S2 eksamen høsten 2023 – løsningsforslag

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Prøveeksamen

Ta S2 høst 2023 som prøveeksamen

Løs settet på papir med klokka gående, som på eksamen: Del 1 på 2 timer uten hjelpemidler og Del 2 på 3 timer med hjelpemidler. Ta bilde av arkene med mobilen, og få poeng på hver oppgave, karakter 1–6 og tilbakemelding på hver deloppgave.

Start prøveeksamen

Del 1

Uten hjelpemidler · 5 oppgaver

Oppgave 1

Regn ut integralet

\int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx

Hva forteller svaret deg?

Vis løsning

Svar

Arealet under

x

-aksen fra

{-1}

til

0

er like stort som arealet over fra

0

til

1\text{:}

\underline{\underline{\int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx = 0}}

Vi finner en antiderivert med potensregelen, og setter inn grensene. Så ser vi på hva integralet betyr for grafen.

1. Finn en antiderivert Regelen for å integrere en potens er: \[ \int a x^{\textcolor{blue}{n}}\,dx = \dfrac{a}{\textcolor{blue}{n} + 1}x^{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/formler.

Ledd for ledd får vi: \[ \int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} + x^2\right]_{-1}^{1} \]

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med den antideriverte, som i videoen Basic integrasjonsregler/formler: \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Med \( {F(x) = \dfrac{x^4}{4} + x^2} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\left(\dfrac{1^4}{4} + 1^2\right) - \left(\dfrac{(-1)^4}{4} + (-1)^2\right) \\ &= \left(\dfrac{1}{4} + 1\right) - \left(\dfrac{1}{4} + 1\right) = 0 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Der grafen ligger over \( x \)-aksen, er integralet arealet under grafen, som i videoen Hva er integrasjon. Der grafen ligger under aksen, teller arealet negativt. \( {f(x) = x^3 + 2x} \) er negativ for \( {x < 0} \) og positiv for \( {x > 0}\text{,} \) og \[ f(-x) = (-x)^3 + 2(-x) = -f(x) \]Grafen er derfor symmetrisk om origo, og området under \( x \)-aksen fra \( {-1} \) til \( 0 \) er like stort som området over fra \( 0 \) til \( 1\text{.} \) Integralet er \( 0\text{,} \) men arealet er ikke \( 0\text{.} \)

Oppgave 2

Oppgave 2a)

En uendelig geometrisk rekke

{a_1 + a_2 + a_3 + \dots}

konvergerer mot

8\text{.}

Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at

{a_1 = 4}\text{.}

Vis løsning

Svar

{k = \dfrac{1}{2}}\text{,}

så

\underline{\underline{S_4 = 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{2}}}

Vi finner kvotienten fra summen av den uendelige rekka. Så legger vi sammen de fire første leddene.

1. Finn kvotienten Når \( {-1 < k < 1}\text{,} \) konvergerer en uendelig geometrisk rekke, og summen er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn \( {S = 8} \) og \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 8 \\ 1 - \textcolor{red}{k} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Legg sammen de fire første leddene Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} S_4 &= 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Oppgave 2b)

I en aritmetisk rekke er

{a_1 + a_4 + a_7 = 114}\text{.}

Bestem

a_4\text{.}

Vis løsning

Svar

{a_1 + a_4 + a_7 = 3a_4}\text{,}

så

\underline{\underline{a_4 = \dfrac{114}{3} = 38}}

Vi skriver alle tre leddene med \( a_1 \) og differansen \( d\text{,} \) og ser at summen er tre ganger \( a_4\text{.} \)

1. Skriv leddene med differansen Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Da er \( {\textcolor{blue}{a_4 = a_1 + 3\textcolor{red}{d}}} \) og \( {a_7 = a_1 + 6\textcolor{red}{d}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} a_1 + a_4 + a_7 &= 3a_1 + 9\textcolor{red}{d} \\ &= 3(\textcolor{blue}{a_1 + 3\textcolor{red}{d}}) = 3\textcolor{blue}{a_4} \end{aligned} \]

Dermed er: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{blue}{a_4} &= 114 \\ \textcolor{blue}{a_4} &= 38 \end{aligned} \]

Oppgave 3

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en kostnadsfunksjon

K

sammen med tre rette linjer.

De tre rette linjene er grafene til funksjonene

f\text{,}

g

h\text{,}

der

\begin{aligned} f(x) &= 31x + 2030 \\ g(x) &= 60x \\ h(x) &= 81{,}75x \end{aligned}

To av linjene tangerer grafen til

K\text{.}

Vi kaller tangeringspunktene

A

B\text{.}

Oppgave 3a)

Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 40 enheter.

Vis løsning

Svar

Kostnaden ved 40 enheter er 3270 kr, så enhetskostnaden er:

\underline{\underline{E(40) = 81{,}75\,\text{kr per enhet}}}

Enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheter. Vi finner \( K(40) \) fra linja som går gjennom \( A\text{.} \)

1. Finn kostnaden ved 40 enheter På figuren ligger \( A \) på grafen til \( K \) med \( {x = 40}\text{.} \) Både den grønne linja \( f \) og den røde linja \( h \) går gjennom \( A\text{,} \) og de gir samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f(40)} &= 31 \cdot 40 + 2030 = 3270 \\ \textcolor{red}{h(40)} &= 81{,}75 \cdot 40 = 3270 \end{aligned} \]Kostnaden ved 40 enheter er altså \( {K(40) = 3270}\text{.} \)

2. Del på antall enheter Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} \]

Plugger vi inn \( {x = 40}\text{,} \) får vi: \[ E(40) = \dfrac{K(40)}{40} = \dfrac{3270}{40} = \textcolor{red}{81{,}75} \]Det er stigningstallet til den røde linja \( h\text{,} \) som går fra origo til \( A\text{.} \)

Oppgave 3b)

Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 40 enheter er 31 kroner.

