Eksamensoppgaver etter tema

Vi starter med \( {a_1 = 5} \) og bruker den rekursive sammenhengen fem ganger i en løkke, slik at vi får ledd nummer 2 til 6.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut de første leddene for hånd, og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( \texttt{a} \) lik det første leddet, \( {a_1 = 5}\text{,} \) og linje 2 skriver det ut.

Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 2, 3, 4, 5, 6}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(2, 7)} \) stopper før 7, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 bruker den rekursive sammenhengen: \[ \textcolor{blue}{a_n} = (\textcolor{red}{a_{n-1}} - 1)^2 \]\( \textcolor{red}{\texttt{a}} \) på høyre side er det forrige leddet, og \( \textcolor{blue}{\texttt{a}} \) på venstre side blir det nye. Linje 5 skriver ut hvert nytt ledd.

2. Kjør programmet Programmet skriver ut de seks leddene: \( 5\text{,} \) \( 16\text{,} \) \( 225\text{,} \) \( 50\,176\text{,} \) \( 2\,517\,530\,625 \) og \( 6\,337\,960\,442\,777\,829\,376\text{.} \) De første kan vi sjekke for hånd: \( {(5 - 1)^2 = 16}\text{,} \) \( {(16 - 1)^2 = 225} \) og \( {(225 - 1)^2 = 50\,176}\text{.} \)

En uendelig rekke kan bare konvergere hvis leddene går mot \( 0\text{.} \) Vi undersøker derfor om leddene kan gå mot \( 0 \) når \( a_1 \) er et heltall.

1. Sjekk om leddene går mot null For at summen \( {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} \) skal konvergere, må leddene gå mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]Går de ikke mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro.

Når \( a_1 \) er et heltall, blir alle leddene heltall, fordi vi bare trekker fra \( 1 \) og kvadrerer. Heltall som går mot \( 0\text{,} \) må fra et ledd av være \( 0 \) hele tiden: \[ a_n = 0 \quad \text{for alle } n \ge N \]

2. Se hva som kommer etter null Hvis et ledd er \( \textcolor{blue}{0}\text{,} \) blir de to neste: \[ (\textcolor{blue}{0} - 1)^2 = \textcolor{red}{1} \qquad (\textcolor{red}{1} - 1)^2 = \textcolor{blue}{0} \]Leddene veksler da mellom \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og blir aldri \( 0 \) hele tiden. Med \( {a_1 = 1} \) blir rekken for eksempel \( {\textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \dots}\text{,} \) som vokser uten grense.

Leddene kan altså aldri gå mot \( 0\text{,} \) uansett hvilket heltall \( a_1 \) er. Da divergerer rekken for alle heltall \( a_1\text{.} \)

Vi går gjennom løkka én runde om gangen og skriver opp hva \( \texttt{a} \) er i hver runde.

1. Les koden linje for linje Linje 1 setter \( {\texttt{a} = 2}\text{,} \) og linje 2 setter \( {\texttt{n} = 5}\text{.} \) Løkka i linje 3 går gjennom \( {\texttt{i} = 1, 2, 3, 4, 5}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(1, 6)} \) stopper før 6, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

I hver runde skriver linje 4 ut \( \texttt{a}\text{,} \) og linje 5 legger til \( {\textcolor{red}{\texttt{i} + 2}}\text{.} \)

2. Kjør løkka for hånd De fire første rundene gir: \[ \begin{aligned} \texttt{i} = 1&\text{:} \quad 2 + \textcolor{red}{3} = 5 \\ \texttt{i} = 2&\text{:} \quad 5 + \textcolor{red}{4} = 9 \\ \texttt{i} = 3&\text{:} \quad 9 + \textcolor{red}{5} = 14 \\ \texttt{i} = 4&\text{:} \quad 14 + \textcolor{red}{6} = 20 \end{aligned} \]Programmet skriver ut \( \texttt{a} \) før det legger til, så det skriver ut \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{.} \)

Tallfølgen starter altså på \( 2\text{,} \) og hvert nytt tall er det forrige pluss \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) \( \textcolor{red}{4}\text{,} \) \( \textcolor{red}{5}\text{,} \) \( \textcolor{red}{6}\text{,} \) … Det vi legger til, øker med \( 1 \) hver gang.

