1P eksamen våren 2026

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 13 oppgaver · 26 poeng

Oppgave 1

1 poeng

prosent

En bonde har 60 sauer.

80\,\%

av sauene skal slaktes. Hvor mange sauer skal slaktes?

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{48 \text{ sauer skal slaktes}}}

Vi skal finne \( 80\,\% \) av \( 60\text{.} \) «Av» betyr ganget med, så vi skriver prosenten som en brøk og ganger den med antall sauer.

1. Skriv prosenten som en brøk Formelen for prosent av et tall forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{\text{tall}} = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \textcolor{red}{\text{tall}} \]Akkurat denne oppgaven er løst på samme måte i videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{80}} \) og \( {\textcolor{red}{\text{tall}} = \textcolor{red}{60}}\text{.} \) Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \textcolor{blue}{80}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{60} = \dfrac{\textcolor{blue}{80}}{100} \cdot \textcolor{red}{60} \]

Vi forkorter brøken med \( 20\text{:} \) \[ \dfrac{80}{100} = \dfrac{80 : 20}{100 : 20} = \dfrac{4}{5} \]

2. Gang brøken med antall sauer Når vi ganger en brøk med et helt tall, ganger vi telleren med tallet og beholder nevneren: \[ \dfrac{4}{5} \cdot \textcolor{red}{60} = \dfrac{4 \cdot \textcolor{red}{60}}{5} = \dfrac{240}{5} = 48 \]

Oppgave 2

1 poeng

enheter,
volum

En familie leser av vannmåleren og ser at de i løpet av det siste året har brukt

120\,\text{m}^3

vann.

Hvor mange liter vann har familien i gjennomsnitt brukt hver måned?

Vis løsning

Svar

I gjennomsnitt per måned:

\underline{\underline{10\,000 \text{ liter}}}

Forbruket er oppgitt i kubikkmeter for et helt år, men vi skal svare i liter per måned. Vi gjør derfor om til liter og deler på 12.

1. Gjør om til liter En liter er det samme som en kubikkdesimeter, og en meter er \( 10 \) desimeter. Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg: \[ \begin{aligned} 1\,\text{m}^3 &= 10\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} \\ 1\,\text{m}^3 &= 1000\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{L} \end{aligned} \]

Familien brukte da: \[ \textcolor{blue}{120}\,\text{m}^3 = \textcolor{blue}{120} \cdot 1000\,\text{L} = \textcolor{blue}{120\,000\,\text{L}} \]

2. Del på antall måneder Et år har \( \textcolor{red}{12} \) måneder. I gjennomsnitt per måned blir det: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{120\,000\,\text{L}}}{\textcolor{red}{12}} = 10\,000\,\text{L} \]

Oppgave 3

1 poeng

potenser,
standardform

Regn ut

250\,000\,000 \cdot 0{,}000\,008

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{250\,000\,000 \cdot 0{,}000\,008 = 2000}}

Tallene har mange nuller, så vi skriver dem på standardform. Da kan vi gange tallene for seg og tierpotensene for seg.

1. Skriv tallene på standardform På standardform er et tall et tall mellom \( 1 \) og \( 10 \) ganget med en tierpotens. Vi flytter kommaet \( 8 \) plasser til venstre i det første tallet og \( 6 \) plasser til høyre i det andre: \[ \begin{aligned} 250\,000\,000 &= \textcolor{blue}{2{,}5} \cdot \textcolor{red}{10^8} \\ 0{,}000\,008 &= \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{10^{-6}} \end{aligned} \]

2. Gang tall og potenser for seg Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ a^m \cdot a^n = a^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &250\,000\,000 \cdot 0{,}000\,008 \\ &= \textcolor{blue}{2{,}5 \cdot 8} \cdot \textcolor{red}{10^8 \cdot 10^{-6}} \\ &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{10^{8 + (-6)}} \\ &= 20 \cdot 10^2 = 2000 \end{aligned} \]

Oppgave 4

1 poeng

proporsjonalitet

\begin{array}{r|r} \text{Antall personer} & \text{Pris per person} \\ & \text{(kroner)} \\ \hline 10 & 600 \\ 20 & \\ & 100 \end{array}

Skriv av og fyll ut tabellen ovenfor slik at antall personer og pris per person blir omvendt proporsjonale størrelser.

Vis løsning

Svar

Antall personer ganger pris er

6000

hver gang:

\begin{array}{c|c} \text{Antall personer} & \text{Pris (kr)} \\ \hline 10 & 600 \\ 20 & \underline{\underline{300}} \\ \underline{\underline{60}} & 100 \end{array}

Når to størrelser er omvendt proporsjonale, er produktet av dem det samme hele tiden. Vi finner produktet der vi kjenner begge tallene, og fyller ut resten med det.

1. Finn produktet At antall personer og pris per person er omvendt proporsjonale, betyr at: \[ \textcolor{blue}{\text{antall}} \cdot \textcolor{red}{\text{pris}} = k \]der \( k \) er et fast tall.

Med \( 10 \) personer kjenner vi også prisen: \[ k = \textcolor{blue}{10} \cdot \textcolor{red}{600} = 6000 \]

2. Fyll ut tabellen Med \( \textcolor{blue}{20} \) personer må prisen per person være: \[ \textcolor{red}{\text{pris}} = \dfrac{6000}{\textcolor{blue}{20}} = \textcolor{red}{300} \]Dobbelt så mange personer gir halv pris.

Med en pris på \( \textcolor{red}{100} \) kroner per person må antallet være: \[ \textcolor{blue}{\text{antall}} = \dfrac{6000}{\textcolor{red}{100}} = \textcolor{blue}{60} \]

Oppgave 5

2 poeng

potenser,
røtter

Gjør beregninger og sorter tallene i stigende rekkefølge.

\sqrt{81} \qquad \sqrt{10^6} \qquad 3^{-2} \qquad 10^{-1}

10^2 \qquad 2 \cdot 2^4 \qquad \dfrac{1}{2^3}

Vis løsning

Svar

I stigende rekkefølge:

\begin{aligned} &\underline{\underline{10^{-1} < 3^{-2} < \dfrac{1}{2^3} < \sqrt{81}}} \\ &\underline{\underline{{} < 2 \cdot 2^4 < 10^2 < \sqrt{10^6}}} \end{aligned}

Vi regner ut tallene ett for ett. Tre av dem blir brøker med \( 1 \) i telleren, og dem sammenligner vi ved å se på nevneren.

