Eksamensoppgaver etter tema

Tabellen har seks punkter, og modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{.} \) Vi finner \( a \) og \( b \) med potensregresjon i GeoGebra, som også tegner grafen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) til d) med modellen i svaret, med kalkulator. Du kan også se at \( b \) må være nær 3: når lengden dobles fra 50 til 100 cm, blir vekten \( {\dfrac{9610}{1190} \approx 8{,}1} \) ganger så stor, og \( {2^3 = 8}\text{.} \)

1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( a \) og \( b \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(50, 1190), (70, 3320), (80, 5070), (100, 9610), (120, 16080), (130, 21590)} F(x) = RegPot(l1)

2. Les av a og b Med seks desimaler gir GeoGebra: \[ F(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}999583}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Grafen til \( F \) er kurven i skjermbildet.

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {a \approx 0{,}01} \) og \( {b \approx 3}\text{.} \) Regner vi videre med dem, blir stigningstallet i c) omtrent 218 i stedet for 210. Vis derfor flere desimaler i GeoGebra.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gir vekten i gram, så vi gjør om 11,5 kg til gram og løser likningen \( {F(x) = 11\,500}\text{.} \)

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} \]

Fisken veier \( {11{,}5\,\text{kg} = 11\,500\,\text{g}}\text{,} \) så vi setter \( {F(x) = 11\,500}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} = 11\,500 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{0{,}009657} \) på begge sider: \[ x^{\textcolor{red}{2{,}9996}} = \dfrac{11\,500}{\textcolor{blue}{0{,}009657}} \approx 1\,190\,846 \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi begge sider i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ x \approx 1\,190\,846^{1/\textcolor{red}{2{,}9996}} \approx 106{,}06 \]Siden \( {\textcolor{red}{b} \approx 3}\text{,} \) er dette nesten tredjeroten: \( {\sqrt[3]{1\,190\,846} \approx 106{,}0}\text{.} \)

1. Finn skjæringspunktet Med \( F \) fra a) i GeoGebra tegner vi linja \( {y = 11\,500} \) og finner skjæringspunktet med grafen til \( F\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = 11500 S = Skjæring(F, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (106{,}06,\ 11\,500)}\text{,} \) så fisken er omtrent 106 cm lang.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut vekten for en fisk på 75 cm og en på 95 cm med modellen. Stigningstallet er endringen i vekt delt på endringen i lengde.

1. Regn ut vekten for begge lengdene I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996} \]

Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{F(75)} &\approx 0{,}009657 \cdot 75^{2{,}9996} \\ \textcolor{blue}{F(75)} &\approx \textcolor{blue}{4067{,}0} \\ \textcolor{red}{F(95)} &\approx 0{,}009657 \cdot 95^{2{,}9996} \\ \textcolor{red}{F(95)} &\approx \textcolor{red}{8264{,}6} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{F(95)} - \textcolor{blue}{F(75)}}{95 - 75} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8264{,}6} - \textcolor{blue}{4067{,}0}}{20} \\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{4197{,}6}{20} \approx 209{,}9 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Vekten er i gram og lengden i centimeter, så stigningstallet er i gram per centimeter. Når en fisk er mellom 75 og 95 cm lang, øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram for hver centimeter fisken blir lengre.

1. Regn ut stigningstallet I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi skriver stigningstallet inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: s = (F(95) - F(75)) / (95 - 75)

GeoGebra gir \( {s \approx 209{,}8548}\text{.} \) Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter.

Vi bruker \( b \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når lengden øker med \( 20\,\%\text{,} \) ganges den med 1,2. Vi ser hva det gjør med vekten i modellen.

1. Gang lengden med 1,2 En økning på \( 20\,\% \) gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}20 = \textcolor{red}{1{,}2}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Den nye lengden er \( \textcolor{red}{1{,}2}x\text{.} \)

Når et produkt opphøyes i en potens, opphøyes hver faktor, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (p \cdot q)^n = p^n \cdot q^n \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{red}{1{,}2}x) &= a \cdot (\textcolor{red}{1{,}2}x)^b \\ F(\textcolor{red}{1{,}2}x) &= \textcolor{red}{1{,}2}^b \cdot a \cdot x^b = \textcolor{red}{1{,}2}^b \cdot F(x) \end{aligned} \]Vekten ganges altså med \( \textcolor{red}{1{,}2}^b\text{,} \) uansett hvor lang fisken er.

