Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

tallfølger

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

5 oppgaver i 1P om tallfølger

Oppgavene

1P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 10

2 poeng

Susanne arbeider med tallfølgen
1371321… 1 \qquad 3 \qquad 7 \qquad 13 \qquad 21 \qquad \ldots
Hun ser et mønster og skriver
0⋅1+1=11⋅2+1=32⋅3+1=73⋅4+1=13 \begin{aligned} 0 \cdot 1 + 1 &= 1 \\ 1 \cdot 2 + 1 &= 3 \\ 2 \cdot 3 + 1 &= 7 \\ 3 \cdot 4 + 1 &= 13 \end{aligned}

Oppgave 10a)

Bestem tall nummer 8 i tallfølgen.
Vis løsning på oppgave 10a
Svar
Tall nummer 8 er 57‾‾ \underline{\underline{\text{Tall nummer 8 er } 57}}
I hver rad ganger Susanne to tall som følger etter hverandre, og legger til \( 1\text{.} \) Vi finner ut hvilke tall som ganges for tall nummer 8.
1. Finn mønsteret I hver rad er den andre faktoren nummeret til tallet, og den første faktoren er én mindre: \[ \begin{aligned} \text{Nr. } \textcolor{red}{1}\text{: } & \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} + 1 = 1 \\ \text{Nr. } \textcolor{red}{2}\text{: } & \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{2} + 1 = 3 \\ \text{Nr. } \textcolor{red}{3}\text{: } & \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{3} + 1 = 7 \\ \text{Nr. } \textcolor{red}{4}\text{: } & \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{4} + 1 = 13 \end{aligned} \]Det stemmer også for tall nummer \( 5\text{:} \) \( {\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{5} + 1 = 21}\text{.} \)
2. Regn ut tall nummer 8 For tall nummer \( \textcolor{red}{8} \) er den første faktoren \( \textcolor{blue}{7}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{8} + 1 = 56 + 1 = 57 \]
Kontroll: Forskjellen mellom tallene øker med \( 2 \) hver gang: \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6 \) og \( 8\text{.} \) Med forskjellene \( 10\text{,} \) \( 12 \) og \( 14 \) blir de neste tallene \( 31\text{,} \) \( 43 \) og \( 57\text{.} \)

Oppgave 10b)

Sett opp en formel som Susanne kan bruke for finne tall nummer n n i tallfølgen.
Vis løsning på oppgave 10b
Svar
Tall nummer n n i tallfølgen er:
an=(n−1)⋅n+1‾‾ \underline{\underline{a_n = (n - 1) \cdot n + 1}}
Hver rad i Susannes mønster er bygd på samme måte. Vi skriver raden for tall nummer \( n \) med \( n \) i stedet for et bestemt nummer.
1. Skriv mønsteret med n Vi kaller tall nummer \( n \) for \( a_n\text{.} \) Susannes rader viser at den andre faktoren er nummeret \( \textcolor{red}{n}\text{,} \) og at den første faktoren er én mindre, \( {\textcolor{blue}{n - 1}}\text{:} \) \[ a_n = (\textcolor{blue}{n - 1}) \cdot \textcolor{red}{n} + 1 \]
Ganger vi ut parentesen, kan formelen også skrives: \[ a_n = n^2 - n + 1 \]
Kontroll: Tall nummer \( 4\text{:} \) \( {a_4 = (4 - 1) \cdot 4 + 1 = 13}\text{,} \) som i Susannes fjerde rad.

