Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

1P eksamen våren 2022

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 6 oppgaver

Oppgave 1

Renten på et lån steg fra 2,0 % 2{,}0\,\% til 2,2 %. 2{,}2\,\%\text{.}

Oppgave 1a)

Hvor mange prosentpoeng steg renten med?
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
0,2 prosentpoeng‾‾ \underline{\underline{0{,}2 \text{ prosentpoeng}}}
Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosenttall. Vi trekker den gamle renten fra den nye.
1. Trekk fra den gamle renten Prosent betyr hundredeler, som i videoen Hva er prosent?, og to prosenttall kan vi trekke fra hverandre. Den nye renten er \( \textcolor{red}{2{,}2\,\%}\text{,} \) og den gamle er \( \textcolor{blue}{2{,}0\,\%}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{2{,}2\,\%} - \textcolor{blue}{2{,}0\,\%} = 0{,}2 \text{ prosentpoeng} \]

Oppgave 1b)

Hvor mange prosent steg renten med?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Økningen på 0,2 0{,}2 prosentpoeng er en tidel av 2,0 %: 2{,}0\,\%\text{:}
10 %‾‾ \underline{\underline{10\,\%}}
Nå skal vi finne hvor stor økningen er sammenlignet med den gamle renten. Vi deler økningen på den gamle renten.
1. Del økningen på den gamle renten Hvor mange prosent noe har økt, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Renten økte med \( {2{,}2 - 2{,}0 = \textcolor{red}{0{,}2}} \) prosentpoeng, og den gamle renten er \( \textcolor{blue}{2{,}0}\,\%\text{.} \) Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{0{,}2}}{\textcolor{blue}{2{,}0}} \cdot 100\,\% = \dfrac{2}{20} \cdot 100\,\% = 10\,\% \]

Oppgave 2

Diagrammet viser antall elever ved en videregående skole de fire siste årene.
Når var det størst prosentvis økning i antall elever fra et år til det neste?
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Økningen på 100 elever er 17 \dfrac{1}{7} av 700, mer enn 18 \dfrac{1}{8} og 19 \dfrac{1}{9} senere:
Fra 2018 til 2019‾‾ \underline{\underline{\text{Fra 2018 til 2019}}}
Vi leser av antall elever hvert år og finner den prosentvise økningen fra hvert år til det neste. Økningen deles på antallet året før.
1. Les av diagrammet Linjene går for hver 200 elever. Søylene for 2019 og 2021 når en linje, og søylene for 2018 og 2020 står midt mellom to linjer: \[ \begin{array}{c|c} \text{År} & \text{Elever} \\ \hline 2018 & \textcolor{blue}{700} \\ 2019 & 800 \\ 2020 & 900 \\ 2021 & 1000 \end{array} \]Antallet øker med \( \textcolor{red}{100} \) elever hvert år.
2. Finn den prosentvise økningen Hvor mange prosent noe har økt, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
\( 2018 \) til \( 2019\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{100}}{\textcolor{blue}{700}} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{7} \cdot 100\,\% \]
\( 2019 \) til \( 2020\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{100}}{\textcolor{blue}{800}} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{8} \cdot 100\,\% \]
\( 2020 \) til \( 2021\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{100}}{\textcolor{blue}{900}} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{9} \cdot 100\,\% \]
3. Sammenlign Brøkene har \( 1 \) i telleren, og jo mindre nevner, desto større er brøken: \[ \dfrac{1}{7} > \dfrac{1}{8} > \dfrac{1}{9} \]Økningen er like stor hvert år, men den er størst sammenlignet med det minste antallet, \( \textcolor{blue}{700} \) i 2018.

Oppgave 3

Oppgave 3a)

Gi et eksempel på to størrelser som er proporsjonale.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Strekning s s og tid t t for en bil med fast fart 60 km/h 60\,\text{km/h} er proporsjonale:
s=60t‾‾ \underline{\underline{s = 60t}}
To størrelser er proporsjonale når forholdet mellom dem er det samme hele tiden. Vi velger en bil som kjører med fast fart.
1. Velg en situasjon To størrelser \( x \) og \( y \) er proporsjonale når den ene er et fast tall \( k \) ganger den andre: \[ y = k \cdot x \quad \text{eller} \quad \dfrac{y}{x} = k \]
En bil kjører med fast fart \( \textcolor{blue}{60}\,\text{km/h}\text{.} \) Strekningen er fart ganger tid, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT), så etter \( \textcolor{red}{t} \) timer har bilen kjørt \( s \) kilometer: \[ s = \textcolor{blue}{60} \cdot \textcolor{red}{t} \]
2. Begrunn at de er proporsjonale Her er forholdet mellom strekning og tid alltid farten: \[ \dfrac{s}{\textcolor{red}{t}} = \textcolor{blue}{60} \]Kjører bilen dobbelt så lenge, kommer den dobbelt så langt. Strekning og tid er derfor proporsjonale.
Andre eksempler er også riktige, for eksempel vekten av epler og prisen når kiloprisen er fast.

Oppgave 3b)

Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom de to størrelsene.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Grafen til s=60t {s = 60t} går gjennom (1,60), (1, 60)\text{,} (2,120) (2, 120) og (3,180): (3, 180)\text{:}
Rett linje gjennom origo‾‾ \underline{\underline{\text{Rett linje gjennom origo}}}
Vi bruker eksempelet fra a).
Vi regner ut strekningen for noen tider, setter av punktene i et koordinatsystem og trekker en linje gjennom dem.
1. Lag en verditabell I a) fant vi sammenhengen: \[ s = \textcolor{blue}{60} \cdot \textcolor{red}{t} \]
Vi regner ut strekningen etter \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) \( \textcolor{red}{2} \) og \( \textcolor{red}{3} \) timer: \[ \begin{array}{c|c} \textcolor{red}{t}\ \text{(h)} & s\ \text{(km)} \\ \hline 0 & 0 \\ \textcolor{red}{1} & 60 \\ \textcolor{red}{2} & 120 \\ \textcolor{red}{3} & 180 \end{array} \]
2. Tegn grafen Vi setter av punktene og trekker en rett linje gjennom dem. Linja har stigningstall \( \textcolor{blue}{60} \) og konstantledd \( 0\text{,} \) som \( {y = ax + b} \) i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Grafen er en rett linje gjennom origo, slik grafen til to proporsjonale størrelser alltid er: etter \( 0 \) timer har bilen kjørt \( 0 \) kilometer.

Oppgave 4

Siri har et stykke papp og vil lage en eske. Hun har satt opp en modell som viser volumet V(x) cm3 V(x)\,\text{cm}^3 av esken dersom hun lager den x cm x\,\text{cm} høy
V(x)=4x3−100x2+600x,0<x<10 \begin{gathered} V(x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x, \\ 0 < x < 10 \end{gathered}

Oppgave 4a)

Hvor stort volum får esken dersom Siri lager den 5 cm 5\,\text{cm} høy?
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Når esken er 5 cm 5\,\text{cm} høy, er volumet:
1000 cm3‾‾ \underline{\underline{1000\,\text{cm}^3}}
Høyden er \( x\text{,} \) så vi setter inn \( {x = 5} \) i modellen og regner ut leddene hver for seg.
1. Sett inn høyden Med \( {x = \textcolor{blue}{5}} \) er \( {\textcolor{blue}{5}^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125} \) og \( {\textcolor{blue}{5}^2 = 25}\text{,} \) som i videoen Hva er en Potens. Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V(\textcolor{blue}{5}) &= 4 \cdot \textcolor{blue}{5}^3 - 100 \cdot \textcolor{blue}{5}^2 + 600 \cdot \textcolor{blue}{5} \\ V(5) &= 4 \cdot 125 - 100 \cdot 25 + 3000 \\ V(5) &= 500 - 2500 + 3000 \\ V(5) &= 1000 \end{aligned} \]