1. Regn ut brøkene En negativ eksponent betyr at vi tar \( 1 \) delt på potensen med positiv eksponent: \[ \textcolor{blue}{a}^{-\textcolor{red}{n}} = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{a}^{\textcolor{red}{n}}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

\( {3^{-2}}\text{:} \) Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{n} = \textcolor{red}{2}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{3}^{-\textcolor{red}{2}} = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{3}^{\textcolor{red}{2}}} = \underline{\dfrac{1}{9}} \]

\( {10^{-1}}\text{:} \) På samme måte er: \[ 10^{-1} = \dfrac{1}{10^1} = \underline{\dfrac{1}{10}} \]

\( \dfrac{1}{2^3}\text{:} \) Siden \( {2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8}\text{,} \) er: \[ \dfrac{1}{2^3} = \underline{\dfrac{1}{8}} \]

2. Regn ut resten \( \sqrt{81}\text{:} \) Kvadratroten av \( 81 \) er det positive tallet som ganget med seg selv gir \( 81\text{.} \) Siden \( {9 \cdot 9 = 81}\text{,} \) er \( {\sqrt{81} = \underline{9}}\text{.} \)

Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ a^m \cdot a^n = a^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

\( \sqrt{10^6}\text{:} \) Siden \( {10^3 \cdot 10^3 = 10^{3 + 3} = 10^6}\text{,} \) er: \[ \sqrt{10^6} = 10^3 = \underline{1000} \]

\( 10^2\text{:} \) Hoderegning gir \( {10^2 = 10 \cdot 10 = \underline{100}}\text{.} \)

\( {2 \cdot 2^4}\text{:} \) Med den samme regelen er: \[ 2 \cdot 2^4 = 2^1 \cdot 2^4 = 2^5 = \underline{32} \]

3. Sorter tallene De tre brøkene har \( 1 \) i telleren, og jo større nevner, desto mindre er brøken. Alle tre er mindre enn \( 1\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{\textcolor{green}{10}} < \dfrac{1}{\textcolor{green}{9}} < \dfrac{1}{\textcolor{green}{8}} < 9 \\ &{} < 32 < 100 < 1000 \end{aligned} \]

Oppgave 6

1 poeng

prosent,
vekstfaktor

Prisen for en vare settes opp med

10\,\%\text{.}

Litt senere settes prisen ned igjen med

10\,\%\text{.}

Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Svar

Siden

{1{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99}\text{,}

koster varen

1\,\%

mindre:

\underline{\underline{\text{Mindre enn før}}}

Prisen endres to ganger med en prosent, så vi bruker vekstfaktorer. Ganger vi dem sammen, ser vi hvor stor del av den opprinnelige prisen varen koster nå.

1. Finn vekstfaktorene Vekstfaktoren er det prisen ganges med: \[ \begin{aligned} \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \\ \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {p = 10} \) begge gangene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V_1} &= 1 + 0{,}10 = \textcolor{blue}{1{,}10} \\ \textcolor{red}{V_2} &= 1 - 0{,}10 = \textcolor{red}{0{,}90} \end{aligned} \]

2. Gang vekstfaktorene sammen Vi kaller den opprinnelige prisen \( P\text{.} \) Etter begge endringene er prisen: \[ P \cdot \textcolor{blue}{1{,}10} \cdot \textcolor{red}{0{,}90} = P \cdot 0{,}99 \]Varen koster nå \( 99\,\% \) av den opprinnelige prisen, altså \( 1\,\% \) mindre.

Grunnen er at nedgangen er \( 10\,\% \) av en høyere pris enn økningen var: \( 100 \) kroner blir \( 110 \) kroner, og \( 10\,\% \) av \( 110 \) er \( 11\text{,} \) så prisen ender på \( 99 \) kroner.

Oppgave 7

2 poeng

prosent,
vekstfaktor

Christoffer har kjøpt ny båt. Båtens verdi er

850\,000

kroner. Anta at verdien vil falle med

20\,\%

det første året og så med

6\,\%

per år de neste fem årene.

Sett opp et uttrykk som kan brukes for å regne ut båtens verdi etter seks år.

Vis løsning

Svar

Båtens verdi i kroner etter seks år:

\underline{\underline{850\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}94^5}}

Verdien faller med en fast prosent hvert år, så vi ganger med en vekstfaktor én gang per år. Det første året har en annen vekstfaktor enn de fem neste.

1. Finn vekstfaktorene Når verdien faller med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Det første året faller verdien med \( 20\,\%\text{,} \) og de neste fem årene med \( 6\,\% \) per år: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{V_1} &= 1 - 0{,}20 = \textcolor{blue}{0{,}80} \\ \textcolor{red}{V_2} &= 1 - 0{,}06 = \textcolor{red}{0{,}94} \end{aligned} \]

2. Gang med vekstfaktorene Etter det første året er verdien \( {850\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}}\text{.} \) Hvert av de fem neste årene ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}94}\text{,} \) og fem ganger er det samme som å opphøye i \( 5\text{:} \) \[ \underbrace{\textcolor{red}{0{,}94} \cdot \textcolor{red}{0{,}94} \cdot \ldots \cdot \textcolor{red}{0{,}94}}_{5 \text{ faktorer}} = \textcolor{red}{0{,}94}^5 \]Vi ganger altså verdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor.

Verdien etter seks år er derfor: \[ 850\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} \cdot \textcolor{red}{0{,}94}^5 \]

Oppgave 8

2 poeng

enheter,
massetetthet,
volum

En stålplate har form som et rektangel. Platen er

1000\,\text{mm}

lang,

500\,\text{mm}

bred og

6\,\text{mm}

tykk.

Stål har en massetetthet på

8\,\text{g/cm}^3

Hvor mye veier stålplaten?

Vis løsning

Svar

Stålplaten veier:

\underline{\underline{24\,\text{kg}}}

Massetettheten er gitt i gram per kubikkcentimeter, så vi finner volumet av platen i kubikkcentimeter. Så ganger vi volumet med massetettheten.

