cdot \dfrac{2}{3}\right) = \left(8,\ \dfrac{10}{3}\right) \]

Påstanden gjelder alle funksjoner. Finner vi én funksjon der to ulike tall gir samme funksjonsverdi, er den usann.

1. Finn et moteksempel Påstanden sier at to like funksjonsverdier alltid kommer fra samme \( x\text{.} \) Finner vi én funksjon der det ikke stemmer, er påstanden usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

Vi velger \( {f(x) = x^2}\text{,} \) \( {a = \textcolor{blue}{-1}} \) og \( {b = \textcolor{red}{1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{-1}) &= (-1)^2 = 1 \\ f(\textcolor{red}{1}) &= 1^2 = 1 \end{aligned} \]Her er \( {f(a) = f(b)}\text{,} \) men \( {a \neq b}\text{,} \) så påstanden er usann.

Påstanden stemmer bare for funksjoner der hver \( y \)-verdi kommer fra én \( x\text{,} \) altså funksjoner som har en omvendt funksjon, som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

Påstanden sier at \( \ln \) er voksende. Vi viser det med fortegnet til den deriverte.

1. Deriver ln x Fra derivasjonsreglene vet vi at: \[ (\ln x)' = \textcolor{green}{\dfrac{1}{x}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

2. Se på fortegnet \( \ln x \) er definert for \( {x > 0}\text{,} \) og der er \( {\textcolor{green}{\dfrac{1}{x}} > 0}\text{.} \) Den deriverte er positiv i hele definisjonsmengden, så \( \ln x \) er strengt voksende: et større tall gir en større logaritme.

Med \( {0 < \textcolor{blue}{a} < \textcolor{red}{b}} \) er derfor \( {\ln \textcolor{blue}{a} < \ln \textcolor{red}{b}}\text{,} \) og påstanden er sann.

Vi skriver om \( \ln(ax) \) med logaritmeregelen for et produkt, og deriverer.

1. Skriv om med logaritmeregelen Logaritmeregelen for et produkt forteller oss at: \[ \ln(\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{x}) = \ln \textcolor{blue}{a} + \ln \textcolor{red}{x} \quad \text{for } a, x > 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Deriver begge sidene \( \ln \textcolor{blue}{a} \) er en konstant, så den har derivert \( 0\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \bigl(\ln(ax)\bigr)' &= (\ln \textcolor{blue}{a})' + (\ln \textcolor{red}{x})' \\ &= 0 + \dfrac{1}{x} = (\ln x)' \end{aligned} \]Begge sidene er \( \dfrac{1}{x}\text{,} \) så påstanden er sann.

Alternativ metode: Kjerneregelen Med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{ax}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{a}} \) gir kjerneregelen \( {(\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{\textcolor{green}{u'}}{\textcolor{green}{u}}}\text{:} \) \[ \bigl(\ln(ax)\bigr)' = \dfrac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{green}{ax}} = \dfrac{1}{x} \]Metoden virker også når kjernen ikke kan skrives om med en logaritmeregel.

Vi finner tangenten i \( P \) og hvor den skjærer aksene. Trekanten er rettvinklet i \( O\text{,} \) så arealet er halvparten av \( OA \) ganget med \( OB\text{.} \)

1. Finn tangenten i P Tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) har stigningstallet \( f'(\textcolor{blue}{a}) \) og går gjennom \( (\textcolor{blue}{a}, f(\textcolor{blue}{a}))\text{:} \) \[ y = f'(\textcolor{blue}{a}) \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) + f(\textcolor{blue}{a}) \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er \( {f'(x) = -2x}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. I \( P \) er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) \( {f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{4}} \) og \( {f'\left(\dfrac{1}{2}\right) = -1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} y &= -1 \cdot \left(x - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right) + \dfrac{3}{4} \\ y &= -x + \dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

