1P eksamen høsten 2023

I tabellen ser vi at en stor hund blir \( 6 \) menneskeår eldre for hvert år fra den er 2 år. Det gir en lineær modell, og så sjekker vi for hvilke aldre den stemmer med tabellen.

1. Finn stigningstallet En lineær modell har formen: \[ H(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) stigningstallet, det \( H \) øker med når \( x \) øker med \( 1\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) er konstantleddet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp med stigningstall og konstantledd.

I kolonnen for store hunder øker menneskeårene med \( 6 \) for hvert hundeår fra 2 år: \( 24\text{,} \) \( 30\text{,} \) \( 36 \) og så videre til \( 96\text{.} \) Med punktene \( (2, 24) \) og \( (3, 30) \) er stigningstallet endringen i \( H \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{30 - 24}{3 - 2} = \textcolor{red}{6} \]

2. Finn konstantleddet En hund på 2 år tilsvarer 24 menneskeår, altså er \( {H(2) = 24}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{6} \cdot 2 + \textcolor{blue}{b} &= 24 \\ \textcolor{blue}{b} &= 24 - 12 = \textcolor{blue}{12} \end{aligned} \]Det gir \( {H(x) = \textcolor{red}{6}x + \textcolor{blue}{12}}\text{,} \) som er uttrykket Sondre har funnet.

3. Finn når modellen gjelder Modellen gir tallene i tabellen for alle hele år fra 2 til 14, for eksempel: \[ H(14) = 6 \cdot 14 + 12 = 96 \]

Under 2 år stemmer den ikke. En hund på 1 år tilsvarer 16 menneskeår, men modellen gir \( {H(1) = 6 + 12 = 18}\text{.} \) Etter 14 år har tabellen ingen tall. Modellen gjelder derfor for store hunder fra 2 til 14 år.

To størrelser er proporsjonale når den ene er et fast tall ganget med den andre. Vi sjekker om modellen har den formen, og prøver med to aldre.

1. Sjekk formen til modellen At menneskeårene er proporsjonale med hundeårene, betyr at: \[ H(x) = k \cdot x \]der \( k \) er et fast tall. Grafen er da en rett linje gjennom origo.

Modellen \( {H(x) = 6x + \textcolor{blue}{12}} \) har konstantleddet \( \textcolor{blue}{12}\text{,} \) så den har ikke denne formen.

2. Prøv med to aldre Dobler vi alderen til hunden fra 2 til 4 år, får vi: \[ \begin{aligned} H(2) &= 6 \cdot 2 + 12 = \textcolor{red}{24} \\ H(4) &= 6 \cdot 4 + 12 = 36 \end{aligned} \]Var alderen proporsjonal, skulle dobbel hundealder gitt dobbelt så mange menneskeår, altså \( {2 \cdot \textcolor{red}{24} = 48}\text{.} \) Dette kalles et moteksempel, og påstanden til Sondre stemmer derfor ikke.

Antallet fiskere går ned i hele perioden, men stadig langsommere. Det passer med en eksponentiell modell, som går ned med en fast prosent hvert år, og den finner vi med regresjon.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon på seks punkter. Øv heller på å lage en eksponentiell modell gjennom to av punktene med kalkulatoren, der vekstfaktoren er en rot.

1. Velg modell Fra 1952 til 1982 gikk antallet ned med omtrent \( 1360 \) personer per år, men fra 2012 til 2022 bare med omtrent \( 23 \) per år. En lineær modell går ned med like mye hvert år og passer dårlig. En eksponentiell modell går ned med en fast prosent hvert år og har formen: \[ F(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x \]der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor.

2. Bruk eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner den modellen på denne formen som går så nær punktene som mulig. Med \( x \) år etter 1950 er 1952 \( {x = 2} \) og 2022 \( {x = 72}\text{.} \) Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(2, 65956), (32, 25289), (42, 19780), (52, 13841), (62, 9825), (72, 9591)} F(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {F(x) \approx \textcolor{blue}{66\,359{,}66} \cdot \textcolor{red}{0{,}97143}^x}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Siden \( {1 - \textcolor{red}{0{,}97143} \approx 0{,}029}\text{,} \) går antallet ned med omtrent \( 2{,}9\,\% \) hvert år ifølge modellen.

Andre modeller kan også godtas når valget er begrunnet.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

2050 er 100 år etter 1950, så vi setter inn \( {x = 100} \) i modellen. Så ser vi om 2050 ligger innenfor årene modellen bygger på.

1. Regn ut antallet i 2050 I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^x \]

2050 er \( {2050 - 1950 = \textcolor{green}{100}} \) år etter 1950. Modellen ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor, og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{green}{100}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{green}{100}} \\ F(100) &\approx 3656 \end{aligned} \]Ifølge modellen vil omtrent \( 3\,660 \) personer ha fiske som hovedyrke i 2050.

2. Vurder gyldighetsområdet Modellen bygger på tallene fra 1952 til 2022, altså \( {2 \le x \le 72}\text{.} \) 2050 ligger 28 år etter det siste året i tabellen, så svaret er usikkert.

