Forkurseksamen etter tema

Vi skriver volumet uttrykt med \( x \) og \( h\text{,} \) og setter det lik \( 200\text{.} \) Så løser vi for \( h\text{.} \)

1. Sett opp volumet Volumet av et prisme, som i videoen Volum og Overflate, forteller oss at: \[ V = G \cdot h = \textcolor{red}{l} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot h \]

Her er: \[ \textcolor{red}{l} = \textcolor{red}{4x}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x}, \quad V = 200 \]

Plugger vi dette inn og løser for \( h\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot h &= 200 \\ 4x^2 h &= 200 \\ h &= \dfrac{200}{4x^2} = \dfrac{50}{x^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( h \) står i oppgaveteksten til a).

Vi legger sammen de seks sideflatene, og setter inn uttrykket for \( h\text{.} \)

1. Sett opp overflaten Overflaten av en kasse, som i videoen Volum og Overflate, forteller oss at: \[ O = 2(\textcolor{red}{l}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{red}{l}h + \textcolor{blue}{b}h) \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{l} = \textcolor{red}{4x}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} O &= 2(\textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{4x}h + \textcolor{blue}{x}h) \\ &= 8x^2 + 10xh \end{aligned} \]

2. Sett inn høyden I a) viste vi at \( {h = \dfrac{50}{x^2}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} O(x) &= 8x^2 + 10x \cdot \dfrac{50}{x^2} \\ &= \dfrac{500}{x} + 8x^2 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( O(x) \) står i oppgaveteksten til b).

Vi deriverer ledd for ledd og setter den deriverte lik null. En fortegnslinje viser at punktet gir den minste overflaten.

1. Deriver overflaten I b) viste vi at \( {O(x) = \dfrac{500}{x} + 8x^2}\text{.} \) Vi skriver \( {\dfrac{500}{x} = 500x^{-1}} \) og bruker regelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(x^n\right)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} O'(x) &= -500x^{-2} + 16x \\ &= -\dfrac{500}{x^2} + \dfrac{16x^3}{x^2} \\ &= \dfrac{-500 + 16x^3}{x^2} \end{aligned} \]

2. Finn hvor den deriverte er null Vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 16x^3 &= 500 \\ x^3 &= \dfrac{125}{4} \\ x &= \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}} \end{aligned} \]

Fortegnslinjen setter vi opp som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Nevneren \( x^2 \) er positiv for \( {x > 0}\text{,} \) så fortegnet følger telleren: :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [3.149802624737183], "labels": ["\\dfrac{5}{\\sqrt[3]{4}}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-500 + 16x^3}", "expr": "-500 + 16*x^3"}, {"label": "O'(x)", "expr": "(-500 + 16*x^3)/x^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) \( O'(x) \) går fra minus til pluss: overflaten synker og så stiger, så her er den minst.

3. Regn ut målene Bredden er \( {x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}}}\text{.} \) Det gir oss lengden og høyden: \[ \begin{aligned} l &= 4x = \dfrac{20}{\sqrt[3]{4}} \approx 12{,}60 \\ b &= x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}} \approx 3{,}15 \\ h &= \dfrac{50}{x^2} = 2\sqrt[3]{16} \approx 5{,}04 \end{aligned} \]

4. Regn ut overflaten Vi setter inn \( {x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}}} \) og \( {x^2 = \dfrac{25}{\sqrt[3]{16}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &= \dfrac{500}{x} + 8x^2 \\ &= 500 \cdot \dfrac{\sqrt[3]{4}}{5} + 8 \cdot \dfrac{25}{\sqrt[3]{16}} \\ &= 100\sqrt[3]{4} + \dfrac{200}{\sqrt[3]{16}} \end{aligned} \]

Siden \( {\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{4} = 4}\text{,} \) er \( {\dfrac{1}{\sqrt[3]{16}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} O &= 100\sqrt[3]{4} + 50\sqrt[3]{4} \\ &= 150\sqrt[3]{4} \approx 238{,}1 \end{aligned} \]

Lengden av hver del er omkretsen til figuren. Fra omkretsen finner vi siden i kvadratet og radien i sirkelen, og så arealene.

1. Finn arealet av kvadratet Delen med lengde \( x \) er omkretsen til kvadratet. Et kvadrat har fire like sider, så hver side er: \[ \textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \]

Et kvadrat er et rektangel med like sider, som har arealet lengde ganger bredde i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{blue}{s}^2 = \left( \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \right)^2 \]

2. Finn arealet av sirkelen Resten av strengen er \( {1 - x}\text{,} \) og det er omkretsen til sirkelen. Omkretsen av en sirkel er: \[ O = 2\pi \textcolor{red}{r} \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{r}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2\pi \textcolor{red}{r} &= 1 - x \\ \textcolor{red}{r} &= \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \end{aligned} \]

Arealet av en sirkel er \( \pi \textcolor{red}{r}^2\text{:} \) \[ \pi \textcolor{red}{r}^2 = \pi \left( \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \right)^2 \]

3. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ A(x) = \left( \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \right)^2 + \pi \left( \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \right)^2 \]

Delen \( x \) er en del av en streng på \( 1 \) meter, så den er mellom \( 0 \) og \( 1\text{:} \) \[ x \in [0, 1] \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( A(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( A(x) \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \) Den andrederiverte viser at det er et minimum.

1. Forenkle og deriver Vi skriver om det andre leddet, slik at det blir enklere å derivere: \[ \begin{aligned} \pi \left( \dfrac{1 - x}{2\pi} \right)^2 &= \pi \cdot \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi^2} \\ &= \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(\textcolor{green}{1 - x})^2}{4\pi} \]

Det andre leddet har en kjerne, så kjerneregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{green}{u}^2)' = 2\textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A'(x) &= \dfrac{2x}{16} + \dfrac{2(\textcolor{green}{1 - x}) \cdot (\textcolor{green}{-1})}{4\pi} \\ &= \dfrac{x}{8} - \dfrac{1 - x}{2\pi} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi ganger med \( 8\pi \) på begge sider: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{8} - \dfrac{1 - x}{2\pi} &= 0 \\ \pi x - 4(1 - x) &= 0 \\ \pi x + 4x &= 4 \\ x(\pi + 4) &= 4 \\ x &= \dfrac{4}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Dette er en verdi i intervallet \( [0, 1]\text{.} \)

3. Vis at det er et minimum Den andrederiverte er: \[ A''(x) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2\pi} > 0 \]

Den er positiv for alle \( x\text{,} \) så grafen vender hele tiden den hule siden opp. Punktet er derfor det laveste på hele intervallet.

4. Regn ut arealet Vi setter inn \( {x = \dfrac{4}{\pi + 4}}\text{.} \) Vi trenger: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{4} &= \dfrac{1}{\pi + 4} \\ 1 - x &= 1 - \dfrac{4}{\pi + 4} = \dfrac{\pi}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formen fra første steg, \( {A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{(\pi + 4)^2} + \dfrac{\pi^2}{4\pi(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{1}{(\pi + 4)^2} + \dfrac{\pi}{4(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{4 + \pi}{4(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{1}{4(\pi + 4)} \end{aligned} \]