Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.

1. Finn en antiderivert ledd for ledd Når eksponenten er \( kx\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int e^{\textcolor{green}{k}x}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}x} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{e^{2x}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}}\text{,} \) fordi \( {\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)' = x}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}\right]_0^2 \\ &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{4}} + \textcolor{red}{2}\right) - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= \dfrac{e^4 + 3}{2} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Vi ser at \( \dfrac{1}{x} \) er den deriverte av \( \ln x\text{,} \) som står inni parentesen. Vi bruker derfor variabelskifte med \( {u = \ln x}\text{.} \)

1. Bytt variabel Vi setter det som står inni parentesen, lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = \dfrac{1}{x} \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = x\,d\textcolor{green}{u}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{(\textcolor{green}{\ln x})^2}{x}\,dx &= \int \dfrac{\textcolor{green}{u}^2}{x} \cdot x\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \int \textcolor{green}{u}^2\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{1}{3}\textcolor{green}{u}^3 + C \end{aligned} \]\( x \) forkortes bort, og \( \dfrac{1}{3}u^3 \) er en antiderivert til \( u^2\text{,} \) fordi \( {\left(\dfrac{1}{3}u^3\right)' = u^2}\text{.} \)

3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}} \) tilbake: \[ \int \dfrac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \dfrac{1}{3}(\textcolor{green}{\ln x})^3 + C \]

Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\dfrac{1}{3} \cdot 3(\ln x)^2 \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{(\ln x)^2}{x}}\text{,} \) som er det vi integrerte.

Vi kjenner den deriverte, så vi integrerer for å finne \( f\text{.} \) Konstanten finner vi med punktet grafen går gjennom.

1. Integrer den deriverte Vi skriver \( \dfrac{2}{x^2} \) som \( {2x^{\textcolor{green}{-2}}} \) og bruker potensregelen for integraler, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på å skrive om brøken til en potens, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{-2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int 2x^{\textcolor{green}{-2}}\,dx \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{-2} + 1}x^{\textcolor{green}{-2} + 1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{-1}x^{-1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{C} \end{aligned} \]

2. Finn konstanten med punktet Grafen går gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {f(2) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{2}{2} + \textcolor{darkorange}{C} &= 2 \\ \textcolor{darkorange}{C} &= \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ f(x) = -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{3} \]

Vi finner først hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste grafen minus den nederste, mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter \( {g(x) = h(x)}\text{:} \) \[ x = -\dfrac{3}{x} + 4 \]

Vi ganger begge sider med \( x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{,} \) og samler alt på én side: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]Grafene skjærer hverandre i \( {\underline{x = 1}} \) og \( {\underline{x = 3}}\text{.} \)

2. Finn grafen som ligger øverst Vi setter inn \( {x = 2}\text{,} \) som ligger mellom skjæringspunktene: \[ g(2) = 2 \qquad h(2) = -\dfrac{3}{2} + 4 = \dfrac{5}{2} \]Grafen til \( h \) ligger altså over grafen til \( g \) mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{.} \)

3. Regn ut arealet Arealet er integralet av den øverste minus den nederste: \[ \begin{aligned} A &= \int_1^3 \left(h(x) - g(x)\right) dx \\ &= \int_1^3 \left(-\dfrac{3}{x} + 4 - x\right) dx \end{aligned} \]

En antiderivert er \( {F(x) = -3\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2}\text{,} \) fordi \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) for \( {x > 0}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(3) &= -3\ln 3 + 12 - \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 \\ F(1) &= -3\ln 1 + 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= F(3) - F(1) \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 - \dfrac{7}{2} \\ &= 4 - 3\ln 3 \end{aligned} \]

Sidelengdene minker med \( 0{,}1\,\text{m} \) for hver plate, så summen av dem er en aritmetisk rekke. Det største antallet plater finner vi ved at sidelengden må være positiv.