2. Finn vekstfaktoren for vekten Med \( {b \approx 2{,}9996} \) fra a) får vi: \[ \textcolor{red}{1{,}2}^{2{,}9996} \approx 1{,}7279 = 1 + 0{,}7279 \]Vekten øker altså med omtrent \( 72{,}8\,\%\text{.} \)

Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( K(x) \) for månedene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi eksponentiell regresjon på punktene.

1. Finn x for månedene i tabellen Desember 2022 er \( {x = 0}\text{,} \) og desember 2023 er \( {x = 12}\text{.} \) Februar 2024 er derfor \( {x = 12 + 2 = 14}\text{.} \) Slik får vi: \[ \begin{array}{l|r} \text{Måned} & x \\ \hline \text{Januar 2023} & 1 \\ \text{Mai 2023} & 5 \\ \text{Oktober 2023} & 10 \\ \text{Februar 2024} & 14 \\ \text{August 2024} & 20 \\ \text{Oktober 2024} & 22 \end{array} \]

2. Regn ut modellverdiene For mai 2023 er \( {x = 5}\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \textcolor{red}{K(5)} = 27{,}8 \cdot 1{,}2^5 \approx \textcolor{red}{69{,}2} \]

Slik regner vi ut \( \textcolor{red}{K(x)} \) for alle seks månedene, avrundet til hele tilfeller, og setter verdiene ved siden av de \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{\text{Registrert}} & \textcolor{red}{K(x)} \\ \hline 1 & \textcolor{blue}{29} & \textcolor{red}{33} \\ 5 & \textcolor{blue}{93} & \textcolor{red}{69} \\ 10 & \textcolor{blue}{164} & \textcolor{red}{172} \\ 14 & \textcolor{blue}{284} & \textcolor{red}{357} \\ 20 & \textcolor{blue}{1035} & \textcolor{red}{1066} \\ 22 & \textcolor{blue}{1657} & \textcolor{red}{1535} \end{array} \]

3. Vurder modellen De \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene vokser fra \( \textcolor{blue}{29} \) til \( \textcolor{blue}{1657}\text{,} \) til mer enn \( 50 \) ganger så mange. \( \textcolor{red}{\text{Modellverdiene}} \) følger den veksten hele veien, og ingen av dem bommer med mer enn omtrent en firedel av det registrerte tallet. Derfor er \( K \) en god modell for perioden.

1. Bruk eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner den modellen på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x} \) som går så nær punktene som mulig, der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren. Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {f(x) \approx \textcolor{blue}{27{,}809} \cdot \textcolor{red}{1{,}1987}^x}\text{.} \) Avrundet til én desimal er det \( {\textcolor{blue}{27{,}8} \cdot \textcolor{red}{1{,}2}^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( K \) en god modell.

Tallet \( 1{,}2 \) er vekstfaktoren i modellen. Vi gjør den om til en prosent.

1. Tolk vekstfaktoren For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ 1{,}2 = 1 + 0{,}20 = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{20}}{100} \]Hver måned ganges antallet med \( 1{,}2\text{.} \) Ifølge modellen øker antall registrerte tilfeller altså med \( \textcolor{red}{20}\,\% \) per måned.

Linja går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.

1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er punktene \( (\textcolor{blue}{4}, \textcolor{red}{K(4)}) \) og \( (\textcolor{blue}{21}, \textcolor{red}{K(21)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} K(\textcolor{blue}{4}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{4}} \approx \textcolor{red}{57{,}65} \\ K(\textcolor{blue}{21}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{21}} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{red}{57{,}65}}{\textcolor{blue}{21} - \textcolor{blue}{4}} \\ a &\approx \dfrac{1221{,}29}{17} \approx 71{,}8 \end{aligned} \]

2. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. Fra april 2023 til september 2024 økte antall registrerte tilfeller per måned altså i gjennomsnitt med omtrent \( 72 \) for hver måned, ifølge modellen.

