R1 eksamen våren 2022 – løsningsforslag

Hver del er et polynom, så grafen kan bare gjøre et sprang i skjøten \( {x = 2}\text{.} \) Vi krever at begge uttrykkene gir samme verdi der.

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 2} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi i skjøten, som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn skjøten i begge uttrykkene Fra venstre gjelder det øverste uttrykket: \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \textcolor{blue}{2^2 + 1} = \textcolor{blue}{5} \]

Det nederste uttrykket gjelder for \( {x \ge 2}\text{,} \) så det gir både \( f(2) \) og grensen fra høyre: \[ f(2) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = \textcolor{red}{2 - t} \]

3. Løs for t De to verdiene må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2 - t} &= \textcolor{blue}{5} \\ t &= -3 \end{aligned} \]Med \( {t = -3} \) møtes delene i punktet \( (2, 5)\text{,} \) og \( f \) er kontinuerlig. For alle andre verdier av \( t \) gjør grafen et sprang i \( {x = 2}\text{.} \)

Vi bruker \( {t = -3} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Delene møtes i \( {x = 2}\text{.} \) Da er \( f \) deriverbar der bare hvis de to uttrykkene også har samme derivert i \( {x = 2}\text{.} \)

1. Deriver begge uttrykkene En delt forskrift er deriverbar i skjøten når den er kontinuerlig der og uttrykkene på hver side har samme derivert, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I a) fant vi \( {t = -3}\text{,} \) så det nederste uttrykket er \( {x + 3}\text{.} \)

Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) deriverer vi hvert uttrykk: \[ \begin{aligned} \left(x^2 + 1\right)' &= \textcolor{blue}{2x} \\ (x + 3)' &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

2. Sammenlign de deriverte I \( {x = 2} \) gir de den deriverte fra venstre og fra høyre: \[ \begin{aligned} \text{Fra venstre: } & \textcolor{blue}{2 \cdot 2} = \textcolor{blue}{4} \\ \text{Fra høyre: } & \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]De er ulike, så grafen har en knekk i \( (2, 5)\text{:} \) parabelen kommer inn med stigningstall \( \textcolor{blue}{4}\text{,} \) og linja går videre med stigningstall \( \textcolor{red}{1}\text{.} \) Altså er \( f \) ikke deriverbar i \( {x = 2}\text{.} \)

Vi kjenner bare lengdene og skalarproduktet, ikke selve vektorene. Lengden i andre er skalarproduktet av en vektor med seg selv, så vi ganger ut.

1. Skriv opp regelen Skalarproduktet av en vektor med seg selv er lengden i andre: \[ \vec{w} \cdot \vec{w} = |\vec{w}|^2 \]Vi kan gange ut parenteser med skalarprodukt som med tall, og \( {\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}}\text{.} \) Med koordinater er det det samme som å regne ut \( |\vec{p}|^2 \) for \( {\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}} \) i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Fra oppgaven er \( {\textcolor{blue}{|\vec{a}|^2} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{|\vec{b}|^2} = \textcolor{red}{9}} \) og \( {\textcolor{green}{\vec{a} \cdot \vec{b}} = \textcolor{green}{-3}}\text{.} \)

2. Regn ut lengden av u Vi ganger ut og plugger inn: \[ \begin{aligned} |\vec{u}|^2 &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ &= \textcolor{blue}{|\vec{a}|^2} + 2\,\textcolor{green}{\vec{a} \cdot \vec{b}} + \textcolor{red}{|\vec{b}|^2} \\ &= \textcolor{blue}{4} + 2 \cdot (\textcolor{green}{-3}) + \textcolor{red}{9} = 7 \end{aligned} \]Det gir \( {|\vec{u}| = \sqrt{7}}\text{.} \)

3. Regn ut lengden av v På samme måte er: \[ \begin{aligned} |\vec{v}|^2 &= (\vec{a} - 6\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6\vec{b}) \\ &= \textcolor{blue}{|\vec{a}|^2} - 12\,\textcolor{green}{\vec{a} \cdot \vec{b}} + 36\,\textcolor{red}{|\vec{b}|^2} \\ &= \textcolor{blue}{4} - 12 \cdot (\textcolor{green}{-3}) + 36 \cdot \textcolor{red}{9} \\ &= 4 + 36 + 324 = 364 \end{aligned} \]