2. Finn A og B \( B \) ligger på \( y \)-aksen, der \( {x = 0}\text{,} \) og \( A \) ligger på \( x \)-aksen, der \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x = 0\text{:} \quad y &= \dfrac{5}{4} \\ y = 0\text{:} \quad x &= \dfrac{5}{4} \end{aligned} \]Altså er \( {\textcolor{red}{OB} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}}} \) og \( {\textcolor{green}{OA} = \textcolor{green}{\dfrac{5}{4}}}\text{.} \)

3. Regn ut arealet Trekanten er rettvinklet i \( O\text{,} \) så arealet er halvparten av \( OA \) ganget med \( OB\text{:} \) \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{5}{4}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{25}{32} \]

1. Regn ut i CAS Vi lager tangenten i \( {x = \dfrac{1}{2}} \) med formelen \( {f'(a) \cdot (x - a) + f(a)}\text{,} \) finner hvor den skjærer \( x \)-aksen med Løs, og regner ut arealet:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 1 - x^2 g(x) := f'(1/2)*(x - 1/2) + f(1/2) Løs(g(x) = 0, x) 1/2*5/4*g(0)

CAS gir tangenten \( {y = -x + \dfrac{5}{4}}\text{,} \) \( {OA = \dfrac{5}{4}} \) og arealet \( \dfrac{25}{32}\text{.} \)

Vi gjør det samme som i a) med en vilkårlig \( a\text{,} \) og får arealet som en funksjon \( T(a)\text{.} \) Det minste arealet ligger der \( {T'(a) = 0}\text{.} \)

1. Finn tangenten for en vilkårlig a Tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) er \( {y = f'(\textcolor{blue}{a}) \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) + f(\textcolor{blue}{a})}\text{,} \) som i videoen Tangentlinje. Med \( {f'(\textcolor{blue}{a}) = -2\textcolor{blue}{a}} \) og \( {f(\textcolor{blue}{a}) = 1 - \textcolor{blue}{a}^2} \) får vi: \[ \begin{aligned} y &= -2\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{blue}{a}) + 1 - \textcolor{blue}{a}^2 \\ y &= -2\textcolor{blue}{a}x + 1 + \textcolor{blue}{a}^2 \end{aligned} \]

2. Uttrykk arealet ved a \( {x = 0} \) gir \( {\textcolor{red}{OB} = \textcolor{red}{1 + a^2}}\text{,} \) og \( {y = 0} \) gir \( {\textcolor{green}{OA} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + a^2}{2a}}}\text{.} \) Arealet blir: \[ \begin{aligned} T(a) &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1 + a^2}{2a}} \cdot \textcolor{red}{(1 + a^2)} \\ T(a) &= \dfrac{(1 + a^2)^2}{4a} \end{aligned} \]

3. Deriver arealet Vi ganger ut telleren og deler hvert ledd på \( 4a\text{,} \) så vi kan derivere ledd for ledd: \[ \begin{aligned} T(a) &= \dfrac{1 + 2a^2 + a^4}{4a} \\ T(a) &= \dfrac{1}{4}a^{-1} + \dfrac{1}{2}a + \dfrac{1}{4}a^3 \end{aligned} \]

Potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) gir: \[ \begin{aligned} T'(a) &= -\dfrac{1}{4}a^{-2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}a^2 \\ T'(a) &= \dfrac{3a^4 + 2a^2 - 1}{4a^2} \end{aligned} \]

4. Sett den deriverte lik null Telleren er en andregradslikning i \( {u = a^2}\text{:} \) \( {3u^2 + 2u - 1 = 0}\text{.} \) Bokstaven \( a \) er brukt, så vi skriver den som \( {\textcolor{blue}{p}u^2 + \textcolor{red}{q}u + \textcolor{green}{r} = 0}\text{.} \) Med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, er: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \\ u &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{3}} \\ u &= \dfrac{-2 \pm 4}{6} \end{aligned} \]Det gir \( {u = \dfrac{1}{3}} \) eller \( {u = -1}\text{.} \) Siden \( {u = a^2 \ge 0} \) og \( {a > 0}\text{,} \) er \( {a = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\text{.} \)

Med disse løsningene er \( {T'(a) = \dfrac{(3a^2 - 1)(a^2 + 1)}{4a^2}}\text{,} \) som har samme fortegn som \( {3a^2 - 1}\text{:} \) negativ før \( {a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \) og positiv etter. Arealet avtar og så vokser, så det er et bunnpunkt.

