1T eksamen våren 2023 – løsningsforslag

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 5 oppgaver

Oppgave 1

Flere oppgaver om trigonometri

En rettvinklet trekant har sidelengder 8, 6 og 10. Se figuren til høyre.

Vis at

(\sin u)^2 + (\cos u)^2 = 1

Vis løsning

Svar

Med

{\sin u = \dfrac{4}{5}}

{\cos u = \dfrac{3}{5}}

blir

{\dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1}\text{,}

så

\underline{\underline{(\sin u)^2 + (\cos u)^2 = 1}}

Vi finner \( \sin u \) og \( \cos u \) i trekanten med definisjonene, og setter dem inn i venstre side.

1. Finn sinus og cosinus Definisjonene av sinus og cosinus forteller oss at for en spiss vinkel \( u \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \sin u &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{green}{\text{hypotenus}}} \\ \cos u &= \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{green}{\text{hypotenus}}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Vinkelen \( u \) står nede til høyre. Kateten \( \textcolor{red}{8} \) står mot \( u\text{,} \) kateten \( \textcolor{blue}{6} \) ligger inntil \( u\text{,} \) og hypotenusen er \( \textcolor{green}{10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin u &= \dfrac{\textcolor{red}{8}}{\textcolor{green}{10}} = \dfrac{4}{5} \\ \cos u &= \dfrac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{green}{10}} = \dfrac{3}{5} \end{aligned} \]

2. Sett inn i venstre side Plugger vi dette inn i venstre side, får vi: \[ \begin{aligned} &(\sin u)^2 + (\cos u)^2 \\ &= \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 \\ &= \dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = \dfrac{25}{25} = 1 \end{aligned} \]Summen blir \( 1 \) fordi trekanten er rettvinklet: \( {8^2 + 6^2 = 10^2}\text{.} \)

Oppgave 2

Funksjonen

f

er gitt ved

f(x) = x^2 - 2x - 8

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen

x

-aksen?

Vis løsning

Svar

Grafen skjærer

x

-aksen i punktene

\underline{\underline{(-2, 0) \quad \text{og} \quad (4, 0)}}

Grafen skjærer \( x \)-aksen der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Vi løser andregradslikningen med abc-formelen.

1. Sett funksjonen lik null Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

2. Plugg inn i abc-formelen Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8}}\text{.} \) Under rottegnet får vi: \[ (\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8}) = 4 + 32 = 36 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \]Det gir \( {x = \dfrac{8}{2} = 4} \) eller \( {x = \dfrac{-4}{2} = -2}\text{.} \) Punktene ligger på \( x \)-aksen, så \( y \)-koordinaten er \( 0\text{.} \)

Kontroll: \( {f(4) = 16 - 8 - 8 = 0} \) og \( {f(-2) = 4 + 4 - 8 = 0}\text{.} \)

Oppgave 3

Gitt likningen

\begin{aligned} &x^3 - 5x^2 - 8x + 12 \\ &= (x - 1)(x + a)(x - b) \end{aligned}

Bestem

a

b

slik at likningen blir en identitet.

Vis løsning

Svar

Venstre side er

{(x - 1)(x + 2)(x - 6)}\text{,}

så

\underline{\underline{a = 2 \quad \text{og} \quad b = 6}}

Høyre side har faktoren \( {x - 1}\text{.} \) Vi deler venstre side på \( {x - 1}\text{,} \) faktoriserer det som blir igjen og sammenligner faktorene.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler venstre side på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Oppgave 4A - Del 1 - 1T Eksamen Vår 2025. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -4x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-5x^2 + x^2 = -4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-8x} \) og \( 12\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-4x} \\ \textcolor{magenta}{-4x} \cdot (x - 1) &= -4x^2 + 4x \\ -(-4x^2 + 4x) &= \textcolor{magenta}{4x^2 - 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & -12x & {}+ 12 \end{array} \end{array} \]\( {-4x^2} \) strykes mot \( 4x^2\text{,} \) \( {-8x - 4x = -12x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 12\text{.} \) Linja \( {-12x + 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-12x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-12x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-12} \\ \textcolor{blue}{-12} \cdot (x - 1) &= -12x + 12 \\ -(-12x + 12) &= \textcolor{blue}{12x - 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 4x} \textcolor{blue}{{}- 12} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 5x^2 & {}- 8x & {}+ 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x^2}} & {}- 8x & {}+ 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-12x}} & {}+ 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{12x}} & \textcolor{blue}{{}- 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-12x} \) strykes mot \( 12x\text{,} \) og \( {12 - 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 5x^2 - 8x + 12 \\ &= (x - 1)(x^2 - 4x - 12) \end{aligned} \]

2. Faktoriser andregradsuttrykket Nullpunktene til \( {x^2 - 4x - 12} \) finner vi med abc-formelen. Bokstavene \( a \) og \( b \) er brukt i oppgaven, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Da har \( {\textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-12}}\text{.} \) Under rottegnet får vi: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12}) \\ &= 16 + 48 = 64 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-(\textcolor{red}{-4}) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{4 \pm 8}{2} \]Det gir \( {x = 6} \) eller \( {x = -2}\text{.} \)

Hvert nullpunkt \( x_0 \) gir en faktor \( {x - x_0}\text{,} \) som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2) \]

3. Sammenlign faktorene Det gir oss: \[ \begin{aligned} &x^3 - 5x^2 - 8x + 12 \\ &= (x - 1)(\textcolor{blue}{x + 2})(\textcolor{red}{x - 6}) \end{aligned} \]Sammenligner vi med \( {(x - 1)(\textcolor{blue}{x + a})(\textcolor{red}{x - b})}\text{,} \) ser vi at \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6}}\text{.} \)

Bytter vi om de to siste faktorene, med \( {x + a = x - 6} \) og \( {x - b = x + 2}\text{,} \) får vi \( {a = -6} \) og \( {b = -2}\text{.} \) Det er de samme faktorene i motsatt rekkefølge, så det paret gir også en identitet.

Oppgave 4

Nedenfor ser du grafen til en rasjonal funksjon

f\text{.}

Bestem

f(x)\text{.}

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Vis løsning

Svar

Brøken har asymptotene

{x = 1}

{y = 3}\text{,}

nullpunktet

{x = 2}

og går gjennom

(0, 6)\text{:}

\underline{\underline{f(x) = \dfrac{3x - 6}{x - 1}}}

Grafen har asymptotene \( {x = 1} \) og \( {y = 3} \) og nullpunktet \( {x = 2}\text{.} \) Vi lager en brøk som har akkurat dette, og sjekker den mot punkter på grafen.