Vis løsning

Svar

Linja

f

tangerer

K

A\text{,}

så grensekostnaden er stigningstallet til

f\text{:}

\underline{\underline{K'(40) = 31\,\text{kr}}}

Grensekostnaden er den deriverte \( K'(40)\text{.} \) Den er stigningstallet til tangenten i \( A\text{,} \) og den tangenten er \( f\text{.} \)

1. Finn tangenten Grensekostnaden er den deriverte av kostnaden: \[ \text{grensekostnad} = K'(x) \]

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten der. I videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023 betyr \( {K'(500) = 200} \) at én enhet til koster omtrent 200 kr mer.

Den røde linja \( h \) går også gjennom \( A\text{,} \) men den krysser grafen der og er ikke en tangent. Det er den grønne linja \( f \) som tangerer grafen til \( K \) i \( {A = (40, 3270)}\text{.} \)

2. Les av stigningstallet \( {f(x) = \textcolor{green}{31}x + 2030} \) har stigningstallet \( \textcolor{green}{31}\text{,} \) så: \[ K'(40) = f'(40) = \textcolor{green}{31} \]Når bedriften produserer 40 enheter, koster én enhet til omtrent 31 kr.

Oppgave 3c)

Bestem den minste enhetskostnaden.

Vis løsning

Svar

Enhetskostnaden er minst der linja fra origo tangerer grafen, i

B

med

{x = 100}\text{:}

\underline{\underline{E(100) = 60\,\text{kr per enhet}}}

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K\text{.} \) Den er minst når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden kan skrives: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} = \dfrac{K(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K(x)) \) på grafen. I a) var det den røde linja \( h \) til \( A\text{.} \)

2. Finn den slakeste linja fra origo Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den blå linja \( {g(x) = \textcolor{blue}{60}x} \) går gjennom origo og tangerer grafen i \( {B = (100, 6000)}\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Den minste enhetskostnaden er da: \[ E(100) = \dfrac{K(100)}{100} = \dfrac{6000}{100} = \textcolor{blue}{60} \]

I \( B \) er grensekostnaden lik enhetskostnaden, fordi tangenten \( g \) går gjennom origo: \[ K'(100) = g'(100) = \textcolor{blue}{60} = E(100) \]

Oppgave 4

En elev har skrevet koden nedenfor.

Oppgave 4a)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut med denne koden.

Vis løsning

Svar

Eleven vil regne ut arealet mellom grafen til

f

x

-aksen fra

{-2}

til

2\text{:}

\underline{\underline{\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx}}

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde av løkka. Det er arealet av et smalt rektangel.

1. Les programmet Linje 1 til 4 deler intervallet \( {[-2, 2]} \) i \( {N = 1000} \) like deler med bredde \( {dx = \dfrac{2 - (-2)}{1000} = 0{,}004}\text{.} \) Linje 6 og 7 definerer \( {f(x) = x^2 - 1}\text{.} \)

I løkka i linje 10 til 12 er \( x_i \) venstre ende av del nummer \( i\text{,} \) og linje 12 legger til \( {\textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx}}\text{.} \) Det er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{blue}{dx} \) og høyde \( \textcolor{red}{|f(x_i)|}\text{.} \)

Summen blir: \[ S = \sum_{i=0}^{999} \textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx} \]

2. Se hva summen blir Summen av rektanglene er en venstre Riemannsum, som i videoen Riemann sum. Med \( 1000 \) smale rektangler er den svært nær integralet: \[ S \approx \int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \]Absoluttverdien gjør at områdene under \( x \)-aksen også telles positivt.

Oppgave 4b)

Finn ved regning den verdien eleven ønsker å bestemme.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx = 2\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3}\right) = 4}}

Vi regner ut \( {\displaystyle\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( {x^2 - 1} \) skifter fortegn i \( {x = -1} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Grafen er symmetrisk om \( y \)-aksen, så vi regner ut arealet fra \( 0 \) til \( 2 \) og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Del opp intervallet \( {x^2 - 1 < 0} \) for \( {0 < x < 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 1 > 0} \) for \( {1 < x < 2}\text{.} \) Der grafen er under aksen, integrerer vi \( {1 - x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \\ &= 2\textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} \\ &\quad + 2\textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} \end{aligned} \]

2. Regn ut de to integralene Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{,} \) se videoen Basic integrasjonsregler/formler: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} &= \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} &= \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2 \end{aligned} \]

Det siste er: \[ \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ 2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} + \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]

Oppgave 5

I en kasse ligger det tre typer kuler. Disse veier henholdsvis 4 kg, 5 kg og 10 kg. Dersom vi trekker tilfeldig en kule, er sannsynligheten

\dfrac{1}{4}

for at kulen veier 4 kg og

\dfrac{1}{2}

for at den veier 5 kg.

Vi lar

X

være vekten til en tilfeldig kule.

Oppgave 5a)

Vis at

{E(X) = 6\,\text{kg}}\text{.}

Regn ut variansen til

X\text{.}

Vis løsning

Svar

\begin{aligned} &\underline{\underline{E(X) = 6\,\text{kg}}} \\ &\underline{\underline{\text{Var}(X) = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\,\text{kg}^2}} \end{aligned}

Vi finner først sannsynligheten for en kule på 10 kg, fordi sannsynlighetene til sammen er 1. Så bruker vi formlene for forventning og varians.

