Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

1T eksamen høsten 2022

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 4 oppgaver

Oppgave 1

Gitt trekanten til høyre.
Vis at
sin⁡ucos⁡u=tan⁡u \dfrac{\sin u}{\cos u} = \tan u
Vis løsning på oppgave 1

Svar

Med sin⁡u=45 {\sin u = \dfrac{4}{5}} og cos⁡u=35 {\cos u = \dfrac{3}{5}} blir sin⁡ucos⁡u=43, {\dfrac{\sin u}{\cos u} = \dfrac{4}{3}}\text{,} som er tan⁡u, \tan u\text{,} så
sin⁡ucos⁡u=tan⁡u‾‾ \underline{\underline{\dfrac{\sin u}{\cos u} = \tan u}}
Vi finner \( \sin u\text{,} \) \( \cos u \) og \( \tan u \) i trekanten med definisjonene, og deler \( \sin u \) på \( \cos u\text{.} \)
1. Finn sinus, cosinus og tangens Definisjonene forteller oss at for en spiss vinkel \( u \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \sin u &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{green}{\text{hypotenus}}} \\ \cos u &= \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{green}{\text{hypotenus}}} \\ \tan u &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hosliggende katet}}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.
Vinkelen \( u \) står nede til høyre. Kateten \( \textcolor{red}{4} \) står mot \( u\text{,} \) kateten \( \textcolor{blue}{3} \) ligger inntil \( u\text{,} \) og hypotenusen er \( \textcolor{green}{5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin u &= \dfrac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{green}{5}} \\ \cos u &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{green}{5}} \\ \tan u &= \dfrac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{3}} \end{aligned} \]
2. Del sinus på cosinus Å dele på en brøk er det samme som å gange med den omvendte brøken, som i videoen Oppgave 13B (Enkel trigonometri). Det gir oss: \[ \begin{aligned} \dfrac{\sin u}{\cos u} &= \dfrac{4}{5} : \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{\textcolor{green}{5}} \cdot \dfrac{\textcolor{green}{5}}{3} \\ \dfrac{\sin u}{\cos u} &= \dfrac{4}{3} = \tan u \end{aligned} \]Hypotenusen \( \textcolor{green}{5} \) forkortes bort, så det samme skjer i alle rettvinklede trekanter.

Oppgave 2

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=(x−4)(x−2)(x+4) f(x) = (x - 4)(x - 2)(x + 4)

Oppgave 2a)

Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til f? f\text{?} Husk å forklare hvordan du tenker.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Nullpunktene −4, {-4}\text{,} 2 2 og 4 4 og f(0)=32>0 {f(0) = 32 > 0} passer bare med
grafen A‾‾ \underline{\underline{\text{grafen A}}}
Faktorene viser hvor grafen skjærer \( x \)-aksen. Vi sammenligner nullpunktene, og hvor grafen skjærer \( y \)-aksen, med de tre grafene.
1. Finn nullpunktene Vi setter \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{,} \) så hver faktor gir et nullpunkt: \[ x = \textcolor{darkorange}{-4}, \quad x = \textcolor{magenta}{2}, \quad x = \textcolor{green}{4} \]Grafen skjærer altså \( x \)-aksen én gang til venstre for \( y \)-aksen og to ganger til høyre for den.
2. Sammenlign med grafene C skjærer \( x \)-aksen to ganger til venstre for \( y \)-aksen, så C passer ikke.
A og B skjærer \( x \)-aksen én gang til venstre og to ganger til høyre. Nullpunktet \( {\textcolor{darkorange}{-4}} \) ligger like langt fra \( y \)-aksen som \( \textcolor{green}{4}\text{,} \) og \( \textcolor{magenta}{2} \) ligger midt mellom \( 0 \) og \( \textcolor{green}{4}\text{.} \) Slik er det i A. I B ligger det venstre nullpunktet like nær \( y \)-aksen som det midterste, så B passer ikke.
3. Sjekk skjæringen med y-aksen Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4B - Del 1 - 1T Eksamen Vår 2025: \[ f(0) = (0 - 4)(0 - 2)(0 + 4) = 32 \]\( f(0) \) er positiv, og A skjærer \( y \)-aksen over \( x \)-aksen. Det stemmer også.

Oppgave 2b)

Løs ulikheten
(x−4)(x−2)(x+4)>0 (x - 4)(x - 2)(x + 4) > 0
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Ulikheten gjelder for
−4<x<2ellerx>4‾‾ \underline{\underline{-4 < x < 2 \quad \text{eller} \quad x > 4}}
Vi finner hvor hver faktor er \( 0\text{.} \) Så ser vi i et fortegnsskjema hvor produktet er positivt.
1. Finn nullpunktene til faktorene Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{x + 4}} \) er \( 0 \) i \( {x = -4}\text{,} \) \( {\textcolor{magenta}{x - 2}} \) i \( {x = 2} \) og \( {\textcolor{green}{x - 4}} \) i \( {x = 4}\text{.} \) Bare der kan produktet skifte fortegn.
2. Sett opp et fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Vi kaller venstre side \( f(x)\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-4, 2, 4], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 4}", "expr": "x + 4"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 4}", "expr": "x - 4"}, {"label": "f(x)", "expr": "(x - 4)(x - 2)(x + 4)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)
Produktet er positivt mellom \( {-4} \) og \( 2 \) og til høyre for \( 4\text{.} \) Ulikheten har \( {>}\text{,} \) så nullpunktene er ikke med: \[ -4 < x < 2 \quad \text{eller} \quad x > 4 \]

Oppgave 3

Lars har skrevet en programkode. Ovenfor ser du koden, og resultatet Lars får når han kjører programmet.
Når programmet har skrevet ut de seks linjene, kommer en feilmelding.

