1P eksamen våren 2024

Funksjonen er et tall ganget med en vekstfaktor opphøyd i antall år. Vi ser hva hvert av tallene betyr for pengene i banken.

1. Tolk startbeløpet Vi setter inn \( {x = 0}\text{,} \) altså nå. Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot 1{,}0485^0 \\ &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot 1 = \textcolor{blue}{20\,000} \end{aligned} \]Ada har altså \( \textcolor{blue}{20\,000} \) kroner i banken nå. Det er beløpet hun starter med.

2. Tolk vekstfaktoren Hvert år ganges beløpet med \( \textcolor{red}{1{,}0485}\text{,} \) så det er vekstfaktoren. For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ \textcolor{red}{1{,}0485} = 1 + 0{,}0485 = 1 + \dfrac{4{,}85}{100} \]Beløpet øker altså med \( 4{,}85\,\% \) hvert år. Det er renten banken gir.

Programmet regner ut hvor mye \( f \) endrer seg fra start til slutt, og deler på antall år. Vi går gjennom det linje for linje.

1. Les programmet linje for linje Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 og 2 lager funksjonen \( {f(x) = 20\,000 \cdot 1{,}0485^x} \) fra oppgaven, og linje 4 og 5 setter \( {\texttt{start} = \textcolor{blue}{0}} \) og \( {\texttt{slutt} = \textcolor{red}{10}}\text{.} \)

Linje 7 regner da ut: \[ v = \dfrac{f(\textcolor{red}{10}) - f(\textcolor{blue}{0})}{\textcolor{red}{10} - \textcolor{blue}{0}} \]

2. Tolk tallet I telleren står hvor mange kroner beløpet øker med fra i dag til om \( 10 \) år. I nevneren står antall år, \( 10\text{.} \) Tallet \( v \) er altså økningen per år i gjennomsnitt de ti første årene.

Det er det samme som stigningstallet til linja gjennom punktene \( (0, f(0)) \) og \( (10, f(10))\text{:} \) endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Vi gjør om farten til \( x \) ved å dele på 10, og setter inn i formelen.

1. Finn x Farten er \( 70\,\text{km/h}\text{,} \) og \( x \) er farten delt på 10: \[ x = \dfrac{70}{10} = \textcolor{blue}{7} \]

2. Sett inn i formelen Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{7}} \) i \( {B = \dfrac{x^2}{2}}\text{:} \) \[ B = \dfrac{\textcolor{blue}{7}^2}{2} = \dfrac{49}{2} = 24{,}5 \]Det er de \( 24{,}5 \) meterne Viking Redningstjeneste oppgir.

Nå kjenner vi bremselengden og skal finne farten. Vi setter \( {B = 40{,}5}\text{,} \) løser likningen for \( x \) og ganger med 10.

1. Sett opp likningen Vi setter \( {B = 40{,}5} \) inn i formelen: \[ \dfrac{x^2}{2} = 40{,}5 \]

Vi ganger med \( 2 \) på begge sider: \[ x^2 = 81 \]

2. Ta kvadratroten Vi tar kvadratroten på begge sider, som i det første eksempelet i videoen Pytagoras setning. Farten er positiv, så vi bruker den positive roten: \[ x = \sqrt{81} = \textcolor{blue}{9} \]

Farten i km/h er \( x \) ganget med 10: \[ \textcolor{blue}{9} \cdot 10 = 90 \]

Kontroll: \( {\dfrac{9^2}{2} = \dfrac{81}{2} = 40{,}5}\text{,} \) som i oppgaven.

Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( O(x) \) for antallene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi andregradsregresjon på punktene.