1. Finn den siste sannsynligheten Sannsynlighetene for alle verdiene summerer seg til 1, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ P(X = 10) = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \]

2. Regn ut forventningen Forventningen er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten sin: \[ E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= 4 \cdot \dfrac{1}{4} + 5 \cdot \dfrac{1}{2} + 10 \cdot \dfrac{1}{4} \\ &= 1 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 6 \end{aligned} \]

3. Regn ut variansen Variansen kan vi regne ut med: \[ \text{Var}(X) = \textcolor{blue}{E(X^2)} - \textcolor{red}{E(X)}^2 \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

\( \textcolor{blue}{E(X^2)} \) finner vi som forventningen, men med kvadratene av verdiene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{E(X^2)} &= \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) \\ &= 16 \cdot \dfrac{1}{4} + 25 \cdot \dfrac{1}{2} + 100 \cdot \dfrac{1}{4} \\ &= 4 + \dfrac{25}{2} + 25 = \textcolor{blue}{\dfrac{83}{2}} \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{E(X)} = \textcolor{red}{6}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \text{Var}(X) &= \textcolor{blue}{\dfrac{83}{2}} - \textcolor{red}{6}^2 \\ &= \dfrac{83}{2} - 36 = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Vi trekker tilfeldig en kule og legger den tilbake igjen. Dette gjør vi to ganger. La

X_1

være vekten til den første kulen vi trekker, og

X_2

vekten til den andre kulen vi trekker. La

{Y = X_1 + X_2}\text{.}

Oppgave 5b)

Sett opp sannsynlighetsfordelingen til

Y\text{.}

Vis løsning

Svar

\begin{aligned} &\underline{\underline{P(Y = 8) = \dfrac{1}{16}}} \\ &\underline{\underline{P(Y = 9) = \dfrac{1}{4}}} \\ &\underline{\underline{P(Y = 10) = \dfrac{1}{4}}} \\ &\underline{\underline{P(Y = 14) = \dfrac{1}{8}}} \\ &\underline{\underline{P(Y = 15) = \dfrac{1}{4}}} \\ &\underline{\underline{P(Y = 20) = \dfrac{1}{16}}} \end{aligned}

Vi går gjennom alle måtene å trekke to kuler på. Kulen legges tilbake, så trekningene er uavhengige, og vi ganger sannsynlighetene.

1. Finn de mulige summene Hver kule veier 4, 5 eller 10 kg, med sannsynlighetene \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) \( \dfrac{1}{2} \) og \( \dfrac{1}{4} \) fra a). Summen av to kuler kan bli \( 8\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 10\text{,} \) \( 14\text{,} \) \( 15 \) og \( 20\text{.} \)

2. Gang sannsynlighetene Kulen legges tilbake, så trekningene er uavhengige: den første påvirker ikke den andre, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Da er sannsynligheten for to bestemte kuler produktet: \[ \begin{aligned} & P(X_1 = a \text{ og } X_2 = b) \\ &= P(X_1 = a) \cdot P(X_2 = b) \end{aligned} \]

Når de to kulene er ulike, kan de komme i to rekkefølger, så vi ganger med \( \textcolor{blue}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(Y = 8) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} \\ P(Y = 9) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 10) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 14) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8} \\ P(Y = 15) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 20) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} \end{aligned} \]Summen \( 10 \) får vi bare med to kuler på 5 kg.

Kontroll: Sannsynlighetene summerer seg til 1: \( {\dfrac{1 + 4 + 4 + 2 + 4 + 1}{16} = 1}\text{.} \)

Oppgave 5c)

Bestem

{P(Y > 10)}\text{.}

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{P(Y > 10) = \dfrac{7}{16}}}

Vi bruker sannsynlighetsfordelingen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( {Y > 10} \) betyr at summen er 14, 15 eller 20. Vi legger sammen sannsynlighetene for disse verdiene.

1. Legg sammen sannsynlighetene I b) fant vi: \[ \begin{aligned} P(Y = 14) &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{8}} \\ P(Y = 15) &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \\ P(Y = 20) &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{16}} \end{aligned} \]

Summen 10 er ikke med, fordi ulikheten er streng. Sannsynlighetene for ulike verdier legger vi sammen, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans), der alle til sammen blir 1. Med 16 som fellesnevner får vi: \[ \begin{aligned} P(Y > 10) &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{16}} + \textcolor{blue}{\dfrac{4}{16}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{16}} \\ &= \dfrac{7}{16} \end{aligned} \]

Del 2

Med hjelpemidler · 5 oppgaver

Oppgave 1

Tabellen nedenfor viser den daglige etterspørselen etter en vare for ulike priser.

\begin{array}{r|r} \text{Pris} & \text{Etterspørsel} \\ \text{(kroner)} & \\ \hline 10 & 237 \\ 20 & 111 \\ 30 & 49 \\ 40 & 22 \\ 50 & 12 \end{array}

Oppgave 1a)

Lag en modell

q

som kan brukes til å beskrive sammenhengen mellom prisen

p

(i kroner) og den daglige etterspørselen. Vurder gyldighetsområdet til modellen.

Vis løsning

Svar

Med konstantene avrundet til to og tre desimaler, og prisene i tabellen som gyldighetsområde:

\begin{aligned} &\underline{\underline{q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p}} \\ &\underline{\underline{10 \le p \le 50}} \end{aligned}

Etterspørselen blir ganget med omtrent det samme tallet for hver 10 kr, så vi finner en eksponentiell modell med regresjon. Gyldighetsområdet vurderer vi ut fra prisene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du legge en eksponentiell modell gjennom to av punktene: med det første og det siste er \( {b^{40} = \dfrac{12}{237}}\text{,} \) så \( {b \approx 0{,}928} \) og \( {a = \dfrac{237}{b^{10}} \approx 500}\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Lag modellen med regresjon Vi deler hvert tall i tabellen på det forrige: \[ \begin{aligned} \dfrac{111}{237} &\approx 0{,}47 & \dfrac{49}{111} &\approx 0{,}44 \\ \dfrac{22}{49} &\approx 0{,}45 & \dfrac{12}{22} &\approx 0{,}55 \end{aligned} \]

