Eksamensoppgaver etter tema

Farten er \( x\text{,} \) så vi setter \( {x = 50} \) inn i \( U(x)\text{.} \)

1. Sett inn farten Med \( {x = \textcolor{blue}{50}} \) regner vi ut leddene hver for seg: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{50}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{50}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{50}^2 + 50 \\ U(50) &= 108 + 18{,}5 + 50 = 176{,}5 \end{aligned} \]Bilen slipper ut \( 176{,}5 \) gram CO₂ per kilometer.

1. Regn ut i CAS Vi skriver funksjonen inn i CAS med \( {:=} \) og regner ut \( U(50) \) med knappen ≈, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) := 5400/x + 0.0074x^2 + 50 U(50)

CAS gir \( {U(50) = 176{,}5}\text{.} \) Bilen slipper ut \( 176{,}5 \) gram CO₂ per kilometer.

Minst utslipp er bunnpunktet til \( U\text{.} \) Med kalkulator finner vi det der den deriverte er \( 0\text{,} \) og i GeoGebra med Min.

1. Deriver funksjonen Vi skriver \( {\dfrac{5400}{x} = 5400 \cdot x^{-1}}\text{,} \) som i videoen Regneregler med Potenser. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{,} \) også \( {n = -1}\text{.} \) Hvis du er usikker på potensregelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd. \( {\textcolor{blue}{5400x^{-1}}} \) derivert blir: \[ 5400 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \textcolor{blue}{\underline{-\dfrac{5400}{x^2}}} \]

\( \textcolor{red}{0{,}0074x^2} \) derivert blir \( {0{,}0074 \cdot 2x = \textcolor{red}{\underline{0{,}0148x}}}\text{,} \) og konstanten \( 50 \) blir \( \underline{0}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ U'(x) = \textcolor{blue}{-\dfrac{5400}{x^2}} + \textcolor{red}{0{,}0148x} \]Du kan også derivere brøken med kvotientregelen, som i videoen Tangentlinje.

2. Sett den deriverte lik null I bunnpunktet er \( {U'(x) = 0}\text{:} \) \[ -\dfrac{5400}{x^2} + 0{,}0148x = 0 \]

Vi flytter brøken over og ganger begge sider med \( x^2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}0148x^3 &= 5400 \\ x^3 &= \dfrac{5400}{0{,}0148} \\ x &= \sqrt[3]{\dfrac{5400}{0{,}0148}} \approx 71{,}46 \end{aligned} \]

3. Vis at det er et bunnpunkt Vi sjekker fortegnet til \( U'(x) \) på hver side: \[ \begin{aligned} U'(60) &= -1{,}5 + 0{,}888 \approx -0{,}61 \\ U'(80) &\approx -0{,}844 + 1{,}184 \approx 0{,}34 \end{aligned} \]Utslippet synker før \( {x \approx 71{,}46} \) og stiger etter, så det er minst der.

4. Regn ut utslippet Vi setter \( x \) inn i \( U(x) \) med alle desimalene fra kalkulatoren, ledd for ledd: \[ \begin{aligned} \dfrac{5400}{71{,}4569} &\approx 75{,}57 \\ 0{,}0074 \cdot 71{,}4569^2 &\approx 37{,}79 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} U(71{,}4569) &\approx 75{,}57 + 37{,}79 + 50 \\ U(71{,}4569) &\approx 163{,}36 \end{aligned} \]Minst utslipp får bilen ved omtrent \( 71{,}5 \) km/h, og da er utslippet omtrent \( 163{,}4 \) gram CO₂ per kilometer.

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi tegner grafen til \( U \) for \( {30 < x < 110} \) og finner bunnpunktet med Min, slik du finner et toppunkt med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) = 5400/x + 0.0074x^2 + 50, 30 < x < 110 Min(U, 30, 110)

Bunnpunktet er \( {A \approx (71{,}4569,\ 163{,}3551)}\text{.} \) Minst utslipp får bilen ved omtrent \( 71{,}5 \) km/h, og da er utslippet omtrent \( 163{,}4 \) gram CO₂ per kilometer.

Vi finner hvor mange kilometer bilen kjører, og ganger med utslippet per kilometer ved 90 km/h.