1P høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 7

3 poeng

Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet nedenfor.
Lag en oversikt som viser hvilke tall som blir skrevet ut når programmet kjøres. Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Programmet skriver ut femkanttallene opp til 60, og hvert nytt skall har 3 kuler mer enn det forrige:
1, 5, 12, 22, 35 og 51‾‾Differansen øker med 3‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{1,\ 5,\ 12,\ 22,\ 35 \text{ og } 51}} \\ &\underline{\underline{\text{Differansen øker med } 3}} \end{aligned}
Vi tenker som datamaskinen og går gjennom programmet linje for linje. Så ser vi hvordan figurene vokser, og kobler det til differansen i programmet.
1. Les programmet linje for linje Linje 1 og 2 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 1} \) og \( {\textcolor{red}{\texttt{differanse}} = 4}\text{.} \) Så lenge \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} \le 60}\text{,} \) gjentar løkka linje 5 til 7: linje 5 skriver ut tallet, linje 6 legger differansen til tallet, og linje 7 gjør differansen 3 større.
2. Lag oversikten Vi går gjennom løkka runde for runde, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, der akkurat denne oppgaven er løst. I første runde skrives 1 ut, \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) blir \( {1 + 4 = 5}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) blir \( {4 + 3 = 7}\text{.} \) Det som skrives ut, står i grønt: \[ \begin{array}{c|c|c} \begin{matrix} \text{Skrives} \\ \text{ut} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Nytt} \\ \text{tall} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Ny} \\ \text{differanse} \end{matrix} \\ \hline \textcolor{green}{1} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{green}{5} & \textcolor{blue}{12} & \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{green}{12} & \textcolor{blue}{22} & \textcolor{red}{13} \\ \textcolor{green}{22} & \textcolor{blue}{35} & \textcolor{red}{16} \\ \textcolor{green}{35} & \textcolor{blue}{51} & \textcolor{red}{19} \\ \textcolor{green}{51} & \textcolor{blue}{70} & \textcolor{red}{22} \end{array} \]
Etter sjette runde er \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 70}\text{.} \) Siden \( {70 > 60}\text{,} \) stopper løkka, og 70 blir ikke skrevet ut.
3. Gjør rede for sammenhengen Figurene viser femkanttallene 1, 5, 12 og 22, de samme tallene som programmet skriver ut. Hver figur er den forrige med et nytt skall av kuler utenpå, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ 1 \xrightarrow{+\textcolor{red}{4}} 5 \xrightarrow{+\textcolor{red}{7}} 12 \xrightarrow{+\textcolor{red}{10}} 22 \]
Hvert skall har 3 kuler mer enn det forrige. Det nye skallet dekker tre av sidene i femkanten, og hver av dem blir én kule lengre.
Det er sammenhengen Siri har oppdaget. \( \textcolor{blue}{\texttt{tall}} \) er femkanttallet, og \( \textcolor{red}{\texttt{differanse}} \) er antall kuler i neste skall. Den starter på 4 i linje 2 og øker med 3 for hver figur, og derfor legger linje 7 til 3.

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

2 poeng

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Oppgave 6a)

Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur 5?
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
36 sma˚ grønne kvadrater‾‾ \underline{\underline{36 \text{ små grønne kvadrater}}}
Vi ser at hver figur består av en blokk øverst og tre deler under den. Vi finner hvor mange kvadrater hver del har i figur 5, og legger sammen.
1. Se hvordan figurene er bygd opp Vi følger figurene og danner et mønster, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Figur \( n \) har en blokk på \( {\textcolor{blue}{n \cdot n}} \) kvadrater øverst. Under blokken står ett kvadrat ut til venstre, en søyle på \( \textcolor{red}{n} \) kvadrater ut til høyre og en trapp på \( \textcolor{green}{n} \) kvadrater mellom dem. Figur 3 har altså: \[ \textcolor{blue}{3 \cdot 3} + 1 + \textcolor{red}{3} + \textcolor{green}{3} = 16 \]Det er de \( 16 \) kvadratene vi teller i figur 3.
2. Tell kvadratene i figur 5 Figur 5 har en blokk på \( {\textcolor{blue}{5 \cdot 5}} \) kvadrater, ett kvadrat til venstre, \( \textcolor{red}{5} \) i søyla og \( \textcolor{green}{5} \) i trappa: \[ \textcolor{blue}{5 \cdot 5} + 1 + \textcolor{red}{5} + \textcolor{green}{5} = 25 + 11 = 36 \]
Kontroll: Figur 1, 2 og 3 har \( 4\text{,} \) \( 9 \) og \( 16 \) kvadrater. Økningen er \( 5 \) og så \( 7\text{,} \) altså \( 2 \) mer hver gang. Med \( 9 \) og \( 11 \) videre får figur 4 og 5 \( 25 \) og \( 36 \) kvadrater.