Vi finner \( x \) for mai 2025 og setter inn i modellen.

1. Finn x for mai 2025 Desember 2024 er \( 24 \) måneder etter desember 2022, og mai 2025 er \( 5 \) måneder etter det: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]

2. Sett inn i modellen Modellen ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall måneder, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]

Modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{,} \) som er en potensfunksjon. Vi bruker potensregresjon på punktene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)

Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, og med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {7{,}56 \cdot x^{0{,}38}}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir høyden i c) omtrent \( 4{,}2 \) km med Aris modell i stedet for \( 4{,}3 \) km. Vis derfor fire desimaler i GeoGebra.

Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet og minker med en fast prosent per km. Vi finner vekstfaktoren for Ari og for Lisa.

1. Lag Aris modell Lufttrykket minker med \( 12\,\% \) per km. Når noe minker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {V = 1 - 0{,}12 = \textcolor{red}{0{,}88}}\text{.} \) Ved havet er lufttrykket \( \textcolor{blue}{1000} \) hPa, og for hver km ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}88}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ A(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}88}^x \]

2. Lag Lisas modell Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^x}\text{.} \) Etter \( 5{,}5 \) km er lufttrykket halvert, altså \( 500 \) hPa. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^{5{,}5} = 500 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{1000} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{c}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{green}{c} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{green}{0{,}8816} \end{aligned} \]

Det gir: \[ L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x \]

1. Lag modellene Aris modell skriver vi rett inn. For Lisas modell bruker vi eksponentiell regresjon på punktene \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x l2 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l2)

GeoGebra gir \( {L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator. De to grafene ligger nesten oppå hverandre.

Vi bruker modellen fra a) og modellene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et egg blir hardkokt når vannet koker ved minst \( 85\,^\circ\text{C}\text{.} \) Vi finner lufttrykket der kokepunktet er \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt.

1. Finn lufttrykket I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]

Kokepunktet skal være \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) så vi setter \( {K(x) = 85}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} = 85 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{7{,}562} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} &= \dfrac{85}{\textcolor{blue}{7{,}562}} \approx 11{,}2404 \\ x &\approx 11{,}2404^{1/\textcolor{red}{0{,}3804}} \approx \textcolor{green}{578{,}5} \end{aligned} \]Ved lavere lufttrykk koker vannet ved lavere temperatur, så lufttrykket må være minst omtrent \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa.

2. Finn høyden I b) fant vi modellene: \[ \begin{aligned} A(x) &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ L(x) &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]

Med \( {x = 4} \) er lufttrykket omtrent 600 hPa i begge modellene. Vi regner videre med kalkulatoren for hver tiendedel km: \[ \begin{array}{r|r|r} x & A(x) & L(x) \\ \hline 4{,}0 & 599{,}7 & 604{,}1 \\ 4{,}1 & 592{,}1 & 596{,}5 \\ 4{,}2 & 584{,}6 & 589{,}0 \\ 4{,}3 & 577{,}1 & 581{,}7 \\ 4{,}4 & 569{,}8 & 574{,}4 \\ 4{,}5 & 562{,}6 & 567{,}2 \end{array} \]Ifølge Aris modell kommer lufttrykket ned til \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa mellom \( 4{,}2 \) og \( 4{,}3 \) km, nærmest \( 4{,}3\text{.} \) Ifølge Lisas modell skjer det mellom \( 4{,}3 \) og \( 4{,}4 \) km, også nærmest \( 4{,}3\text{.} \)

1. Finn lufttrykket Med \( K \) fra a) tegner vi linja \( {y = 85} \) og finner skjæringspunktet med grafen, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 85 P = Skjæring(K, g)

Lufttrykket er førstekoordinaten til \( P\text{,} \) omtrent \( 578{,}34 \) hPa.

2. Finn høyden Med \( A \) og \( L \) fra b) tegner vi linja \( {y = x(P)} \) og finner skjæringspunktene med de to grafene:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = x(P) S = Skjæring(A, h) T = Skjæring(L, h)

Ifølge Aris modell er høyden \( 4{,}28 \) km (punktet \( S \)), og ifølge Lisas \( 4{,}35 \) km (punktet \( T \)). Begge er omtrent \( 4{,}3 \) km.

