Hopp til hovedinnholdet

S2 eksamen våren 2026

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Prøveeksamen

Ta S2 vår 2026 som prøveeksamen

Løs settet på papir med klokka gående, som på eksamen: Del 1 på 3 timer uten hjelpemidler og Del 2 på 2 timer med hjelpemidler. Ta bilde av arkene med mobilen, og få poeng på hver oppgave, karakter 1–6 og tilbakemelding på hver deloppgave. Settet har 50 poeng: 30 i Del 1 og 20 i Del 2.

Start prøveeksamen

Del 1

Uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 1

4 poeng

Bestem integralene

Oppgave 1a)

∫02(e2x+x)dx \int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) dx
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
∫02(e2x+x)dx=e4+32‾‾ \underline{\underline{\int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) dx = \dfrac{e^4 + 3}{2}}}
Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.
1. Finn en antiderivert ledd for ledd Når eksponenten er \( kx\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int e^{\textcolor{green}{k}x}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}x} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
\( \textcolor{blue}{e^{2x}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}}\text{.} \)
\( \textcolor{red}{x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}}\text{,} \) fordi \( {\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)' = x}\text{.} \)
2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]
Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}\right]_0^2 \\ &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{4}} + \textcolor{red}{2}\right) - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= \dfrac{e^4 + 3}{2} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Oppgave 1b)

∫(ln⁡x)2x dx \int \dfrac{(\ln x)^2}{x}\, dx
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
∫(ln⁡x)2x dx=13(ln⁡x)3+C‾‾ \underline{\underline{\int \dfrac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \dfrac{1}{3}(\ln x)^3 + C}}
Vi ser at \( \dfrac{1}{x} \) er den deriverte av \( \ln x\text{,} \) som står inni parentesen. Vi bruker derfor variabelskifte med \( {u = \ln x}\text{.} \)
1. Bytt variabel Vi setter det som står inni parentesen, lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = \dfrac{1}{x} \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = x\,d\textcolor{green}{u}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.
2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{(\textcolor{green}{\ln x})^2}{x}\,dx &= \int \dfrac{\textcolor{green}{u}^2}{x} \cdot x\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \int \textcolor{green}{u}^2\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{1}{3}\textcolor{green}{u}^3 + C \end{aligned} \]\( x \) forkortes bort, og \( \dfrac{1}{3}u^3 \) er en antiderivert til \( u^2\text{,} \) fordi \( {\left(\dfrac{1}{3}u^3\right)' = u^2}\text{.} \)
3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}} \) tilbake: \[ \int \dfrac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \dfrac{1}{3}(\textcolor{green}{\ln x})^3 + C \]
Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\dfrac{1}{3} \cdot 3(\ln x)^2 \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{(\ln x)^2}{x}}\text{,} \) som er det vi integrerte.

Oppgave 2

4 poeng

Du får vite dette om en funksjon f f • Funksjonen er definert for x>0 {x > 0} • f′(x)=2x2 {f'(x) = \dfrac{2}{x^2}} • Grafen til f f går gjennom punktet (2,2) (2, 2)

Oppgave 2a)

Bestem f(x). f(x)\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
f(x)=−2x+3‾‾ \underline{\underline{f(x) = -\dfrac{2}{x} + 3}}
Vi kjenner den deriverte, så vi integrerer for å finne \( f\text{.} \) Konstanten finner vi med punktet grafen går gjennom.
1. Integrer den deriverte Vi skriver \( \dfrac{2}{x^2} \) som \( {2x^{\textcolor{green}{-2}}} \) og bruker potensregelen for integraler, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på å skrive om brøken til en potens, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{-2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int 2x^{\textcolor{green}{-2}}\,dx \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{-2} + 1}x^{\textcolor{green}{-2} + 1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{-1}x^{-1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{C} \end{aligned} \]
2. Finn konstanten med punktet Grafen går gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {f(2) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{2}{2} + \textcolor{darkorange}{C} &= 2 \\ \textcolor{darkorange}{C} &= \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ f(x) = -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{3} \]
To andre funksjoner, g g og h, h\text{,} er gitt ved g(x)=x {g(x) = x} og h(x)=−3x+4 {h(x) = -\dfrac{3}{x} + 4} for x>0. {x > 0}\text{.}

Oppgave 2b)

Finn arealet av området som er avgrenset av grafene til g g og h. h\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
A=4−3ln⁡3‾‾ \underline{\underline{A = 4 - 3\ln 3}}
Vi finner først hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste grafen minus den nederste, mellom skjæringspunktene.
1. Finn skjæringspunktene Vi setter \( {g(x) = h(x)}\text{:} \) \[ x = -\dfrac{3}{x} + 4 \]
Vi ganger begge sider med \( x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{,} \) og samler alt på én side: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]Grafene skjærer hverandre i \( {\underline{x = 1}} \) og \( {\underline{x = 3}}\text{.} \)
2. Finn grafen som ligger øverst Vi setter inn \( {x = 2}\text{,} \) som ligger mellom skjæringspunktene: \[ g(2) = 2 \qquad h(2) = -\dfrac{3}{2} + 4 = \dfrac{5}{2} \]Grafen til \( h \) ligger altså over grafen til \( g \) mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{.} \)
3. Regn ut arealet Arealet er integralet av den øverste minus den nederste: \[ \begin{aligned} A &= \int_1^3 \left(h(x) - g(x)\right) dx \\ &= \int_1^3 \left(-\dfrac{3}{x} + 4 - x\right) dx \end{aligned} \]
En antiderivert er \( {F(x) = -3\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2}\text{,} \) fordi \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) for \( {x > 0}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(3) &= -3\ln 3 + 12 - \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 \\ F(1) &= -3\ln 1 + 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \)
Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= F(3) - F(1) \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 - \dfrac{7}{2} \\ &= 4 - 3\ln 3 \end{aligned} \]

Oppgave 3

4 poeng

I et kunstprosjekt skal Selma bygge et stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Hun starter med en treplate med sidelengde 5 m. 5\,\text{m}\text{.}
Når hun bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være 0,1 m 0{,}1\,\text{m} kortere enn sidelengden til treplaten under.

