Eksamensoppgaver etter tema

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og banefarten er lengden av fartsvektoren. Posisjonen finner vi ved å sette inn tiden.

1. Finn fartsvektoren Posisjonsvektoren har førstekoordinaten \( {\textcolor{blue}{6t + 120}} \) og andrekoordinaten \( {\textcolor{red}{\dfrac{5}{3}t + 50}}\text{:} \) \[ \vec{r}(t) = \left[\textcolor{blue}{6t + 120},\ \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}t + 50}\right] \]Fartsvektoren er den deriverte av den, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon.

Vi deriverer hver koordinat for seg. Konstantene \( 120 \) og \( 50 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \vec{v}(t) = \left[\textcolor{blue}{6},\ \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right] \]Fartsvektoren er den samme hele tiden, så skøyteløperen beveger seg langs en rett linje med konstant fart.

2. Regn ut banefarten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right)^2} \\ |\vec{v}| &= \sqrt{36 + \dfrac{25}{9}} = \sqrt{\dfrac{349}{9}} = \dfrac{\sqrt{349}}{3} \\ |\vec{v}| &\approx 6{,}23 \end{aligned} \]

3. Finn posisjonen etter et halvt minutt Et halvt minutt er \( 30 \) sekunder. Vi setter inn \( {t = 30} \) i begge koordinatene: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{6 \cdot 30 + 120} = 300 \\ y &= \textcolor{red}{\dfrac{5}{3} \cdot 30 + 50} = 100 \end{aligned} \]

Skøyteløperen treffer hunden bare hvis de er på samme sted til samme tid. Da må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \)

1. Sett førstekoordinatene like Skal de treffe hverandre, må førstekoordinaten til skøyteløperen, \( {\textcolor{blue}{6t + 120}}\text{,} \) og til hunden, \( {\textcolor{red}{\dfrac{13}{2}t + 250}}\text{,} \) være like for den samme \( t \in [0, 200]\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{6t + 120} &= \textcolor{red}{\dfrac{13}{2}t + 250} \\ 6t - \dfrac{13}{2}t &= 250 - 120 \\ -\dfrac{1}{2}t &= 130 \\ t &= -260 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se kapittelet Parametrisering.

Førstekoordinatene er like bare for \( {t = -260}\text{,} \) og den er ikke med i tidsintervallet: \[ t = -260 \notin [0, 200] \]Da kan skøyteløperen og hunden aldri være på samme sted til samme tid, uansett hva andrekoordinatene er.

Ingen av dem endrer retning, så de kan bare møtes der banene krysser hverandre. Vi finner når hunden er der, og deler strekningen skøyteløperen har igjen på tiden som er igjen.

1. Finn hvor banene krysser hverandre I krysningspunktet er de på samme sted, men ikke nødvendigvis til samme tid. Vi kaller tiden til skøyteløperen \( \textcolor{blue}{u} \) og tiden til hunden \( \textcolor{red}{w}\text{,} \) og setter koordinatene like: \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{u} + 120 &= \dfrac{13}{2}\textcolor{red}{w} + 250 \\ \dfrac{5}{3}\textcolor{blue}{u} + 50 &= -\dfrac{9}{5}\textcolor{red}{w} + 520 \end{aligned} \]

Vi løser den første likningen for \( \textcolor{blue}{u}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{u} = \dfrac{13}{12}\textcolor{red}{w} + \dfrac{65}{3} \]

Setter vi det inn i den andre og ganger begge sider med \( 180\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{65}{36}\textcolor{red}{w} + \dfrac{325}{9} + 50 &= -\dfrac{9}{5}\textcolor{red}{w} + 520 \\ 325\textcolor{red}{w} + 15500 &= -324\textcolor{red}{w} + 93600 \\ 649\textcolor{red}{w} &= 78100 \\ \textcolor{red}{w} &= \dfrac{7100}{59} \end{aligned} \]Hunden er i krysningspunktet \( K \) etter omtrent \( 120{,}34 \) sekunder, innenfor \( [0, 200]\text{.} \)

2. Finn krysningspunktet og hvor skøyteløperen er Vi setter \( {\textcolor{red}{w} = \dfrac{7100}{59}} \) inn i koordinatene til hunden: \[ \begin{aligned} x_K &= \dfrac{13}{2} \cdot \dfrac{7100}{59} + 250 = \dfrac{60900}{59} \\ y_K &= -\dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{7100}{59} + 520 = \dfrac{17900}{59} \end{aligned} \]