5. Regn ut det minste arealet Vi setter \( {a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \) inn i \( T(a)\text{,} \) med \( {a^2 = \dfrac{1}{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) &= \dfrac{\left(1 + \dfrac{1}{3}\right)^2}{4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \\ &= \dfrac{16}{9} \cdot \dfrac{3}{4\sqrt{3}} = \dfrac{4}{3\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{4\sqrt{3}}{9} \approx 0{,}77 \end{aligned} \]Når \( a \) nærmer seg \( 0\text{,} \) vokser arealet uten grense, og når \( a \) nærmer seg \( 1\text{,} \) går det mot \( {T(1) = 1}\text{.} \) Det minste arealet er derfor \( \dfrac{4\sqrt{3}}{9}\text{.} \)

1. Finn minimum i CAS Vi lager tangenten i \( {x = a} \) med formelen \( {f'(a) \cdot (x - a) + f(a)}\text{,} \) finner \( OA \) med Løs og skriver arealet som en funksjon av \( a\text{.} \) Så løser vi \( {T'(a) = 0}\text{.} \) Rad 7 er rad 6 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 1 - x^2 h(x) := f'(a)*(x - a) + f(a) Løs(h(x) = 0, x) T(a) := 1/2*h(0)*(a^2 + 1)/(2a) Løs(T'(a) = 0, a) T(sqrt(3)/3)

\( {a = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}} \) er ikke med, siden \( a \in \langle 0, 1 \rangle\text{.} \) CAS gir det minste arealet \( {\dfrac{4}{9}\sqrt{3} \approx 0{,}7698}\text{.} \)

Vi deriverer \( f\text{,} \) setter \( {f'(x) = k} \) og ser hvilke verdier \( f'(x) \) kan få.

1. Deriver funksjonen \( {2x + 5} \) derivert blir \( 2\text{.} \) Brøken deriverer vi med kvotientregelen, som forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{x - 1}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x - 1}) - \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x - 1})^2} \\ f'(x) &= 2 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Se hvilke verdier f'(x) kan få Vi setter \( {f'(x) = k} \) og får brøken alene: \[ \begin{aligned} 2 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} &= k \\ \dfrac{1}{(x - 1)^2} &= 2 - k \end{aligned} \]

For \( {x \neq 1} \) er \( {(x - 1)^2} \) et positivt tall, og det kan bli hvilket som helst positivt tall. Da kan \( {\dfrac{1}{(x - 1)^2}} \) også bli alle positive tall, men aldri \( 0 \) eller negativ. Likningen har derfor løsning nøyaktig når \( {2 - k > 0}\text{,} \) altså når \( {k < 2}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi lar CAS derivere \( f \) og løse \( {f'(x) = k} \) for \( x\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 2x + 5 + 1/(x - 1) f'(x) Løs(f'(x) = k, x)

Løsningene har \( {\sqrt{-k + 2}} \) i telleren og \( {k - 2} \) i nevneren. Roten finnes bare når \( {-k + 2 \ge 0}\text{,} \) og nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så likningen har løsning når \( {k < 2}\text{.} \)

Vi bruker likningen \( {\dfrac{1}{(x - 1)^2} = 2 - k} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi velger noen verdier av \( k \) under \( 2\text{,} \) løser likningen og ser hvor løsningene ligger i forhold til hverandre.