1. Finn strekningen 20 minutter er \( {\dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}} \) time. Strekningen er fart ganger tid, \( {s = v \cdot t}\text{:} \) \[ s = 90\,\text{km/h} \cdot \dfrac{1}{3}\,\text{h} = \textcolor{blue}{30\,\text{km}} \]

2. Regn ut utslippet Ved \( 90 \) km/h er utslippet per kilometer: \[ \begin{aligned} U(90) &= \dfrac{5400}{90} + 0{,}0074 \cdot 90^2 + 50 \\ U(90) &= 60 + 59{,}94 + 50 = \textcolor{red}{169{,}94} \end{aligned} \]

Gram per kilometer ganger kilometer gir gram: \[ \textcolor{red}{169{,}94\,\text{g/km}} \cdot \textcolor{blue}{30\,\text{km}} = 5098{,}2\,\text{g} \]Det er omtrent \( 5{,}1 \) kg CO₂.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( U \) og strekningen \( s \) i CAS, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og ganger:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) := 5400/x + 0.0074x^2 + 50 s := 90*20/60 U(90)*s

CAS gir \( {s = 30} \) og \( {U(90) \cdot s = 5098{,}2}\text{.} \) Bilen slipper ut \( 5098{,}2 \) gram CO₂.

\( ABCD \) er et rektangel, så \( C \) ligger rett over \( B\text{.} \) Bredden er derfor \( 3\text{,} \) og høyden er \( f(3)\text{.} \)

1. Finn bredden og høyden 0:25 \( A \) ligger i origo og \( B \) i \( (3, 0)\text{,} \) så bredden er \( \textcolor{blue}{3}\text{.} \) Alle vinklene i et rektangel er \( 90^\circ\text{,} \) så \( C \) ligger rett over \( B\text{,} \) på grafen til \( f\text{.} \) Høyden er derfor: \[ \textcolor{red}{f(3)} = \dfrac{10}{3^2 + 3} = \dfrac{10}{12} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} \]

2. Regn ut arealet 1:12 Arealet av et rektangel er bredde ganger høyde: \[ T = \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2} \]

1. Regn ut i CAS 0:55 Vi definerer \( f \) i CAS med \( {:=} \) og regner ut bredden \( b\text{,} \) høyden \( h \) og arealet \( {b \cdot h}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 10/(x^2+3), x>0 b := 3 h := f(3) A := b*h

CAS gir høyden \( {h = \dfrac{5}{6}} \) og arealet \( \dfrac{5}{2}\text{.} \)

Når \( B \) ligger i \( (x, 0)\text{,} \) er bredden \( x \) og høyden \( f(x)\text{.} \) Vi lager en funksjon for arealet og finner toppunktet.

1. Sett opp arealfunksjonen 0:22 Arealet er bredde ganger høyde, så: \[ \begin{aligned} A(x) &= x \cdot f(x) \\ A(x) &= x \cdot \dfrac{10}{x^2 + 3} = \dfrac{10x}{x^2 + 3} \end{aligned} \]Her er \( A(x) \) arealet, og \( {x > 0}\text{.} \)

2. Deriver med kvotientregelen Arealet er størst der \( {A'(x) = 0}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{10x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} A'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{10} \cdot (\textcolor{blue}{x^2 + 3}) - \textcolor{red}{10x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 3})^2} \\ A'(x) &= \dfrac{30 - 10x^2}{(x^2 + 3)^2} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Nevneren er alltid positiv, så \( {A'(x) = 0} \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 30 - 10x^2 &= 0 \\ x^2 &= 3 \\ x &= \sqrt{3} \end{aligned} \]Vi tar bare den positive løsningen, fordi \( {x > 0}\text{.} \)

For \( {x < \sqrt{3}} \) er telleren positiv, og for \( {x > \sqrt{3}} \) er den negativ. Arealet vokser altså fram til \( {x = \sqrt{3}} \) og avtar etterpå, så det er størst der, og \( B \) må ligge i \( (\sqrt{3}, 0)\text{.} \)