1. Les av grafen På grafen leser vi av de to stiplede asymptotene og hvor grafen skjærer \( x \)-aksen: \[ \begin{aligned} &\text{vertikal asymptote: } x = 1 \\ &\text{horisontal asymptote: } y = 3 \\ &\text{nullpunkt: } x = 2 \end{aligned} \]

2. Lag nevneren og telleren En brøk har en vertikal asymptote der: \[ \textcolor{blue}{\text{nevneren}} = 0 \quad \text{og} \quad \text{telleren} \neq 0 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.

Asymptoten \( {x = 1} \) gir nevneren \( {\textcolor{blue}{x - 1}}\text{.} \) Grafen ligner grafene til brøker med førstegradsuttrykk i teller og nevner, så vi prøver: \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{red}{a}x + \textcolor{green}{b}}{\textcolor{blue}{x - 1}} \]

Den horisontale asymptoten finner vi ved å dele både telleren og nevneren på \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{red}{a} + \dfrac{\textcolor{green}{b}}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} \]Når \( x \) blir veldig stor, positiv eller negativ, går \( \dfrac{\textcolor{green}{b}}{x} \) og \( \dfrac{1}{x} \) mot \( 0\text{,} \) og \( f(x) \) nærmer seg \( \textcolor{red}{a}\text{.} \) Grafen nærmer seg \( {y = 3}\text{,} \) så \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{3}}\text{.} \)

3. Bestem b fra nullpunktet En brøk er \( 0 \) bare når telleren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Nullpunktet \( {x = 2} \) gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{3} \cdot 2 + \textcolor{green}{b} &= 0 \\ \textcolor{green}{b} &= \textcolor{green}{-6} \end{aligned} \]Det gir oss: \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{red}{3}x \textcolor{green}{{}- 6}}{\textcolor{blue}{x - 1}} \]

4. Sjekk mot grafen Punktet der grafen skjærer \( y \)-aksen, har vi ikke brukt. Vi setter inn \( {x = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ f(0) = \dfrac{3 \cdot 0 - 6}{0 - 1} = \dfrac{-6}{-1} = 6 \]Grafen skjærer \( y \)-aksen i \( 6\text{,} \) så det stemmer. I \( {x = 1} \) er telleren \( {3 - 6 = -3 \neq 0}\text{,} \) så \( {x = 1} \) er en vertikal asymptote.

Kontroll: \( {f(-2) = \dfrac{-12}{-3} = 4} \) og \( {f(4) = \dfrac{6}{3} = 2}\text{,} \) og begge punktene ligger på grafen.

Oppgave 5

Ovenfor ser du grafen til den deriverte av en funksjon

f\text{.}

Nullpunktene til

f

{x = -4}\text{,}

{x = -2}\text{,}

{x = 4}

{x = 6}

Lag en skisse som viser hvordan grafen til

f

kan se ut. Husk å argumentere for hvorfor du mener skissen er riktig.

Vis løsning

Svar

Grafen til

f

skjærer

x

-aksen i

{-4}\text{,}

{-2}\text{,}

4

6\text{,}

med bunnpunktene under og toppunktet over

x

-aksen:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{bunnpunkt i } x \approx -3{,}12}} \\ &\underline{\underline{\text{toppunkt i } x = 1}} \\ &\underline{\underline{\text{bunnpunkt i } x \approx 5{,}12}} \end{aligned}

Fortegnet til \( f'(x) \) forteller om grafen til \( f \) stiger eller synker. Vi leser fortegnet av grafen til \( f' \) og bruker nullpunktene til \( f\text{.} \)

1. Les fortegnet til den deriverte Der grafen til \( f' \) ligger over \( x \)-aksen, er \( {f'(x) > 0}\text{,} \) og grafen til \( f \) stiger. Der den ligger under, er \( {f'(x) < 0}\text{,} \) og grafen til \( f \) synker.

Grafen til \( f' \) skjærer \( x \)-aksen i \( {x \approx -3{,}12}\text{,} \) \( {x = 1} \) og \( {x \approx 5{,}12}\text{.} \) Vi samler fortegnet i en fortegnslinje, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3.12, 1, 5.12], "labels": ["-3{,}12", "1", "5{,}12"], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "(x + 3.12)(x - 1)(x - 5.12)"}]} En strek viser hvor linja er \( 0\text{.} \)

2. Finn topp- og bunnpunktene I et topp- eller bunnpunkt er \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

I \( {\textcolor{magenta}{x \approx -3{,}12}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt. I \( {\textcolor{darkorange}{x = 1}} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus, så der er et toppunkt. I \( {\textcolor{magenta}{x \approx 5{,}12}} \) går den fra minus til pluss igjen, så der er et bunnpunkt.

3. Bruk nullpunktene til f Grafen til \( f \) skjærer \( x \)-aksen i \( {-4}\text{,} \) \( {-2}\text{,} \) \( 4 \) og \( 6\text{.} \) Mellom \( {-4} \) og \( {-2} \) synker grafen fra \( 0 \) ned til bunnpunktet i \( {\textcolor{magenta}{x \approx -3{,}12}} \) og stiger opp til \( 0 \) igjen, så bunnpunktet ligger under \( x \)-aksen.

På samme måte ligger toppunktet i \( {\textcolor{darkorange}{x = 1}} \) over \( x \)-aksen, mellom \( {-2} \) og \( 4\text{,} \) og bunnpunktet i \( {\textcolor{magenta}{x \approx 5{,}12}} \) under, mellom \( 4 \) og \( 6\text{.} \) Til venstre for \( {-4} \) og til høyre for \( 6 \) ligger grafen over \( x \)-aksen.

4. Tegn skissen Skissen viser én graf som passer. Hvor høyt toppunktet ligger og hvor dypt bunnpunktene ligger, kan vi ikke lese av, bare om de ligger over eller under \( x \)-aksen:

Del 2

Med hjelpemidler · 6 oppgaver

Oppgave 1

De siste årene har Lars bodd på Svalbard fra 1. februar til 1. oktober. Hvert år har han målt temperaturen utenfor huset sitt på ulike tidspunkt noen dager hver uke.