Vi bruker leddene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser at programmet legger hvert ledd til \( \texttt{S} \) før det lager det neste. \( \texttt{S} \) blir derfor summen av leddene.

1. Les koden Linje 3 setter \( {\texttt{S} = 0}\text{.} \) I hver runde legger linje 5 det leddet vi har nå, til \( \texttt{S}\text{,} \) og linje 6 lager det neste leddet, som i a). Slik oppdaterer vi en sum i en løkke, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 7 står utenfor løkka, så den skriver ut \( \textcolor{blue}{\texttt{S}} \) én gang, etter den siste runden. Løkka går fem runder, så eleven vil finne summen av de fem første leddene.

2. Regn ut summen Leddene fra a) er \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\texttt{S}} = 2 + 5 + 9 + 14 + 20 = \textcolor{blue}{50} \]

Vi ser på differansen mellom to ledd som kommer etter hverandre. Den viser hvordan vi kommer fra ett ledd til det neste.

1. Se på differansene Vi trekker hvert ledd fra det neste: \[ \begin{aligned} 2 - 1 &= 1 = \textcolor{red}{1^2} \\ 6 - 2 &= 4 = \textcolor{red}{2^2} \\ 15 - 6 &= 9 = \textcolor{red}{3^2} \\ 31 - 15 &= 16 = \textcolor{red}{4^2} \\ 56 - 31 &= 25 = \textcolor{red}{5^2} \end{aligned} \]Differansene er kvadrattallene.

2. Skriv opp formelen Fra ledd nummer \( n \) til ledd nummer \( {n + 1} \) legger vi til \( \textcolor{red}{n^2}\text{.} \) Med det første leddet \( {a_1 = 1} \) blir den rekursive formelen: \[ a_{n+1} = a_n + \textcolor{red}{n^2} \]For eksempel er \( {a_3 = a_2 + 2^2 = 2 + 4 = 6}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive formelen fra a), \( {a_1 = 1} \) og \( {a_{n+1} = a_n + n^2}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi lar en løkke gå \( 30 \) ganger. Hver gang legger vi leddet til summen, og regner så ut neste ledd med formelen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 og 2 setter det første leddet \( {\textcolor{blue}{a} = 1} \) og summen \( {\textcolor{red}{S} = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Løkka i linje 3 går for \( {n = 1, 2, \dots, 30}\text{.} \) Linje 4 legger ledd nummer \( n \) til \( \textcolor{red}{S}\text{,} \) og linje 5 regner ut neste ledd \( \textcolor{blue}{a} \) med formelen fra a), \( {\textcolor{blue}{a_{n+1}} = \textcolor{blue}{a_n} + n^2}\text{.} \)

2. Sjekk de første rundene I de tre første rundene legges \( 1\text{,} \) \( 2 \) og \( 6 \) til summen, så \( {S = 9}\text{,} \) og \( a \) blir \( 15\text{,} \) det fjerde leddet. Programmet skriver ut \( 67\,455\text{,} \) som er summen av de \( 30 \) første leddene.

Fra \( S_n \) til \( {S_{n+1}} \) legger vi til ett kubikktall til. For den eksplisitte formelen regner vi ut de første summene og ser etter et mønster.

1. Skriv opp sammenhengen \( {S_{n+1}} \) er summen av de \( {n + 1} \) første kubikktallene, altså \( S_n \) pluss det neste kubikktallet: \[ S_{n+1} = S_n + \textcolor{red}{(n + 1)^3} \quad\text{og}\quad S_1 = 1 \]

2. Regn ut de første summene Vi legger til ett kubikktall om gangen: \[ \begin{aligned} S_1 &= 1 = 1^2 \\ S_2 &= 1 + 8 = 9 = 3^2 \\ S_3 &= 9 + 27 = 36 = 6^2 \\ S_4 &= 36 + 64 = 100 = 10^2 \\ S_5 &= 100 + 125 = 225 = 15^2 \end{aligned} \]Alle summene er kvadrattall.

