S2 eksamen våren 2025 – løsningsforslag

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Prøveeksamen

Ta S2 vår 2025 som prøveeksamen

Løs settet på papir med klokka gående, som på eksamen: Del 1 på 2 timer uten hjelpemidler og Del 2 på 3 timer med hjelpemidler. Ta bilde av arkene med mobilen, og få poeng på hver oppgave, karakter 1–6 og tilbakemelding på hver deloppgave. Settet har 47 poeng: 21 i Del 1 og 26 i Del 2.

Start prøveeksamen

Del 1

Uten hjelpemidler · 6 oppgaver · 21 poeng

Oppgave 1

4 poeng

Regn ut integralene

Oppgave 1a)

\int_0^1 \left(2e^x + 2x^2\right) dx

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{\int_0^1 \left(2e^x + 2x^2\right) dx = 2e - \dfrac{4}{3}}}

Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.

1. Finn en antiderivert ledd for ledd \( e^x \) er sin egen deriverte, så integrasjonsreglene gir: \[ \int e^x\,dx = e^x + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/formler. \( \textcolor{blue}{2e^x} \) integrert blir derfor \( \underline{\textcolor{blue}{2e^x}}\text{.} \)

For potenser forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Regelen står også i videoen Basic integrasjonsregler/formler.

\( \textcolor{red}{2x^2} \) har \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^1 \left(2e^x + 2x^2\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{2e^x} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}\right]_0^1 \\ &= \left(\textcolor{blue}{2e} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}\right) - \left(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= 2e - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Oppgave 1b)

\int \dfrac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\,dx

Vis løsning

Svar

Integralet er

\underline{\underline{\ln|x^2 - x - 6| + C}}

Vi ser at telleren \( {2x - 1} \) er den deriverte av nevneren \( {x^2 - x - 6}\text{.} \) Vi bruker derfor variabelskifte med \( u \) lik nevneren.

1. Bytt variabel Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = 2x - 1 \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{x^2 - x - 6}}\,dx \\ &= \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1} \\ &= \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \ln|\textcolor{green}{u}| + C \end{aligned} \]\( {2x - 1} \) forkortes bort, og \( \ln|u| \) er en antiderivert til \( \dfrac{1}{u}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/formler.

3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6}} \) tilbake: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\,dx \\ &= \ln|\textcolor{green}{x^2 - x - 6}| + C \end{aligned} \]

Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\dfrac{1}{x^2 - x - 6} \cdot (2x - 1)}\text{,} \) som er det vi integrerte.

Oppgave 2

2 poeng

Bestem et uttrykk for funksjonen

f

når du får vite at

f'(x) = -\dfrac{2}{x^3}

Arealet av området som er avgrenset av grafen til

f\text{,}

x

-aksen og linjene

{x = 1}

{x = 2}\text{,}

\dfrac{11}{14}\text{.}

Dette arealet ligger over

x

-aksen.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{f(x) = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2}{7}}}

Vi integrerer \( f'(x) \) og får \( f(x) \) med en ukjent konstant \( C\text{.} \) Så bruker vi arealet til å finne \( C\text{.} \)

1. Integrer den deriverte Vi skriver \( {-\dfrac{2}{x^3} = -2x^{-3}}\text{,} \) slik at vi kan bruke regelen for potenser: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Omskrivingen til \( {x^{-3}} \) står i videoen Basic integrasjonsregler/formler.

Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{-3}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} f(x) &= -2 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{-3} + 1}x^{\textcolor{green}{-3} + 1} + \textcolor{red}{C} \\ &= x^{-2} + \textcolor{red}{C} = \dfrac{1}{x^2} + \textcolor{red}{C} \end{aligned} \]

2. Bruk arealet Arealet ligger over \( x \)-aksen, så det er integralet fra \( 1 \) til \( 2\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/formler. En antiderivert til \( {\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}} \) er \( {-\dfrac{1}{x}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} & \int_1^2 \left(\dfrac{1}{x^2} + \textcolor{red}{C}\right) dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{x} + \textcolor{red}{C}x\right]_1^2 \\ &= \left(-\dfrac{1}{2} + 2\textcolor{red}{C}\right) - (-1 + \textcolor{red}{C}) \\ &= \dfrac{1}{2} + \textcolor{red}{C} \end{aligned} \]

Arealet er \( \dfrac{11}{14}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} + \textcolor{red}{C} &= \dfrac{11}{14} \\ \textcolor{red}{C} &= \dfrac{11}{14} - \dfrac{7}{14} = \textcolor{red}{\dfrac{2}{7}} \end{aligned} \]

Kontroll: \( {\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2}{7}} \) er positiv for alle \( {x \neq 0}\text{,} \) så hele området ligger over \( x \)-aksen, som oppgaven sier.

Oppgave 3

4 poeng

Til et brettspill hører det med en spesiell terning med 6 sider. Det er en side med en ener, en side med en toer, en side med en treer og tre sider med seksere. Vi kaster terningen én gang. La

X

være antall øyne terningen viser.

\begin{array}{r|r} k & P(X = k) \\ \hline 1 & \dfrac{1}{6} \\ 2 & \\ 3 & \\ 6 & \end{array}

Oppgave 3a)

Skriv av og fyll ut tabellen. Vis at

{E(X) = 4}\text{.}

Vis løsning

Svar

Sannsynlighetene er

\dfrac{1}{6}

for 1, 2 og 3, og

\dfrac{1}{2}

for 6:

\underline{\underline{E(X) = 4}}

Alle de seks sidene er like sannsynlige, så sannsynligheten for et antall øyne er antall sider med det tallet delt på 6. Så regner vi ut forventningsverdien.

1. Fyll ut tabellen Ener, toer og treer står på én side hver, og sekser står på tre sider: \[ P(X = 6) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \]

Tabellen blir: \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \textcolor{blue}{k} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{6} \\ \hline P(X = k) & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{array} \]Sannsynlighetene summerer seg til \( {\dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{2} = 1}\text{,} \) som de skal.