De siste ti årene gikk antallet nesten ikke ned, fra \( 9825 \) til \( 9591\text{.} \) Modellen går ned med omtrent \( 2{,}9\,\% \) hvert år og gir bare \( {F(72) \approx 8235} \) for 2022. Den gir derfor trolig for lave tall etter 2022.

1. Finn punktet på grafen Med \( F \) fra a) i GeoGebra skriver vi inn punktet på grafen der \( {x = 100}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: P = (100, F(100))

GeoGebra gir \( {P \approx (100,\ 3658{,}13)}\text{,} \) altså omtrent \( 3\,660 \) personer, som med kalkulator.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Linja går gjennom to punkter på grafen til \( F\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.

1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

I a) fant vi \( {F(x) \approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^x}\text{.} \) Punktene er \( (\textcolor{blue}{30}, \textcolor{red}{F(30)}) \) og \( (\textcolor{blue}{70}, \textcolor{red}{F(70)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{30}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{blue}{30}} \\ F(30) &\approx \textcolor{red}{27\,813} \\ F(\textcolor{blue}{70}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{blue}{70}} \\ F(70) &\approx \textcolor{red}{8724} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8724} - \textcolor{red}{27\,813}}{\textcolor{blue}{70} - \textcolor{blue}{30}} \\ a &\approx \dfrac{-19\,089}{40} \approx -477 \end{aligned} \]

2. Tolk svaret \( {x = 30} \) er 1980, og \( {x = 70} \) er 2020. Stigningstallet er den gjennomsnittlige endringen per år, så fra 1980 til 2020 gikk antall fiskere i gjennomsnitt ned med omtrent \( 477 \) personer per år, ifølge modellen.

Vi finner hvor mange sekunder det er i et år, og fordeler de 500 millioner pølsene likt på dem.

1. Finn antall sekunder i et år Et år har 365 døgn, et døgn har 24 timer, en time 60 minutter og et minutt 60 sekunder: \[ 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = \textcolor{blue}{31\,536\,000} \]

2. Del pølsene på sekundene Vi deler de \( \textcolor{red}{500\,000\,000} \) pølsene på sekundene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{500\,000\,000}}{\textcolor{blue}{31\,536\,000}} \approx 15{,}85 \]

Vi finner hvor stor del de 13 millionene er av de 500 millionene, og skriver delen som prosent.

1. Del på alle pølsene Formelen for del av hel forteller oss at: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{del}}}{\textcolor{blue}{\text{hel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er delen \( \textcolor{red}{13} \) millioner og helheten \( \textcolor{blue}{500} \) millioner: \[ \dfrac{\textcolor{red}{13}}{\textcolor{blue}{500}} \cdot 100\,\% = 2{,}6\,\% \]

Pølsene lagt etter hverandre er to og en halv gang omkretsen av jorda. Vi deler den lengden på antall pølser.

1. Finn omkretsen av jorda Omkretsen av en sirkel med radius \( r \) er: \[ O = 2\pi r \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Volum og Overflate, der omkretsen til en sirkel er bredden på sideflaten til en sylinder.

Med \( {r = 6378\,\text{km}} \) er omkretsen ved ekvator: \[ O = 2\pi \cdot 6378\,\text{km} \approx \textcolor{blue}{40\,074\,\text{km}} \]

2. Finn lengden av én pølse To og en halv gang rundt jorda er: \[ 2{,}5 \cdot \textcolor{blue}{40\,074\,\text{km}} \approx \textcolor{red}{100\,185\,\text{km}} \]

Det er \( \textcolor{red}{100\,185\,000\,\text{m}}\text{,} \) og de 500 millioner pølsene deler den lengden: \[ \dfrac{\textcolor{red}{100\,185\,000\,\text{m}}}{500\,000\,000} \approx 0{,}20\,\text{m} = 20\,\text{cm} \]

Hvert linjestykke er \( 90\,\% \) av det forrige, så vi ganger med \( 0{,}9 \) for å finne det neste. Så legger vi sammen de 8 første lengdene.

1. Finn lengdene Når noe blir \( 90\,\% \) av det det var, minker det med \( 10\,\%\text{,} \) og vekstfaktoren er \( {1 - 0{,}10 = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.

Vi starter med \( 100\,\text{cm} \) og ganger med \( \textcolor{red}{0{,}9} \) for hvert nye linjestykke: \[ \begin{array}{c|r} \text{Nr.} & \text{Lengde (cm)} \\ \hline 1 & 100 \\ 2 & 90 \\ 3 & 81 \\ 4 & 72{,}9 \\ 5 & 65{,}61 \\ 6 & 59{,}049 \\ 7 & 53{,}1441 \\ 8 & 47{,}82969 \end{array} \]

2. Legg sammen lengdene Med kalkulatoren får vi, i cm: \[ \begin{aligned} &100 + 90 + 81 + 72{,}9 + 65{,}61 \\ &{}+ 59{,}049 + 53{,}1441 + 47{,}82969 \\ &{}= 569{,}53279 \end{aligned} \]

Programmet legger til ett linjestykke om gangen og ganger lengden med \( 0{,}9 \) før det neste. Løkka fortsetter til summen er minst \( {9\,\text{m} = 900\,\text{cm}}\text{,} \) og så skriver programmet ut antallet og summen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, linje for linje.