1. Sett opp rekken I en aritmetisk rekke er ledd nummer \( n\text{:} \) \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{-0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot (\textcolor{red}{-0{,}1}) \\ &= 5{,}1 - 0{,}1n \end{aligned} \]

Summen av sidelengdene i meter er rekken: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + (5{,}1 - 0{,}1n) \]

2. Finn det største antallet plater Hver treplate må ha en sidelengde større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5{,}1 - 0{,}1n &> 0 \\ n &< 51 \end{aligned} \]

Det største antallet er altså \( {n = 50}\text{.} \) Da er den øverste platen \( {a_{50} = 5{,}1 - 5 = 0{,}1\,\text{m}}\text{,} \) og rekken er: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + 0{,}2 + 0{,}1 \]

Arealet blir ganget med det samme tallet for hver ny plate, så arealene danner en geometrisk rekke. Det samlede arealet kan ikke bli større enn summen av den uendelige rekken.

1. Finn kvotienten Når sidelengden blir \( 10\,\% \) kortere, blir den ganget med \( 0{,}9\text{.} \) Arealet er sidelengden i andre, så arealet blir ganget med: \[ \textcolor{red}{k} = 0{,}9^2 = \textcolor{red}{0{,}81} \]

Arealene i kvadratmeter danner derfor en geometrisk rekke: \[ \textcolor{blue}{19} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81}^2 + \dots \]

2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{19}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}81}}\text{.} \) Siden \( {-1 < 0{,}81 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{19}}{1 - \textcolor{red}{0{,}81}} = \dfrac{19}{0{,}19} = 100 \]Med uendelig mange plater blir arealet \( 100\,\text{m}^2\text{.} \) Et tårn har endelig mange plater, så arealet blir litt mindre, men kan komme så nær \( 100\,\text{m}^2 \) vi vil.

Hver busstur har to utfall, kontroll eller ikke, med samme sannsynlighet hver gang, og vi antar at turene er uavhengige. \( X \) er derfor binomisk fordelt.

1. Kjenn igjen den binomiske fordelingen Når \( X \) er binomisk fordelt med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk, er: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ Var(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{20}} \) bussturer og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}05}}\text{.} \)

2. Regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{0{,}05} = 1 \\ Var(X) &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{0{,}05} \cdot 0{,}95 \\ &= 0{,}95 \end{aligned} \]Silas kan altså vente én kontroll på de 20 turene.

Vi bruker \( {E(X) = 1} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi sammenligner hva billettene koster med hvor mye Silas kan vente å betale i bøter hvis han ikke kjøper billett.

1. Regn ut hva billettene koster 20 turer til 65 kr koster: \[ 20 \cdot 65\,\text{kr} = \textcolor{blue}{1300\,\text{kr}} \]

2. Regn ut de forventede bøtene Uten billett betaler Silas 1470 kr for hver kontroll. Fra a) venter han \( {E(X) = 1} \) kontroll, som vi fant med formelen fra videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet). De forventede bøtene er da: \[ \begin{aligned} E(1470X) &= 1470 \cdot E(X) \\ &= 1470 \cdot 1 = \textcolor{red}{1470\,\text{kr}} \end{aligned} \]

3. Sammenlign \( \textcolor{red}{1470\,\text{kr}} \) er mer enn \( \textcolor{blue}{1300\,\text{kr}}\text{.} \) I gjennomsnitt taper Silas 170 kr på å kjøre uten billett, så det lønner seg sannsynligvis å kjøpe billetter. Vi skriver «sannsynligvis» fordi \( X \) er tilfeldig. Blir han ikke kontrollert i det hele tatt, slipper han billigere, men allerede én kontroll koster mer enn alle billettene.

Vannmengden \( X \) er normalfordelt. Vi gjør den om til en standard normalfordelt \( Z \) og slår opp i tabellen i vedlegget.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} & P(X \le 1{,}48) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{1{,}48 - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\textcolor{red}{0{,}01}}\right) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{-0{,}02}{0{,}01}\right) \\ &= P(Z \le -2) \end{aligned} \]1,48 L ligger altså to standardavvik under forventningen.