1. Regn ut modellverdiene For \( \textcolor{blue}{100} \) bagetter er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{100}^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{100} = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{100}) &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{1427{,}02} \end{aligned} \]

Slik regner vi ut \( \textcolor{red}{O(x)} \) for alle sju antallene, avrundet til hele kroner, og setter dem ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{red}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{red}{1427} \\ 130 & 2300 & \textcolor{red}{2337} \\ 160 & 3050 & \textcolor{red}{3085} \\ 175 & 3365 & \textcolor{red}{3399} \\ 190 & 3720 & \textcolor{red}{3672} \\ 220 & 4140 & \textcolor{red}{4096} \\ 235 & 4175 & \textcolor{red}{4247} \end{array} \]

2. Vurder modellen Modellverdiene bommer med høyst \( 72 \) kroner, ved \( 235 \) bagetter, og det er under \( 2\,\% \) av overskuddet. Modellen følger tabellen godt for alle de sju ukene, så \( O \) er en god modell.

1. Bruk andregradsregresjon Andregradsregresjon finner den andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig. Vi legger punktene i en liste og bruker RegPoly med grad \( 2\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx \textcolor{blue}{-0{,}0903}x^2 + \textcolor{red}{51{,}0367}x \\ &\quad \textcolor{green}{{}- 2776{,}9766} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler blir \( {\textcolor{blue}{-0{,}0903}} \) til \( {\textcolor{blue}{-0{,}09}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}0367} \) til \( \textcolor{red}{51{,}04} \) og \( {\textcolor{green}{-2776{,}9766}} \) til \( {\textcolor{green}{-2776{,}98}}\text{.} \) Det er akkurat \( O(x)\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( O \) en god modell.

Vi leter etter antallet bagetter der \( O(x) \) er størst. Med kalkulator lager vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi toppunktet på grafen.

1. Lag en grov verditabell Tabellen i oppgaven viser at overskuddet fortsatt øker ved \( 235 \) bagetter. Vi regner derfor ut \( O(x) \) med kalkulatoren for hver tiende bagett fra \( 250\text{.} \) For eksempel er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{280}^2 = -7056} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{280} = 14\,291{,}2}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{280}) &= -7056 + 14\,291{,}2 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= 4458{,}22 \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 250 & 4358{,}02 \\ 260 & 4409{,}42 \\ 270 & 4442{,}82 \\ \textcolor{red}{280} & \textcolor{red}{4458{,}22} \\ 290 & 4455{,}62 \\ 300 & 4435{,}02 \\ 310 & 4396{,}42 \end{array} \]Overskuddet øker fram til \( \textcolor{red}{280} \) bagetter og synker etterpå. \( O(290) \) er nesten like stor som \( O(280)\text{,} \) mens \( O(270) \) er tydelig mindre, så toppen ligger mellom \( 280 \) og \( 290\text{.} \)

2. Lag en finere tabell Vi regner ut \( O(x) \) for hver bagett mellom \( 280 \) og \( 290\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 281 & 4458{,}77 \\ 282 & 4459{,}14 \\ 283 & 4459{,}33 \\ \textcolor{red}{284} & \textcolor{red}{4459{,}34} \\ 285 & 4459{,}17 \\ 286 & 4458{,}82 \\ 287 & 4458{,}29 \\ 288 & 4457{,}58 \\ 289 & 4456{,}69 \end{array} \]Det største overskuddet er ved \( \textcolor{red}{284} \) bagetter, og da er det omtrent \( \textcolor{red}{4459} \) kroner.

1. Finn toppunktet på grafen Vi skriver inn \( O \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Maks(O, 0, 500)

Toppunktet er \( {T \approx (283{,}56,\ 4459{,}36)}\text{.} \) Kantinen selger hele bagetter, og nærmest \( 283{,}56 \) er \( 284 \) bagetter. Overskuddet er da omtrent \( 4459 \) kroner.

Stigningstallet er endringen i \( O \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200)\text{,} \) og deler forskjellen på de 100 bagettene mellom dem.

1. Regn ut de to verdiene For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]

For \( {x = 200} \) er \( {-0{,}09 \cdot 200^2 = -3600} \) og \( {51{,}04 \cdot 200 = 10\,208}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{O(200)} &= -3600 + 10\,208 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{200 - 100} \\ &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( O(x) \) er overskuddet i kroner og \( x \) antall bagetter, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med \( 24{,}04 \) kroner for hver ekstra bagett.