Siden \( {364 = 4 \cdot 91}\text{,} \) får vi: \[ |\vec{v}| = \sqrt{364} = 2\sqrt{91} \approx 19{,}08 \]

1. Velg vektorer i CAS Bare lengdene og skalarproduktet er gitt, så vi kan velge hvor vektorene ligger, som i videoen Oppgave 5A + B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Siden \( {\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta}\text{,} \) er \( {\cos \theta = \dfrac{-3}{2 \cdot 3} = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) altså \( {\theta = 120^\circ}\text{.} \) Vi legger \( \vec{a} \) langs \( x \)-aksen og \( \vec{b} \) med vinkelen \( 120^\circ\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: a := Vektor((2, 0)) b := Vektor((3*cos(120°), 3*sin(120°))) a*b u := a + b v := a - 6b Lengde(u) Lengde(v)

Rad 3 viser at \( {\vec{a} \cdot \vec{b} = -3}\text{,} \) som i oppgaven. CAS gir \( {|\vec{u}| = \sqrt{7}} \) og \( {|\vec{v}| = 2\sqrt{91}}\text{.} \)

Vi bruker \( {|\vec{u}| = \sqrt{7}} \) og \( {|\vec{v}| = \sqrt{364}} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vinkelen finner vi fra skalarproduktet \( {\vec{u} \cdot \vec{v}} \) og lengdene fra a). Skalarproduktet regner vi ut ved å gange ut, som i a).

1. Skriv opp regelen for vinkelen Med vinkelen \( \theta \) mellom vektorene er skalarproduktet: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta \]som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Løser vi for \( \cos \theta\text{,} \) får vi: \[ \cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \]

2. Regn ut skalarproduktet Vi ganger ut. Leddene \( {-6\,\vec{a} \cdot \vec{b}} \) og \( {\vec{b} \cdot \vec{a}} \) blir til sammen \( {-5\,\vec{a} \cdot \vec{b}}\text{.} \) Fra oppgaven er \( {\textcolor{blue}{|\vec{a}|^2} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{|\vec{b}|^2} = \textcolor{red}{9}} \) og \( {\textcolor{green}{\vec{a} \cdot \vec{b}} = \textcolor{green}{-3}}\text{,} \) med fargene fra a): \[ \begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6\vec{b}) \\ &= \textcolor{blue}{|\vec{a}|^2} - 5\,\textcolor{green}{\vec{a} \cdot \vec{b}} - 6\,\textcolor{red}{|\vec{b}|^2} \\ &= \textcolor{blue}{4} - 5 \cdot (\textcolor{green}{-3}) - 6 \cdot \textcolor{red}{9} \\ &= 4 + 15 - 54 = -35 \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen I a) fant vi \( {|\vec{u}| = \sqrt{7}} \) og \( {|\vec{v}| = \sqrt{364}}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \theta &= \dfrac{-35}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{364}} = -\dfrac{5}{2\sqrt{13}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(-\dfrac{5}{2\sqrt{13}}\right) \approx 133{,}9^\circ \end{aligned} \]Her er \( {\sqrt{7} \cdot \sqrt{364} = 14\sqrt{13}}\text{,} \) og \( {\dfrac{35}{14} = \dfrac{5}{2}}\text{.} \)

1. Regn ut vinkelen i CAS Vi legger inn de samme vektorene som i a): \( \vec{a} \) langs \( x \)-aksen og \( \vec{b} \) med vinkelen \( 120^\circ\text{,} \) siden \( {\cos \theta = -\dfrac{1}{2}}\text{.} \) Så regner vi ut skalarproduktet og vinkelen. Kommandoen acosd gir \( {\cos^{-1}} \) i grader, og den siste raden regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: a := Vektor((2, 0)) b := Vektor((3*cos(120°), 3*sin(120°))) a*b u := a + b v := a - 6b u*v acosd(u*v/(Lengde(u)*Lengde(v)))

CAS gir \( {\vec{u} \cdot \vec{v} = -35} \) og vinkelen \( 133{,}8979^\circ\text{.} \)

En trekant er rettvinklet når vinkelen i ett av hjørnene er \( 90^\circ\text{.} \) Vi sjekker derfor skalarproduktet av de to vektorene ut fra hvert hjørne.