2. Slå opp i tabellen I tabellen over standard normalfordeling står \( {P(Z \le -2{,}00) = 0{,}0228}\text{.} \)

Vi bruker sannsynligheten fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut hvor mange flasker med \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre Henrik kan vente å finne blant 24, hvis produsenten har rett.

1. Regn ut forventet antall Fra a) har hver flaske sannsynligheten \( \textcolor{red}{0{,}0228} \) for å ha \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre. Antallet slike flasker blant \( \textcolor{blue}{24} \) er binomisk fordelt, så vi kan vente \( {n \cdot p}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet): \[ \textcolor{blue}{24} \cdot \textcolor{red}{0{,}0228} \approx 0{,}55 \]flasker med så lite vann, selv om produsenten har rett.

2. Forklar Det er altså ikke uvanlig å finne én slik flaske i en kasse. En enkelt flaske sier dessuten lite om gjennomsnittet. Henrik har valgt ut den flasken med minst vann, og den vil nesten alltid ligge under \( 1{,}50\,\text{L}\text{,} \) også når produsenten har rett. Han må se på alle de 24 flaskene, som i d).

Den alternative hypotesen \( H_1 \) er det Henrik påstår. Nullhypotesen \( H_0 \) er det motsatte: at det ikke er noen forandring fra det produsenten oppgir.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som oppgitt, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.

La \( \mu \) være forventet vannmengde i en flaske. \( \textcolor{red}{\text{Henrik}} \) påstår at \( {\textcolor{red}{\mu < 1{,}50\,\text{L}}}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{\text{produsenten}} \) oppgir \( {\textcolor{blue}{\mu = 1{,}50\,\text{L}}}\text{.} \) Testen er ensidig, fordi Henrik bare påstår at det er for lite vann.

Vi bruker hypotesene fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Gjennomsnittet av 24 flasker varierer mye mindre enn én flaske. Vi regner ut hvor sannsynlig det er å få et så lavt gjennomsnitt hvis \( H_0 \) er sann, og forkaster \( H_0 \) hvis det er svært usannsynlig.

1. Velg nivå og regn ut snittet I c) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } \mu = 1{,}50 \qquad H_1\text{: } \mu < 1{,}50 \]

Før målingene velger Henrik et signifikansnivå, for eksempel \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \) Så regner han ut gjennomsnittet av de 24 målingene: \[ \bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{24}}{24} \]

2. Finn fordelingen til gjennomsnittet Hvis \( H_0 \) er sann, er gjennomsnittet \( \bar{X} \) normalfordelt med forventning \( \textcolor{blue}{1{,}50} \) og standardavvik \( \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet.

Siden standardavviket er kjent, bruker han en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) fra \( H_0\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{24}}\text{:} \) \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\dfrac{\textcolor{red}{0{,}01}}{\sqrt{\textcolor{green}{24}}}} \]

3. Konkluder Han finner P-verdien \( {P(Z \le z)} \) i tabellen. Er P-verdien mindre enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) forkaster han \( H_0\text{,} \) og da har han grunnlag for å si at flaskene inneholder mindre enn \( 1{,}50\,\text{L}\text{.} \) Ellers kan han ikke forkaste \( H_0\text{.} \) Med \( {\alpha = 0{,}05} \) er det det samme som å forkaste når \( {z < -1{,}645}\text{.} \)

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Det er en andregradsfunksjon som er 0 der grafene krysser, og den er størst midt mellom nullpunktene.

1. Finn nullpunktene til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = I(x) - K(x) \]

\( O \) er 0 der grafene til \( I \) og \( K \) krysser. For vare 1 er det i \( {x = \textcolor{blue}{60}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) og for vare 2 i \( {x = \textcolor{green}{20}} \) og \( {x = \textcolor{green}{80}}\text{.} \) Mellom nullpunktene er \( {I > K}\text{,} \) så der går bedriften med overskudd.