1. Gjør om målene til centimeter Det går \( 10\,\text{mm} \) på \( 1\,\text{cm}\text{,} \) så vi deler med \( 10\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{l} &= 1000\,\text{mm} = \textcolor{blue}{100\,\text{cm}} \\ \textcolor{red}{b} &= 500\,\text{mm} = \textcolor{red}{50\,\text{cm}} \\ \textcolor{green}{h} &= 6\,\text{mm} = \textcolor{green}{0{,}6\,\text{cm}} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Platen er en kasse, og volumet er lengde ganger bredde ganger høyde: \[ V = \textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{h} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Volum og Overflate.

Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{cm} \cdot \text{cm} \cdot \text{cm} = \text{cm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{100\,\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{50\,\text{cm}} \cdot \textcolor{green}{0{,}6\,\text{cm}} \\ V &= 3000\,\text{cm}^3 \end{aligned} \]

3. Gang med massetettheten Hver kubikkcentimeter veier \( 8 \) gram, så massen er: \[ \begin{aligned} m &= 8\,\text{g/cm}^3 \cdot 3000\,\text{cm}^3 \\ m &= 24\,000\,\text{g} = 24\,\text{kg} \end{aligned} \]

Oppgave 9

4 poeng

likninger,
lineære funksjoner

Petter, Ola og Ine eier hver sin hytte. Hyttene ligger i et stort hyttefelt. På veien inn til hyttefeltet er det satt opp en bom. Alle hytteeierne må betale en fast årsavgift for å kunne bruke veien. I tillegg må de betale for hver bompassering.

• I fjor passerte Petter bommen 40 ganger. Han betalte til sammen 3200 kroner i årsavgift og for passeringer.

• Ola passerte bommen 100 ganger og betalte til sammen 6200 kroner.

Oppgave 9a)

Hvor mye betaler hver hytteeier i årsavgift? Hva er prisen per bompassering?

Vis løsning

Svar

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Årsavgift: } 1200 \text{ kroner}}} \\ &\underline{\underline{\text{Per passering: } 50 \text{ kroner}}} \end{aligned}

Petter og Ola betaler den samme årsavgiften. Det Ola betalte mer enn Petter, kommer derfor bare av de ekstra passeringene.

1. Finn prisen per passering Vi sammenligner Ola med Petter: \[ \begin{aligned} \text{Passeringer: } & \textcolor{blue}{100 - 40 = 60} \\ \text{Betalt: } & \textcolor{red}{6200 - 3200 = 3000} \end{aligned} \]

De \( \textcolor{blue}{60} \) ekstra passeringene kostet \( \textcolor{red}{3000} \) kroner. Én passering koster derfor: \[ \dfrac{\textcolor{red}{3000}}{\textcolor{blue}{60}} = 50 \text{ kroner} \]Det er stigningstallet, endringen i pris delt på endringen i antall passeringer, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Finn årsavgiften Petters \( 40 \) passeringer kostet \( {40 \cdot 50} \) kroner. Resten av det han betalte, er årsavgiften: \[ \begin{aligned} 3200 - 40 \cdot 50 &= 3200 - 2000 \\ &= 1200 \text{ kroner} \end{aligned} \]

Kontroll: Ola: \( {1200 + 100 \cdot 50 = 6200} \) kroner, som i oppgaven.

Oppgave 9b)

Sett opp en lineær modell som viser sammenhengen mellom antall bompasseringer og den totale prisen hver hytteeier må betale hvert år.

Vis løsning

Svar

Med

x

bompasseringer i året, i kroner:

\underline{\underline{P(x) = 50x + 1200}}

Vi bruker prisene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Prisen øker med det samme beløpet for hver passering, så sammenhengen er lineær. Stigningstallet er prisen per passering, og konstantleddet er årsavgiften.

1. Skriv opp modellen En lineær modell har formen: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) stigningstallet, det \( y \) øker med når \( x \) øker med \( 1\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) er konstantleddet, verdien når \( {x = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp med stigningstall og konstantledd.

I a) fant vi at hver passering koster \( \textcolor{red}{50} \) kroner, og at årsavgiften er \( \textcolor{blue}{1200} \) kroner. Med \( x \) passeringer i året blir den totale prisen \( P(x) \) kroner: \[ P(x) = \textcolor{red}{50}x + \textcolor{blue}{1200} \]

Ine betalte til sammen 5200 kroner.

Oppgave 9c)

Hvor mange ganger passerte hun bommen?

Vis løsning

Svar

Ine passerte bommen:

\underline{\underline{80 \text{ ganger}}}

Vi bruker modellen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter den totale prisen lik \( 5200 \) kroner og løser likningen for antall passeringer.

1. Løs likningen I b) fant vi modellen: \[ P(x) = \textcolor{red}{50}x + \textcolor{blue}{1200} \]

Ine betalte \( 5200 \) kroner, så vi setter \( {P(x) = 5200}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{50}x + \textcolor{blue}{1200} = 5200 \]

Vi trekker fra \( \textcolor{blue}{1200} \) på begge sider og deler så med \( \textcolor{red}{50}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{50}x &= 4000 \\ x &= 80 \end{aligned} \]

Oppgave 10

2 poeng

tallfølger

Susanne arbeider med tallfølgen

1 \qquad 3 \qquad 7 \qquad 13 \qquad 21 \qquad \ldots

Hun ser et mønster og skriver

\begin{aligned} 0 \cdot 1 + 1 &= 1 \\ 1 \cdot 2 + 1 &= 3 \\ 2 \cdot 3 + 1 &= 7 \\ 3 \cdot 4 + 1 &= 13 \end{aligned}

Oppgave 10a)

Bestem tall nummer 8 i tallfølgen.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{\text{Tall nummer 8 er } 57}}

I hver rad ganger Susanne to tall som følger etter hverandre, og legger til \( 1\text{.} \) Vi finner ut hvilke tall som ganges for tall nummer 8.