Skøyteløperen oppdager hunden etter \( 1 \) minutt, når \( {t = 60}\text{,} \) i punktet \( P\text{:} \) \[ \begin{aligned} x_P &= 6 \cdot 60 + 120 = 480 \\ y_P &= \dfrac{5}{3} \cdot 60 + 50 = 150 \end{aligned} \]

3. Regn ut strekningen som er igjen Vektoren fra \( P \) til \( K \) finner vi ved å trekke koordinatene til \( P \) fra koordinatene til \( K\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{PK} &= \left[\dfrac{32580}{59},\ \dfrac{9050}{59}\right] \\ \overrightarrow{PK} &= \dfrac{1810}{59} \cdot [18, 5] \end{aligned} \]Siden \( {[18, 5] = 3 \cdot \left[6, \dfrac{5}{3}\right]}\text{,} \) peker den samme vei som fartsvektoren, så \( K \) ligger rett fram.

Lengden finner vi med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{.} \) Den positive faktoren kan stå utenfor roten: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{PK}| &= \dfrac{1810}{59} \cdot \sqrt{18^2 + 5^2} \\ |\overrightarrow{PK}| &= \dfrac{1810}{59} \cdot \sqrt{349} \approx 573{,}11 \end{aligned} \]Skøyteløperen har omtrent \( 573{,}11\,\text{m} \) igjen.

4. Regn ut den nye banefarten Den nye banefarten er strekningen delt på tiden fra \( {t = 60} \) til hunden er i \( K\text{.} \) Vi regner med de eksakte verdiene og runder av til slutt: \[ \begin{aligned} v &= \dfrac{|\overrightarrow{PK}|}{\textcolor{red}{w} - 60} \\ v &= \dfrac{1810 \cdot \sqrt{349}}{59} : \left(\dfrac{7100}{59} - 60\right) \\ v &= \dfrac{1810 \cdot \sqrt{349}}{59} : \dfrac{3560}{59} \\ v &= \dfrac{181 \cdot \sqrt{349}}{356} \approx 9{,}50 \end{aligned} \]Skøyteløperen må holde en banefart på omtrent \( 9{,}50\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Løs likningene i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser likningssystemet for krysningspunktet med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den nye banefarten er avstanden fra \( P\text{,} \) der skøyteløperen er etter \( 60 \) sekunder, til krysningspunktet \( K\text{,} \) delt på tiden som er igjen, der \( w \) er tiden da hunden er i \( K\text{:} \) \[ v = \dfrac{|\overrightarrow{PK}|}{w - 60} \]Den siste raden regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (6t + 120, 5/3*t + 50) s(t) := (13/2*t + 250, -9/5*t + 520) Løs({6u + 120 = 13/2*w + 250, 5/3*u + 50 = -9/5*w + 520}, {u, w}) Avstand(r(60), s(7100/59)) / (7100/59 - 60)

CAS gir \( {u = \dfrac{8970}{59}} \) og \( {w = \dfrac{7100}{59}}\text{,} \) og den nye banefarten er omtrent \( 9{,}4982\,\text{m/s}\text{,} \) altså omtrent \( 9{,}50\,\text{m/s}\text{.} \)

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og farten er lengden av fartsvektoren. Til slutt gjør vi kilometer per time om til knop.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( \vec{r}\,'(t)\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg, og konstantene \( 1 \) og \( 4 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \vec{r}\,'(t) = [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{8}] \]

2. Regn ut farten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Enhetene er kilometer og timer, så farten er: \[ \begin{aligned} |\vec{r}\,'(t)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{red}{8}^2} = \sqrt{89} \\ |\vec{r}\,'(t)| &\approx 9{,}434\,\text{km/h} \end{aligned} \]

3. Gjør om til knop 1 knop er 1852 meter per time, altså \( 1{,}852\,\text{km/h}\text{.} \) Vi deler farten på \( 1{,}852\text{:} \) \[ \dfrac{\sqrt{89}}{1{,}852} \approx 5{,}09 \]Fiskebåten holder omtrent \( 5{,}1 \) knop.

1. Regn ut i CAS Vi deriverer posisjonen i CAS og regner ut lengden av fartsvektoren. Den siste raden deler på 1,852 km/h med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (1 + 5t, 4 + 8t) v(t) := r'(t) Lengde(v(t)) Lengde(v(t))*1000/1852

CAS gir fartsvektoren \( (5, 8)\text{,} \) farten \( \sqrt{89} \) km/h og omtrent \( 5{,}0939 \) knop.