2. Skriv overskuddet på faktorisert form En andregradsfunksjon med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives som: \[ O(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Vi kaller konstanten \( a_1 \) for vare 1 og \( a_2 \) for vare 2, og finner dem med \( {O(0) = -K(0)}\text{,} \) fordi \( {I(0) = 0}\text{.} \) Figuren gir \( {K_1(0) = 6000} \) og \( {K_2(0) = 1600}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_1(0) &= a_1(-\textcolor{blue}{60})(-\textcolor{blue}{100}) = 6000a_1 \\ O_2(0) &= a_2(-\textcolor{green}{20})(-\textcolor{green}{80}) = 1600a_2 \end{aligned} \]Siden \( {6000a_1 = -6000} \) og \( {1600a_2 = -1600}\text{,} \) er \( {a_1 = a_2 = -1}\text{,} \) så \( {O_1(x) = -(x - 60)(x - 100)} \) og \( {O_2(x) = -(x - 20)(x - 80)}\text{.} \)

3. Finn det største overskuddet Grafen er en parabel som vender nedover, så toppunktet ligger midt mellom nullpunktene: \[ \begin{aligned} O_1(\textcolor{blue}{80}) &= -(80 - 60)(80 - 100) \\ &= -20 \cdot (-20) = 400 \\ O_2(\textcolor{green}{50}) &= -(50 - 20)(50 - 80) \\ &= -30 \cdot (-30) = 900 \end{aligned} \]Vare 2 gir altså størst overskudd, 900 kr.

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, så prisen er stigningstallet til inntektslinja.

1. Finn prisene Med prisen \( p \) per enhet er \( {I(x) = p \cdot x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, så \( {p = \dfrac{I(x)}{x}}\text{.} \) Vi bruker et punkt på hver linje der rutenettet er tydelig, \( (60, 12\,000) \) og \( (20, 2400)\text{:} \) \[ \begin{aligned} p_1 &= \dfrac{12\,000}{60} = \textcolor{blue}{200} \\ p_2 &= \dfrac{2400}{20} = \textcolor{green}{120} \end{aligned} \]Prisforskjellen er da: \[ \textcolor{blue}{200} - \textcolor{green}{120} = 80 \]

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K_2\text{.} \) Den er lavest når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K_2(x)}{x} = \dfrac{K_2(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K_2(x)) \) på grafen.

2. Finn den lavest mulige Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den stiplede linja \( {y = \textcolor{red}{100}x} \) går gjennom origo og er tangent i \( (\textcolor{blue}{40}, 4000)\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Vi skriver \( {K_2(x) = ax^2 + bx + c} \) og bruker at stigningstallet til en tangent er den deriverte. De to tangentene gir oss tre opplysninger, nok til å finne \( a\text{,} \) \( b \) og \( c\text{.} \)

1. Les av konstantleddet Tangenten \( {y = 20x + 1600} \) rører grafen i \( (0, K_2(0))\text{,} \) så \( {K_2(0) = 1600}\text{.} \) Det gir \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{1600}}\text{.} \)

2. Bruk stigningstallene til tangentene Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer: \[ K_2'(x) = 2\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]

Stigningstallet til tangenten i \( {x = 0} \) er 20, og i \( {x = 40} \) er det 100: \[ \begin{aligned} K_2'(0) &= \textcolor{red}{b} = 20 \\ K_2'(40) &= 80\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{20} = 100 \\ 80\textcolor{blue}{a} &= 80 \\ \textcolor{blue}{a} &= 1 \end{aligned} \]Så \( {K_2(x) = x^2 + 20x + 1600}\text{.} \)

3. Finn inntektsfunksjonen \( I_2 \) går gjennom origo, og den krysser \( K_2 \) i \( {x = 20}\text{.} \) Der er \( {I_2(20) = K_2(20)}\text{:} \) \[ K_2(20) = 400 + 400 + 1600 = 2400 \]Stigningstallet til \( I_2 \) er derfor \( {\dfrac{2400}{20} = 120}\text{.} \)

Kontroll: Punktet \( (40, 4000) \) er tangeringspunktet på figuren, og modellen gir det samme: \[ \begin{aligned} K_2(40) &= 1600 + 800 + 1600 \\ &= 4000 \end{aligned} \]

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Det trekker to tilfeldige tall mange ganger og teller hvem som har størst, men bare når minst ett av dem er over grensen.