Oppgaven ber om to måter. Vi regner ut beløpet om fem år med vekstfaktoren, og vi leser det av grafen til beløpet.

1. Regn ut beløpet Den første måten er å regne. Renten er \( 3{,}25\,\% \) per år. For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {V = 1 + 0{,}0325 = \textcolor{red}{1{,}0325}}\text{.} \) Om fem år er beløpet i dag ganget med vekstfaktoren fem ganger, som i videoen Vekstfaktor: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^5 \\ &\approx 105\,607 \cdot 1{,}173411 \\ &\approx 123\,920{,}46 \end{aligned} \]

2. Les av grafen Den andre måten er grafisk. Vi lar \( x \) være antall år fra i dag, så beløpet er \( {K(x) = \textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^x}\text{.} \) Med kalkulatoren lager vi en verditabell, avrundet til hele kroner: \[ \begin{array}{r|r} x & K(x) \\ \hline 0 & 105\,607 \\ 1 & 109\,039 \\ 2 & 112\,583 \\ 3 & 116\,242 \\ 4 & 120\,020 \\ 5 & 123\,920 \end{array} \]

Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Ved \( {x = 5} \) leser vi av omtrent \( 124\,000 \) kroner, det samme som utregningen.

1. Regn ut og les av grafen Vi lar \( x \) være antall år fra i dag og skriver inn \( K\text{.} \) Vi regner ut \( K(5)\text{,} \) og finner punktet på grafen der \( {x = 5} \) med Skjæring mellom grafen og linja \( {x = 5}\text{,} \) som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 105607*1.0325^x s = K(5) g: x = 5 A = Skjæring(K, g)

Regningen gir \( {s \approx 123\,920{,}46}\text{,} \) og grafen og linja møtes i \( {A \approx (5,\ 123\,920{,}46)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Nå går vi fem år tilbake. Vi deler beløpet i dag på vekstfaktoren fem ganger, og vi leser det av grafen til beløpet fem år før i dag.

1. Regn ut innskuddet Den første måten er å regne. Renten på \( 3{,}25\,\% \) gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}0325 = \textcolor{red}{1{,}0325}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Vi kaller beløpet Gaute satte inn, for \( S\text{.} \) Etter fem år har det blitt beløpet i dag, som i videoen Vekstfaktor: \[ S \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^5 = \textcolor{blue}{105\,607} \]

Vi deler med \( \textcolor{red}{1{,}0325}^5 \) på begge sider: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{105\,607}}{\textcolor{red}{1{,}0325}^5} \\ S &\approx 89\,999{,}98 \end{aligned} \]Det står litt over \( 105\,607 \) kroner på kontoen i dag, så Gaute satte inn \( 90\,000 \) kroner.

Kontroll: \( {90\,000 \cdot 1{,}0325^5} \) er omtrent \( 105\,607{,}03\text{,} \) altså litt over \( 105\,607 \) kroner.

2. Les av grafen Den andre måten er grafisk. Vi lar \( x \) være antall år fra i dag, så beløpet er \( {K(x) = \textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^x}\text{,} \) og fem år siden er \( {x = -5}\text{.} \) Med kalkulatoren lager vi en verditabell, avrundet til hele kroner: \[ \begin{array}{r|r} x & K(x) \\ \hline -5 & 90\,000 \\ -4 & 92\,925 \\ -3 & 95\,945 \\ -2 & 99\,063 \\ -1 & 102\,283 \\ 0 & 105\,607 \end{array} \]

Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Ved \( {x = -5} \) leser vi av omtrent \( 90\,000 \) kroner, det samme som utregningen.