Vi skriver avstanden mellom båten og fyret som en funksjon av \( t \) og finner der den er minst. Det er enklest å finne bunnpunktet til kvadratet av avstanden.

1. Skriv opp avstanden Vektoren fra fyret til båten er \( {\vec{r}(t) - [4, 7]}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &[1 + 5t - 4,\ 4 + 8t - 7] \\ &= [\textcolor{blue}{5t - 3}, \textcolor{red}{8t - 3}] \end{aligned} \]

Avstanden \( d(t) \) er lengden av den, som vi finner med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor. Vi ganger ut med andre kvadratsetning, \( {(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} d(t)^2 &= (\textcolor{blue}{5t - 3})^2 + (\textcolor{red}{8t - 3})^2 \\ d(t)^2 &= 89t^2 - 78t + 18 \end{aligned} \]

2. Finn når avstanden er minst Avstanden er minst når \( d(t)^2 \) er minst, fordi \( {d(t) \ge 0}\text{.} \) Vi deriverer og setter den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \left(d(t)^2\right)' = 178t - 78 &= 0 \\ t &= \dfrac{39}{89} \end{aligned} \]Grafen til \( d(t)^2 \) er en parabel som vender opp, så det er et bunnpunkt.

3. Regn ut avstanden Vi setter \( {t = \dfrac{39}{89}} \) inn: \[ \begin{aligned} d^2 &= 89 \cdot \dfrac{39^2}{89^2} - 78 \cdot \dfrac{39}{89} + 18 = \dfrac{81}{89} \\ d &= \sqrt{\dfrac{81}{89}} = \dfrac{9}{\sqrt{89}} \approx 0{,}954 \end{aligned} \]Den minste avstanden er omtrent \( 0{,}954 \) km, altså omtrent 954 meter.

1. Finn bunnpunktet i CAS Vi skriver avstanden mellom båten og fyret som en funksjon i CAS, setter den deriverte lik \( 0 \) og regner ut avstanden. Rad 4 er rad 3 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: d(t) := Avstand((1 + 5t, 4 + 8t), (4, 7)) Løs(d'(t) = 0, t) d(39/89)

CAS gir \( {t = \dfrac{39}{89}} \) og den minste avstanden \( {\dfrac{9}{89}\sqrt{89} \approx 0{,}954} \) km.

Båten treffer stimen bare hvis de er på samme sted til samme tid. Da må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \)

1. Skriv opp posisjonen til stimen Stimen har den samme farten hele tiden, så for hver time flytter den seg \( 4 \) km bortover og \( 11 \) km oppover, som \( \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \) i videoen Parametrisering, eksempel oppgave 1. Den starter i \( {(1, -3)}\text{,} \) så etter \( t \) timer er den i: \[ [\textcolor{blue}{1 + 4t},\ \textcolor{red}{-3 + 11t}] \]

2. Sett koordinatene like Båten er i \( {[\textcolor{blue}{1 + 5t},\ \textcolor{red}{4 + 8t}]}\text{.} \) Førstekoordinatene er like når: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1 + 5t} &= \textcolor{blue}{1 + 4t} \\ t &= 0 \end{aligned} \]

Da er andrekoordinatene \( {\textcolor{red}{4 + 8 \cdot 0} = 4} \) og \( {\textcolor{red}{-3 + 11 \cdot 0} = -3}\text{,} \) som ikke er like. Førstekoordinatene er altså like bare når andrekoordinatene er ulike, så båten og stimen er aldri på samme sted til samme tid.

Vi bruker posisjonen til fiskestimen fra c), \( {[1 + 4t,\ -3 + 11t]}\text{.} \)

Båten går i retning langs \( {\vec{u} = [6, 4]} \) med en ukjent fart, så fartsvektoren er \( {k \cdot \vec{u}}\text{.} \) Vi finner \( k \) slik at båten og stimen er på samme sted til samme tid.

