1T eksamen våren 2024

Går en polynomdivisjon opp, er telleren lik nevneren ganget med svaret. Guri kan derfor ha delt på hver av de to faktorene, og da skal den andre faktoren komme ut.

1. Del på den første faktoren Vi deler \( {2x^3 + 3x^2 - 11x - 6} \) på \( {(x - 2)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 2) &= 2x^3 - 4x^2 \\ -(2x^3 - 4x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 4x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & 7x^2 & {}- 11x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + 4x^2 = 7x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-11x} \) og \( {-6}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{7x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{7x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{7x} \\ \textcolor{magenta}{7x} \cdot (x - 2) &= 7x^2 - 14x \\ -(7x^2 - 14x) &= \textcolor{magenta}{-7x^2 + 14x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 11x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & 3x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( 7x^2 \) strykes mot \( {-7x^2}\text{,} \) \( {-11x + 14x = 3x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-6}\text{.} \) Linja \( {3x - 6} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \cdot (x - 2) &= 3x - 6 \\ -(3x - 6) &= \textcolor{blue}{-3x + 6} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \textcolor{blue}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 11x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x}} & {}- 6 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-3x}} & \textcolor{blue}{{}+ 6} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 3x \) strykes mot \( {-3x}\text{,} \) og \( {-6 + 6 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \\ &= (x - 2)(2x^2 + 7x + 3) \end{aligned} \]Det er faktoriseringen til Guri.

2. Del på den andre faktoren Vi deler \( {2x^3 + 3x^2 - 11x - 6} \) på \( {(2x^2 + 7x + 3)} \) på samme måte. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (2). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 11x - 6) \\ &: (\textcolor{green}{2x^2} + 7x + 3) \end{aligned} \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{2x^2}} = \textcolor{red}{x} \\ &\textcolor{red}{x} \cdot (2x^2 + 7x + 3) \\ &\quad = 2x^3 + 7x^2 + 3x \\ &-(2x^3 + 7x^2 + 3x) \\ &\quad = \textcolor{red}{-2x^3 - 7x^2 - 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) \\ &: (\textcolor{green}{2x^2} + 7x + 3) \\ &= \textcolor{red}{x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 7x^2} & \textcolor{red}{{}- 3x} & \\ \hline & -4x^2 & {}- 14x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 - 7x^2 = -4x^2}\text{,} \) \( {-11x - 3x = -14x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-6}\text{.} \) Linja \( {-4x^2 - 14x - 6} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x^2}}{\textcolor{green}{2x^2}} = \textcolor{magenta}{-2} \\ &\textcolor{magenta}{-2} \cdot (2x^2 + 7x + 3) \\ &\quad = -4x^2 - 14x - 6 \\ &-(-4x^2 - 14x - 6) \\ &\quad = \textcolor{magenta}{4x^2 + 14x + 6} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) \\ &: (\textcolor{green}{2x^2} + 7x + 3) \\ &= \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}- 2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 11x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 7x^2} & \textcolor{red}{{}- 3x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 14x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \textcolor{magenta}{{}+ 6} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x^2} \) strykes mot \( 4x^2\text{,} \) \( {-14x + 14x = 0}\text{,} \) og \( {-6 + 6 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \\ &= (2x^2 + 7x + 3)(x - 2) \end{aligned} \]Også denne divisjonen viser at faktoriseringen er riktig.

Vi regner ut arealet av det grønne området på to måter: som hele kvadratet minus det hvite kvadratet, og som summen av de to grønne rektanglene. De to uttrykkene er like.

1. Trekk det hvite fra hele kvadratet Hele kvadratet har siden \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) og det hvite kvadratet har siden \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Det grønne arealet er da: \[ A = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]

2. Legg sammen de grønne rektanglene Det venstre rektangelet er \( {\textcolor{darkorange}{a - b}} \) bredt og \( \textcolor{blue}{a} \) høyt, og det øverst til høyre er \( \textcolor{red}{b} \) bredt og \( {\textcolor{darkorange}{a - b}} \) høyt: \[ A = \textcolor{darkorange}{(a - b)} \cdot \textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{darkorange}{(a - b)} \]

Begge leddene har faktoren \( {\textcolor{darkorange}{a - b}}\text{,} \) så vi setter den utenfor parentesen: \[ A = \textcolor{darkorange}{(a - b)}(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \]

3. Sett uttrykkene lik hverandre Begge uttrykkene er det samme grønne arealet. Det gir identiteten: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) \]Det er tredje kvadratsetning, konjugatsetningen, som i videoen Kvadratsetningene.