2. Regn ut forventningsverdien Forventningsverdien er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten for den: \[ E(X) = \sum \textcolor{blue}{k} \cdot \textcolor{red}{P(X = k)} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Plugger vi inn tallene fra tabellen, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} \\ &\quad + \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{6}{6} + 3 \\ &= 4 \end{aligned} \]

Oppgave 3b)

Bestem

Var(x)\text{.}

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{Var(X) = \dfrac{13}{3}}}

Vi bruker tabellen fra a) og \( {E(X) = 4}\text{,} \) som står i oppgaveteksten. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Variansen finner vi som forventningen til \( X^2 \) minus forventningen til \( X \) i andre. Vi regner derfor først ut \( E(X^2)\text{.} \)

1. Finn forventningen til kvadratet Fra a) har vi tabellen: \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \textcolor{blue}{k} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{6} \\ \hline P(X = k) & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{array} \]

\( E(X^2) \) regner vi ut som \( E(X)\text{,} \) men med hver verdi i andre: \[ \begin{aligned} E(X^2) &= \textcolor{blue}{1}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{2}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} + \textcolor{blue}{3}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{6}} \\ &\quad + \textcolor{blue}{6}^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{1 + 4 + 9}{6} + 18 \\ &= \dfrac{7}{3} + 18 = \dfrac{61}{3} \end{aligned} \]

2. Regn ut variansen Variansen er: \[ Var(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2 \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Med \( {E(X) = 4} \) fra a) får vi: \[ \begin{aligned} Var(X) &= \dfrac{61}{3} - 4^2 \\ &= \dfrac{61}{3} - \dfrac{48}{3} = \dfrac{13}{3} \end{aligned} \]

Oppgave 4

4 poeng

En elev arbeider med en tallfølge og har skrevet denne koden:

Oppgave 4a)

Beskriv mønsteret i tallfølgen eleven arbeider med. Hva blir resultatet når koden kjøres?

Vis løsning

Svar

Fra

2

legger vi til

3\text{,}

4\text{,}

5

6\text{,}

og koden skriver ut:

\underline{\underline{2 \quad 5 \quad 9 \quad 14 \quad 20}}

Vi går gjennom løkka én runde om gangen og skriver opp hva \( \texttt{a} \) er i hver runde.

1. Les koden linje for linje Linje 1 setter \( {\texttt{a} = 2}\text{,} \) og linje 2 setter \( {\texttt{n} = 5}\text{.} \) Løkka i linje 3 går gjennom \( {\texttt{i} = 1, 2, 3, 4, 5}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(1, 6)} \) stopper før 6, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

I hver runde skriver linje 4 ut \( \texttt{a}\text{,} \) og linje 5 legger til \( {\textcolor{red}{\texttt{i} + 2}}\text{.} \)

2. Kjør løkka for hånd De fire første rundene gir: \[ \begin{aligned} \texttt{i} = 1&\text{:} \quad 2 + \textcolor{red}{3} = 5 \\ \texttt{i} = 2&\text{:} \quad 5 + \textcolor{red}{4} = 9 \\ \texttt{i} = 3&\text{:} \quad 9 + \textcolor{red}{5} = 14 \\ \texttt{i} = 4&\text{:} \quad 14 + \textcolor{red}{6} = 20 \end{aligned} \]Programmet skriver ut \( \texttt{a} \) før det legger til, så det skriver ut \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{.} \)

Tallfølgen starter altså på \( 2\text{,} \) og hvert nytt tall er det forrige pluss \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) \( \textcolor{red}{4}\text{,} \) \( \textcolor{red}{5}\text{,} \) \( \textcolor{red}{6}\text{,} \) … Det vi legger til, øker med \( 1 \) hver gang.

Eleven har også skrevet denne koden:

Oppgave 4b)

Hva ønsker eleven nå å finne ut? Hva blir resultatet når koden kjøres?

Vis løsning

Svar

Eleven vil finne summen av de fem første leddene, og koden skriver ut:

\underline{\underline{50}}

Vi bruker leddene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser at programmet legger hvert ledd til \( \texttt{S} \) før det lager det neste. \( \texttt{S} \) blir derfor summen av leddene.

1. Les koden Linje 3 setter \( {\texttt{S} = 0}\text{.} \) I hver runde legger linje 5 det leddet vi har nå, til \( \texttt{S}\text{,} \) og linje 6 lager det neste leddet, som i a). Slik oppdaterer vi en sum i en løkke, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 7 står utenfor løkka, så den skriver ut \( \textcolor{blue}{\texttt{S}} \) én gang, etter den siste runden. Løkka går fem runder, så eleven vil finne summen av de fem første leddene.

2. Regn ut summen Leddene fra a) er \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\texttt{S}} = 2 + 5 + 9 + 14 + 20 = \textcolor{blue}{50} \]

Oppgave 5

4 poeng

Figuren viser grafen til en kostnadsfunksjon

K

og to rette linjer. Linjen

{y = 138x - 9920}

tangerer grafen

K

i punktet

(180, 14\,920)\text{.}

Oppgave 5a)

Bruk figuren til å finne enhetskostnaden og grensekostnaden når det blir produsert 180 enheter. Husk å begrunne svarene.

Vis løsning

Svar

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo, avrundet til hele øre, og grensekostnaden er stigningstallet til tangenten:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Enhetskostnad} \approx 82{,}89\,\text{kr}}} \\ &\underline{\underline{\text{Grensekostnad} = 138\,\text{kr}}} \end{aligned}

Enhetskostnaden er kostnaden per enhet, altså stigningstallet til linja fra origo til punktet på grafen. Grensekostnaden er den deriverte, altså stigningstallet til tangenten.

