S2 eksamen høsten 2025 – løsningsforslag

Formen er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. Uke 17 er \( {t = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å gjøre om ukene til \( t\text{,} \) og på å lese av en logistisk modell: \( B \) er verdien grafen flater ut på, og \( {I(0) = \dfrac{B}{1 + a}}\text{.} \)

1. Lag modellen med regresjon Vi gjør om ukene til \( {t = \text{uke} - 17}\text{,} \) så uke 17 til 24 blir \( {t = 0} \) til \( 7\text{.} \) Formen er logistisk, så vi lager en liste med punktene og bruker RegLogist, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Regresjonen finner tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 2900), (1, 4400), (2, 12200), (3, 23400), (4, 28800), (5, 34600), (6, 41000), (7, 40800)} I(x) = RegLogist(l1)

Med \( \textcolor{red}{B} \) til hele kroner, \( \textcolor{blue}{a} \) med to desimaler og \( \textcolor{green}{k} \) med fire desimaler er modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{41\,999}}{1 + \textcolor{blue}{14{,}76} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}9035}t}} \]I b) og c) regner vi videre med modellen slik GeoGebra har den, uten avrunding.

2. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har tall fra \( {t = 0} \) til \( {t = 7}\text{,} \) og der ligger punktene nær grafen.

Modellen sier at inntekten flater ut på omtrent \( \textcolor{red}{42\,000} \) kr per uke og holder seg der. Salget av planter er størst om våren og sommeren, så utover høsten vil inntekten trolig falle igjen.

Før uke 17 var det ikke noe salg, men modellen gir positive verdier også for \( {t < 0}\text{.} \) Modellen gjelder derfor bare for de ukene i sesongen der salget holder seg, fra \( {t = 0} \) og noen uker etter \( {t = 7}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Merk – Åpen vurdering: Hvor langt fram modellen gjelder, kan ikke tabellen avgjøre. Andre grenser kan også være riktige når de er begrunnet.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Hvor fort inntekten øker, er den deriverte \( I'(t)\text{.} \) Vi finner toppunktet til grafen til \( I'\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du bruke at en logistisk funksjon vokser raskest der den er halvveis opp, \( {I(t) = \dfrac{B}{2}}\text{.} \) Det gir \( {a \cdot e^{-kt} = 1}\text{,} \) altså \( {t = \dfrac{\ln a}{k} \approx 2{,}98}\text{,} \) og veksten der er \( {\dfrac{B \cdot k}{4}}\text{,} \) omtrent 9487 med tallene i svaret i a).

1. Finn toppunktet til den deriverte I a) fant vi modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{41\,999}{1 + 14{,}76 \cdot e^{-0{,}9035t}} \]Veksten i inntekten er \( \textcolor{red}{I'(t)}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi skriver inn den deriverte og finner toppunktet med Maks:

Skriv inn i GeoGebra: D(x) = I'(x) M = Maks(D, 0, 10)

Toppunktet er \( {M \approx (2{,}98;\ 9486)}\text{.} \)

2. Tolk svaret \( {t \approx 2{,}98} \) er omtrent 3 uker etter uke 17, altså i uke 20. Da økte inntekten med omtrent \( \textcolor{red}{9486} \) kr per uke for hver uke som gikk.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( I(t) \) er inntekten i kroner per uke, så integralet fra \( 0 \) til \( x \) er den samlede inntekten de \( x \) første ukene. Vi finner en antiderivert med substitusjon og løser likningen med \( \ln\text{.} \)

1. Finn en antiderivert Modellen er \( {I(t) = \dfrac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}}}\text{.} \) Vi ganger teller og nevner med \( e^{kt}\text{:} \) \[ I(t) = \dfrac{B \cdot e^{kt}}{\textcolor{green}{e^{kt} + a}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{kt} + a}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = k \cdot e^{kt}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{B}{k} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \int I(t)\,dt = \dfrac{B}{k}\ln\left(\textcolor{green}{e^{kt} + a}\right) + c \]

2. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1 + a}\text{.} \) Setter vi inn grensene og ganger med \( \dfrac{k}{B}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\textcolor{green}{e^{k\textcolor{blue}{x}} + a}\right) &- \ln(\textcolor{green}{1 + a}) \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{65\,000} \cdot k}{B} \end{aligned} \]

