1P eksamen våren 2023 – løsningsforslag

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 4 oppgaver

Oppgave 1

Flere oppgaver om prosent

Marko har kjøpt en sjokoladeplate i en butikk. Den kostet 20 kroner. Mari har kjøpt en sjokoladeplate på en bensinstasjon. Den kostet 50 kroner.

Marko: «Jeg har regnet og funnet ut at sjokoladeplaten er

150\,\%

dyrere på bensinstasjonen enn i butikken.»

Mari: «Jeg har regnet og funnet ut at sjokoladeplaten er

60\,\%

billigere i butikken enn på bensinstasjonen.»

Marko: «Kan vi ha regnet riktig? Hvorfor får vi ulike prosenter? Det var rart.»

Gjør beregninger og svar på Marko sine spørsmål.

Vis løsning

Svar

30

kroner er

150\,\%

20

kroner og

60\,\%

50

kroner, så de regner prosent av hver sin pris:

\underline{\underline{\text{Begge har regnet riktig}}}

Begge sammenligner de samme to prisene, men med hver sin pris som utgangspunkt. Vi regner ut begge prosentene med formelen for hvor mange prosent dyrere noe er.

1. Skriv opp formelen Hvor mange prosent dyrere eller billigere noe er, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Den gamle verdien er prisen vi sammenligner med, som i videoen Regler og Formler med Prosent, der en sjokoladeplate koster 40 kroner i butikken og 60 kroner på bensinstasjonen.

Endringen er forskjellen i pris, og den er den samme for begge: \[ 50 - 20 = \textcolor{red}{30} \text{ kroner} \]

2. Sjekk Marko Marko sammenligner med butikken, så den gamle verdien er \( \textcolor{blue}{20} \) kroner: \[ \dfrac{\textcolor{red}{30}}{\textcolor{blue}{20}} \cdot 100\,\% = \dfrac{3}{2} \cdot 100\,\% = 150\,\% \]Marko har regnet riktig.

3. Sjekk Mari Mari sammenligner med bensinstasjonen, så den gamle verdien er \( \textcolor{blue}{50} \) kroner: \[ \dfrac{\textcolor{red}{30}}{\textcolor{blue}{50}} \cdot 100\,\% = \dfrac{3}{5} \cdot 100\,\% = 60\,\% \]Mari har også regnet riktig.

Prosentene blir ulike fordi de regner prosent av hver sin pris. De samme \( \textcolor{red}{30} \) kronene er en større del av \( \textcolor{blue}{20} \) kroner enn av \( \textcolor{blue}{50} \) kroner, så det er ikke rart.

Oppgave 2

• Tall fra FN viser at folketallet på jorden nå har passert 8 milliarder. • Forskere har kommet fram til at det er omtrent

2{,}5

millioner ganger så mange maur som mennesker på jorden.

Omtrent hvor mange maur er det på jorden? Skriv svaret på standardform.

Vis løsning

Svar

Det er omtrent:

\underline{\underline{2 \cdot 10^{16} \text{ maur}}}

Antall maur er antall mennesker ganget med \( 2{,}5 \) millioner. Vi skriver begge tallene på standardform og ganger tallene for seg og tierpotensene for seg.

1. Skriv tallene på standardform En milliard er \( 10^9\text{,} \) og en million er \( 10^6\text{.} \) På standardform er et tall mellom \( 1 \) og \( 10 \) ganget med en tierpotens, som i videoen Hva er Standardform?: \[ \begin{aligned} 8 \text{ milliarder} &= \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{10^9} \\ 2{,}5 \text{ millioner} &= \textcolor{blue}{2{,}5} \cdot \textcolor{red}{10^6} \end{aligned} \]

2. Gang tall og potenser for seg Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ a^m \cdot a^n = a^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Vi ganger tallene foran for seg og tierpotensene for seg, som i videoen Standardform: Gange og Dele: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{10^9} \cdot \textcolor{blue}{2{,}5} \cdot \textcolor{red}{10^6} \\ &= \textcolor{blue}{8 \cdot 2{,}5} \cdot \textcolor{red}{10^{9 + 6}} \\ &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{10^{15}} \end{aligned} \]

3. Skriv svaret på standardform \( 20 \) er ikke mellom \( 1 \) og \( 10\text{,} \) så vi skriver \( {20 = 2 \cdot 10^1} \) og legger sammen eksponentene igjen: \[ 20 \cdot 10^{15} = 2 \cdot 10^1 \cdot 10^{15} = 2 \cdot 10^{16} \]

Oppgave 3

Flere oppgaver om proporsjonalitet

Oppgave 3a)

Gi et eksempel på en praktisk situasjon der to størrelser er proporsjonale. Begrunn at størrelsene er proporsjonale. Tegn en graf som viser sammenhengen mellom størrelsene.

Vis løsning

Svar

For epler til 30 kroner per kilogram er

{\dfrac{P}{x} = 30}

fast, og grafen er en rett linje gjennom origo:

\underline{\underline{P = 30x}}

To størrelser er proporsjonale når forholdet mellom dem er det samme hele tiden. Vi velger noe vi kjøper med fast pris per kilogram.

1. Velg en situasjon Epler koster \( \textcolor{blue}{30} \) kroner per kilogram. Kjøper vi \( \textcolor{red}{x} \) kilogram epler, er prisen \( P \) kroner: \[ P = \textcolor{blue}{30} \cdot \textcolor{red}{x} \]

2. Begrunn at de er proporsjonale To størrelser \( x \) og \( y \) er proporsjonale når forholdet mellom dem er et fast tall \( k\text{:} \) \[ \dfrac{y}{x} = k \]

Her er forholdet mellom pris og vekt alltid kiloprisen: \[ \dfrac{P}{\textcolor{red}{x}} = \textcolor{blue}{30} \]Det er det samme uansett hvor mye vi kjøper, så pris og vekt er proporsjonale. Kjøper vi dobbelt så mye, betaler vi dobbelt så mye.