Han har funnet at funksjonen

T

gitt ved

\begin{gathered} \begin{aligned} T(x) = 0{,}048x^4 &{}- 1{,}4x^3 + 13{,}36x^2 \\ &{}- 45{,}8x + 35{,}2, \end{aligned} \\ x \in [2, 10] \end{gathered}

er en rimelig bra modell for gjennomsnittstemperaturen

T(x)\,^\circ\text{C}

hvert døgn de månedene han bor på Svalbard, når han lar

{x = 2}

svare til 1. februar,

{x = 3}

til 1. mars,

{x = 4}

til 1. april og så videre.

Oppgave 1a)

Omtrent hvor mange døgn i perioden 1. februar–1. oktober er gjennomsnittstemperaturen over

0\,^\circ\text{C}

ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Ifølge modellen er gjennomsnittstemperaturen over

0\,^\circ\text{C}

fra omtrent 25. mai til omtrent 29. august:

\underline{\underline{\text{Omtrent 96 døgn}}}

Temperaturen er over \( 0\,^\circ\text{C} \) der \( {T(x) > 0}\text{.} \) Vi finner nullpunktene til \( T \) og regner om tiden mellom dem til døgn.

Metode: Med kalkulator

1. Finn hvor T skifter fortegn Vi regner ut \( T(x) \) for hver hele måned med kalkulatoren: \[ \begin{array}{r|r} x & T(x) \\ \hline 2 & -13{,}392 \\ 3 & -15{,}872 \\ 4 & -11{,}552 \\ 5 & -4{,}800 \\ 6 & 1{,}168 \\ 7 & 4{,}288 \\ 8 & 3{,}648 \\ 9 & -0{,}512 \\ 10 & -6{,}800 \end{array} \]\( T(x) \) skifter fortegn mellom \( 5 \) og \( 6 \) og mellom \( 8 \) og \( 9\text{,} \) så der ligger nullpunktene, som i videoen Halveringsmetoden/Midtpunktsmetoden.

2. Snevre inn nullpunktene Vi prøver tideler og så hundredeler rundt fortegnsskiftene: \[ \begin{array}{r|r} x & T(x) \\ \hline 5{,}7 & -0{,}395 \\ 5{,}77 & -0{,}009 \\ 5{,}78 & 0{,}045 \\ 5{,}8 & 0{,}153 \\ \hline 8{,}9 & 0{,}032 \\ 8{,}91 & -0{,}022 \\ 9{,}0 & -0{,}512 \end{array} \]Nullpunktene er \( {\textcolor{blue}{x_1 \approx 5{,}77}} \) og \( {\textcolor{red}{x_2 \approx 8{,}91}}\text{,} \) der \( T(x) \) er nærmest \( 0\text{,} \) og mellom dem er \( {T(x) > 0}\text{.} \)

3. Regn om til døgn \( {x = 5} \) er 1. mai, og mai har 31 døgn. \( {\textcolor{blue}{x_1 \approx 5{,}77}} \) er derfor \( {0{,}77 \cdot 31 \approx 24} \) døgn etter 1. mai, rundt 25. mai. \( {x = 8} \) er 1. august, og \( {\textcolor{red}{x_2 \approx 8{,}91}} \) er \( {0{,}91 \cdot 31 \approx 28} \) døgn etter 1. august, rundt 29. august.

Vi legger sammen resten av mai, juni, juli og den delen av august som er med: \[ \begin{aligned} &(6 - \textcolor{blue}{5{,}77}) \cdot 31 + 30 + 31 \\ &{}+ (\textcolor{red}{8{,}91} - 8) \cdot 31 \\ &\approx 7{,}1 + 30 + 31 + 28{,}2 \\ &\approx 96 \end{aligned} \]Regner vi i stedet med 30 døgn i hver måned, blir det \( {(8{,}91 - 5{,}77) \cdot 30 \approx 94} \) døgn, og det er også et godt svar på «omtrent».

Metode: Med GeoGebra

1. Finn nullpunktene på grafen Vi tegner \( T \) for \( {2 \le x \le 10} \) og finner nullpunktene med Nullpunkt. Grafen skjærer \( x \)-aksen to ganger, så vi leter mellom \( 2 \) og \( 7 \) og mellom \( 7 \) og \( 10\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: T(x) = 0.048x^4 - 1.4x^3 + 13.36x^2 - 45.8x + 35.2, 2 <= x <= 10 A = Nullpunkt(T, 2, 7) B = Nullpunkt(T, 7, 10)

Nullpunktene er \( {A \approx (5{,}7716,\ 0)} \) og \( {B \approx (8{,}9060,\ 0)}\text{,} \) og mellom dem ligger grafen over \( x \)-aksen, slik verdiene mellom to skjæringspunkter leses av i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. \( {x \approx 5{,}77} \) er rundt 25. mai, og \( {x \approx 8{,}91} \) er rundt 29. august, som i kalkulatorruten, altså omtrent 96 døgn.

Oppgave 1b)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene

(3, T(3))

(7, T(7))\text{.}

Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Vis løsning

Svar

Fra 1. mars til 1. juli stiger gjennomsnittstemperaturen i gjennomsnitt med

5{,}04\,^\circ\text{C}

per måned, ifølge modellen:

\underline{\underline{\text{Stigningstallet er } 5{,}04}}

Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( T(3) \) og \( T(7)\text{.} \) Her er \( x \) måneder og \( T(x) \) grader celsius.

Metode: Med kalkulator

1. Regn ut funksjonsverdiene Vi setter inn \( {x = 3} \) og regner ut leddene ett for ett: \[ \begin{aligned} &T(3) \\ &= 3{,}888 - 37{,}8 + 120{,}24 \\ &\quad - 137{,}4 + 35{,}2 \\ &= \textcolor{blue}{-15{,}872} \end{aligned} \]

På samme måte med \( {x = 7}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &T(7) \\ &= 115{,}248 - 480{,}2 + 654{,}64 \\ &\quad - 320{,}6 + 35{,}2 \\ &= \textcolor{red}{4{,}288} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{\textcolor{red}{T(7)} - \textcolor{blue}{T(3)}}{7 - 3} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{\textcolor{red}{4{,}288} - (\textcolor{blue}{-15{,}872})}{4} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{20{,}16}{4} = 5{,}04 \end{aligned} \]

3. Tolk stigningstallet \( T(x) \) er grader celsius og \( x \) er måneder, så stigningstallet er \( 5{,}04\,^\circ\text{C} \) per måned. \( {x = 3} \) er 1. mars, og \( {x = 7} \) er 1. juli. Fra 1. mars til 1. juli stiger gjennomsnittstemperaturen altså med omtrent \( 5\,^\circ\text{C} \) per måned i gjennomsnitt, fra omtrent \( {-15{,}9\,^\circ\text{C}} \) til omtrent \( 4{,}3\,^\circ\text{C}\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( T \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og regner ut stigningstallet med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: T(x) := 0.048x^4 - 1.4x^3 + 13.36x^2 - 45.8x + 35.2 (T(7) - T(3))/(7 - 3)

CAS gir \( 5{,}04\text{.} \) Fra 1. mars til 1. juli stiger gjennomsnittstemperaturen med omtrent \( 5\,^\circ\text{C} \) per måned i gjennomsnitt.