Med tallene i svaret i a), \( {B = 41\,999}\text{,} \) \( {a = 14{,}76} \) og \( {k = 0{,}9035}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\textcolor{green}{e^{k\textcolor{blue}{x}} + a}\right) &= \ln 15{,}76 \\ &\quad + \dfrac{\textcolor{red}{65\,000} \cdot 0{,}9035}{41\,999} \\ &\approx 4{,}1558 \end{aligned} \]

Vi opphøyer \( e \) i begge sider og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^{0{,}9035\textcolor{blue}{x}} + 14{,}76 &\approx e^{4{,}1558} \approx 63{,}80 \\ e^{0{,}9035\textcolor{blue}{x}} &\approx 49{,}04 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 49{,}04}{0{,}9035} \approx \textcolor{blue}{4{,}31} \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Arealet under grafen til \( I \) er den samlede inntekten, på samme måte som arealet under en fartsgraf er strekningen, som i videoen Hva er integrasjon. Ifølge modellen har hagesenteret tjent \( \textcolor{red}{65\,000} \) kr til sammen på plantene omtrent \( \textcolor{blue}{4{,}3} \) uker etter at salget startet, altså i løpet av uke 21.

1. Løs likningen i CAS I a) fant vi modellen: \[ I(t) \approx \dfrac{41\,999}{1 + 14{,}76 \cdot e^{-0{,}9035t}} \]Den står i Algebrafeltet fra a), og CAS kan bruke den. Vi løser likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, med startverdien \( {x = 4}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Integral(I(t), t, 0, x) = 65000, x = 4)

Rad 1 gir \( {\textcolor{blue}{x \approx 4{,}31}}\text{,} \) det samme som med kalkulatoren. Hagesenteret har altså tjent \( \textcolor{red}{65\,000} \) kr på plantene i løpet av uke 21.

Vi deriverer med kjerneregelen og setter inn \( {x = 150}\text{.} \) \( K'(x) \) sier hvor mye kostnaden øker per ekstra enhet.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\dfrac{x}{200}}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{\dfrac{1}{200}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} K'(x) &= 700 \cdot e^{\textcolor{green}{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{200}} \\ &= 3{,}5 \cdot e^{\tfrac{x}{200}} \end{aligned} \]

2. Regn ut og tolk \[ K'(150) = 3{,}5 \cdot e^{0{,}75} \approx 7{,}41 \]Når bedriften produserer 150 enheter per dag, øker kostnaden med omtrent 7,41 kr for hver ekstra enhet den produserer.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS og regner ut \( K'(150) \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 700*ℯ^(x/200) K'(150)

Rad 2 gir \( {K'(150) \approx 7{,}41}\text{.} \)

Enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheter. Vi deriverer den med kvotientregelen og setter den deriverte lik null.

1. Sett opp enhetskostnaden Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} = \dfrac{700 \cdot e^{\tfrac{x}{200}}}{x} \]

2. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er, med \( u' \) fra kjerneregelen som i a): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og faktoriserer ut \( 3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} E'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}(x - 200)}{x^2} \end{aligned} \]

3. Finn bunnpunktet Brøken er null når telleren er null, og \( 3{,}5e^{\tfrac{x}{200}} \) er aldri null: \[ \begin{aligned} E'(x) &= 0 \\ x - 200 &= 0 \\ x &= 200 \end{aligned} \]

\( e^{\tfrac{x}{200}} \) og \( x^2 \) er positive for \( {x > 0}\text{,} \) så \( E'(x) \) har samme fortegn som \( {x - 200}\text{.} \) Den er negativ for \( {x < 200} \) og positiv for \( {x > 200}\text{,} \) så enhetskostnaden synker fram til \( {x = 200} \) og stiger etterpå. Den laveste enhetskostnaden er: \[ E(200) = \dfrac{700 \cdot e^{1}}{200} = 3{,}5e \approx 9{,}51 \]

1. Løs i CAS På samme CAS-ark som i a) definerer vi \( E\text{,} \) løser \( {E'(x) = 0} \) og regner ut \( E(200)\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: E(x) := K(x)/x Løs(E'(x) = 0, x) E(200)

Rad 4 gir \( {x = 200}\text{,} \) og rad 5 gir \( {E(200) \approx 9{,}51}\text{.} \) Fortegnet til \( E' \) skifter fra minus til pluss i \( {x = 200}\text{,} \) som i kalkulatorruten, så det er et bunnpunkt.