1. Løs for noen verdier av k I a) fant vi at \( {f'(x) = k} \) betyr \( {\dfrac{1}{(x - 1)^2} = 2 - k}\text{.} \) Vi tar én delt på begge sider: \[ (x - 1)^2 = \dfrac{1}{2 - k} \]

Et tall i andre er lik et positivt tall \( c \) når tallet er \( \sqrt{c} \) eller \( {-\sqrt{c}}\text{.} \) Med \( {k = 1} \) er \( {(x - 1)^2 = 1}\text{,} \) så \( {x - 1 = \pm 1}\text{.} \) På samme måte for \( {k = -2} \) og \( {k = \dfrac{7}{4}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 1\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{0} \text{ eller } x = \textcolor{red}{2} \\ k = -2\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \text{ eller } x = \textcolor{red}{\dfrac{3}{2}} \\ k = \dfrac{7}{4}\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{-1} \text{ eller } x = \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]

2. Beskriv symmetrien I hvert par ligger den \( \textcolor{blue}{\text{minste}} \) og den \( \textcolor{red}{\text{største}} \) løsningen like langt fra \( {x = \textcolor{green}{1}} \) på hver sin side, for eksempel er \( {\dfrac{\textcolor{blue}{0} + \textcolor{red}{2}}{2} = \textcolor{green}{1}}\text{.} \) Generelt gir likningen: \[ x = \textcolor{green}{1} \pm \dfrac{1}{\sqrt{2 - k}} \]For hver \( {k < 2} \) er løsningene altså symmetriske om \( {x = \textcolor{green}{1}}\text{.} \) Det er den vertikale asymptoten til \( f\text{,} \) der nevneren \( {x - 1} \) er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Jo nærmere \( k \) er \( 2\text{,} \) jo lenger fra \( {x = 1} \) ligger løsningene.

1. Løs for tre verdier av k Vi løser \( {f'(x) = k} \) i CAS for \( {k = 1}\text{,} \) \( {k = -2} \) og \( {k = \dfrac{7}{4}}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 2x + 5 + 1/(x - 1) Løs(f'(x) = 1, x) Løs(f'(x) = -2, x) Løs(f'(x) = 7/4, x)

Løsningene er \( 0 \) og \( 2\text{,} \) \( \dfrac{1}{2} \) og \( \dfrac{3}{2}\text{,} \) og \( {-1} \) og \( 3\text{.} \) I hvert par er midtpunktet \( 1\text{,} \) så løsningene ligger symmetrisk om \( {x = 1}\text{.} \)

Vi deriverer \( g \) på samme måte som \( f \) i a), og ser når \( {g'(x) = 4} \) har løsning.

1. Deriver g \( {a \cdot x + b} \) derivert blir \( a\text{.} \) Brøken deriverer vi med kvotientregelen, som i a): \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Med \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{u'} = \textcolor{red}{0}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{x + d}} \) og \( {\textcolor{blue}{v'} = \textcolor{blue}{1}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{x + d}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x + d}) - \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + d})^2} \\ g'(x) &= a - \dfrac{1}{(x + d)^2} \end{aligned} \]

2. Se når likningen har løsning Vi setter \( {g'(x) = 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} a - \dfrac{1}{(x + d)^2} &= 4 \\ \dfrac{1}{(x + d)^2} &= \textcolor{green}{a - 4} \end{aligned} \]Venstre side kan bli alle positive tall, men aldri \( 0 \) eller negativ. Likningen har derfor løsning nøyaktig når \( {\textcolor{green}{a - 4} > 0}\text{,} \) altså når \( {a > 4}\text{,} \) uansett hva \( b \) og \( d \) er.