1. Les løkka Løkka i linje 10 går \( {\texttt{SIMULERINGER} = 100} \) ganger, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang trekker linje 11 en tilfeldig verdi \( \textcolor{blue}{\texttt{A}} \) fra en normalfordeling med forventning 80 og standardavvik 20, og linje 12 en \( \textcolor{green}{\texttt{B}} \) med forventning 70 og standardavvik 30.

Linje 13 sjekker om minst én av dem er større enn \( {\texttt{GRENSE} = 110}\text{.} \) Bare da teller runden: er \( {\textcolor{blue}{\texttt{A}} > \textcolor{green}{\texttt{B}}}\text{,} \) får A et poeng, ellers får B et poeng.

2. Les utskriften Linje 20 til 25 står utenfor løkka. De sammenligner poengene og skriver ut «A vinner», «B vinner» eller «Uavgjort».

I hver runde som teller, er det litt mer sannsynlig at B vinner. Jo flere runder, desto nærmere kommer andelen B-seirer denne sannsynligheten, og desto sikrere får B flest poeng.

1. Forklar effekten av flere runder Siden programmet oftest skriver ut «B vinner», vinner \( \textcolor{green}{B} \) en runde som teller, med en sannsynlighet \( \textcolor{green}{q} \) som er større enn \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Med bare 100 runder kan tilfeldighetene likevel gi \( \textcolor{blue}{A} \) flest poeng.

Når antallet runder øker, kommer andelen runder \( \textcolor{green}{B} \) vinner, nærmere og nærmere \( \textcolor{green}{q}\text{.} \) Det er de store talls lov, og det er derfor vi simulerer mange ganger, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Da blir det mindre og mindre sannsynlig at A får flest poeng ved en tilfeldighet.

Runden teller bare når minst én verdi er over grensen. Figuren viser hvilken fordeling som oftest gir de største verdiene.

1. Les av figuren Til høyre for omtrent \( {x = 115} \) ligger den grønne kurven, til \( \textcolor{green}{B}\text{,} \) over den mørke, til \( \textcolor{blue}{A}\text{.} \) B har større standardavvik, så svært store verdier kommer oftere fra \( \textcolor{green}{B} \) enn fra \( \textcolor{blue}{A}\text{.} \)

2. Forklar virkningen av høyere grense Jo høyere grensen er, desto oftere er det \( \textcolor{green}{B} \) som er over den når en runde teller. Da er det også oftere \( \textcolor{green}{B} \) som er størst, så B vinner en større andel av rundene.

Grensen må likevel ikke bli for høy. Da teller nesten ingen runder, og med bare 100 runder kan resultatet bli tilfeldig eller uavgjort.

Vi deriverer med kjerneregelen, setter inn \( {t = 8} \) og løser likningen ved å ta \( \ln \) på begge sider. \( f'(t) \) er veksten i millioner bakterier per dag.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}1t + 0{,}4}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= 2{,}2 \cdot e^{\textcolor{green}{0{,}1t + 0{,}4}} \cdot \textcolor{green}{0{,}1} \\ &= 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} \end{aligned} \]

2. Regn ut veksten etter 8 dager \[ \begin{aligned} f'(8) &= 0{,}22 \cdot e^{0{,}8 + 0{,}4} \\ &= 0{,}22 \cdot e^{1{,}2} \approx 0{,}730 \end{aligned} \]

3. Løs likningen med ln Vi deler på \( 0{,}22 \) og tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} &= 8 \\ e^{0{,}1t + 0{,}4} &= \dfrac{8}{0{,}22} \\ 0{,}1t + 0{,}4 &= \ln\left(\dfrac{8}{0{,}22}\right) \\ 0{,}1t + 0{,}4 &\approx 3{,}5936 \\ t &\approx 31{,}9 \end{aligned} \]