Etterspørselen blir altså ganget med omtrent det samme tallet hver gang, og da passer en eksponentiell modell: \[ q(p) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^p \]

Vi lager en liste med punktene og bruker RegEksp, på samme måte som videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 bruker RegLogist for en logistisk modell. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. GeoGebra bruker \( x \) for prisen \( p\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(10, 237), (20, 111), (30, 49), (40, 22), (50, 12)} q(x) = RegEksp(l1)

Med \( \textcolor{blue}{a} \) avrundet til to desimaler og \( \textcolor{red}{b} \) til tre er modellen: \[ q(p) \approx \textcolor{blue}{494{,}98} \cdot \textcolor{red}{0{,}927}^p \]Etterspørselen synker altså med omtrent \( 7{,}3\,\% \) for hver krone prisen øker.

2. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har priser fra 10 kr til 50 kr, og der ligger modellen nær punktene. Utenfor vet vi lite, som når gyldighetsområdet vurderes i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Med gratis vare, \( {p = 0}\text{,} \) gir modellen omtrent 495, men tabellen sier ingenting om så lave priser. Modellen blir heller aldri 0, uansett hvor høy prisen er. Vi sier derfor at modellen gjelder for priser fra 10 kr til 50 kr.

Merk – Andre modeller: Andre modeller kan også være riktige når valget er begrunnet, for eksempel en eksponentiell modell gjennom det første og det siste punktet, \( {q \approx 500 \cdot 0{,}928^p}\text{.} \) En potensmodell \( {q = c \cdot p^r} \) passer dårligere: den gir omtrent 299 i stedet for 237 når prisen er 10 kr.

Oppgave 1b)

Hva bør prisen for varen være dersom bedriften skal selge 70 enheter per dag?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal bør prisen være:

\underline{\underline{p \approx 25{,}8\,\text{kr}}}

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi løser likningen \( {q(p) = 70}\text{.} \) Den ukjente står i eksponenten, så vi tar \( \ln \) på begge sider.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p \]

Bedriften skal selge 70 enheter, så vi setter \( {q(p) = 70} \) og deler på \( 494{,}98\text{:} \) \[ \begin{aligned} 494{,}98 \cdot 0{,}927^p &= 70 \\ 0{,}927^p &= \dfrac{70}{494{,}98} \end{aligned} \]

2. Løs med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen forteller oss at: \[ \ln\left(\textcolor{red}{b}^{\textcolor{green}{p}}\right) = \textcolor{green}{p} \cdot \ln \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{p} \cdot \ln \textcolor{red}{0{,}927} &= \ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right) \\ \textcolor{green}{p} &= \dfrac{\ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right)}{\ln \textcolor{red}{0{,}927}} \\ &\approx \dfrac{-1{,}9560}{-0{,}0758} \approx 25{,}8 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Finn skjæringspunktet Vi tegner linja \( {y = 70} \) og finner skjæringspunktet med modellen \( {q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p} \) fra a) med Skjæring, som «skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 70 A = Skjæring(q, g)

Skjæringspunktet er \( {A \approx (25{,}79;\ 70)}\text{,} \) så prisen bør være omtrent \( 25{,}8 \) kr.

For en annen vare viser det seg at

p = 79 - 12{,}2\ln x

Her er

x

den daglige etterspørselen når varen koster

p

kroner.

Oppgave 1c)

Hva må prisen være dersom inntektene skal bli størst mulig?

Vis løsning

Svar

Inntekten er størst når det selges omtrent 239 enheter per dag, og da er prisen:

\underline{\underline{p = 12{,}2\,\text{kr}}}

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Vi skriver den som en funksjon av \( x\text{,} \) deriverer og setter den deriverte lik null.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp inntekten Bedriften selger \( x \) enheter til prisen \( p\text{,} \) så inntekten er: \[ \begin{aligned} I(x) &= x \cdot p \\ &= x(79 - 12{,}2\ln x) \\ &= 79x - 12{,}2\,\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} \end{aligned} \]

2. Deriver med produktregelen Det siste leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u}' \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

\( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som er regelen for \( \ln u \) med \( {u = x} \) i videoen Derivasjonsregler/Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I'(x) &= 79 - 12{,}2\left(\textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}}\right) \\ &= 79 - 12{,}2\ln x - 12{,}2 \\ &= 66{,}8 - 12{,}2\ln x \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null \[ \begin{aligned} 66{,}8 - 12{,}2\ln x &= 0 \\ 12{,}2\ln x &= 66{,}8 \\ x &= e^{66{,}8/12{,}2} \approx 238{,}7 \end{aligned} \]\( I'(x) \) er positiv før dette punktet og negativ etter, fordi \( \ln x \) vokser. Inntekten er derfor størst her.

4. Finn prisen Vi trenger ikke regne ut \( x \) først, for prisen inneholder \( 12{,}2\ln x\text{,} \) som vi nettopp fant: \[ \begin{aligned} p &= 79 - 12{,}2\ln x \\ &= 79 - 66{,}8 = 12{,}2 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Løs i CAS Vi definerer prisen og inntekten, løser \( {I'(x) = 0} \) og setter løsningen inn i \( p\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: p(x) := 79 - 12.2 ln(x) I(x) := x p(x) Løs(I'(x) = 0, x) p(238.7483)

Rad 3 gir \( {x \approx 238{,}7}\text{,} \) og rad 4 gir prisen \( 12{,}2 \) kr.