Oppgave 3a)

Hva ønsker Lars å bruke programmet til, og hvorfor får han en feilmelding?
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Lars vil skrive ut en verditabell for f f for x=8,7,…,−8, {x = 8, 7, \dots, -8}\text{,} men feilmeldingen kommer fordi
nevneren x−2 er 0 for x=2‾‾ \underline{\underline{\text{nevneren } x - 2 \text{ er } 0 \text{ for } x = 2}}
Vi leser programmet linje for linje: funksjonen i linje 1 og 2, og hva løkka gjør med \( x\text{.} \) Så ser vi hva som skjer når \( x \) blir 2.
1. Les programmet Vi tenker som datamaskinen og går gjennom programmet linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 og 2 definerer funksjonen \[ f(x) = \dfrac{1 - 2x}{\textcolor{blue}{x - 2}} \]
Linje 4 starter med \( {x = 8}\text{.} \) Løkka i linje 6 går så lenge \( {x \ge -8}\text{.} \) Linje 8 skriver ut \( x \) og \( f(x)\text{,} \) og linje 9 gjør \( x \) én mindre. Lars vil altså lage en verditabell for \( f \) for \( {x = 8, 7, 6, \dots, -8}\text{.} \)
2. Finn feilen Etter \( {x = 3} \) blir \( {x = 2}\text{.} \) Da blir nevneren \( {\textcolor{blue}{x - 2}} \) lik \( 0\text{:} \) \[ f(2) = \dfrac{1 - 2 \cdot 2}{\textcolor{blue}{2 - 2}} = \dfrac{-3}{\textcolor{blue}{0}} \]Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så \( f \) er ikke definert for \( {x = 2}\text{,} \) og programmet stopper med en feilmelding.

Oppgave 3b)

Foreslå endringer Lars kan gjøre i koden for å unngå feilmeldingen.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Vi bruker fra a) at feilmeldingen kommer fordi nevneren er \( 0 \) for \( {x = 2}\text{.} \)
Programmet må hoppe over \( {x = 2}\text{.} \) Det gjør vi med en if-test, så linja som skriver ut, bare kjøres når \( {x \neq 2}\text{.} \)
1. Legg inn en if-test En if-test kjører linjene under seg bare når betingelsen er sann, som når linje 15 leses i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi legger inn \( {\texttt{if x != 2:}} \) i linje 8 og rykker utskriften inn under den. Programmet står i svaret, med if-testen og den innrykkede utskriften markert.
Linje 10, \( {\texttt{x = x - 1}}\text{,} \) står utenfor if-testen. Da blir \( x \) én mindre i hver runde, også når \( {\textcolor{blue}{x = 2}}\text{,} \) og løkka går videre til \( {x = 1}\text{.} \) Programmet skriver nå ut \( f(x) \) for alle \( x \) fra 8 til \( {-8} \) unntatt \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \)
Andre endringer er også riktige, for eksempel å la programmet skrive «ikke definert» når \( {x = 2}\text{.} \)

Oppgave 3c)

Skisser grafen til funksjonen f f som Lars har definert i linje 1 og 2 i koden.
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Grafen har en gren på hver side av x=2, {x = 2}\text{,} går gjennom (0,5, 0) (0{,}5,\ 0) og (0, −0,5), {(0,\ -0{,}5)}\text{,} og har asymptotene
x=2ogy=−2‾‾ \underline{\underline{x = 2 \quad \text{og} \quad y = -2}}
Vi finner asymptotene, nullpunktet og skjæringen med \( y \)-aksen, og bruker utskriften fra programmet som verditabell.
1. Finn asymptotene En brøk har en vertikal asymptote der: \[ \textcolor{blue}{\text{nevneren}} = 0 \quad \text{og} \quad \textcolor{red}{\text{telleren}} \neq 0 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.
Nevneren \( {\textcolor{blue}{x - 2}} \) er \( 0 \) i \( {x = 2}\text{,} \) og der er telleren \( {\textcolor{red}{1 - 2 \cdot 2} = -3}\text{.} \) Så \( {x = 2} \) er en vertikal asymptote.
Den horisontale asymptoten finner vi ved å dele både telleren og nevneren på \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ f(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} - 2}{1 - \dfrac{2}{x}} \]Når \( x \) blir veldig stor, positiv eller negativ, går \( \dfrac{1}{x} \) og \( \dfrac{2}{x} \) mot \( 0\text{,} \) og \( f(x) \) nærmer seg \( {-2}\text{.} \) Så \( {y = -2} \) er en horisontal asymptote.
2. Finn nullpunktet og skjæringen med y-aksen En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) og grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{1 - 2x} &= 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \\ f(0) &= \dfrac{1 - 0}{0 - 2} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]
3. Tegn skissen Utskriften gir punktene \( {(3, -5)}\text{,} \) \( {(4,\ -3{,}5)} \) og så videre til \( {(8,\ -2{,}5)}\text{.} \) Til venstre for \( {x = 2} \) har vi \( {(0,\ -0{,}5)} \) og \( (0{,}5,\ 0)\text{.} \) Grafen kommer inn fra venstre like over \( {y = -2}\text{,} \) stiger mot uendelig når \( x \) nærmer seg 2, og fortsetter nedenfra på den andre siden:

Oppgave 4

Om grafen til en andregradsfunksjon f f får du vite at • tangenten i punktet (−2,0) {(-2, 0)} har likningen y=9x+18 {y = 9x + 18} • tangenten i punktet (8,−10) {(8, -10)} har likningen y=−11x+78 {y = -11x + 78}
Bestem f′(x). f'(x)\text{.}
Vis løsning på oppgave 4

Svar

f′(x)=−2x+5‾‾ \underline{\underline{f'(x) = -2x + 5}}
Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten der. Når \( f \) er en andregradsfunksjon, er \( f' \) en rett linje, og den finner vi fra to punkter.
1. Les av stigningstallene Stigningstallet til tangenten i et punkt er den deriverte i punktet, som i videoen Tangentlinje. Tangentene har stigningstallene \( \textcolor{blue}{9} \) og \( {\textcolor{red}{-11}}\text{:} \) \[ f'(\textcolor{blue}{-2}) = \textcolor{blue}{9} \quad \text{og} \quad f'(\textcolor{red}{8}) = \textcolor{red}{-11} \]
2. Skriv opp den deriverte Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
En andregradsfunksjon kan skrives \( {f(x) = ax^2 + bx + c}\text{.} \) Med potensregelen blir \( {(ax^2)' = 2ax} \) og \( {(bx)' = b}\text{,} \) og konstanten \( c \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = 2ax + b \]Grafen til \( f' \) er altså en rett linje gjennom \( {(\textcolor{blue}{-2}, \textcolor{blue}{9})} \) og \( {(\textcolor{red}{8}, \textcolor{red}{-11})}\text{.} \)
3. Finn linja gjennom to punkter Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} 2a &= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\ 2a &= \dfrac{\textcolor{red}{-11} - \textcolor{blue}{9}}{\textcolor{red}{8} - (\textcolor{blue}{-2})} = \dfrac{-20}{10} = -2 \end{aligned} \]
Da er \( {f'(x) = -2x + b}\text{.} \) Setter vi inn \( {f'(-2) = 9}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -2 \cdot (-2) + b &= 9 \\ b &= 5 \end{aligned} \]
Kontroll: \( {f'(8) = -16 + 5 = -11}\text{,} \) som stigningstallet til tangenten i \( {(8, -10)}\text{.} \)

Del 2

Med hjelpemidler · 7 oppgaver

Oppgave 1

Strømmen som holder vannet i et hagebasseng varmt, blir slått av.
Anta at funksjonen T T gitt ved
T(x)=3,5+34,5⋅0,87x,x≥0 T(x) = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^x, \quad x \ge 0
kan brukes som en modell for temperaturen T(x) ∘C T(x)\,^\circ\text{C} i vannet x x timer etter at strømmen blir slått av.