3. Tegn grafen For \( {\textcolor{red}{x} = 1}\text{,} \) \( 2 \) og \( 4 \) kilogram er prisen \( 30\text{,} \) \( 60 \) og \( 120 \) kroner. Vi setter av punktene og trekker en rett linje gjennom dem:

Grafen er en rett linje gjennom origo, slik grafen til to proporsjonale størrelser alltid er: \( 0 \) kilogram koster \( 0 \) kroner.

Andre situasjoner er også riktige, for eksempel antall liter bensin og prisen for bensinen.

Oppgave 3b)

Gi et eksempel på en praktisk situasjon der to størrelser er omvendt proporsjonale. Begrunn at størrelsene er omvendt proporsjonale. Tegn en graf som viser sammenhengen mellom størrelsene.

Vis løsning

Svar

Fart og tid på en tur på

120\,\text{km}

er omvendt proporsjonale, fordi

{v \cdot t = 120}\text{,}

og grafen er en synkende kurve:

\underline{\underline{t = \dfrac{120}{v}}}

To størrelser er omvendt proporsjonale når produktet av dem er det samme hele tiden. Vi velger en tur med fast lengde, der fart ganger tid alltid er lik strekningen.

1. Velg en situasjon Vi skal kjøre en tur på \( 120\,\text{km}\text{.} \) Farten er \( \textcolor{blue}{v} \) km/h, og tiden turen tar, er \( \textcolor{red}{t} \) timer.

2. Begrunn at de er omvendt proporsjonale To størrelser \( x \) og \( y \) er omvendt proporsjonale når produktet av dem er et fast tall \( k\text{:} \) \[ x \cdot y = k \]

Strekningen er fart ganger tid, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT), og den er \( 120\,\text{km} \) uansett hvor fort vi kjører: \[ \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{t} = 120 \]Produktet er det samme hele tiden, så farten og tiden er omvendt proporsjonale. Dobler vi farten, blir tiden halvparten så lang.

3. Tegn grafen Vi deler med \( \textcolor{blue}{v} \) på begge sider og får \( {\textcolor{red}{t} = \dfrac{120}{\textcolor{blue}{v}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} = 20 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{20} = 6 \\ \textcolor{blue}{v} = 40 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{40} = 3 \\ \textcolor{blue}{v} = 60 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{60} = 2 \\ \textcolor{blue}{v} = 120 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{120} = 1 \end{aligned} \]

Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Kurven synker og flater ut, men når aldri førsteaksen, fordi tiden aldri blir \( 0\text{.} \)

Andre situasjoner er også riktige, for eksempel antall personer som deler en regning på 600 kroner likt, og beløpet hver av dem betaler.

Oppgave 4

Tabellen nedenfor viser høyden til Klara noen år fra hun var 4 år, til hun var 10 år.

\begin{array}{r|r} \text{Alder} & \text{Høyde} \\ \text{(år)} & \text{(cm)} \\ \hline 4 & 100 \\ 5 & 107 \\ 8 & 128 \\ 10 & 142 \end{array}

Oppgave 4a)

Lag en modell som viser sammenhengen mellom høyden og alderen til Klara basert på tallene i tabellen.

Vis løsning

Svar

Med

H(x)

cm som høyden til Klara når hun er

x

år:

\underline{\underline{H(x) = 7x + 72}}

Vi ser at høyden øker like mye per år mellom alle målingene. Da er sammenhengen lineær, og vi finner stigningstallet og konstantleddet fra tabellen.

1. Finn stigningstallet En lineær modell har formen: \[ H(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) stigningstallet, det \( H \) øker med når \( x \) øker med \( 1\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) er konstantleddet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp med stigningstall og konstantledd.

Stigningstallet er endringen i høyde delt på endringen i alder, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi regner det ut mellom hver måling: \[ \begin{aligned} \text{4 til 5 år: } & \dfrac{107 - 100}{5 - 4} = \dfrac{7}{1} = 7 \\ \text{5 til 8 år: } & \dfrac{128 - 107}{8 - 5} = \dfrac{21}{3} = 7 \\ \text{8 til 10 år: } & \dfrac{142 - 128}{10 - 8} = \dfrac{14}{2} = 7 \end{aligned} \]Høyden øker med \( 7 \) cm per år hele veien, så \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{7}}\text{.} \)

2. Finn konstantleddet Klara var \( 100 \) cm høy da hun var 4 år, altså er \( {H(4) = 100}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{7} \cdot 4 + \textcolor{blue}{b} &= 100 \\ \textcolor{blue}{b} &= 100 - 28 = \textcolor{blue}{72} \end{aligned} \]

Kontroll: \( {H(10) = 7 \cdot 10 + 72 = 142}\text{,} \) som i tabellen.

Oppgave 4b)

Hvor høy vil Klara være når hun fyller 19 år, ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Ifølge modellen er Klara som 19-åring:

\underline{\underline{205 \text{ cm}}}

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når Klara fyller 19 år, er \( {x = 19}\text{.} \) Vi setter det inn i modellen.

1. Sett inn 19 år I a) fant vi modellen: \[ H(x) = 7x + 72 \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{19}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} H(\textcolor{blue}{19}) &= 7 \cdot \textcolor{blue}{19} + 72 \\ H(19) &= 133 + 72 = 205 \end{aligned} \]

Klara var

50\,\text{cm}

høy da hun ble født.

Oppgave 4c)

Gjør beregninger og vurder gyldighetsområdet til modellen du fant i oppgave a).