Antallet fiskere går ned i hele perioden, men stadig langsommere. Det passer med en eksponentiell modell, som går ned med en fast prosent hvert år, og den finner vi med regresjon.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon på seks punkter. Øv heller på å lage en eksponentiell modell gjennom to av punktene med kalkulatoren, der vekstfaktoren er en rot.

1. Velg modell Fra 1952 til 1982 gikk antallet ned med omtrent \( 1360 \) personer per år, men fra 2012 til 2022 bare med omtrent \( 23 \) per år. En lineær modell går ned med like mye hvert år og passer dårlig. En eksponentiell modell går ned med en fast prosent hvert år og har formen: \[ F(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x \]der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren, som i videoen Vekstfaktor.

2. Bruk eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner den modellen på denne formen som går så nær punktene som mulig. Med \( x \) år etter 1950 er 1952 \( {x = 2} \) og 2022 \( {x = 72}\text{.} \) Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(2, 65956), (32, 25289), (42, 19780), (52, 13841), (62, 9825), (72, 9591)} F(x) = RegEksp(l1)

GeoGebra gir \( {F(x) \approx \textcolor{blue}{66\,359{,}66} \cdot \textcolor{red}{0{,}97143}^x}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Siden \( {1 - \textcolor{red}{0{,}97143} \approx 0{,}029}\text{,} \) går antallet ned med omtrent \( 2{,}9\,\% \) hvert år ifølge modellen.

Andre modeller kan også godtas når valget er begrunnet.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

2050 er 100 år etter 1950, så vi setter inn \( {x = 100} \) i modellen. Så ser vi om 2050 ligger innenfor årene modellen bygger på.

1. Regn ut antallet i 2050 I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^x \]

2050 er \( {2050 - 1950 = \textcolor{green}{100}} \) år etter 1950. Modellen ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor, og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{green}{100}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{green}{100}} \\ F(100) &\approx 3656 \end{aligned} \]Ifølge modellen vil omtrent \( 3\,660 \) personer ha fiske som hovedyrke i 2050.

2. Vurder gyldighetsområdet Modellen bygger på tallene fra 1952 til 2022, altså \( {2 \le x \le 72}\text{.} \) 2050 ligger 28 år etter det siste året i tabellen, så svaret er usikkert.

De siste ti årene gikk antallet nesten ikke ned, fra \( 9825 \) til \( 9591\text{.} \) Modellen går ned med omtrent \( 2{,}9\,\% \) hvert år og gir bare \( {F(72) \approx 8235} \) for 2022. Den gir derfor trolig for lave tall etter 2022.

1. Finn punktet på grafen Med \( F \) fra a) i GeoGebra skriver vi inn punktet på grafen der \( {x = 100}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: P = (100, F(100))

GeoGebra gir \( {P \approx (100,\ 3658{,}13)}\text{,} \) altså omtrent \( 3\,660 \) personer, som med kalkulator.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Linja går gjennom to punkter på grafen til \( F\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.

1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

I a) fant vi \( {F(x) \approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^x}\text{.} \) Punktene er \( (\textcolor{blue}{30}, \textcolor{red}{F(30)}) \) og \( (\textcolor{blue}{70}, \textcolor{red}{F(70)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{30}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{blue}{30}} \\ F(30) &\approx \textcolor{red}{27\,813} \\ F(\textcolor{blue}{70}) &\approx 66\,360 \cdot 0{,}97143^{\textcolor{blue}{70}} \\ F(70) &\approx \textcolor{red}{8724} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8724} - \textcolor{red}{27\,813}}{\textcolor{blue}{70} - \textcolor{blue}{30}} \\ a &\approx \dfrac{-19\,089}{40} \approx -477 \end{aligned} \]

2. Tolk svaret \( {x = 30} \) er 1980, og \( {x = 70} \) er 2020. Stigningstallet er den gjennomsnittlige endringen per år, så fra 1980 til 2020 gikk antall fiskere i gjennomsnitt ned med omtrent \( 477 \) personer per år, ifølge modellen.