Oppgave 1c)

Bestem nullpunkter og ekstremalpunkter til den deriverte funksjonen

T'\text{.}

Gjør rede for hva koordinatene til hvert av punktene forteller om gjennomsnittstemperaturen utenfor huset til Lars.

Vis løsning

Svar

Det er kaldest og varmest i nullpunktene til

T'\text{,}

og temperaturen stiger raskest i toppunktet og synker raskest om høsten i bunnpunktet (avrundet til to desimaler):

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{nullpunkt: } (2{,}76,\ 0)}} \\ &\underline{\underline{\text{nullpunkt: } (7{,}33,\ 0)}} \\ &\underline{\underline{\text{toppunkt: } (4{,}69,\ 6{,}94)}} \\ &\underline{\underline{\text{bunnpunkt: } (9{,}90,\ -6{,}62)}} \end{aligned}

Nullpunktene til \( T' \) er der temperaturen slutter å synke eller stige, og i topp- og bunnpunktet til \( T' \) stiger eller synker den raskere enn i dagene rundt. Vi finner dem med \( T' \) og \( T''\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Deriver modellen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/Formler.

Vi deriverer ledd for ledd, og konstanten \( 35{,}2 \) blir \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} T'(x) &= 0{,}192x^3 - 4{,}2x^2 \\ &\quad + 26{,}72x - 45{,}8 \end{aligned} \]\( T'(x) \) er hvor mange grader temperaturen endrer seg per måned.

2. Finn nullpunktene til den deriverte \( {T'(x) = 0} \) er en tredjegradslikning, så vi snevrer inn nullpunktene med en verditabell, som i videoen Halveringsmetoden/Midtpunktsmetoden: \[ \begin{array}{r|r} x & T'(x) \\ \hline 2 & -7{,}624 \\ 2{,}76 & -0{,}010 \\ 2{,}77 & 0{,}069 \\ 3 & 1{,}744 \\ \hline 7 & 1{,}296 \\ 7{,}33 & 0{,}012 \\ 7{,}34 & -0{,}027 \\ 8 & -2{,}536 \end{array} \]Nullpunktene er omtrent \( (2{,}76,\ 0) \) og \( (7{,}33,\ 0)\text{.} \) Der er \( {T(2{,}76) \approx -16{,}1} \) og \( {T(7{,}33) \approx 4{,}5}\text{.} \)

3. Finn ekstremalpunktene til den deriverte I et topp- eller bunnpunkt på grafen til \( T' \) er den deriverte av \( T'\text{,} \) som vi skriver \( T''\text{,} \) lik \( 0\text{.} \) Vi deriverer \( T' \) ledd for ledd: \[ T''(x) = 0{,}576x^2 - 8{,}4x + 26{,}72 \]Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0{,}576}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-8{,}4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{26{,}72}}\text{.} \) Under rottegnet får vi: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{-8{,}4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{0{,}576} \cdot \textcolor{green}{26{,}72} \\ &= 70{,}56 - 61{,}56288 = 8{,}99712 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{8{,}4 \pm \sqrt{8{,}99712}}{1{,}152} \]Det gir \( {x \approx 4{,}69} \) og \( {x \approx 9{,}90}\text{,} \) med \( {T'(4{,}69) \approx 6{,}94} \) og \( {T'(9{,}90) \approx -6{,}62}\text{.} \) \( T' \) har positivt tall foran \( x^3\text{,} \) så grafen stiger til toppunktet \( (4{,}69,\ 6{,}94)\text{,} \) synker til bunnpunktet \( {(9{,}90,\ -6{,}62)} \) og stiger igjen, men bare til \( {T'(10) = -6{,}6}\text{.} \) Derfor har \( T' \) bare to nullpunkter i \( [2, 10]\text{.} \) På grafen til \( T \) kalles disse punktene vendepunkter.

4. Tolk punktene \( {x = 2} \) er 1. februar, \( {x = 3} \) er 1. mars og så videre.

\( (2{,}76,\ 0)\text{:} \) rundt 22. februar slutter temperaturen å synke. Det er det kaldeste døgnet, omtrent \( {-16{,}1\,^\circ\text{C}}\text{.} \)

\( (7{,}33,\ 0)\text{:} \) rundt 11. juli slutter temperaturen å stige. Det er det varmeste døgnet, omtrent \( 4{,}5\,^\circ\text{C}\text{.} \)

\( (4{,}69,\ 6{,}94)\text{:} \) rundt 22. april stiger temperaturen raskest, med omtrent \( 6{,}9\,^\circ\text{C} \) per måned.

\( {(9{,}90,\ -6{,}62)}\text{:} \) rundt 28. september synker temperaturen raskest om høsten, med omtrent \( 6{,}6\,^\circ\text{C} \) per måned. Helt i starten, 1. februar, synker den litt raskere, \( {T'(2) \approx -7{,}6}\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Finn punktene på grafen til T′ Vi lager \( T' \) av \( T \) med Derivert, og finner nullpunktene med Nullpunkt og topp- og bunnpunktet med Ekstremalpunkt, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Vi leter i hvert sitt intervall:

Skriv inn i GeoGebra: T(x) = 0.048x^4 - 1.4x^3 + 13.36x^2 - 45.8x + 35.2, 2 <= x <= 10 T'(x) = Derivert(T) N_1 = Nullpunkt(T', 2, 5) N_2 = Nullpunkt(T', 5, 10) E_1 = Ekstremalpunkt(T', 2, 7) E_2 = Ekstremalpunkt(T', 7, 10)

GeoGebra gir nullpunktene \( {N_1 \approx (2{,}7613,\ 0)} \) og \( {N_2 \approx (7{,}3331,\ 0)}\text{,} \) toppunktet \( {E_1 \approx (4{,}6879,\ 6{,}9402)} \) og bunnpunktet \( {E_2 \approx (9{,}8954,\ -6{,}6166)}\text{.} \) Som i kalkulatorruten er det kaldest rundt 22. februar og varmest rundt 11. juli, og temperaturen stiger raskest rundt 22. april og synker raskest om høsten rundt 28. september.