1. Løs likningen i CAS Vi lar CAS derivere \( g \) og løse \( {g'(x) = 4} \) for \( x\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := a*x + b + 1/(x + d) g'(x) Løs(g'(x) = 4, x)

Løsningene har \( {\sqrt{a - 4}} \) og \( {a - 4} \) i nevneren, så de finnes bare når \( {a - 4 > 0}\text{,} \) altså når \( {a > 4}\text{.} \)

Vi bruker \( {g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2}} \) fra c), nå med \( {a = 3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med \( {a = 3} \) løser vi \( {g'(x) = k} \) som i b), og ser hvordan løsningene avhenger av \( k\text{.} \)

1. Løs likningen Med \( {a = 3} \) er \( {g'(x) = 3 - \dfrac{1}{(x + d)^2}}\text{.} \) Vi setter \( {g'(x) = k}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 - \dfrac{1}{(x + d)^2} &= k \\ (x + d)^2 &= \dfrac{1}{3 - k} \end{aligned} \]

2. Beskriv løsningene For \( {k \ge 3} \) har likningen ingen løsning, fordi \( {\dfrac{1}{(x + d)^2}} \) aldri er \( 0 \) eller negativ.

For \( {k < 3} \) er det to løsninger: \[ x = \textcolor{green}{-d} \pm \dfrac{1}{\sqrt{3 - k}} \]De ligger symmetrisk om \( {x = \textcolor{green}{-d}}\text{,} \) den vertikale asymptoten til \( g\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Når \( k \) nærmer seg \( 3\text{,} \) blir avstanden til \( {x = -d} \) større og større, og jo mindre \( k \) er, jo nærmere \( {x = -d} \) ligger de. For eksempel gir \( {k = 2} \) løsningene \( {x = -d - 1} \) og \( {x = -d + 1}\text{.} \)

\( b \) påvirker ikke løsningene, og \( d \) flytter dem sidelengs.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver \( g \) med \( {a = 3} \) og løser \( {g'(x) = k}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := 3x + b + 1/(x + d) g'(x) Løs(g'(x) = k, x)

Løsningene har \( {\sqrt{-k + 3}} \) og \( {k - 3} \) i nevneren, så de finnes bare når \( {k < 3}\text{.} \) Skriver vi dem om, er de \( {x = -d \pm \dfrac{1}{\sqrt{3 - k}}}\text{,} \) symmetrisk om \( {x = -d}\text{.} \)

Vi bruker \( {g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2}} \) fra c), med \( {a = 3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter inn \( {x = -1} \) og \( {x = 5} \) i \( g'(x) \) og løser for \( d\text{.} \) Så bruker vi \( {g(1) = 7} \) til å finne \( b\text{.} \)

1. Finn d Med \( {a = 3} \) er \( {g'(x) = 3 - \dfrac{1}{(x + d)^2}}\text{.} \) Kravet \( {g'(-1) = g'(5)} \) gir: \[ \begin{aligned} 3 - \dfrac{1}{(\textcolor{blue}{d - 1})^2} &= 3 - \dfrac{1}{(\textcolor{red}{d + 5})^2} \\ (\textcolor{blue}{d - 1})^2 &= (\textcolor{red}{d + 5})^2 \end{aligned} \]

To tall har samme kvadrat når de er like eller motsatte. \( {\textcolor{blue}{d - 1} = \textcolor{red}{d + 5}} \) er umulig, så: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d - 1} &= -(\textcolor{red}{d + 5}) \\ 2d &= -4 \\ d &= -2 \end{aligned} \]Det passer med d): \( {-1} \) og \( 5 \) ligger symmetrisk om \( {x = -d = 2}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, der like verdier av den deriverte i to punkter gir symmetri om midtpunktet.

2. Finn b Med \( {d = -2} \) er \( {g(x) = 3x + b + \dfrac{1}{x - 2}}\text{.} \) Kravet \( {g(1) = 7} \) gir: \[ \begin{aligned} 3 \cdot 1 + b + \dfrac{1}{1 - 2} &= 7 \\ 2 + b &= 7 \\ b &= 5 \end{aligned} \]

1. Løs likningssettet i CAS Vi skriver \( g \) med \( {a = 3} \) og løser de to kravene for \( b \) og \( d \) med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := 3x + b + 1/(x + d) Løs({g'(-1) = g'(5), g(1) = 7}, {b, d})

CAS gir \( {b = 5} \) og \( {d = -2}\text{.} \)