Oppgave 3a)

Sett opp en aritmetisk rekke som viser summen av sidelengdene til treplatene i tårnet. Hvor mange treplater kan det maksimalt bli i tårnet til Selma?
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Rekken og det største antallet treplater:
5+4,9+4,8+⋯+0,1‾‾50 treplater‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + 0{,}1}} \\ &\underline{\underline{50 \text{ treplater}}} \end{aligned}
Sidelengdene minker med \( 0{,}1\,\text{m} \) for hver plate, så summen av dem er en aritmetisk rekke. Det største antallet plater finner vi ved at sidelengden må være positiv.
1. Sett opp rekken I en aritmetisk rekke er ledd nummer \( n\text{:} \) \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{-0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot (\textcolor{red}{-0{,}1}) \\ &= 5{,}1 - 0{,}1n \end{aligned} \]
Summen av sidelengdene i meter er rekken: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + (5{,}1 - 0{,}1n) \]
2. Finn det største antallet plater Hver treplate må ha en sidelengde større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5{,}1 - 0{,}1n &> 0 \\ n &< 51 \end{aligned} \]
Det største antallet er altså \( {n = 50}\text{.} \) Da er den øverste platen \( {a_{50} = 5{,}1 - 5 = 0{,}1\,\text{m}}\text{,} \) og rekken er: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + 0{,}2 + 0{,}1 \]
Vilfred skal bygge et annet stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Han starter med en treplate som har areal 19 m2. 19\,\text{m}^2\text{.}
Når han bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være 10 % 10\,\% kortere enn sidelengden til treplaten under.

Oppgave 3b)

Hvor stort kan det samlede arealet av platene bli i tårnet til Vilfred?
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Det samlede arealet kan komme så nær vi vil, men aldri over:
100 m2‾‾ \underline{\underline{100\,\text{m}^2}}
Arealet blir ganget med det samme tallet for hver ny plate, så arealene danner en geometrisk rekke. Det samlede arealet kan ikke bli større enn summen av den uendelige rekken.
1. Finn kvotienten Når sidelengden blir \( 10\,\% \) kortere, blir den ganget med \( 0{,}9\text{.} \) Arealet er sidelengden i andre, så arealet blir ganget med: \[ \textcolor{red}{k} = 0{,}9^2 = \textcolor{red}{0{,}81} \]
Arealene i kvadratmeter danner derfor en geometrisk rekke: \[ \textcolor{blue}{19} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81}^2 + \dots \]
2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{19}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}81}}\text{.} \) Siden \( {-1 < 0{,}81 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{19}}{1 - \textcolor{red}{0{,}81}} = \dfrac{19}{0{,}19} = 100 \]Med uendelig mange plater blir arealet \( 100\,\text{m}^2\text{.} \) Et tårn har endelig mange plater, så arealet blir litt mindre, men kan komme så nær \( 100\,\text{m}^2 \) vi vil.

Oppgave 4

3 poeng

Silas skal ta bussen 20 ganger. Sannsynligheten for billettkontroll på en busstur er 5 %. 5\,\%\text{.} Vi lar X X være antall kontroller på de 20 bussturene.

Oppgave 4a)

Bestem forventningsverdien E(X) E(X) og variansen Var(X). Var(X)\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
E(X)=1‾‾Var(X)=0,95‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{E(X) = 1}} \\ &\underline{\underline{Var(X) = 0{,}95}} \end{aligned}
Hver busstur har to utfall, kontroll eller ikke, med samme sannsynlighet hver gang, og vi antar at turene er uavhengige. \( X \) er derfor binomisk fordelt.
1. Kjenn igjen den binomiske fordelingen Når \( X \) er binomisk fordelt med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk, er: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ Var(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).
Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{20}} \) bussturer og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}05}}\text{.} \)
2. Regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{0{,}05} = 1 \\ Var(X) &= \textcolor{blue}{20} \cdot \textcolor{red}{0{,}05} \cdot 0{,}95 \\ &= 0{,}95 \end{aligned} \]Silas kan altså vente én kontroll på de 20 turene.
Hver busstur koster 65 kr, og Silas får en bot på 1470 kr dersom han blir tatt i en kontroll.

Oppgave 4b)

Vis at det sannsynligvis vil lønne seg for Silas å kjøpe billetter.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Det lønner seg sannsynligvis å kjøpe billetter, for de forventede bøtene er større enn det billettene koster:
1470 kr>1300 kr‾‾ \underline{\underline{1470\,\text{kr} > 1300\,\text{kr}}}
Vi bruker \( {E(X) = 1} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi sammenligner hva billettene koster med hvor mye Silas kan vente å betale i bøter hvis han ikke kjøper billett.
1. Regn ut hva billettene koster 20 turer til 65 kr koster: \[ 20 \cdot 65\,\text{kr} = \textcolor{blue}{1300\,\text{kr}} \]
2. Regn ut de forventede bøtene Uten billett betaler Silas 1470 kr for hver kontroll. Fra a) venter han \( {E(X) = 1} \) kontroll, som vi fant med formelen fra videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet). De forventede bøtene er da: \[ \begin{aligned} E(1470X) &= 1470 \cdot E(X) \\ &= 1470 \cdot 1 = \textcolor{red}{1470\,\text{kr}} \end{aligned} \]
3. Sammenlign \( \textcolor{red}{1470\,\text{kr}} \) er mer enn \( \textcolor{blue}{1300\,\text{kr}}\text{.} \) I gjennomsnitt taper Silas 170 kr på å kjøre uten billett, så det lønner seg sannsynligvis å kjøpe billetter. Vi skriver «sannsynligvis» fordi \( X \) er tilfeldig. Blir han ikke kontrollert i det hele tatt, slipper han billigere, men allerede én kontroll koster mer enn alle billettene.

Oppgave 5

5 poeng

Henrik kjøper ofte flasker med vann. Produsenten oppgir at flaskene inneholder 1,50 L 1{,}50\,\text{L} med et standardavvik på 0,01 L. 0{,}01\,\text{L}\text{.}
Henrik påstår at flaskene inneholder mindre vann enn dette. Han kjøper en kasse med 24 flasker og måler vannmengden i alle.
Flasken med minst vann inneholder 1,48 L. 1{,}48\,\text{L}\text{.} Henrik mener at dette viser at påstanden hans er riktig.
Du kan anta at vannmengden i flaskene er normalfordelt.

Oppgave 5a)

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig flaske fra denne produsenten inneholder 1,48 L 1{,}48\,\text{L} vann eller mindre.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Det er omtrent 2,3 % 2{,}3\,\% sannsynlighet:
P(X≤1,48)≈0,0228‾‾ \underline{\underline{P(X \le 1{,}48) \approx 0{,}0228}}
Vannmengden \( X \) er normalfordelt. Vi gjør den om til en standard normalfordelt \( Z \) og slår opp i tabellen i vedlegget.
1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.
Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} & P(X \le 1{,}48) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{1{,}48 - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\textcolor{red}{0{,}01}}\right) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{-0{,}02}{0{,}01}\right) \\ &= P(Z \le -2) \end{aligned} \]1,48 L ligger altså to standardavvik under forventningen.
2. Slå opp i tabellen I tabellen over standard normalfordeling står \( {P(Z \le -2{,}00) = 0{,}0228}\text{.} \)

Oppgave 5b)