1. Finn toppunktet til arealet 1:17 Vi skriver inn \( f\text{,} \) arealet \( {A(x) = x \cdot f(x)} \) og finner toppunktet med Maks. Siden \( {x > 0}\text{,} \) starter vi like over 0 og slutter på et stort tall:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = 10/(x^2+3), x>0 A(x) = x*f(x) T = Maks(A, 0.01, 10000)

Toppunktet er \( {T \approx (1{,}7321,\ 2{,}8868)}\text{,} \) så arealet er størst når \( {x \approx 1{,}73}\text{.} \) \( B \) ligger på \( x \)-aksen, så \( {B \approx (1{,}73,\ 0)}\text{.} \)

Vi løser volumformelen for \( h \) og finner høyden for hver radius. Så setter vi \( r \) og \( h \) inn i formelen for overflaten.

Merk – Boksen har ikke lokk: Tegningen ser ut som en lukket sylinder, men formelen for overflaten har bare én \( \pi r^2\text{,} \) altså bare bunnen. En lukket sylinder har \( {2\pi r^2 + 2\pi r h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Her er det formelen i oppgaven som gjelder.

1. Finn høyden Vi deler begge sider av volumformelen på \( \pi r^2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi r^2 h &= 450 \\ h &= \dfrac{450}{\pi r^2} \end{aligned} \]

Vi setter inn radiusene med kalkulator: \[ \begin{aligned} r = \textcolor{blue}{4}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2} \approx \textcolor{red}{8{,}952} \\ r = \textcolor{blue}{6}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{6}^2} \approx \textcolor{red}{3{,}979} \\ r = \textcolor{blue}{8}&: \quad h = \dfrac{450}{\pi \cdot \textcolor{blue}{8}^2} \approx \textcolor{red}{2{,}238} \end{aligned} \]

2. Finn overflaten Vi setter \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{red}{h} \) inn i \( {O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{4}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{8{,}952} \approx 275{,}3 \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{6}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{3{,}979} \approx 263{,}1 \\ O &= \pi \cdot \textcolor{blue}{8}^2 + 2\pi \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{2{,}238} \approx 313{,}6 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Bruk alle desimalene til \( h \) fra kalkulatoren. Med \( {h = 9{,}0} \) blir overflaten for \( {r = 4} \) omtrent \( 276{,}5\text{,} \) ikke \( 275{,}3\text{.} \) Tallet \( 462{,}6 \) i oppgaven er også regnet med alle desimalene.

1. Regn ut i CAS Vi definerer høyden og overflaten som funksjoner av \( r \) og setter inn alle radiusene på en gang med en liste:

Skriv inn i GeoGebra: h(r) := 450/(pi*r^2) O(r) := pi*r^2 + 2*pi*r*h(r) h({2, 4, 6, 8}) O({2, 4, 6, 8})

CAS gir de samme høydene og overflatene som med kalkulator, og også de to tallene i oppgaven for \( {r = 2}\text{.} \)

Vi setter uttrykket for \( h \) fra volumformelen inn i formelen for overflaten. Da får vi \( O \) som en funksjon av \( r \) alene.

1. Sett opp funksjonsuttrykket Fra volumformelen er \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{\dfrac{450}{\pi r^2}}}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen for overflaten, slik arealet settes opp som en funksjon i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} O(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{red}{\dfrac{450}{\pi r^2}} \\ O(r) &= \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \end{aligned} \]Vi forkorter \( \pi \) og én \( r\text{,} \) og \( {2 \cdot 450 = 900}\text{.} \) Radien må være positiv, så \( {r > 0}\text{.} \)

2. Lag en verditabell og tegn grafen Vi regner ut \( O(r) \) for noen verdier av \( r\text{,} \) avrundet til hele tall: \[ \begin{array}{r|r} r & O(r) \\ \hline 1 & 903 \\ 2 & 463 \\ 3 & 328 \\ 4 & 275 \\ 5 & 259 \\ 6 & 263 \\ 8 & 314 \\ 10 & 404 \end{array} \]

Vi tegner punktene og trekker en glatt kurve gjennom dem:

Overflaten er stor for små \( r\text{,} \) blir minst rundt \( {r = 5} \) og vokser igjen for store \( r\text{.} \)

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen med \( x \) for radien og en definisjonsmengde:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = pi*x^2 + 900/x, 0 < x < 12

Grafen viser at overflaten er minst når radien er litt over 5 cm.