Vi går gjennom programmet linje for linje og regner ut \( v\text{.} \) Uttrykket i linje 7 er endringen i \( f(x) \) delt på endringen i \( x\text{.} \)

1. Les programmet Linje 1 og 2 definerer funksjonen: \[ f(x) = x^2 - 3x + 7 \]Linje 4 og 5 setter \( {a = 0} \) og \( {b = 5}\text{,} \) og linje 7 regner ut: \[ v = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{f(5) - f(0)}{5 - 0} \]

2. Regn ut verdien Vi setter inn i \( f\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(\textcolor{red}{5}) &= 5^2 - 3 \cdot 5 + 7 = \textcolor{red}{17} \\ f(\textcolor{blue}{0}) &= 0^2 - 3 \cdot 0 + 7 = \textcolor{blue}{7} \end{aligned} \]

Det gir: \[ v = \dfrac{\textcolor{red}{17} - \textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{0}} = \dfrac{10}{5} = 2 \]Python skriver svaret på en deling som et desimaltall, så linje 9 skriver ut 2.0.

3. Tolk verdien Den gjennomsnittlige vekstfarten til \( f \) fra \( {x = a} \) til \( {x = b} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

Det er akkurat det linje 7 regner ut. Verdien 2 er altså stigningstallet til linja gjennom \( (\textcolor{blue}{0}, \textcolor{blue}{7}) \) og \( (\textcolor{red}{5}, \textcolor{red}{17})\text{:} \) fra \( {x = 0} \) til \( {x = 5} \) øker \( f(x) \) i gjennomsnitt med 2 når \( x \) øker med 1.

Vi kjenner \( AB\text{,} \) vinkel \( A \) og arealet. Arealsetningen gir da \( AC\text{,} \) og når vi har to sider og vinkelen mellom dem, gir cosinussetningen \( BC\text{.} \)

1. Finn AC med arealsetningen Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{AB} \) og \( \textcolor{red}{AC} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{A} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot \textcolor{red}{AC} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{8}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{120^\circ}} \) og \( {T = 4\sqrt{3}}\text{.} \) Sinus er symmetrisk om \( 90^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 5C - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, så den eksakte verdien er \( {\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{AC} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= 4\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} \cdot \textcolor{red}{AC} &= 4\sqrt{3} \\ \textcolor{red}{AC} &= \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Finn BC med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden \( BC\text{,} \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{A}\text{,} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} BC^2 &= \textcolor{blue}{AB}^2 + \textcolor{red}{AC}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot \textcolor{red}{AC} \cdot \cos \textcolor{green}{A} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Den eksakte verdien er \( {\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}}\text{.} \) Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{8}} \) og \( {\textcolor{red}{AC} = \textcolor{red}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} BC^2 &= \textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{2}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ BC^2 &= 64 + 4 + 16 = 84 \\ BC &= \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21} \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi løser arealsetningen for \( AC \) med Løs, og regner ut \( BC \) med cosinussetningen, med gradtegn på vinkelen:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(1/2*8*AC*sin(120°) = 4*sqrt(3), AC) BC := sqrt(8^2 + 2^2 - 2*8*2*cos(120°))

CAS gir \( {AC = 2} \) og \( {BC = 2\sqrt{21}}\text{.} \)

Stigningstallet til tangenten i \( P \) er \( f'(1)\text{,} \) og det kan vi lese av på grafen til \( f'\text{.} \) Så finner vi likningen \( {y = ax + b} \) med punktet \( P\text{.} \)

1. Finn stigningstallet i punktet Den rette linjen er grafen til \( f'\text{.} \) Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Punktet \( P \) har \( {x = 1}\text{,} \) og i figuren går linjen gjennom \( {(1, -2)}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a} = f'(1) = \textcolor{red}{-2} \]

Kontroll: Linjen går gjennom \( (2, 0) \) og \( (4, 4)\text{,} \) så \( {f'(x) = 2x - 4} \) og \( {f'(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2}\text{.} \)

