Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

1T eksamen høsten 2023

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 5 oppgaver

Oppgave 1

En likesidet trekant har sidelengder 2. Se figuren til høyre.
Bruk trekanten til å vise at
cos⁡60∘=12 \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}
Vis løsning på oppgave 1

Svar

I den halve trekanten ligger kateten 1 inntil 60∘, 60^\circ\text{,} og hypotenusen er 2, så
cos⁡60∘=12‾‾ \underline{\underline{\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}}}
Høyden fra toppen deler den likesidede trekanten i to rettvinklede trekanter. I den ene bruker vi definisjonen av cosinus.
1. Del trekanten med høyden Alle vinklene i en likesidet trekant er like store, og vinkelsummen er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]
Vi tegner høyden fra toppen ned på grunnlinja. Trekanten er symmetrisk om høyden, så høyden deler grunnlinja på midten, i to deler som er \( \textcolor{red}{1}\text{.} \) Hypotenusen i hver halvdel er en side i trekanten, \( \textcolor{blue}{2}\text{:} \)
2. Bruk definisjonen av cosinus Definisjonen av cosinus forteller oss at for en spiss vinkel \( v \) i en rettvinklet trekant er: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{red}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.
I den venstre halvdelen ligger kateten \( \textcolor{red}{1} \) inntil vinkelen \( 60^\circ\text{,} \) og hypotenusen er \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \cos 60^\circ = \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \]Vi gjør det samme som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, der trekanten gir \( \sin 45^\circ\text{.} \)

Oppgave 2

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=x3+2x2−5x−6 f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6
I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen x x -aksen?
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Grafen skjærer x x -aksen i tre punkter:
(−3,0),(−1,0)og(2,0)‾‾ \underline{\underline{(-3, 0), \quad (-1, 0) \quad \text{og} \quad (2, 0)}}
Grafen skjærer \( x \)-aksen der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Vi prøver oss fram til én løsning, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.
1. Prøv små heltall Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 \]
Dette er del 1, så en av løsningene er nok et lite heltall. Vi prøver oss fram, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} f(1) &= 1 + 2 - 5 - 6 = -8 \\ f(-1) &= -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \end{aligned} \]
Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ f(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{f(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = -1} \) er \( {x - r = x + 1}\text{,} \) så divisjonen \( {f(x) : (x + 1)} \) går opp, som i videoen Nullpunktssetningen.
2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( f(x) \) på \( {(x + 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 2x^2 - 5x - 6) : (\textcolor{green}{x} + 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.
Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x + 1) &= x^3 + x^2 \\ -(x^3 + x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 - x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) : (\textcolor{green}{x} + 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 5x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- x^2} & & \\ \hline & x^2 & {}- 5x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {2x^2 - x^2 = x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-5x} \) og \( {-6}\text{.} \)
Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{x} \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot (x + 1) &= x^2 + x \\ -(x^2 + x) &= \textcolor{magenta}{-x^2 - x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) : (\textcolor{green}{x} + 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 5x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}- 5x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & -6x & {}- 6 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {-5x - x = -6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-6}\text{.} \) Linja \( {-6x - 6} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.
Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-6x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-6x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-6} \\ \textcolor{blue}{-6} \cdot (x + 1) &= -6x - 6 \\ -(-6x - 6) &= \textcolor{blue}{6x + 6} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) : (\textcolor{green}{x} + 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \textcolor{blue}{{}- 6} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 5x & {}- 6 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}- 5x & {}- 6 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-6x}} & {}- 6 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{6x}} & \textcolor{blue}{{}+ 6} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-6x} \) strykes mot \( 6x\text{,} \) og \( {-6 + 6 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \\ &= (x + 1)(x^2 + x - 6) \end{aligned} \]
3. Løs andregradslikningen Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x + 1} \) gir \( {x = -1}\text{,} \) og \( {x^2 + x - 6 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = 2} \) eller \( {x = -3}\text{.} \) Nullpunktene er altså \( {-3}\text{,} \) \( {-1} \) og \( 2\text{.} \)

Oppgave 3

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=x3−3x2−x+4 f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 4
Bestem likningen for tangenten til grafen til f f i punktet (1,f(1)). (1, f(1))\text{.}
Vis løsning på oppgave 3

Svar

y=−4x+5‾‾ \underline{\underline{y = -4x + 5}}
Tangenten er en rett linje gjennom \( (1, f(1))\text{.} \) Stigningstallet er den deriverte i \( {x = 1}\text{,} \) og konstantleddet finner vi med punktet.
1. Finn punktet Vi setter \( {x = 1} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 1 + 4 = 1 \]Punktet er \( (1, 1)\text{.} \)
2. Finn stigningstallet Stigningstallet til tangenten er \( f'(1)\text{,} \) som i videoen Tangentlinje. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd, og konstanten \( 4 \) blir \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x - 1 \\ f'(1) &= 3 - 6 - 1 = \textcolor{red}{-4} \end{aligned} \]
3. Finn konstantleddet En rett linje har stigningstallet \( \textcolor{red}{a} \) og konstantleddet \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) som i videoen Tangentlinje: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]
Her er \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{-4}}\text{,} \) og linja går gjennom \( (1, 1)\text{.} \) Setter vi inn \( {x = 1} \) og \( {y = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 1 &= \textcolor{red}{-4} \cdot 1 + \textcolor{blue}{b} \\ \textcolor{blue}{b} &= 1 + 4 = \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]Tangenten er derfor \( {y = -4x + 5}\text{.} \)