3. Finn mønsteret Tallene \( 1, 3, 6, 10, 15 \) er summene \( {1 + 2 + \dots + n}\text{,} \) og den summen er: \[ 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.

Summen av kubikktallene er kvadratet av den: \[ S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \]For eksempel er \( {S_5 = \left(\dfrac{5 \cdot 6}{2}\right)^2 = 15^2 = 225}\text{.} \)

Formelen passer med den rekursive sammenhengen, for: \[ \begin{aligned} & \left(\dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2}\right)^2 \\ &\quad - \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \\ &= \dfrac{(n + 1)^2}{4}\left((n + 2)^2 - n^2\right) \\ &= \dfrac{(n + 1)^2}{4} \cdot (4n + 4) \\ &= (n + 1)^3 \end{aligned} \]Formelen gir også \( {S_1 = 1}\text{,} \) så den gir de samme summene som sammenhengen for alle \( n\text{.} \)

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi starter med summen \( 0\text{,} \) og lar en løkke legge til ett kubikktall om gangen, \( 50 \) ganger.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter summen \( {S = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker som legger sammen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.

Løkka i linje 2 går for \( {n = 1, 2, \dots, 50}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger \( \textcolor{red}{n^3} \) til summen.

2. Sjekk de første rundene Etter tre runder er \( {S = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{8} + \textcolor{red}{27} = 36 = S_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 1\,625\,625\text{.} \) Formelen fra a) gir det samme: \[ \left(\dfrac{50 \cdot 51}{2}\right)^2 = 1275^2 = 1\,625\,625 \]

Vi ser på differansen mellom to figurtall som kommer etter hverandre. Den er antall kuler i den nye ytterste femkanten.

1. Se på differansene Vi trekker hvert figurtall fra det neste: \[ \begin{aligned} 6 - 1 &= 5 = 5 \cdot \textcolor{red}{1} \\ 16 - 6 &= 10 = 5 \cdot \textcolor{red}{2} \\ 31 - 16 &= 15 = 5 \cdot \textcolor{red}{3} \\ 51 - 31 &= 20 = 5 \cdot \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]

2. Forklar med figuren I figur \( n \) har den ytterste femkanten \( n \) kuler på hver kant. Fem kanter gir \( 5n\text{,} \) men de fem hjørnekulene telles to ganger, så det kommer \( {5n - 5 = 5(\textcolor{red}{n - 1})} \) nye kuler. Sammenhengen er derfor: \[ P_n = P_{n-1} + 5(\textcolor{red}{n - 1}) \]

For eksempel er \( {P_3 = P_2 + 5 \cdot 2 = 16}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi starter med \( {P_1 = 1}\text{,} \) og lar en løkke legge til de nye kulene for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( {P = 1}\text{,} \) som er \( P_1\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.

Løkka i linje 2 går for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger til \( {\textcolor{red}{5(n - 1)}}\text{.} \)

2. Sjekk de første rundene Etter to runder er \( {P = 1 + \textcolor{red}{5} + \textcolor{red}{10} = 16 = P_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 24\,751\text{.} \)

Vi starter med \( 100 \) kroner og bruker den rekursive formelen tre ganger: legg til \( 10 \) i tilbud 1, og gang med \( 1{,}05 \) i tilbud 2.

1. Tilbud 1 Hver uke får hun \( \textcolor{red}{10} \) kroner mer enn uka før: \[ \begin{aligned} a_1 &= 100 \\ a_2 &= 100 + \textcolor{red}{10} = 110 \\ a_3 &= 110 + \textcolor{red}{10} = 120 \\ a_4 &= 120 + \textcolor{red}{10} = 130 \end{aligned} \]

2. Tilbud 2 Hver uke får hun \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) ganger det hun fikk uka før: \[ \begin{aligned} b_1 &= 100 \\ b_2 &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 105 \\ b_3 &= 105 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 110{,}25 \\ b_4 &= 110{,}25 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} \approx 115{,}76 \end{aligned} \]

Fra a) øker tilbud 1 med \( \textcolor{red}{10} \) kroner hver uke, og tilbud 2 ganges med \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) hver uke. Begge starter på \( 100 \) kroner.