1. Skriv opp kravet To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater er: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]Vinkelen i \( A \) er \( 90^\circ \) når \( {\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0}\text{,} \) og på samme måte i \( B \) og \( C\text{.} \)

2. Beskriv algoritmen Vi leser inn koordinatene \( a\text{,} \) \( b\text{,} \) \( c\text{,} \) \( d\text{,} \) \( e \) og \( f\text{.} \) Så regner vi ut vektorene ut fra hvert hjørne ved å trekke startpunktet fra sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [c - a,\ d - b] \\ \overrightarrow{AC} &= [e - a,\ f - b] \\ \overrightarrow{BA} &= [a - c,\ b - d] \\ \overrightarrow{BC} &= [e - c,\ f - d] \\ \overrightarrow{CA} &= [a - e,\ b - f] \\ \overrightarrow{CB} &= [c - e,\ d - f] \end{aligned} \]

Er to av punktene like, er en av vektorene nullvektoren, og da finnes det ingen trekant. Da skriver vi ut at punktene ikke danner en rettvinklet trekant.

Ellers regner vi ut skalarproduktet i hvert hjørne: \[ \begin{aligned} A\text{:} \quad & \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \\ B\text{:} \quad & \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} \\ C\text{:} \quad & \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} \end{aligned} \]Er minst ett av dem \( 0\text{,} \) er vinkelen der \( 90^\circ\text{,} \) og vi skriver ut at punktene danner en rettvinklet trekant. Ellers skriver vi ut at de ikke gjør det.

Vi skriver algoritmen fra a) som kode. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Programmet gjør det samme som algoritmen i a): det regner ut vektorene og skalarproduktene i hjørnene, og en if-test velger teksten som skrives ut.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir: verdier i variabler, en funksjon og en if-test.

1. Skriv skalarproduktet som en funksjon Linje 8 og 9 definerer skalarproduktet med koordinater, der \( \texttt{u[0]} \) er førstekoordinaten og \( \texttt{u[1]} \) andrekoordinaten: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]En funksjon som regner ut noe og gir det tilbake, skriver vi med \( \texttt{def} \) og \( \texttt{return}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 til 6 leser inn koordinatene med \( \texttt{input}\text{;} \) her har vi skrevet inn \( A(1, 1)\text{,} \) \( B(5, 3) \) og \( C(3, 7)\text{.} \) Linje 11 til 16 regner ut de seks vektorene, og linje 18 til 20 skalarproduktene i \( A\text{,} \) \( B \) og \( C\text{.} \)

Linje 22 sjekker først om to punkter er like. Linje 24 sjekker om ett av skalarproduktene er \( 0\text{,} \) og linje 26 og 27 skriver ut den andre teksten i alle andre tilfeller.

Med disse punktene er \( {\overrightarrow{BA} = [-4, -2]} \) og \( {\overrightarrow{BC} = [-2, 4]}\text{,} \) så: \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 8 - 8 = 0 \]Vinkelen i \( B \) er \( 90^\circ\text{,} \) og programmet skriver ut at punktene danner en rettvinklet trekant. Andre programmer er også riktige, for eksempel et der tallene står rett i linje 1 til 6. Med desimaltall kan datamaskinen få et svært lite tall i stedet for \( 0\text{,} \) og da kan vi sjekke om skalarproduktet er mindre enn en liten toleranse.

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og banefarten er lengden av fartsvektoren.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}_1\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg, og konstantene \( 2 \) og \( 4 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{24}, \textcolor{red}{20}] \]Fartsvektoren er den samme hele tiden, så båten kjører langs en rett linje med konstant fart.

2. Regn ut banefarten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{24}^2 + \textcolor{red}{20}^2} = \sqrt{976} \\ |\vec{v}| &= 4\sqrt{61} \approx 31{,}24 \end{aligned} \]Enhetene er kilometer og timer, så banefarten er omtrent \( 31{,}24\,\text{km/h}\text{.} \)

Politiet møter piraten bare hvis de er på samme sted til samme tid. Da må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \)

1. Sett førstekoordinatene like Båtene starter samtidig, ved \( {t = 0}\text{.} \) Skal de møtes, må førstekoordinaten til piraten, \( {\textcolor{blue}{2 + 24t}}\text{,} \) og til politiet, \( \textcolor{red}{26t}\text{,} \) være like for den samme \( t\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2 + 24t} &= \textcolor{red}{26t} \\ 2 &= 2t \\ t &= 1 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se kapittelet Parametrisering.