Vi bruker funksjonen fra b), \( {O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Minst overflate er bunnpunktet til \( O\text{.} \) Med kalkulator finner vi det der den deriverte er \( 0\text{,} \) og i GeoGebra med Min.

1. Deriver funksjonen Vi skriver \( {\dfrac{900}{r} = 900 \cdot r^{-1}}\text{,} \) som i videoen Regneregler med Potenser. Potensregelen forteller oss at: \[ (r^n)' = n \cdot r^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{,} \) også \( {n = -1}\text{.} \) Hvis du er usikker på potensregelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd. \( \textcolor{blue}{\pi r^2} \) derivert blir \( \textcolor{blue}{\underline{2\pi r}}\text{,} \) og \( {\textcolor{red}{900r^{-1}}} \) derivert blir: \[ 900 \cdot (-1) \cdot r^{-2} = \textcolor{red}{\underline{-\dfrac{900}{r^2}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(r) = \textcolor{blue}{2\pi r} - \textcolor{red}{\dfrac{900}{r^2}} \]Du kan også derivere brøken med kvotientregelen, som i videoen Tangentlinje.

2. Sett den deriverte lik null I bunnpunktet er \( {O'(r) = 0}\text{:} \) \[ 2\pi r - \dfrac{900}{r^2} = 0 \]

Vi flytter brøken over, ganger begge sider med \( r^2 \) og deler på \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi r^3 &= 900 \\ r^3 &= \dfrac{450}{\pi} \\ r &= \sqrt[3]{\dfrac{450}{\pi}} \approx 5{,}2322 \end{aligned} \]

3. Vis at det er et bunnpunkt Vi sjekker fortegnet til \( O'(r) \) på hver side: \[ \begin{aligned} O'(5) &= 10\pi - 36 \approx -4{,}6 \\ O'(6) &= 12\pi - 25 \approx 12{,}7 \end{aligned} \]Overflaten minker før \( {r \approx 5{,}2322} \) og øker etter, så den er minst der.

4. Regn ut overflaten Vi setter \( r \) inn i \( O(r) \) med alle desimalene fra kalkulatoren, ledd for ledd: \[ \begin{aligned} \pi \cdot 5{,}2322^2 &\approx 86{,}00 \\ \dfrac{900}{5{,}2322} &\approx 172{,}01 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O \approx 86{,}00 + 172{,}01 \approx 258{,}0 \]Minst overflate får boksen med radius omtrent \( 5{,}2 \) cm, og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi tegner grafen fra b) og finner bunnpunktet med Min, slik du finner et toppunkt med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = pi*x^2 + 900/x, 0 < x < 12 A = Min(O, 1, 12)

Bunnpunktet er \( {A \approx (5{,}2322,\ 258{,}0158)}\text{.} \) Minst overflate får boksen med radius omtrent \( 5{,}2 \) cm, og da er overflaten omtrent \( 258{,}0\,\text{cm}^2\text{.} \)

Med katetene 8 m finner vi hypotenusene med Pytagoras. Da gir de 100 m gjerde lengden \( y\text{,} \) og arealet er rektangelet pluss de to trekantene.

1. Finn hypotenusen Trekantene er rettvinklede med begge katetene \( 8 \) m. Pytagoras' setning gir hypotenusen \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras): \[ \textcolor{red}{h} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} \approx \textcolor{red}{11{,}31} \]

2. Finn y fra gjerdet Gjerdet går langs grunnlinja \( {8 + y + 8}\text{,} \) toppen \( y\text{,} \) de to loddrette linjene \( {8 + 8} \) og de to hypotenusene \( 2\textcolor{red}{h}\text{,} \) til sammen 100 m: \[ \begin{aligned} 4 \cdot 8 + 2y + 2\textcolor{red}{h} &= 100 \\ 2y &= 68 - 2\textcolor{red}{h} \\ \textcolor{blue}{y} &\approx \textcolor{blue}{22{,}69} \end{aligned} \]