Oppgave 2

En gruppe speidere har slått opp telt ved en elv. De har et tau som er

80\,\text{m}

langt, og fire pinner. Tauet og pinnene skal de bruke til å sette opp et gjerde rundt teltet. Området de gjerder inn, skal ha form som et rektangel, og de vil ikke sette opp gjerde langs elven. Se skissen ovenfor.

Oppgave 2a)

Hvor stort blir arealet av området dersom de velger at lengden skal være 60 meter?

Vis løsning

Svar

Med lengde 60 m og bredde 10 m blir arealet:

\underline{\underline{600\,\text{m}^2}}

Det er ikke gjerde langs elven, så tauet går langs én lengde og to bredder. Med lengden 60 m finner vi bredden, og arealet er lengde ganger bredde.

Metode: For hånd

1. Finn bredden Tauet er 80 m og går langs lengden \( 60 \) m og de to breddene \( \textcolor{blue}{b}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 60 + 2\textcolor{blue}{b} &= 80 \\ 2\textcolor{blue}{b} &= 20 \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{10} \end{aligned} \]

2. Regn ut arealet Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, som i videoen Areal og Omkrets. Tallene og enhetene ganges hver for seg, og \( {\text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^2}\text{:} \) \[ A = 60\,\text{m} \cdot \textcolor{blue}{10}\,\text{m} = 600\,\text{m}^2 \]

Herman påstår at arealet av området blir størst dersom lengden er dobbelt så lang som bredden.

Oppgave 2b)

Lag en systematisk oversikt som viser arealet av ulike områder som de kan gjerde inn. Bruk oversikten til å argumentere for at Herman sin påstand kan være riktig.

Vis løsning

Svar

Arealet i oversikten er størst,

800\,\text{m}^2\text{,}

når lengden er dobbelt så lang som bredden, så Herman kan ha rett:

\underline{\underline{\text{Bredde } 20\,\text{m}, \text{ lengde } 40\,\text{m}}}

For hver bredde gir tauet lengden. Vi regner ut arealet for bredder fra 5 m til 35 m og ser hvilken bredde som gir størst areal.

Metode: For hånd

1. Sett opp lengden og arealet Med bredden \( \textcolor{blue}{b} \) og lengden \( \textcolor{red}{l} \) går tauet langs én lengde og to bredder: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{l} + 2\textcolor{blue}{b} &= 80 \\ \textcolor{red}{l} &= 80 - 2\textcolor{blue}{b} \end{aligned} \]Arealet er \( {A = \textcolor{red}{l} \cdot \textcolor{blue}{b}}\text{,} \) som i videoen Areal og Omkrets.

2. Lag oversikten Vi regner ut lengden og arealet for bredder med 5 m mellom: \[ \begin{array}{r|r|r} \textcolor{blue}{b}\ (\text{m}) & \textcolor{red}{l}\ (\text{m}) & A\ (\text{m}^2) \\ \hline 5 & 70 & 350 \\ 10 & 60 & 600 \\ 15 & 50 & 750 \\ 20 & 40 & 800 \\ 25 & 30 & 750 \\ 30 & 20 & 600 \\ 35 & 10 & 350 \end{array} \]Arealet øker fram til bredden 20 m og minker etterpå, og tabellen er symmetrisk om 20 m.

3. Sammenlign med påstanden Det største arealet i oversikten, \( 800\,\text{m}^2\text{,} \) har bredden \( \textcolor{blue}{20} \) m og lengden \( \textcolor{red}{40} \) m. Der er lengden dobbelt så lang som bredden, så Herman kan ha rett. Oversikten viser bare noen bredder, så den kan ikke bevise påstanden. Det gjør vi i c).

Metode: Med regneark

1. Lag oversikten i regnearket Vi skriver overskriftene i rad 1 og den første bredden, \( 5\text{,} \) i A2. Tauet går langs to bredder og én lengde, så lengden er \( 80 \) minus to bredder, og arealet er lengde ganger bredde: \[ \begin{aligned} \text{A3:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=A2+5}} \\ \text{B2:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=80-2*A2}} \\ \text{C2:}\quad & \texttt{=A2*B2} \end{aligned} \]Vi drar A3 ned til A8, og B2 og C2 ned til rad 8, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Arealet er størst, \( 800\,\text{m}^2\text{,} \) i rad 5, der bredden er \( \textcolor{blue}{20}\,\text{m} \) og lengden \( \textcolor{red}{40}\,\text{m}\text{,} \) dobbelt så lang som bredden. Arealet minker likt på begge sider av rad 5, så oversikten viser at Herman sin påstand kan være riktig.

Josefine lurer på om de kan tegne en graf som viser at Herman har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.

Oppgave 2c)

Sett opp et funksjonsuttrykk for Josefine. Tegn grafen og vis at Hermann sin påstand er riktig.

Vis løsning

Svar

Med bredden

x

meter er arealet størst,

800\,\text{m}^2\text{,}

for bredde 20 m og lengde 40 m, som Herman påstår:

\underline{\underline{A(x) = x(80 - 2x),\ 0 < x < 40}}

Vi bruker oversikten fra b).

Vi uttrykker arealet med bredden \( x \) og finner toppunktet til arealfunksjonen. Der er arealet størst, og der sjekker vi forholdet mellom lengden og bredden.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp funksjonsuttrykket Med bredden \( \textcolor{blue}{x} \) er lengden \( {\textcolor{red}{80 - 2x}}\text{,} \) og arealet er lengde ganger bredde, slik arealet settes opp som et uttrykk i \( x \) i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ A(x) = \textcolor{blue}{x}(\textcolor{red}{80 - 2x}) = 80x - 2x^2 \]Bredden og lengden må være større enn \( 0\text{,} \) så \( {0 < x < 40}\text{.} \)

2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der \( {A'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/Formler.