1. Skriv opp posisjonen til båten Fartsvektoren er \( {\textcolor{green}{k} \cdot [6, 4] = [6\textcolor{green}{k}, 4\textcolor{green}{k}]}\text{,} \) der \( {\textcolor{green}{k} > 0}\text{.} \) Båten starter i \( {(-2, 0)}\text{,} \) så etter \( t \) timer er den i: \[ [\textcolor{blue}{-2 + 6\textcolor{green}{k}t},\ \textcolor{red}{4\textcolor{green}{k}t}] \]

2. Sett koordinatene like Båten og stimen skal være på samme sted til samme tid. Førstekoordinatene er blå og andrekoordinatene røde: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-2 + 6\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{blue}{1 + 4t} \\ \textcolor{red}{4\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{red}{-3 + 11t} \end{aligned} \]

Den andre likningen gir \( {\textcolor{green}{k}t = \dfrac{11t - 3}{4}}\text{.} \) Vi setter det inn i den første og ganger med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2 + \dfrac{3(11t - 3)}{2} &= 1 + 4t \\ -4 + 33t - 9 &= 2 + 8t \\ 25t &= 15 \\ t &= \dfrac{3}{5} = 0{,}6 \end{aligned} \]

Da er \( {\textcolor{green}{k}t = \dfrac{11 \cdot 0{,}6 - 3}{4} = 0{,}9}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{k} = \dfrac{0{,}9}{0{,}6} = \textcolor{green}{\dfrac{3}{2}}}\text{.} \)

3. Regn ut farten Fartsvektoren er \( {\textcolor{green}{\dfrac{3}{2}} \cdot [6, 4] = [9, 6]}\text{.} \) Med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor, er farten: \[ \begin{aligned} |[9, 6]| &= \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{117} \\ |[9, 6]| &= 3\sqrt{13} \approx 10{,}82 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 10{,}8\,\text{km/h}\text{,} \) eller \( {\dfrac{10{,}82}{1{,}852} \approx 5{,}8} \) knop.

1. Løs likningssettet i CAS Vi løser de to likningene for \( k \) og \( t \) i CAS, som i videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Så regner vi ut lengden av fartsvektoren \( {\dfrac{3}{2} \cdot [6, 4]} \) og deler på 1,852 km/h. Rad 3 er rad 2 med knappen ≈, og rad 4 regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs({-2 + 6k*t = 1 + 4t, 4k*t = -3 + 11t}, {k, t}) Lengde(3/2*Vektor((6, 4))) Lengde(3/2*Vektor((6, 4)))*1000/1852

CAS gir \( {k = \dfrac{3}{2}} \) og \( {t = \dfrac{3}{5}}\text{,} \) og farten \( {3\sqrt{13} \approx 10{,}8167} \) km/h, altså omtrent \( 5{,}8405 \) knop.

Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren.

1. Finn fartsvektorene Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg, og konstantene har derivert \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \vec{v}_1(t) &= [\textcolor{blue}{6}, \textcolor{red}{-3}] \\ \vec{v}_2(t) &= [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{4}] \end{aligned} \]Fartsvektorene er de samme hele tiden, så begge fuglene flyr med konstant fart.

2. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}_1| &= \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2 + (\textcolor{red}{-3})^2} = \sqrt{45} \approx 6{,}71 \\ |\vec{v}_2| &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}40 \end{aligned} \]

Avstanden mellom fuglene er lengden av vektoren mellom posisjonene deres.

1. Finn posisjonene Vi setter \( {t = 0} \) inn i begge posisjonsvektorene: \[ \begin{aligned} \vec{r}_1(0) &= [-10, 35] \\ \vec{r}_2(0) &= [2, 0] \end{aligned} \]

2. Regn ut avstanden En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \vec{r}_2(0) - \vec{r}_1(0) = [\textcolor{blue}{12}, \textcolor{red}{-35}] \]

Lengden finner vi med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} d &= \sqrt{\textcolor{blue}{12}^2 + (\textcolor{red}{-35})^2} \\ d &= \sqrt{1369} = 37 \end{aligned} \]

Vi finner avstanden mellom fuglene som en funksjon \( d(t)\text{.} \) Den er minst der den deriverte er \( 0\text{.} \)

1. Finn avstanden som funksjon av tiden Vektoren fra fugl 1 til fugl 2 har førstekoordinat \( {2 + 5t - (-10 + 6t) = \textcolor{blue}{12 - t}} \) og andrekoordinat \( {4t - (35 - 3t) = \textcolor{red}{7t - 35}}\text{.} \) Med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) er avstanden: \[ d(t) = \sqrt{(\textcolor{blue}{12 - t})^2 + (\textcolor{red}{7t - 35})^2} \]

Ganger vi ut kvadratene og trekker sammen, får vi: \[ d(t) = \sqrt{50t^2 - 514t + 1369} \]

2. Finn når avstanden er minst Avstanden er minst der \( {d'(t) = 0}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{u}}\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{u'}}{2\sqrt{\textcolor{green}{u}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen. Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{50t^2 - 514t + 1369}}\text{:} \) \[ d'(t) = \dfrac{\textcolor{green}{100t - 514}}{2\sqrt{50t^2 - 514t + 1369}} \]

Nevneren er positiv, så \( {d'(t) = 0} \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 100t - 514 &= 0 \\ t &= 5{,}14 \end{aligned} \]Telleren er negativ før og positiv etter, så avstanden minker og så øker. Fuglene er nærmest hverandre etter \( 5{,}14 \) sekunder.