Vi skriver begge beløpene som eksplisitte formler for uke \( n\text{,} \) og finner den første uka der \( {b_n > a_n}\text{.} \)

1. Skriv formlene eksplisitt Tilbud 1 er en aritmetisk følge med \( {d = \textcolor{red}{10}}\text{,} \) og tilbud 2 er en geometrisk følge med \( {k = \textcolor{blue}{1{,}05}}\text{.} \) Formlene for ledd nummer \( n \) er: \[ \begin{aligned} a_n &= a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \\ b_n &= b_1 \cdot \textcolor{blue}{k}^{n - 1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på \( a_n\text{,} \) kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Med \( {a_1 = b_1 = 100} \) får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10} \\ b_n &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1} \end{aligned} \]

2. Prøv oss fram Likningen \( {b_n = a_n} \) kan vi ikke løse med algebra, så vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} n = 27&\text{:} \quad a_{27} = 360, \quad b_{27} \approx 355{,}57 \\ n = 28&\text{:} \quad a_{28} = 370, \quad b_{28} \approx 373{,}35 \end{aligned} \]

I uke \( 27 \) er tilbud 1 fortsatt best, men i uke \( 28 \) gir tilbud 2 mest. Etter det øker tilbud 2 med \( 5\,\% \) av over \( 373 \) kroner, altså mer enn \( 18 \) kroner i uka, mens tilbud 1 øker med \( 10\text{.} \) Tilbud 2 holder seg derfor foran.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver de eksplisitte formlene, og løser \( {b(n) = a(n)} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: a(n) := 100 + 10(n - 1) b(n) := 100*1.05^(n - 1) NLøs(b(n) = a(n), n = 30)

Beløpene er like ved \( {n \approx 27{,}58}\text{,} \) så den første hele uka der tilbud 2 gir mest, er uke \( 28\text{.} \)

Fra b) er \( {a_n = 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10}} \) og \( {b_n = 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1}}\text{.} \)

Det hun har fått til sammen etter \( n \) uker, er summen av de \( n \) første leddene. Vi bruker sumformlene for aritmetiske og geometriske rekker, og prøver oss fram.

1. Sett opp summene Summen av en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \]som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel. Med \( {a_1 = 100} \) og \( {a_n = 100 + 10(n - 1)} \) får vi for tilbud 1: \[ \begin{aligned} S_n^{(1)} &= \dfrac{n(100 + 100 + 10(n - 1))}{2} \\ &= 5n^2 + 95n \end{aligned} \]

Summen av en geometrisk rekke er: \[ S_n = b_1 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{k}^n}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel. Med \( {b_1 = 100} \) og \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1{,}05}} \) får vi for tilbud 2: \[ \begin{aligned} S_n^{(2)} &= 100 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^n}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}} \\ &= 2000(\textcolor{blue}{1{,}05}^n - 1) \end{aligned} \]

2. Prøv oss fram Med kalkulatoren regner vi ut summene etter \( 38 \) og \( 39 \) uker: \[ \begin{aligned} S_{38}^{(1)} &= 10\,830, & S_{38}^{(2)} &\approx 10\,771 \\ S_{39}^{(1)} &= 11\,310, & S_{39}^{(2)} &\approx 11\,410 \end{aligned} \]

Etter \( 38 \) uker har tilbud 1 gitt mest, men etter \( 39 \) uker har tilbud 2 gitt mest til sammen.

1. Løs likningen for summene i CAS Vi bruker \( a(n) \) og \( b(n) \) fra b), og lar CAS summere:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(b(k), k, 1, n) = Sum(a(k), k, 1, n), n = 40)

Summene er like ved \( {n \approx 38{,}39}\text{,} \) så tilbud 2 har gitt mest til sammen fra uke \( 39\text{.} \)