Forklar hvorfor Henrik ikke kan bruke dette som argument for at påstanden hans er riktig, selv om han har funnet en flaske med lite vann.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Én flaske med 1,48 L 1{,}48\,\text{L} eller mindre er ikke uvanlig, for hvis produsenten har rett, kan Henrik vente så mange slike i en kasse:
24⋅0,0228≈0,55‾‾ \underline{\underline{24 \cdot 0{,}0228 \approx 0{,}55}}
Vi bruker sannsynligheten fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi regner ut hvor mange flasker med \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre Henrik kan vente å finne blant 24, hvis produsenten har rett.
1. Regn ut forventet antall Fra a) har hver flaske sannsynligheten \( \textcolor{red}{0{,}0228} \) for å ha \( 1{,}48\,\text{L} \) eller mindre. Antallet slike flasker blant \( \textcolor{blue}{24} \) er binomisk fordelt, så vi kan vente \( {n \cdot p}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet): \[ \textcolor{blue}{24} \cdot \textcolor{red}{0{,}0228} \approx 0{,}55 \]flasker med så lite vann, selv om produsenten har rett.
2. Forklar Det er altså ikke uvanlig å finne én slik flaske i en kasse. En enkelt flaske sier dessuten lite om gjennomsnittet. Henrik har valgt ut den flasken med minst vann, og den vil nesten alltid ligge under \( 1{,}50\,\text{L}\text{,} \) også når produsenten har rett. Han må se på alle de 24 flaskene, som i d).

Oppgave 5c)

Formuler Henriks påstand som en hypotesetest.
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
Med μ \mu som forventet vannmengde i liter:
H0: μ=1,50‾‾H1: μ<1,50‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{H_0\text{: } \mu = 1{,}50}} \\ &\underline{\underline{H_1\text{: } \mu < 1{,}50}} \end{aligned}
Den alternative hypotesen \( H_1 \) er det Henrik påstår. Nullhypotesen \( H_0 \) er det motsatte: at det ikke er noen forandring fra det produsenten oppgir.
1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som oppgitt, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.
La \( \mu \) være forventet vannmengde i en flaske. \( \textcolor{red}{\text{Henrik}} \) påstår at \( {\textcolor{red}{\mu < 1{,}50\,\text{L}}}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{\text{produsenten}} \) oppgir \( {\textcolor{blue}{\mu = 1{,}50\,\text{L}}}\text{.} \) Testen er ensidig, fordi Henrik bare påstår at det er for lite vann.

Oppgave 5d)

Forklar hvordan Henrik kan gjennomføre en hypotesetest ved å se på gjennomsnittet av vannmengden i flaskene. Forklaringen må inkludere relevante formler Henrik kan bruke for å gjennomføre testen.
Vis løsning på oppgave 5d
Svar
Henrik regner ut gjennomsnittet xˉ \bar{x} av de 24 flaskene og tester på nivå α=0,05: {\alpha = 0{,}05}\text{:}
z=xˉ−1,500,0124‾‾Forkast H0 hvis z<−1,645‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{z = \dfrac{\bar{x} - 1{,}50}{\dfrac{0{,}01}{\sqrt{24}}}}} \\ &\underline{\underline{\text{Forkast } H_0 \text{ hvis } z < -1{,}645}} \end{aligned}
Vi bruker hypotesene fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Gjennomsnittet av 24 flasker varierer mye mindre enn én flaske. Vi regner ut hvor sannsynlig det er å få et så lavt gjennomsnitt hvis \( H_0 \) er sann, og forkaster \( H_0 \) hvis det er svært usannsynlig.
1. Velg nivå og regn ut snittet I c) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } \mu = 1{,}50 \qquad H_1\text{: } \mu < 1{,}50 \]
Før målingene velger Henrik et signifikansnivå, for eksempel \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \) Så regner han ut gjennomsnittet av de 24 målingene: \[ \bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{24}}{24} \]
2. Finn fordelingen til gjennomsnittet Hvis \( H_0 \) er sann, er gjennomsnittet \( \bar{X} \) normalfordelt med forventning \( \textcolor{blue}{1{,}50} \) og standardavvik \( \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet.
Siden standardavviket er kjent, bruker han en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}} \]
Her er \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{1{,}50}} \) fra \( H_0\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{0{,}01}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{24}}\text{:} \) \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{1{,}50}}{\dfrac{\textcolor{red}{0{,}01}}{\sqrt{\textcolor{green}{24}}}} \]
3. Konkluder Han finner P-verdien \( {P(Z \le z)} \) i tabellen. Er P-verdien mindre enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) forkaster han \( H_0\text{,} \) og da har han grunnlag for å si at flaskene inneholder mindre enn \( 1{,}50\,\text{L}\text{.} \) Ellers kan han ikke forkaste \( H_0\text{.} \) Med \( {\alpha = 0{,}05} \) er det det samme som å forkaste når \( {z < -1{,}645}\text{.} \)

Oppgave 6

6 poeng

En bedrift modellerer kostnader og inntekter ved produksjon og salg av x x enheter av to ulike varer. Figuren nedenfor viser grafene til kostnads- og inntektsfunksjonene.
Kostnadsfunksjonene er modellert som andregradsfunksjoner, og inntektsfunksjonene er modellert som lineære funksjoner.
Verdiene langs andreaksen er kroner.

Oppgave 6a)

Hvilken av varene vil kunne gi størst overskudd? Husk å begrunne svaret. Hvor mange enheter av denne varen må bedriften produsere og selge for å få størst mulig overskudd?
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Overskuddet er størst midt mellom nullpunktene, 900 kr for vare 2 og 400 kr for vare 1:
Vare 2‾‾50 enheter‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Vare 2}}} \\ &\underline{\underline{50 \text{ enheter}}} \end{aligned}
Overskuddet er inntekt minus kostnad. Det er en andregradsfunksjon som er 0 der grafene krysser, og den er størst midt mellom nullpunktene.
1. Finn nullpunktene til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = I(x) - K(x) \]
\( O \) er 0 der grafene til \( I \) og \( K \) krysser. For vare 1 er det i \( {x = \textcolor{blue}{60}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) og for vare 2 i \( {x = \textcolor{green}{20}} \) og \( {x = \textcolor{green}{80}}\text{.} \) Mellom nullpunktene er \( {I > K}\text{,} \) så der går bedriften med overskudd.
2. Skriv overskuddet på faktorisert form En andregradsfunksjon med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives som: \[ O(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]
Vi kaller konstanten \( a_1 \) for vare 1 og \( a_2 \) for vare 2, og finner dem med \( {O(0) = -K(0)}\text{,} \) fordi \( {I(0) = 0}\text{.} \) Figuren gir \( {K_1(0) = 6000} \) og \( {K_2(0) = 1600}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_1(0) &= a_1(-\textcolor{blue}{60})(-\textcolor{blue}{100}) = 6000a_1 \\ O_2(0) &= a_2(-\textcolor{green}{20})(-\textcolor{green}{80}) = 1600a_2 \end{aligned} \]Siden \( {6000a_1 = -6000} \) og \( {1600a_2 = -1600}\text{,} \) er \( {a_1 = a_2 = -1}\text{,} \) så \( {O_1(x) = -(x - 60)(x - 100)} \) og \( {O_2(x) = -(x - 20)(x - 80)}\text{.} \)
3. Finn det største overskuddet Grafen er en parabel som vender nedover, så toppunktet ligger midt mellom nullpunktene: \[ \begin{aligned} O_1(\textcolor{blue}{80}) &= -(80 - 60)(80 - 100) \\ &= -20 \cdot (-20) = 400 \\ O_2(\textcolor{green}{50}) &= -(50 - 20)(50 - 80) \\ &= -30 \cdot (-30) = 900 \end{aligned} \]Vare 2 gir altså størst overskudd, 900 kr.