1. Finn mønsteret I hver rad er den andre faktoren nummeret til tallet, og den første faktoren er én mindre: \[ \begin{aligned} \text{Nr. } \textcolor{red}{1}\text{: } & \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} + 1 = 1 \\ \text{Nr. } \textcolor{red}{2}\text{: } & \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{2} + 1 = 3 \\ \text{Nr. } \textcolor{red}{3}\text{: } & \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{3} + 1 = 7 \\ \text{Nr. } \textcolor{red}{4}\text{: } & \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{4} + 1 = 13 \end{aligned} \]Det stemmer også for tall nummer \( 5\text{:} \) \( {\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{5} + 1 = 21}\text{.} \)

2. Regn ut tall nummer 8 For tall nummer \( \textcolor{red}{8} \) er den første faktoren \( \textcolor{blue}{7}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{8} + 1 = 56 + 1 = 57 \]

Kontroll: Forskjellen mellom tallene øker med \( 2 \) hver gang: \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6 \) og \( 8\text{.} \) Med forskjellene \( 10\text{,} \) \( 12 \) og \( 14 \) blir de neste tallene \( 31\text{,} \) \( 43 \) og \( 57\text{.} \)

Oppgave 10b)

Sett opp en formel som Susanne kan bruke for finne tall nummer

n

i tallfølgen.

Vis løsning

Svar

Tall nummer

n

i tallfølgen er:

\underline{\underline{a_n = (n - 1) \cdot n + 1}}

Hver rad i Susannes mønster er bygd på samme måte. Vi skriver raden for tall nummer \( n \) med \( n \) i stedet for et bestemt nummer.

1. Skriv mønsteret med n Vi kaller tall nummer \( n \) for \( a_n\text{.} \) Susannes rader viser at den andre faktoren er nummeret \( \textcolor{red}{n}\text{,} \) og at den første faktoren er én mindre, \( {\textcolor{blue}{n - 1}}\text{:} \) \[ a_n = (\textcolor{blue}{n - 1}) \cdot \textcolor{red}{n} + 1 \]

Ganger vi ut parentesen, kan formelen også skrives: \[ a_n = n^2 - n + 1 \]

Kontroll: Tall nummer \( 4\text{:} \) \( {a_4 = (4 - 1) \cdot 4 + 1 = 13}\text{,} \) som i Susannes fjerde rad.

Oppgave 11

3 poeng

funksjoner,
likninger

En bedrift produserer en vare. Kostnadene

K(x)

kroner ved produksjon av

x

enheter av varen er gitt ved

K(x) = x^2 + b \cdot x + 20\,000

Oppgave 11a)

Bestem

K(0)\text{.}

Hva forteller denne verdien om kostnadene ved produksjonen?

Vis løsning

Svar

Bedriften har faste kostnader på

20\,000

kroner:

\underline{\underline{K(0) = 20\,000}}

\( K(0) \) er kostnadene når bedriften produserer \( 0 \) enheter. Vi setter inn \( {x = 0} \) og ser hva som blir igjen.

1. Sett inn null enheter Vi setter inn \( {x = 0}\text{.} \) Leddene med \( x \) blir \( 0\text{,} \) uansett hva \( b \) er: \[ \begin{aligned} K(0) &= \textcolor{blue}{0^2 + b \cdot 0} + \textcolor{red}{20\,000} \\ K(0) &= \textcolor{red}{20\,000} \end{aligned} \]

2. Tolk verdien Selv når bedriften ikke produserer noe, har den kostnader på \( \textcolor{red}{20\,000} \) kroner. Det er de faste kostnadene, for eksempel husleie og maskiner, som bedriften har uansett hvor mye den produserer.

Det koster

30\,000

kroner å produsere 50 enheter.

Oppgave 11b)

Bestem

b\text{.}

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{b = 150}}

At det koster \( 30\,000 \) kroner å produsere 50 enheter, betyr at \( {K(50) = 30\,000}\text{.} \) Det gir en likning der \( b \) er den eneste ukjente.

1. Sett opp likningen Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{50}} \) i \( {K(x) = x^2 + b \cdot x + 20\,000} \) og setter uttrykket lik \( 30\,000\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{50}^2 + b \cdot \textcolor{blue}{50} + 20\,000 &= 30\,000 \\ 2500 + 50b + 20\,000 &= 30\,000 \end{aligned} \]

2. Løs likningen Vi trekker sammen tallene på venstre side, trekker fra \( 22\,500 \) på begge sider og deler med \( 50\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50b + 22\,500 &= 30\,000 \\ 50b &= 7500 \\ b &= 150 \end{aligned} \]

Kontroll: Med \( {b = 150} \) er leddene i \( K(50) \) lik \( 2500\text{,} \) \( {150 \cdot 50 = 7500} \) og \( 20\,000\text{,} \) som til sammen er \( 30\,000\text{.} \)

Oppgave 12

2 poeng

formler,
proporsjonalitet

Lufttetthet er et mål på hvor mye luftmasse det er i et bestemt volum – altså hvor tettpakket luften er.

I tørr luft er sammenhengen mellom lufttettheten

L\text{,}

trykket

p

og temperaturen

T

gitt ved

L = \dfrac{p}{287 \cdot T}

Argumenter for om hver påstand nedenfor er sann eller usann.

Påstand 1 Når temperaturen er konstant, er trykk og lufttetthet proporsjonale størrelser.

Påstand 2 Lufttetthet og temperatur er omvendt proporsjonale størrelser.

Vis løsning

Svar

Påstand 2 gjelder bare når trykket er konstant:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Påstand 1 er sann}}} \\ &\underline{\underline{\text{Påstand 2 er usann}}} \end{aligned}

Før vi starter, må vi vite hva proporsjonal og omvendt proporsjonal betyr. Så skriver vi formelen om og ser om den har den formen påstanden sier.

1. Skriv opp hva det betyr To størrelser \( x \) og \( y \) er proporsjonale når forholdet mellom dem er fast, og omvendt proporsjonale når produktet er fast. Med et fast tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \text{Proporsjonale: } & y = k \cdot x \\ \text{Omvendt proporsjonale: } & x \cdot y = k \end{aligned} \]

2. Avgjør påstand 1 Når temperaturen \( T \) er konstant, er \( {\textcolor{blue}{\dfrac{1}{287 \cdot T}}} \) et fast tall. Vi skriver formelen som dette tallet ganget med \( p\text{:} \) \[ L = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{287 \cdot T}} \cdot p \]Det er formen \( {y = k \cdot x} \) med \( {k = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{287 \cdot T}}}\text{,} \) så påstand 1 er sann.