Vi deriverer ledd for ledd og setter lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} A'(x) &= 80 - 4x = 0 \\ x &= 20 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og \( {x = 20} \) er et toppunkt. Der er \( {A(20) = 20 \cdot 40 = 800}\text{.} \)

3. Tegn grafen Vi regner ut \( A(x) \) for \( {x = 5, 10, \ldots, 35}\text{,} \) som i oversikten i b), og tegner grafen gjennom punktene:

Med bredden \( \textcolor{blue}{20} \) m er lengden \( {\textcolor{red}{80 - 2 \cdot 20 = 40}} \) m, dobbelt så lang som bredden. Hermans påstand er riktig.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn toppunktet på grafen Vi tegner \( A \) for \( {0 < x < 40} \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = x*(80 - 2x), 0 < x < 40 T = Maks(A, 0, 40)

Toppunktet er \( {T = (20, 800)}\text{.} \) Arealet er størst, \( 800\,\text{m}^2\text{,} \) når bredden er 20 m og lengden \( {80 - 2 \cdot 20 = 40} \) m, dobbelt så lang som bredden. Hermans påstand er riktig.

Oppgave 3

I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.

Bestem arealet. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

Vis løsning

Svar

Med arealsetningen og cosinussetningen er arealet av firkanten, avrundet til én desimal,

\underline{\underline{T \approx 50{,}8}}

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i trekantene \( ABC \) og \( ACD\text{.} \) Vi finner arealene med arealsetningen, og \( AC \) og vinkel \( D \) med cosinussetningen.

Metode: Med kalkulator

1. Finn arealet av trekant ABC Vi deler firkanten i to trekanter og legger sammen arealene, som i videoen Oppgave 12B + C (Cosinussetningen + Arealsetningen). Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

I trekant \( ABC \) er vinkelen \( \textcolor{green}{75^\circ} \) mellom \( {\textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{10}} \) og \( {\textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{5}}\text{:} \) \[ T_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{10} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \sin \textcolor{green}{75^\circ} \approx 24{,}15 \]

2. Finn AC med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden \( AC\text{,} \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{B} \) mellom \( \textcolor{red}{AB} \) og \( \textcolor{blue}{BC}\text{,} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{AB}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos \textcolor{green}{B} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{10}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{5} \) og \( \textcolor{green}{75^\circ}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{10}^2 + \textcolor{blue}{5}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{10} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \cos \textcolor{green}{75^\circ} \\ AC^2 &\approx 99{,}12 \end{aligned} \]

3. Finn vinkel D med cosinussetningen I trekant \( ACD \) kjenner vi nå alle tre sidene, så vi finner vinkel \( D \) med cosinussetningen, som i videoen Oppgave 12B + C (Cosinussetningen + Arealsetningen). Nå står \( AC \) mot vinkelen \( D \) mellom \( {\textcolor{red}{AD} = \textcolor{red}{6}} \) og \( {\textcolor{blue}{CD} = \textcolor{blue}{9}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{6}^2 + \textcolor{blue}{9}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{blue}{9} \cdot \cos D \\ 99{,}12 &\approx 117 - 108 \cos D \\ \cos D &\approx \dfrac{117 - 99{,}12}{108} \approx 0{,}1656 \end{aligned} \]Vinkelen finner vi med \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren: \[ D \approx \cos^{-1}(0{,}1656) \approx 80{,}47^\circ \]

4. Legg sammen arealene I trekant \( ACD \) er vinkelen \( D \) mellom \( \textcolor{red}{6} \) og \( \textcolor{blue}{9}\text{:} \) \[ T_{ACD} \approx \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{blue}{9} \cdot \sin 80{,}47^\circ \approx 26{,}63 \]

Slår vi sammen de to arealene, får vi: \[ T \approx 24{,}15 + 26{,}63 = 50{,}78 \]

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi regner ut \( AC \) og vinkel \( D \) med cosinussetningen og de to arealene med arealsetningen, med knappen ≈. Kommandoen arccosd gir vinkelen i grader:

Skriv inn i GeoGebra: AC := sqrt(10^2 + 5^2 - 2*10*5*cos(75°)) D := arccosd((6^2 + 9^2 - AC^2)/(2*6*9)) 1/2*10*5*sin(75°) + 1/2*6*9*sin(D)

CAS gir \( {AC \approx 9{,}9558}\text{,} \) \( {D \approx 80{,}4695^\circ} \) og arealet \( 50{,}7755\text{,} \) altså omtrent \( 50{,}8\text{.} \)

Oppgave 4

Til høyre ser du grafen til funksjonen

f

gitt ved

f(x) = \dfrac{1}{9}(x + 1)(x - 6)^2

Thea ønsker å bestemme en tilnærmet verdi for arealet av det grønne området som er avgrenset av

y

-aksen,

x

-aksen og grafen til

f\text{.}

Hun vil gjøre dette ved å legge sammen arealene av små rektangler. Hun begynner som vist på figur 2 og figur 3 nedenfor og vil så øke antall rektangler for å få en bedre tilnærming.

Oppgave 4a)

Bestem arealet av de seks rektanglene i figur 2.

Vis løsning

Svar

Arealet av de seks rektanglene er, avrundet til to desimaler,

\underline{\underline{A = \dfrac{196}{9} \approx 21{,}78}}

Hvert rektangel i figur 2 har bredde 1 og er like høyt som grafen i sin venstre kant. Vi regner ut høydene med \( f \) og legger sammen arealene.

Metode: For hånd

1. Finn høydene Rektanglene i figur 2 går fra \( {x = 0} \) til \( {x = 6} \) og har bredde \( \textcolor{blue}{1}\text{.} \) Det øvre venstre hjørnet ligger på grafen, så høyden er \( f \) i venstre kant, slik rektanglene lages i videoen Riemann sum: \[ \begin{aligned} f(0) &= \dfrac{1}{9} \cdot 1 \cdot 36 = \textcolor{red}{\dfrac{36}{9}} \\ f(1) &= \dfrac{1}{9} \cdot 2 \cdot 25 = \textcolor{red}{\dfrac{50}{9}} \\ f(2) &= \dfrac{1}{9} \cdot 3 \cdot 16 = \textcolor{red}{\dfrac{48}{9}} \\ f(3) &= \dfrac{1}{9} \cdot 4 \cdot 9 = \textcolor{red}{\dfrac{36}{9}} \\ f(4) &= \dfrac{1}{9} \cdot 5 \cdot 4 = \textcolor{red}{\dfrac{20}{9}} \\ f(5) &= \dfrac{1}{9} \cdot 6 \cdot 1 = \textcolor{red}{\dfrac{6}{9}} \end{aligned} \]

2. Legg sammen arealene Hvert rektangel har arealet bredde ganger høyde, \( {\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{f(x)}}\text{.} \) Slår vi dem sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{\textcolor{red}{36} + \textcolor{red}{50} + \textcolor{red}{48} + \textcolor{red}{36} + \textcolor{red}{20} + \textcolor{red}{6}}{9} \\ A &= \dfrac{196}{9} \approx 21{,}78 \end{aligned} \]

Oppgave 4b)

Lag et program som Thea kan bruke når hun skal øke antallet rektangler. Du kan for eksempel begynne som vist nedenfor.