3. Regn ut arealet Arealet er rektangelet \( {8 \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, hver \( {\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8}\text{.} \) Lengdene er i meter, så arealet blir i kvadratmeter: \[ \begin{aligned} A &\approx 8 \cdot \textcolor{blue}{22{,}69} + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \\ A &\approx 181{,}5 + 64 = 245{,}5 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi regner ut hypotenusen \( h\text{,} \) lengden \( y \) fra gjerdet og arealet i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: h := sqrt(8^2 + 8^2) y := (100 - 4*8 - 2*h)/2 8*y + 2*1/2*8^2

CAS gir \( {h = 8\sqrt{2}}\text{,} \) \( {y = 34 - 8\sqrt{2}} \) og arealet \( {\approx 245{,}4903\,\text{m}^2}\text{.} \)

Vi regner ut arealet for flere lengder \( x \) av katetene, på samme måte som i a), og ser i en tabell hvor arealet er størst.

1. Finn y og arealet Med katetene \( x \) gir Pytagoras' setning hypotenusene \( {\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}\,x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras). Gjerdet gir da \( {4x + 2y + 2\sqrt{2}\,x = 100}\text{,} \) og: \[ \textcolor{blue}{y} = \dfrac{100 - 4x - 2\sqrt{2}\,x}{2} \]

Arealet er rektangelet \( {x \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x = x^2}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{A} = x \cdot \textcolor{blue}{y} + x^2 \]

2. Lag en tabell Vi regner ut \( \textcolor{blue}{y} \) og \( \textcolor{red}{A} \) for \( {x = 2, 4, \ldots, 12}\text{:} \) \[ \begin{array}{r|rr} x & \textcolor{blue}{y} & \textcolor{red}{A} \\ \hline 2 & 43{,}17 & 90{,}3 \\ 4 & 36{,}34 & 161{,}4 \\ 6 & 29{,}51 & 213{,}1 \\ 8 & 22{,}69 & 245{,}5 \\ 10 & 15{,}86 & 258{,}6 \\ 12 & 9{,}03 & 252{,}4 \end{array} \]I tabellen øker arealet fram til \( {x = 10} \) og synker etterpå, så det er størst når katetene er omtrent 10 m.

1. Lag punktene med Følge I Algebrafeltet er \( y \) navnet på andreaksen, så vi kaller lengden \( y \) for \( y_1\text{.} \) Med Følge lager vi punktene \( (x, A) \) for \( {x = 2, 4, \ldots, 12}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: y_1(x) = (100 - 4x - 2*sqrt(2)*x)/2 l1 = Følge((k, k*y_1(k) + k^2), k, 2, 12, 2)

Punktet for \( {x = 10} \) ligger høyest, med \( {A \approx 258{,}6}\text{,} \) så arealet er størst når katetene er omtrent 10 m.

Vi uttrykker \( y \) ved \( x \) fra de 100 m gjerde, og setter det inn i arealet, som er rektangelet pluss de to trekantene.

1. Uttrykk y ved x Hypotenusene er \( {\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}\,x}\text{.} \) Gjerdet langs alle linjestykkene er 100 m: \[ \begin{aligned} 4x + 2y + 2\sqrt{2}\,x &= 100 \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x} \end{aligned} \]

2. Sett opp arealet Arealet er rektangelet \( {x \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, hver \( {\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x}\text{,} \) slik arealet settes opp som et uttrykk i \( x \) i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(x) &= x\left(\textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x}\right) + x^2 \\ A(x) &= 50x - 2x^2 - \sqrt{2}\,x^2 + x^2 \\ A(x) &= 50x - (1 + \sqrt{2})x^2 \end{aligned} \]Med \( {1 + \sqrt{2} \approx 2{,}414} \) er \( {A(x) \approx 50x - 2{,}414x^2}\text{.} \)

Kontroll: \( {A(8) \approx 245{,}5}\text{,} \) det samme som i a).