Oppgave 1a)

Hva er temperaturen i vannet når strømmen blir slått av?
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Når strømmen blir slått av, er temperaturen i vannet:
38 ∘C‾‾ \underline{\underline{38\,^\circ\text{C}}}
Strømmen blir slått av når \( {x = 0}\text{,} \) så vi setter \( {x = 0} \) inn i \( T(x)\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Sett inn starttidspunktet Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{,} \) som i videoen Regneregler med Potenser, så \( {0{,}87^0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T(\textcolor{blue}{0}) &= 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{0}} \\ T(0) &= 3{,}5 + 34{,}5 = 38 \end{aligned} \]Vannet er \( 38\,^\circ\text{C} \) når strømmen blir slått av.

Oppgave 1b)

Hvor lang tid vil det ta før temperaturen i vannet er under 20 ∘C? 20\,^\circ\text{C}\text{?}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Temperaturen er under 20 ∘C 20\,^\circ\text{C} etter omtrent 5 timer og 18 minutter, avrundet til én desimal:
Omtrent 5,3 timer‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 5{,}3 \text{ timer}}}
Temperaturen synker hele tiden. Vi finner når \( {T(x) = 20}\text{,} \) og etter det er vannet kaldere enn \( 20\,^\circ\text{C}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen Vi setter \( {T(\textcolor{blue}{x}) = \textcolor{red}{20}}\text{:} \) \[ 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{x}} = \textcolor{red}{20} \]Her står \( \textcolor{blue}{x} \) i eksponenten, så vi prøver oss fram med kalkulatoren og ser når \( T(x) \) blir \( \textcolor{red}{20}\text{.} \)
2. Prøv deg fram med kalkulatoren Først hele timer, så tideler: \[ \begin{array}{r|r} \textcolor{blue}{x} & T(x) \\ \hline 5 & 20{,}70 \\ 6 & 18{,}46 \\ \hline 5{,}2 & 20{,}22 \\ \textcolor{blue}{5{,}3} & \textcolor{red}{19{,}99} \end{array} \]Temperaturen går under \( \textcolor{red}{20}\,^\circ\text{C} \) mellom 5 og 6 timer, nærmere bestemt mellom 5,2 og 5,3 timer. Den er \( \textcolor{red}{19{,}99}\,^\circ\text{C} \) etter \( \textcolor{blue}{5{,}3} \) timer, nesten akkurat 20. Det tar altså omtrent 5,3 timer.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet Vi tegner grafen til \( T\text{,} \) linja \( {y = 20} \) og finner skjæringspunktet med Skjæring, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: T(x) = 3.5 + 34.5*0.87^x, x >= 0 g: y = 20 S = Skjæring(T, g, (5, 20))
Skjæringspunktet er \( {S \approx (5{,}2965,\ 20)}\text{.} \) Etter omtrent 5,3 timer er temperaturen under \( 20\,^\circ\text{C}\text{.} \)

Oppgave 1c)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (0,T(0)) (0, T(0)) og (4,T(4)). (4, T(4))\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Avrundet til to desimaler. De fire første timene synker temperaturen i gjennomsnitt med omtrent 3,7 ∘C 3{,}7\,^\circ\text{C} per time:
Stigningstallet≈−3,68‾‾ \underline{\underline{\text{Stigningstallet} \approx -3{,}68}}
Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Her er \( x \) timer og \( T(x) \) grader celsius, så stigningstallet er grader per time.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut funksjonsverdiene Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {x = 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T(\textcolor{blue}{0}) &= 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 1 = \textcolor{blue}{38} \\ T(\textcolor{red}{4}) &= 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^4 \approx \textcolor{red}{23{,}265} \end{aligned} \]
2. Regn ut stigningstallet Vi deler endringen i temperatur på endringen i tid, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{\textcolor{red}{T(4)} - \textcolor{blue}{T(0)}}{4 - 0} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{23{,}265} - \textcolor{blue}{38}}{4} \approx -3{,}68 \end{aligned} \]
3. Tolk stigningstallet Stigningstallet er \( {-3{,}68\,^\circ\text{C}} \) per time. De fire første timene etter at strømmen er slått av, synker temperaturen altså med omtrent \( 3{,}7\,^\circ\text{C} \) per time i gjennomsnitt.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi definerer \( T \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: T(x) := 3.5 + 34.5*0.87^x T(4) (T(4) - T(0))/(4 - 0)
CAS gir \( {-3{,}6838}\text{.} \) De fire første timene synker temperaturen med omtrent \( 3{,}7\,^\circ\text{C} \) per time i gjennomsnitt.

Oppgave 1d)