Vis løsning

Svar

{H(0) = 72}

cm, ikke

50

cm, og

{H(19) = 205}

cm er urimelig høyt, så modellen gjelder omtrent når:

\underline{\underline{4 \le x \le 10}}

Vi bruker modellen fra a) og høyden fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi sammenligner modellen med det vi vet om Klara utenfor årene i tabellen: da hun ble født, og som 19-åring.

1. Sjekk modellen ved fødselen I a) fant vi modellen: \[ H(x) = 7x + 72 \]

Da Klara ble født, var \( {x = 0}\text{:} \) \[ H(0) = 7 \cdot 0 + 72 = \textcolor{red}{72} \]Modellen gir \( \textcolor{red}{72} \) cm, men Klara var \( \textcolor{blue}{50} \) cm.

Fra hun ble født til hun var 4 år, vokste hun i gjennomsnitt: \[ \dfrac{100 - \textcolor{blue}{50}}{4 - 0} = \dfrac{50}{4} = 12{,}5 \text{ cm per år} \]Det er nesten dobbelt så mye som de \( 7 \) cm per år i modellen, så modellen gjelder ikke før 4 år.

2. Sjekk modellen som 19-åring I b) fant vi \( {H(19) = 205}\text{.} \) Det er urimelig høyt for en ung kvinne, og de fleste er ferdig utvokst før de fyller 19 år. Modellen øker likevel med \( 7 \) cm hvert år, så den gjelder ikke langt etter 10 år heller.

3. Konkluder En modell er mest pålitelig der vi har målinger, som når gyldighetsområdet vurderes i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Tabellen går fra 4 til 10 år, så modellen gjelder omtrent for \( {4 \le x \le 10}\text{.} \)

Del 2

Med hjelpemidler · 6 oppgaver

Oppgave 1

De siste årene har Lars bodd på Svalbard fra 1. februar til 1. oktober. Hvert år har han målt temperaturen utenfor huset sitt på ulike tidspunkt noen dager hver uke.

Han har funnet at funksjonen

T

gitt ved

\begin{aligned} T(x) &= 0{,}048x^4 - 1{,}4x^3 + 13{,}36x^2 \\ &\quad - 45{,}8x + 35{,}2, \quad 2 \le x \le 10 \end{aligned}

er en rimelig bra modell for gjennomsnittstemperaturen

T(x)\,^\circ\text{C}

hvert døgn de månedene han bor på Svalbard, når han lar

{x = 2}

svare til 1. februar,

{x = 3}

til 1. mars,

{x = 4}

til 1. april og så videre.

Oppgave 1a)

Omtrent hvor mange døgn i perioden 1. februar–1. oktober er gjennomsnittstemperaturen over

0\,^\circ\text{C}

ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Ifølge modellen er gjennomsnittstemperaturen over

0\,^\circ\text{C}

fra omtrent 25. mai til omtrent 29. august:

\underline{\underline{\text{Omtrent 96 døgn}}}

Temperaturen er over \( 0\,^\circ\text{C} \) der grafen til \( T \) ligger over x-aksen. Vi finner nullpunktene til \( T \) og gjør tiden mellom dem om til døgn.

Metode: Med kalkulator

1. Finn hvor fortegnet skifter Vi regner ut \( T(x) \) for hver måned med kalkulatoren: \[ \begin{array}{c|r} x & T(x) \\ \hline 2 & -13{,}392 \\ 3 & -15{,}872 \\ 4 & -11{,}552 \\ 5 & \textcolor{blue}{-4{,}800} \\ 6 & \textcolor{blue}{1{,}168} \\ 7 & 4{,}288 \\ 8 & \textcolor{red}{3{,}648} \\ 9 & \textcolor{red}{-0{,}512} \\ 10 & -6{,}800 \end{array} \]\( T(x) \) skifter fortegn mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 6}\text{,} \) og mellom \( {x = 8} \) og \( {x = 9}\text{.} \) Der går grafen gjennom x-aksen, som i videoen Halveringsmetoden/Midtpunktsmetoden.

2. Finn nullpunktene mer nøyaktig Vi regner ut \( T(x) \) tettere rundt de to stedene, først for hver tidel og så for hver hundredel, med tre desimaler: \[ \begin{array}{c|r} x & T(x) \\ \hline 5{,}7 & -0{,}395 \\ \textcolor{blue}{5{,}77} & \textcolor{blue}{-0{,}009} \\ 5{,}78 & 0{,}045 \\ 5{,}8 & 0{,}153 \\ \hline 8{,}9 & 0{,}032 \\ \textcolor{red}{8{,}91} & \textcolor{red}{-0{,}022} \\ 9{,}0 & -0{,}512 \end{array} \]\( T(x) \) skifter fortegn mellom \( 5{,}77 \) og \( 5{,}78\text{,} \) og mellom \( 8{,}90 \) og \( 8{,}91\text{.} \) Nullpunktene er altså \( {\textcolor{blue}{x_1 \approx 5{,}77}} \) og \( {\textcolor{red}{x_2 \approx 8{,}91}}\text{,} \) der \( T(x) \) er nærmest \( 0\text{,} \) og \( {T(x) > 0} \) mellom dem.

3. Gjør om til døgn \( {x = 5} \) er 1. mai og \( {x = 6} \) er 1. juni, og mai har 31 døgn. \( \textcolor{blue}{x_1} \) er derfor omtrent \( {0{,}77 \cdot 31 \approx 24} \) døgn etter 1. mai, rundt 25. mai. På samme måte er \( \textcolor{red}{x_2} \) omtrent \( {0{,}91 \cdot 31 \approx 28} \) døgn etter 1. august, rundt 29. august.