Oppgave 6b)

Bestem prisforskjellen mellom vare 1 og vare 2.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Vare 1 koster 200 kr og vare 2 koster 120 kr per enhet:
Prisforskjellen er 80 kr‾‾ \underline{\underline{\text{Prisforskjellen er } 80\,\text{kr}}}
Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, så prisen er stigningstallet til inntektslinja.
1. Finn prisene Med prisen \( p \) per enhet er \( {I(x) = p \cdot x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, så \( {p = \dfrac{I(x)}{x}}\text{.} \) Vi bruker et punkt på hver linje der rutenettet er tydelig, \( (60, 12\,000) \) og \( (20, 2400)\text{:} \) \[ \begin{aligned} p_1 &= \dfrac{12\,000}{60} = \textcolor{blue}{200} \\ p_2 &= \dfrac{2400}{20} = \textcolor{green}{120} \end{aligned} \]Prisforskjellen er da: \[ \textcolor{blue}{200} - \textcolor{green}{120} = 80 \]
Bedriften vil se nærmere på modellene for vare 2. Figuren nedenfor viser grafene til inntektsfunksjonen I2, I_2\text{,} kostnadsfunksjonen K2 K_2 og tangentene til K2 K_2 i punktene (0,K2(0)) (0, K_2(0)) og (40,K2(40)). (40, K_2(40))\text{.}

Oppgave 6c)

Forklar hvordan du kan bruke figuren til å bestemme lavest mulig enhetskostnad, og bestem denne enhetskostnaden.
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til grafen, og den er lavest der linja er tangent, y=100x {y = 100x} ved x=40: {x = 40}\text{:}
100 kr per enhet‾‾ \underline{\underline{100\,\text{kr per enhet}}}
Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K_2\text{.} \) Den er lavest når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.
1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K_2(x)}{x} = \dfrac{K_2(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K_2(x)) \) på grafen.
2. Finn den lavest mulige Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den stiplede linja \( {y = \textcolor{red}{100}x} \) går gjennom origo og er tangent i \( (\textcolor{blue}{40}, 4000)\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Oppgave 6d)

Bruk figuren til å finne funksjonsuttrykkene K2(x) K_2(x) og I2(x). I_2(x)\text{.}
Vis løsning på oppgave 6d
Svar
K2(x)=x2+20x+1600‾‾I2(x)=120x‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{K_2(x) = x^2 + 20x + 1600}} \\ &\underline{\underline{I_2(x) = 120x}} \end{aligned}
Vi skriver \( {K_2(x) = ax^2 + bx + c} \) og bruker at stigningstallet til en tangent er den deriverte. De to tangentene gir oss tre opplysninger, nok til å finne \( a\text{,} \) \( b \) og \( c\text{.} \)
1. Les av konstantleddet Tangenten \( {y = 20x + 1600} \) rører grafen i \( (0, K_2(0))\text{,} \) så \( {K_2(0) = 1600}\text{.} \) Det gir \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{1600}}\text{.} \)
2. Bruk stigningstallene til tangentene Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer: \[ K_2'(x) = 2\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]
Stigningstallet til tangenten i \( {x = 0} \) er 20, og i \( {x = 40} \) er det 100: \[ \begin{aligned} K_2'(0) &= \textcolor{red}{b} = 20 \\ K_2'(40) &= 80\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{20} = 100 \\ 80\textcolor{blue}{a} &= 80 \\ \textcolor{blue}{a} &= 1 \end{aligned} \]Så \( {K_2(x) = x^2 + 20x + 1600}\text{.} \)
3. Finn inntektsfunksjonen \( I_2 \) går gjennom origo, og den krysser \( K_2 \) i \( {x = 20}\text{.} \) Der er \( {I_2(20) = K_2(20)}\text{:} \) \[ K_2(20) = 400 + 400 + 1600 = 2400 \]Stigningstallet til \( I_2 \) er derfor \( {\dfrac{2400}{20} = 120}\text{.} \)
Kontroll: Punktet \( (40, 4000) \) er tangeringspunktet på figuren, og modellen gir det samme: \[ \begin{aligned} K_2(40) &= 1600 + 800 + 1600 \\ &= 4000 \end{aligned} \]

Oppgave 7

4 poeng

Øystein har skrevet programkoden nedenfor.
Øystein har også skissert tetthetsfunksjonen til normalfordelingene A og B fra programmet. Se figuren nedenfor.

Oppgave 7a)

Forklar kort hva programkoden gjør.
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
Programmet trekker 100 ganger A fra N(80,20) N(80, 20) og B fra N(70,30), N(70, 30)\text{,} gir den største et poeng når minst én er over 110, og skriver til slutt ut «Uavgjort» eller hvem som vinner:
den som fikk flest poeng‾‾ \underline{\underline{\text{den som fikk flest poeng}}}
Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. Det trekker to tilfeldige tall mange ganger og teller hvem som har størst, men bare når minst ett av dem er over grensen.
1. Les løkka Løkka i linje 10 går \( {\texttt{SIMULERINGER} = 100} \) ganger, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang trekker linje 11 en tilfeldig verdi \( \textcolor{blue}{\texttt{A}} \) fra en normalfordeling med forventning 80 og standardavvik 20, og linje 12 en \( \textcolor{green}{\texttt{B}} \) med forventning 70 og standardavvik 30.
Linje 13 sjekker om minst én av dem er større enn \( {\texttt{GRENSE} = 110}\text{.} \) Bare da teller runden: er \( {\textcolor{blue}{\texttt{A}} > \textcolor{green}{\texttt{B}}}\text{,} \) får A et poeng, ellers får B et poeng.
2. Les utskriften Linje 20 til 25 står utenfor løkka. De sammenligner poengene og skriver ut «A vinner», «B vinner» eller «Uavgjort».
Det er størst sannsynlighet for at programmet skriver ut «B vinner». Øystein ønsker å endre programkoden slik at denne sannsynligheten blir enda større.