Oppgave 4

Hvilken av de to trekantene har størst areal?
Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Sidene er like lange, og sin⁡32∘>sin⁡150∘, {\sin 32^\circ > \sin 150^\circ}\text{,} så størst areal har
trekanten med 32∘‾‾ \underline{\underline{\text{trekanten med } 32^\circ}}
Trekantene har like lange sider rundt vinkelen. Da er det sinus til vinkelen som avgjør hvilken som har størst areal.
1. Sammenlign arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( v \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin v \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
I begge trekantene er \( {a = 6} \) og \( {b = 6}\text{.} \) Vinkelen mellom dem er \( \textcolor{red}{150^\circ} \) i den venstre og \( \textcolor{blue}{32^\circ} \) i den høyre: \[ \begin{aligned} T_{\text{venstre}} &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin \textcolor{red}{150^\circ} \\ T_{\text{høyre}} &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin \textcolor{blue}{32^\circ} \end{aligned} \]Alt er likt bortsett fra sinusverdien, så trekanten med størst sinusverdi har størst areal, som i videoen Oppgave 5C - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.
2. Sammenlign sinusverdiene Grafen til sinus fra \( 0^\circ \) til \( 180^\circ \) er symmetrisk om \( 90^\circ\text{,} \) og jo lenger fra \( 90^\circ \) vi går, desto mindre blir sinusverdien, som i videoen Oppgave 5C - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025:
Vinklene ligger så langt fra \( 90^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} 90^\circ - \textcolor{blue}{32^\circ} &= 58^\circ \\ \textcolor{red}{150^\circ} - 90^\circ &= 60^\circ \end{aligned} \]\( \textcolor{red}{150^\circ} \) ligger lengst fra \( 90^\circ\text{,} \) så \( {\sin \textcolor{red}{150^\circ} < \sin \textcolor{blue}{32^\circ}}\text{.} \) Dermed er \( {T_{\text{venstre}} < T_{\text{høyre}}}\text{.} \)
Alternativ metode: Sinus til en stump vinkel Mange lærebøker bruker at \( {\sin(180^\circ - v) = \sin v}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \sin 150^\circ &= \sin(180^\circ - 150^\circ) \\ \sin 150^\circ &= \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Sinus vokser fra \( 0^\circ \) til \( 90^\circ\text{,} \) så \( {\sin 32^\circ > \sin 30^\circ}\text{.} \) Den venstre trekanten har arealet \( {\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 9}\text{,} \) og den høyre har mer. Regelen er rask når du husker den, og grafen viser hvorfor den stemmer.

Oppgave 5

Funksjonene f f og g g er gitt ved
f(x)=2x−8x+2g(x)=x2−4(x−3)(x+3) \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{2x - 8}{x + 2} \\ g(x) &= \dfrac{x^2 - 4}{(x - 3)(x + 3)} \end{aligned}

Oppgave 5a)

Hvilken av grafene nedenfor er grafen til f? f\text{?}
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Grafen til f f har én vertikal asymptote, x=−2, {x = -2}\text{,} og skjærer y y -aksen i −4: {-4}\text{:}
Grafen til f er C‾‾ \underline{\underline{\text{Grafen til } f \text{ er C}}}
Vi finner den vertikale asymptoten og hvor grafen skjærer \( y \)-aksen, og ser hvilken av grafene som har begge deler.
1. Finn den vertikale asymptoten En brøk har en vertikal asymptote der: \[ \textcolor{blue}{\text{nevneren}} = 0 \quad \text{og} \quad \textcolor{red}{\text{telleren}} \neq 0 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.
Nevneren \( {\textcolor{blue}{x + 2}} \) er \( 0 \) når \( {x = -2}\text{,} \) og der er telleren: \[ \textcolor{red}{2 \cdot (-2) - 8} = -12 \]Grafen har altså én vertikal asymptote, \( {x = -2}\text{,} \) til venstre for \( y \)-aksen. Det utelukker A, der asymptoten står til høyre for \( y \)-aksen, og D, E og F, som har to.
2. Finn skjæringen med y-aksen Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ f(0) = \dfrac{2 \cdot 0 - 8}{0 + 2} = -4 \]Grafen skjærer altså \( y \)-aksen under \( x \)-aksen. Det gjør C, men ikke B, som skjærer den over \( x \)-aksen. Vi kjenner igjen grafen på samme måte som i videoen Oppgave 4B - Del 1 - 1T Eksamen Vår 2025.
Kontroll: Når \( x \) blir veldig stor, nærmer \( f(x) \) seg \( {\dfrac{2x}{x} = 2}\text{,} \) så den vannrette asymptoten \( {y = 2} \) ligger over \( x \)-aksen. Det gjør den i C, men ikke i B.

Oppgave 5b)

Hvilken av grafene nedenfor er grafen til g? g\text{?}
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Grafen til g g har de vertikale asymptotene x=±3 {x = \pm 3} og skjærer y y -aksen i 49: \dfrac{4}{9}\text{:}
Grafen til g er F‾‾ \underline{\underline{\text{Grafen til } g \text{ er F}}}
Vi finner de vertikale asymptotene og hvor grafen skjærer \( y \)-aksen, og ser hvilken av grafene som har begge deler.
1. Finn de vertikale asymptotene En brøk har en vertikal asymptote der: \[ \textcolor{blue}{\text{nevneren}} = 0 \quad \text{og} \quad \textcolor{red}{\text{telleren}} \neq 0 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.
Nevneren \( {\textcolor{blue}{(x - 3)(x + 3)}} \) er \( 0 \) når \( {x = 3} \) eller \( {x = -3}\text{.} \) Der er telleren: \[ \textcolor{red}{3^2 - 4} = \textcolor{red}{(-3)^2 - 4} = 5 \]Grafen har altså to vertikale asymptoter, \( {x = -3} \) og \( {x = 3}\text{,} \) like langt fra \( y \)-aksen på hver side. Det har D og F, men ikke E, der den venstre står lenger fra \( y \)-aksen enn den høyre. A, B og C har bare én.
2. Finn skjæringen med y-aksen Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ g(0) = \dfrac{0^2 - 4}{(0 - 3)(0 + 3)} = \dfrac{-4}{-9} = \dfrac{4}{9} \]Grafen skjærer altså \( y \)-aksen over \( x \)-aksen. Det gjør F, men ikke D, der hele den midterste delen av grafen ligger under \( x \)-aksen.
Kontroll: Telleren \( {x^2 - 4} \) er \( 0 \) når \( {x = \pm 2}\text{,} \) mellom asymptotene. F skjærer \( x \)-aksen to ganger der.
Husk å argumentere for at svarene dine er riktige.

Del 2

Med hjelpemidler · 7 oppgaver

Oppgave 1

En gruppe statistikere har sett på hvordan folketallet i et område har endret seg siden 1960, og laget en modell F F gitt ved
F(x)=11000⋅(0,027x3−5,8x2+220x+7900),x∈[0,80] \begin{gathered} \begin{aligned} F(x) = \dfrac{1}{1000} \cdot (&0{,}027x^3 - 5{,}8x^2 \\ &{}+ 220x + 7900), \end{aligned} \\ x \in [0, 80] \end{gathered}
for folketallet F(x) F(x) tusen innbyggere i området x x år etter 1960.