Oppgave 4b)

Hva finner Siri ut dersom hun løser likningen V(x)=500? {V(x) = 500}\text{?}
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Siri finner hvor høy esken kan være for at volumet skal bli 500 cm3: 500\,\text{cm}^3\text{:}
Høydene som gir 500 cm3‾‾ \underline{\underline{\text{Høydene som gir } 500\,\text{cm}^3}}
\( V(x) \) er volumet når esken er \( x\,\text{cm} \) høy. Likningen spør derfor om høyden når volumet er \( 500\,\text{cm}^3\text{.} \)
1. Tolk likningen I likningen er \( \textcolor{red}{V(x)} \) volumet i \( \text{cm}^3 \) og \( \textcolor{blue}{x} \) høyden i \( \text{cm}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{V(x)} = 500 \]Løser Siri den, finner hun hvilke høyder \( \textcolor{blue}{x} \) som gir esken et volum på \( 500\,\text{cm}^3\text{.} \)
2. Se hvor mange løsninger det er Fra a) vet vi at \( {V(5) = 1000}\text{,} \) som er mer enn \( 500\text{.} \) Helt ved kantene er volumet nesten \( 0\text{,} \) fordi: \[ \begin{aligned} V(0) &= 0 \\ V(10) &= 4000 - 10\,000 + 6000 = 0 \end{aligned} \]Volumet går altså fra nesten \( 0 \) opp over \( 500 \) og ned igjen, så det er én høyde under \( 5\,\text{cm} \) og én over \( 5\,\text{cm} \) som gir \( 500\,\text{cm}^3\text{.} \)

Oppgave 5

En elev har skrevet programkoden ovenfor.
Hva ønsker eleven å finne ut? Forklar hva som skjer når programmet kjøres.
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Eleven vil finne hvor mange år det tar før 2000 2000 er doblet med 5 % 5\,\% vekst per år, og utskriften viser:
Verdien, minst 4000‾‾Antall a˚r til doblingen‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Verdien, minst 4000}}} \\ &\underline{\underline{\text{Antall år til doblingen}}} \end{aligned}
Vi leser programmet linje for linje. Løkka ganger verdien med vekstfaktoren \( 1{,}05 \) og teller år, helt til verdien er doblet.
1. Les linje 1 til 4 Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 til 4 setter startverdien til \( \textcolor{blue}{2000}\text{,} \) verdien lik startverdien, vekstfaktoren til \( \textcolor{red}{1{,}05} \) og antall år til \( 0\text{.} \)
For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er: \[ \textcolor{red}{1{,}05} = 1 + \dfrac{5}{100} \]Verdien øker altså med \( 5\,\% \) hver gang.
2. Les løkka Linje 6 gjentar linje 7 og 8 så lenge verdien er mindre enn \( {\textcolor{blue}{2000} \cdot 2 = 4000}\text{.} \) Linje 7 ganger verdien med \( \textcolor{red}{1{,}05}\text{,} \) og linje 8 øker antall år med \( 1\text{.} \) De to første rundene gir: \[ \begin{aligned} \text{År 1:}\quad & \textcolor{blue}{2000} \cdot \textcolor{red}{1{,}05} = 2100 \\ \text{År 2:}\quad & 2100 \cdot \textcolor{red}{1{,}05} = 2205 \end{aligned} \]Slik fortsetter det, ett år for hver runde.
3. Les utskriften Løkka stopper første gang verdien er \( 4000 \) eller mer, altså første gang den er doblet. Da skriver linje 10 ut verdien, som er minst \( 4000\text{,} \) og linje 11 antall år. Eleven vil altså finne ut hvor mange år det tar før \( 2000 \) er doblet, når verdien øker med \( 5\,\% \) hvert år.

Oppgave 6

Et rektangel er tre ganger så langt som det er bredt. Arealet av rektangelet er 432 cm2. 432\,\text{cm}^2\text{.}
Hvor bredt er rektangelet?
Vis løsning på oppgave 6

Svar

Lengden er 3⋅12=36 cm, {3 \cdot 12 = 36\,\text{cm}}\text{,} og bredden er:
12 cm‾‾ \underline{\underline{12\,\text{cm}}}
Vi kaller bredden \( b\text{.} \) Da er lengden \( 3b\text{,} \) og arealet gir en likning med \( b \) som den eneste ukjente.
1. Sett opp likningen Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde: \[ A = \textcolor{red}{l} \cdot b \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Areal og Omkrets.
Her er lengden \( \textcolor{red}{3b} \) og arealet \( 432\,\text{cm}^2\text{:} \) \[ \textcolor{red}{3b} \cdot b = 432 \]
2. Løs likningen Vi skriver \( {3b \cdot b} \) som \( 3b^2 \) og deler med \( 3 \) på begge sider: \[ \begin{aligned} 3b^2 &= 432 \\ b^2 &= 144 \end{aligned} \]
Bredden er det positive tallet som ganget med seg selv gir \( 144\text{.} \) Siden \( {12 \cdot 12 = 144}\text{,} \) er: \[ b = 12 \]Lengden er da \( {3 \cdot 12 = 36\,\text{cm}}\text{.} \)
Kontroll: \( {36\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 432\,\text{cm}^2}\text{,} \) som i oppgaven.

Del 2

Med hjelpemidler · 8 oppgaver

Oppgave 1

En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut.
Anta at funksjonen V V gitt ved
V(x)=2000−2000⋅(1−x40)2,0≤x≤40 \begin{gathered} V(x) = 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \dfrac{x}{40}\right)^2, \\ 0 \le x \le 40 \end{gathered}
kan brukes som en modell for hvor mange liter vann V(x) V(x) som er tappet ut av tanken x x minutter etter at tappingen startet.

Oppgave 1a)

Bestem V(0). V(0)\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Når tappingen starter, er ingen liter tappet ut:
V(0)=0‾‾ \underline{\underline{V(0) = 0}}
\( V(0) \) er hvor mye vann som er tappet ut når tappingen starter. Vi setter inn \( {x = 0} \) i modellen.
Metode: For hånd
1. Sett inn null minutter Med \( {x = \textcolor{blue}{0}} \) blir brøken \( 0\text{,} \) og parentesen blir \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} V(\textcolor{blue}{0}) &= 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \dfrac{\textcolor{blue}{0}}{40}\right)^2 \\ V(0) &= 2000 - 2000 \cdot 1^2 = 0 \end{aligned} \]
2. Tolk svaret Når tappingen starter, etter \( 0 \) minutter, er ennå ikke noe vann tappet ut av tanken.