Oppgave 6b)

Lag en formel for antallet små grønne kvadrater i figur n. n\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Antallet små grønne kvadrater i figur n n er:
Kn=n2+2n+1=(n+1)2‾‾ \underline{\underline{K_n = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2}}
Vi bruker oppbygningen av figurene fra a).
Vi skriver antallet i figur \( n \) med de samme fire delene som i a), med \( n \) i stedet for et bestemt tall.
1. Skriv antallet med n I a) så vi at figur \( n \) har en blokk på \( {\textcolor{blue}{n \cdot n}} \) kvadrater, ett kvadrat til venstre, \( \textcolor{red}{n} \) i søyla og \( \textcolor{green}{n} \) i trappa. Vi kaller antallet \( K_n\text{:} \) \[ \begin{aligned} K_n &= \textcolor{blue}{n \cdot n} + 1 + \textcolor{red}{n} + \textcolor{green}{n} \\ K_n &= n^2 + 2n + 1 \end{aligned} \]
2. Skriv formelen som et kvadrat Figur 1, 2 og 3 har \( {4 = 2^2}\text{,} \) \( {9 = 3^2} \) og \( {16 = 4^2} \) kvadrater, så figur \( n \) ser ut til å ha \( {(n + 1)^2}\text{.} \) Ganger vi ut parentesene, som i videoen Kvadratsetningene, får vi den samme formelen: \[ \begin{aligned} (n + 1)^2 &= (n + 1)(n + 1) \\ &= n^2 + n + n + 1 \\ &= n^2 + 2n + 1 \end{aligned} \]

1P vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

4 poeng

Knut og Sabrina jobber med tallfølgen
2, 5, 11, 23, 47, … 2,\ 5,\ 11,\ 23,\ 47,\ \ldots
«Jeg tror jeg har oppdaget et mønster, og jeg er nokså sikker på at alle leddene bortsett fra det første er oddetall.»
«Har du funnet en formel som kan gi deg et hvilket som helst ledd i tallfølgen?»
«Nei, det klarte jeg ikke, men jeg er nokså sikker på at jeg har funnet et mønster som gjør at jeg alltid kan finne det neste leddet i tallfølgen. Jeg er helt sikker på at det bare blir oddetall videre.»
Ta utgangspunkt i det Knut og Sabrina sier og • beskriv et mønster for tallfølgen • argumenter for at alle leddene i tallfølgen bortsett fra det første er oddetall
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Det dobbelte av et helt tall er et partall, og pluss 1 gir et oddetall. Derfor er alle leddene etter det første oddetall:
Neste ledd=2⋅forrige ledd+1‾‾ \underline{\underline{\text{Neste ledd} = 2 \cdot \text{forrige ledd} + 1}}
Mønsteret skal gi det neste leddet fra det forrige. Vi ser hvordan hvert ledd kommer fra leddet før, og bruker det til å se om leddene blir partall eller oddetall.
Metode: For hånd
1. Beskriv mønsteret Vi ganger hvert ledd med \( 2 \) og legger til \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 \cdot \textcolor{blue}{2} + 1 &= \textcolor{red}{5} \\ 2 \cdot \textcolor{blue}{5} + 1 &= \textcolor{red}{11} \\ 2 \cdot \textcolor{blue}{11} + 1 &= \textcolor{red}{23} \\ 2 \cdot \textcolor{blue}{23} + 1 &= \textcolor{red}{47} \end{aligned} \]Det neste leddet er altså det \( \textcolor{blue}{\text{forrige leddet}} \) ganget med \( 2\text{,} \) pluss \( 1\text{.} \) Leddet etter \( 47 \) blir \( {2 \cdot 47 + 1 = 95}\text{.} \)
2. Argumenter for oddetall Et helt tall ganget med \( 2 \) er alltid et partall, og et partall pluss \( 1 \) er et oddetall: \[ \underbrace{2 \cdot \textcolor{blue}{\text{forrige ledd}}}_{\text{partall}} + 1 = \textcolor{red}{\text{oddetall}} \]Hvert ledd etter det første lages på denne måten, så alle leddene bortsett fra det første er oddetall. Det første leddet, \( 2\text{,} \) lages ikke av noe ledd før seg, og det er et partall.

1P høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.
Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene i figuren. Lengden av et linjestykke er alltid 90 % 90\,\% av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm 100\,\text{cm} langt.