3. Avgjør påstand 2 Vi ganger lufttettheten med temperaturen, og \( \textcolor{darkorange}{T} \) forkortes bort: \[ L \cdot T = \dfrac{p}{287 \cdot \textcolor{darkorange}{T}} \cdot \textcolor{darkorange}{T} = \dfrac{\textcolor{red}{p}}{287} \]Produktet er fast bare hvis trykket \( \textcolor{red}{p} \) er fast, og det sier ikke påstanden noe om.

Dobler vi både trykket og temperaturen, blir lufttettheten den samme: \[ \dfrac{\textcolor{red}{2p}}{287 \cdot 2T} = \dfrac{p}{287 \cdot T} \]Var de omvendt proporsjonale, skulle dobbel temperatur gitt halv lufttetthet. Dette kalles et moteksempel, og påstand 2 er derfor usann.

Merk – Tolkning: Holder vi trykket konstant, er \( {L \cdot T = \dfrac{p}{287}} \) et fast tall, og da er påstanden sann. Påstand 1 har med betingelsen om konstant temperatur, men påstand 2 har ingen betingelse, så vi leser den som en påstand som skal gjelde generelt. Eksamensveiledningen sier at sensorene skal være åpne for rimelige tolkninger.

Oppgave 13

4 poeng

eksponentialfunksjoner,
lineære funksjoner,
programmering

I 2026 består en fuglebestand av

20\,000

individer. Sofie er forsker. Hun antar at bestanden vil minke de kommende årene. Hun har laget to modeller og skrevet programkoden nedenfor.

Oppgave 13a)

Gi en praktisk tolkning av modellene

f

g\text{.}

Vis løsning

Svar

Begge modellene starter på

20\,000

individer i 2026:

\begin{aligned} &\underline{\underline{f\text{: minker med 300 per år}}} \\ &\underline{\underline{g\text{: minker med } 1{,}6\,\% \text{ per år}}} \end{aligned}

Vi leser hva funksjonene i linje 3 til 7 regner ut. Modellen \( f \) trekker fra det samme antallet hvert år, mens \( g \) ganger med det samme tallet hvert år.

1. Tolk modellen f Linje 4 gir, der \( x \) er antall år etter 2026: \[ f(x) = \textcolor{blue}{20\,000} - \textcolor{red}{300} \cdot x \]Bestanden starter på \( \textcolor{blue}{20\,000} \) individer i 2026, og ifølge \( f \) minker den med \( \textcolor{red}{300} \) individer per år.

2. Tolk modellen g I Python betyr to stjerner etter hverandre «opphøyd i», så linje 7 gir: \[ g(x) = \textcolor{blue}{20\,000} \cdot \textcolor{green}{0{,}984}^x \]Bestanden starter også på \( \textcolor{blue}{20\,000}\text{,} \) men hvert år ganges den med vekstfaktoren \( \textcolor{green}{0{,}984}\text{.} \)

Når noe minker med \( p\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ \textcolor{green}{0{,}984} = 1 - 0{,}016 = 1 - \dfrac{1{,}6}{100} \]Ifølge \( g \) minker bestanden med \( 1{,}6\,\% \) per år.

Oppgave 13b)

Hva ønsker Sofie å finne ut? Hva forteller verdiene som skrives ut når programmet kjøres?

Vis løsning

Svar

Sofie vil finne det første året der

f

gir færre individer enn

g\text{,}

med

g(10)

avrundet til hele individer:

\begin{aligned} &\underline{\underline{x = 10\text{, altså i 2036}}} \\ &\underline{\underline{f(10) = 17\,000 \text{ individer}}} \\ &\underline{\underline{g(10) \approx 17\,021 \text{ individer}}} \end{aligned}

Vi bruker tolkningen av \( f \) og \( g \) fra a).

Programmet sammenligner de to modellene år for år i en løkke. Vi går gjennom det linje for linje og ser når løkka stopper, og hva som skrives ut.

1. Les hva løkka gjør Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 starter med \( {\textcolor{blue}{x} = 0}\text{,} \) altså 2026. Linje 9 og 10 øker \( \textcolor{blue}{x} \) med \( 1 \) så lenge den lineære modellen \( \textcolor{red}{f} \) gir minst like mange individer som den eksponentielle modellen \( \textcolor{green}{g}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{f(x)} \ge \textcolor{green}{g(x)} \]

Løkka stopper første gang \( {\textcolor{red}{f(x)} < \textcolor{green}{g(x)}}\text{.} \) Sofie vil altså finne ut hvor mange år det tar før \( \textcolor{red}{f} \) gir færre individer enn \( \textcolor{green}{g}\text{.} \)

2. Tolk utskriften Linje 13 til 15 skriver ut \( \textcolor{blue}{x}\text{,} \) \( \textcolor{red}{f(x)} \) og \( \textcolor{green}{g(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{10} \\ \textcolor{red}{f(10)} &= \textcolor{red}{17\,000} \\ \textcolor{green}{g(10)} &\approx \textcolor{green}{17\,021} \end{aligned} \]

Første gang \( \textcolor{red}{f} \) gir færre individer enn \( \textcolor{green}{g}\text{,} \) er altså \( \textcolor{blue}{10} \) år etter 2026, i 2036. Da gir \( \textcolor{red}{f} \) \( \textcolor{red}{17\,000} \) individer og \( \textcolor{green}{g} \) omtrent \( \textcolor{green}{17\,021} \) individer, avrundet til hele individer.

Del 2

Med hjelpemidler · 4 oppgaver · 17 poeng

Oppgave 1

5 poeng

funksjoner,
topp- og bunnpunkter

Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på

x\,\text{km/h}\text{,}

slipper bilen ut

U(x)

gram CO₂ per kilometer, der

U(x)

er gitt ved

\begin{gathered} U(x) = \dfrac{5400}{x} + 0{,}0074x^2 + 50, \\ 30 < x < 110 \end{gathered}

Oppgave 1a)

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer dersom fru Hansen kjører med en fart på

50\,\text{km/h}\text{?}

Vis løsning

Svar

Ved

50\,\text{km/h}

slipper bilen ut:

\underline{\underline{176{,}5 \text{ g CO}_2 \text{ per km}}}

Vi setter inn farten \( {x = 50} \) i formelen for \( U(x)\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Sett inn farten Med \( {x = \textcolor{blue}{50}} \) regner vi ut leddene hver for seg: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{50}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{50}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{50}^2 + 50 \\ U(50) &= 108 + 18{,}5 + 50 \\ U(50) &= 176{,}5 \end{aligned} \]Her er \( {0{,}0074 \cdot 2500 = 18{,}5}\text{.} \)

Oppgave 1b)

Hvilken fart gir minst utslipp av CO₂ per kilometer? Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer ved denne farten?