Oppgave 7b)

Forklar hvordan Øystein kan endre på verdien i variabelen SIMULERINGER i linje 4, for å øke sannsynligheten for at programmet skriver ut «B vinner».
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
Med flere runder kommer andelen B-seirer nærmere sannsynligheten for at B vinner en runde som teller, og den er større enn 12, \dfrac{1}{2}\text{,} så Øystein bør øke verdien, for eksempel til:
SIMULERINGER = 10000‾‾ \underline{\underline{\texttt{SIMULERINGER = 10000}}}
I hver runde som teller, er det litt mer sannsynlig at B vinner. Jo flere runder, desto nærmere kommer andelen B-seirer denne sannsynligheten, og desto sikrere får B flest poeng.
1. Forklar effekten av flere runder Siden programmet oftest skriver ut «B vinner», vinner \( \textcolor{green}{B} \) en runde som teller, med en sannsynlighet \( \textcolor{green}{q} \) som er større enn \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Med bare 100 runder kan tilfeldighetene likevel gi \( \textcolor{blue}{A} \) flest poeng.
Når antallet runder øker, kommer andelen runder \( \textcolor{green}{B} \) vinner, nærmere og nærmere \( \textcolor{green}{q}\text{.} \) Det er de store talls lov, og det er derfor vi simulerer mange ganger, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Da blir det mindre og mindre sannsynlig at A får flest poeng ved en tilfeldighet.

Oppgave 7c)

Forklar hvordan Øystein kan endre på verdien i variabelen GRENSE i linje 5 for å øke sannsynligheten for at programmet skriver ut «B vinner».
Vis løsning på oppgave 7c
Svar
Til høyre for omtrent 115 ligger kurven til B over kurven til A, så Øystein bør øke grensen, men ikke så mye at nesten ingen runder teller, for eksempel til:
GRENSE = 120‾‾ \underline{\underline{\texttt{GRENSE = 120}}}
Runden teller bare når minst én verdi er over grensen. Figuren viser hvilken fordeling som oftest gir de største verdiene.
1. Les av figuren Til høyre for omtrent \( {x = 115} \) ligger den grønne kurven, til \( \textcolor{green}{B}\text{,} \) over den mørke, til \( \textcolor{blue}{A}\text{.} \) B har større standardavvik, så svært store verdier kommer oftere fra \( \textcolor{green}{B} \) enn fra \( \textcolor{blue}{A}\text{.} \)
2. Forklar virkningen av høyere grense Jo høyere grensen er, desto oftere er det \( \textcolor{green}{B} \) som er over den når en runde teller. Da er det også oftere \( \textcolor{green}{B} \) som er størst, så B vinner en større andel av rundene.
Grensen må likevel ikke bli for høy. Da teller nesten ingen runder, og med bare 100 runder kan resultatet bli tilfeldig eller uavgjort.

Del 2

Med hjelpemidler · 4 oppgaver · 20 poeng

Oppgave 1

4 poeng

En gruppe forskere observerer utviklingen i to bakteriekulturer.
Antall millioner bakterier f f i den første bakteriekulturen t t dager etter at observasjonene startet, er gitt ved
f(t)=2,2⋅e0,1t+0,4 f(t) = 2{,}2 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4}

Oppgave 1a)

Bestem f′(8) f'(8) og løs likningen f′(t)=8. {f'(t) = 8}\text{.} Gi en praktisk tolkning av svarene.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Etter 8 dager øker antallet bakterier med omtrent 0,73 0{,}73 millioner per dag, og etter omtrent 32 dager med 8 millioner per dag. Med f′(8) f'(8) avrundet til tre desimaler og t t til én:
f′(8)≈0,730‾‾f′(t)=8 for t≈31,9‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{f'(8) \approx 0{,}730}} \\ &\underline{\underline{f'(t) = 8 \text{ for } t \approx 31{,}9}} \end{aligned}
Vi deriverer med kjerneregelen, setter inn \( {t = 8} \) og løser likningen ved å ta \( \ln \) på begge sider. \( f'(t) \) er veksten i millioner bakterier per dag.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.
Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}1t + 0{,}4}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= 2{,}2 \cdot e^{\textcolor{green}{0{,}1t + 0{,}4}} \cdot \textcolor{green}{0{,}1} \\ &= 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} \end{aligned} \]
2. Regn ut veksten etter 8 dager \[ \begin{aligned} f'(8) &= 0{,}22 \cdot e^{0{,}8 + 0{,}4} \\ &= 0{,}22 \cdot e^{1{,}2} \approx 0{,}730 \end{aligned} \]
3. Løs likningen med ln Vi deler på \( 0{,}22 \) og tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} &= 8 \\ e^{0{,}1t + 0{,}4} &= \dfrac{8}{0{,}22} \\ 0{,}1t + 0{,}4 &= \ln\left(\dfrac{8}{0{,}22}\right) \\ 0{,}1t + 0{,}4 &\approx 3{,}5936 \\ t &\approx 31{,}9 \end{aligned} \]
4. Tolk svarene \( f \) er i millioner bakterier og \( t \) i dager, så \( f'(t) \) er i millioner bakterier per dag. Etter 8 dager øker antallet bakterier med omtrent \( 0{,}73 \) millioner per dag, og etter omtrent 32 dager med 8 millioner per dag.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi definerer \( f \) i CAS, regner ut \( f'(8) \) med \( {\approx} \) og løser \( {f'(t) = 8} \) med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 2.2*ℯ^(0.1t + 0.4) f'(8) NLøs(f'(t) = 8, t = 30)
Rad 2 gir \( {f'(8) \approx 0{,}730} \) millioner bakterier per dag, og rad 3 gir \( {t \approx 31{,}9} \) dager.
Antall millioner bakterier g g i den andre bakteriekulturen t t dager etter at observasjonene startet, er gitt ved
g(t)=1,2⋅e0,2t−0,2 g(t) = 1{,}2 \cdot e^{0{,}2t - 0{,}2}

Oppgave 1b)