1. Finn enhetskostnaden Enhetskostnaden ved 180 enheter er kostnaden delt på antallet: \[ \begin{aligned} \dfrac{K(180)}{180} &= \dfrac{14\,920 - 0}{180 - 0} \\ &= \dfrac{746}{9} \approx 82{,}89 \end{aligned} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (180, 14\,920)\text{.} \)

Den svarte stiplede linja \( {y = 82{,}89x} \) går gjennom origo og punktet, så enhetskostnaden er omtrent \( 82{,}89 \) kr per enhet, avrundet til hele øre.

Kontroll: \( {9 \cdot 83 = 747}\text{,} \) så \( \dfrac{746}{9} \) er litt under 83 kr, som figuren viser.

2. Finn grensekostnaden Grensekostnaden er den deriverte, \( K'(180)\text{.} \) Den er stigningstallet til tangenten i punktet, og tangenten er den blå stiplede linja \( {y = \textcolor{blue}{138}x - 9920}\text{:} \) \[ K'(180) = \textcolor{blue}{138} \]Den forteller at én enhet til koster omtrent 138 kr mer når det allerede produseres 180 enheter, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi setter prisen per enhet til

p

kroner, slik at inntekten

I(x)

kroner er gitt ved

{I(x) = p \cdot x}\text{.}

Oppgave 5b)

Bestem prisen

p

slik at overskuddet vil bli størst ved produksjon og salg av 180 enheter.

Vis løsning

Svar

Prisen må være lik grensekostnaden ved 180 enheter:

\underline{\underline{p = 138\,\text{kr}}}

Vi bruker grensekostnaden \( {K'(180) = 138} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Der overskuddet er størst, er den deriverte av overskuddet null. Vi setter derfor \( {O'(180) = 0} \) og løser for \( p\text{.} \)

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= \textcolor{green}{p} \cdot x - K(x) \end{aligned} \]

Vi deriverer: \[ O'(x) = \textcolor{green}{p} - K'(x) \]

2. Sett den deriverte lik null I et toppunkt er den deriverte null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I a) fant vi \( {K'(180) = \textcolor{blue}{138}}\text{,} \) stigningstallet til den blå tangenten, så: \[ \begin{aligned} O'(180) = \textcolor{green}{p} - \textcolor{blue}{138} &= 0 \\ \textcolor{green}{p} &= 138 \end{aligned} \]

Grafen til \( K \) krummer oppover, så stigningstallet \( K'(x) \) øker. Da er \( {O'(x) = \textcolor{blue}{138} - K'(x)} \) positiv før \( {x = 180} \) og negativ etter: \[ \begin{aligned} x < 180&\text{:} \quad O'(x) > 0 \\ x > 180&\text{:} \quad O'(x) < 0 \end{aligned} \]Overskuddet er derfor størst ved 180 enheter.

Oppgave 6

3 poeng

Benz A/S har utviklet en ny type bensin som de mener øker kjørelengden per liter. Den gamle bensinen gir en gjennomsnittlig kjørelengde på

20\,\text{km/L}\text{,}

med et standardavvik på

2{,}5\,\text{km/L}\text{.}

Benz A/S ønsker å teste om den nye bensinen øker kjørelengden, og planlegger å gjennomføre en hypotesetest med 25 biler.

Oppgave 6a)

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese for testen.

Vis løsning

Svar

Med

\mu

som gjennomsnittlig kjørelengde i km/L med den nye bensinen:

\begin{aligned} &\underline{\underline{H_0\text{: } \mu = 20}} \\ &\underline{\underline{H_1\text{: } \mu > 20}} \end{aligned}

Den alternative hypotesen \( H_1 \) er det Benz A/S påstår. Nullhypotesen \( H_0 \) er det motsatte: at det ikke er noen forandring fra den gamle bensinen.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at det ikke skjer noen forandring, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.

La \( \mu \) være gjennomsnittlig kjørelengde per liter med den nye bensinen. \( \textcolor{red}{\text{Benz A/S}} \) mener at \( {\textcolor{red}{\mu > 20\,\text{km/L}}}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{\text{ingen forandring}} \) betyr \( {\textcolor{blue}{\mu = 20\,\text{km/L}}}\text{.} \) Testen er ensidig, fordi de bare påstår at kjørelengden øker.

Det viser seg at de 25 bilene kjører i gjennomsnitt

21\,\text{km/L}\text{.}

Gå ut fra at kjørelengden er normalfordelt med standardavvik

2{,}5\,\text{km/L}\text{.}

Oppgave 6b)

Gjennomfør hypotesetesten, og bruk den til å avgjøre om Benz A/S kan si at den nye bensinen øker kjørelengden. Bruk et signifikansnivå på

5\,\%\text{.}

Vis løsning

Svar

Vi forkaster

H_0\text{,}

så Benz A/S kan si at den nye bensinen øker kjørelengden:

\begin{aligned} &\underline{\underline{z = 2}} \\ &\underline{\underline{P(Z \ge 2) \approx 0{,}0228 < 0{,}05}} \end{aligned}

Vi bruker hypotesene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Standardavviket er kjent, så vi bruker en z-test for gjennomsnittet. Vi finner sannsynligheten for et så høyt gjennomsnitt hvis \( H_0 \) er sann, og sammenligner med \( 5\,\%\text{.} \)

1. Regn ut testobservatoren I a) satte vi opp: \[ H_0\text{: } \mu = 20 \qquad H_1\text{: } \mu > 20 \]

Standardavviket er oppgitt, så vi bruker en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Gjennomsnittet av \( n \) biler har standardavviket \( \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}}} \]

Her er \( {\bar{x} = 21}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{20}} \) fra \( H_0\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{2{,}5}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} z &= \dfrac{21 - \textcolor{blue}{20}}{\dfrac{\textcolor{red}{2{,}5}}{\sqrt{\textcolor{green}{25}}}} \\ &= \dfrac{1}{0{,}5} = 2 \end{aligned} \]

2. Finn P-verdien \( H_1 \) sier \( {\mu > 20}\text{,} \) så P-verdien er sannsynligheten for \( {z = 2} \) eller mer. Tabellen over standard normalfordeling i vedlegget gir \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772}\text{,} \) som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ \begin{aligned} P(Z \ge 2) &= 1 - 0{,}9772 \\ &= 0{,}0228 \end{aligned} \]

3. Konkluder \( {0{,}0228 < 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster \( H_0\text{.} \) Da er det grunnlag for å si at \( H_1 \) stemmer, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro: den nye bensinen øker kjørelengden.