Kostnadene

K

(i kroner) ved produksjon og salg av

x

enheter per dag er gitt ved

K(x) = 0{,}021x^2 + 10x + 910

Oppgave 1d)

Hvor mange enheter må produseres og selges per dag for at grenseinntektene skal bli lik grensekostnadene?

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Svar

Ved omtrent 80 enheter per dag gir én enhet til like mye i inntekt som i kostnad, og overskuddet er størst:

\underline{\underline{x \approx 80 \text{ enheter per dag}}}

Vi bruker grenseinntekten \( I'(x) \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grenseinntekten er \( I'(x) \) og grensekostnaden er \( K'(x)\text{.} \) Vi setter dem like og løser likningen. Der er overskuddet størst.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen har både \( \ln x \) og \( x\text{,} \) så vi kan ikke få \( x \) alene med regnereglene i S2. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: med \( {x = 79} \) er \( {I'(x) - K'(x) \approx 0{,}17}\text{,} \) og med \( {x = 80} \) er den omtrent \( {-0{,}02}\text{,} \) så løsningen ligger mellom 79 og 80, nærmest 80.

Metode: Med GeoGebra

1. Sett opp likningen I c) fant vi \( \textcolor{blue}{\text{grenseinntekten}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{I'(x)} = \textcolor{blue}{66{,}8 - 12{,}2\ln x} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/Formler.

Vi deriverer \( K \) ledd for ledd og får \( \textcolor{red}{\text{grensekostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{red}{0{,}042x + 10} \]

Vi setter dem like: \[ \textcolor{blue}{66{,}8 - 12{,}2\ln x} = \textcolor{red}{0{,}042x + 10} \]

2. Løs i CAS På samme CAS-ark som i c) definerer vi \( K \) og løser likningen, som med Løs i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her bruker vi NLøs med en startverdi, fordi likningen har både \( \ln x \) og \( x\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 0.021x^2 + 10x + 910 NLøs(I'(x) = K'(x), x = 80)

Rad 6 gir \( {x \approx 79{,}9}\text{,} \) altså omtrent 80 enheter per dag.

3. Tolk svaret Overskuddet er inntekt minus kostnad, så: \[ O'(x) = I'(x) - K'(x) \]

For færre enn 80 enheter er grenseinntekten større enn grensekostnaden, så én enhet til øker overskuddet. For flere enn 80 er det omvendt. Overskuddet er derfor størst ved omtrent 80 enheter per dag, og da er prisen omtrent \( {79 - 12{,}2\ln 80 \approx 25{,}5} \) kr.

Oppgave 2

Miriam har bestemt seg for å sette inn 20 000 kroner på en konto i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet vil hun sette inn i begynnelsen av 2024, det andre beløpet i begynnelsen av 2025, og så videre. Anta at hun får en fast årlig rentesats på 3,5 prosent.

Oppgave 2a)

Vis at Miriam vil ha 565 594 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20.

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele kroner:

\underline{\underline{S_{20} \approx 565\,594\,\text{kr}}}

Hvert innskudd vokser med vekstfaktoren \( 1{,}035 \) for hvert år det står på kontoen. Saldoen er summen av de 20 innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.

Metode: Med kalkulator

1. Skriv saldoen som en rekke Vekstfaktoren for \( 3{,}5\,\% \) er \( 1{,}035\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Innskudd nummer 20 er nettopp satt inn og har ingen renter. Innskudd nummer 19 har stått i 1 år, og det første innskuddet i 19 år: \[ \begin{aligned} S_{20} = \ &20\,000 + 20\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}035} \\ &+ \ldots + 20\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}035}^{19} \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med vekstfaktoren, så rekken er geometrisk.

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^{\textcolor{green}{n}} - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{20\,000} & \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{1{,}035} & \textcolor{green}{n} &= \textcolor{green}{20} \end{aligned} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{20} &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}035}^{\textcolor{green}{20}} - 1}{\textcolor{red}{1{,}035} - 1} \\ &\approx 565\,593{,}64 \end{aligned} \]Avrundet til hele kroner er det \( 565\,594 \) kr.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut summen i CAS Innskudd nummer \( {20 - j} \) har stått i \( j \) år, så vi lar Sum legge sammen \( {20\,000 \cdot 1{,}035^j} \) for \( {j = 0} \) til \( 19\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Sum(20000*1.035^j, j, 0, 19)

Summen er omtrent \( 565\,594 \) kr.

Hermod har også bestemt seg for å spare. Han vil sette inn et fast beløp i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter han inn i begynnelsen av 2024. Han får også en fast årlig rentesats på 3,5 prosent. Hermod har regnet ut at han vil ha 692 852 kroner på kontoen like etter at innskudd nummer 20 er satt inn.

Oppgave 2b)

Bestem beløpet Hermod må sette inn hvert år for at dette skal stemme.

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele kroner må Hermod sette inn:

\underline{\underline{x \approx 24\,500\,\text{kr}}}

Det er den samme rekken som i a), men med et ukjent innskudd \( x \) i stedet for \( 20\,000\text{.} \) Vi setter summen lik \( 692\,852 \) og løser for \( x\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningen Med innskuddet \( \textcolor{blue}{x} \) er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{x}}\text{,} \) og ellers er alt som i a). Summeformelen fra a), som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel, forteller oss at: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1} \]

Det gir: \[ \textcolor{blue}{x} \cdot \dfrac{1{,}035^{20} - 1}{1{,}035 - 1} = 692\,852 \]

2. Finn innskuddet Vi regner ut brøken og deler: \[ \begin{aligned} \dfrac{1{,}035^{20} - 1}{0{,}035} &\approx 28{,}2797 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{692\,852}{28{,}2797} \approx 24\,500 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen for \( x \) med Løs og \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(x*Sum(1.035^j, j, 0, 19) = 692852, x)

Rad 2 gir \( {x \approx 24\,500} \) kr.