Vi bruker modellen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er størst i toppunktet til \( A\text{,} \) der den deriverte er \( 0\text{.} \)

1. Deriver modellen I c) fant vi modellen \[ A(x) = \textcolor{red}{50x} \textcolor{blue}{{}- (1 + \sqrt{2})x^2} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Ledd for ledd blir \( \textcolor{red}{50x} \) derivert \( \textcolor{red}{50}\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{-(1 + \sqrt{2})x^2}} \) blir \( {\textcolor{blue}{-2(1 + \sqrt{2})x}}\text{:} \) \[ A'(x) = \textcolor{red}{50} \textcolor{blue}{{}- 2(1 + \sqrt{2})x} \]

2. Sett den deriverte lik null I toppunktet er \( {A'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50 - 2(1 + \sqrt{2})x &= 0 \\ x &= \dfrac{25}{1 + \sqrt{2}} \\ x &\approx 10{,}36 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) i \( A(x) \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og dette er et toppunkt. Da er arealet \( {A(10{,}36) \approx 258{,}9\,\text{m}^2}\text{.} \)

1. Finn toppunktet på grafen Vi tegner modellen og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 50x - (1 + sqrt(2))x^2 T = Ekstremalpunkt(A)

Toppunktet er \( {T \approx (10{,}3553,\ 258{,}8835)}\text{.} \) Arealet er størst, omtrent \( 258{,}9\,\text{m}^2\text{,} \) når katetene er omtrent \( 10{,}36 \) m.

Vi bruker uttrykket for \( y \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gjelder for de verdiene av \( x \) der figuren finnes. Da må både katetene \( x \) og lengden \( y \) være større enn \( 0\text{.} \)

1. Krev at y er positiv I c) fant vi at gjerdet gir \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x} \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - (2 + \sqrt{2})x} \end{aligned} \]

Lengden \( \textcolor{blue}{y} \) må være større enn \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{50 - (2 + \sqrt{2})x} > 0 \]

Vi flytter leddet med \( x \) over og deler på det positive tallet \( {2 + \sqrt{2}}\text{,} \) så tegnet snus ikke, som i videoen Introduksjon til Ulikheter: \[ \begin{aligned} (2 + \sqrt{2})x &< 50 \\ x &< \textcolor{red}{\dfrac{50}{2 + \sqrt{2}}} \approx \textcolor{red}{14{,}64} \end{aligned} \]

2. Krev at x er positiv Katetene må også være større enn \( 0\text{.} \) For \( {x = 0} \) er det ingen trekanter, og i den øvre grensen er \( {\textcolor{blue}{y} = 0} \) og ikke noe rektangel, så endepunktene er ikke med: \[ 0 < x < \textcolor{red}{\dfrac{50}{2 + \sqrt{2}}} \]

1. Løs ulikheten i CAS Vi løser \( {y > 0} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(50 - (2 + sqrt(2))*x > 0, x)

CAS gir \( {x < 14{,}6447}\text{.} \) Katetene må også være større enn \( 0\text{,} \) så modellen gjelder for \( {0 < x < 14{,}6}\text{.} \)

Vi regner ut hva modellen gir for antallene i tabellen, og sammenligner med overskuddet kantinen fikk. I GeoGebra lager vi en andregradsregresjon av punktene og ser at den gir \( O\text{.} \)

1. Sammenlign modellen med tabellen Vi setter antallene i tabellen inn i modellen med kalkulator. For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]

Vi setter alle verdiene ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{blue}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{blue}{1427{,}02} \\ 130 & 2300 & \textcolor{blue}{2337{,}22} \\ 160 & 3050 & \textcolor{blue}{3085{,}42} \\ 175 & 3365 & \textcolor{blue}{3398{,}77} \\ 190 & 3720 & \textcolor{blue}{3671{,}62} \\ 220 & 4140 & \textcolor{blue}{4095{,}82} \\ 235 & 4175 & \textcolor{blue}{4247{,}17} \end{array} \]

Avviket er størst for 235 bagetter, \( {4247{,}17 - 4175 = 72{,}17} \) kroner, og det er under 2 % av overskuddet. Modellen følger også at overskuddet øker stadig langsommere. \( O \) er derfor en god modell.