Undersøk om temperaturen i vannet noen gang vil synke med mer enn 5 ∘C 5\,^\circ\text{C} i løpet av en time.
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Temperaturen synker mest den første timen, med 4,485 ∘C: 4{,}485\,^\circ\text{C}\text{:}
Nei, aldri mer enn 5 ∘C‾‾ \underline{\underline{\text{Nei, aldri mer enn } 5\,^\circ\text{C}}}
Vi finner hvor mye temperaturen synker fra et tidspunkt \( x \) til én time senere, og ser når nedgangen er størst.
Metode: Med kalkulator
1. Finn nedgangen på en time På en time synker temperaturen fra \( T(x) \) til \( {T(x + 1)}\text{.} \) Vi kaller nedgangen \( N(x)\text{.} \) Tallet \( 3{,}5 \) forsvinner når vi trekker fra, og \( {0{,}87^{x + 1} = 0{,}87^x \cdot 0{,}87}\text{:} \) \[ \begin{aligned} N(x) &= 34{,}5 \cdot 0{,}87^x - 34{,}5 \cdot 0{,}87^{x + 1} \\ N(x) &= 34{,}5 \cdot 0{,}87^x \cdot (1 - 0{,}87) \\ N(x) &= \textcolor{red}{4{,}485} \cdot \textcolor{blue}{0{,}87^x} \end{aligned} \]
2. Finn den største nedgangen Vekstfaktoren \( 0{,}87 \) er mindre enn 1, så \( \textcolor{blue}{0{,}87^x} \) blir mindre jo større \( x \) er, som i videoen Vekstfaktor. Nedgangen er derfor størst den første timen, når \( {\textcolor{blue}{0{,}87^0} = 1}\text{:} \) \[ N(0) = \textcolor{red}{4{,}485} \cdot 1 = 4{,}485 \]Temperaturen synker altså aldri med mer enn omtrent \( 4{,}5\,^\circ\text{C} \) på en time, og det er mindre enn \( 5\,^\circ\text{C}\text{.} \)
Kontroll: \( {T(1) = 33{,}515}\text{,} \) så \( {T(0) - T(1) = 4{,}485}\text{.} \) Timen etter synker temperaturen med \( {T(1) - T(2) \approx 3{,}90}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut nedgangen i CAS Vi definerer \( T \) i CAS, forenkler nedgangen \( {T(x) - T(x + 1)} \) og regner ut nedgangen de seks første timene med Følge og knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: T(x) := 3.5 + 34.5*0.87^x Forenkle(T(x) - T(x + 1)) Følge(T(n) - T(n + 1), n, 0, 5)
CAS gir nedgangen \[ \dfrac{897}{200} \cdot \left(\dfrac{87}{100}\right)^x = 4{,}485 \cdot 0{,}87^x \]som blir mindre for hver time: \( 4{,}485\text{,} \) \( 3{,}902\text{,} \) \( 3{,}395 \) og så videre. Den største nedgangen er \( 4{,}485\,^\circ\text{C}\text{,} \) den første timen, og den er mindre enn \( 5\,^\circ\text{C}\text{.} \)

Oppgave 1e)

Gi en praktisk tolkning av tallet 3,5 i modellen.
Vis løsning på oppgave 1e
Svar
Vannet nærmer seg 3,5 ∘C, 3{,}5\,^\circ\text{C}\text{,} trolig temperaturen i lufta rundt, og blir aldri kaldere:
T(x)→3,5 ∘C‾‾ \underline{\underline{T(x) \to 3{,}5\,^\circ\text{C}}}
Vi ser hva som skjer med \( T(x) \) når \( x \) blir stor, altså når vannet har stått lenge uten strøm.
Metode: For hånd
1. Se hva som skjer over tid Vekstfaktoren \( 0{,}87 \) er mindre enn 1, så \( {\textcolor{red}{34{,}5 \cdot 0{,}87^x}} \) blir mindre og mindre og går mot \( 0 \) når \( x \) blir stor, som i videoen Vekstfaktor. Da nærmer temperaturen seg \( \textcolor{blue}{3{,}5}\text{:} \) \[ T(x) = \textcolor{blue}{3{,}5} + \textcolor{red}{34{,}5 \cdot 0{,}87^x} \to \textcolor{blue}{3{,}5} \]Leddet \( {\textcolor{red}{34{,}5 \cdot 0{,}87^x}} \) er alltid positivt, så temperaturen blir aldri lavere enn \( 3{,}5\,^\circ\text{C}\text{.} \)
2. Tolk tallet \( \textcolor{blue}{3{,}5}\,^\circ\text{C} \) er temperaturen vannet nærmer seg når det har stått lenge uten strøm. Det er trolig temperaturen i lufta rundt bassenget, som vannet til slutt blir like kaldt som.

Oppgave 2

I en bygård er det 40 leiligheter med til sammen 90 rom. Hver leilighet har enten to eller tre rom.
Hvor mange leiligheter har to rom, og hvor mange har tre rom?
Vis løsning på oppgave 2

Svar

I bygården er det:
30 leiligheter med to rom‾‾10 leiligheter med tre rom‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{30 \text{ leiligheter med to rom}}} \\ &\underline{\underline{10 \text{ leiligheter med tre rom}}} \end{aligned}
Vi har to ukjente, antall leiligheter med to rom og antall med tre rom. Antallet leiligheter og antallet rom gir to likninger, som vi løser med innsetting.
Metode: For hånd
1. Sett opp likningssettet La \( \textcolor{blue}{x} \) være antall leiligheter med to rom og \( \textcolor{red}{y} \) antall med tre rom. Det er 40 leiligheter og 90 rom, og vi setter opp én likning for hver opplysning, som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{y} &= 40 \\ 2\textcolor{blue}{x} + 3\textcolor{red}{y} &= 90 \end{aligned} \]
2. Løs med innsetting Den øverste likningen gir \( {\textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{40 - y}}\text{.} \) Vi setter det inn i den nederste, som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ 2(\textcolor{blue}{40 - y}) + 3\textcolor{red}{y} = 90 \]
Vi ganger ut parentesen og samler leddene med \( y\text{:} \) \[ \begin{aligned} 80 - 2y + 3y &= 90 \\ y &= 10 \end{aligned} \]Da er \( {x = 40 - 10 = 30}\text{.} \)
Kontroll: \( {30 + 10 = 40} \) leiligheter og \( {2 \cdot 30 + 3 \cdot 10 = 90} \) rom.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningssettet i CAS Vi skriver begge likningene inn i Løs, som i videoen Oppgave 1 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: Løs({x + y = 40, 2x + 3y = 90}, {x, y})
CAS gir \( {x = 30} \) og \( {y = 10}\text{.} \) Det er 30 leiligheter med to rom og 10 med tre rom.