Vi legger sammen resten av mai, juni, juli og den delen av august som er med: \[ \begin{aligned} &(6 - \textcolor{blue}{5{,}77}) \cdot 31 + 30 + 31 \\ &{}+ (\textcolor{red}{8{,}91} - 8) \cdot 31 \\ &\approx 7{,}1 + 30 + 31 + 28{,}2 \\ &\approx 96 \end{aligned} \]Regner vi med 30 døgn i hver måned, blir det \( {(8{,}91 - 5{,}77) \cdot 30 \approx 94} \) døgn, som også er et godt svar på «omtrent».

Metode: Med GeoGebra

1. Finn nullpunktene på grafen Vi skriver inn \( T \) med definisjonsmengden og finner skjæringspunktene med x-aksen, som med «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: T(x) = 0.048x^4 - 1.4x^3 + 13.36x^2 - 45.8x + 35.2, 2 <= x <= 10 Skjæring(T, xAkse)

GeoGebra gir \( {\textcolor{blue}{x_1 \approx 5{,}7716}} \) og \( {\textcolor{red}{x_2 \approx 8{,}906}}\text{,} \) og grafen ligger over x-aksen mellom dem. Gjort om til døgn som med kalkulator blir det: \[ \begin{aligned} &(6 - \textcolor{blue}{5{,}7716}) \cdot 31 + 30 + 31 \\ &{}+ (\textcolor{red}{8{,}906} - 8) \cdot 31 \approx 96 \end{aligned} \]

Oppgave 1b)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene

(3, T(3))

(7, T(7))\text{.}

Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Vis løsning

Svar

Fra 1. mars til 1. juli stiger gjennomsnittstemperaturen i gjennomsnitt med

5{,}04\,^\circ\text{C}

per måned, ifølge modellen:

\underline{\underline{\text{Stigningstallet er } 5{,}04}}

Linja går gjennom to punkter på grafen til \( T\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.

Metode: For hånd

1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Punktene er \( (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{T(3)}) \) og \( (\textcolor{blue}{7}, \textcolor{red}{T(7)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} T(\textcolor{blue}{3}) &= \textcolor{red}{-15{,}872} \\ T(\textcolor{blue}{7}) &= \textcolor{red}{4{,}288} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{\textcolor{red}{4{,}288} - (\textcolor{red}{-15{,}872})}{\textcolor{blue}{7} - \textcolor{blue}{3}} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &= \dfrac{20{,}16}{4} = 5{,}04 \end{aligned} \]

2. Tolk stigningstallet \( {x = 3} \) er 1. mars, og \( {x = 7} \) er 1. juli. Stigningstallet er den gjennomsnittlige endringen per måned mellom de to datoene, så fra 1. mars til 1. juli øker gjennomsnittstemperaturen i gjennomsnitt med omtrent \( 5\,^\circ\text{C} \) per måned, ifølge modellen.

Oppgave 2

Flere oppgaver om funksjoner

En dag går Aurora med jevn fart fra huset der hun bor, til postkontoret, som ligger noen kilometer unna. Hun står i kø for å hente en pakke. Når hun har fått pakken, går hun med jevn fart hjem igjen.

Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor beskriver best lengden av turen som en funksjon av tiden?

Husk å begrunne svaret ditt.

Vis løsning

Svar

Lengden av turen øker jevnt, står stille i køen og øker jevnt igjen:

\underline{\underline{\text{Graf C}}}

Lengden av turen er hvor langt Aurora har gått til nå. Vi går gjennom turen del for del og ser hva grafen må gjøre i hver del.

Metode: For hånd

1. Se hva grafen må gjøre Strekningen er fart ganger tid, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ s = \textcolor{blue}{v} \cdot t \]Med jevn fart \( \textcolor{blue}{v} \) går Aurora like langt hvert minutt. Lengden av turen øker da like mye hvert minutt, og grafen er en rett linje som stiger.

I køen er farten \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{0}}\text{,} \) så lengden av turen er den samme en stund, og grafen er vannrett.

På vei hjem går hun igjen med jevn fart, og turen blir lengre. Grafen stiger som en rett linje igjen, og fordi veien hjem er like lang som veien bort, stiger den like mye som før køen.

2. Velg graf Lengden av en tur kan aldri bli mindre, så B og D passer ikke: de går ned igjen og viser heller avstanden fra huset. A er krum, så farten er ikke jevn. Bare C stiger som en rett linje, er vannrett en stund og stiger så like mye igjen.

Oppgave 3

En gruppe speidere har slått opp telt ved en elv. De har et tau som er

80\,\text{m}

langt, og fire pinner. Tauet og pinnene skal de bruke til å sette opp et gjerde rundt teltet. Området de gjerder inn, skal ha form som et rektangel, og de vil ikke sette opp gjerde langs elven. Se skissen ovenfor.

Oppgave 3a)

Hvor stort blir arealet av området dersom de velger at lengden skal være 60 meter?

Vis løsning

Svar

Med lengde 60 m og bredde 10 m blir arealet:

\underline{\underline{600\,\text{m}^2}}

Siden langs elva skal ikke ha gjerde, så tauet går langs de to breddene og den ene lengden. Vi finner bredden og ganger den med lengden.

Metode: For hånd

1. Finn bredden Skissen viser at tauet går langs siden foran, siden til høyre og siden bak. Det er to bredder og én lengde, og til sammen er de \( 80\,\text{m}\text{:} \) \[ 2 \cdot \textcolor{blue}{\text{bredde}} + \textcolor{red}{\text{lengde}} = 80 \]

Med lengden \( \textcolor{red}{60}\,\text{m} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2 \cdot \textcolor{blue}{\text{bredde}} + \textcolor{red}{60} &= 80 \\ 2 \cdot \textcolor{blue}{\text{bredde}} &= 20 \\ \textcolor{blue}{\text{bredde}} &= \textcolor{blue}{10} \end{aligned} \]

2. Regn ut arealet Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, som i videoen Areal og Omkrets. Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{red}{\text{lengde}} \cdot \textcolor{blue}{\text{bredde}} \\ A &= \textcolor{red}{60}\,\text{m} \cdot \textcolor{blue}{10}\,\text{m} = 600\,\text{m}^2 \end{aligned} \]

Herman påstår at arealet av området blir størst dersom lengden er dobbelt så lang som bredden.