2. Sett andrekoordinatene like Andrekoordinatene må også være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4 + 20t} &= \textcolor{red}{10 - 22t} \\ 42t &= 6 \\ t &= \dfrac{1}{7} \end{aligned} \]Førstekoordinatene er like bare for \( {t = 1}\text{,} \) og andrekoordinatene bare for \( {t = \dfrac{1}{7}}\text{.} \) Det finnes altså ingen tid der båtene er på samme sted. Banene krysser hverandre, men båtene er i krysningspunktet til ulik tid.

Vi finner når piraten er i \( (8, 9)\text{.} \) Politibåten må kjøre fra \( (0, 10) \) til \( (8, 9) \) på den samme tiden.

1. Finn når piraten er i punktet Vi setter førstekoordinaten til piraten lik \( 8\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 + 24t &= 8 \\ t &= \dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4} \end{aligned} \]Andrekoordinaten er da \( {4 + 20 \cdot \dfrac{1}{4} = 9}\text{,} \) så piraten er i \( (8, 9) \) etter \( \dfrac{1}{4} \) time, altså etter 15 minutter.

2. Regn ut strekningen Politibåten starter samtidig, i \( (0, 10)\text{,} \) og kjører langs en rett linje til \( (8, 9)\text{.} \) Vektoren mellom punktene finner vi ved å trekke startpunktet fra sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?, og lengden med Pythagoras, som i a): \[ \begin{aligned} [8 - 0,\ 9 - 10] &= [\textcolor{blue}{8}, \textcolor{red}{-1}] \\ \sqrt{\textcolor{blue}{8}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} &= \sqrt{65} \end{aligned} \]

3. Regn ut banefarten Banefarten er strekningen delt på tiden: \[ \begin{aligned} v &= \dfrac{\sqrt{65}}{\dfrac{1}{4}} = 4\sqrt{65} \\ v &\approx 32{,}25 \end{aligned} \]Politibåten må holde en banefart på omtrent \( 32{,}25\,\text{km/h}\text{.} \)

Vi finner de felles punktene ved å sette \( {f(x) = g(x)}\text{.} \) Der grafene også har samme stigningstall, tangerer de hverandre; ellers skjærer de hverandre.

1. Finn de felles punktene Vi setter \( {f(x) = g(x)} \) og trekker \( {2x + 3} \) fra på begge sider: \[ \begin{aligned} 2x^3 - 6x^2 + 2x + 3 &= 2x + 3 \\ 2x^3 - 6x^2 &= 0 \\ 2x^2(x - 3) &= 0 \end{aligned} \]Det gir \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Med \( {g(0) = 3} \) og \( {g(3) = 9} \) er de felles punktene \( (0, 3) \) og \( (3, 9)\text{.} \)

2. Sammenlign stigningstallene Stigningstallet til tangenten i \( {x = a} \) er \( f'(a)\text{,} \) som i videoen Tangentlinje. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 6x^2 - 12x + 2 \\ g'(x) &= 2 \end{aligned} \]

I de to punktene er: \[ \begin{aligned} f'(\textcolor{blue}{0}) &= 2 = g'(\textcolor{blue}{0}) \\ f'(\textcolor{red}{3}) &= 54 - 36 + 2 = 20 \neq g'(\textcolor{red}{3}) \end{aligned} \]I \( (\textcolor{blue}{0}, 3) \) har grafene samme punkt og samme stigningstall, så de tangerer hverandre der. I \( (\textcolor{red}{3}, 9) \) er stigningstallene ulike, så der skjærer grafene hverandre.

1. Løs likningen i CAS Vi finner de felles punktene med Løs og regner ut stigningstallene i dem:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 2x^3 - 6x^2 + 2x + 3 g(x) := 2x + 3 Løs(f(x) = g(x), x) f'(0) f'(3) g'(x)

Grafene møtes i \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{.} \) I \( {x = 0} \) er \( {f'(0) = g'(0) = 2}\text{,} \) så grafene tangerer hverandre i \( (0, 3)\text{.} \) I \( {x = 3} \) er \( {f'(3) = 20 \neq 2}\text{,} \) så de skjærer hverandre i \( (3, 9)\text{.} \)

Vi gjør det samme som i a), men med bokstaver: vi finner et felles punkt og ser om grafene har samme stigningstall der.