Oppgave 1a)

Vis hvordan du på to ulike måter kan bestemme når folketallet var høyest ifølge modellen.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Folketallet var høyest omtrent 22,5 år etter 1960, altså
i 1982‾‾ \underline{\underline{\text{i } 1982}}
Folketallet er høyest i toppunktet til \( F\text{.} \) Vi finner det med den deriverte, og med en verditabell eller grafen.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen Den første måten er den deriverte. Toppunktet ligger der \( {F'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer leddene i parentesen ett for ett, og konstanten \( 7900 \) blir \( 0\text{:} \) \[ F'(x) = \dfrac{0{,}081x^2 - 11{,}6x + 220}{1000} \]
2. Sett den deriverte lik null \( {F'(x) = 0} \) når telleren er \( 0\text{.} \) Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0{,}081}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-11{,}6}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{220}}\text{.} \) Under rottegnet får vi: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{-11{,}6})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{0{,}081} \cdot \textcolor{green}{220} \\ &= 134{,}56 - 71{,}28 = 63{,}28 \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i abc-formelen, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-11{,}6}) \pm \sqrt{63{,}28}}{2 \cdot \textcolor{blue}{0{,}081}} \\ x &= \dfrac{11{,}6 \pm \sqrt{63{,}28}}{0{,}162} \end{aligned} \]Det gir \( {x \approx 22{,}50} \) eller \( {x \approx 120{,}71}\text{.} \) Bare \( {x \approx 22{,}50} \) ligger i \( [0, 80]\text{.} \)
Vi sjekker fortegnet til \( F'(x) \) på hver side: \[ \begin{aligned} F'(0) &= \dfrac{220}{1000} = 0{,}22 > 0 \\ F'(50) &= \dfrac{202{,}5 - 580 + 220}{1000} \\ &= -0{,}1575 < 0 \end{aligned} \]Folketallet stiger før \( {x \approx 22{,}50} \) og synker etter, så det er høyest der.
3. Lag en verditabell Den andre måten er en verditabell. Først regner vi ut \( F(x) \) for hvert tiende år: \[ \begin{array}{r|l} x & F(x) \\ \hline 0 & 7{,}900 \\ 10 & 9{,}547 \\ 20 & 10{,}196 \\ 30 & 10{,}009 \end{array} \]
Folketallet er størst rundt \( {x = 20}\text{,} \) så vi regner ut \( F(x) \) for hvert år derfra, med fire desimaler: \[ \begin{array}{r|l} x & F(x) \\ \hline 20 & 10{,}1960 \\ 21 & 10{,}2122 \\ 22 & 10{,}2203 \\ 23 & 10{,}2203 \\ 24 & 10{,}2124 \end{array} \]Folketallet stiger fram til \( {x = 22}\text{,} \) er like stort i \( {x = 23} \) og synker etterpå. Toppunktet ligger altså mellom \( {x = 22} \) og \( {x = 23}\text{,} \) i 1982.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet på grafen Den første måten er grafen. Vi tegner \( F \) for \( {0 \le x \le 80} \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) = 1/1000*(0.027x^3 - 5.8x^2 + 220x + 7900), 0 <= x <= 80 T = Maks(F, 0, 80)
Toppunktet er \( {T \approx (22{,}5008,\ 10{,}2213)}\text{.} \)
2. Løs likningen i CAS Den andre måten er den deriverte. Vi definerer \( F \) i CAS med \( {:=}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, og løser \( {F'(x) = 0} \) med Løs og knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) := 1/1000*(0.027x^3 - 5.8x^2 + 220x + 7900) Løs(F'(x) = 0, x)
CAS gir \( {x \approx 22{,}5008} \) og \( {x \approx 120{,}7091}\text{,} \) og bare den første ligger i \( [0, 80]\text{.} \) Begge måtene gir toppunktet i \( {x \approx 22{,}5}\text{,} \) altså i 1982.

Oppgave 1b)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (30,F(30)) (30, F(30)) og (70,F(70)). (70, F(70))\text{.} Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Fra 1990 til 2030 går folketallet i gjennomsnitt ned med omtrent 147 innbyggere per år:
Stigningstallet=−0,1467‾‾ \underline{\underline{\text{Stigningstallet} = -0{,}1467}}
Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( F(30) \) og \( F(70)\text{,} \) og \( F(x) \) er tusen innbyggere.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut funksjonsverdiene Vi setter inn \( {x = 30}\text{,} \) regner ut leddene i parentesen og deler på 1000: \[ \begin{aligned} &F(30) \\ &= \dfrac{729 - 5220 + 6600 + 7900}{1000} \\ &= \textcolor{blue}{10{,}009} \end{aligned} \]
På samme måte med \( {x = 70}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &F(70) \\ &= \dfrac{9261 - 28\,420 + 15\,400 + 7900}{1000} \\ &= \textcolor{red}{4{,}141} \end{aligned} \]
2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{\textcolor{red}{F(70)} - \textcolor{blue}{F(30)}}{70 - 30} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{\textcolor{red}{4{,}141} - \textcolor{blue}{10{,}009}}{40} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{-5{,}868}{40} = -0{,}1467 \end{aligned} \]
3. Tolk stigningstallet \( F(x) \) er tusen innbyggere, så \( {-0{,}1467} \) tusen er \( {-146{,}7} \) innbyggere per år. \( {x = 30} \) er 1990, og \( {x = 70} \) er 2030. Fra 1990 til 2030 går folketallet altså ned med omtrent 147 innbyggere per år i gjennomsnitt.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi definerer \( F \) i CAS og regner ut stigningstallet med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) := 1/1000*(0.027x^3 - 5.8x^2 + 220x + 7900) (F(70) - F(30))/(70 - 30)
CAS gir \( {-0{,}1467}\text{.} \) Fra 1990 til 2030 går folketallet ned med omtrent 147 innbyggere per år i gjennomsnitt.

Oppgave 1c)