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 til 3 setter lengden av det første linjestykket til \( 100\,\text{cm}\text{,} \) og summen og antallet til \( 0\text{.} \)

Linje 5 gjentar løkka så lenge summen er under \( 900\,\text{cm}\text{,} \) og vi kan gå gjennom den linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. I hver runde legger linje 6 lengden til summen, linje 7 finner lengden av det neste linjestykket og linje 8 teller linjestykket: \[ \begin{aligned} \text{summen} &= \text{summen} + \text{lengde} \\ \text{lengde} &= \textcolor{red}{0{,}9} \cdot \text{lengde} \end{aligned} \]

Vil vi ha summen av et bestemt antall linjestykker, for eksempel 50, bytter vi betingelsen i linje 5 med \( {\texttt{antall < 50}}\text{.} \)

2. Les av utskriften Linje 10 og 11 skriver ut antallet og summen. Løkka stopper første gang summen er minst \( 900\,\text{cm}\text{,} \) og det skjer etter \( 22 \) linjestykker, med summen \( 901{,}5\,\text{cm}\text{.} \) Med \( 21 \) linjestykker var summen altså under \( 900\,\text{cm}\text{,} \) så vi må ha med \( 22 \) linjestykker.

Vi bruker programmet fra b).

Vi bruker programmet fra b) til å finne summen av 50 og av 100 linjestykker. Så finner vi hvor mange prosent den største summen er større enn den minste.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å finne hvor mange prosent noe øker med, som i steg 2.

1. Finn de to summene Vi bytter betingelsen i linje 5 i programmet fra b) med \( {\texttt{antall < 50}}\text{:} \)

Med \( {\texttt{antall < 100}} \) i linje 5 skriver programmet ut summen \( 999{,}9734386011127\text{.} \) Summene er altså, i cm: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{S_{50}} &\approx \textcolor{blue}{994{,}846} \\ \textcolor{red}{S_{100}} &\approx \textcolor{red}{999{,}973} \end{aligned} \]

2. Finn økningen i prosent Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Endringen er \( {\textcolor{red}{999{,}973} - \textcolor{blue}{994{,}846} = 5{,}127}\text{,} \) og den gamle summen er \( \textcolor{blue}{994{,}846}\text{:} \) \[ \dfrac{5{,}127}{\textcolor{blue}{994{,}846}} \cdot 100\,\% \approx 0{,}52\,\% \]Summen øker bare litt, fordi linjestykke nummer 51 til 100 er svært korte.

Vi finner først \( h \) med \( {a = 3} \) og \( {b = 2}\text{,} \) og setter så alt inn i Ramanujans formel.

1. Finn h Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}}\text{:} \) \[ h = \left(\dfrac{\textcolor{blue}{3} - \textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3} + \textcolor{red}{2}}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 = \textcolor{green}{0{,}04} \]

2. Sett inn i formelen Ramanujans formel forteller oss at: \[ O \approx \pi(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})\left(1 + \dfrac{3\textcolor{green}{h}}{10 + \sqrt{4 - 3\textcolor{green}{h}}}\right) \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}} \) og \( {\textcolor{green}{h} = \textcolor{green}{0{,}04}}\text{,} \) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} O &\approx \pi \cdot 5 \cdot \left(1 + \dfrac{0{,}12}{10 + \sqrt{3{,}88}}\right) \\ O &\approx 15{,}865 \end{aligned} \]Her er \( {3 \cdot \textcolor{green}{0{,}04} = 0{,}12} \) og \( {4 - 0{,}12 = 3{,}88}\text{.} \)

3. Sammenlign med Mari Med tre desimaler er \( {O \approx 15{,}865\,\text{cm}}\text{,} \) det samme som Mari fant med det digitale verktøyet. Formelen er altså svært nøyaktig her.

En sirkel er en ellipse der de to halvaksene er like lange, \( {a = b = r}\text{.} \) Vi setter det inn i formelen og ser om vi får omkretsen av en sirkel, \( 2\pi r\text{.} \)

1. Finn h for en sirkel Med \( {a = b = r} \) blir telleren i brøken \( 0\text{:} \) \[ h = \left(\dfrac{r - r}{r + r}\right)^2 = \left(\dfrac{0}{2r}\right)^2 = \textcolor{green}{0} \]

2. Sett inn i formelen Med \( {\textcolor{green}{h} = \textcolor{green}{0}} \) blir brøken i parentesen \( {\dfrac{3 \cdot \textcolor{green}{0}}{10 + \sqrt{4}} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &\approx \pi(r + r)(1 + 0) \\ O &\approx \pi \cdot 2r = 2\pi r \end{aligned} \]Det er nettopp omkretsen av en sirkel med radius \( r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Formelen gjelder altså også for en sirkel, og der gir den det eksakte svaret.