4. Tolk svarene \( f \) er i millioner bakterier og \( t \) i dager, så \( f'(t) \) er i millioner bakterier per dag. Etter 8 dager øker antallet bakterier med omtrent \( 0{,}73 \) millioner per dag, og etter omtrent 32 dager med 8 millioner per dag.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( f \) i CAS, regner ut \( f'(8) \) med \( {\approx} \) og løser \( {f'(t) = 8} \) med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 2.2*ℯ^(0.1t + 0.4) f'(8) NLøs(f'(t) = 8, t = 30)

Rad 2 gir \( {f'(8) \approx 0{,}730} \) millioner bakterier per dag, og rad 3 gir \( {t \approx 31{,}9} \) dager.

Vi bruker \( f'(t) \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Veksten er den deriverte. Vi løser \( {f'(t) = g'(t)} \) ved å samle potensene av \( e \) på én side og ta \( \ln\text{,} \) og setter \( t \) inn i \( f'\text{.} \)

1. Deriver g Med kjerneregelen \( {\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}'} \) er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}2t - 0{,}2}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{0{,}2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(t) &= 1{,}2 \cdot e^{\textcolor{green}{0{,}2t - 0{,}2}} \cdot \textcolor{green}{0{,}2} \\ &= 0{,}24 \cdot e^{0{,}2t - 0{,}2} \end{aligned} \]

2. Sett de deriverte like I a) fant vi: \[ f'(t) = 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} \]Vi deler begge sider på \( {0{,}24 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4}}\text{.} \) Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi fra eksponentene, \( {\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a - b}}\text{,} \) som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ \begin{aligned} 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} &= 0{,}24 \cdot e^{0{,}2t - 0{,}2} \\ \dfrac{0{,}22}{0{,}24} &= \dfrac{e^{0{,}2t - 0{,}2}}{e^{0{,}1t + 0{,}4}} \\ \dfrac{11}{12} &= e^{0{,}1t - 0{,}6} \\ \ln\left(\dfrac{11}{12}\right) &= 0{,}1t - 0{,}6 \\ t &= 10\ln\left(\dfrac{11}{12}\right) + 6 \\ t &\approx 5{,}13 \end{aligned} \]

3. Regn ut veksten Vi setter \( {t \approx 5{,}13} \) inn i \( f'\text{:} \) \[ f'(5{,}13) = 0{,}22 \cdot e^{0{,}513 + 0{,}4} \approx 0{,}548 \]Begge kulturene vokser da med omtrent \( 0{,}55 \) millioner bakterier per dag.

Kontroll: Setter vi inn i \( g'\text{,} \) får vi det samme: \[ g'(5{,}13) = 0{,}24 \cdot e^{1{,}026 - 0{,}2} \approx 0{,}548 \]

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) definerer vi \( g\text{,} \) løser \( {f'(t) = g'(t)} \) med NLøs og setter løsningen inn i \( f'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(t) := 1.2*ℯ^(0.2t - 0.2) NLøs(f'(t) = g'(t), t = 5) f'(5.1299)

Rad 5 gir \( {t \approx 5{,}13}\text{,} \) og rad 6 gir veksten \( 0{,}548 \) millioner bakterier per dag.

Hvert innskudd vokser med vekstfaktoren \( 1{,}054 \) for hvert år det står på kontoen. Saldoen 31.12.2025 er summen av de fem innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.

1. Skriv saldoen som en rekke Innskuddet fra 1. januar 2025 har fått renter i 1 år, og innskuddet fra 2021 i 5 år. Saldoen 31.12.2025 er summen av de fem innskuddene med renter: \[ \begin{aligned} S_5 = \ &27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054} \\ &+ 27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054}^2 \\ &+ \ldots + 27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054}^5 \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1{,}054}}\text{,} \) så rekken er geometrisk med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{5}} \) ledd og første ledd: \[ \textcolor{red}{a_1} = 27\,500 \cdot 1{,}054 = \textcolor{red}{28\,985} \]

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_5 &= \dfrac{\textcolor{red}{28\,985}\left(1 - \textcolor{blue}{1{,}054}^{\textcolor{green}{5}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{1{,}054}} \\ &\approx 161\,445 \end{aligned} \]

1. Regn ut summen i CAS Vi lar Sum legge sammen de fem leddene \( {27\,500 \cdot 1{,}054^k} \) for \( {k = 1} \) til \( 5\text{,} \) og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Sum(27500*1.054^k, k, 1, 5)

Summen er omtrent \( 161\,445 \) kr.