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Vi finner hvor overskuddet er positivt, og det gjør vi med grafen og Nullpunkt i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen \( {O(x) = 0} \) kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: \( {O(9) \approx -20} \) og \( {O(10) \approx 54}\text{.} \) Grafen til \( O \) krummer nedover, fordi \( {O''(x) < 0}\text{,} \) og \( {O(500) \approx 6472}\text{,} \) så overskuddet er positivt hele veien opp til 500.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{80x - 0{,}10x^2} - \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} \end{aligned} \]

2. Finn hvor overskuddet er positivt Vi tegner \( O \) for \( x \) fra 0 til 500 og finner nullpunktet med Nullpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = Funksjon(80x - 0.1x^2 - 700*ℯ^(x/200), 0, 500) N = Nullpunkt(O, 0, 100) P = (500, O(500))

Grafen krysser \( x \)-aksen i \( {N \approx (9{,}27;\ 0)} \) og ligger over \( x \)-aksen resten av veien til \( {P = (500;\ 6472)}\text{.} \) Overskuddet er altså positivt for \( {9{,}27 < x \le 500}\text{.} \) Bedriften produserer hele enheter, så det minste antallet er 10.

Vi setter opp hypotesene og regner ut hvor sannsynlig det er å få minst én feil blant 20 hvis MASK har rett. Er det ikke svært usannsynlig, er klagen ikke velbegrunnet.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som oppgitt, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. La \( p \) være andelen feilproduserte komponenter: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}01} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p > 0{,}01} \]Vi velger signifikansnivået \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \)

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet feil \( X \) blant 20 komponenter binomisk fordelt med \( {n = 20} \) og \( {p = 0{,}01}\text{,} \) som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet). P-verdien er sannsynligheten for minst én feil: \[ \begin{aligned} P(X \ge 1) &= 1 - P(X = 0) \\ &= 1 - 0{,}99^{20} \\ &\approx 0{,}182 \end{aligned} \]

3. Konkluder P-verdien \( 0{,}182 \) er større enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Minst én feil blant 20 skjer i omtrent \( 18\,\% \) av tilfellene selv når andelen feil er \( 1\,\%\text{.} \) Bedriften har derfor ikke grunnlag for klagen.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut \( {1 - 0{,}99^{20}} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - 0.99^20

P-verdien er omtrent \( 0{,}182\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi ser påstanden som en hypotesetest med \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \) Høyst én feil blant \( n \) komponenter må da skje i mindre enn \( 5\,\% \) av tilfellene når andelen feil er \( 1\,\%\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for \( n \) kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp \( {P(X \le 1)} \) og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {n = 472} \) gir omtrent \( 0{,}0502 \) og \( {n = 473} \) omtrent \( 0{,}0498\text{.} \)

1. Sett opp hypotesene og P-verdien Kontrolløren vil vise at andelen er under \( 1\,\%\text{,} \) så det blir \( H_1\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}01} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p < 0{,}01} \]Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet feil \( X \) blant \( \textcolor{green}{n} \) komponenter binomisk fordelt, som i videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet): \[ P(X = x) = \binom{\textcolor{green}{n}}{x} \cdot p^x \cdot (1 - p)^{\textcolor{green}{n} - x} \]Med \( {p = 0{,}01} \) er \( {\binom{n}{0} = 1} \) og \( {\binom{n}{1} = n}\text{,} \) så P-verdien, sannsynligheten for høyst én feil, er: \[ \begin{aligned} P(X \le 1) &= 0{,}99^{\textcolor{green}{n}} \\ &\quad + \textcolor{green}{n} \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99^{\textcolor{green}{n} - 1} \end{aligned} \]

2. Løs likningen i CAS Vi finner \( n \) der P-verdien er \( 0{,}05 \) med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, og sjekker de hele tallene på hver side:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(0.99^n + n*0.01*0.99^(n - 1) = 0.05, n = 470) 0.99^472 + 472*0.01*0.99^471 0.99^473 + 473*0.01*0.99^472

Med \( {n = 472} \) er P-verdien \( 0{,}0502\text{,} \) litt over \( 0{,}05\text{,} \) og med \( {n = 473} \) er den \( 0{,}0498\text{,} \) under. Kontrolløren må altså ha testet minst 473 komponenter for å forkaste \( H_0\text{.} \)

Lånet er like mye verdt som alle terminbeløpene, når hvert av dem regnes tilbake til i dag. Disse nåverdiene danner en geometrisk rekke, og summeformelen gir terminbeløpet.