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele km/h og én desimal:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Fart} \approx 71\,\text{km/h}}} \\ &\underline{\underline{\text{Utslipp} \approx 163{,}4\,\text{g CO}_2\text{ per km}}} \end{aligned}

Vi leter etter farten mellom \( 30 \) og \( 110\,\text{km/h} \) der \( U(x) \) er minst. Med kalkulator lager vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi bunnpunktet på grafen.

Metode: Med kalkulator

1. Lag en grov verditabell Vi regner ut \( U(x) \) for hver tiende km/h med kalkulatoren, for eksempel: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{40}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{40}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{40}^2 + 50 \\ U(40) &= 135 + 11{,}84 + 50 = 196{,}84 \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 40 & 196{,}84 \\ 50 & 176{,}50 \\ 60 & 166{,}64 \\ \textcolor{red}{70} & \textcolor{red}{163{,}40} \\ 80 & 164{,}86 \\ 90 & 169{,}94 \\ 100 & 178{,}00 \end{array} \]Utslippet synker fram til \( \textcolor{red}{70\,\text{km/h}} \) og stiger etterpå, så det minste utslippet ligger mellom \( 60 \) og \( 80\,\text{km/h}\text{.} \)

2. Lag en finere tabell rundt 70 Vi regner ut \( U(x) \) for hver km/h rundt \( 70\text{,} \) med tre desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 69 & 163{,}492 \\ 70 & 163{,}403 \\ \textcolor{red}{71} & \textcolor{red}{163{,}360} \\ 72 & 163{,}362 \\ 73 & 163{,}407 \end{array} \]Det minste utslippet er ved omtrent \( \textcolor{red}{71\,\text{km/h}}\text{,} \) og da er det omtrent \( \textcolor{red}{163{,}4} \) gram per kilometer.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi skriver inn funksjonen med definisjonsmengden og finner bunnpunktet mellom \( 30 \) og \( 110 \) med Min, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) = 5400/x + 0.0074x^2 + 50, 30 < x < 110 B = Min(U, 30, 110)

Bunnpunktet er \( {B \approx (71{,}4569,\ 163{,}3551)}\text{.} \) Utslippet er minst ved omtrent \( 71\,\text{km/h}\text{,} \) og da er det omtrent \( 163{,}4 \) gram per kilometer.

Fru Hansen kjører med en fart på

90\,\text{km/h}

i 20 minutter.

Oppgave 1c)

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut i løpet av disse 20 minuttene?

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele gram:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 5098 \text{ g CO}_2}}

Vi finner hvor langt bilen kjører på 20 minutter, og ganger strekningen med utslippet per kilometer ved \( 90\,\text{km/h}\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Finn strekningen 20 minutter er \( {\dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}} \) time. Strekningen er fart ganger tid, \( {s = v \cdot t}\text{:} \) \[ s = \textcolor{blue}{90}\,\text{km/h} \cdot \dfrac{1}{3}\,\text{h} = \textcolor{red}{30\,\text{km}} \]

2. Finn utslippet Ved \( \textcolor{blue}{90}\,\text{km/h} \) er utslippet per kilometer: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{90}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{90}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{90}^2 + 50 \\ U(90) &= 60 + 59{,}94 + 50 = \textcolor{green}{169{,}94} \end{aligned} \]

På \( \textcolor{red}{30} \) kilometer blir det: \[ \textcolor{green}{169{,}94}\,\text{g/km} \cdot \textcolor{red}{30\,\text{km}} = 5098{,}2\,\text{g} \]

Oppgave 2

2 poeng

prosent,
prosentpoeng

I september 2025 satte Norges Bank ned styringsrenten fra

4{,}25\,\%

til

4\,\%\text{.}

Oppgave 2a)

Hvor mange prosentpoeng ble styringsrenten satt ned med?

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{0{,}25 \text{ prosentpoeng}}}

Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosenttall. Vi trekker den nye renten fra den gamle.

Metode: For hånd

1. Trekk fra den nye renten Den gamle renten er \( \textcolor{blue}{4{,}25\,\%}\text{,} \) og den nye er \( 4\,\%\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{4{,}25\,\%} - 4\,\% = \textcolor{red}{0{,}25} \text{ prosentpoeng} \]

Oppgave 2b)

Hvor mange prosent ble styringsrenten satt ned med?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal:

\underline{\underline{\text{Satt ned med omtrent } 5{,}9\,\%}}

Nå skal vi finne hvor stor endringen er sammenlignet med den gamle renten. Vi deler endringen på den gamle renten.

Metode: For hånd

1. Del endringen på den gamle renten Hvor mange prosent noe endres med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er endringen \( {4{,}25 - 4 = \textcolor{red}{0{,}25}} \) prosentpoeng, og den gamle renten er \( \textcolor{blue}{4{,}25}\,\%\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0{,}25}}{\textcolor{blue}{4{,}25}} \cdot 100\,\% \approx 5{,}88\,\% \]

Oppgave 3

6 poeng

eksponentialfunksjoner,
lineære funksjoner,
modellering

Vipa er en kritisk truet fugleart i Norge.

I 2013 ble bestanden av viper anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.

\begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Vipebestand} \\ & \text{(par)} \\ \hline 2013 & 9000 \\ 2022 & 2500 \end{array}

Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.

x

være antall år etter 2013.

Oppgave 3a)

Lag en modell

f

som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

Vis løsning

Svar

Med stigningstallet avrundet til én desimal minker bestanden med omtrent

722

par per år og er borte etter omtrent

12{,}5

år:

\underline{\underline{f(x) \approx -722{,}2x + 9000}}

Lineær nedgang betyr at bestanden minker med like mange par hvert år. Vi finner konstantleddet og stigningstallet fra de to målingene.