Når vil folketallet avta raskest ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Folketallet avtar raskest omtrent 71,6 år etter 1960, med omtrent 195 innbyggere per år, altså
i 2031‾‾ \underline{\underline{\text{i } 2031}}
Folketallet avtar raskest der den deriverte er minst. Vi finner bunnpunktet til \( F'\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer leddene i parentesen ett for ett: \[ F'(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}081x^2} \textcolor{red}{{}- 11{,}6x} + 220}{1000} \]\( F'(x) \) er vekstfarten. Den er negativ når folketallet avtar, og folketallet avtar raskest der \( F'(x) \) er minst.
2. Finn bunnpunktet til den deriverte \( F' \) er en andregradsfunksjon med positivt tall foran \( x^2\text{,} \) så grafen har et bunnpunkt. Der er den deriverte av \( F'\text{,} \) som vi skriver \( F''\text{,} \) lik \( 0\text{.} \) \( \textcolor{blue}{0{,}081x^2} \) derivert blir \( \textcolor{blue}{0{,}162x}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{-11{,}6x}} \) blir \( {\textcolor{red}{-11{,}6}}\text{,} \) og konstanten \( 220 \) blir \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} F''(x) &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}162x} \textcolor{red}{{}- 11{,}6}}{1000} = 0 \\ x &= \dfrac{\textcolor{red}{11{,}6}}{\textcolor{blue}{0{,}162}} \approx 71{,}60 \end{aligned} \]
Vekstfarten der er: \[ \begin{aligned} F'(71{,}60) &\approx \dfrac{415{,}25 - 830{,}56 + 220}{1000} \\ F'(71{,}60) &\approx -0{,}1953 \end{aligned} \]Folketallet avtar raskest omtrent 71,6 år etter 1960, altså i 2031, med omtrent 195 innbyggere per år. Punktet på grafen til \( F \) der vekstfarten er minst, kalles et vendepunkt.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn bunnpunktet til den deriverte Vi lager \( F' \) av \( F \) med Derivert og finner bunnpunktet med Min, slik du finner et toppunkt med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) = 1/1000*(0.027x^3 - 5.8x^2 + 220x + 7900), 0 <= x <= 80 F'(x) = Derivert(F) M = Min(F', 0, 80)
Bunnpunktet er \( {M \approx (71{,}6049,\ -0{,}1953)}\text{.} \) Folketallet avtar raskest omtrent 71,6 år etter 1960, altså i 2031, med omtrent 195 innbyggere per år.

Oppgave 2

I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.
Bestem arealet. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Med sinussetningen, cosinussetningen og arealsetningen er arealet av firkanten, avrundet til én desimal,
T≈38,6‾‾ \underline{\underline{T \approx 38{,}6}}
Diagonalen \( BD \) deler firkanten i trekantene \( ABD \) og \( BCD\text{.} \) Vi finner arealet av hver trekant med arealsetningen og legger sammen.
Metode: Med kalkulator
1. Finn AB med sinussetningen I trekant \( ABD \) mangler vi siden \( AB\text{.} \) Vinkelsummen gir vinkel \( D\text{:} \) \[ D = 180^\circ - 125^\circ - 35^\circ = 20^\circ \]
Sinussetningen forteller oss at forholdet mellom en side og sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant. Her står \( \textcolor{red}{AB} \) mot vinkelen \( \textcolor{red}{D}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{BD} \) står mot vinkelen \( \textcolor{blue}{A}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\sin \textcolor{red}{D}} = \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\sin \textcolor{blue}{A}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{D} &= \textcolor{red}{20^\circ} & \textcolor{blue}{BD} &= \textcolor{blue}{12} & \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{125^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i sinussetningen, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\sin \textcolor{red}{20^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{12}}{\sin \textcolor{blue}{125^\circ}} \\ \textcolor{red}{AB} &= \dfrac{12 \cdot \sin 20^\circ}{\sin 125^\circ} \approx \textcolor{red}{5{,}0104} \end{aligned} \]
2. Finn arealet av trekant ABD Vi finner arealet av hver trekant og legger sammen, som i videoen Oppgave 12B + C (Cosinussetningen + Arealsetningen). Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.
I trekant \( ABD \) er vinkelen \( \textcolor{green}{35^\circ} \) mellom \( \textcolor{red}{AB} \) og \( \textcolor{blue}{BD}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{5{,}0104} \cdot \textcolor{blue}{12} \cdot \sin \textcolor{green}{35^\circ} \\ T_{ABD} &\approx 17{,}24 \end{aligned} \]
3. Finn vinkel C med cosinussetningen I trekant \( BCD \) kjenner vi alle tre sidene, så vi finner vinkel \( C \) med cosinussetningen, som i videoen Oppgave 12B + C (Cosinussetningen + Arealsetningen). Den forteller oss at siden \( BD\text{,} \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{C} \) mellom \( \textcolor{red}{BC} \) og \( \textcolor{blue}{CD}\text{,} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} BD^2 &= \textcolor{red}{BC}^2 + \textcolor{blue}{CD}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{red}{BC} \cdot \textcolor{blue}{CD} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} BD &= 12 & \textcolor{red}{BC} &= \textcolor{red}{6} & \textcolor{blue}{CD} &= \textcolor{blue}{8} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i cosinussetningen, får vi: \[ \begin{aligned} 12^2 &= \textcolor{red}{6}^2 + \textcolor{blue}{8}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \\ 144 &= 100 - 96 \cos C \\ 96 \cos C &= 100 - 144 = -44 \\ \cos C &= -\dfrac{44}{96} = -\dfrac{11}{24} \end{aligned} \]
Vinkelen finner vi med \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren: \[ \textcolor{green}{C} = \cos^{-1}\left(-\dfrac{11}{24}\right) \approx \textcolor{green}{117{,}28^\circ} \]
4. Legg sammen arealene I trekant \( BCD \) er vinkelen \( \textcolor{green}{C} \) mellom \( \textcolor{red}{BC} \) og \( \textcolor{blue}{CD}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{BCD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \sin \textcolor{green}{117{,}28^\circ} \\ T_{BCD} &\approx 21{,}33 \end{aligned} \]
Slår vi sammen de to arealene, får vi: \[ T \approx 17{,}24 + 21{,}33 = 38{,}57 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vinkel \( D \) i trekant \( ABD \) er \( {180^\circ - 125^\circ - 35^\circ = 20^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( AB \) med sinussetningen, vinkel \( C \) med cosinussetningen og de to arealene med arealsetningen, med knappen ≈. Kommandoen arccosd gir vinkelen i grader:
Skriv inn i GeoGebra: AB := 12*sin(20°)/sin(125°) C := arccosd((6^2 + 8^2 - 12^2)/(2*6*8)) 1/2*AB*12*sin(35°) + 1/2*6*8*sin(C)
CAS gir \( {AB \approx 5{,}0104}\text{,} \) \( {C \approx 117{,}2796^\circ} \) og arealet \( 38{,}5737\text{,} \) altså omtrent \( 38{,}6\text{.} \)

Oppgave 3

I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.
Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene i figuren. Lengden av et linjestykke er alltid 90 % 90\,\% av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm 100\,\text{cm} langt.