1. Sett opp rekken Et terminbeløp \( \textcolor{red}{T} \) som betales om \( n \) år, er i dag verdt \( \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^n}\text{.} \) Summen av nåverdiene av de åtte terminbeløpene skal være prisen på bilen: \[ \begin{aligned} 357\,000 = \ &\dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04^8} \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}}\text{,} \) så rekken er geometrisk med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{8}} \) ledd og første ledd \( {a_1 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} 357\,000 &= \dfrac{\dfrac{\textcolor{red}{T}}{1{,}04}\left(1 - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}\right)^{\textcolor{green}{8}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}04}}} \\ &= \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - 1{,}04^{-8}}{0{,}04} \end{aligned} \]

I den siste linja har vi ganget teller og nevner med \( 1{,}04\text{,} \) så nevneren blir \( {1{,}04 - 1 = 0{,}04}\text{.} \)

3. Løs for terminbeløpet \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{357\,000 \cdot 0{,}04}{1 - 1{,}04^{-8}} \\ &\approx 53\,024{,}44 \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Vi skriver rekken med Sum og løser for \( T \) med NLøs:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(357000 = Sum(T/1.04^k, k, 1, 8), T = 50000)

Terminbeløpet er omtrent \( 53\,024{,}44 \) kr.

Som i a) er prisen lik summen av nåverdiene av terminbeløpene, nå med ukjent rente. Likningen for renten løser vi med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du sette opp likningen og prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}027} \) gir en nåverdi på omtrent \( 450\,440 \) kr og \( {r = 0{,}028} \) omtrent \( 448\,133 \) kr, så renten ligger mellom \( 2{,}7\,\% \) og \( 2{,}8\,\%\text{.} \)

1. Sett opp likningen Med renten \( \textcolor{blue}{r} \) er et terminbeløp om \( n \) år i dag verdt \( {\dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^n}}\text{.} \) Summen av nåverdiene av de ti terminbeløpene skal være prisen: \[ \begin{aligned} 450\,000 = \ &\dfrac{52\,000}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{52\,000}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{10}} \end{aligned} \]

2. Løs likningen i CAS Vi løser likningen med NLøs, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, med startverdien \( {r = 0{,}03}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(450000 = Sum(52000/(1 + r)^k, k, 1, 10), r = 0.03)

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{r} \approx 0{,}0272}\text{,} \) altså omtrent \( 2{,}72\,\%\text{.} \)

Vi bruker terminbeløpet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Alt Mathias betaler utover prisen på bilen, er renter. Vi regner ut alle terminbeløpene til sammen minus lånet for hvert tilbud.

1. Regn ut rentene for hvert tilbud Hvert terminbeløp er renter pluss avdrag, og avdragene til sammen er lånet, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. De totale rentene er derfor: \[ \begin{aligned} \text{renter} &= \text{alle terminbeløpene} \\ &\quad - \text{lånet} \end{aligned} \]

I a) fant vi terminbeløpet \( {T \approx 53\,024{,}44} \) kr for tilbud 1. Det er beløpet Mathias betaler hvert år, i kroner og øre, så vi regner med det. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\text{Tilbud 1:}} \\ &8 \cdot 53\,024{,}44 - 357\,000 = \textcolor{blue}{67\,195{,}52} \\ &\textcolor{red}{\text{Tilbud 2:}} \\ &10 \cdot 52\,000 - 450\,000 = \textcolor{red}{70\,000} \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med terminbeløpet rundet til hele kroner, 53 024 kr, blir rentene for tilbud 1 \( 67\,192 \) kr. Tilbud 2 gir mest renter uansett.

2. Sammenlign \( \textcolor{red}{70\,000} \) kr er mer enn \( \textcolor{blue}{67\,195{,}52} \) kr, så tilbud 2 gir mest renter totalt.