3. Regn ut den minste avstanden Vi setter inn \( {t = 5{,}14} \) i koordinatene til vektoren: \( {\textcolor{blue}{12 - 5{,}14 = 6{,}86}} \) og \( {\textcolor{red}{7 \cdot 5{,}14 - 35 = 0{,}98}}\text{.} \) Det gir: \[ d(5{,}14) = \sqrt{\textcolor{blue}{6{,}86}^2 + \textcolor{red}{0{,}98}^2} \approx 6{,}93 \]

1. Løs i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og lar Avstand gi avstanden \( d(t)\text{.} \) Så løser vi \( {d'(t) = 0}\text{,} \) og regner ut den siste raden med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r_1(t) := (-10 + 6t, 35 - 3t) r_2(t) := (2 + 5t, 4t) d(t) := Avstand(r_1(t), r_2(t)) Løs(d'(t) = 0, t) d(257/50)

CAS gir \( {t = \dfrac{257}{50} = 5{,}14} \) og \( {d \approx 6{,}9296}\text{.} \) Fuglene er nærmest hverandre etter \( 5{,}14 \) sekunder, omtrent \( 6{,}93 \) meter fra hverandre.

Vi sammenligner med farten til småfuglene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Rovfuglen tar en småfugl bare hvis de er på samme sted til samme tid. Vi sjekker om begge koordinatene kan være like samtidig.

1. Sjekk om rovfuglen tar fugl 1 Skal rovfuglen ta fugl 1, må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \) Førstekoordinatene gir: \[ \begin{aligned} 7t - 10 &= -10 + 6t \\ t &= 0 \end{aligned} \]Ved \( {t = 0} \) er andrekoordinatene ulike: \[ \begin{aligned} \text{rovfuglen: } \textcolor{red}{2 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 5} &= \textcolor{red}{5} \\ \text{fugl 1: } \textcolor{blue}{35 - 3 \cdot 0} &= \textcolor{blue}{35} \end{aligned} \]De er ikke på samme sted, så rovfuglen tar ikke fugl 1.

2. Sjekk om rovfuglen tar fugl 2 Førstekoordinatene gir: \[ \begin{aligned} 7t - 10 &= 2 + 5t \\ t &= 6 \end{aligned} \]Ved \( {t = 6} \) er andrekoordinatene ulike: \[ \begin{aligned} \text{rovfuglen: } \textcolor{red}{2 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 5} &= \textcolor{red}{41} \\ \text{fugl 2: } \textcolor{blue}{4 \cdot 6} &= \textcolor{blue}{24} \end{aligned} \]Heller ikke de er på samme sted, så rovfuglen tar ikke fugl 2.

3. Beskriv jakten Rovfuglen starter i \( {(-10, 5)}\text{,} \) \( 30 \) meter fra fugl 1. Fartsvektoren er den deriverte, \( {\vec{v}_R(t) = [7,\ 4t - 6]}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon, så farten er: \[ |\vec{v}_R(t)| = \sqrt{7^2 + (4t - 6)^2} \]Den er minst, \( 7 \) m/s, når \( {t = 1{,}5}\text{.} \) Rovfuglen er altså hele tiden raskere enn småfuglene, som i a) flyr med omtrent \( 6{,}71 \) og \( 6{,}40 \) m/s. Etter \( {t = 1{,}5} \) flyr den stadig fortere, og ved \( {t = 6} \) er farten \( {\sqrt{373} \approx 19{,}3} \) m/s. Likevel er den da i \( (32, 41)\text{,} \) \( 17 \) meter fra fugl 2 i \( (32, 24)\text{.} \) Den tar ingen av dem.

Andre beskrivelser er også riktige, for eksempel hvor nær rovfuglen kommer hver av småfuglene, som i GeoGebra-ruten.