Oppgave 3b)

Lag en systematisk oversikt som viser arealet av ulike områder som de kan gjerde inn. Bruk oversikten til å argumentere for at Herman sin påstand kan være riktig.

Vis løsning

Svar

Arealet i oversikten er størst,

800\,\text{m}^2\text{,}

når lengden er dobbelt så lang som bredden, så Herman kan ha rett:

\underline{\underline{\text{Bredde } 20\,\text{m}, \text{ lengde } 40\,\text{m}}}

Vi velger bredder med like store sprang, finner lengden som blir igjen av tauet, og regner ut arealet for hver av dem.

Metode: For hånd

1. Lag oversikten Tauet går langs to bredder og én lengde, så \( {2 \cdot \textcolor{blue}{\text{bredde}} + \textcolor{red}{\text{lengde}} = 80}\text{,} \) og lengden er \( {\textcolor{red}{80 - 2 \cdot \text{bredde}}}\text{.} \) Arealet er lengde ganger bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \begin{array}{c|c|c} \textcolor{blue}{\text{Bredde}} & \textcolor{red}{\text{Lengde}} & \text{Areal} \\ \text{(m)} & \text{(m)} & \text{(m}^2\text{)} \\ \hline \textcolor{blue}{5} & \textcolor{red}{70} & 350 \\ \textcolor{blue}{10} & \textcolor{red}{60} & 600 \\ \textcolor{blue}{15} & \textcolor{red}{50} & 750 \\ \textcolor{blue}{20} & \textcolor{red}{40} & \underline{800} \\ \textcolor{blue}{25} & \textcolor{red}{30} & 750 \\ \textcolor{blue}{30} & \textcolor{red}{20} & 600 \\ \textcolor{blue}{35} & \textcolor{red}{10} & 350 \end{array} \]

2. Argumenter for påstanden Arealet er størst, \( 800\,\text{m}^2\text{,} \) når bredden er \( \textcolor{blue}{20}\,\text{m} \) og lengden \( \textcolor{red}{40}\,\text{m}\text{.} \) Da er lengden dobbelt så lang som bredden: \[ \textcolor{red}{40} = 2 \cdot \textcolor{blue}{20} \]Arealet øker fram til bredden \( 20\,\text{m} \) og minker etterpå, likt på begge sider. Oversikten viser derfor at Herman sin påstand kan være riktig.

Metode: Med regneark

1. Lag oversikten i regnearket Vi skriver overskriftene i rad 1 og den første bredden, \( 5\text{,} \) i A2. Tauet går langs to bredder og én lengde, så lengden er \( 80 \) minus to bredder, og arealet er lengde ganger bredde: \[ \begin{aligned} \text{A3:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=A2+5}} \\ \text{B2:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=80-2*A2}} \\ \text{C2:}\quad & \texttt{=A2*B2} \end{aligned} \]Vi drar A3 ned til A8, og B2 og C2 ned til rad 8, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Arealet er størst, \( 800\,\text{m}^2\text{,} \) i rad 5, der bredden er \( \textcolor{blue}{20}\,\text{m} \) og lengden \( \textcolor{red}{40}\,\text{m}\text{,} \) dobbelt så lang som bredden. Arealet minker likt på begge sider av rad 5, så oversikten viser at Herman sin påstand kan være riktig.

Josefine lurer på om de kan tegne en graf som viser at Herman har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.

Oppgave 3c)

Sett opp et funksjonsuttrykk for Josefine. Tegn grafen og vis at Hermann sin påstand er riktig.

Vis løsning

Svar

Med bredden

x

meter er arealet størst,

800\,\text{m}^2\text{,}

for bredde 20 m og lengde 40 m, som Herman påstår:

\underline{\underline{A(x) = x(80 - 2x),\ 0 < x < 40}}

Vi bruker oversikten fra b).

Vi lar bredden være \( x \) og skriver arealet som en funksjon av \( x\text{.} \) Toppunktet på grafen viser når arealet er størst.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp funksjonsuttrykket Med bredden \( \textcolor{blue}{x} \) meter er lengden \( {\textcolor{red}{80 - 2x}} \) meter, fordi tauet går langs to bredder og én lengde. Arealet er lengde ganger bredde, og vi skriver det som et uttrykk i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ A(x) = \textcolor{blue}{x} \cdot (\textcolor{red}{80 - 2x}), \quad 0 < x < 40 \]Både bredden og lengden må være større enn \( 0\text{,} \) og \( {80 - 2x > 0} \) gir \( {x < 40}\text{.} \)

2. Tegn grafen Punktene fra oversikten i b) ligger på grafen. Vi setter dem av og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Grafen er symmetrisk og treffer x-aksen i \( {x = 0} \) og \( {x = 40}\text{,} \) så toppunktet ligger midt mellom, i \( {x = 20}\text{.} \) Kalkulatoren viser at arealet blir mindre like ved: \[ \begin{aligned} A(19) &= 19 \cdot 42 = 798 \\ A(21) &= 21 \cdot 38 = 798 \end{aligned} \]

3. Vis at Herman har rett Arealet er størst, \( {A(20) = 20 \cdot 40 = 800}\text{,} \) når bredden er \( \textcolor{blue}{20}\,\text{m}\text{.} \) Da er lengden \( {\textcolor{red}{80 - 2 \cdot 20 = 40}\,\text{m}}\text{,} \) dobbelt så lang som bredden, så Herman sin påstand er riktig.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn toppunktet på grafen Vi skriver inn arealfunksjonen og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = x(80 - 2x), 0 < x < 40 T = Maks(A, 0, 40)

Toppunktet er \( {T = (20, 800)}\text{.} \) Arealet er størst, \( 800\,\text{m}^2\text{,} \) når bredden er \( \textcolor{blue}{20}\,\text{m}\text{,} \) og da er lengden \( {\textcolor{red}{40}\,\text{m} = 2 \cdot \textcolor{blue}{20}\,\text{m}}\text{.} \)

Oppgave 4

En bonde selger sekker med poteter.