Oppgave 6a)

Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene i figuren.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Avrundet til én desimal er summen av de 8 første lengdene:
569,5 cm‾‾ \underline{\underline{569{,}5\,\text{cm}}}
Hvert linjestykke er \( 90\,\% \) av det forrige, så vi ganger med \( 0{,}9 \) for å finne det neste. Så legger vi sammen de 8 første lengdene.
Metode: For hånd
1. Finn lengdene Når noe blir \( 90\,\% \) av det det var, minker det med \( 10\,\%\text{,} \) og vekstfaktoren er \( {1 - 0{,}10 = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.
Vi starter med \( 100\,\text{cm} \) og ganger med \( \textcolor{red}{0{,}9} \) for hvert nye linjestykke: \[ \begin{array}{c|r} \text{Nr.} & \text{Lengde (cm)} \\ \hline 1 & 100 \\ 2 & 90 \\ 3 & 81 \\ 4 & 72{,}9 \\ 5 & 65{,}61 \\ 6 & 59{,}049 \\ 7 & 53{,}1441 \\ 8 & 47{,}82969 \end{array} \]
2. Legg sammen lengdene Med kalkulatoren får vi, i cm: \[ \begin{aligned} &100 + 90 + 81 + 72{,}9 + 65{,}61 \\ &{}+ 59{,}049 + 53{,}1441 + 47{,}82969 \\ &{}= 569{,}53279 \end{aligned} \]

Oppgave 6b)

Lag et program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykkene dersom det er mange linjestykker i figuren.
Hvor mange linjestykker må vi ha med i figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Programmet legger til ett linjestykke om gangen og ganger lengden med \( 0{,}9 \) før det neste. Løkka fortsetter til summen er minst \( {9\,\text{m} = 900\,\text{cm}}\text{,} \) og så skriver programmet ut antallet og summen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, linje for linje.
Metode: Med Python
1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 til 3 setter lengden av det første linjestykket til \( 100\,\text{cm}\text{,} \) og summen og antallet til \( 0\text{.} \)
Linje 5 gjentar løkka så lenge summen er under \( 900\,\text{cm}\text{,} \) og vi kan gå gjennom den linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. I hver runde legger linje 6 lengden til summen, linje 7 finner lengden av det neste linjestykket og linje 8 teller linjestykket: \[ \begin{aligned} \text{summen} &= \text{summen} + \text{lengde} \\ \text{lengde} &= \textcolor{red}{0{,}9} \cdot \text{lengde} \end{aligned} \]
Vil vi ha summen av et bestemt antall linjestykker, for eksempel 50, bytter vi betingelsen i linje 5 med \( {\texttt{antall < 50}}\text{.} \)
2. Les av utskriften Linje 10 og 11 skriver ut antallet og summen. Løkka stopper første gang summen er minst \( 900\,\text{cm}\text{,} \) og det skjer etter \( 22 \) linjestykker, med summen \( 901{,}5\,\text{cm}\text{.} \) Med \( 21 \) linjestykker var summen altså under \( 900\,\text{cm}\text{,} \) så vi må ha med \( 22 \) linjestykker.

Oppgave 6c)

Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker i figuren fra 50 til 100?
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Summen øker fra omtrent 994,85 cm 994{,}85\,\text{cm} til omtrent 999,97 cm, 999{,}97\,\text{cm}\text{,} altså med omtrent:
0,52 %‾‾ \underline{\underline{0{,}52\,\%}}
Vi bruker programmet fra b).
Vi bruker programmet fra b) til å finne summen av 50 og av 100 linjestykker. Så finner vi hvor mange prosent den største summen er større enn den minste.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne hvor mange prosent noe øker med, som i steg 2.
Metode: Med Python
1. Finn de to summene Vi bytter betingelsen i linje 5 i programmet fra b) med \( {\texttt{antall < 50}}\text{:} \)
Med \( {\texttt{antall < 100}} \) i linje 5 skriver programmet ut summen \( 999{,}9734386011127\text{.} \) Summene er altså, i cm: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{S_{50}} &\approx \textcolor{blue}{994{,}846} \\ \textcolor{red}{S_{100}} &\approx \textcolor{red}{999{,}973} \end{aligned} \]
2. Finn økningen i prosent Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Endringen er \( {\textcolor{red}{999{,}973} - \textcolor{blue}{994{,}846} = 5{,}127}\text{,} \) og den gamle summen er \( \textcolor{blue}{994{,}846}\text{:} \) \[ \dfrac{5{,}127}{\textcolor{blue}{994{,}846}} \cdot 100\,\% \approx 0{,}52\,\% \]Summen øker bare litt, fordi linjestykke nummer 51 til 100 er svært korte.