Oppgave 1b)

Bestem verdimengden til V. V\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
V V øker fra V(0)=0 {V(0) = 0} til V(40)=2000, {V(40) = 2000}\text{,} så verdimengden er:
[0,2000]‾‾ \underline{\underline{[0, 2000]}}
Verdimengden er alle verdiene \( V(x) \) kan ha når \( x \) går fra \( 0 \) til \( 40\text{.} \) Vi ser hvordan \( V \) endrer seg, og finner den minste og den største verdien.
Metode: Med kalkulator
1. Se hvordan V endrer seg Når \( x \) går fra \( 0 \) til \( 40\text{,} \) går \( {1 - \dfrac{x}{40}} \) fra \( 1 \) ned til \( 0\text{.} \) Da blir også kvadratet mindre og mindre, så vi trekker mindre og mindre fra \( 2000\text{.} \) Mer og mer vann er altså tappet ut, og \( V \) øker hele tiden.
2. Finn minste og største verdi Den minste verdien er derfor i \( {x = 0} \) og den største i \( {x = 40}\text{.} \) Fra a) er \( {V(0) = \textcolor{blue}{0}}\text{,} \) og: \[ \begin{aligned} V(40) &= 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \dfrac{40}{40}\right)^2 \\ V(40) &= 2000 - 2000 \cdot 0^2 = \textcolor{red}{2000} \end{aligned} \]Etter \( 40 \) minutter er alle \( \textcolor{red}{2000} \) literne tappet ut.
Metode: Med GeoGebra
1. Tegn grafen Vi skriver inn modellen med definisjonsmengden, og punktene i endene av grafen:
Skriv inn i GeoGebra: V(x) = 2000 - 2000(1 - x/40)^2, 0 <= x <= 40 A = (0, V(0)) B = (40, V(40))
Grafen stiger hele veien fra \( {A = (0, \textcolor{blue}{0})} \) til \( {B = (40, \textcolor{red}{2000})}\text{,} \) så \( V \) har alle verdiene mellom \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{2000}\text{.} \)

Oppgave 1c)

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av vannet er tappet ut av tanken?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Halvparten av vannet, 1000 1000 liter, er tappet ut etter omtrent 11 minutter og 43 sekunder, som avrundet til én desimal er:
Omtrent 11,7 minutter‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 11{,}7 \text{ minutter}}}
Etter \( 40 \) minutter er alt vannet, \( 2000 \) liter, tappet ut. Halvparten er \( 1000 \) liter, så vi løser likningen \( {V(x) = 1000}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen Modellen gjelder til \( {x = 40}\text{,} \) og da er vannet tappet ut. Tanken har altså \( {V(40) = 2000} \) liter, og halvparten er \( \textcolor{red}{1000} \) liter: \[ 2000 - 2000 \cdot \left(\textcolor{blue}{1 - \dfrac{x}{40}}\right)^2 = \textcolor{red}{1000} \]
2. Løs likningen Vi trekker fra \( 2000 \) og deler med \( {-2000} \) på begge sider: \[ \left(\textcolor{blue}{1 - \dfrac{x}{40}}\right)^2 = 0{,}5 \]
Parentesen er positiv for \( {x < 40}\text{,} \) så vi tar kvadratroten med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1 - \dfrac{x}{40}} &= \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}7071 \\ \dfrac{x}{40} &\approx 0{,}2929 \\ x &\approx 40 \cdot 0{,}2929 \approx 11{,}716 \end{aligned} \]Det er 11 minutter og \( {0{,}716 \cdot 60 \approx 43} \) sekunder.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet Vi tegner grafen til \( V \) og linja \( {y = 1000}\text{,} \) og finner skjæringen mellom dem, som med «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: V(x) = 2000 - 2000(1 - x/40)^2, 0 <= x <= 40 g(x) = 1000 S = Skjæring(V, g)
Skjæringspunktet er \( {S \approx (11{,}7157,\ \textcolor{red}{1000})}\text{,} \) så halvparten av vannet er tappet ut etter omtrent \( 11{,}7 \) minutter.

Oppgave 1d)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (0,V(0)) (0, V(0)) og (30,V(30)). (30, V(30))\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
De første 30 minuttene tappes det i gjennomsnitt ut 62,5 liter per minutt:
Stigningstallet=62,5‾‾ \underline{\underline{\text{Stigningstallet} = 62{,}5}}
Vi regner ut \( V(30) \) og finner stigningstallet mellom de to punktene. Det er hvor mange liter som i gjennomsnitt tappes ut per minutt.
Metode: For hånd
1. Finn punktene Fra a) er \( {V(0) = 0}\text{.} \) Med \( {x = 30} \) er brøken \( {\dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V(30) &= 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \dfrac{3}{4}\right)^2 \\ V(30) &= 2000 - 2000 \cdot \dfrac{1}{16} = 1875 \end{aligned} \]
2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Punktene er \( (\textcolor{blue}{0}, \textcolor{red}{0}) \) og \( (\textcolor{blue}{30}, \textcolor{red}{1875})\text{:} \) \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{1875} - \textcolor{red}{0}}{\textcolor{blue}{30} - \textcolor{blue}{0}} = 62{,}5 \]
3. Tolk svaret Stigningstallet er den gjennomsnittlige endringen per minutt. De første 30 minuttene tappes det altså i gjennomsnitt ut \( 62{,}5 \) liter vann per minutt.

Oppgave 1e)

Undersøk om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.
Vis løsning på oppgave 1e
Svar
Det tappes mest det første minuttet, 98,75 98{,}75 liter, og mindre etter det:
Nei, aldri mer enn 105 liter‾‾ \underline{\underline{\text{Nei, aldri mer enn } 105 \text{ liter}}}
Hvor mye som tappes ut i ett minutt, er hvor mye \( V \) øker det minuttet. Vi regner ut økningen minutt for minutt og ser når den er størst.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut de første minuttene Det som tappes ut i det første minuttet, er \( {V(1) - V(0)}\text{.} \) Med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} V(1) &= 2000 - 2000 \cdot \left(\dfrac{39}{40}\right)^2 \\ V(1) &= \textcolor{red}{98{,}75} \end{aligned} \]Siden \( {V(0) = 0}\text{,} \) tappes det ut \( \textcolor{red}{98{,}75} \) liter det første minuttet.
På samme måte får vi de neste minuttene: \[ \begin{array}{c|c} \text{Minutt} & \text{Tappet ut (L)} \\ \hline 0 \text{ til } 1 & \textcolor{red}{98{,}75} \\ 1 \text{ til } 2 & 96{,}25 \\ 2 \text{ til } 3 & 93{,}75 \\ \vdots & \vdots \\ 39 \text{ til } 40 & 1{,}25 \end{array} \]Hvert minutt tappes det ut \( 2{,}5 \) liter mindre enn minuttet før.
2. Konkluder Det som tappes ut, minker hvert minutt helt til det siste, så det meste som tappes ut på ett minutt, er \( \textcolor{red}{98{,}75} \) liter, det første minuttet. Det er mindre enn \( 105 \) liter.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn det som tappes per minutt I CAS definerer vi \( V \) og funksjonen \( {h(x) = V(x + 1) - V(x)}\text{,} \) som er det som tappes ut i minuttet etter \( x \) minutter:
Skriv inn i GeoGebra: V(x) := 2000 - 2000(1 - x/40)^2 h(x) := V(x + 1) - V(x) h(0)
CAS gir: \[ \begin{aligned} h(x) &= -\dfrac{5}{2}x + \dfrac{395}{4} \\ h(x) &= \textcolor{red}{98{,}75} - 2{,}5x \end{aligned} \]Det minker med \( 2{,}5 \) liter for hvert minutt, så det tappes mest i starten, \( {h(0) = \textcolor{red}{98{,}75}} \) liter. Det er aldri mer enn \( 105 \) liter.

Oppgave 2

Markus skal leie en bil i et døgn. Grafene nedenfor viser prisen han må betale hos firma A, firma B og firma C.