Oppgave 3a)

Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene i figuren.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Avrundet til én desimal er summen av de 8 første lengdene:
569,5 cm‾‾ \underline{\underline{569{,}5\,\text{cm}}}
Hvert linjestykke er \( 90\,\% \) av det forrige, så vi ganger med \( 0{,}9 \) for å finne det neste. Så legger vi sammen de 8 første lengdene.
Metode: For hånd
1. Finn lengdene Når noe blir \( 90\,\% \) av det det var, minker det med \( 10\,\%\text{,} \) og vekstfaktoren er \( {1 - 0{,}10 = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.
Vi starter med \( 100\,\text{cm} \) og ganger med \( \textcolor{red}{0{,}9} \) for hvert nye linjestykke: \[ \begin{array}{c|r} \text{Nr.} & \text{Lengde (cm)} \\ \hline 1 & 100 \\ 2 & 90 \\ 3 & 81 \\ 4 & 72{,}9 \\ 5 & 65{,}61 \\ 6 & 59{,}049 \\ 7 & 53{,}1441 \\ 8 & 47{,}82969 \end{array} \]
2. Legg sammen lengdene Med kalkulatoren får vi, i cm: \[ \begin{aligned} &100 + 90 + 81 + 72{,}9 + 65{,}61 \\ &{}+ 59{,}049 + 53{,}1441 + 47{,}82969 \\ &{}= 569{,}53279 \end{aligned} \]

Oppgave 3b)

Lag et program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykkene dersom det er mange linjestykker i figuren.
Hvor mange linjestykker må vi ha med i figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Programmet legger til ett linjestykke om gangen og ganger lengden med \( 0{,}9 \) før det neste. Løkka fortsetter til summen er minst \( {9\,\text{m} = 900\,\text{cm}}\text{,} \) og så skriver programmet ut antallet og summen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, linje for linje.
Metode: Med Python
1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 til 3 setter lengden av det første linjestykket til \( 100\,\text{cm}\text{,} \) og summen og antallet til \( 0\text{.} \)
Linje 5 gjentar løkka så lenge summen er under \( 900\,\text{cm}\text{,} \) og vi kan gå gjennom den linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.
I hver runde legger linje 6 lengden til summen, linje 7 ganger lengden med \( \textcolor{red}{0{,}9} \) for å få det neste linjestykket, og linje 8 teller linjestykket. Programmet regner altså ut: \[ \text{summen} = 100 + 90 + 81 + \dots \]der hvert ledd er \( \textcolor{red}{0{,}9} \) ganger det forrige.
Vil vi ha summen av et bestemt antall linjestykker, for eksempel 50, bytter vi betingelsen i linje 5 med \( {\texttt{antall < 50}}\text{.} \)
2. Les av utskriften Linje 10 og 11 skriver ut antallet og summen. Løkka stopper første gang summen er minst \( 900\,\text{cm}\text{,} \) og det skjer etter \( 22 \) linjestykker, med summen \( 901{,}5\,\text{cm}\text{.} \) Med \( 21 \) linjestykker var summen altså under \( 900\,\text{cm}\text{,} \) så vi må ha med \( 22 \) linjestykker.

Oppgave 3c)

Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker i figuren fra 50 til 100?
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Summen øker fra omtrent 994,85 cm 994{,}85\,\text{cm} til omtrent 999,97 cm. 999{,}97\,\text{cm}\text{.} Avrundet til to desimaler øker den med:
0,52 %‾‾ \underline{\underline{0{,}52\,\%}}
Vi bruker programmet fra b).
Vi bruker programmet fra b) til å finne summen av 50 og av 100 linjestykker. Så finner vi hvor mange prosent den største summen er større enn den minste.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Da kan du bruke at linjestykke 51 til 100 er linjestykke 1 til 50 ganget med \( 0{,}9^{50}\text{,} \) så økningen er \( 0{,}9^{50} \) ganger den gamle summen: \( {0{,}9^{50} \cdot 100\,\% \approx 0{,}52\,\%}\text{.} \)
Metode: Med Python
1. Finn de to summene Vi bytter betingelsen i linje 5 i programmet fra b) med \( {\texttt{antall < 50}}\text{:} \)
Med \( {\texttt{antall < 100}} \) i linje 5 skriver programmet ut summen \( 999{,}9734386011127\text{.} \) Summene er altså, i cm: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{S_{50}} &\approx \textcolor{blue}{994{,}846} \\ \textcolor{red}{S_{100}} &\approx \textcolor{red}{999{,}973} \end{aligned} \]
2. Finn økningen i prosent Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Endringen er \( {\textcolor{red}{999{,}973} - \textcolor{blue}{994{,}846} = 5{,}127}\text{,} \) og den gamle summen er \( \textcolor{blue}{994{,}846}\text{:} \) \[ \dfrac{5{,}127}{\textcolor{blue}{994{,}846}} \cdot 100\,\% \approx 0{,}52\,\% \]Summen øker bare litt, fordi linjestykke nummer 51 til 100 er svært korte.

Oppgave 4

Tabellen nedenfor viser antall personer i Norge som hadde fiske som hovedyrke noen år i perioden 1952–2022.
A˚rAntall fiskere195265 956198225 289199219 780200213 84120129 82520229 591 \begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Antall fiskere} \\ \hline 1952 & 65\,956 \\ 1982 & 25\,289 \\ 1992 & 19\,780 \\ 2002 & 13\,841 \\ 2012 & 9\,825 \\ 2022 & 9\,591 \end{array}

Oppgave 4a)

La x x være antall år etter 1950 og bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en modell F F som du mener kan brukes til å si noe om antall personer som har hatt fiske som hovedyrke i perioden 1952–2022.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Eksponentiell regresjon, med x x år etter 1950, a a avrundet til et helt tall og b b til fem desimaler:
F(x)≈66 360⋅0,97143x‾‾ \underline{\underline{F(x) \approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^x}}
Antallet fiskere går ned i hele perioden, men stadig langsommere. Det passer med en eksponentiell modell, som går ned med en fast prosent hvert år, og den finner vi med regresjon.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon på seks punkter. Øv heller på å lage en eksponentiell modell gjennom to av punktene med kalkulatoren, der vekstfaktoren er en rot.
Metode: Med GeoGebra
1. Velg modell Fra 1952 til 1982 gikk antallet ned med omtrent \( 1360 \) personer per år, men fra 2012 til 2022 bare med omtrent \( 23 \) per år. En lineær modell går ned med like mye hvert år og passer dårlig. En eksponentiell modell går ned med en fast prosent hvert år og har formen: \[ F(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x \]der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor.
2. Bruk eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner den modellen på denne formen som går så nær punktene som mulig. Med \( x \) år etter 1950 er 1952 \( {x = 2} \) og 2022 \( {x = 72}\text{.} \) Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(2, 65956), (32, 25289), (42, 19780), (52, 13841), (62, 9825), (72, 9591)} F(x) = RegEksp(l1)
GeoGebra gir \( {F(x) \approx \textcolor{blue}{66\,359{,}66} \cdot \textcolor{red}{0{,}97143}^x}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Siden \( {1 - \textcolor{red}{0{,}97143} \approx 0{,}029}\text{,} \) går antallet ned med omtrent \( 2{,}9\,\% \) hvert år ifølge modellen.
I b) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.
Andre modeller kan også godtas når valget er begrunnet.