Vis løsning

Svar

Bredden er lengden av intervallet delt på antall rektangler. Programmet går gjennom rektanglene ett for ett og legger til bredde ganger høyden i venstre kant.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, linje for linje.

Metode: Med Python

1. Skriv programmet Programmet står i svaret, og linje 1 til 7 er Theas start. Linje 9 regner ut bredden av hvert rektangel, som \( \Delta x \) i videoen Riemann sum: \[ \textcolor{blue}{\text{bredde}} = \dfrac{x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}}{n} \]Med \( {n = 6000} \) er bredden \( {\dfrac{6 - 0}{6000} = 0{,}001}\text{.} \)

Linje 11 setter summen til \( 0\text{.} \) Løkka i linje 12 går gjennom de \( n \) rektanglene, slik løkka legger sammen arealer i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Rektangel nummer \( i \) har venstre kant i \( {x = x_{\text{min}} + i \cdot \textcolor{blue}{\text{bredde}}} \) (linje 13), og linje 14 legger til arealet \( {\textcolor{red}{f(x)} \cdot \textcolor{blue}{\text{bredde}}}\text{,} \) som i a). Linje 16 skriver ut summen. Thea øker antallet rektangler ved å endre \( n \) i linje 7.

Kontroll: Med \( {n = 6} \) i linje 7 skriver programmet ut \( 21{,}777\ldots\text{,} \) det samme som i a).

Oppgave 4c)

Bruk programmet til å bestemme arealet dersom hun bruker 6000 rektangler.

Vis løsning

Svar

Med 6000 rektangler gir programmet, avrundet til tre desimaler,

\underline{\underline{A \approx 20{,}002}}

Vi bruker programmet fra b).

Programmet fra b) har \( {n = 6000} \) i linje 7. Vi kjører det og leser av utskriften.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Du kan likevel forklare at med 6000 rektangler, hvert bare \( 0{,}001 \) bredt, ligger summen svært nær arealet av det grønne området.

Metode: Med Python

1. Kjør programmet Vi kjører programmet fra b), med \( {n = 6000} \) i linje 7. Det skriver ut:

Med \( \textcolor{green}{6000} \) rektangler er arealet altså omtrent \( \textcolor{green}{20{,}002}\text{.} \) Med \( \textcolor{blue}{6} \) rektangler fikk vi \( \textcolor{blue}{21{,}78} \) i a), og med de \( \textcolor{red}{12} \) i figur 3 blir det omtrent \( \textcolor{red}{20{,}94}\text{.} \)

Rektanglene gir et estimat av arealet under grafen, som i videoen Riemann sum. Jo smalere rektangler, desto bedre følger de grafen, og desto nærmere kommer summen arealet av det grønne området.

Oppgave 5

Punktene

A\text{,}

B

C

ligger på en sirkel med sentrum i

S

og radius

r\text{.}

{\angle SBA = 30^\circ}

{\angle BSC = 90^\circ}

Arealet av

\triangle ABC

{2\sqrt{3} + 6}

Se figuren ovenfor.

Bestem en eksakt verdi for

r\text{.}

Vis løsning

Svar

Med vinklene

90^\circ\text{,}

120^\circ

150^\circ

ved

S

er arealet

{\dfrac{3 + \sqrt{3}}{4}\, r^2}\text{,}

\underline{\underline{r = 2\sqrt{2}}}

Radiene deler trekant \( ABC \) i tre trekanter med to sider \( r\text{.} \) Vi finner vinklene ved \( S\text{,} \) uttrykker arealet med arealsetningen og løser for \( r\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Finn vinklene ved S \( SA \) og \( SB \) er begge radier, så trekant \( SAB \) er likebeint, og vinklene ved \( A \) og \( B \) er like store, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Vinkelsummen gir: \[ \angle ASB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = \textcolor{blue}{120^\circ} \]

Vinklene rundt \( S \) er til sammen \( 360^\circ\text{,} \) og \( {\angle BSC = \textcolor{red}{90^\circ}}\text{:} \) \[ \angle CSA = 360^\circ - \textcolor{blue}{120^\circ} - \textcolor{red}{90^\circ} = \textcolor{green}{150^\circ} \]Alle tre vinklene er mindre enn \( 180^\circ\text{,} \) så \( S \) ligger inne i trekanten, og trekantene \( SAB\text{,} \) \( SBC \) og \( SCA \) fyller trekant \( ABC\text{.} \)

2. Sett opp arealet Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( v \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin v \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I alle tre trekantene er sidene \( r \) og \( r\text{.} \) Sinusgrafen er symmetrisk om \( 90^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 5C - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, så \( {\sin \textcolor{blue}{120^\circ} = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) og \( {\sin \textcolor{green}{150^\circ} = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Verdien av \( \sin 60^\circ \) vises i videoen Oppgave 13B (Enkel trigonometri). Vi regner ut de tre arealene hver for seg: \[ \begin{aligned} T_{SBC} &= \dfrac{1}{2} r^2 \sin \textcolor{red}{90^\circ} = \dfrac{2}{4} r^2 \\ T_{SAB} &= \dfrac{1}{2} r^2 \sin \textcolor{blue}{120^\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} r^2 \\ T_{SCA} &= \dfrac{1}{2} r^2 \sin \textcolor{green}{150^\circ} = \dfrac{1}{4} r^2 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{2 + \sqrt{3} + 1}{4}\, r^2 \\ T_{ABC} &= \dfrac{3 + \sqrt{3}}{4}\, r^2 \end{aligned} \]