Miriam ønsker at det skal være 1 000 000 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20. For å få til dette, vil hun øke innskuddet med et fast beløp hvert år. Første innskudd skal være 20 000 kroner.

Oppgave 2c)

Hvor mye må hun øke innskuddet med hvert år?

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele øre må hun øke innskuddet med:

\underline{\underline{d \approx 1836{,}33\,\text{kr}}}

Vi bruker summen \( 565\,593{,}64 \) kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi kaller økningen \( d\text{.} \) De \( 20\,000 \) kronene i hvert innskudd gir saldoen fra a), og hver økning er et nytt fast innskudd fra et år og ut, altså en ny geometrisk rekke.

Metode: Med kalkulator

1. Del opp innskuddene Innskudd nummer \( n \) er \( {20\,000 + (n - 1)\textcolor{red}{d}}\text{.} \) Fra a) vet vi at \( 20\,000 \) kr hvert år gir: \[ \textcolor{blue}{565\,593{,}64} \]

Den første økningen \( \textcolor{red}{d} \) kommer i innskudd 2 og er med i alle innskuddene etter det. Det er som å sette inn \( \textcolor{red}{d} \) hvert år i 19 år. Den andre økningen er med fra innskudd 3, altså i 18 år, og så videre, til den siste, som bare er med i innskudd 20.

2. Summer hver økning En økning som er med i \( m \) innskudd, gir en geometrisk rekke med \( {a_1 = \textcolor{red}{d}}\text{,} \) \( {k = 1{,}035} \) og \( m \) ledd. Summeformelen forteller oss at: \[ S_m = a_1 \cdot \dfrac{k^m - 1}{k - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

For én økning gir det: \[ \textcolor{red}{d} \cdot \dfrac{1{,}035^m - 1}{0{,}035} \]

Vi legger sammen for \( {m = 19, 18, \ldots, 1}\text{,} \) og setter \( \textcolor{red}{d} \) og \( \dfrac{1}{0{,}035} \) utenfor: \[ \dfrac{\textcolor{red}{d}}{0{,}035}\left(1{,}035 + \ldots + 1{,}035^{19} - 19\right) \]

Summen i parentesen er en geometrisk rekke med \( {a_1 = 1{,}035}\text{,} \) \( {k = 1{,}035} \) og 19 ledd: \[ \begin{aligned} 1{,}035 \cdot \dfrac{1{,}035^{19} - 1}{0{,}035} &\approx 27{,}27968 \\ \dfrac{27{,}27968 - 19}{0{,}035} &\approx \textcolor{darkorange}{236{,}5623} \end{aligned} \]Økningene gir altså til sammen \( \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d}\text{.} \)

3. Finn økningen Saldoen skal være \( 1\,000\,000 \) kr: \[ \textcolor{blue}{565\,593{,}64} + \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d} = 1\,000\,000 \]

Vi trekker fra \( \textcolor{blue}{565\,593{,}64} \) og deler: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d} &= 434\,406{,}36 \\ \textcolor{red}{d} &\approx 1836{,}33 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS Innskudd nummer \( n \) er \( {20\,000 + (n - 1)d} \) og har stått i \( {20 - n} \) år. Vi summerer for \( {n = 1} \) til \( 20\text{,} \) og løser for \( d \) med Løs og \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(Sum((20000 + (n - 1)*d)*1.035^(20 - n), n, 1, 20) = 1000000, d)

Rad 3 gir \( {d \approx 1836{,}33} \) kr.

Oppgave 3

En dekkprodusent påstår at bremselengden for en type vinterdekk under bestemte forhold er 83 meter.

X

være bremselengden ved en tilfeldig måling under disse forholdene. Gå ut fra at

X

er normalfordelt med

{\mu = 83\,\text{m}}

{\sigma = 3{,}0\,\text{m}}\text{.}

Oppgave 3a)

Bestem sannsynligheten for at bremselengden ved en tilfeldig valgt måling er lengre enn 87 meter.

Vis løsning

Svar

Avrundet til to desimaler:

\underline{\underline{P(X > 87) \approx 0{,}09}}

\( X \) er normalfordelt. Vi gjør 87 meter om til en \( z \)-verdi og slår opp i tabellen over standard normalfordeling. Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi trekker den fra 1.

Metode: Med kalkulator

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{83}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{3}}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} & P(X > 87) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{87 - \textcolor{blue}{83}}{\textcolor{red}{3}}\right) \\ &\approx 1 - P(Z \le 1{,}33) \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen Tabellen over standard normalfordeling gir \( {P(Z \le 1{,}33) = 0{,}9082}\text{:} \) \[ P(X > 87) \approx 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918 \]

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS FordelingNormal\( (\mu, \sigma, x) \) gir \( {P(X \le x)}\text{.} \) Vi trekker den fra 1 og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingNormal(83, 3, 87)

Rad 1 gir \( {P(X > 87) \approx 0{,}0912}\text{.} \) Kalkulatorruten gir \( 0{,}0918\text{,} \) fordi tabellen bruker \( {z = 1{,}33} \) i stedet for \( \dfrac{4}{3}\text{.} \)

Oppgave 3b)

Bestem

k

slik at

{P(X < k) = 0{,}9}\text{.}

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Svar

I 90 % av målingene er bremselengden kortere enn

k\text{,}

avrundet til én desimal:

\underline{\underline{k \approx 86{,}8\,\text{m}}}

Nå kjenner vi sannsynligheten og leter etter grensen. Vi finner \( z \)-verdien som gir \( 0{,}9 \) i tabellen, og gjør den om til meter.