Oppgave 3

En sirkel har sentrum i S. S\text{.} AB AB er diameter, og C C ligger på sirkelperiferien. Arealet av △SBC \triangle SBC er 3⋅2 {3 \cdot \sqrt{2}}

Oppgave 3a)

Bestem sirkelens radius. Bruk eksakte verdier.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Trekant SBC SBC har arealet 24 r2=32, {\dfrac{\sqrt{2}}{4}\, r^2 = 3\sqrt{2}}\text{,} så r2=12 {r^2 = 12} og
r=23‾‾ \underline{\underline{r = 2\sqrt{3}}}
\( SB \) og \( SC \) er radier, så trekant \( SBC \) har to sider \( r \) med vinkelen \( 45^\circ \) mellom seg. Vi setter arealsetningen lik \( 3\sqrt{2} \) og løser for \( r\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Bruk arealsetningen Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.
I trekant \( SBC \) er \( {\textcolor{blue}{SB} = \textcolor{red}{SC} = r}\text{,} \) og vinkelen mellom dem er \( \textcolor{green}{45^\circ}\text{.} \) Eksakt er \( {\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T_{SBC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{red}{r} \cdot \sin \textcolor{green}{45^\circ} \\ T_{SBC} &= \dfrac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\, r^2 \end{aligned} \]
2. Løs for r Arealet er \( 3\sqrt{2}\text{:} \) \[ \dfrac{\sqrt{2}}{4}\, r^2 = 3\sqrt{2} \]Vi ganger med 4 og deler på \( \sqrt{2} \) på begge sider. En radius er positiv, så: \[ \begin{aligned} r^2 &= 12 \\ r &= \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi setter arealsetningen for trekant \( SBC \) lik \( 3\sqrt{2} \) og løser for \( r \) med Løs, som gir eksakte svar:
Skriv inn i GeoGebra: Løs(1/2*r^2*sin(45°) = 3*sqrt(2), r)
CAS gir \( {r = -2\sqrt{3}} \) og \( {r = 2\sqrt{3}}\text{.} \) En radius er positiv, så \( {r = 2\sqrt{3}}\text{.} \)

Oppgave 3b)

Bestem arealet av △ABC. \triangle ABC\text{.} Bruk eksakte verdier.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Trekantene ASC ASC og SBC SBC har begge arealet 32, 3\sqrt{2}\text{,} så
TABC=62‾‾ \underline{\underline{T_{ABC} = 6\sqrt{2}}}
Vi bruker radiusen fra a), \( {r = 2\sqrt{3}}\text{,} \) altså \( {r^2 = 12}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Linjestykket \( SC \) deler trekant \( ABC \) i trekantene \( ASC \) og \( SBC\text{.} \) Vi finner arealet av \( ASC \) med arealsetningen og legger sammen.
Metode: For hånd
1. Finn vinkelen i trekant ASC \( A\text{,} \) \( S \) og \( B \) ligger på en rett linje, så vinklene \( ASC \) og \( CSB \) er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle ASC = 180^\circ - 45^\circ = \textcolor{green}{135^\circ} \]
2. Finn arealet av trekant ASC Sinusgrafen er symmetrisk om \( 90^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 5C - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, så \( {\sin \textcolor{green}{135^\circ} = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{.} \) Med \( {r^2 = 12} \) fra a) gir arealsetningen: \[ \begin{aligned} T_{ASC} &= \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin \textcolor{green}{135^\circ} \\ T_{ASC} &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \end{aligned} \]Trekantene \( ASC \) og \( SBC \) er altså like store. Det kan vi også se fordi de har like lange grunnlinjer, \( {AS = SB = r}\text{,} \) og samme høyde fra \( C\text{.} \)
3. Legg sammen arealene Slår vi sammen de to arealene, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= T_{ASC} + T_{SBC} \\ T_{ABC} &= 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vinkelen \( ASC \) er \( {180^\circ - 45^\circ = 135^\circ}\text{.} \) Vi legger inn radiusen fra a) og legger sammen arealene av \( SBC \) og \( ASC \) med arealsetningen:
Skriv inn i GeoGebra: r := 2*sqrt(3) T := 1/2*r^2*sin(45°) + 1/2*r^2*sin(135°)
CAS gir \( {T = 6\sqrt{2}}\text{.} \)

Oppgave 4

Nina og Edvard arbeider med å finne en ukjent side x x i en trekant. De har brukt cosinussetningen og satt opp likningen
142=162+x2−16x 14^2 = 16^2 + x^2 - 16x

Oppgave 4a)

Hvilke opplysninger kan Nina og Edvard ha fått om trekanten?
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
To sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem:
eˊn side er 16‾‾vinkelen mellom 16 og x er 60∘‾‾siden mot vinkelen er 14‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{én side er } 16}} \\ &\underline{\underline{\text{vinkelen mellom } 16 \text{ og } x \text{ er } 60^\circ}} \\ &\underline{\underline{\text{siden mot vinkelen er } 14}} \end{aligned}
Vi sammenligner likningen med cosinussetningen og ser hvilke sider og hvilken vinkel som står hvor.
Metode: For hånd
1. Sammenlign med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden \( a\text{,} \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{A} \) mellom sidene \( \textcolor{blue}{b} \) og \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) er gitt ved: \[ a^2 = \textcolor{blue}{b}^2 + \textcolor{red}{c}^2 - 2\textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{c} \cdot \cos \textcolor{green}{A} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Likningen til Nina og Edvard har samme form: \[ 14^2 = \textcolor{blue}{16}^2 + \textcolor{red}{x}^2 - 16\textcolor{red}{x} \]Altså er \( {a = 14}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{16}} \) og \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{x}}\text{.} \)
2. Finn vinkelen Det siste leddet må være det samme i begge: \[ \begin{aligned} 2 \cdot \textcolor{blue}{16} \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \cos \textcolor{green}{A} &= 16\textcolor{red}{x} \\ \cos \textcolor{green}{A} &= \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Vinkelen med \( {\cos A = \dfrac{1}{2}} \) er \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{60^\circ}}\text{,} \) som du kan se i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri.
De har altså fått vite at én side er 16, at vinkelen mellom den og den ukjente siden \( x \) er \( 60^\circ\text{,} \) og at siden som står mot vinkelen, er 14.
Siden likningen ovenfor er en andregradslikning, antar Nina at det er to ulike trekanter som passer med opplysningene de har fått.