Metode: Med kalkulator

1. Finn konstantleddet og stigningstallet En lineær modell har formen: \[ f(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{blue}{b} \) verdien når \( {x = 0}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{a} \) er hvor mye \( f \) endrer seg når \( x \) øker med \( 1\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp fra to punkter.

I 2013 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{9000}}\text{.} \) Stigningstallet er endringen i bestanden delt på antall år fra 2013 til 2022: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \dfrac{2500 - 9000}{9 - 0} = \dfrac{-6500}{9} \\ \textcolor{red}{a} &\approx \textcolor{red}{-722{,}2} \end{aligned} \]

2. Forklar hva modellen forteller Det gir modellen: \[ f(x) \approx \textcolor{red}{-722{,}2}x + \textcolor{blue}{9000} \]Ifølge modellen minker bestanden med omtrent \( 722 \) par hvert år.

Fortsetter nedgangen slik, er bestanden borte når \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{-722{,}2}x + \textcolor{blue}{9000} &= 0 \\ x &= \dfrac{\textcolor{blue}{9000}}{722{,}2} \approx 12{,}5 \end{aligned} \]Modellen sier at vipa er borte etter omtrent \( 12{,}5 \) år, altså mellom 2025 og 2026. Etter det gir den et negativt antall par, så den kan bare brukes fram til da.

Metode: Med GeoGebra

1. Lag modellen med regresjon Vi lager en liste med de to punktene og bruker lineær regresjon, RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} f(x) = RegLin(l1)

GeoGebra gir \( {y \approx -722{,}2222x + 9000}\text{,} \) det samme som med kalkulator, så bestanden minker med omtrent \( 722 \) par per år.

Oppgave 3b)

Lag en modell

g

som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Egils antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

Vis løsning

Svar

Med vekstfaktoren avrundet til fire desimaler minker bestanden med omtrent

13{,}3\,\%

per år og nærmer seg

0\text{:}

\underline{\underline{g(x) \approx 9000 \cdot 0{,}8673^x}}

Eksponentiell nedgang betyr at bestanden minker med den samme prosenten hvert år. Vi finner vekstfaktoren fra de to målingene.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I 2013 er \( {x = 0}\text{,} \) så startverdien er \( \textcolor{blue}{9000}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]

I 2022 er \( {x = 9}\text{,} \) og bestanden er \( 2500 \) par. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{k}^9 = 2500 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{9000} \) på begge sider og tar niende rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{9}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^9 &= \dfrac{2500}{9000} \\ \textcolor{red}{k} &= \left(\dfrac{2500}{9000}\right)^{1/9} \approx \textcolor{red}{0{,}8673} \end{aligned} \]

3. Forklar hva modellen forteller Det gir modellen: \[ g(x) \approx \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{0{,}8673}^x \]Siden \( {\textcolor{red}{0{,}8673} = 1 - 0{,}1327}\text{,} \) minker bestanden med omtrent \( 13{,}3\,\% \) hvert år.

Fordi bestanden minker med en fast prosent, blir det færre par som forsvinner for hvert år. Ifølge modellen nærmer bestanden seg \( 0\text{,} \) men blir aldri helt borte.

Metode: Med GeoGebra

1. Lag modellen med regresjon Vi bruker eksponentiell regresjon på de to punktene, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{,} \) der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} g(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {g(x) \approx \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{0{,}8673}^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator, så bestanden minker med omtrent \( 13{,}3\,\% \) per år.

Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til vipa. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.

Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen

p\text{.}

Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen

q\text{.}

Nedenfor ser du grafene til de to modellene.

Oppgave 3c)

Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen

q\text{.}

Bestem

p(x)

q(x)\text{.}

Vis løsning

Svar

Bestanden stabiliserer seg på 2000 par, og delen over 2000 par minker med en fast prosent hvert år (vekstfaktoren avrundet til fire desimaler):

\begin{aligned} &\underline{\underline{p(x) \approx 7000 \cdot 0{,}7459^x}} \\ &\underline{\underline{q(x) \approx 7000 \cdot 0{,}7459^x + 2000}} \end{aligned}

Vi sammenligner punktene på de to grafene og ser hvor grafen til \( q \) flater ut. Så finner vi \( p \) fra de to punktene på grafen, og \( q \) fra \( p\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Les av antakelsene Punktene på \( q \) ligger \( \textcolor{green}{2000} \) over punktene på \( p\text{:} \) \[ \begin{aligned} 7000 + \textcolor{green}{2000} &= 9000 \\ 500 + \textcolor{green}{2000} &= 2500 \end{aligned} \]Grafen til \( q \) er grafen til \( p \) flyttet \( \textcolor{green}{2000} \) opp, så \( {q(x) = p(x) + \textcolor{green}{2000}}\text{.} \)

Egil antar altså at bestanden stabiliserer seg på \( \textcolor{green}{2000} \) par, der den stiplede linja ligger. Delen av bestanden over \( 2000 \) par minker med en fast prosent hvert år, slik \( p \) gjør, og modellen passer med \( 9000 \) par i 2013 og \( 2500 \) par i 2022.

2. Finn uttrykket for p Modellen \( p \) er eksponentiell og starter i \( 7000\text{,} \) så den er startverdien ganget med en vekstfaktor \( \textcolor{red}{c} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor: \[ p(x) = \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{c}^x \]

Punktet \( (9, 500) \) gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{c}^9 = 500 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{7000} \) på begge sider og tar niende rot med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{c}^9 &= \dfrac{500}{7000} \\ \textcolor{red}{c} &= \left(\dfrac{500}{7000}\right)^{1/9} \approx \textcolor{red}{0{,}7459} \end{aligned} \]

3. Skriv opp p og q Det gir: \[ \begin{aligned} p(x) &\approx \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7459}^x \\ q(x) &\approx \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7459}^x + \textcolor{green}{2000} \end{aligned} \]Siden \( {1 - \textcolor{red}{0{,}7459} = 0{,}2541}\text{,} \) minker delen over \( 2000 \) par med omtrent \( 25{,}4\,\% \) hvert år.