Del 2

Med hjelpemidler · 5 oppgaver · 26 poeng

Oppgave 1

6 poeng

En bedrift produserer og selger

x

enheter av en vare per uke.

Tabellen nedenfor viser kostnaden ved ulike produksjonsmengder.

\begin{array}{r|r} \text{Produksjon} & \text{Kostnad} \\ \text{(enheter per uke)} & \text{(kroner)} \\ \hline 10 & 400 \\ 20 & 850 \\ 40 & 2070 \\ 50 & 2890 \end{array}

En modell for kostnaden

K(x)

kroner kan skrives på formen

K(x) = ax^2 + bx + c

Oppgave 1a)

Vis at

{K'(x) = 1{,}23x + 25}

Vis løsning

Svar

Andregradsregresjon gir

{K'(x) \approx 1{,}2333x + 25}\text{.}

Avrundet til to desimaler:

\underline{\underline{K'(x) = 1{,}23x + 25}}

Vi finner \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) med andregradsregresjon på tabellen, og deriverer modellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å derivere en andregradsfunksjon når den er gitt, og på å tolke \( K'(x)\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Lag modellen med regresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker andregradsregresjon, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Regresjonen finner tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Så lar vi GeoGebra derivere modellen:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(10, 400), (20, 850), (40, 2070), (50, 2890)} K(x) = RegPoly(l1, 2) D(x) = Derivert(K)

Med tallene avrundet til fire desimaler er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}6167}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{25}}\text{,} \) og modellen er: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}6167}x^2 + \textcolor{red}{25}x + 93{,}3333 \]

2. Deriver modellen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/Formler. Konstantleddet blir borte, og vi får: \[ \begin{aligned} K'(x) &\approx 2 \cdot \textcolor{blue}{0{,}6167}x + \textcolor{red}{25} \\ &\approx 1{,}233x + 25 \end{aligned} \]GeoGebra regner med tallene uten avrunding og viser \( {D(x) = 1{,}2333x + 25}\text{.} \) Avrundet til to desimaler er det \( {1{,}23x + 25}\text{.} \)

Inntekten

I(x)

kroner per uke er gitt ved

I(x) = 3000 \cdot \ln(5x)

Oppgave 1b)

Bestem

I'(35)

K'(35)\text{.}

Gi en praktisk tolkning av svarene.

Vis løsning

Svar

Ved 35 enheter i uka gir én enhet til omtrent 85,71 kr mer i inntekt og 68,05 kr mer i kostnad. Avrundet til øre:

\begin{aligned} &\underline{\underline{I'(35) \approx 85{,}71}} \\ &\underline{\underline{K'(35) = 68{,}05}} \end{aligned}

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( K'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( I \) med regelen for \( \ln u \) og setter inn \( {x = 35} \) i begge de deriverte. De deriverte forteller hvor mye inntekten og kostnaden øker per ekstra enhet.

Metode: Med kalkulator

1. Deriver inntekten Regelen for \( \ln \) av en kjerne forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{5x}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I'(x) &= 3000 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{5x}} \cdot \textcolor{green}{5} \\ &= \dfrac{3000}{x} \end{aligned} \]

2. Sett inn 35 enheter I a) viste vi: \[ K'(x) = 1{,}23x + 25 \]

Vi setter inn \( {x = 35} \) i begge: \[ \begin{aligned} I'(35) &= \dfrac{3000}{35} \approx \textcolor{blue}{85{,}71} \\ K'(35) &= 1{,}23 \cdot 35 + 25 = \textcolor{red}{68{,}05} \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med modellen fra a) uten avrunding blir \( {K'(35) \approx 68{,}17}\text{.} \) Forskjellen kommer bare av at oppgaven runder av til \( {1{,}23x + 25}\text{,} \) og begge regnemåtene er riktige.

3. Tolk svarene \( I \) og \( K \) er i kroner og \( x \) i enheter per uke, så de deriverte er i kroner per enhet, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Når bedriften produserer og selger 35 enheter i uka, gir én enhet til omtrent \( \textcolor{blue}{85{,}71} \) kr mer i inntekt og omtrent \( \textcolor{red}{68{,}05} \) kr mer i kostnad. Overskuddet øker altså hvis bedriften produserer og selger litt flere enn 35 enheter.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( I \) i CAS, regner ut \( I'(35) \) og setter inn i \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) fra oppgaveteksten, med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: I(x) := 3000*ln(5x) I'(35) 1.23*35 + 25

Rad 2 gir \( {I'(35) \approx 85{,}71} \) kr per enhet, og rad 3 gir \( {K'(35) = 68{,}05} \) kr per enhet.

Oppgave 1c)

Bestem

\int_{20}^{30} K'(x)\,dx

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Svar

Integralet er

{K(30) - K(20)}\text{,}

så kostnaden øker med omtrent 557,50 kr når produksjonen går fra 20 til 30 enheter per uke:

\underline{\underline{\int_{20}^{30} K'(x)\,dx = 557{,}5}}

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( K'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi integrerer \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) ledd for ledd og setter inn grensene. Integralet av den deriverte er hvor mye \( K \) endrer seg mellom grensene.

Metode: Med kalkulator

1. Finn en antiderivert I a) viste vi: \[ K'(x) = 1{,}23x + 25 \]

For potenser forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/formler.

\( \textcolor{blue}{1{,}23x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{0{,}615x^2}}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{25} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{25x}}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_{20}^{30} \left(1{,}23x + 25\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{0{,}615x^2} + \textcolor{red}{25x}\right]_{20}^{30} \\ &= (\textcolor{blue}{553{,}5} + \textcolor{red}{750}) - (\textcolor{blue}{246} + \textcolor{red}{500}) \\ &= 557{,}5 \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med modellen fra a) uten avrunding blir \( {K(30) - K(20) \approx 558{,}33}\text{.} \) Forskjellen kommer bare av at oppgaven runder av til \( {1{,}23x + 25}\text{,} \) og begge regnemåtene er riktige.