Oppgave 4b)

Løs likningen og lag én skisse som viser at Ninas antakelse er riktig. Sett mål på skissen.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Likningen har to løsninger, og begge gir en trekant med siden 16, vinkelen 60∘ 60^\circ og siden 14 mot vinkelen:
x=6ellerx=10‾‾ \underline{\underline{x = 6 \quad \text{eller} \quad x = 10}}
Vi bruker opplysningene fra a): siden 16, vinkelen \( 60^\circ \) og siden 14 mot vinkelen.
Vi løser andregradslikningen med abc-formelen. I skissen treffer en sirkel med radius 14 det andre vinkelbeinet to ganger, og det gir to trekanter.
Metode: For hånd
1. Løs likningen Vi regner ut \( {14^2 = 196} \) og \( {16^2 = 256}\text{,} \) og samler alt på høyre side: \[ \begin{aligned} 196 &= 256 + x^2 - 16x \\ 0 &= x^2 - 16x + 60 \end{aligned} \]
Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-16}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{60}}\text{.} \) Under rottegnet får vi: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{-16})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{60} \\ &= 256 - 240 = 16 \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-(\textcolor{red}{-16}) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{16 \pm 4}{2} \]Det gir \( {x = 10} \) eller \( {x = 6}\text{.} \)
2. Lag skissen Vi tegner vinkelen \( {A = 60^\circ} \) og siden \( {AB = 16} \) langs det ene vinkelbeinet. Punktet \( C \) skal ligge på det andre vinkelbeinet, 14 fra \( B\text{.} \) En sirkel med sentrum i \( B \) og radius 14 treffer vinkelbeinet i to punkter, \( \textcolor{blue}{C_1} \) og \( \textcolor{red}{C_2}\text{:} \)
Begge trekantene har siden 16, vinkelen \( 60^\circ \) og siden 14 mot vinkelen, men \( {\textcolor{blue}{AC_1 = 6}} \) og \( {\textcolor{red}{AC_2 = 10}}\text{.} \) Nina har altså rett.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen med Løs:
Skriv inn i GeoGebra: Løs(14^2 = 16^2 + x^2 - 16x, x)
CAS gir \( {x = 6} \) og \( {x = 10}\text{.} \)
2. Tegn de to trekantene Vi legger \( A \) i origo og \( B \) i \( (16, 0)\text{.} \) Linja \( a \) går gjennom \( A \) med stigningstallet \( {\tan 60^\circ = \sqrt{3}}\text{,} \) så den danner vinkelen \( 60^\circ \) med \( AB\text{.} \) Sirkelen \( c \) har sentrum i \( B \) og radius 14, og Skjæring gir punktene \( C_1 \) og \( C_2\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: A = (0, 0) B = (16, 0) a: y = sqrt(3)*x c = Sirkel(B, 14) C_1 = Skjæring(c, a, 1) C_2 = Skjæring(c, a, 2) v = Vinkel(B, A, C_2) b_1 = Linjestykke(A, C_1) b_2 = Linjestykke(A, C_2) k_1 = Linjestykke(B, C_1) k_2 = Linjestykke(B, C_2)
Linjestykkene er \( {AC_1 = 6} \) og \( {AC_2 = 10}\text{,} \) og \( {BC_1 = BC_2 = 14}\text{.} \) Begge trekantene passer med opplysningene, så Nina har rett.
Nina og Edvard vet at andregradslikninger kan ha to løsninger, én løsning eller ingen løsning. Edvard bytter ut 142 14^2 med 52. 5^2\text{.} Da har likningen ovenfor ingen løsning.
«Det kunne vi sett om vi hadde laget en skisse», sier Nina. «Jeg lurer på hvilket tall vi måtte erstattet 142 14^2 med for å få nøyaktig én løsning.»

Oppgave 4c)

Ta utgangspunkt i skissen du har laget. Gjør beregninger og bestem lengdene av sidene i det tilfellet der likningen har nøyaktig én løsning. Bruk eksakte verdier.
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Trekanten er rettvinklet i C, C\text{,} og 142 14^2 må byttes ut med 192:
AB=16, AC=8, BC=83‾‾ \underline{\underline{AB = 16,\ AC = 8,\ BC = 8\sqrt{3}}}
Vi bruker skissen fra b), med vinkelen \( 60^\circ \) i \( A \) og \( {AB = 16}\text{.} \)
Sirkelen med sentrum i \( B \) treffer vinkelbeinet i nøyaktig ett punkt når den bare så vidt rører det. Da står siden \( BC \) vinkelrett på vinkelbeinet, og trekanten er rettvinklet.
Metode: For hånd
1. Se på skissen I b) traff sirkelen med radius 14 vinkelbeinet i to punkter. Med Edvards radius 5 når sirkelen ikke fram til vinkelbeinet, og likningen har ingen løsning. Nøyaktig én løsning får vi når sirkelen bare så vidt rører vinkelbeinet, i punktet \( C\text{.} \) Da står \( BC \) vinkelrett på \( AC\text{,} \) og trekant \( ABC \) er rettvinklet i \( C\text{:} \)
2. Regn ut sidene I den rettvinklede trekanten er \( {AB = 16} \) hypotenusen. Definisjonene av sinus og cosinus forteller oss at: \[ \begin{aligned} \sin A &= \dfrac{\textcolor{red}{BC}}{AB} \\ \cos A &= \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{AB} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.
Eksakt er \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) og \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 13B (Enkel trigonometri). Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AC} &= 16 \cdot \cos 60^\circ = 16 \cdot \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{8} \\ \textcolor{red}{BC} &= 16 \cdot \sin 60^\circ = 16 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \textcolor{red}{8\sqrt{3}} \end{aligned} \]
3. Kontroller med likningen Da må \( 14^2 \) byttes ut med \( {(\textcolor{red}{8\sqrt{3}})^2 = 64 \cdot 3 = 192}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 192 &= 256 + x^2 - 16x \\ 0 &= x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2 \end{aligned} \]Likningen har bare løsningen \( {x = \textcolor{blue}{8}}\text{.} \)

Oppgave 5

Figuren til venstre viser en pendel. Tiden pendelen bruker på å svinge fra posisjon A til posisjon B og tilbake til posisjon A igjen, kalles svingetiden.
Klasse 1STA har utført et forsøk i naturfag. De har målt svingetiden til pendler med ulike snorlengder.
Tabellen nedenfor viser svingetiden til pendler med åtte ulike snorlengder.
SnorlengdeSvingetid(meter)(sekund)0,10,690,31,170,51,440,81,821,02,081,32,271,62,532,02,80 \begin{array}{r|r} \text{Snorlengde} & \text{Svingetid} \\ \text{(meter)} & \text{(sekund)} \\ \hline 0{,}1 & 0{,}69 \\ 0{,}3 & 1{,}17 \\ 0{,}5 & 1{,}44 \\ 0{,}8 & 1{,}82 \\ 1{,}0 & 2{,}08 \\ 1{,}3 & 2{,}27 \\ 1{,}6 & 2{,}53 \\ 2{,}0 & 2{,}80 \end{array}

Oppgave 5a)