Oppgave 2a)

Forklar at prisen Markus må betale hos firma A, kan beskrives med uttrykket A(x)=4x+600 {A(x) = 4x + 600}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Grafen starter i 600 kroner (fastpris) og stiger 400 kroner per 100 km, altså 4 kroner per km:
A(x)=4x+600‾‾ \underline{\underline{A(x) = 4x + 600}}
Grafen til firma A er en rett linje. Vi leser av hvor den starter, og hvor mye den stiger per kilometer.
Metode: For hånd
1. Les av konstantleddet En rett linje har formen: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) stigningstallet og \( \textcolor{blue}{b} \) der linja skjærer andreaksen, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Linja til firma A skjærer andreaksen i \( \textcolor{blue}{600}\text{.} \) Markus betaler altså \( \textcolor{blue}{600} \) kroner selv om han kjører \( 0 \) kilometer, så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{600}}\text{.} \)
2. Finn stigningstallet Linja går gjennom \( (0, 600) \) og \( (100, 1000)\text{.} \) Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{1000 - 600}{100 - 0} = \dfrac{400}{100} = \textcolor{red}{4} \]Prisen øker med \( \textcolor{red}{4} \) kroner for hver kilometer han kjører.
Med \( x \) kilometer betaler han \( \textcolor{blue}{600} \) kroner pluss \( \textcolor{red}{4} \) kroner per kilometer: \[ A(x) = \textcolor{red}{4}x + \textcolor{blue}{600} \]
Kontroll: \( {4 \cdot 150 + 600 = 1200}\text{,} \) som grafen viser i \( (150, 1200)\text{.} \)

Oppgave 2b)

Hva blir prisen per kilometer hos firma B dersom Markus kjører 50 km? 50\,\text{km}\text{?} Hva blir prisen per kilometer hos firma B dersom Markus kjører 400 km? 400\,\text{km}\text{?}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Med B(x)=2x+900: {B(x) = 2x + 900}\text{:}
50 km: 20 kr per km‾‾400 km: 4,25 kr per km‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{50\,\text{km: } 20 \text{ kr per km}}} \\ &\underline{\underline{400\,\text{km: } 4{,}25 \text{ kr per km}}} \end{aligned}
Vi finner uttrykket for prisen hos firma B fra grafen. Prisen per kilometer er hele prisen delt på antall kilometer.
Metode: For hånd
1. Finn uttrykket for firma B Linja til firma B skjærer andreaksen i \( \textcolor{blue}{900} \) og går gjennom \( (200, 1300)\text{,} \) så stigningstallet er, som i a) og i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{1300 - 900}{200 - 0} = \textcolor{red}{2} \]Prisen hos firma B er altså: \[ B(x) = \textcolor{red}{2}x + \textcolor{blue}{900} \]
2. Regn ut prisen per kilometer \( 50\,\text{km}\text{:} \) Hele prisen er \( {2 \cdot 50 + 900 = 1000} \) kroner: \[ \dfrac{1000 \text{ kr}}{50 \text{ km}} = 20 \text{ kr per km} \]
\( 400\,\text{km}\text{:} \) Grafen går ikke så langt, så vi bruker uttrykket. Hele prisen er \( {2 \cdot 400 + 900 = 1700} \) kroner: \[ \dfrac{1700 \text{ kr}}{400 \text{ km}} = 4{,}25 \text{ kr per km} \]Fastprisen på \( \textcolor{blue}{900} \) kroner fordeles på flere kilometer, så hver kilometer blir billigere.
Markus skal kjøre fra Bodø til Sulitjelma og tilbake til Bodø igjen. På internett finner han ut at avstanden fra Bodø til Sulitjelma er 9,7 mil. 9{,}7\,\text{mil}\text{.}

Oppgave 2c)

Gjør beregninger, og vurder hvilket firma han bør leie bil hos.
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
For 194 km 194\,\text{km} koster C 1282 kr, B 1288 kr og A 1376 kr. Kjører han over 200 km, er B billigst:
Firma C, for 194 km‾‾ \underline{\underline{\text{Firma C, for } 194\,\text{km}}}
Vi regner ut hvor langt han kjører tur-retur, og hva det koster hos hvert av de tre firmaene.
Metode: For hånd
1. Finn strekningen En mil er \( 10\,\text{km}\text{,} \) og han kjører både til Sulitjelma og tilbake: \[ 2 \cdot 9{,}7\,\text{mil} = 19{,}4\,\text{mil} = \textcolor{blue}{194}\,\text{km} \]
2. Finn uttrykket for firma C Linja til firma C skjærer andreaksen i \( 700 \) og går gjennom \( (100, 1000)\text{,} \) så stigningstallet er, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \dfrac{1000 - 700}{100 - 0} = 3 \]Prisen hos firma C er \( {C(x) = 3x + 700}\text{.} \) Fra a) og b) er \( {A(x) = 4x + 600} \) og \( {B(x) = 2x + 900}\text{.} \)
3. Sammenlign prisene Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{194}} \) hos alle tre: \[ \begin{aligned} A(\textcolor{blue}{194}) &= 4 \cdot 194 + 600 = 1376 \\ B(\textcolor{blue}{194}) &= 2 \cdot 194 + 900 = 1288 \\ C(\textcolor{blue}{194}) &= 3 \cdot 194 + 700 = 1282 \end{aligned} \]Firma C er billigst, men bare \( 6 \) kroner billigere enn firma B.
4. Vurder valget Grafene til B og C skjærer hverandre i \( (200, 1300)\text{.} \) Kjører Markus mer enn \( 200\,\text{km}\text{,} \) for eksempel fordi han kjører litt rundt i Sulitjelma, blir firma B billigst. For denne turen er firma A dyrest, og det er det for alle turer over \( 150\,\text{km}\text{.} \)

Oppgave 3

En flaske dusjsåpe koster det samme i fire butikker.
De fire butikkene bestemmer seg for å sette ned prisen. Dette gjør de på hver sin måte. Se nedenfor.
Butikk A Tilbud dusjsåpe Ta 3 flasker, og betal for 2 av dem.
Butikk B Tilbud dusjsåpe 30 % 30\,\% rabatt
Butikk C Tilbud dusjsåpe Betal full pris for én flaske, og få 75 % 75\,\% rabatt på den neste.
Butikk D Tilbud dusjsåpe Betal full pris for 3 flasker, og få i tillegg 2 gratis.
Gjør beregninger, og sett opp en oversikt hvor du sorterer tilbudene etter hvor gode de er.
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Prisen per flaske i prosent av full pris, fra det beste tilbudet, når vi kjøper så mange som tilbudet krever:
1. D: 60 %‾‾2. C: 62,5 %‾‾3. A: omtrent 66,7 %‾‾4. B: 70 %‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{1. D: } 60\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{2. C: } 62{,}5\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{3. A: omtrent } 66{,}7\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{4. B: } 70\,\%}} \end{aligned}
Flaskene koster det samme i alle butikkene, så vi regner ut hva én flaske koster i hvert tilbud, som en andel av full pris. Jo mindre andel, desto bedre tilbud.
Metode: For hånd
1. Finn prisen per flaske Vi regner i fulle priser og ser hvor mye vi betaler for \( \textcolor{blue}{\text{flaskene}} \) vi får i hvert tilbud.
Butikk A: \( \textcolor{blue}{3} \) flasker for \( \textcolor{red}{2} \) fulle priser: \[ \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \approx 0{,}667 = 66{,}7\,\% \]
Butikk B: \( \textcolor{blue}{1} \) flaske med \( 30\,\% \) rabatt, altså \( {1 - 0{,}30 = \textcolor{red}{0{,}70}} \) av full pris, som rabatten i videoen Hva er prosent?: \[ \dfrac{\textcolor{red}{0{,}70}}{\textcolor{blue}{1}} = 70\,\% \]
Butikk C: \( \textcolor{blue}{2} \) flasker for én full pris og \( 25\,\% \) av en, altså \( {1 + 0{,}25 = \textcolor{red}{1{,}25}} \) fulle priser: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1{,}25}}{\textcolor{blue}{2}} = 0{,}625 = 62{,}5\,\% \]
Butikk D: \( \textcolor{blue}{5} \) flasker for \( \textcolor{red}{3} \) fulle priser: \[ \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{5}} = 0{,}60 = 60\,\% \]
2. Sorter tilbudene Rabatten per flaske er \( 100\,\% \) minus andelen vi betaler. Fra det beste til det dårligste tilbudet: \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Butikk} & \text{Per flaske} & \text{Rabatt} \\ \hline \text{D} & 60\,\% & 40\,\% \\ \text{C} & 62{,}5\,\% & 37{,}5\,\% \\ \text{A} & 66{,}7\,\% & 33{,}3\,\% \\ \text{B} & 70\,\% & 30\,\% \end{array} \]Det gjelder når vi kjøper så mange flasker som tilbudet krever. Vil vi bare ha én flaske, er det bare B som gir rabatt.
Metode: Med regneark
1. Lag oversikten i regnearket Vi skriver butikkene i kolonne A, antall \( \textcolor{blue}{\text{flasker}} \) i B og hvor mange fulle priser vi \( \textcolor{red}{\text{betaler for}} \) i C: 3 og 2 for A, 1 og 0,7 for B, 2 og 1,25 for C, og 5 og 3 for D. Prisen per flaske og rabatten er: \[ \begin{aligned} \text{D2:}\quad & \texttt{=C2/B2} \\ \text{E2:}\quad & \texttt{=1-D2} \end{aligned} \]Vi drar D2 og E2 ned til rad 5, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, og velger tallformatet Prosent og trykker «Reduser desimaler» én gang, så det står én desimal.
2. Sorter oversikten Vi markerer A1 til E5 og velger Data → Egendefinert sortering, med «Mine data har overskrifter», og sorterer etter «Per flaske», stigende:
Oversikten er sortert fra det beste tilbudet: D med \( 60{,}0\,\% \) av full pris per flaske, så C med \( 62{,}5\,\%\text{,} \) A med \( 66{,}7\,\% \) og B med \( 70{,}0\,\%\text{.} \)