1. Lag en andregradsregresjon Vi lager en liste med punktene, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker regresjon med et andregradspolynom, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Regresjonen finner andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx -0{,}0903x^2 + 51{,}0367x \\ &\quad - 2776{,}9766 \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler er det \( O(x)\text{,} \) og grafen går tett forbi alle punktene. \( O \) er altså en god modell.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Overskuddet er størst i toppunktet til \( O\text{,} \) der \( {O'(x) = 0}\text{.} \) Antall bagetter er et helt tall, så vi sammenligner de to hele tallene på hver side av toppunktet.

1. Deriver og sett lik null Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= -0{,}09x^2 + 51{,}04x \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \( {-0{,}09x^2} \) blir \( {-0{,}18x}\text{,} \) \( 51{,}04x \) blir \( 51{,}04\text{,} \) og konstanten blir 0: \[ O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04 \]

I toppunktet er \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}18x + 51{,}04 &= 0 \\ x &= \dfrac{51{,}04}{0{,}18} \approx 283{,}56 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og dette er et toppunkt.

2. Sjekk hele bagetter Kantinen kan ikke selge \( 283{,}56 \) bagetter, så vi sammenligner de to nærmeste hele tallene, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{283}) &= \textcolor{blue}{4459{,}33} \\ O(\textcolor{red}{284}) &= \textcolor{red}{4459{,}34} \end{aligned} \]\( \textcolor{red}{284} \) bagetter gir størst overskudd, \( \textcolor{red}{4459{,}34} \) kroner. Forskjellen er bare 1 øre.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( O\text{,} \) finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og regner ut \( O(283) \) og \( O(284)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Ekstremalpunkt(O) o_1 = O(283) o_2 = O(284)

Toppunktet er \( {T \approx (283{,}5556,\ 4459{,}3578)}\text{,} \) og \( {O(284) = 4459{,}34} \) er større enn \( {O(283) = 4459{,}33}\text{.} \) 284 bagetter gir størst overskudd.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Stigningstallet til linja gjennom to punkter er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200) \) først.

1. Regn ut funksjonsverdiene Vi setter \( {x = \textcolor{blue}{100}} \) og \( {x = \textcolor{red}{200}} \) inn i modellen med kalkulator: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{100}) &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \\ O(\textcolor{red}{200}) &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{O(200)} - \textcolor{blue}{O(100)}}{\textcolor{red}{200} - \textcolor{blue}{100}} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{100} \\ a &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( x \) er antall bagetter og \( O(x) \) overskuddet i kroner, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( O \) i CAS med \( {:=} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 (O(200) - O(100)) / (200 - 100)

CAS gir \( 24{,}04\text{.} \) Fra 100 til 200 bagetter øker overskuddet i gjennomsnitt med 24,04 kroner per ekstra bagett.

Modellen \( O(x) \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Den momentane vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer \( O \) og setter inn \( {x = 235}\text{.} \)

1. Deriver modellen Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten, altså den deriverte, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Modellen fra oppgaveteksten i a) er: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{-0{,}09x^2} + \textcolor{red}{51{,}04x} \\ &\quad - 2776{,}98 \end{aligned} \]

Vi deriverer ledd for ledd. \( {\textcolor{blue}{-0{,}09x^2}} \) derivert blir \( {-0{,}09 \cdot 2x = \textcolor{blue}{\underline{-0{,}18x}}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}04x} \) derivert blir \( \textcolor{red}{\underline{51{,}04}}\text{,} \) og konstanten blir \( \underline{0}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(x) = \textcolor{blue}{-0{,}18x} + \textcolor{red}{51{,}04} \]

2. Sett inn antallet Vi setter inn \( {x = 235}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O'(235) &= -0{,}18 \cdot 235 + 51{,}04 \\ O'(235) &= -42{,}3 + 51{,}04 = 8{,}74 \end{aligned} \]

Når kantinen selger 235 bagetter i uka, øker overskuddet med omtrent 8,74 kroner for hver ekstra bagett. Overskuddet øker fortsatt, men langsomt, fordi vi nærmer oss toppunktet.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( O \) i CAS og deriverer med \( O'(x)\text{,} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) := -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 O'(x) O'(235)

CAS gir \( {O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04} \) og \( {O'(235) = 8{,}74}\text{.} \) Ved 235 bagetter øker overskuddet med omtrent 8,74 kroner per ekstra bagett.