3. Tolk svaret \( K \) er en antiderivert til \( K'\text{,} \) så integralet er \( {K(30) - K(20)}\text{:} \) hvor mye kostnaden øker fra 20 til 30 enheter. Når produksjonen øker fra 20 til 30 enheter per uke, øker kostnaden med omtrent \( 557{,}50 \) kr.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut integralet i CAS På samme CAS-ark som i b) integrerer vi \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) fra oppgaveteksten, med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Integral(1.23x + 25, 20, 30)

Rad 4 gir \( 557{,}5\text{,} \) altså at kostnaden øker med omtrent \( 557{,}50 \) kr fra 20 til 30 enheter per uke.

Oppgave 2

6 poeng

Tre skihoppere skal delta i en hoppkonkurranse. Listen nedenfor viser forventningsverdi og standardavvik for lengden på et hopp for hver av de tre hopperne. Vi antar at lengden på hoppene er uavhengig og normalfordelt. • Birger: forventningsverdi 70 meter, standardavvik 20 meter • Maren: forventningsverdi 80 meter, standardavvik 5 meter • Espen: forventningsverdi 75 meter, standardavvik 10 meter

Oppgave 2a)

Gjør beregninger for hver skihopper, og bestem sannsynligheten for at skihopperen hopper lenger enn 90 meter i et tilfeldig hopp.

Vis løsning

Svar

Sannsynligheten for et hopp lenger enn 90 meter, avrundet til fire desimaler:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Birger: } 0{,}1587}} \\ &\underline{\underline{\text{Maren: } 0{,}0228}} \\ &\underline{\underline{\text{Espen: } 0{,}0668}} \end{aligned}

Lengden er normalfordelt for hver hopper. Vi gjør 90 meter om til en \( z \)-verdi for hver av dem og slår opp i tabellen over standard normalfordeling.

Metode: Med kalkulator

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ \begin{aligned} & P(X > 90) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{90 - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Vi regner ut \( z \)-verdien for hver hopper: \[ \begin{aligned} \text{Birger: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{70}}{\textcolor{red}{20}} = 1 \\ \text{Maren: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{80}}{\textcolor{red}{5}} = 2 \\ \text{Espen: } z &= \dfrac{90 - \textcolor{blue}{75}}{\textcolor{red}{10}} = 1{,}5 \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}00) = 0{,}8413}\text{,} \) \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772} \) og \( {P(Z \le 1{,}50) = 0{,}9332}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{Birger: } & 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587 \\ \text{Maren: } & 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \\ \text{Espen: } & 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668 \end{aligned} \]Birger har størst sjanse for et hopp over 90 meter. Han har lavest forventning, men størst standardavvik.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS FordelingNormal\( (\mu, \sigma, x) \) gir \( {P(X \le x)}\text{.} \) Vi trekker den fra 1 og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingNormal(70, 20, 90) 1 - FordelingNormal(80, 5, 90) 1 - FordelingNormal(75, 10, 90)

Rad 1 til 3 gir \( 0{,}1587\text{,} \) \( 0{,}0228 \) og \( 0{,}0668 \) for Birger, Maren og Espen.

I første omgang hoppet Maren 83 meter.

Oppgave 2b)

Bestem sannsynligheten for at Maren hoppet lengst i denne omgangen.

Vis løsning

Svar

Maren hoppet lengst hvis både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter. Avrundet til tre desimaler:

\underline{\underline{P(\text{Maren lengst}) \approx 0{,}585}}

Maren hoppet lengst hvis både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter. Hoppene er uavhengige, så vi ganger de to sannsynlighetene.

Metode: Med kalkulator

1. Finn sannsynlighetene for de andre For Birger og Espen standardiserer vi 83 meter, som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \text{Birger: } z &= \dfrac{83 - 70}{20} = 0{,}65 \\ \text{Espen: } z &= \dfrac{83 - 75}{10} = 0{,}80 \end{aligned} \]

Tabellen over standard normalfordeling gir: \[ \begin{aligned} P(\text{Birger} < 83) &= \textcolor{blue}{0{,}7422} \\ P(\text{Espen} < 83) &= \textcolor{red}{0{,}7881} \end{aligned} \]

2. Gang sannsynlighetene Hoppene er uavhengige, så sannsynligheten for at begge hopper kortere, er produktet, som når vi kaster flere terninger i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Maren hoppet lengst når både Birger og Espen hoppet kortere enn 83 meter: \[ \begin{aligned} P(\text{Maren lengst}) &= \textcolor{blue}{0{,}7422} \cdot \textcolor{red}{0{,}7881} \\ &\approx 0{,}585 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) ganger vi \( {P(\text{Birger} < 83)} \) med \( {P(\text{Espen} < 83)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingNormal(70, 20, 83)*FordelingNormal(75, 10, 83)

Rad 4 gir \( {P(\text{Maren lengst}) \approx 0{,}585}\text{.} \)

I andre omgang gjør alle et nytt hopp.

Oppgave 2c)

Bruk simulering og bestem sannsynligheten for at Maren hopper lengst i denne omgangen.

Vis løsning

Svar

Maren hopper lengst i omtrent 47,5 % av de

100\,000

simulerte omgangene. Avrundet til tre desimaler:

\underline{\underline{P(\text{Maren lengst}) \approx 0{,}475}}

Nå er også Marens hopp tilfeldig. Vi lar et program trekke tre tilfeldige hopp mange ganger og teller hvor ofte Maren hopper lengst. Andelen er et anslag for sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å lese og skrive slike programmer på papir, og på å forklare hvorfor flere simuleringer gir et sikrere anslag.