Metode: Med kalkulator

1. Finn verdien i tabellen Vi leter etter \( 0{,}9 \) inne i tabellen. Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}28) = 0{,}8997} \) og \( {P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015}\text{,} \) så \( {z \approx 1{,}28}\text{.} \)

2. Gjør om til meter Standardiseringen fra a), som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling, forteller oss at: \[ z = \dfrac{k - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}} \]

Løser vi for \( k\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \textcolor{blue}{\mu} + z \cdot \textcolor{red}{\sigma} \\ &\approx \textcolor{blue}{83} + 1{,}28 \cdot \textcolor{red}{3} \\ &= 86{,}84 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS InversNormalfordeling\( (\mu, \sigma, p) \) gir grensen \( k \) med \( {P(X \le k) = p}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: InversNormalfordeling(83, 3, 0.9)

Rad 2 gir \( {k \approx 86{,}84}\text{.} \)

Oppgave 3c)

Bestem sannsynligheten for at gjennomsnittet av 15 målinger er mindre enn 84 meter.

Vis løsning

Svar

Avrundet til to desimaler:

\underline{\underline{P(\bar{X} < 84) \approx 0{,}90}}

Gjennomsnittet av 15 målinger varierer mindre enn én måling. Det er normalfordelt med samme forventning, men standardavviket deles på \( \sqrt{15}\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Finn fordelingen til gjennomsnittet Gjennomsnittet \( \bar{X} \) av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige målinger har forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet. Når hver måling er normalfordelt, er også \( \bar{X} \) normalfordelt.

Her er \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{15}}\text{:} \) \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\sqrt{\textcolor{green}{15}}} \approx 0{,}7746 \]

2. Standardiser og slå opp Vi standardiserer med standardavviket til gjennomsnittet. Tabellen over standard normalfordeling gir \( {P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(\bar{X} < 84) &= P\left(Z < \dfrac{84 - \textcolor{blue}{83}}{0{,}7746}\right) \\ &\approx P(Z < 1{,}29) \\ &\approx 0{,}9015 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi bruker FordelingNormal med standardavviket \( \dfrac{3}{\sqrt{15}} \) for gjennomsnittet:

Skriv inn i GeoGebra: FordelingNormal(83, 3/sqrt(15), 84)

Rad 3 gir \( {P(\bar{X} < 84) \approx 0{,}9016}\text{.} \)

Noen mener at bremselengden er lengre enn 83 meter. De ville derfor gjennomføre en test under de samme bestemte forholdene, for å sjekke om det er hold i dekkprodusentens påstand.

Det ble gjennomført 15 målinger. Resultatet av målingene (i meter) er gitt i tabellen nedenfor.

\begin{array}{r|r|r} \text{86,4} & \text{86,4} & \text{86,9} \\ \hline 85{,}5 & 82{,}3 & 88{,}3 \\ 82{,}9 & 85{,}9 & 86{,}2 \\ 81{,}9 & 77{,}7 & 80{,}5 \\ 84{,}0 & 83{,}0 & 84{,}8 \end{array}

Oppgave 3d)

Gjennomfør en hypotesetest med et signifikansnivå på 5 prosent til å avgjøre om det er hold i mistanken.

Vis løsning

Svar

P-verdien er omtrent

{0{,}064 > 0{,}05}\text{,}

så vi forkaster ikke

H_0\text{:}

\underline{\underline{\text{Ikke hold i mistanken}}}

Vi bruker standardavviket til gjennomsnittet fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Mistanken er at bremselengden er lengre enn 83 meter. Vi regner ut gjennomsnittet av målingene og finner hvor sannsynlig et så høyt gjennomsnitt er hvis produsenten har rett.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi vil finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som produsenten påstår, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Med \( \mu \) som forventet bremselengde i meter: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } \mu = 83} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } \mu > 83} \]Testen er ensidig, fordi mistanken bare er at bremselengden er lengre.

2. Regn ut gjennomsnittet Summen av de 15 målingene er \( 1262{,}7\text{,} \) så: \[ \bar{x} = \dfrac{1262{,}7}{15} = 84{,}18 \]

3. Regn ut testobservatoren Standardavviket \( {\sigma = 3} \) er kjent, så vi bruker en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{83}} \) fra \( H_0\text{,} \) og i c) fant vi \( {\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{3}{\sqrt{15}} \approx 0{,}7746}\text{:} \) \[ z = \dfrac{84{,}18 - \textcolor{blue}{83}}{0{,}7746} \approx 1{,}52 \]

4. Finn P-verdien og konkluder P-verdien er sannsynligheten for et gjennomsnitt minst så høyt hvis \( H_0 \) er sann. Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}52) = 0{,}9357}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(Z \ge 1{,}52) &= 1 - 0{,}9357 \\ &= 0{,}0643 \end{aligned} \]P-verdien er større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( \textcolor{blue}{H_0}\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Målingene gir ikke grunnlag for å si at bremselengden er lengre enn 83 meter.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Hypotesene og testobservatoren er de samme som i kalkulatorruten. Vi legger målingene i tre lister, én per rad i tabellen, regner ut gjennomsnittet og finner P-verdien:

Skriv inn i GeoGebra: r1 := {86.4, 85.5, 82.9, 81.9, 84.0} r2 := {86.4, 82.3, 85.9, 77.7, 83.0} r3 := {86.9, 88.3, 86.2, 80.5, 84.8} (Sum(r1) + Sum(r2) + Sum(r3))/15 1 - FordelingNormal(83, 3/sqrt(15), 84.18)

Rad 7 gir \( {\bar{x} = 84{,}18}\text{,} \) og rad 8 gir P-verdien \( 0{,}0638\text{.} \) Den er større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Oppgave 4

Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La

P_n

være antall kuler i figur

n\text{.}

De fem første figurtallene er

1\text{,}

6\text{,}

16\text{,}

31

51\text{.}

Oppgave 4a)

Beskriv en rekursiv sammenheng mellom

P_n

{P_{n-1}}\text{.}

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{P_1 = 1\text{,} \quad P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}}

Vi ser på differansen mellom to figurtall som kommer etter hverandre. Den er antall kuler i den nye ytterste femkanten.