Når er veksten i de to bakteriekulturene like stor? Hvor stor er denne veksten?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Etter omtrent 5,13 dager vokser begge kulturene med omtrent 0,55 0{,}55 millioner bakterier per dag. Avrundet til to desimaler:
t≈5,13‾‾f′(t)=g′(t)≈0,55‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{t \approx 5{,}13}} \\ &\underline{\underline{f'(t) = g'(t) \approx 0{,}55}} \end{aligned}
Vi bruker \( f'(t) \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Veksten er den deriverte. Vi løser \( {f'(t) = g'(t)} \) ved å samle potensene av \( e \) på én side og ta \( \ln\text{,} \) og setter \( t \) inn i \( f'\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Deriver g Med kjerneregelen \( {\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}'} \) er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}2t - 0{,}2}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{0{,}2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(t) &= 1{,}2 \cdot e^{\textcolor{green}{0{,}2t - 0{,}2}} \cdot \textcolor{green}{0{,}2} \\ &= 0{,}24 \cdot e^{0{,}2t - 0{,}2} \end{aligned} \]
2. Sett de deriverte like I a) fant vi: \[ f'(t) = 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} \]Vi deler begge sider på \( {0{,}24 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4}}\text{.} \) Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi fra eksponentene, \( {\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a - b}}\text{,} \) som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ \begin{aligned} 0{,}22 \cdot e^{0{,}1t + 0{,}4} &= 0{,}24 \cdot e^{0{,}2t - 0{,}2} \\ \dfrac{0{,}22}{0{,}24} &= \dfrac{e^{0{,}2t - 0{,}2}}{e^{0{,}1t + 0{,}4}} \\ \dfrac{11}{12} &= e^{0{,}1t - 0{,}6} \\ \ln\left(\dfrac{11}{12}\right) &= 0{,}1t - 0{,}6 \\ t &= 10\ln\left(\dfrac{11}{12}\right) + 6 \\ t &\approx 5{,}13 \end{aligned} \]
3. Regn ut veksten Vi setter \( {t \approx 5{,}13} \) inn i \( f'\text{:} \) \[ f'(5{,}13) = 0{,}22 \cdot e^{0{,}513 + 0{,}4} \approx 0{,}548 \]Begge kulturene vokser da med omtrent \( 0{,}55 \) millioner bakterier per dag.
Kontroll: Setter vi inn i \( g'\text{,} \) får vi det samme: \[ g'(5{,}13) = 0{,}24 \cdot e^{1{,}026 - 0{,}2} \approx 0{,}548 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) definerer vi \( g\text{,} \) løser \( {f'(t) = g'(t)} \) med NLøs og setter løsningen inn i \( f'\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: g(t) := 1.2*ℯ^(0.2t - 0.2) NLøs(f'(t) = g'(t), t = 5) f'(5.1299)
Rad 5 gir \( {t \approx 5{,}13}\text{,} \) og rad 6 gir veksten \( 0{,}548 \) millioner bakterier per dag.

Oppgave 2

5 poeng

Boligsparing for ungdom (BSU) Boligsparing for ungdom (BSU) er en spareform for deg som er under 34 år. Du kan spare inntil 27 500 kroner i året, og få skattefradrag. Totalt sparebeløp er 300 000 kroner. Det er bare du som ikke allerede eier bolig som kan få skattefradrag ved å spare til BSU. Kilde: Boligsparing for ungdom (BSU) – skatteetaten
Kasper har spart penger på en BSU-konto i 5 år. Han har satt inn kr 27 500 på kontoen 1. januar hvert år fra og med 2021 til og med 2025. Rentesatsen har vært 5,40 % 5{,}40\,\% i hele perioden.

Oppgave 2a)

Bruk en geometrisk rekke til å regne ut hvor mye Kasper har på BSU-kontoen 31.12.2025.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Saldoen er summen av en geometrisk rekke med a1=27 500⋅1,054, {a_1 = 27\,500 \cdot 1{,}054}\text{,} k=1,054 {k = 1{,}054} og n=5. {n = 5}\text{.} Avrundet til hele kroner:
S5≈161 445 kr‾‾ \underline{\underline{S_5 \approx 161\,445\,\text{kr}}}
Hvert innskudd vokser med vekstfaktoren \( 1{,}054 \) for hvert år det står på kontoen. Saldoen 31.12.2025 er summen av de fem innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.
Metode: Med kalkulator
1. Skriv saldoen som en rekke Innskuddet fra 1. januar 2025 har fått renter i 1 år, og innskuddet fra 2021 i 5 år. Saldoen 31.12.2025 er summen av de fem innskuddene med renter: \[ \begin{aligned} S_5 = \ &27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054} \\ &+ 27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054}^2 \\ &+ \ldots + 27\,500 \cdot \textcolor{blue}{1{,}054}^5 \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1{,}054}}\text{,} \) så rekken er geometrisk med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{5}} \) ledd og første ledd: \[ \textcolor{red}{a_1} = 27\,500 \cdot 1{,}054 = \textcolor{red}{28\,985} \]
2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_5 &= \dfrac{\textcolor{red}{28\,985}\left(1 - \textcolor{blue}{1{,}054}^{\textcolor{green}{5}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{1{,}054}} \\ &\approx 161\,445 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut summen i CAS Vi lar Sum legge sammen de fem leddene \( {27\,500 \cdot 1{,}054^k} \) for \( {k = 1} \) til \( 5\text{,} \) og bruker \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Sum(27500*1.054^k, k, 1, 5)
Summen er omtrent \( 161\,445 \) kr.
Kasper har funnet en leilighet han ønsker å kjøpe. Han kontakter banken for å ordne med finansiering. I tillegg til beløpet han har på BSU-kontoen, får han låne 2 600 000 kroner av banken.
Han vil også kjøpe møbler og kjøkkeninnredning, og tar opp et forbrukslån på 150 000 kroner til en mye høyere rentesats. • Nedbetalingstiden på huslånet er 30 år. • Nedbetalingstiden på forbrukslånet er 10 år. • Begge lånene er annuitetslån. • Rentesatsen på huslånet er 5 %. 5\,\%\text{.} • Terminbeløpene betales årlig, og første innbetaling er etter ett år.
Kasper regner ut at han må betale 200 000 kroner i terminbeløp for begge lånene.

Oppgave 2b)

Hvor høy er rentesatsen på forbrukslånet?
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Terminbeløpet på huslånet er omtrent 169 134 169\,134 kr, så forbrukslånet har terminbeløpet 30 866 30\,866 kr. Avrundet til to desimaler:
Rentesatsen≈15,85 %‾‾ \underline{\underline{\text{Rentesatsen} \approx 15{,}85\,\%}}
Lånebeløpet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi finner terminbeløpet på huslånet, trekker det fra 200 000 og løser likningen for forbrukslånet med NLøs.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp likningen og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}15} \) gir en nåverdi på omtrent \( 154\,900 \) kr og \( {r = 0{,}16} \) omtrent \( 149\,200 \) kr, så renten ligger mellom \( 15\,\% \) og \( 16\,\%\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Sett opp nåverdien som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) renten \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{green}{n} \) år er lånebeløpet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} + \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{\textcolor{green}{n}}} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = \dfrac{T}{1 + r}} \) og \( {k = \dfrac{1}{1 + r}}\text{.} \) Summeformelen \( {S_n = \dfrac{a_1(1 - k^n)}{1 - k}} \) fra a) gir, når vi forkorter: \[ \text{lån} = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]
2. Finn terminbeløpet på huslånet Huslånet er \( 2\,600\,000 \) kr med \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{0{,}05}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{30}}\text{.} \) Vi løser for \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{\text{hus}} &= \dfrac{2\,600\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}05}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^{-\textcolor{green}{30}}} \\ &\approx 169\,133{,}73 \end{aligned} \]Da blir terminbeløpet på forbrukslånet: \[ \begin{aligned} T &= 200\,000 - 169\,133{,}73 \\ &= 30\,866{,}27 \end{aligned} \]
3. Løs likningen i CAS Forbrukslånet er \( 150\,000 \) kr med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{10}}\text{,} \) så renten \( \textcolor{blue}{r} \) må oppfylle: \[ 150\,000 = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{10}}}{\textcolor{blue}{r}} \]På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: 2600000*0.05/(1 - 1.05^(-30)) T := 200000 - 169133.73 NLøs(150000 = T*(1 - (1 + r)^(-10))/r, r = 0.1)
Rad 4 gir \( {r \approx 0{,}1585}\text{,} \) altså omtrent \( 15{,}85\,\%\text{.} \)