Bruk tallene i tabellen, og lag en modell på formen
S(x)=a⋅xb S(x) = a \cdot x^b
som viser svingetiden S(x) S(x) sekunder til en pendel med snorlengde x x meter.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Med a a avrundet til tre desimaler og b b til fire:
S(x)≈2,029⋅x0,4676‾‾ \underline{\underline{S(x) \approx 2{,}029 \cdot x^{0{,}4676}}}
Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra med punktene fra tabellen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) med modellen i svaret, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Kjør potensregresjon Vi lager en liste med punktene fra tabellen, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og bruker potensregresjon med RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0.1, 0.69), (0.3, 1.17), (0.5, 1.44), (0.8, 1.82), (1, 2.08), (1.3, 2.27), (1.6, 2.53), (2, 2.8)} S(x) = RegPot(l1)
2. Les av modellen Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ S(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{2{,}029}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}4676}}\text{.} \) Grafen til \( S \) går nær alle de åtte punktene.
I b) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.
Formelen
T=2πLg T = 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}
kan brukes for å regne ut svingetiden T T til en pendel, når vi ser bort fra friksjon og luftmotstand. L L er snorlengden gitt i meter, og g g er tyngdens akselerasjon. På jorden er g=9,81 m/s2. {g = 9{,}81\,\text{m/s}^2}\text{.}

Oppgave 5b)

Gjør beregninger og sammenlikn uttrykket du fant for S(x) S(x) i oppgave a) med formelen for T. T\text{.}
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Modellen og formelen har nesten samme tall foran og nesten samme eksponent:
S(x)≈2,029⋅x0,4676‾‾T≈2,006⋅L0,5‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{S(x) \approx 2{,}029 \cdot x^{0{,}4676}}} \\ &\underline{\underline{T \approx 2{,}006 \cdot L^{0{,}5}}} \end{aligned}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi skriver formelen for \( T \) som en potensfunksjon av snorlengden og sammenligner tallene med \( a \) og \( b \) i modellen.
Metode: Med kalkulator
1. Skriv formelen som en potensfunksjon Kvadratroten av en brøk er kvadratroten av telleren delt på kvadratroten av nevneren, og en kvadratrot er det samme som å opphøye i \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{g}} \cdot \sqrt{L} \\ T &= \textcolor{blue}{\dfrac{2\pi}{\sqrt{g}}} \cdot L^{\textcolor{red}{0{,}5}} \end{aligned} \]
2. Regn ut tallet foran Med \( {g = 9{,}81} \) gir kalkulatoren: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{2\pi}{\sqrt{9{,}81}}} \approx \textcolor{blue}{2{,}006} \]Formelen er altså \( {T \approx \textcolor{blue}{2{,}006} \cdot L^{\textcolor{red}{0{,}5}}}\text{.} \)
3. Sammenlign med modellen I a) fant vi modellen: \[ S(x) \approx \textcolor{blue}{2{,}029} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}4676}} \]Både \( x \) og \( L \) er snorlengden i meter. Tallet foran er nesten det samme, \( \textcolor{blue}{2{,}029} \) mot \( \textcolor{blue}{2{,}006}\text{,} \) og eksponenten er nesten den samme, \( \textcolor{red}{0{,}4676} \) mot \( \textcolor{red}{0{,}5}\text{.} \) For en snor på 1 m gir modellen \( 2{,}03 \) sekunder og formelen \( 2{,}01 \) sekunder.
Modellen fra forsøket stemmer altså godt med formelen. De små forskjellene kan komme av måleusikkerhet, og av at formelen ser bort fra friksjon og luftmotstand.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Formelen kan skrives \( {T = \dfrac{2\pi}{\sqrt{g}} \cdot L^{0{,}5}}\text{,} \) som i ruten med kalkulator. Vi regner ut tallet foran med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: 2π/sqrt(9.81)
CAS gir \( 2{,}0061\text{,} \) så \( {T \approx 2{,}0061 \cdot L^{0{,}5}}\text{.} \) Modellen fra a) er \( {S(x) \approx 2{,}0291 \cdot x^{0{,}4676}}\text{,} \) med nesten samme tall foran og nesten samme eksponent. Modellen stemmer godt med formelen.

Oppgave 6

Per og Solveig har nok materialer til å lage et gjerde som er 64 m 64\,\text{m} langt. De skal gjerde inn et område som skal ha form som et rektangel, og de ønsker at området skal få størst mulig areal.
Per påstår at arealet blir størst mulig dersom alle sidekantene er like lange.

Oppgave 6a)

Vis at Per sin påstand kan være riktig, ved å lage en oversikt som viser arealet av ulike rektangler med omkrets 64 m. 64\,\text{m}\text{.}
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
I oversikten er arealet størst, 256 m2, 256\,\text{m}^2\text{,} når alle sidene er like lange, så Per kan ha rett:
16 m⋅16 m=256 m2‾‾ \underline{\underline{16\,\text{m} \cdot 16\,\text{m} = 256\,\text{m}^2}}
Omkretsen er 64 m, så bredden og lengden er til sammen 32 m. Vi regner ut arealet for noen bredder og ser hvilket rektangel som får størst areal.
Metode: For hånd
1. Sett opp lengden og arealet Rektangelet har to bredder og to lengder. Med bredden \( \textcolor{blue}{x} \) meter er lengden: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{blue}{x} + 2 \cdot \text{lengden} &= 64 \\ \text{lengden} &= \textcolor{red}{32 - x} \end{aligned} \]Arealet er bredde ganger lengde, som i videoen Areal og Omkrets.
2. Lag oversikten Vi regner ut lengden og arealet for bredder med 4 m mellom: \[ \begin{array}{r|r|r} \textcolor{blue}{x}\ (\text{m}) & \textcolor{red}{32 - x}\ (\text{m}) & \text{Areal}\ (\text{m}^2) \\ \hline 4 & 28 & 112 \\ 8 & 24 & 192 \\ 12 & 20 & 240 \\ 16 & 16 & 256 \\ 20 & 12 & 240 \\ 24 & 8 & 192 \\ 28 & 4 & 112 \end{array} \]Arealet øker fram til bredden 16 m og minker etterpå, likt på begge sider.
Arealet er størst, \( 256\,\text{m}^2\text{,} \) når begge sidene er 16 m. Da er alle sidekantene like lange, så Per kan ha rett. Oversikten viser bare noen bredder, så den kan ikke bevise påstanden. Det gjør vi i b).
Metode: Med regneark
1. Lag oversikten i regnearket Vi skriver overskriftene i rad 1 og den første bredden, \( 4\text{,} \) i A2. Lengden er \( 32 \) minus bredden, og arealet er bredde ganger lengde: \[ \begin{aligned} \text{A3:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=A2+4}} \\ \text{B2:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=32-A2}} \\ \text{C2:}\quad & \texttt{=A2*B2} \end{aligned} \]Vi drar A3 ned til A8, og B2 og C2 ned til rad 8, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:
Arealet er størst, \( 256\,\text{m}^2\text{,} \) i rad 5, der bredden og lengden begge er \( 16\,\text{m}\text{.} \) Arealet minker likt på begge sider av rad 5, så oversikten viser at Per sin påstand kan være riktig.
Solveig lurer på om de kan tegne en graf som viser at Per har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.