Oppgave 4

Ved en temperatur på 22 ∘C 22\,^\circ\text{C} veier 1 L 1\,\text{L} olje 0,9124 kg. 0{,}9124\,\text{kg}\text{.}

Oppgave 4a)

Hvor mange gram veier 10 mL 10\,\text{mL} av oljen ved denne temperaturen?
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Ved 22 ∘C 22\,^\circ\text{C} veier 10 mL 10\,\text{mL} av oljen:
9,124 g‾‾ \underline{\underline{9{,}124\,\text{g}}}
Vi gjør om til gram og finner hvor stor del av en liter \( 10\,\text{mL} \) er.
Metode: For hånd
1. Gjør om enhetene Det går \( 1000\,\text{g} \) på \( 1\,\text{kg} \) og \( 1000\,\text{mL} \) på \( 1\,\text{L}\text{,} \) tre trinn på måletrappa i videoen Introduksjon til Måleenheter. Da veier \( \textcolor{blue}{1000}\,\text{mL} \) olje: \[ 0{,}9124 \cdot 1000\,\text{g} = \textcolor{red}{912{,}4}\,\text{g} \]
2. Regn ut for 10 mL \( 10\,\text{mL} \) er \( {\dfrac{10}{\textcolor{blue}{1000}} = \dfrac{1}{100}} \) av en liter: \[ \dfrac{\textcolor{red}{912{,}4}\,\text{g}}{100} = 9{,}124\,\text{g} \]
Oljen i et beger veier 556,6 g 556{,}6\,\text{g} ved en temperatur på 22 ∘C. 22\,^\circ\text{C}\text{.}

Oppgave 4b)

Hvor mange desiliter olje er det i begeret?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Avrundet til én desimal er det i begeret:
6,1 dL‾‾ \underline{\underline{6{,}1\,\text{dL}}}
Vi vet hva én liter veier. Vi deler vekten av oljen i begeret på det, og gjør om fra liter til desiliter.
Metode: For hånd
1. Finn antall liter Én liter veier \( \textcolor{red}{912{,}4}\,\text{g}\text{,} \) så \( 556{,}6\,\text{g} \) er, med kalkulatoren: \[ \dfrac{556{,}6\,\text{g}}{\textcolor{red}{912{,}4}\,\text{g/L}} \approx 0{,}6100\,\text{L} \]
2. Gjør om til desiliter Det går \( 10\,\text{dL} \) på \( 1\,\text{L}\text{,} \) ett trinn på måletrappa i videoen Introduksjon til Måleenheter, så vi ganger med \( 10\text{:} \) \[ 0{,}6100\,\text{L} = 6{,}100\,\text{dL} \approx 6{,}1\,\text{dL} \]
Kontroll: \( 6{,}1\,\text{dL} \) veier \( {0{,}61 \cdot 912{,}4\,\text{g} \approx 556{,}6\,\text{g}}\text{.} \)

Oppgave 5

En bakterie formerer seg ved todeling hvert 20. minutt.
Det vil si at om det i starten er én bakterie, vil det etter 20 minutter være 2 bakterier, etter 40 minutter fire bakterier osv.
Hvor mange bakterier vil det være etter 12 timer?
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Etter 12 timer er det 236=68 719 476 736 {2^{36} = 68\,719\,476\,736} bakterier, på standardform med to desimaler:
Omtrent 6,87⋅1010 bakterier‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 6{,}87 \cdot 10^{10} \text{ bakterier}}}
Antallet dobles hvert 20. minutt, så vi finner hvor mange 20 minutter det er på 12 timer, og ganger med \( 2 \) så mange ganger.
Metode: For hånd
1. Finn antall delinger 12 timer er \( {12 \cdot 60 = 720} \) minutter. Det er: \[ \dfrac{720}{20} = \textcolor{red}{36} \text{ delinger} \]
2. Doble 36 ganger Hver deling dobler antallet, så vekstfaktoren er \( \textcolor{blue}{2} \) per 20 minutter. Starter vi med én bakterie, ganger vi med \( \textcolor{blue}{2} \) én gang per deling, som vekstfaktoren i videoen Vekstfaktor: \[ 1 \cdot \underbrace{\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \ldots \cdot \textcolor{blue}{2}}_{\textcolor{red}{36} \text{ faktorer}} = \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{red}{36}} \]
Med kalkulatoren: \[ \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{red}{36}} = 68\,719\,476\,736 \approx 6{,}87 \cdot 10^{10} \]Det er nesten 69 milliarder bakterier, skrevet på standardform som i videoen Hva er Standardform?.