1. Sjekk om de møtes Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser \( {\vec{r}_R(t) = \vec{r}_1(t)} \) og \( {\vec{r}_R(t) = \vec{r}_2(t)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: R(t) := (7t - 10, 2t^2 - 6t + 5) r_1(t) := (-10 + 6t, 35 - 3t) r_2(t) := (2 + 5t, 4t) Løs(R(t) = r_1(t), t) Løs(R(t) = r_2(t), t)

Begge likningene er uten løsning, så rovfuglen er aldri på samme sted som en småfugl til samme tid.

2. Finn hvor nær rovfuglen kommer Vi lar Avstand gi avstanden til hver småfugl, og finner den minste avstanden de første 6 sekundene med Min, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: D_1(t) := Avstand(R(t), r_1(t)) D_2(t) := Avstand(R(t), r_2(t)) Min(D_1, 0, 6) Min(D_2, 0, 6)

Rovfuglen kommer nærmest fugl 2, omtrent \( 3{,}0 \) meter etter omtrent \( 4{,}5 \) sekunder, og fugl 1, omtrent \( 4{,}7 \) meter etter omtrent \( 4{,}7 \) sekunder. Den tar ingen av dem.

Avstanden i luftlinje er lengden av vektoren mellom de to posisjonene etter 1 minutt.

1. Finn posisjonene etter 1 minutt Vi setter inn \( {t = 1} \) i begge posisjonsvektorene: \[ \begin{aligned} \vec{r}_A(1) &= \left[\dfrac{1}{2}(1 - 4),\ 1\right] = \left[-\dfrac{3}{2},\ 1\right] \\ \vec{r}_B(1) &= \left[\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{5}\right] = \left[\dfrac{1}{2},\ \dfrac{6}{5}\right] \end{aligned} \]

2. Regn ut avstanden Vektoren fra bil \( A \) til bil \( B \) finner vi ved å trekke koordinatene til \( A \) fra koordinatene til \( B\text{,} \) som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \vec{r}_B(1) - \vec{r}_A(1) &= \left[\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2},\ \dfrac{6}{5} - 1\right] \\ \vec{r}_B(1) - \vec{r}_A(1) &= \left[\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right] \end{aligned} \]

Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi avstanden \( d\text{:} \) \[ \begin{aligned} d &= \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{101}{25}} \\ d &= \dfrac{\sqrt{101}}{5} \approx 2{,}01 \end{aligned} \]Avstanden er omtrent \( 2{,}01 \) km.

Bilen på motorveien kjører fortest. Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren.

1. Finn fartsvektorene Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg. Siden \( {\dfrac{1}{2}(t - 4) = \dfrac{1}{2}t - 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \vec{v}_A(t) &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}},\ \textcolor{red}{1}\right] \\ \vec{v}_B(t) &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}},\ \textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right] \end{aligned} \]Fartsvektorene er de samme hele tiden, så begge bilene kjører med konstant fart.

2. Regn ut farten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi farten i kilometer per minutt: \[ \begin{aligned} |\vec{v}_A| &= \sqrt{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right)^2 + \textcolor{red}{1}^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ |\vec{v}_B| &= \sqrt{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right)^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2} \end{aligned} \]

3. Gjør om til km/h En time er \( 60 \) minutter, så vi ganger med \( 60\text{:} \) \[ \begin{aligned} |\vec{v}_A| &= \dfrac{\sqrt{5}}{2} \cdot 60 \approx 67{,}1\,\text{km/h} \\ |\vec{v}_B| &= \dfrac{\sqrt{10}}{2} \cdot 60 \approx 94{,}9\,\text{km/h} \end{aligned} \]Bil \( B \) kjører omtrent \( 95 \) km/h, som passer på en motorvei. Bil \( A \) kjører omtrent \( 67 \) km/h, som passer på en vei med lavere fartsgrense.

Bilene er i veikrysset på hver sin tid. Vi gir dem hver sin tid, \( u \) og \( w\text{,} \) og setter posisjonene like.

1. Sett posisjonene like I veikrysset er bilene på samme sted, men ikke nødvendigvis til samme tid. Vi kaller tiden til bil \( A \) for \( \textcolor{blue}{u} \) og tiden til bil \( B \) for \( \textcolor{red}{w}\text{,} \) slik Ina får sin egen tid i videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Begge koordinatene må være like: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}(\textcolor{blue}{u} - 4) &= \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{w} \\ \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{3}{2}\left(\textcolor{red}{w} - \dfrac{1}{5}\right) \end{aligned} \]