Oppgave 4b)

Hvor mange personer i Norge vil i 2050 ha fiske som hovedyrke ifølge modellen fra oppgave a)? Vurder modellens gyldighetsområde.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Modellen bygger på 1952–2022, så tallet for 2050, avrundet til nærmeste ti, er usikkert og trolig for lavt:
Omtrent 3 660 personer‾‾Gyldig for 2≤x≤72‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Omtrent } 3\,660 \text{ personer}}} \\ &\underline{\underline{\text{Gyldig for } 2 \le x \le 72}} \end{aligned}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
2050 er 100 år etter 1950, så vi setter inn \( {x = 100} \) i modellen. Så ser vi om 2050 ligger innenfor årene modellen bygger på.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut antallet i 2050 I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^x \]
2050 er \( {2050 - 1950 = \textcolor{green}{100}} \) år etter 1950. Modellen ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor, og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{green}{100}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{green}{100}} \\ F(100) &\approx 3656 \end{aligned} \]Ifølge modellen vil omtrent \( 3\,660 \) personer ha fiske som hovedyrke i 2050.
2. Vurder gyldighetsområdet En modell er mest pålitelig der vi har målinger, som når vi vurderer gyldighetsområdet i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Modellen vår bygger på tallene fra 1952 til 2022, altså \( {2 \le x \le 72}\text{.} \) 2050 ligger 28 år etter det siste året i tabellen, så svaret er usikkert.
De siste ti årene gikk antallet nesten ikke ned, fra \( 9825 \) til \( 9591\text{.} \) Modellen går ned med omtrent \( 2{,}9\,\% \) hvert år og gir bare \( {F(72) \approx 8233} \) for 2022. Den gir derfor trolig for lave tall etter 2022.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn punktet på grafen Med \( F \) fra a) i GeoGebra skriver vi inn punktet på grafen der \( {x = 100}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: P = (100, F(100))
GeoGebra gir \( {P \approx (100,\ 3658{,}13)}\text{,} \) altså omtrent \( 3\,660 \) personer, som med kalkulator.

Oppgave 5

Ovenfor har Sara tegnet grafene til funksjonene f f og g g gitt ved
f(x)=2x+8g(x)=x3−x2−4x+8 \begin{aligned} f(x) &= 2x + 8 \\ g(x) &= x^3 - x^2 - 4x + 8 \end{aligned}
Linjen x=1 {x = 1} skjærer grafen til f f i punktet P P og grafen til g g i punktet Q. Q\text{.}

Oppgave 5a)

Bestem avstanden fra P P til Q. Q\text{.}
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
P=(1,10) {P = (1, 10)} og Q=(1,4) {Q = (1, 4)} ligger rett over hverandre, så
PQ=6‾‾ \underline{\underline{PQ = 6}}
\( P \) og \( Q \) ligger begge på linja \( {x = 1}\text{,} \) rett over hverandre. Avstanden mellom dem er forskjellen mellom \( y \)-verdiene.
Metode: For hånd
1. Finn punktene Et punkt på grafen til \( f \) der \( {x = 1}\text{,} \) har \( y \)-verdien \( f(1)\text{,} \) slik punktet \( C \) på grafen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025 har høyden \( f(3)\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(1)} &= 2 \cdot 1 + 8 = \textcolor{blue}{10} \\ \textcolor{green}{g(1)} &= 1^3 - 1^2 - 4 \cdot 1 + 8 = \textcolor{green}{4} \end{aligned} \]Det gir \( {P = (1, \textcolor{blue}{10})} \) og \( {Q = (1, \textcolor{green}{4})}\text{.} \)
2. Regn ut avstanden \( P \) og \( Q \) har samme \( x \)-verdi, så avstanden er forskjellen mellom \( y \)-verdiene. \( P \) ligger over \( Q\text{:} \) \[ PQ = \textcolor{blue}{10} - \textcolor{green}{4} = 6 \]
Sara skal tegne en ny linje x=a {x = a} der a∈⟨1,3⟩ a \in \langle 1, 3 \rangle i koordinatsystemet. Hun vil kalle skjæringspunktet mellom linjen og grafen til f f for R R og skjæringspunktet mellom linjen og grafen til g g for S. S\text{.}

Oppgave 5b)

Bestem a a slik at avstanden fra R R til S S blir størst mulig. Oppgi svaret eksakt.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Eksakt, og omtrent 1,79, 1{,}79\text{,} er avstanden størst når
a=1+193‾‾ \underline{\underline{a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3}}}
\( R \) og \( S \) ligger rett over hverandre på linja \( {x = a}\text{.} \) Vi skriver avstanden som en funksjon av \( a \) og finner toppunktet med den deriverte.
Metode: For hånd
1. Sett opp avstanden \( {R = (a, f(a))} \) og \( {S = (a, g(a))} \) har samme \( x \)-verdi. Grafene skjærer hverandre i \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) der \( {f(3) = g(3) = 14}\text{,} \) og mellom dem ligger grafen til \( f \) over grafen til \( g\text{,} \) som figuren viser. Vi lager en funksjon for avstanden, slik arealet blir en funksjon i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} d(a) &= f(a) - g(a) \\ d(a) &= 2a + 8 - (a^3 - a^2 - 4a + 8) \\ d(a) &= -a^3 + a^2 + 6a \end{aligned} \]
2. Deriver avstanden Avstanden er størst der \( {d'(a) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd: \[ d'(a) = -3a^2 + 2a + 6 \]
3. Sett den deriverte lik null Vi setter \( {d'(a) = 0} \) og ganger begge sider med \( {-1}\text{:} \) \[ 3a^2 - 2a - 6 = 0 \]
Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{p}a^2 + \textcolor{red}{q}a + \textcolor{green}{r} = 0} \) har løsningene: \[ a = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Vi kaller tallene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{,} \) fordi \( a \) er den ukjente. Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-6}}\text{.} \) Under rottegnet får vi: \[ (\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{green}{-6}) = 4 + 72 = 76 \]
Plugger vi dette inn i abc-formelen, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{76}}{2 \cdot \textcolor{blue}{3}} \\ a &= \dfrac{2 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \dfrac{1 \pm \sqrt{19}}{3} \end{aligned} \]Vi har brukt at \( {\sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}}\text{,} \) og forkortet med 2.
Med \( {\sqrt{19} \approx 4{,}36} \) er \( {\dfrac{1 + \sqrt{19}}{3} \approx 1{,}79}\text{,} \) som ligger i \( \langle 1, 3 \rangle\text{,} \) mens \( {\dfrac{1 - \sqrt{19}}{3} \approx -1{,}12} \) ligger utenfor.
4. Vis at det er et toppunkt Vi sjekker fortegnet til \( d'(a) \) på hver side: \[ \begin{aligned} d'(1) &= -3 + 2 + 6 = 5 > 0 \\ d'(2) &= -12 + 4 + 6 = -2 < 0 \end{aligned} \]Avstanden øker fram til \( {a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3}} \) og minker etterpå, så den er størst der.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( f\text{,} \) \( g \) og avstanden \( {d(a) = f(a) - g(a)} \) i CAS, og løser \( {d'(a) = 0} \) med Løs, som gir eksakte svar:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 2x + 8 g(x) := x^3 - x^2 - 4x + 8 d(a) := f(a) - g(a) Løs(d'(a) = 0, a)
CAS gir \( {a = \dfrac{1 - \sqrt{19}}{3}} \) og \( {a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3}}\text{.} \) Bare den andre, omtrent \( 1{,}79\text{,} \) ligger i \( \langle 1, 3 \rangle\text{.} \) Avstanden \( d(a) \) er \( 0 \) i \( {a = 0} \) og \( {a = 3} \) og positiv mellom, så denne løsningen er toppunktet.