Metode: Med Python

1. Skriv programmet Vi trekker lengdene med \( \texttt{normal}\text{,} \) der det første tallet er forventningen og det andre standardavviket, og gjentar forsøket i en løkke, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

2. Les programmet og kjør det Løkka i linje 6 går \( {N = 100\,000} \) ganger. Linje 7 til 9 trekker ett hopp for hver hopper. Linje 10 sjekker om \( \textcolor{blue}{\texttt{maren}} \) er lenger enn både \( \texttt{birger} \) og \( \texttt{espen}\text{,} \) og da teller linje 11 én til. Linje 13 skriver ut andelen av forsøkene der Maren hopper lengst:

Simuleringen gir litt ulike tall hver gang, men med så mange forsøk endrer svaret seg bare i tredje desimal.

Oppgave 3

6 poeng

Sikkerhetsselskapet SaifY skal lansere et nytt brannvarslingssystem i en by med 2 millioner husstander. SaifY regner med at antallet husstander som har brannvarslingssystemet

t

uker etter lanseringen, vil følge modellen

B

gitt ved

B(t) = \dfrac{1\,700\,000}{1 + 500e^{-0{,}07t}}

Oppgave 3a)

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har brannvarslingssystemet, ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Etter omtrent 93,9 uker har 1 million husstander systemet. Avrundet opp til hele uker:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 94 \text{ uker}}}

Halvparten av 2 millioner er 1 million. Vi setter \( {B(t) = 1\,000\,000}\text{,} \) får potensen av \( e \) alene på én side og tar \( \ln \) på begge sider.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningen Halvparten av husstandene er \( 1\,000\,000\text{:} \) \[ \dfrac{1\,700\,000}{1 + 500e^{-0{,}07t}} = 1\,000\,000 \]

2. Løs likningen med ln Vi ganger med nevneren, deler på \( 1\,000\,000 \) og får potensen \( {\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}}} \) alene. Så tar vi \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 1 + 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 1{,}7 \\ 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}7 \\ \textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}0014 \\ \textcolor{green}{-0{,}07t} &= \ln 0{,}0014 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}0014}{-0{,}07} \approx 93{,}9 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( B \) i CAS og løser \( {B(t) = 1\,000\,000} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B(t) := 1700000/(1 + 500*ℯ^(-0.07t)) Løs(B(t) = 1000000, t)

Rad 2 gir \( {t \approx 93{,}9} \) uker.

Oppgave 3b)

Bestem

B'(52)\text{.}

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Svar

52 uker etter lanseringen øker antallet husstander med systemet med omtrent 7800 per uke. Avrundet til hele husstander:

\underline{\underline{B'(52) \approx 7828}}

\( B \) er en brøk med en konstant i telleren. Vi deriverer med kvotientregelen, og nevneren med kjerneregelen. \( B'(t) \) er hvor mange nye husstander som får systemet per uke.

Metode: Med kalkulator

1. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u}' \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v}'}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Med kjerneregelen er \( {\left(e^{-0{,}07t}\right)' = e^{-0{,}07t} \cdot (-0{,}07)}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1\,700\,000} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ B'(t) = \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Det første leddet i telleren er 0. Setter vi inn \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} B'(t) &= \dfrac{-\textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot (\textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}})}{(\textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}})^2} \\ &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-0{,}07t}}{(1 + 500e^{-0{,}07t})^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn 52 uker Med \( {t = 52} \) er eksponenten \( {-0{,}07 \cdot 52 = -3{,}64}\text{:} \) \[ \begin{aligned} B'(52) &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-3{,}64}}{(1 + 500e^{-3{,}64})^2} \\ &\approx 7828 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( B \) er antall husstander og \( t \) er uker, så \( B'(t) \) er husstander per uke, som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Ett år etter lanseringen får omtrent 7800 nye husstander systemet per uke.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut \( B'(52) \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B'(52)

Rad 3 gir \( {B'(52) \approx 7828} \) husstander per uke.

Det viser seg at konkurrenten UnSaif planlegger å lansere et brannvarslingssystem med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til SaifY.

Etter å ha hørt om planene til UnSaif antar SaifY at • de totalt vil få solgt brannvarslingssystemet sitt til en million husstander • fire tusen husstander har brannvarslingssystemet når det lanseres • flest nye husstander kjøper brannvarslingssystemet i uke 65

Oppgave 3c)

Bruk antakelsene ovenfor til å lage en ny logistisk modell

F

for antallet husstander som har brannvarslingssystemet etter

t

uker.

Vis løsning

Svar

Med

{C = 1\,000\,000}\text{,}

{a = 249}

k

avrundet til fire desimaler:

\underline{\underline{F(t) \approx \dfrac{1\,000\,000}{1 + 249e^{-0{,}0849t}}}}

En logistisk modell har formen \( {F(t) = \dfrac{C}{1 + ae^{-kt}}}\text{.} \) Hver antakelse gir oss én av konstantene \( C\text{,} \) \( a \) og \( k\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Finn grensen og startverdien En logistisk modell har formen: \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{1 + \textcolor{red}{a}e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Når \( t \) blir stor, går \( {e^{-\textcolor{green}{k}t}} \) mot 0, og \( F(t) \) går mot \( \textcolor{blue}{C}\text{.} \) De selger totalt til en million husstander, så \( {\textcolor{blue}{C} = \textcolor{blue}{1\,000\,000}}\text{.} \)

Ved lanseringen er \( {t = 0} \) og \( {e^0 = 1}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} F(0) = \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{a}} &= 4000 \\ 1 + \textcolor{red}{a} &= 250 \\ \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{249} \end{aligned} \]

2. Bruk uken med flest nye kjøpere Antall nye husstander per uke er \( F'(t)\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I en logistisk modell er veksten størst når \( F \) har nådd halvparten av \( \textcolor{blue}{C}\text{:} \) \[ F'(t) \text{ er størst når } F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{2} \]