I koordinatsystemet nedenfor ser du sammenhengen mellom vekt og pris for potetsekkene. Hvert av punktene A, B, C, D, E og F representerer en potetsekk.

Oppgave 4a)

Hvilken sekk er tyngst?

Vis løsning

Svar

D ligger lengst til høyre:

\underline{\underline{\text{Sekk D er tyngst}}}

Vekten står langs x-aksen, så den tyngste sekken er punktet som ligger lengst til høyre.

Metode: For hånd

1. Sammenlign vekten Jo lenger til høyre et punkt ligger, desto mer veier sekken. Punktet \( \textcolor{blue}{D} \) ligger lengst til høyre, litt lenger ute enn \( C\text{.} \) Sekk D er derfor tyngst.

Oppgave 4b)

Hvilke sekker koster like mye?

Vis løsning

Svar

A og C ligger like høyt:

\underline{\underline{\text{Sekk A og sekk C}}}

Prisen står langs y-aksen, så to sekker som koster like mye, ligger like høyt.

Metode: For hånd

1. Sammenlign prisen En vannrett linje gjennom \( \textcolor{blue}{A} \) går også gjennom \( \textcolor{blue}{C}\text{,} \) så de to punktene ligger like høyt. Ingen andre to punkter ligger like høyt. Sekk A og sekk C koster derfor like mye.

Oppgave 4c)

Vil det lønne seg å kjøpe sekk B eller sekk C?

Vis løsning

Svar

Potetene i sekk C koster minst per kilogram:

\underline{\underline{\text{Det lønner seg å kjøpe C}}}

Det lønner seg å kjøpe sekken der potetene koster minst per kilogram. Vi sammenligner prisen per kilogram for B og C.

Metode: For hånd

1. Sammenlign pris og vekt \( \textcolor{blue}{C} \) ligger litt høyere enn \( \textcolor{red}{B}\text{,} \) så sekk C koster litt mer. Men \( \textcolor{blue}{C} \) ligger mer enn dobbelt så langt til høyre, så sekk C veier mer enn dobbelt så mye.

2. Bruk linjer fra origo Prisen per kilogram er prisen delt på vekten: \[ \text{pris per kg} = \dfrac{\text{pris}}{\text{vekt}} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \]Det er stigningstallet til linja fra origo gjennom punktet, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Vi tegner linjene fra origo gjennom \( \textcolor{red}{B} \) og \( \textcolor{blue}{C}\text{:} \)

Linja gjennom \( \textcolor{blue}{C} \) er slakere enn linja gjennom \( \textcolor{red}{B}\text{,} \) så potetene i sekk C koster minst per kilogram. Det lønner seg derfor å kjøpe sekk C.

I to av sekkene koster potetene like mye per kilogram.

Oppgave 4d)

Hvilke sekker er dette?

Vis løsning

Svar

A og F ligger på samme linje gjennom origo:

\underline{\underline{\text{Sekk A og sekk F}}}

Like mye per kilogram betyr at pris delt på vekt er det samme. Da ligger de to punktene på samme rette linje gjennom origo.

Metode: For hånd

1. Finn linja gjennom origo For to sekker med samme pris per kilogram er pris og vekt proporsjonale: \[ \text{pris} = k \cdot \text{vekt} \]der \( k \) er prisen per kilogram. Begge punktene ligger da på den rette linja gjennom origo med stigningstallet \( k\text{.} \)

Linja fra origo gjennom \( \textcolor{green}{A} \) går også gjennom \( \textcolor{green}{F}\text{:} \)

Ingen andre to punkter ligger på samme linje gjennom origo, så det er sekk A og sekk F som koster like mye per kilogram.

Husk å begrunne alle svarene dine.

Oppgave 5

Kari har brukt Non Stop og laget tre K-er. Se ovenfor. Tenk deg at hun skal fortsette å lage K-er etter samme mønster.

Oppgave 5a)

Beskriv mønsteret, og bestem hvor mange Non Stop det vil være i

K_4

og i

K_5\text{.}

Vis løsning

Svar

Hver K har 4 flere Non Stop enn den forrige, 2 flere i streken og én til i hver arm:

\begin{aligned} &\underline{\underline{K_4 \text{ har 22 Non Stop}}} \\ &\underline{\underline{K_5 \text{ har 26 Non Stop}}} \end{aligned}

Vi teller Non Stop i hver del av K-ene og ser hvor mange som kommer til fra én K til den neste.

Metode: For hånd

1. Tell Non Stop i hver K Hver K har en loddrett strek, én Non Stop i midten og to skrå armer: \[ \begin{aligned} K_1\text{: } & \textcolor{blue}{5} + 1 + \textcolor{red}{2} + \textcolor{red}{2} = 10 \\ K_2\text{: } & \textcolor{blue}{7} + 1 + \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3} = 14 \\ K_3\text{: } & \textcolor{blue}{9} + 1 + \textcolor{red}{4} + \textcolor{red}{4} = 18 \end{aligned} \]Fra én K til den neste får streken \( \textcolor{blue}{2} \) flere Non Stop og hver arm \( \textcolor{red}{1} \) til. Det er \( {\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1} = 4} \) flere hver gang.