Oppgave 3

7 poeng

En nyoppstartet bedrift produserer og selger en vare. Bedriften regner med at den ukentlige etterspørselen E E er gitt ved
E(p)=2700−p2,p∈[10,45] E(p) = 2700 - p^2, \qquad p \in [10, 45]
der p p er prisen i kroner per enhet.

Oppgave 3a)

Bestem et uttrykk for inntekten I(p). I(p)\text{.} Hvilken pris gir høyest inntekt?
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Den høyeste inntekten er 54 000 54\,000 kr i uka:
I(p)=2700p−p3‾‾p=30 kr gir høyest inntekt‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{I(p) = 2700p - p^3}} \\ &\underline{\underline{p = 30\,\text{kr gir høyest inntekt}}} \end{aligned}
Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Den høyeste inntekten finner vi der den deriverte er null.
Metode: For hånd
1. Sett opp inntekten Med prisen \( \textcolor{blue}{p} \) selger bedriften \( \textcolor{red}{E(p)} \) enheter i uka, så: \[ \begin{aligned} I(p) &= \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{(2700 - p^2)} \\ &= 2700p - p^3 \end{aligned} \]
2. Deriver og sett lik null Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd og setter den deriverte lik null, som for toppunktet i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} I'(p) = 2700 - 3p^2 &= 0 \\ p^2 &= 900 \\ p &= 30 \end{aligned} \]Vi forkaster \( {p = -30}\text{,} \) fordi \( p \in [10, 45]\text{.} \)
3. Sjekk at det er et toppunkt \( {I'(p) = 3(900 - p^2)} \) er positiv for \( {p < 30} \) og negativ for \( {p > 30}\text{,} \) så inntekten stiger fram til \( {p = 30} \) og synker etterpå. Inntekten blir da: \[ I(30) = 81\,000 - 27\,000 = 54\,000 \]
Tabellen nedenfor viser noen ukentlige kostnader K K ved å produsere x x enheter.
Antall enheterKostnader(kroner)50577510066003001040060017600100030000 \begin{array}{r|r} \text{Antall enheter} & \text{Kostnader} \\ & \text{(kroner)} \\ \hline 50 & 5775 \\ 100 & 6600 \\ 300 & 10400 \\ 600 & 17600 \\ 1000 & 30000 \end{array}

Oppgave 3b)

Bruk opplysningene i tabellen ovenfor til å vise at bedriften må produsere og selge 875 enheter i uken for at overskuddet skal bli størst mulig.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Toppunktet til overskuddet er i x≈874,5, {x \approx 874{,}5}\text{,} og av de hele tallene gir 875 størst overskudd, omtrent 11 599 11\,599 kr i uka:
Størst overskudd: x=875‾‾ \underline{\underline{\text{Størst overskudd: } x = 875}}
Vi lager en kostnadsmodell med regresjon og skriver inntekten som en funksjon av antall enheter \( x\text{.} \) Så finner vi toppunktet til overskuddet \( {O(x) = I(x) - K(x)}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å skrive inntekten som funksjon av \( x\text{,} \) og på å derivere \( O(x) \) når \( K(x) \) er gitt.
Metode: Med GeoGebra
1. Lag kostnadsmodellen Kostnadene vokser stadig raskere, så vi bruker andregradsregresjon, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi lager en liste med punktene og skriver \( {K(x) =} \) RegPoly(l1, 2). Modellen går gjennom alle de fem punktene: \[ K(x) = 0{,}01x^2 + 15x + 5000 \]
2. Skriv inntekten som funksjon av x Bedriften selger \( {\textcolor{red}{x} = 2700 - \textcolor{blue}{p}^2} \) enheter. Løser vi for prisen, får vi \( {\textcolor{blue}{p} = \sqrt{2700 - x}}\text{,} \) så: \[ I(x) = \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{x} = x\sqrt{2700 - x} \]Prisen \( p \in [10, 45] \) gir \( x \in [675, 2600]\text{.} \)
3. Finn toppunktet til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= x\sqrt{2700 - x} \\ &\quad - (0{,}01x^2 + 15x + 5000) \end{aligned} \]
Vi skriver det inn på intervallet og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Toppunktet ligger ikke på et helt tall, så vi regner også ut \( O(874) \) og \( O(875)\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(50, 5775), (100, 6600), (300, 10400), (600, 17600), (1000, 30000)} K(x) = RegPoly(l1, 2) O(x) = Funksjon(x*sqrt(2700 - x) - K(x), 675, 2600) E = Ekstremalpunkt(O, 675, 2600) A = O(874) B = O(875)
Toppunktet er \( (874{,}54;\ 11\,598{,}77)\text{.} \) Bedriften må selge et helt antall enheter, så vi sammenligner 874 og 875: \[ \begin{aligned} O(874) &\approx 11\,598{,}764 \\ O(875) &\approx 11\,598{,}766 \end{aligned} \]\( O(875) \) er størst, så overskuddet er størst med 875 enheter i uka.
Bedriften registrerer salget de 8 første ukene.
UkeAntall solgte enheter per uke16802750379048205840685578608865 \begin{array}{r|r} \text{Uke} & \text{Antall solgte enheter per uke} \\ \hline 1 & 680 \\ 2 & 750 \\ 3 & 790 \\ 4 & 820 \\ 5 & 840 \\ 6 & 855 \\ 7 & 860 \\ 8 & 865 \end{array}
Bedriften har som mål å produsere og selge 45 000 enheter totalt det første året. De antar at salget vil fortsette å følge samme trend som de første 8 ukene.