Oppgave 6

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Oppgave 6a)

Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Figur 5 har lagene 1, 1\text{,} 4, 4\text{,} 9, 9\text{,} 16 16 og 25: 25\text{:}
55 klosser‾‾ \underline{\underline{55 \text{ klosser}}}
Vi teller klossene lag for lag. Hvert lag er et kvadrat, og hver ny figur får et nytt, større lag i bunnen.
Metode: For hånd
1. Finn mønsteret Figur 2 har et bunnlag på \( {2 \cdot 2} \) klosser og \( 1 \) kloss oppå. Figur 3 har lagene \( {3 \cdot 3}\text{,} \) \( {2 \cdot 2} \) og \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{Figur 1:}\quad & 1 = 1 \\ \text{Figur 2:}\quad & 1 + 4 = 5 \\ \text{Figur 3:}\quad & 1 + 4 + 9 = 14 \end{aligned} \]Figur \( \textcolor{red}{n} \) er figuren før med et nytt bunnlag på \( {\textcolor{red}{n} \cdot \textcolor{red}{n}} \) klosser.
2. Regn ut figur 5 Figur 4 får bunnlaget \( {\textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{4} = 16}\text{,} \) og figur 5 bunnlaget \( {\textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{red}{5} = 25}\text{:} \) \[ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 \]

Oppgave 6b)

Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
De 10 første figurene har til sammen:
1210 klosser‾‾ \underline{\underline{1210 \text{ klosser}}}
Vi bruker mønsteret fra a).
Vi finner antall klosser i hver av de 10 første figurene med mønsteret fra a), og legger dem sammen.
Metode: For hånd
1. Finn klossene i hver figur I a) fant vi at figur \( \textcolor{red}{n} \) er figuren før pluss \( {\textcolor{red}{n} \cdot \textcolor{red}{n}} \) klosser. Vi fortsetter fra figur 5 og legger sammen underveis: \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Figur} & \text{Klosser} & \text{Til sammen} \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 6 \\ 3 & 14 & 20 \\ 4 & 30 & 50 \\ 5 & 55 & 105 \\ 6 & 91 & 196 \\ 7 & 140 & 336 \\ 8 & 204 & 540 \\ 9 & 285 & 825 \\ 10 & 385 & \underline{1210} \end{array} \]For eksempel er figur 6 \( {55 + \textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{red}{6} = 91}\text{,} \) og til sammen \( {105 + 91 = 196}\text{.} \)
Metode: Med regneark
1. Lag oversikten i regnearket Vi skriver overskriftene i rad 1 og \( 1 \) i A2 og B2. Figurnummeret øker med \( 1\text{,} \) klossene øker med figurnummeret i andre, og til sammen er summen så langt: \[ \begin{aligned} \text{A3:}\quad & \texttt{=A2+1} \\ \text{B3:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=B2+A3\textasciicircum{}2}} \\ \text{C2:}\quad & \texttt{=B2} \\ \text{C3:}\quad & \texttt{=C2+B3} \end{aligned} \]Vi drar A3, B3 og C3 ned til rad 11, figur 10, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:
I C11 står summen for de 10 første figurene, \( 1210 \) klosser.
Roar har 10 000 10\,000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.

Oppgave 6c)

Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har laget figurene?
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
De 17 første figurene trenger 8721 klosser, og til figur 18 har han ikke nok klosser:
17 figurer‾‾1279 klosser igjen‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{17 \text{ figurer}}} \\ &\underline{\underline{1279 \text{ klosser igjen}}} \end{aligned}
Vi fortsetter oversikten fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Han lager figur 1, 2, 3 og så videre. Vi fortsetter summen fra b) til den blir større enn \( 10\,000\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Fortsett summen I b) fant vi at de 10 første figurene har \( 1210 \) klosser til sammen. Vi fortsetter med figur \( \textcolor{red}{n} \) lik figuren før pluss \( {\textcolor{red}{n} \cdot \textcolor{red}{n}}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Figur} & \text{Klosser} & \text{Til sammen} \\ \hline 11 & 506 & 1716 \\ 12 & 650 & 2366 \\ 13 & 819 & 3185 \\ 14 & 1015 & 4200 \\ 15 & 1240 & 5440 \\ 16 & 1496 & 6936 \\ 17 & 1785 & \underline{8721} \\ 18 & 2109 & 10\,830 \end{array} \]
2. Finn hvor mange som er igjen De 17 første figurene trenger \( 8721 \) klosser. Da har han igjen: \[ 10\,000 - 8721 = 1279 \]Figur 18 trenger \( 2109 \) klosser, flere enn han har igjen, så han kan lage 17 figurer.
Metode: Med regneark
1. Fortsett oversikten I b) laget vi oversikten med formlene: \[ \begin{aligned} \text{A3:}\quad & \texttt{=A2+1} \\ \text{B3:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=B2+A3\textasciicircum{}2}} \\ \text{C3:}\quad & \texttt{=C2+B3} \end{aligned} \]Vi drar dem ned til rad 19, figur 18. I D1 skriver vi «Igjen», og i D2 hvor mange klosser han har igjen: \[ \text{D2:}\quad \texttt{=10000-C2} \]Vi drar D2 ned til rad 19, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:
Rad 18 er den siste der det er klosser igjen: etter figur 17 har han brukt \( 8721 \) og har \( 1279 \) igjen. Rad 19 viser at figur 18 ville krevd \( 830 \) klosser mer enn han har.

Oppgave 7

Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua 2,0 ∘C. 2{,}0\,^\circ\text{C}\text{.} De skrudde på varmen og stilte termostaten på 20 ∘C. 20\,^\circ\text{C}\text{.} Tabell 1 viser temperaturen i stua x x minutter etter at de skrudde på varmen.
TidTemperatur(minutter)(°C)12,053,7105,3208,03010,25013,48016,412018,4 \begin{array}{r|r} \text{Tid} & \text{Temperatur} \\ \text{(minutter)} & \text{(°C)} \\ \hline 1 & 2{,}0 \\ 5 & 3{,}7 \\ 10 & 5{,}3 \\ 20 & 8{,}0 \\ 30 & 10{,}2 \\ 50 & 13{,}4 \\ 80 & 16{,}4 \\ 120 & 18{,}4 \end{array}
Tabell 1
Eline og Malene vil lage en modell som viser temperaturen i stua x x minutter etter at de skrudde på varmen. De starter med å bruke tallene i tabell 1 til å lage en modell T1 T_1 på formen T1(x)=a⋅xb {T_1(x) = a \cdot x^b}

Oppgave 7a)

Bestem tallene a a og b. b\text{.}
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
Med a a avrundet til tre desimaler og b b til fire:
a≈1,853 og b≈0,4892‾‾ \underline{\underline{a \approx 1{,}853 \text{ og } b \approx 0{,}4892}}
Modellen skal ha formen \( {a \cdot x^b}\text{,} \) som er en potensfunksjon. Vi bruker potensregresjon på tallene i tabell 1.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon på åtte punkter. Øv heller på å bruke modellen i svaret med kalkulator, som i b).
Metode: Med GeoGebra
1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabell 1 i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 2), (5, 3.7), (10, 5.3), (20, 8), (30, 10.2), (50, 13.4), (80, 16.4), (120, 18.4)} T_1(x) = RegPot(l1)
Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ T_1(x) \approx \textcolor{blue}{1{,}8526} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}4892}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{1{,}8526}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}4892}}\text{.} \)

Oppgave 7b)