1. Regn ut og les av grafen Vi lar \( x \) være antall år fra i dag og skriver inn \( K\text{.} \) Fem år siden er \( {x = -5}\text{.} \) Vi regner ut \( {K(-5)}\text{,} \) og finner punktet på grafen der \( {x = -5} \) med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 105607*1.0325^x t = K(-5) h: x = -5 B = Skjæring(K, h)

Regningen gir \( {t \approx 89\,999{,}98}\text{,} \) og grafen og linja møtes i \( {B \approx (-5,\ 89\,999{,}98)}\text{.} \) Med litt over \( 105\,607 \) kroner i dag var innskuddet \( 90\,000 \) kroner.

Produksjonen er oppgitt i fat per døgn. Vi finner antall fat i hele 2023, gjør om til liter og skriver svaret på standardform.

1. Finn antall fat i 2023 \( 1{,}794 \) millioner er \( \textcolor{blue}{1\,794\,000}\text{,} \) og 2023 hadde \( \textcolor{red}{365} \) døgn: \[ \textcolor{blue}{1\,794\,000} \cdot \textcolor{red}{365} = 654\,810\,000 \text{ fat} \]

2. Gjør om til liter Hvert fat er omtrent \( \textcolor{green}{158{,}987} \) liter, så med kalkulatoren får vi antall liter: \[ \begin{aligned} &654\,810\,000 \cdot \textcolor{green}{158{,}987} \\ &= 104\,106\,277\,470 \end{aligned} \]

3. Skriv svaret på standardform På standardform er et tall et tall mellom \( 1 \) og \( 10 \) ganget med en tierpotens. Vi flytter kommaet \( 11 \) plasser til venstre: \[ 104\,106\,277\,470 \approx 1{,}04 \cdot 10^{11} \]

Vi finner hvor mye produksjonen økte, og deler økningen på produksjonen i 2022.

1. Del endringen på den gamle verdien Hvor mange prosent noe endres med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er endringen \( {1{,}794 - 1{,}685 = \textcolor{red}{0{,}109}} \) millioner fat per døgn, og den gamle verdien er \( \textcolor{blue}{1{,}685}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0{,}109}}{\textcolor{blue}{1{,}685}} \cdot 100\,\% \approx 6{,}47\,\% \]Begge årene har 365 døgn, så økningen er den samme for hele året.

Vi gjør om tiden til sekunder og finner hvor mange runder 1500 meter er. Rundetiden er tiden delt på antall runder.

1. Gjør om tiden til sekunder Rekorden på 1500 meter er 3:27,14, altså 3 minutter og 27,14 sekunder. Ett minutt er 60 sekunder: \[ 3 \cdot 60\,\text{s} + 27{,}14\,\text{s} = \textcolor{blue}{207{,}14\,\text{s}} \]

2. Del på antall runder En runde er 400 meter, så 1500 meter er: \[ \dfrac{1500\,\text{m}}{400\,\text{m}} = \textcolor{red}{3{,}75} \text{ runder} \]

Rundetiden er tiden delt på antall runder: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{207{,}14\,\text{s}}}{\textcolor{red}{3{,}75}} \approx 55{,}24\,\text{s} \]

Strekningen er fart ganger tid. Vi gjør om farten til meter per sekund, og ganger med tiden han brukte på rekordløpet.

1. Gjør om farten Kilo betyr 1000, så \( {1\,\text{km} = 1000\,\text{m}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. En time er \( 3600 \) sekunder: \[ \begin{aligned} 25{,}89\,\text{km/h} &= \dfrac{25\,890\,\text{m}}{3600\,\text{s}} \\ &\approx \textcolor{blue}{7{,}1917\,\text{m/s}} \end{aligned} \]

2. Gang med tiden Fra tabellen er tiden på 1 engelsk mil 3:43,73, altså \( {3 \cdot 60 + 43{,}73 = \textcolor{red}{223{,}73}} \) sekunder. Strekningen er fart ganger tid: \[ s = v \cdot t \]

Det gir oss: \[ s \approx \textcolor{blue}{7{,}1917\,\text{m/s}} \cdot \textcolor{red}{223{,}73\,\text{s}} \approx 1609\,\text{m} \]Sekundene forkortes mot hverandre, så svaret blir i meter.

Modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{,} \) som er en potensfunksjon. Vi bruker potensregresjon på punktene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)

Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, og med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {7{,}56 \cdot x^{0{,}38}}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir høyden i c) omtrent \( 4{,}2 \) km med Aris modell i stedet for \( 4{,}3 \) km. Vis derfor fire desimaler i GeoGebra.

Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet og minker med en fast prosent per km. Vi finner vekstfaktoren for Ari og for Lisa.

1. Lag Aris modell Lufttrykket minker med \( 12\,\% \) per km. Når noe minker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {V = 1 - 0{,}12 = \textcolor{red}{0{,}88}}\text{.} \) Ved havet er lufttrykket \( \textcolor{blue}{1000} \) hPa, og for hver km ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}88}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ A(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}88}^x \]

2. Lag Lisas modell Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^x}\text{.} \) Etter \( 5{,}5 \) km er lufttrykket halvert, altså \( 500 \) hPa. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^{5{,}5} = 500 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{1000} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{c}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{green}{c} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{green}{0{,}8816} \end{aligned} \]

Det gir: \[ L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x \]

1. Lag modellene Aris modell skriver vi rett inn. For Lisas modell bruker vi eksponentiell regresjon på punktene \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x l2 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l2)

GeoGebra gir \( {L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator. De to grafene ligger nesten oppå hverandre.

Vi bruker modellen fra a) og modellene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et egg blir hardkokt når vannet koker ved minst \( 85\,^\circ\text{C}\text{.} \) Vi finner lufttrykket der kokepunktet er \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt.

1. Finn lufttrykket I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]

Kokepunktet skal være \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) så vi setter \( {K(x) = 85}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} = 85 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{7{,}562} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} &= \dfrac{85}{\textcolor{blue}{7{,}562}} \approx 11{,}2404 \\ x &\approx 11{,}2404^{1/\textcolor{red}{0{,}3804}} \approx \textcolor{green}{578{,}5} \end{aligned} \]Ved lavere lufttrykk koker vannet ved lavere temperatur, så lufttrykket må være minst omtrent \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa.

2. Finn høyden I b) fant vi modellene: \[ \begin{aligned} A(x) &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ L(x) &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]

Med \( {x = 4} \) er lufttrykket omtrent 600 hPa i begge modellene. Vi regner videre med kalkulatoren for hver tiendedel km: \[ \begin{array}{r|r|r} x & A(x) & L(x) \\ \hline 4{,}0 & 599{,}7 & 604{,}1 \\ 4{,}1 & 592{,}1 & 596{,}5 \\ 4{,}2 & 584{,}6 & 589{,}0 \\ 4{,}3 & 577{,}1 & 581{,}7 \\ 4{,}4 & 569{,}8 & 574{,}4 \\ 4{,}5 & 562{,}6 & 567{,}2 \end{array} \]Ifølge Aris modell kommer lufttrykket ned til \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa mellom \( 4{,}2 \) og \( 4{,}3 \) km, nærmest \( 4{,}3\text{.} \) Ifølge Lisas modell skjer det mellom \( 4{,}3 \) og \( 4{,}4 \) km, også nærmest \( 4{,}3\text{.} \)

1. Finn lufttrykket Med \( K \) fra a) tegner vi linja \( {y = 85} \) og finner skjæringspunktet med grafen, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 85 P = Skjæring(K, g)

Lufttrykket er førstekoordinaten til \( P\text{,} \) omtrent \( 578{,}34 \) hPa.

2. Finn høyden Med \( A \) og \( L \) fra b) tegner vi linja \( {y = x(P)} \) og finner skjæringspunktene med de to grafene:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = x(P) S = Skjæring(A, h) T = Skjæring(L, h)

Ifølge Aris modell er høyden \( 4{,}28 \) km (punktet \( S \)), og ifølge Lisas \( 4{,}35 \) km (punktet \( T \)). Begge er omtrent \( 4{,}3 \) km.