Oppgave 6

En tredjegradsfunksjon f f er gitt ved
f(x)=ax3+bx2+cx−64 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 64
• Punktet (−8,0) {(-8, 0)} er et toppunkt på grafen til f. f\text{.} • Den gjennomsnittlige vekstfarten til f f i intervallet [0,5] [0, 5] er 645. \dfrac{64}{5}\text{.}
Bestem a, a\text{,} b b og c. c\text{.}
Vis løsning på oppgave 6

Svar

a=0,2,b=2,2,c=−3,2‾‾ \underline{\underline{a = 0{,}2, \quad b = 2{,}2, \quad c = -3{,}2}}
Opplysningene gir tre likninger: grafen går gjennom \( {(-8, 0)}\text{,} \) den deriverte er \( 0 \) i toppunktet, og den gjennomsnittlige vekstfarten er \( \dfrac{64}{5}\text{.} \) Vi løser likningssettet.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp tre likninger Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd, og konstanten \( {-64} \) blir \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]
I toppunktet \( {(-8, 0)} \) er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Den gjennomsnittlige vekstfarten er stigningstallet \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) mellom \( (0, f(0)) \) og \( (5, f(5))\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(-8)} &= \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{f'(-8)} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{green}{\dfrac{f(5) - f(0)}{5 - 0}} &= \textcolor{green}{\dfrac{64}{5}} \end{aligned} \]
Plugger vi inn i \( f(x) \) og \( f'(x)\text{,} \) og bruker at \( {f(0) = -64}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-512a + 64b - 8c - 64} &= \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{192a - 16b + c} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{green}{\dfrac{125a + 25b + 5c}{5}} &= \textcolor{green}{\dfrac{64}{5}} \end{aligned} \]
Vi deler den første likningen med \( {-8} \) og forkorter brøken i den tredje: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{64a - 8b + c} &= \textcolor{blue}{-8} \\ \textcolor{red}{192a - 16b + c} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{green}{25a + 5b + c} &= \textcolor{green}{12{,}8} \end{aligned} \]
2. Fjern c Vi trekker den første likningen fra den andre og fra den tredje, så \( c \) forsvinner. Det er det samme som når vi legger sammen likninger i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ \begin{aligned} 128a - 8b &= 8 \\ -39a + 13b &= 20{,}8 \end{aligned} \]
Vi deler den første med \( 8 \) og den andre med \( 13\text{,} \) og løser begge for \( b\text{:} \) \[ \begin{aligned} b &= 16a - 1 \\ b &= 3a + 1{,}6 \end{aligned} \]
3. Løs for a, b og c Begge uttrykkene er lik \( b\text{,} \) så de er like: \[ \begin{aligned} 16a - 1 &= 3a + 1{,}6 \\ 13a &= 2{,}6 \\ a &= 0{,}2 \end{aligned} \]
Det gir \( {b = 16 \cdot 0{,}2 - 1 = 2{,}2}\text{.} \) Den andre likningen gir \( {c = 16b - 192a}\text{:} \) \[ \begin{aligned} c &= 16 \cdot 2{,}2 - 192 \cdot 0{,}2 \\ c &= 35{,}2 - 38{,}4 = -3{,}2 \end{aligned} \]
Kontroll: \( {f'(x) = 0{,}6x^2 + 4{,}4x - 3{,}2} \) gir \( {f'(-9) = 5{,}8 > 0} \) og \( {f'(0) = -3{,}2 < 0}\text{,} \) så grafen går fra å stige til å synke i \( {x = -8}\text{:} \) et toppunkt.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningssettet i CAS Vi definerer \( f \) i CAS og løser de tre likningene for \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) med Løs:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x - 64 Løs({f(-8) = 0, f'(-8) = 0, (f(5) - f(0))/5 = 64/5}, {a, b, c})
CAS gir \( {a = \dfrac{1}{5} = 0{,}2}\text{,} \) \( {b = \dfrac{11}{5} = 2{,}2} \) og \( {c = -\dfrac{16}{5} = -3{,}2}\text{.} \)

Oppgave 7

Nedenfor ser du grafen til funksjonen f f gitt ved
f(x)=8x2+20 f(x) = \dfrac{8}{x^2 + 20}
Rektangelet under grafen har hjørner i punktene (0,0), (0, 0)\text{,} (5,0), (5, 0)\text{,} (5,f(5)) (5, f(5)) og (0,f(5)). (0, f(5))\text{.}

Oppgave 7a)