Vurder gyldighetsområdet til modellen T1. T_1\text{.}
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
Modellen passer med målingene, men gir 0 ∘C 0\,^\circ\text{C} i starten og over 20 ∘C 20\,^\circ\text{C} etter omtrent 129 minutter:
Gyldig omtrent for 1≤x≤120‾‾ \underline{\underline{\text{Gyldig omtrent for } 1 \le x \le 120}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi sammenligner modellen med det vi vet om stua: temperaturen starter på \( 2{,}0\,^\circ\text{C} \) og blir ikke høyere enn \( 20\,^\circ\text{C}\text{,} \) som termostaten står på.
Metode: Med kalkulator
1. Se på starten I a) fant vi modellen: \[ T_1(x) \approx 1{,}853 \cdot x^{0{,}4892} \]
Den gir \( {T_1(0) = 0\,^\circ\text{C}}\text{,} \) men temperaturen var \( 2{,}0\,^\circ\text{C} \) da de kom. Modellen passer derfor først fra den første målingen, \( {x = 1}\text{.} \)
2. Se på slutten Termostaten står på \( \textcolor{red}{20}\,^\circ\text{C}\text{,} \) så temperaturen stiger ikke over det. Vi finner når modellen kommer opp i \( \textcolor{red}{20}\,^\circ\text{C}\text{:} \) \[ 1{,}853 \cdot x^{0{,}4892} = \textcolor{red}{20} \]
Vi deler med \( 1{,}853 \) og opphøyer i \( \dfrac{1}{0{,}4892} \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} x^{0{,}4892} &= \dfrac{\textcolor{red}{20}}{1{,}853} \\ x &= \left(\dfrac{\textcolor{red}{20}}{1{,}853}\right)^{1/0{,}4892} \approx 129 \end{aligned} \]Etter omtrent \( 129 \) minutter gir modellen mer enn \( \textcolor{red}{20}\,^\circ\text{C}\text{,} \) og den fortsetter å stige. Etter 4 timer gir den for eksempel \( {T_1(240) \approx 27{,}1\,^\circ\text{C}}\text{.} \)
Kontroll: \( {T_1(129) \approx 19{,}97} \) og \( {T_1(130) \approx 20{,}05}\text{.} \)
3. Vurder gyldighetsområdet Målingene går fra \( 1 \) til \( 120 \) minutter, og der ligger modellen høyst \( 0{,}9\,^\circ\text{C} \) fra målingene. Modellen er derfor gyldig omtrent fra \( 1 \) til \( 120 \) minutter, og den kan i alle fall ikke brukes etter omtrent \( 129 \) minutter. Slik vurderer vi gyldighetsområdet også i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn når modellen passerer 20 °C Med modellen fra a) tegner vi linja \( {y = 20} \) og finner skjæringen, som med «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: g(x) = 20 S = Skjæring(T_1, g)
GeoGebra skriver selv inn et startpunkt i raden for \( S\text{.} \) Skjæringspunktet er \( {S \approx (129{,}4289,\ 20)}\text{,} \) så etter omtrent \( 129 \) minutter gir modellen mer enn \( 20\,^\circ\text{C}\text{.} \) Grafen starter i origo og ikke i \( 2{,}0\,^\circ\text{C}\text{,} \) så modellen er gyldig omtrent fra \( 1 \) til \( 120 \) minutter, der målingene er.
Eline og Malene ønsker å forbedre modellen T1. T_1\text{.} Eline foreslår at de skal trekke 20 ∘C 20\,^\circ\text{C} fra hver temperatur de har målt, og heller bruke en eksponentialfunksjon som modell. Hun setter opp en ny tabell.
TidKorrigert temperatur(minutter)(°C)1−18,05−16,310−14,720−12,030−9,850−6,680−3,6120−1,6 \begin{array}{r|r} \text{Tid} & \text{Korrigert temperatur} \\ \text{(minutter)} & \text{(°C)} \\ \hline 1 & -18{,}0 \\ 5 & -16{,}3 \\ 10 & -14{,}7 \\ 20 & -12{,}0 \\ 30 & -9{,}8 \\ 50 & -6{,}6 \\ 80 & -3{,}6 \\ 120 & -1{,}6 \end{array}
Tabell 2

Oppgave 7c)

Lag en eksponentialfunksjon f f som passer godt til tallene i tabell 2.
Vis løsning på oppgave 7c
Svar
Eksponentiell regresjon, med a a avrundet til tre desimaler og b b til fire:
f(x)≈−18,087⋅0,9800x‾‾ \underline{\underline{f(x) \approx -18{,}087 \cdot 0{,}9800^x}}
En eksponentialfunksjon har formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) Tallene i tabell 2 er negative, så \( a \) blir negativ. Vi bruker eksponentiell regresjon.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon på åtte punkter. Øv heller på å lage en eksponentiell modell gjennom to av punktene med kalkulatoren: gjennom \( {(1, -18{,}0)} \) og \( {(120, -1{,}6)} \) blir vekstfaktoren \( {\left(\dfrac{1{,}6}{18{,}0}\right)^{1/119} \approx 0{,}9799}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Gjør eksponentiell regresjon I modellen er \( \textcolor{blue}{a} \) startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor: \[ f(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x \]
Vi legger punktene fra tabell 2 i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(1, -18), (5, -16.3), (10, -14.7), (20, -12), (30, -9.8), (50, -6.6), (80, -3.6), (120, -1.6)} f(x) = RegEksp(l2)
GeoGebra gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{-18{,}0874}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}9800}}\text{,} \) som GeoGebra viser som \( 0{,}98\text{.} \) Siden \( {1 - \textcolor{red}{0{,}98} = 0{,}02}\text{,} \) blir avstanden opp til \( 0 \) omtrent \( 2\,\% \) mindre hvert minutt.

Oppgave 7d)

Tegn grafen til T1 T_1 og grafen til f f i samme koordinatsystem. Beskriv forskjeller mellom de to grafene.
Vis løsning på oppgave 7d
Svar
T1 T_1 ligger over x x -aksen og stiger uten grense, mens f f ligger under og flater ut:
T1 vokser uten grense‾‾f nærmer seg 0 nedenfra‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{T_1 \text{ vokser uten grense}}} \\ &\underline{\underline{f \text{ nærmer seg } 0 \text{ nedenfra}}} \end{aligned}
Vi bruker modellene fra a) og c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi tegner begge modellene i GeoGebra og sammenligner hvor de starter, om de er positive eller negative, og hva som skjer når \( x \) blir stor.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC tegner du grafene for hånd fra en verditabell. Regn ut \( T_1(x) \) og \( f(x) \) for for eksempel \( {x = 0}\text{,} \) \( 30\text{,} \) \( 60\text{,} \) \( 120 \) og \( 240 \) med kalkulatoren.
Metode: Med GeoGebra
1. Tegn grafene Med listene fra a) og c) skriver vi inn begge regresjonene, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: T_1(x) = RegPot(l1) f(x) = RegEksp(l2)
2. Beskriv forskjellene Grafen til \( \textcolor{blue}{T_1} \) starter i origo, ligger over x-aksen og stiger hele tiden, også forbi \( 20\text{.} \) Den blir slakere, men stiger uten grense.
Grafen til \( \textcolor{red}{f} \) starter i omtrent \( {-18{,}1}\text{,} \) ligger under x-aksen og stiger raskest i starten. Den flater ut og nærmer seg x-aksen, \( {y = 0}\text{,} \) men kommer aldri helt opp.
Malene mener de kan bruke funksjonen f f til å lage en bedre modell enn T1 T_1 for temperaturen i stua. «Vi løfter grafen til f f opp 20 ∘C, 20\,^\circ\text{C}\text{,} slik at den starter omtrent i punktet (0,2) (0, 2) », sier hun. «Da vil den passe perfekt.»