Lånebeløpet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi finner terminbeløpet på huslånet, trekker det fra 200 000 og løser likningen for forbrukslånet med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp likningen og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}15} \) gir en nåverdi på omtrent \( 154\,900 \) kr og \( {r = 0{,}16} \) omtrent \( 149\,200 \) kr, så renten ligger mellom \( 15\,\% \) og \( 16\,\%\text{.} \)

1. Sett opp nåverdien som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) renten \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{green}{n} \) år er lånebeløpet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} + \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{\textcolor{green}{n}}} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = \dfrac{T}{1 + r}} \) og \( {k = \dfrac{1}{1 + r}}\text{.} \) Summeformelen \( {S_n = \dfrac{a_1(1 - k^n)}{1 - k}} \) fra a) gir, når vi forkorter: \[ \text{lån} = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]

2. Finn terminbeløpet på huslånet Huslånet er \( 2\,600\,000 \) kr med \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{0{,}05}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{30}}\text{.} \) Vi løser for \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{\text{hus}} &= \dfrac{2\,600\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}05}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^{-\textcolor{green}{30}}} \\ &\approx 169\,133{,}73 \end{aligned} \]Da blir terminbeløpet på forbrukslånet: \[ \begin{aligned} T &= 200\,000 - 169\,133{,}73 \\ &= 30\,866{,}27 \end{aligned} \]

3. Løs likningen i CAS Forbrukslånet er \( 150\,000 \) kr med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{10}}\text{,} \) så renten \( \textcolor{blue}{r} \) må oppfylle: \[ 150\,000 = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{10}}}{\textcolor{blue}{r}} \]På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: 2600000*0.05/(1 - 1.05^(-30)) T := 200000 - 169133.73 NLøs(150000 = T*(1 - (1 + r)^(-10))/r, r = 0.1)

Rad 4 gir \( {r \approx 0{,}1585}\text{,} \) altså omtrent \( 15{,}85\,\%\text{.} \)

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Den høyeste inntekten finner vi der den deriverte er null.

1. Sett opp inntekten Med prisen \( \textcolor{blue}{p} \) selger bedriften \( \textcolor{red}{E(p)} \) enheter i uka, så: \[ \begin{aligned} I(p) &= \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{(2700 - p^2)} \\ &= 2700p - p^3 \end{aligned} \]

2. Deriver og sett lik null Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd og setter den deriverte lik null, som for toppunktet i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} I'(p) = 2700 - 3p^2 &= 0 \\ p^2 &= 900 \\ p &= 30 \end{aligned} \]Vi forkaster \( {p = -30}\text{,} \) fordi \( p \in [10, 45]\text{.} \)

3. Sjekk at det er et toppunkt \( {I'(p) = 3(900 - p^2)} \) er positiv for \( {p < 30} \) og negativ for \( {p > 30}\text{,} \) så inntekten stiger fram til \( {p = 30} \) og synker etterpå. Inntekten blir da: \[ I(30) = 81\,000 - 27\,000 = 54\,000 \]

Vi lager en kostnadsmodell med regresjon og skriver inntekten som en funksjon av antall enheter \( x\text{.} \) Så finner vi toppunktet til overskuddet \( {O(x) = I(x) - K(x)}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å skrive inntekten som funksjon av \( x\text{,} \) og på å derivere \( O(x) \) når \( K(x) \) er gitt.