2. Løs likningssettet Den første likningen gir \( {\textcolor{red}{w} = \textcolor{blue}{u} - 4}\text{.} \) Setter vi det inn i den andre, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{3}{2}\left(\textcolor{blue}{u} - 4 - \dfrac{1}{5}\right) \\ \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{3}{2}\textcolor{blue}{u} - \dfrac{63}{10} \\ \dfrac{1}{2}\textcolor{blue}{u} &= \dfrac{63}{10} \\ \textcolor{blue}{u} &= \dfrac{63}{5} = 12{,}6 \end{aligned} \]Da er \( {\textcolor{red}{w} = 12{,}6 - 4 = 8{,}6}\text{.} \)

3. Sammenlign tidene Bil \( A \) er i veikrysset etter \( \textcolor{blue}{12{,}6} \) minutter, og bil \( B \) etter \( \textcolor{red}{8{,}6} \) minutter. Veikrysset er i punktet: \[ \begin{aligned} \vec{r}_A(12{,}6) &= \left[\dfrac{1}{2}(12{,}6 - 4),\ 12{,}6\right] \\ \vec{r}_A(12{,}6) &= [4{,}3,\ 12{,}6] \end{aligned} \]Bil \( B \) kommer altså først, \( 4 \) minutter før bil \( A\text{.} \)

1. Løs likningssettet i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser likningssettet med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I rad 4 og 5 setter vi tidene inn i posisjonene:

Skriv inn i GeoGebra: r_A(t) := (1/2 (t - 4), t) r_B(t) := (1/2 t, 3/2 (t - 1/5)) Løs({1/2 (u - 4) = 1/2 w, u = 3/2 (w - 1/5)}, {u, w}) r_A(63/5) r_B(43/5)

CAS gir \( {u = \dfrac{63}{5} = 12{,}6} \) og \( {w = \dfrac{43}{5} = 8{,}6}\text{,} \) og begge bilene er i punktet \( {\left(\dfrac{43}{10}, \dfrac{63}{5}\right)}\text{.} \) Bil \( B \) kommer først.

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og farten er lengden av fartsvektoren. Pucken ble sendt av gårde ved \( {t = 0}\text{.} \)

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg. Kjerneregelen gir \( {(e^{-t})' = -e^{-t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{8(-e^{-t} - 1)},\ \textcolor{red}{5(-e^{-t} - 1)}] \]

Pucken ble sendt av gårde ved \( {t = 0}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \vec{v}(0) &= [\textcolor{blue}{8 \cdot (-2)},\ \textcolor{red}{5 \cdot (-2)}] \\ \vec{v}(0) &= [\textcolor{blue}{-16}, \textcolor{red}{-10}] \end{aligned} \]

2. Regn ut farten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(0)| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-16})^2 + (\textcolor{red}{-10})^2} \\ |\vec{v}(0)| &= \sqrt{356} \approx 18{,}87 \end{aligned} \]Posisjonen er i meter og tiden i sekunder, så farten er omtrent \( 18{,}87\,\text{m/s}\text{.} \)

Begge koordinatene er et tall ganget med \( {e^{-t} - t}\text{,} \) så pucken går langs en rett linje. Vi finner hvilket vant den treffer først, og løser likningen for det.

1. Finn banen til pucken Vi kaller \( {\textcolor{green}{s} = \textcolor{green}{e^{-t} - t}}\text{.} \) Da er: \[ \vec{r}(t) = [8\textcolor{green}{s},\ 5\textcolor{green}{s}] = \textcolor{green}{s} \cdot [8, 5] \]Pucken går altså langs linja gjennom origo med retningen \( [8, 5]\text{.} \) Ved \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{s} = 1}\text{,} \) så pucken starter i \( (8, 5)\text{.} \)

Den deriverte av \( \textcolor{green}{s} \) er \( {-e^{-t} - 1 < 0}\text{,} \) så \( \textcolor{green}{s} \) avtar hele tiden. Pucken går derfor mot origo og videre ned mot venstre.

2. Finn vantet den treffer Banen er \( 60\,\text{m} \) lang og \( 30\,\text{m} \) bred, så vantet nede til venstre ligger på \( {x = -30} \) og \( {y = -15}\text{.} \) Vi finner \( \textcolor{green}{s} \) for hver av dem: \[ \begin{aligned} 8\textcolor{green}{s} = -30 \quad &\Rightarrow \quad \textcolor{green}{s} = -3{,}75 \\ 5\textcolor{green}{s} = -15 \quad &\Rightarrow \quad \textcolor{green}{s} = -3 \end{aligned} \]Siden \( \textcolor{green}{s} \) avtar fra \( 1\text{,} \) kommer \( {\textcolor{green}{s} = -3} \) først. Pucken treffer langveggen \( {y = -15} \) i \( {x = 8 \cdot (-3) = -24}\text{,} \) \( 6\,\text{m} \) fra kortveggen, der vantet på figuren er rett.