2. Finn K4 og K5 Vi legger til \( 4 \) for hver nye K: \[ \begin{aligned} K_4 &= 18 + 4 = 22 \\ K_5 &= 22 + 4 = 26 \end{aligned} \]

Kari ønsker å lage et program som finner antall Non Stop hun trenger for å lage hver av de 20 første K-ene. Hun ønsker også å vite hvor mange Non Stop hun trenger til sammen for å lage alle disse 20 K-ene.

Oppgave 5b)

Lag et program som Kari kan bruke. Du kan for eksempel begynne som vist nedenfor, men legge inn formler i stedet for tallet én i linje 14 og 15 slik at den riktige oversikten skrives ut.

Vis løsning

Svar

Vi bruker mønsteret fra a).

Programmet skal regne ut hver K fra den forrige. Linje 14 må legge til de 4 nye Non Stop, og linje 15 må legge den nye K-en til summen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å lese og fylle ut slike løkker på papir, linje for linje.

Metode: Med Python

1. Fyll inn linje 14 og 15 Linje 2 og 3 starter med \( K_1\text{:} \) \( {\textcolor{blue}{\texttt{nonstop\_figur}} = 10} \) og \( {\textcolor{red}{\texttt{nonstop\_totalt}} = 10}\text{.} \) Løkka i linje 9 går gjennom figur 1 til 20, som for-løkka med range i videoen Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, og linje 12 skriver ut figurnummeret og de to tallene.

I a) fant vi at hver K har 4 flere Non Stop enn den forrige. Linje 14 gjør derfor \( \textcolor{blue}{\texttt{nonstop\_figur}} \) om til neste K: \[ \textcolor{blue}{\text{ny figur}} = \textcolor{blue}{\text{forrige figur}} + 4 \]

Linje 15 legger den nye K-en til summen, slik den totale omkretsen summeres i løkka i videoen Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{red}{\text{ny sum}} = \textcolor{red}{\text{forrige sum}} + \textcolor{blue}{\text{ny figur}} \]Linje 14 må stå før linje 15, så summen får med den nye K-en.

2. Les utskriften Den første raden er \( K_1 \) med \( 10 \) og \( 10\text{,} \) den andre \( K_2 \) med \( 14 \) og \( {10 + 14 = 24}\text{,} \) og så videre. Den siste raden er \( K_{20} \) med \( 86 \) Non Stop i figuren og \( 960 \) til sammen.

Oppgave 5c)

Hvor mange Non Stop trenger Kari til sammen for å lage de 20 første K-ene?

Vis løsning

Svar

Til sammen i de 20 første K-ene:

\underline{\underline{960 \text{ Non Stop}}}

Vi bruker mønsteret fra a) og programmet fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi legger sammen Non Stop i de 20 første K-ene. Med kalkulator legger vi dem sammen parvis, og med Python leser vi summen av utskriften i b).

Metode: Med kalkulator

1. Finn den siste K-en I a) fant vi at hver K har \( 4 \) flere enn den forrige, og \( K_1 \) har \( 10\text{.} \) Fra \( K_1 \) til \( K_{20} \) legger vi til \( 4 \) nitten ganger: \[ K_{20} = 10 + 19 \cdot 4 = 86 \]

2. Legg sammen parvis Vi legger sammen den første og den siste, den andre og den nest siste, og så videre: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{10} + \textcolor{blue}{86} &= 96 \\ \textcolor{red}{14} + \textcolor{red}{82} &= 96 \\ \textcolor{green}{18} + \textcolor{green}{78} &= 96 \end{aligned} \]Hvert par blir \( 96\text{,} \) og de 20 K-ene blir \( 10 \) par: \[ 10 \cdot 96 = 960 \]

Metode: Med Python

1. Les av utskriften Den siste raden i utskriften fra b) er \( K_{20}\text{:} \) \( 86 \) Non Stop i figuren og \( 960 \) til sammen.

Kari har 2000 Non Stop. Hun vil begynne med

K_1

og lage én K i hver størrelse.

Oppgave 5d)

Hvor mange K-er kan Kari lage?

Vis løsning

Svar

Kari bruker

1914

Non Stop og får

86

til overs:

\underline{\underline{29 \text{ K-er}}}

Vi bruker mønsteret fra a) og summen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi fortsetter summen fra c) med én K om gangen, så lenge den ikke blir større enn 2000. Den siste K-en Kari rekker å lage, gir svaret.

Metode: Med kalkulator

1. Fortsett summen fra c) I c) fant vi at de 20 første K-ene bruker \( 960 \) Non Stop, og at \( K_{20} \) har \( 86\text{.} \) Hver nye K har \( 4 \) flere enn den forrige, så \( K_{21} \) har \( {86 + 4 = 90}\text{.} \) Vi legger til én K om gangen: \[ \begin{array}{c|c|c} n & K_n & \text{Til sammen} \\ \hline 21 & 90 & 1050 \\ 22 & 94 & 1144 \\ 23 & 98 & 1242 \\ 24 & 102 & 1344 \\ 25 & 106 & 1450 \\ 26 & 110 & 1560 \\ 27 & 114 & 1674 \\ 28 & 118 & 1792 \\ \textcolor{blue}{29} & 122 & \textcolor{blue}{1914} \\ \textcolor{red}{30} & 126 & \textcolor{red}{2040} \end{array} \]

2. Finn hvor mange K-er Med \( \textcolor{blue}{29} \) K-er bruker Kari \( \textcolor{blue}{1914} \) Non Stop, og det har hun nok til. \( K_{30} \) krever \( 126 \) til, og da blir det \( \textcolor{red}{2040}\text{,} \) mer enn de \( 2000 \) hun har. Hun får \( {2000 - 1914 = 86} \) Non Stop til overs.