Metode: For hånd

1. Se på differansene Vi trekker hvert figurtall fra det neste: \[ \begin{aligned} 6 - 1 &= 5 = 5 \cdot \textcolor{red}{1} \\ 16 - 6 &= 10 = 5 \cdot \textcolor{red}{2} \\ 31 - 16 &= 15 = 5 \cdot \textcolor{red}{3} \\ 51 - 31 &= 20 = 5 \cdot \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]

2. Forklar med figuren I figur \( n \) har den ytterste femkanten \( n \) kuler på hver kant. Fem kanter gir \( 5n\text{,} \) men de fem hjørnekulene telles to ganger, så det kommer \( {5n - 5 = 5(\textcolor{red}{n - 1})} \) nye kuler. Sammenhengen er derfor: \[ P_n = P_{n-1} + 5(\textcolor{red}{n - 1}) \]

For eksempel er \( {P_3 = P_2 + 5 \cdot 2 = 16}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Lag et program som regner ut

P_{100}

ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a).

Vis løsning

Svar

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi starter med \( {P_1 = 1}\text{,} \) og lar en løkke legge til de nye kulene for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

Metode: Med Python

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( {P = 1}\text{,} \) som er \( P_1\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.

Løkka i linje 2 går for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger til \( {\textcolor{red}{5(n - 1)}}\text{.} \)

2. Sjekk de første rundene Etter to runder er \( {P = 1 + \textcolor{red}{5} + \textcolor{red}{10} = 16 = P_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 24\,751\text{.} \)

Oppgave 5

Høyden

X

til en tilfeldig valgt jente på 24 måneder er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi

{\text{E}(X) = 87\,\text{cm}}

og standardavvik

{\text{SD}(X) = 3{,}3\,\text{cm}}\text{.}

Høyden

Y

til en tilfeldig valgt gutt på 24 måneder er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi

{\text{E}(Y) = 88\,\text{cm}}

og standardavvik

{\text{SD}(Y) = 3{,}1\,\text{cm}}\text{.}

Lag et program som du kan bruke til å anslå sannsynligheten for at høyden til et tilfeldig valgt barn på 24 måneder er mindre enn 84 cm. Gå ut ifra at det er like mange jenter som gutter i populasjonen.

Vis løsning

Svar

Vi lar programmet velge et tilfeldig barn mange ganger: først om det er en jente eller en gutt, så høyden fra riktig normalfordeling. Andelen barn under 84 cm er et anslag for sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv på å skrive og lese slike programmer på papir, og på å regne ut sannsynligheten med tabellen, som i kontrollen nedenfor.

Metode: Med Python

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Vi gjentar forsøket i en løkke og teller, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( \texttt{random()} \) gir et tilfeldig tall mellom 0 og 1, og \( \texttt{normal} \) en tilfeldig verdi fra en normalfordeling, der det første tallet er forventningen og det andre standardavviket.

2. Les programmet linje for linje Løkka i linje 6 går \( {N = 100\,000} \) ganger. Linje 7 gir en jente med sannsynlighet \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) og da trekker linje 8 høyden fra normalfordelingen med forventning \( \textcolor{red}{87} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{3{,}3}\text{.} \) Ellers er det en gutt, og linje 10 trekker høyden med forventning \( \textcolor{blue}{88} \) og standardavvik \( \textcolor{blue}{3{,}1}\text{.} \)

Linje 11 sjekker om høyden er under 84 cm, og da teller linje 12 én til. Linje 14 skriver ut andelen av barna som var under 84 cm. Simuleringen gir litt ulike tall hver gang, men med så mange barn blir svaret nesten alltid \( 0{,}14 \) avrundet til to desimaler.

Kontroll: Med tabellen over standard normalfordeling er sannsynligheten for en jente og for en gutt under 84 cm: \[ \begin{aligned} P(X < 84) &= P(Z < -0{,}91) \\ &= 0{,}1814 \\ P(Y < 84) &= P(Z < -1{,}29) \\ &= 0{,}0985 \end{aligned} \]Halvparten er jenter, så sannsynligheten er gjennomsnittet av de to, \( {0{,}13995 \approx 0{,}140}\text{,} \) som simuleringen.

Oppgavene i S2 høst 2023

Temaet og poengene i hver oppgave.

Oppgavene i S2 høst 2023, med del, tema og poeng
Oppgave	Tema	Poeng
Del 1
Del 1, Oppgave 1	areal under graf, integrasjon	–
Del 1, Oppgave 2	aritmetiske rekker, geometriske rekker, rekker	–
Del 1, Oppgave 3	derivasjon, lineære funksjoner, optimering, tangent, økonomi	–
Del 1, Oppgave 4	areal under graf, integrasjon, programmering, riemannsummer	–
Del 1, Oppgave 5	sannsynlighet, standardavvik	–
Del 2
Del 2, Oppgave 1	derivasjon, eksponentialfunksjoner, ln, modellering, optimering, produktregelen, regresjon, økonomi	–
Del 2, Oppgave 2	geometriske rekker, privatøkonomi, rekker	–
Del 2, Oppgave 3	gjennomsnitt, sannsynlighet, standardavvik, statistikk	–
Del 2, Oppgave 4	programmering, tallfølger	–
Del 2, Oppgave 5	programmering, sannsynlighet, simulering, statistikk	–

Ferdig med settet? Se de andre S2-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.