Oppgave 7e)

Bruk funksjonen f, f\text{,} og lag en modell T2 T_2 ved å gjøre som Malene foreslår. Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen T2? T_2\text{?}
Vis løsning på oppgave 7e
Svar
Modellen er f f løftet 20 20 opp. Etter 4 timer, 240 240 minutter, avrundet til én desimal:
T2(x)≈−18,087⋅0,9800x+20‾‾T2(240)≈19,9 ∘C‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{T_2(x) \approx -18{,}087 \cdot 0{,}9800^x + 20}} \\ &\underline{\underline{T_2(240) \approx 19{,}9\,^\circ\text{C}}} \end{aligned}
Vi bruker modellen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Å løfte grafen \( 20\,^\circ\text{C} \) opp er å legge til \( 20 \) til funksjonsuttrykket. Så setter vi inn \( 4 \) timer, altså \( 240 \) minutter.
Metode: Med kalkulator
1. Lag modellen I c) fant vi: \[ f(x) \approx -18{,}087 \cdot 0{,}9800^x \]
Vi løfter grafen \( \textcolor{green}{20} \) opp ved å legge \( \textcolor{green}{20} \) til hver funksjonsverdi: \[ \begin{aligned} T_2(x) &= f(x) + \textcolor{green}{20} \\ T_2(x) &\approx -18{,}087 \cdot 0{,}9800^x + \textcolor{green}{20} \end{aligned} \]Da er \( {T_2(0) \approx 1{,}9}\text{,} \) så grafen starter omtrent i \( (0, 2)\text{,} \) slik Malene sier.
2. Sett inn 4 timer 4 timer er \( {4 \cdot 60 = \textcolor{blue}{240}} \) minutter. Vekstfaktoren opphøyes i antall minutter, som i videoen Vekstfaktor, og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} T_2(\textcolor{blue}{240}) &\approx -18{,}087 \cdot 0{,}9800^{\textcolor{blue}{240}} + \textcolor{green}{20} \\ T_2(240) &\approx 19{,}86 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Finn punktet på grafen Med \( f \) fra c) skriver vi inn \( T_2 \) og punktet på grafen der \( {x = 240}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: T_2(x) = f(x) + 20 P = (240, T_2(240))
GeoGebra gir \( {P \approx (240,\ 19{,}8585)}\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Oppgave 8

Figuren viser et lysgardin med små lyspærer.
Lyspærene henger på tråder. Den første tråden i en lenke har tre lyspærer, den neste har seks og den tredje har ni. Dette mønsteret gjentas videre.
Avstanden mellom hver tråd er 10 cm. 10\,\text{cm}\text{.} Figuren viser altså et gardin med lengde 80 cm. 80\,\text{cm}\text{.}
Et annet lysgardin av samme type er én meter langt.

Oppgave 8a)

Hvor mange tråder har dette lysgardinet?
Vis løsning på oppgave 8a
Svar
Med en tråd i hver ende og 10 10 mellomrom:
11 tra˚der‾‾ \underline{\underline{11 \text{ tråder}}}
I figuren er det en tråd i hver ende og \( 10\,\text{cm} \) mellom hver tråd. Vi teller mellomrommene og legger til én tråd.
Metode: For hånd
1. Tell mellomrommene Figuren er \( 80\,\text{cm} \) lang, med \( {80 : 10 = 8} \) mellomrom og \( 9 \) tråder. Et gardin på én meter, \( 100\,\text{cm}\text{,} \) har: \[ \dfrac{100\,\text{cm}}{10\,\text{cm}} = \textcolor{blue}{10} \text{ mellomrom} \]Det er én tråd mer enn det er mellomrom, altså \( {\textcolor{blue}{10} + 1 = 11} \) tråder.

Oppgave 8b)

Hvor mange lyspærer er det på den siste tråden?
Vis løsning på oppgave 8b
Svar
Tråd 11 er den andre i en runde:
6 lyspærer‾‾ \underline{\underline{6 \text{ lyspærer}}}
Vi bruker de 11 trådene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Antall lyspærer gjentar seg for hver tredje tråd: 3, 6, 9, 3, 6, 9 og så videre. Vi finner hvor i mønsteret tråd nummer 11 kommer.
Metode: For hånd
1. Finn plassen i mønsteret Mønsteret \( 3\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 9 \) går i runder på \( \textcolor{red}{3} \) tråder. Tråd 1 til 9 er tre hele runder: \[ 11 = \textcolor{red}{3} \cdot 3 + 2 \]Tråd 10 er den første i en ny runde, med \( 3 \) lyspærer, og tråd 11 er den andre, med \( 6 \) lyspærer.
Kontroll: Tre hele runder har \( {3 \cdot (3 + 6 + 9) = 54} \) lyspærer, og med tråd 10 og 11 blir det \( {54 + 3 + 6 = 63}\text{,} \) som tabellen gir for 1 meter.
Tabellen viser antall lyspærer på lysgardiner med ulike lengder.
MeterAntall lyspærer16321263183424353066363 \begin{array}{r|r} \text{Meter} & \text{Antall lyspærer} \\ \hline 1 & 63 \\ 2 & 126 \\ 3 & 183 \\ 4 & 243 \\ 5 & 306 \\ 6 & 363 \end{array}

Oppgave 8c)

Hvor mange lyspærer er det på et 15 meter langt lysgardin?
Vis løsning på oppgave 8c
Svar
Et lysgardin på 15 meter har 151 tråder, og:
903 lyspærer‾‾ \underline{\underline{903 \text{ lyspærer}}}
Vi teller trådene som i a) og bruker mønsteret fra b).
Vi finner antall tråder og hvor mange hele runder på 3 tråder det er. Hver runde har \( {3 + 6 + 9 = 18} \) lyspærer.
Metode: For hånd
1. Finn antall tråder \( {15\,\text{m} = 1500\,\text{cm}} \) gir \( {1500 : 10 = 150} \) mellomrom og dermed: \[ 150 + 1 = \textcolor{blue}{151} \text{ tråder} \]
2. Tell runder Hver runde er \( \textcolor{red}{3} \) tråder med til sammen \( {3 + 6 + 9 = 18} \) lyspærer: \[ \textcolor{blue}{151} = \textcolor{red}{3} \cdot 50 + 1 \]Det er \( 50 \) hele runder og én tråd til, den første i en ny runde, med \( 3 \) lyspærer: \[ 50 \cdot 18 + 3 = 900 + 3 = 903 \]
Kontroll: Med 3 meter mer kommer det 30 tråder til, altså 10 hele runder med \( 180 \) lyspærer. Fra 6 meter i tabellen blir det \( {363 + 3 \cdot 180 = 903}\text{.} \)

Oppgave 8d)

Hvilke lengder, i hele meter, kan et lysgardin ha om det skal være ni lyspærer på den siste tråden?
Vis løsning på oppgave 8d
Svar
Hver tredje meter, fra 2 meter:
2, 5, 8, 11, … meter‾‾ \underline{\underline{2\text{, } 5\text{, } 8\text{, } 11\text{, } \ldots \text{ meter}}}
Vi teller trådene som i a) og bruker mønsteret fra b).
Den siste tråden har ni lyspærer når den er den tredje i en runde, altså når antall tråder er delelig med \( 3\text{.} \) Vi ser hvilke lengder som gir det.
Metode: For hånd
1. Finn antall tråder for hver lengde Et gardin på \( \textcolor{blue}{L} \) meter har \( 10\textcolor{blue}{L} \) mellomrom og \( {10\textcolor{blue}{L} + 1} \) tråder, som i a): \[ \begin{array}{c|c|c} \textcolor{blue}{L}\ \text{(m)} & \text{Tråder} & \text{Siste tråd} \\ \hline 1 & 11 & 6 \\ \textcolor{blue}{2} & 21 & \underline{9} \\ 3 & 31 & 3 \\ 4 & 41 & 6 \\ \textcolor{blue}{5} & 51 & \underline{9} \\ 6 & 61 & 3 \end{array} \]
2. Finn mønsteret Med 3 meter mer kommer det \( 30 \) tråder til, altså \( 10 \) hele runder, så den siste tråden får det samme antallet igjen. Lengdene som gir ni lyspærer, er derfor \( \textcolor{blue}{2}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{5}\text{,} \) \( 8\text{,} \) \( 11 \) meter og så videre, tre meter mellom hver.

Ferdig med settet? Se de andre 1P-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.