3. Løs for r Arealet skal være \( {2\sqrt{3} + 6 = 2(3 + \sqrt{3})}\text{:} \) \[ \dfrac{3 + \sqrt{3}}{4}\, r^2 = 2(3 + \sqrt{3}) \]Vi ganger med \( 4 \) og deler på \( {3 + \sqrt{3}} \) på begge sider. Radien er positiv, så: \[ \begin{aligned} r^2 &= 8 \\ r &= \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS Vinklene ved \( S \) er \( 120^\circ\text{,} \) \( 90^\circ \) og \( 150^\circ\text{,} \) som i ruten for hånd. Vi setter summen av de tre arealene lik \( {2\sqrt{3} + 6} \) og løser for \( r \) med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(1/2*r^2*sin(90°) + 1/2*r^2*sin(120°) + 1/2*r^2*sin(150°) = 2*sqrt(3) + 6, r)

CAS gir \( {r = -2\sqrt{2}} \) og \( {r = 2\sqrt{2}}\text{.} \) En radius er positiv, så \( {r = 2\sqrt{2}}\text{.} \)

Oppgave 6

Trym og Eira arbeider med oppgaven nedenfor.

Funksjonen

f

er gitt ved

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til

f\text{.}

Trym: «Jeg ser med én gang at grafen må ha et topp- eller bunnpunkt som ligger på

y

-aksen.»

Eira: «Hvordan ser du det?»

Trym: «Funksjonsuttrykket har ikke et førstegradsledd. Da må det være slik.»

Eira: «Hvorfor det? Vil det alltid være slik?»

Trym: «Ja, i alle fall for alle tredjegradsfunksjoner. Det har jeg lært meg.»

Eira: «Men det er jo ikke slik for grafen til

x^3\text{.}

Trym: «Æsj! Det stemmer.»

Eira: «Det kan jo hende du har litt rett likevel, men at det er noe mer vi må se etter?»

Oppgave 6a)

Løs oppgaven elevene arbeider med.

Vis løsning

Svar

Grafen til

f

har

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{toppunkt } (0, 2)}} \\ &\underline{\underline{\text{bunnpunkt } (2, -2)}} \end{aligned}

Topp- og bunnpunktene ligger der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Vi deriverer, faktoriserer og ser på fortegnet til \( f'(x) \) på hver side.

Metode: For hånd

1. Deriver funksjonen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/Formler.

Vi deriverer ledd for ledd, og konstanten \( 2 \) blir \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]

2. Sett den deriverte lik null I et topp- eller bunnpunkt er \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Vi faktoriserer ut \( 3x\text{:} \) \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{3x}(\textcolor{magenta}{x - 2}) = 0 \]Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{,} \) så \( {x = 0} \) eller \( {x = 2}\text{.} \)

3. Sett opp et fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{3x}", "expr": "3x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "f'(x)", "expr": "3x(x - 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 2} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss, så der er et bunnpunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 - 0 + 2 = 2 \\ f(2) &= 8 - 12 + 2 = -2 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Finn punktene på grafen Vi tegner \( f \) og finner topp- og bunnpunktet med Ekstremalpunkt, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 Ekstremalpunkt(f)

GeoGebra gir \( {A = (0, 2)} \) og \( {B = (2, -2)}\text{.} \) Grafen stiger fram til \( A\text{,} \) synker fram til \( B \) og stiger igjen, så \( A \) er toppunktet og \( B \) bunnpunktet.

Oppgave 6b)

Ta utgangspunkt i dialogen ovenfor. Utforsk og kommenter Trym sin «regel».

Vis løsning

Svar

For

{f(x) = ax^3 + bx^2 + d}

uten førstegradsledd er

{f'(0) = 0}\text{,}

og Trym har rett bare når

{b \neq 0}\text{:}

\begin{aligned} &\underline{\underline{b \neq 0\text{: topp- eller bunnpunkt}}} \\ &\underline{\underline{b = 0\text{: terrassepunkt}}} \end{aligned}

Vi bruker toppunktet fra a) som eksempel.

Trym sier at en tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd har et topp- eller bunnpunkt på \( y \)-aksen. Vi deriverer en slik funksjon generelt og ser når \( f'(x) \) skifter fortegn i \( {x = 0}\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Deriver en tredjegradsfunksjon En tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd kan skrives: \[ f(x) = ax^3 + \textcolor{blue}{b}x^2 + d, \quad a \neq 0 \]Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/Formler, blir: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2\textcolor{blue}{b}x = x(3ax + 2\textcolor{blue}{b}) \]

Altså er \( {f'(0) = 0}\text{:} \) grafen har en vannrett tangent der den skjærer \( y \)-aksen, i \( (0, d)\text{.} \) Så langt har Trym rett.

2. Se når den deriverte skifter fortegn Et topp- eller bunnpunkt krever at \( f'(x) \) skifter fortegn, som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Nær \( {x = 0} \) er \( {3ax + 2\textcolor{blue}{b}} \) nesten lik \( 2\textcolor{blue}{b}\text{.} \) Er \( {\textcolor{blue}{b} \neq 0}\text{,} \) har \( f'(x) \) da samme fortegn som \( 2\textcolor{blue}{b}x\text{,} \) og det skifter i \( {x = 0}\text{.} \) For \( {\textcolor{blue}{b} < 0} \) går det fra pluss til minus, og for \( {\textcolor{blue}{b} > 0} \) fra minus til pluss: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{b} < 0\text{: toppunkt i } (0, d) \\ &\textcolor{blue}{b} > 0\text{: bunnpunkt i } (0, d) \end{aligned} \]I a) er \( {\textcolor{blue}{b} = -3}\text{,} \) og \( (0, 2) \) er et toppunkt.

3. Finn unntaket Er \( {\textcolor{blue}{b} = 0}\text{,} \) som for \( x^3\text{,} \) blir \( {f'(x) = 3ax^2}\text{.} \) Den har samme fortegn på begge sider av \( {x = 0}\text{,} \) så grafen har ikke et topp- eller bunnpunkt der, men et terrassepunkt, som i videoen Oppgave 6A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Det er dette Eira ser.

Har funksjonen et førstegradsledd \( cx \) med \( {c \neq 0}\text{,} \) er \( {f'(0) = c \neq 0}\text{,} \) og da er det aldri et topp- eller bunnpunkt på \( y \)-aksen. Trym sin «regel» trenger altså én ting til: andregradsleddet må være med.

Ferdig med settet? Se de andre 1T-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.