Metode: Med Python

1. Lag K-er så lenge det rekker Vi bruker de samme linjene som i b), men i en while-løkke som lager neste K så lenge summen med den blir høyst 2000, slik løkka går linje for linje i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025:

Løkka stopper når den neste K-en ville gjort summen større enn \( 2000\text{.} \)

Oppgave 6

Tabellen nedenfor viser salg av energidrikker i Norge hvert år fra 2015 til 2021.

\begin{array}{r|r} \text{Årstall} & \text{Salg} \\ & \text{(tusen liter)} \\ \hline 2015 & 18\,899 \\ 2016 & 21\,664 \\ 2017 & 25\,381 \\ 2018 & 31\,385 \\ 2019 & 41\,142 \\ 2020 & 55\,497 \\ 2021 & 67\,997 \end{array}

x

være antall år etter 2015.

Oppgave 6a)

Lag en modell på formen

E(x) = a \cdot b^x

som passer godt med tallene i tabellen.

Vis løsning

Svar

Eksponentiell regresjon, med

x

år etter 2015,

a

avrundet til et helt tall og

b

til fire desimaler:

\underline{\underline{E(x) \approx 17\,396 \cdot 1{,}2481^x}}

Modellen skal ha formen \( {a \cdot b^x}\text{,} \) og tallene \( a \) og \( b \) som passer best med tabellen, finner vi med eksponentiell regresjon.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon på sju punkter. Øv heller på å lage en eksponentiell modell gjennom to av punktene med kalkulatoren, der vekstfaktoren er en rot: gjennom 2015 og 2021 blir den \( {\left(\dfrac{67\,997}{18\,899}\right)^{1/6} \approx 1{,}2379}\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Bruk eksponentiell regresjon I modellen er \( \textcolor{blue}{a} \) startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor: \[ E(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x \]

Eksponentiell regresjon finner den modellen på denne formen som går så nær punktene som mulig. Med \( x \) år etter 2015 er 2015 \( {x = 0} \) og 2021 \( {x = 6}\text{.} \) Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 18899), (1, 21664), (2, 25381), (3, 31385), (4, 41142), (5, 55497), (6, 67997)} E(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {E(x) \approx \textcolor{blue}{17\,396{,}37} \cdot \textcolor{red}{1{,}2481}^x}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. I b) og c) regner vi videre med tallene i svaret.

Oppgave 6b)

Hva forteller tallene

a

b

i modellen du fant i oppgave a)?

Vis løsning

Svar

Ifølge modellen var salget omtrent

17\,396

tusen liter i 2015, og det ganges med

1{,}2481

hvert år:

\begin{aligned} &\underline{\underline{a\text{: salget i 2015}}} \\ &\underline{\underline{b\text{: økning på } 24{,}8\,\% \text{ per år}}} \end{aligned}

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

I modellen \( {E(x) = a \cdot b^x} \) er \( a \) salget når \( {x = 0}\text{,} \) og \( b \) er tallet salget ganges med for hvert år.

Metode: For hånd

1. Tolk a I a) fant vi modellen: \[ E(x) \approx \textcolor{blue}{17\,396} \cdot \textcolor{red}{1{,}2481}^x \]

Når \( {x = 0}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{1{,}2481}^0 = 1}\text{,} \) så \( {E(0) \approx \textcolor{blue}{17\,396}}\text{.} \) Ifølge modellen var salget omtrent \( 17\,396 \) tusen liter i 2015, altså omtrent \( 17{,}4 \) millioner liter.

2. Tolk b \( \textcolor{red}{b} \) er vekstfaktoren, og for en økning på \( p\,\% \) er: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ \textcolor{red}{1{,}2481} = 1 + 0{,}2481 = 1 + \dfrac{24{,}81}{100} \]Ifølge modellen øker salget med omtrent \( 24{,}8\,\% \) hvert år.

I 2022 var salget av energidrikk

73\,109

tusen liter.

Oppgave 6c)

Hvor stor var økningen i salget av energidrikk i prosent fra 2021 til 2022? Vurder hvordan dette passer med modellen i oppgave a).

Vis løsning

Svar

Økningen, avrundet til én desimal, er mye mindre enn de omtrent

24{,}8\,\%

per år i modellen, så modellen passer dårlig for 2022:

\underline{\underline{\text{Økningen var omtrent } 7{,}5\,\%}}

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner hvor mange prosent salget økte fra 2021 til 2022, og sammenligner med økningen modellen gir hvert år.

Metode: For hånd

1. Finn økningen i prosent Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Salget økte fra \( \textcolor{blue}{67\,997} \) til \( 73\,109 \) tusen liter, altså med \( {73\,109 - 67\,997 = \textcolor{red}{5112}} \) tusen liter: \[ \dfrac{\textcolor{red}{5112}}{\textcolor{blue}{67\,997}} \cdot 100\,\% \approx 7{,}5\,\% \]

2. Sammenlign med modellen I a) fant vi modellen: \[ E(x) \approx 17\,396 \cdot 1{,}2481^x \]Den øker med omtrent \( 24{,}8\,\% \) hvert år, men den faktiske økningen var bare omtrent \( 7{,}5\,\%\text{,} \) mye mindre.

For 2022, altså \( {x = 7}\text{,} \) gir modellen: \[ E(7) \approx 17\,396 \cdot 1{,}2481^7 \approx 82\,072 \]Det er omtrent \( 9000 \) tusen liter mer enn de \( 73\,109 \) tusen literne som ble solgt. Salget har ikke fortsatt å øke så raskt som før, så modellen passer dårlig for 2022.

Ferdig med settet? Se de andre 1P-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.