Flest kjøper i uke 65, så \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}}} &= 500\,000 \\ 1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}} &= 2 \\ e^{-65\textcolor{green}{k}} &= \dfrac{1}{249} \\ -65\textcolor{green}{k} &= \ln \dfrac{1}{249} \\ \textcolor{green}{k} &= \dfrac{\ln 249}{65} \approx \textcolor{green}{0{,}0849} \end{aligned} \]

Med \( k \) avrundet til fire desimaler blir modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-\textcolor{green}{0{,}0849}t}} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Finn konstantene i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) skriver vi modellen med \( {C = 1\,000\,000}\text{,} \) finner \( a \) fra \( {F(0) = 4000} \) og \( k \) fra \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(t) := 1000000/(1 + a*ℯ^(-k*t)) Løs(F(0) = 4000, a) Løs(1000000/(1 + 249*ℯ^(-65k)) = 500000, k)

Rad 5 gir \( {a = 249}\text{,} \) og rad 6 gir \( {k \approx 0{,}0849}\text{.} \)

Oppgave 4

6 poeng

Nora blir

37

år i 2026 og vil begynne å spare til egen pensjon.

Hun vil sette et fast beløp inn på en konto i banken 1. januar hvert år. Hun vil begynne sparingen 1. januar 2026 og holde på til og med januar 2055.

Målet hennes er å ha

3\,750\,000

kroner i banken etter at rentene for 2055 er lagt til. Nora venter at den årlige rentesatsen på kontoen vil være

2{,}5\,\%\text{.}

Oppgave 4a)

Hvor stort beløp må Nora sette i banken hvert år for å nå målet?

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele kroner må Nora sette inn

\underline{\underline{83\,333 \text{ kroner hvert år}}}

Vi ser at hvert innskudd får renter fram til slutten av 2055, men i ulikt antall år. Summen av innskuddene med renter er derfor en geometrisk rekke.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp rekka Vi kaller beløpet \( x\text{.} \) Vekstfaktoren for \( 2{,}5\,\% \) er \( 1{,}025\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.

Innskuddet i 2055 får renter i ett år, innskuddet i 2054 i to år, og så videre, til innskuddet i 2026, som får renter i \( 30 \) år: \[ \begin{aligned} &x \cdot 1{,}025 + x \cdot 1{,}025^2 \\ &+ \dots + x \cdot 1{,}025^{30} \end{aligned} \]Dette er en geometrisk rekke med \( {n = 30} \) ledd, første ledd \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}025x}} \) og kvotient \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{1{,}025}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^n - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn og setter summen lik \( 3\,750\,000\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{1{,}025x} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}025}^{30} - 1}{\textcolor{red}{1{,}025} - 1} = 3\,750\,000 \]

Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3\,750\,000 \cdot 0{,}025}{1{,}025 \cdot (1{,}025^{30} - 1)} \\ &\approx 83\,333 \end{aligned} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS Vi skriver summen med kommandoen Sum, der leddet \( {x \cdot 1{,}025^n} \) går fra \( {n = 1} \) til \( {n = 30}\text{.} \) Vi løser likningen med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(Sum(x*1.025^n, n, 1, 30) = 3750000, x)

Rad 1 gir \( {x \approx 83\,332{,}83}\text{.} \)

Nora har et huslån. Lånet har årlige terminer, og Nora betaler terminbeløpet i januar hvert år. I januar 2026 vil lånet være på

3\,000\,000

kroner.

Nora vil betale ned lånet før det året hun fyller

70\text{.}

Hun har regnet seg fram til at hun da må betale

150\,000

kroner hver termin fra og med januar 2026 til og med januar 2058.

Oppgave 4b)

Hvor høy har Nora regnet med at den årlige rentesatsen på lånet vil være?

Vis løsning

Svar

Avrundet til to desimaler har Nora regnet med:

\underline{\underline{\text{Rentesatsen} \approx 3{,}53\,\%}}

Lånet er like stort som summen av nåverdiene av alle terminbeløpene. Vi setter summen lik \( 3\,000\,000 \) og løser for vekstfaktoren.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen for hånd: selv med summeformelen er det en likning av grad \( 32 \) i \( k\text{.} \) Øv heller på å sette opp summen av nåverdiene, og på å kontrollere en rentesats med summeformelen for geometriske rekker.

Metode: Med GeoGebra

1. Sett opp likningen Fra og med januar 2026 til og med januar 2058 er det \( 33 \) terminer. Vi kaller vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k}\text{.} \) Et terminbeløp som betales \( n \) år etter januar 2026, er verdt \( \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} \) i januar 2026.

Den første terminen betaler Nora i januar 2026, med \( {n = 0}\text{,} \) og den siste i januar 2058, med \( {n = 32}\text{.} \) Summen av nåverdiene er lånet: \[ \sum_{n=0}^{32} \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} = 3\,000\,000 \]

2. Løs likningen i CAS Vi fortsetter i CAS fra a), og løser likningen med NLøs og startverdien \( {k = 1{,}03}\text{,} \) slik vi løser en likning i CAS i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(150000/k^n, n, 0, 32) = 3000000, k = 1.03)

Rad 2 gir \( {\textcolor{red}{k} \approx 1{,}0353}\text{,} \) så rentesatsen er omtrent \( 3{,}53\,\%\text{.} \)

Nora ønsker å hjelpe datteren med egenkapital til bolig. Nora oppretter derfor en ekstra sparekonto og setter opp en spareplan med ett årlig innskudd i 10 år. Det første innskuddet skal være

10\,000

kroner, deretter skal beløpene hun setter inn, øke med

6\,\%

per år. Nora venter at rentesatsen vil være

2{,}5\,\%

per år.

Målet er å ha

150\,000

kroner på sparekontoen ett år etter at hun har satt inn det siste beløpet.

Oppgave 4c)

Vil Nora nå målet sitt?