Bestem arealet av rektangelet.
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
Bredden er 5 og høyden f(5)=845, {f(5) = \dfrac{8}{45}}\text{,} så arealet er
89≈0,89‾‾ \underline{\underline{\dfrac{8}{9} \approx 0{,}89}}
Rektangelet har hjørnene \( (0, 0) \) og \( (5, 0) \) på \( x \)-aksen og \( (5, f(5)) \) på grafen. Bredden er derfor \( 5\text{,} \) og høyden er \( f(5)\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn bredden og høyden Bredden er avstanden fra \( (0, 0) \) til \( (5, 0)\text{,} \) altså \( \textcolor{blue}{5}\text{.} \) Hjørnet \( (5, f(5)) \) ligger på grafen rett over \( (5, 0)\text{,} \) som punktet \( C \) i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025, så høyden er: \[ \textcolor{red}{f(5)} = \dfrac{8}{5^2 + 20} = \textcolor{red}{\dfrac{8}{45}} \]
2. Regn ut arealet Arealet av et rektangel er bredde ganger høyde, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ A = \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{8}{45}} = \dfrac{40}{45} = \dfrac{8}{9} \approx 0{,}89 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi definerer \( f \) i CAS med \( {:=} \) og regner ut høyden \( {h = f(5)} \) og arealet \( 5h\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 8/(x^2 + 20) h := f(5) A := 5*h
CAS gir høyden \( {h = \dfrac{8}{45}} \) og arealet \( {\dfrac{8}{9} \approx 0{,}89}\text{.} \)

Oppgave 7b)

Lag en systematisk oversikt som viser arealet av rektanglene som har hjørner i punktene (0,0), (0, 0)\text{,} (n,0), (n, 0)\text{,} (n,f(n)) (n, f(n)) og (0,f(n)) (0, f(n)) for n∈{1,2,3,…,10} n \in \{1, 2, 3, \dots, 10\}
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
Tabellen nedenfor viser arealet A(n)=8nn2+20 {A(n) = \dfrac{8n}{n^2 + 20}} for n=1,…,10, {n = 1, \dots, 10}\text{,} og det er størst for n=4 {n = 4} og n=5: {n = 5}\text{:}
A(4)=A(5)=89≈0,889‾‾ \underline{\underline{A(4) = A(5) = \dfrac{8}{9} \approx 0{,}889}}
Rektangelet med hjørne i \( (n, f(n)) \) har bredden \( n \) og høyden \( f(n)\text{.} \) Vi regner ut arealet for \( {n = 1, 2, \dots, 10} \) og setter det opp i en tabell.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp arealet Som i a) er bredden \( \textcolor{blue}{n} \) og høyden \( \textcolor{red}{f(n)}\text{,} \) og arealet er bredde ganger høyde, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ A(n) = \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{8}{n^2 + 20}} = \dfrac{8n}{n^2 + 20} \]
2. Lag tabellen Vi regner ut \( A(n) \) med kalkulatoren for hver \( n\text{,} \) avrundet til tre desimaler. For eksempel er \( {A(1) = \dfrac{8}{21} \approx 0{,}381}\text{:} \) \[ \begin{array}{r|c} n & A(n) \\ \hline 1 & 0{,}381 \\ 2 & 0{,}667 \\ 3 & 0{,}828 \\ 4 & 0{,}889 \\ 5 & 0{,}889 \\ 6 & 0{,}857 \\ 7 & 0{,}812 \\ 8 & 0{,}762 \\ 9 & 0{,}713 \\ 10 & 0{,}667 \end{array} \]Arealet øker fram til \( {n = 4} \) og \( {n = 5}\text{,} \) der det er \( {\dfrac{32}{36} = \dfrac{40}{45} = \dfrac{8}{9}} \) for begge, og minker etterpå.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut arealene i CAS Vi definerer \( f \) i CAS og lar Følge regne ut \( {n \cdot f(n)} \) for \( {n = 1} \) til \( 5 \) og \( 6 \) til \( 10\text{,} \) med knappen ≈ og tre desimaler:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 8/(x^2 + 20) Følge(n*f(n), n, 1, 5) Følge(n*f(n), n, 6, 10)
Arealene står i samme rekkefølge som \( n\text{,} \) fra \( 0{,}381 \) for \( {n = 1} \) til \( 0{,}667 \) for \( {n = 10}\text{.} \) De øker til \( 0{,}889 \) for \( {n = 4} \) og \( {n = 5} \) og minker etterpå.

Oppgave 7c)

Bestem k k slik at arealet av rektangelet som har hjørner i punktene (0,0), (0, 0)\text{,} (k,0), (k, 0)\text{,} (k,f(k)) (k, f(k)) og (0,f(k)), (0, f(k))\text{,} blir størst mulig.
Vis løsning på oppgave 7c
Svar
Arealet er størst når
k=25≈4,47‾‾ \underline{\underline{k = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47}}
Med hjørnet i \( (k, f(k)) \) er bredden \( k \) og høyden \( f(k)\text{.} \) Vi lager en funksjon for arealet og finner toppunktet med den deriverte.
Metode: For hånd
1. Sett opp arealfunksjonen Arealet er bredde ganger høyde, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(k) &= k \cdot f(k) \\ A(k) &= k \cdot \dfrac{8}{k^2 + 20} = \dfrac{8k}{k^2 + 20} \end{aligned} \]Her er \( {k > 0}\text{.} \)
2. Deriver med kvotientregelen Arealet er størst der \( {A'(k) = 0}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{8k} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{k^2 + 20} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2k} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} A'(k) &= \dfrac{\textcolor{red}{8} \cdot (\textcolor{blue}{k^2 + 20}) - \textcolor{red}{8k} \cdot \textcolor{blue}{2k}}{(\textcolor{blue}{k^2 + 20})^2} \\ A'(k) &= \dfrac{160 - 8k^2}{(k^2 + 20)^2} \end{aligned} \]
3. Sett den deriverte lik null Nevneren er alltid positiv, så \( {A'(k) = 0} \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 160 - 8k^2 &= 0 \\ k^2 &= 20 \\ k &= \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{aligned} \]Vi tar bare den positive løsningen, fordi \( {k > 0}\text{,} \) og \( {\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}}\text{.} \)
For \( {k < 2\sqrt{5}} \) er telleren positiv, og for \( {k > 2\sqrt{5}} \) er den negativ. Arealet øker altså fram til \( {k = 2\sqrt{5}} \) og minker etterpå, så det er størst der.
Kontroll: \( {2\sqrt{5} \approx 4{,}47} \) ligger mellom \( 4 \) og \( 5\text{,} \) der arealet var størst i tabellen i b).
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet til arealet Vi skriver inn \( f\text{,} \) arealet \( {A(x) = x \cdot f(x)} \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Siden \( {k > 0}\text{,} \) starter vi like over 0 og slutter på et stort tall:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) = 8/(x^2 + 20) A(x) = x*f(x) T = Maks(A, 0.01, 10000)
Toppunktet er \( {T \approx (4{,}4721,\ 0{,}8944)}\text{,} \) så arealet er størst når \( {k \approx 4{,}47}\text{.} \)

Ferdig med settet? Se de andre 1T-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.