Metode: Med GeoGebra

1. Lag p og q med regresjon Som i kalkulatorruten er \( {q(x) = p(x) + \textcolor{green}{2000}}\text{.} \) Vi bruker eksponentiell regresjon på punktene til \( p\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og legger til \( \textcolor{green}{2000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 7000), (9, 500)} p(x) = RegEksp(l2) q(x) = p(x) + 2000

GeoGebra gir det samme som med kalkulator: \[ \begin{aligned} p(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x \\ q(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x + 2000 \end{aligned} \]

Oppgave 4

4 poeng

enheter,
formler,
standardform

For å varme opp 1 liter vann 1 grad celsius kreves en energi på 4184 joule (J).

Når kaldt vann kommer inn i en varmtvannstank, er temperaturen omtrent

10\,^\circ\text{C}\text{.}

I varmtvannstanken varmes vannet opp til

70\,^\circ\text{C}\text{.}

Oppgave 4a)

Vis at å varme opp

100\,\text{L}

vann fra

10\,^\circ\text{C}

til

70\,^\circ\text{C}

krever en energi på

{2{,}51 \cdot 10^7\,\text{J}}\text{.}

Vis løsning

Svar

Siden

{4184 \cdot 100 \cdot 60 = 25\,104\,000}\text{,}

er:

\underline{\underline{E \approx 2{,}51 \cdot 10^7\,\text{J}}}

Energien øker med både antall liter og antall grader vannet varmes opp. Vi ganger derfor energien per liter og grad med literne og med gradene.

Metode: For hånd

1. Gang sammen Det kreves \( \textcolor{blue}{4184}\,\text{J} \) for hver liter og hver grad, så energien er: \[ E = \textcolor{blue}{4184}\,\text{J} \cdot \textcolor{green}{\text{liter}} \cdot \textcolor{red}{\text{grader}} \]

Her er det \( \textcolor{green}{100} \) liter, og vannet varmes opp \( {70 - 10 = \textcolor{red}{60}} \) grader: \[ \begin{aligned} E &= \textcolor{blue}{4184} \cdot \textcolor{green}{100} \cdot \textcolor{red}{60}\,\text{J} \\ E &= 25\,104\,000\,\text{J} \end{aligned} \]

På standardform, med to desimaler: \[ \begin{aligned} E &= 2{,}5104 \cdot 10^7\,\text{J} \\ E &\approx 2{,}51 \cdot 10^7\,\text{J} \end{aligned} \]

Når Martin dusjer, bruker han 15 liter vann per minutt. Vannet i dusjen er en blanding av varmt vann fra varmtvannstanken og kaldt vann med en temperatur på

10\,^\circ\text{C}\text{.}

Vannet i dusjen har en temperatur på

40\,^\circ\text{C}\text{.}

Martin har funnet ut at han kan bruke formelen nedenfor til å finne ut hvor mange liter vann

V

fra varmtvannstanken han bruker per minutt når temperaturen på vannet i dusjen er

T\,^\circ\text{C}

V = \dfrac{T - 10}{4}

En dag dusjer Martin i 10 minutter. Vannet i dusjen har en temperatur på

40\,^\circ\text{C}\text{.}

Oppgave 4b)

Hvor mange liter vann fra varmtvannstanken bruker han?

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{75 \text{ liter}}}

Vi setter inn \( {T = 40} \) i formelen og finner liter per minutt. Så ganger vi med de 10 minuttene.

Metode: For hånd

1. Sett inn temperaturen Med \( {T = \textcolor{red}{40}} \) gir formelen: \[ V = \dfrac{\textcolor{red}{40} - 10}{4} = \dfrac{30}{4} = \textcolor{green}{7{,}5} \]Martin bruker \( \textcolor{green}{7{,}5} \) liter fra varmtvannstanken per minutt.

2. Gang med tiden På \( 10 \) minutter blir det: \[ \textcolor{green}{7{,}5}\,\text{L/min} \cdot 10\,\text{min} = \textcolor{green}{75\,\text{L}} \]

Oppgave 4c)

Hvor mye energi kreves for å varme opp vannet han bruker fra varmtvannstanken?

Vis løsning

Svar

Energien er

18\,828\,000\,\text{J}\text{,}

på standardform med to desimaler:

\underline{\underline{E \approx 1{,}88 \cdot 10^7\,\text{J}}}

Vi bruker de 75 literne fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vannet fra tanken er varmet opp fra 10 °C til 70 °C. Vi regner som i a), med 75 liter i stedet for 100.

Metode: For hånd

1. Regn ut energien I b) fant vi at Martin bruker \( \textcolor{green}{75} \) liter fra tanken. Hver liter er varmet opp \( {70 - 10 = \textcolor{red}{60}} \) grader, og det kreves \( \textcolor{blue}{4184}\,\text{J} \) for hver liter og hver grad: \[ \begin{aligned} E &= \textcolor{blue}{4184} \cdot \textcolor{green}{75} \cdot \textcolor{red}{60}\,\text{J} \\ E &= 18\,828\,000\,\text{J} \\ E &\approx 1{,}88 \cdot 10^7\,\text{J} \end{aligned} \]

Når vi betaler for den elektriske energien vi bruker, betaler vi per kilowattime (kWh).

1\,\text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\,\text{J}

En morgen var strømprisen 134 øre per kWh.

Oppgave 4d)

Hvor mye kostet det Martin å ta en dusj på 10 minutter denne morgenen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele øre:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 7{,}01 \text{ kroner}}}

Vi bruker energien fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi gjør om energien fra joule til kilowattimer, og ganger med prisen per kilowattime.

Metode: For hånd

1. Gjør om til kilowattimer I c) fant vi at energien er \( 18\,828\,000\,\text{J}\text{.} \) Siden \( {1\,\text{kWh} = 3\,600\,000\,\text{J}}\text{,} \) deler vi med \( 3\,600\,000\text{:} \) \[ \dfrac{18\,828\,000\,\text{J}}{3\,600\,000\,\text{J/kWh}} = \textcolor{blue}{5{,}23\,\text{kWh}} \]

2. Gang med prisen Strømmen koster \( \textcolor{red}{134} \) øre per kWh: \[ \begin{aligned} \text{Pris} &= \textcolor{blue}{5{,}23}\,\text{kWh} \cdot \textcolor{red}{134}\,\text{øre/kWh} \\ \text{Pris} &= 700{,}82\,\text{øre} \end{aligned} \]Det er omtrent \( 7{,}01 \) kroner.

Ferdig med settet? Se de andre 1P-eksamenene