Vis løsning

Svar

Saldoen ett år etter det siste innskuddet blir omtrent

149\,581

kr, avrundet til hele kroner:

\underline{\underline{\text{Nei, hun mangler omtrent } 419\,\text{kr}}}

Hvert innskudd er \( 6\,\% \) større enn det forrige, men får renter i ett år mindre. Saldoen er summen av innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp rekka Det første innskuddet får renter i \( 10 \) år, det andre er \( {10\,000 \cdot 1{,}06} \) og får renter i \( 9 \) år, og så videre, til det siste, \( {10\,000 \cdot 1{,}06^9}\text{,} \) som får renter i ett år. Saldoen er: \[ \begin{aligned} &10\,000 \cdot 1{,}025^{10} \\ &+ 10\,000 \cdot 1{,}06 \cdot 1{,}025^9 \\ &+ \dots + 10\,000 \cdot 1{,}06^9 \cdot 1{,}025 \end{aligned} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med \( 1{,}06 \) og delt på \( 1{,}025\text{.} \) Dette er altså en geometrisk rekke med \( {n = 10} \) ledd, første ledd og kvotient: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{10\,000 \cdot 1{,}025^{10}} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}} \end{aligned} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{10} &= \textcolor{blue}{10\,000 \cdot 1{,}025^{10}} \\ &\quad \cdot \dfrac{\left(\textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}}\right)^{10} - 1}{\textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}} - 1} \\ &\approx 149\,581 \end{aligned} \]Vi taster hele uttrykket inn i kalkulatoren uten å runde av \( k\text{.} \)

3. Sammenlign med målet Vi trekker saldoen fra målet: \[ 150\,000 - 149\,581 = 419 \]Nora mangler omtrent \( 419 \) kr, så hun når ikke målet.

Metode: Med GeoGebra

1. Regn ut summen i CAS Vi fortsetter i CAS fra b). Innskudd nummer \( {i + 1} \) er \( {10\,000 \cdot 1{,}06^i} \) og får renter i \( {10 - i} \) år, for \( {i = 0} \) til \( 9\text{.} \) Vi summerer med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Sum(10000*1.06^i*1.025^(10 - i), i, 0, 9)

Rad 3 gir omtrent \( 149\,581 \) kr, som er under \( 150\,000 \) kr.

Oppgave 5

2 poeng

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

{1 + x + x^2 + x^3 + \cdots}

Det kan vises at

\begin{aligned} &\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx \\ &+ \cdots = \int \dfrac{1}{1 - x}\,dx\ , \quad x \in \langle -1, 1 \rangle \end{aligned}

Bruk denne sammenhengen til å vise at

\begin{aligned} &\dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2^3} \\ &+ \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2^4} + \cdots = \ln 2 \end{aligned}

I denne oppgaven kan du se bort fra integrasjonskonstantene.

Vis løsning

Svar

Med

{x = \dfrac{1}{2}}

blir venstresiden rekka og høyresiden

{-\ln \dfrac{1}{2}}\text{,}

så

\underline{\underline{\dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^2} + \cdots = \ln 2}}

Vi regner ut integralene på begge sider av sammenhengen. Så ser vi at \( {x = \dfrac{1}{2}} \) gir rekka i oppgaven.

Metode: For hånd

1. Integrer venstresiden ledd for ledd Integrasjonsregelen for potenser forteller oss at: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/formler.

Bruker vi den på hvert ledd, blir venstresiden: \[ \textcolor{blue}{x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{4}x^4 + \cdots} \]

2. Integrer høyresiden For høyresiden er: \[ \int \dfrac{1}{1 - x}\,dx = -\ln(1 - x) + C \]Deriverer vi \( {-\ln(1 - x)} \) med kjerneregelen, får vi \( {-\dfrac{1}{1 - x} \cdot (-1) = \dfrac{1}{1 - x}}\text{.} \) Vi trenger ikke absoluttverdi, fordi \( {1 - x > 0} \) når \( {x < 1}\text{.} \) Sammenhengen blir altså: \[ \textcolor{blue}{x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + \cdots} = \textcolor{red}{-\ln(1 - x)} \]

3. Sett inn x lik en halv \( {x = \dfrac{1}{2}} \) ligger i \( {\langle -1, 1 \rangle}\text{,} \) og \( {\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{1}{2^n}}\text{.} \) Venstresiden blir da rekka i oppgaven: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2^3} + \cdots} \]

Høyresiden blir: \[ \textcolor{red}{-\ln\left(1 - \dfrac{1}{2}\right)} = -\ln \dfrac{1}{2} = \ln 2 \]Her brukte vi at \( {\ln \dfrac{1}{2} = -\ln 2}\text{.} \) Rekka er altså lik \( \ln 2\text{.} \)

Kontroll: Med \( {x = 0} \) er begge sidene \( 0\text{,} \) så det er riktig å se bort fra integrasjonskonstantene.

Oppgavene i S2 vår 2025

Temaet og poengene i hver oppgave.

Oppgavene i S2 vår 2025, med del, tema og poeng
Oppgave	Tema	Poeng
Del 1
Del 1, Oppgave 1	integrasjon, substitusjon	4
Del 1, Oppgave 2	areal under graf, integrasjon	2
Del 1, Oppgave 3	sannsynlighet, standardavvik, statistikk	4
Del 1, Oppgave 4	programmering, rekker, tallfølger	4
Del 1, Oppgave 5	derivasjon, optimering, tangent, økonomi	4
Del 1, Oppgave 6	gjennomsnitt, sannsynlighet, standardavvik, statistikk	3
Del 2
Del 2, Oppgave 1	derivasjon, integrasjon, ln, regresjon, økonomi	6
Del 2, Oppgave 2	programmering, sannsynlighet, simulering, standardavvik, statistikk	6
Del 2, Oppgave 3	derivasjon, eksponentialfunksjoner, ln, logistisk vekst, modellering, vekstfart	6
Del 2, Oppgave 4	geometriske rekker, lån, privatøkonomi	6
Del 2, Oppgave 5	geometriske rekker, integrasjon, ln, potensrekker, rekker	2

Ferdig med settet? Se de andre S2-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.