2. Finn likningen til tangenten En rett linje har likningen \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]der \( \textcolor{red}{a} \) er stigningstallet og \( \textcolor{blue}{b} \) er der linjen skjærer \( y \)-aksen, som i videoen Oppgave 6A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Tangenten går gjennom \( P(1, 2)\text{.} \) Vi setter inn \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{-2}}\text{,} \) \( {x = 1} \) og \( {y = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 &= \textcolor{red}{-2} \cdot 1 + \textcolor{blue}{b} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{4} \end{aligned} \]

Tangenten er altså \( {y = -2x + 4}\text{.} \) Den går gjennom \( P\text{,} \) og den har samme stigningstall som grafen til \( f \) i \( P\text{,} \) nemlig \( {f'(1) = -2}\text{.} \)

Vi velger en tredjegradsfunksjon og en andregradsfunksjon som begge har bunnpunkt på \( y \)-aksen, og en rett linje som lukker kurven. Så viser vi at kravene er oppfylt.

1. Velg en tredjegradsfunksjon Den øverste grafen i figuren har et toppunkt og så et bunnpunkt, som en tredjegradsfunksjon. Uten \( x \)-ledd blir \( {f'(0) = 0}\text{,} \) så vi velger: \[ \textcolor{green}{f(x) = x^3 + 3x^2 + 4} \]

Potensregelen forteller oss at \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer ledd for ledd: \[ f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) \]Den deriverte er 0 i \( {x = -2} \) og \( {x = 0}\text{.} \) Rundt \( {x = 0} \) skifter den fra minus til pluss, så grafen har et bunnpunkt på \( y \)-aksen, i \( {B = (0, f(0)) = (0, 4)}\text{.} \)

2. Finn punktet A \( A \) ligger på grafen til \( f \) og har samme \( y \)-koordinat som \( B\text{,} \) altså \( {f(x) = 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^3 + 3x^2 + 4 &= 4 \\ x^2(x + 3) &= 0 \end{aligned} \]Det gir \( {x = 0}\text{,} \) som er \( B\text{,} \) og \( {x = -3}\text{.} \) Altså er \( {A = (-3, 4)}\text{.} \)

3. Velg en andregradsfunksjon En parabel \( {x^2 + c} \) har bunnpunktet \( (0, c) \) på \( y \)-aksen, fordi \( {x^2 \ge 0}\text{.} \) Den skal gå gjennom \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} (-3)^2 + c &= 4 \\ c &= -5 \end{aligned} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{g(x) = x^2 - 5}} \) med bunnpunktet \( {C = (0, -5)}\text{.} \)

4. Lukk kurven med en linje Vi lar \( f \) gå fra \( A \) til \( {x = 1}\text{,} \) der \( {f(1) = 8}\text{,} \) og \( g \) fra \( A \) til \( {x = 3}\text{,} \) der \( {g(3) = 4}\text{.} \) Linjen gjennom \( (1, 8) \) og \( (3, 4) \) har stigningstallet \[ \dfrac{4 - 8}{3 - 1} = -2 \]Linjen \( {y = -2x + b} \) går gjennom \( (1, 8)\text{,} \) så \( {8 = -2 \cdot 1 + b} \) og \( {b = 10}\text{.} \) Det gir \( {\textcolor{red}{h(x) = -2x + 10}}\text{.} \)

5. Tegn figuren Vi tegner \( \textcolor{green}{f} \) for \( {-3 \le x \le 1}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{g} \) for \( {-3 \le x \le 3} \) og \( \textcolor{red}{h} \) for \( {1 \le x \le 3}\text{:} \)

Grafene henger sammen i \( A\text{,} \) i \( (1, 8) \) og i \( (3, 4)\text{,} \) så de danner en lukket kurve. Andre funksjoner er også riktige, for eksempel \( {f(x) = x^3 + 3x^2 + 1}\text{,} \) \( {g(x) = x^2 - 8} \) og \( {h(x) = -2x + 7}\text{.} \)

1. Tegn grafene i GeoGebra Vi skriver inn de tre funksjonene, hver med sitt intervall, og punktene \( A\text{,} \) \( B \) og \( C\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = x^3 + 3x^2 + 4, -3 <= x <= 1 g(x) = x^2 - 5, -3 <= x <= 3 h(x) = -2x + 10, 1 <= x <= 3 A = (-3, 4) B = (0, 4) C = (0, -5)

Grafene danner en lukket kurve. \( f \) har bunnpunktet \( B \) og \( g \) bunnpunktet \( C\text{,} \) begge på \( y \)-aksen, og \( A \) og \( B \) har samme \( y \)-koordinat, 4.