1. Lag kostnadsmodellen Kostnadene vokser stadig raskere, så vi bruker andregradsregresjon, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi lager en liste med punktene og skriver \( {K(x) =} \) RegPoly(l1, 2). Modellen går gjennom alle de fem punktene: \[ K(x) = 0{,}01x^2 + 15x + 5000 \]

2. Skriv inntekten som funksjon av x Bedriften selger \( {\textcolor{red}{x} = 2700 - \textcolor{blue}{p}^2} \) enheter. Løser vi for prisen, får vi \( {\textcolor{blue}{p} = \sqrt{2700 - x}}\text{,} \) så: \[ I(x) = \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{x} = x\sqrt{2700 - x} \]Prisen \( p \in [10, 45] \) gir \( x \in [675, 2600]\text{.} \)

3. Finn toppunktet til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= x\sqrt{2700 - x} \\ &\quad - (0{,}01x^2 + 15x + 5000) \end{aligned} \]

Vi skriver det inn på intervallet og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Toppunktet ligger ikke på et helt tall, så vi regner også ut \( O(874) \) og \( O(875)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(50, 5775), (100, 6600), (300, 10400), (600, 17600), (1000, 30000)} K(x) = RegPoly(l1, 2) O(x) = Funksjon(x*sqrt(2700 - x) - K(x), 675, 2600) E = Ekstremalpunkt(O, 675, 2600) A = O(874) B = O(875)

Toppunktet er \( (874{,}54;\ 11\,598{,}77)\text{.} \) Bedriften må selge et helt antall enheter, så vi sammenligner 874 og 875: \[ \begin{aligned} O(874) &\approx 11\,598{,}764 \\ O(875) &\approx 11\,598{,}766 \end{aligned} \]\( O(875) \) er størst, så overskuddet er størst med 875 enheter i uka.

Salget øker stadig mindre, så vi sammenligner snittet bedriften må selge resten av året med der salget flater ut. Med GeoGebra lager vi en logistisk modell og summerer den over 52 uker.

1. Regn ut snittet som trengs De 8 første ukene er det solgt \( 6460 \) enheter til sammen. Resten av året, \( {52 - 8 = 44} \) uker, må det selges: \[ \dfrac{45\,000 - 6460}{44} = \dfrac{38\,540}{44} \approx \textcolor{red}{876} \]enheter i uka i snitt.

2. Sammenlign med trenden Økningen fra uke til uke er \( 70\text{,} \) \( 40\text{,} \) \( 30\text{,} \) \( 20\text{,} \) \( 15\text{,} \) \( 5 \) og \( 5\text{,} \) så salget flater ut rundt \( \textcolor{blue}{870} \) i uka, under \( \textcolor{red}{876}\text{.} \) Selv om bedriften solgte \( \textcolor{blue}{875} \) hver eneste uke resten av året, mer enn salget flater ut på, ville den bare nå: \[ 6460 + 44 \cdot \textcolor{blue}{875} = 44\,960 \]Det er under \( 45\,000\text{,} \) så bedriften når ikke målet.

1. Lag en logistisk modell og summer Salget vokser og flater ut, så vi bruker logistisk regresjon, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den finner tallene i modellen som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Så summerer vi modellen for uke 1 til 52:

Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(1, 680), (2, 750), (3, 790), (4, 820), (5, 840), (6, 855), (7, 860), (8, 865)} s(x) = RegLogist(l2) S = Sum(s(k), k, 1, 52)

Med tallene avrundet til tre desimaler er modellen: \[ s(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{871{,}812}}{1 + \textcolor{blue}{0{,}464} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}507}x}} \]Den flater ut på omtrent \( \textcolor{red}{872} \) enheter i uka og gir \( {S \approx 44\,809} \) enheter det første året. Det er under \( 45\,000\text{,} \) så bedriften når ikke målet.

Merk – Andre modeller: En logaritmisk modell og en potensmodell vokser uten grense og gir omtrent \( 50\,000 \) og \( 51\,000 \) enheter, altså ja. De passer dårligere med at økningen nesten har stoppet opp, så vi velger den logistiske modellen. Andre modeller kan også være riktige når valget er begrunnet.