Oppgave 3c)

Vil bedriften klare å nå målet sitt?
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Bedriften må selge omtrent 876 enheter i uka resten av året, men salget flater ut under det. Den logistiske modellen gir omtrent 44 800 44\,800 enheter det første året:
Nei, ma˚let na˚s ikke‾‾ \underline{\underline{\text{Nei, målet nås ikke}}}
Salget øker stadig mindre, så vi sammenligner snittet bedriften må selge resten av året med der salget flater ut. Med GeoGebra lager vi en logistisk modell og summerer den over 52 uker.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut snittet som trengs De 8 første ukene er det solgt \( 6460 \) enheter til sammen. Resten av året, \( {52 - 8 = 44} \) uker, må det selges: \[ \dfrac{45\,000 - 6460}{44} = \dfrac{38\,540}{44} \approx \textcolor{red}{876} \]enheter i uka i snitt.
2. Sammenlign med trenden Økningen fra uke til uke er \( 70\text{,} \) \( 40\text{,} \) \( 30\text{,} \) \( 20\text{,} \) \( 15\text{,} \) \( 5 \) og \( 5\text{,} \) så salget flater ut rundt \( \textcolor{blue}{870} \) i uka, under \( \textcolor{red}{876}\text{.} \) Selv om bedriften solgte \( \textcolor{blue}{875} \) hver eneste uke resten av året, mer enn salget flater ut på, ville den bare nå: \[ 6460 + 44 \cdot \textcolor{blue}{875} = 44\,960 \]Det er under \( 45\,000\text{,} \) så bedriften når ikke målet.
Metode: Med GeoGebra
1. Lag en logistisk modell og summer Salget vokser og flater ut, så vi bruker logistisk regresjon, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den finner tallene i modellen som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Så summerer vi modellen for uke 1 til 52:
Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(1, 680), (2, 750), (3, 790), (4, 820), (5, 840), (6, 855), (7, 860), (8, 865)} s(x) = RegLogist(l2) S = Sum(s(k), k, 1, 52)
Med tallene avrundet til tre desimaler er modellen: \[ s(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{871{,}812}}{1 + \textcolor{blue}{0{,}464} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}507}x}} \]Den flater ut på omtrent \( \textcolor{red}{872} \) enheter i uka og gir \( {S \approx 44\,809} \) enheter det første året. Det er under \( 45\,000\text{,} \) så bedriften når ikke målet.
Merk – Andre modeller: En logaritmisk modell og en potensmodell vokser uten grense og gir omtrent \( 50\,000 \) og \( 51\,000 \) enheter, altså ja. De passer dårligere med at økningen nesten har stoppet opp, så vi velger den logistiske modellen. Andre modeller kan også være riktige når valget er begrunnet.

Oppgave 4

4 poeng

En uendelig rekke er gitt ved den rekursive sammenhengen
an=(an−1−1)2 a_n = (a_{n-1} - 1)^2

Oppgave 4a)

Lag et program som skriver ut de 6 første leddene i rekken dersom a1=5. {a_1 = 5}\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Vi starter med \( {a_1 = 5} \) og bruker den rekursive sammenhengen fem ganger i en løkke, slik at vi får ledd nummer 2 til 6.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut de første leddene for hånd, og på å skrive og lese slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( \texttt{a} \) lik det første leddet, \( {a_1 = 5}\text{,} \) og linje 2 skriver det ut.
Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 2, 3, 4, 5, 6}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(2, 7)} \) stopper før 7, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 bruker den rekursive sammenhengen: \[ \textcolor{blue}{a_n} = (\textcolor{red}{a_{n-1}} - 1)^2 \]\( \textcolor{red}{\texttt{a}} \) på høyre side er det forrige leddet, og \( \textcolor{blue}{\texttt{a}} \) på venstre side blir det nye. Linje 5 skriver ut hvert nytt ledd.
2. Kjør programmet Programmet skriver ut de seks leddene: \( 5\text{,} \) \( 16\text{,} \) \( 225\text{,} \) \( 50\,176\text{,} \) \( 2\,517\,530\,625 \) og \( 6\,337\,960\,442\,777\,829\,376\text{.} \) De første kan vi sjekke for hånd: \( {(5 - 1)^2 = 16}\text{,} \) \( {(16 - 1)^2 = 225} \) og \( {(225 - 1)^2 = 50\,176}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Avgjør om det finnes et heltall a1 a_1 som gjør at rekken blir konvergent.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Leddene går aldri mot 0, 0\text{,} så rekken divergerer for alle heltall a1: a_1\text{:}
Nei, det finnes ikke‾‾ \underline{\underline{\text{Nei, det finnes ikke}}}
En uendelig rekke kan bare konvergere hvis leddene går mot \( 0\text{.} \) Vi undersøker derfor om leddene kan gå mot \( 0 \) når \( a_1 \) er et heltall.
Metode: For hånd
1. Sjekk om leddene går mot null For at summen \( {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} \) skal konvergere, må leddene gå mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]Går de ikke mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro.
Når \( a_1 \) er et heltall, blir alle leddene heltall, fordi vi bare trekker fra \( 1 \) og kvadrerer. Heltall som går mot \( 0\text{,} \) må fra et ledd av være \( 0 \) hele tiden: \[ a_n = 0 \quad \text{for alle } n \ge N \]
2. Se hva som kommer etter null Hvis et ledd er \( \textcolor{blue}{0}\text{,} \) blir de to neste: \[ (\textcolor{blue}{0} - 1)^2 = \textcolor{red}{1} \qquad (\textcolor{red}{1} - 1)^2 = \textcolor{blue}{0} \]Leddene veksler da mellom \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og blir aldri \( 0 \) hele tiden. Med \( {a_1 = 1} \) blir rekken for eksempel \( {\textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \dots}\text{,} \) som vokser uten grense.
Leddene kan altså aldri gå mot \( 0\text{,} \) uansett hvilket heltall \( a_1 \) er. Da divergerer rekken for alle heltall \( a_1\text{.} \)

Oppgavene i S2 vår 2026

Temaet og poengene i hver oppgave.

Oppgavene i S2 vår 2026, med del, tema og poeng
OppgaveTemaPoeng
Del 1
Del 1, Oppgave 1integrasjon, substitusjon4
Del 1, Oppgave 2andregradslikninger, areal under graf, integrasjon4
Del 1, Oppgave 3aritmetiske rekker, geometriske rekker, rekker4
Del 1, Oppgave 4binomisk fordeling, sannsynlighet, standardavvik3
Del 1, Oppgave 5gjennomsnitt, sannsynlighet, standardavvik, statistikk5
Del 1, Oppgave 6andregradsfunksjoner, derivasjon, lineære funksjoner, tangent, økonomi6
Del 1, Oppgave 7programmering, sannsynlighet, simulering, statistikk4
Del 2
Del 2, Oppgave 1derivasjon, eksponentialfunksjoner, kjerneregelen, vekstfart4
Del 2, Oppgave 2geometriske rekker, lån, privatøkonomi, rekker5
Del 2, Oppgave 3derivasjon, logistisk regresjon, modellering, optimering, regresjon, økonomi7
Del 2, Oppgave 4programmering, rekker, tallfølger4

Ferdig med settet? Se de andre S2-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.