1. Finn et felles punkt Vi setter \( {F(x) = G(x)} \) og trekker \( {cx + d} \) fra på begge sider: \[ \begin{aligned} ax^3 + bx^2 + cx + d &= cx + d \\ ax^3 + bx^2 &= 0 \\ x^2(ax + b) &= 0 \end{aligned} \]\( {x = \textcolor{blue}{0}} \) er alltid en løsning, og \( {F(\textcolor{blue}{0}) = G(\textcolor{blue}{0}) = d}\text{.} \) Grafene har derfor alltid punktet \( (\textcolor{blue}{0}, d) \) felles.

2. Sammenlign stigningstallene Stigningstallet til tangenten i et punkt er den deriverte der, som i videoen Tangentlinje. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} F'(x) &= 3ax^2 + 2bx + \textcolor{red}{c} \\ G'(x) &= \textcolor{red}{c} \end{aligned} \]I \( {x = \textcolor{blue}{0}} \) er \( {F'(\textcolor{blue}{0}) = \textcolor{red}{c} = G'(\textcolor{blue}{0})}\text{.} \) Grafene har samme punkt og samme stigningstall i \( (\textcolor{blue}{0}, d)\text{,} \) så de tangerer hverandre der, som i a). Påstanden stemmer for alle tredjegradsfunksjoner \( F \) (\( {a \neq 0} \)), og \( f \) og \( g \) i a) er et eksempel, med \( {a = 2}\text{,} \) \( {b = -6}\text{,} \) \( {c = 2} \) og \( {d = 3}\text{.} \)

1. Sjekk punktet i CAS Vi skriver \( F \) og \( G \) med bokstavene, løser \( {F(x) = G(x)} \) og regner ut stigningstallene i \( {x = 0}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x + d G(x) := c*x + d Løs(F(x) = G(x), x) F'(0) G'(0)

Grafene møtes alltid i \( {x = 0}\text{,} \) og der er \( {F'(0) = G'(0) = c}\text{.} \) De tangerer altså hverandre i \( (0, d)\text{.} \)

Vi bruker at \( {F(x) = G(x)} \) gir \( {x^2(ax + b) = 0} \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner \( x \)-koordinaten til vendepunktet med \( {F''(x) = 0} \) og \( x \)-koordinaten til skjæringspunktet med \( {F(x) = G(x)}\text{,} \) og sammenligner dem.

1. Finn vendepunktet Vendepunktet ligger der den dobbeltderiverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi deriverer \( {F'(x) = 3ax^2 + 2bx + c} \) en gang til: \[ \begin{aligned} F''(x) &= 6ax + 2b = 0 \\ \textcolor{blue}{x_V} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{b}{3a}} \end{aligned} \]\( F''(x) \) er en rett linje, så den skifter fortegn der, og det er et vendepunkt.

2. Finn skjæringspunktet I b) fant vi at \( {F(x) = G(x)} \) gir: \[ x^2(ax + b) = 0 \]\( {x = 0} \) er tangeringspunktet fra b). Skjæringspunktet er den andre løsningen, \( {ax + b = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{x_S} = \textcolor{red}{-\dfrac{b}{a}} \]

3. Sammenlign Vi skriver \( \textcolor{red}{x_S} \) ved \( \textcolor{blue}{x_V}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{-\dfrac{b}{a}} = 3 \cdot \left(\textcolor{blue}{-\dfrac{b}{3a}}\right) \]Altså er \( {\textcolor{red}{x_S} = 3 \cdot \textcolor{blue}{x_V}}\text{.} \) For \( f \) og \( g \) i a) er \( {f''(x) = 12x - 12}\text{,} \) så \( {x_V = 1}\text{,} \) og skjæringspunktet er i \( {x_S = 3}\text{.} \)

Det er den enkleste måten å si det på. Andre formuleringer er også riktige, for eksempel at vendepunktet ligger en tredjedel av veien fra tangeringspunktet i \( {x = 0} \) til skjæringspunktet.

1. Løs begge likningene i CAS Vi løser \( {F''(x) = 0} \) for vendepunktet og \( {F(x) = G(x)} \) for skjæringspunktet:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x + d G(x) := c*x + d Løs(F''(x) = 0, x) Løs(F(x) = G(x), x)

Vendepunktet er i \( {x = -\dfrac{b}{3a}}\text{,} \) og skjæringspunktet i \( {x = -\dfrac{b}{a}}\text{,} \) som er tre ganger så mye.