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) regner vi ut rentene for begge tilbudene, med terminbeløpet slik det betales, 53 024,44 kr fra a):

Skriv inn i GeoGebra: 8*53024.44 - 357000 10*52000 - 450000

Tilbud 1 gir \( 67\,195{,}52 \) kr i renter og tilbud 2 \( 70\,000 \) kr, så tilbud 2 gir mest.

Hvert kast Ane gjør, teller én i antallet. Det forventede antallet kast er derfor summen av sannsynlighetene for at hvert kast blir gjort, og fra kast 3 er det en uendelig geometrisk rekke.

1. Forklar sannsynlighetene i tabellen Kast 1 og 2 må Ane alltid gjøre. Fra kast 3 er et kast nødvendig bare hvis ingen to kast på rad har vært like før det. Hvert kast er ulikt det forrige med sannsynlighet \( \dfrac{5}{6}\text{,} \) og kastene er uavhengige, så kast 3 er nødvendig med sannsynlighet \( \dfrac{5}{6}\text{,} \) kast 4 med \( {\left(\dfrac{5}{6}\right)^2}\text{,} \) og så videre.

2. Forklar summen La \( \textcolor{blue}{X_m} \) være 1 hvis kast nummer \( m \) blir gjort, og 0 ellers, og la \( \textcolor{red}{p_m} \) være sannsynligheten for at kast nummer \( m \) blir gjort. Antallet kast er da \( {N = \textcolor{blue}{X_1} + \textcolor{blue}{X_2} + \textcolor{blue}{X_3} + \dots}\text{,} \) og forventningsverdien til \( \textcolor{blue}{X_m} \) er: \[ \begin{aligned} E(\textcolor{blue}{X_m}) &= 1 \cdot \textcolor{red}{p_m} + 0 \cdot (1 - \textcolor{red}{p_m}) \\ &= \textcolor{red}{p_m} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på forventningsverdi, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans). Forventningen til en sum er summen av forventningene, så: \[ \begin{aligned} E(N) &= E(\textcolor{blue}{X_1}) + E(\textcolor{blue}{X_2}) + \dots \\ &= \textcolor{red}{p_1} + \textcolor{red}{p_2} + \textcolor{red}{p_3} + \dots \\ &= 1 + 1 + \dfrac{5}{6} \\ &\quad + \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 + \dots \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Fra det tredje leddet er rekken uendelig geometrisk med \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{p_3} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}}} \) og \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{\dfrac{5}{6}}}\text{.} \) Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{green}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(N) &= 1 + 1 + \dfrac{\textcolor{red}{\tfrac{5}{6}}}{1 - \textcolor{green}{\tfrac{5}{6}}} \\ &= 2 + \dfrac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{1}{6}} = 2 + 5 = 7 \end{aligned} \]

Vi lar datamaskinen kaste terningen til to kast på rad er like, mange ganger, og regner ut gjennomsnittet av summene.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 3 sier hvor mange ganger vi gjentar forsøket, og linje 4 starter summen av alle forsøkene på 0. Løkka i linje 5 gjentar forsøket, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

I hvert forsøk kaster linje 6 og 7 terningen to ganger, og linje 8 legger sammen øynene. While-løkka i linje 9 kaster videre så lenge \( \textcolor{red}{\texttt{kast}} \) er ulik \( \textcolor{blue}{\texttt{forrige}}\text{,} \) og legger hvert nytt kast til summen. Når to kast på rad er like, legger linje 13 summen til \( \texttt{total}\text{.} \)

2. Kjør programmet Linje 14 skriver ut gjennomsnittet av de \( 100\,000 \) summene. Én kjøring ga \( 24{,}56\text{,} \) og en ny kjøring gir et litt annet tall, fordi kastene er tilfeldige. Forventningsverdien til summen er altså omtrent \( 24{,}5 \) øyne.

Kontroll: Hvert kast gir i gjennomsnitt \( 3{,}5 \) øyne, og om et kast blir gjort, avhenger bare av kastene før det. Med 7 kast i gjennomsnitt fra a) ventes summen \( {7 \cdot 3{,}5 = 24{,}5}\text{,} \) som stemmer med simuleringen.