3. Prøv deg fram med kalkulatoren Vi skal løse \( {e^{-t} - t = -3}\text{,} \) altså finne når \( {e^{-t} - t + 3 = 0}\text{.} \) Den likningen kan vi ikke løse for hånd, så vi prøver oss fram og ser hvor fortegnet skifter, som i videoen Halveringsmetoden/​Midtpunktsmetoden: \[ \begin{array}{r|r} t & e^{-t} - t + 3 \\ \hline 3 & 0{,}0498 \\ 3{,}1 & -0{,}0550 \\ 3{,}05 & -0{,}0026 \\ 3{,}04 & 0{,}0078 \\ 3{,}045 & 0{,}0026 \end{array} \]Fortegnet skifter mellom \( {t = 3{,}045} \) og \( {t = 3{,}05}\text{,} \) så \( {t \approx 3{,}05}\text{.} \)

1. Løs likningene i CAS Pucken når enten \( {y = -15} \) eller \( {x = -30} \) først. Vi løser begge likningene med NLøs og startverdien \( {t = 3}\text{,} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(5(e^(-t) - t) = -15, t = 3) NLøs(8(e^(-t) - t) = -30, t = 3)

Pucken når \( {y = -15} \) etter omtrent \( 3{,}0475 \) sekunder, før den ville nådd \( {x = -30}\text{.} \) Den treffer altså vantet etter omtrent \( 3{,}05 \) sekunder.

Vi bruker at pucken går langs en rett linje, som vi viste i b).

Spilleren blir truffet bare hvis pucken og spilleren er på samme sted til samme tid. Vi finner når spilleren er på linja pucken går langs, og hvor pucken er da.

1. Skriv opp posisjonene Spilleren har den samme farten hele tiden, så hvert sekund flytter spilleren seg \( 3\,\text{m} \) bortover og \( 7\,\text{m} \) nedover, som \( \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \) i videoen Parametrisering, eksempel oppgave 1. Spilleren starter i \( {P(-18, 11)}\text{,} \) så etter \( t \) sekunder er spilleren i: \[ \vec{p}(t) = [\textcolor{blue}{-18 + 3t},\ \textcolor{red}{11 - 7t}] \]

I b) så vi at pucken er i \( [8s,\ 5s] \) med \( {s = e^{-t} - t}\text{.} \) Der er \( {5x = 40s = 8y}\text{,} \) så pucken er hele tiden på linja \( {5x = 8y}\text{.} \)

2. Finn når spilleren er på linja Spilleren er på linja når \( {5x = 8y}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5(\textcolor{blue}{-18 + 3t}) &= 8(\textcolor{red}{11 - 7t}) \\ -90 + 15t &= 88 - 56t \\ 71t &= 178 \\ t &= \dfrac{178}{71} \approx 2{,}51 \end{aligned} \]Det er det eneste tidspunktet spilleren er på linja til pucken, og det er før pucken treffer vantet etter omtrent \( 3{,}05 \) sekunder.

3. Sammenlign posisjonene Da er spilleren i: \[ \vec{p}\left(\dfrac{178}{71}\right) \approx [-10{,}48,\ -6{,}55] \]

Pucken er samtidig i, regnet ut med kalkulatoren: \[ \vec{r}\left(\dfrac{178}{71}\right) \approx [-19{,}40,\ -12{,}13] \]De er ikke på samme sted. Pucken har allerede passert stedet der spilleren krysser linja, så spilleren blir ikke truffet.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser \( {\vec{r}(t) = \vec{p}(t)}\text{.} \) For å se hvor nær de kommer, lar vi Avstand gi avstanden \( d(t) \) og finner bunnpunktet med NLøs, der \( {d'(t) = 0}\text{.} \) De to siste radene er med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (8(e^(-t) - t), 5(e^(-t) - t)) p(t) := (-18 + 3t, 11 - 7t) Løs(r(t) = p(t), t) d(t) := Avstand(r(t), p(t)) NLøs(d'(t) = 0, t = 2) d(1.8124)

Likningen er uten løsning, så de er aldri på samme sted til samme tid. De kommer aldri nærmere hverandre enn omtrent \( 6{,}59\,\text{m}\text{,} \) etter omtrent \( 1{,}81 \) sekunder.