Oppgave 6b)

Sett opp funksjonsuttrykket for Solveig. Tegn grafen, og vis at Per sin påstand er riktig.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Med bredden x x meter er arealet størst, 256 m2, 256\,\text{m}^2\text{,} når alle sidene er 16 m, 16\,\text{m}\text{,} så Per har rett:
A(x)=x(32−x), 0<x<32‾‾ \underline{\underline{A(x) = x(32 - x),\ 0 < x < 32}}
Vi bruker oversikten fra a).
Vi uttrykker arealet med bredden \( x \) og finner toppunktet til arealfunksjonen. Der ser vi om alle sidekantene er like lange.
Metode: For hånd
1. Sett opp funksjonsuttrykket Med bredden \( \textcolor{blue}{x} \) er lengden \( {\textcolor{red}{32 - x}}\text{,} \) som i a). Arealet er bredde ganger lengde, slik arealet settes opp som et uttrykk i \( x \) i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ A(x) = \textcolor{blue}{x}(\textcolor{red}{32 - x}) = 32x - x^2 \]Begge sidene må være lengre enn \( 0\text{,} \) så \( {0 < x < 32}\text{.} \)
2. Tegn grafen Vi tegner punktene fra oversikten i a) og trekker grafen gjennom dem:
3. Finn toppunktet Toppunktet ligger der \( {A'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd og setter lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} A'(x) &= 32 - 2x = 0 \\ x &= 16 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og \( {x = 16} \) er et toppunkt. Da er lengden \( {\textcolor{red}{32 - 16 = 16}}\text{,} \) like lang som bredden, og \( {A(16) = 16 \cdot 16 = 256}\text{.} \) Per har rett.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet på grafen Vi tegner \( A \) for \( {0 < x < 32} \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: A(x) = x*(32 - x), 0 < x < 32 T = Maks(A, 0, 32)
Toppunktet er \( {T = (16, 256)}\text{.} \) Arealet er størst, \( 256\,\text{m}^2\text{,} \) når bredden er 16 m og lengden \( {32 - 16 = 16} \) m. Alle sidekantene er like lange, så Per har rett.

Oppgave 7

En bedrift produserer gardiner. Hvert gardin skal ha form som en parabel. Høyden skal være 70 cm. 70\,\text{cm}\text{.} Lengden øverst skal være 150 cm. 150\,\text{cm}\text{.} Se figuren nedenfor.
Bedriften vil klippe ut gardinene fra tøyruller som er 140 cm 140\,\text{cm} brede. For å bruke så lite tøy som mulig vil en maskin klippe ut gardinene slik figuren nedenfor viser.
Gjør beregninger, og finn ut hvor langt tøystykke bedriften minst må bruke for å lage åtte gardiner.
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Med fire gardiner i hver rad må tøystykket, avrundet til én desimal, minst være
L≈468,2 cm≈4,7 m‾‾ \underline{\underline{L \approx 468{,}2\,\text{cm} \approx 4{,}7\,\text{m}}}
Vi lager en modell for parabelen og finner hvor bred den er 35 cm over bunnpunktet. Der møtes to gardiner, og da vet vi hvor langt det er fra ett bunnpunkt til det neste.
Metode: Med kalkulator
1. Lag en modell for gardinet Vi legger bunnpunktet til et gardin i origo. Parabelen har da formen \( {f(x) = \textcolor{blue}{a}x^2}\text{.} \) Gardinet er 150 cm langt og 70 cm høyt, så hjørnene øverst ligger i \( {(-75, 70)} \) og \( (75, 70)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot 75^2 &= 70 \\ \textcolor{blue}{a} &= \dfrac{70}{5625} \end{aligned} \]
2. Finn bredden 35 cm over bunnpunktet To gardiner ved siden av hverandre møtes 35 cm under den øverste kanten, altså 35 cm over bunnpunktet. Vi setter \( {f(x) = 35}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{70}{5625} \cdot x^2 &= 35 \\ x^2 &= 2812{,}5 \\ x &= \sqrt{2812{,}5} \approx \textcolor{red}{53{,}033} \end{aligned} \]Vi tar kvadratroten på begge sider og bruker den positive verdien, fordi møtepunktet ligger til høyre for bunnpunktet, som i videoen Oppgave 6B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Møtepunktet ligger altså \( \textcolor{red}{53{,}033} \) cm til siden for bunnpunktet.
3. Finn lengden av tøystykket Nabogardinet er det samme gardinet snudd opp ned, så møtepunktet ligger \( \textcolor{red}{53{,}033} \) cm fra bunnpunktet dets også. Fra ett bunnpunkt til det neste er det \( {2 \cdot \textcolor{red}{53{,}033} = \textcolor{green}{106{,}066}} \) cm. En rad har fire gardiner, med 75 cm fra det første og det siste bunnpunktet ut til kanten: \[ \begin{aligned} L &\approx 75 + 3 \cdot \textcolor{green}{106{,}066} + 75 \\ L &\approx 468{,}198 \end{aligned} \]Den nederste raden er et speilbilde av den øverste, så den får plass på det samme stykket. Bedriften må altså bruke minst omtrent \( 468{,}2 \) cm, eller \( 4{,}7 \) m.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi legger bunnpunktet i origo, definerer \( {f(x) = \dfrac{70}{75^2} \cdot x^2} \) i CAS og løser \( {f(x) = 35} \) med Løs. Lengden er 150 cm pluss seks ganger avstanden fra et bunnpunkt til et møtepunkt:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 70/75^2*x^2 Løs(f(x) = 35, x) L := 150 + 6*75*sqrt(2)/2 L
CAS gir møtepunktet i \( {x = 75 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 53{,}03} \) og lengden \( {L = 225\sqrt{2} + 150 \approx 468{,}2} \) cm.

Ferdig med settet? Se de andre 1T-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.