Hopp til hovedinnholdet

S2 eksamen våren 2023

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Prøveeksamen

Ta S2 vår 2023 som prøveeksamen

Løs settet på papir med klokka gående, som på eksamen: Del 1 på 2 timer uten hjelpemidler og Del 2 på 3 timer med hjelpemidler. Ta bilde av arkene med mobilen, og få poeng på hver oppgave, karakter 1–6 og tilbakemelding på hver deloppgave.

Start prøveeksamen

Del 1

Uten hjelpemidler · 6 oppgaver

Oppgave 1

Regn ut integralet
∫01(ex+3x2)dx \int_0^1 \left(e^x + 3x^2\right) dx
Vis løsning på oppgave 1

Svar

∫01(ex+3x2)dx=e‾‾ \underline{\underline{\int_0^1 \left(e^x + 3x^2\right) dx = e}}
Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.
1. Finn en antiderivert ledd for ledd \( \textcolor{blue}{e^x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{e^x}}\text{,} \) fordi \( {(e^x)' = e^x}\text{.} \)
For \( 3x^2 \) bruker vi potensregelen for integraler, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler, som regner ut nettopp \( \int_0^1 3x^2\,dx\text{.} \)
Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så \( \textcolor{red}{3x^2} \) integrert blir: \[ 3 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{2} + 1}x^{\textcolor{green}{2} + 1} = \underline{\textcolor{red}{x^3}} \]
2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]
Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^1 \left(e^x + 3x^2\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{x^3}\right]_0^1 \\ &= \left(\textcolor{blue}{e} + \textcolor{red}{1}\right) - \left(\textcolor{blue}{1} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= e \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Oppgave 2

Figuren nedenfor viser grafen til kostnadsfunksjonen og grafen til inntektsfunksjonen ved produksjon og salg av en vare.

Oppgave 2a)

Forklar hvordan du ut fra den grafiske framstillingen kan bestemme en tilnærmet verdi for grensekostnaden når det blir produsert 40 enheter. Omtrent hvor stor er denne grensekostnaden?
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Grensekostnaden er stigningstallet til tangenten i x=40, {x = 40}\text{,} avlest fra figuren:
K′(40)≈77 kr per enhet‾‾ \underline{\underline{K'(40) \approx 77\,\text{kr per enhet}}}
Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, altså stigningstallet til tangenten. Vi tegner tangenten i \( {x = 40} \) og leser av stigningstallet.
1. Tegn tangenten Vi kaller kostnadsfunksjonen \( K\text{.} \) Grensekostnaden ved 40 enheter er \( K'(40)\text{,} \) stigningstallet til tangenten til grafen i \( {x = 40}\text{.} \) Den forteller omtrent hvor mye én enhet til koster, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.
Grafen går gjennom \( (40, 3000)\text{.} \) Der legger vi en linjal inntil grafen, slik at den bare så vidt rører den, og tegner den grønne tangenten:
2. Les av stigningstallet Stigningstallet til en linje gjennom \( (x_1, y_1) \) og \( (x_2, y_2) \) er: \[ a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Den grønne tangenten går gjennom \( (40, 3000) \) og omtrent gjennom \( (100, 7600)\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} K'(40) &\approx \dfrac{7600 - 3000}{100 - 40} \\ &= \dfrac{4600}{60} \approx \textcolor{green}{77} \end{aligned} \]Når det produseres 40 enheter, koster én enhet til altså omtrent 77 kr. Tangenten er tegnet for hånd, så en avlesning litt over eller under er like god.

Oppgave 2b)

Forklar hvordan du, ved å se på stigningstallet i ulike punkt på grafene, kan avgjøre hvor mange enheter som må produseres for at overskuddet skal bli størst mulig.
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Overskuddet er størst der tangenten til kostnadsgrafen er parallell med inntektslinja, avlest fra figuren:
Omtrent 57 eller 58 enheter‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 57 \text{ eller } 58 \text{ enheter}}}
Overskuddet er avstanden fra kostnadsgrafen opp til inntektsgrafen. Vi sammenligner stigningstallene til de to grafene og ser hvor avstanden slutter å øke.
1. Sammenlign stigningstallene Med inntektsfunksjonen \( I \) og kostnadsfunksjonen \( K \) er overskuddet inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \]
Vi deriverer: \[ O'(x) = \textcolor{blue}{I'(x)} - \textcolor{red}{K'(x)} \]
Inntektsgrafen er en rett linje gjennom \( (0, 0) \) og \( (100, 10\,000)\text{,} \) så stigningstallet er det samme overalt: \[ \textcolor{blue}{I'(x)} = \dfrac{10\,000}{100} = \textcolor{blue}{100} \]
Kostnadsgrafen krummer oppover, så stigningstallet \( \textcolor{red}{K'(x)} \) øker. Der det er mindre enn \( \textcolor{blue}{100}\text{,} \) øker overskuddet, og der det er større, minker overskuddet: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K'(x)} < \textcolor{blue}{100}&\text{:} \quad O'(x) > 0 \\ \textcolor{red}{K'(x)} > \textcolor{blue}{100}&\text{:} \quad O'(x) < 0 \end{aligned} \]Overskuddet er derfor størst der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) som for ekstremalpunktet i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det er der \( {\textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) altså der tangenten til kostnadsgrafen er parallell med inntektslinja.
2. Finn punktet på figuren Vi skyver en linjal parallelt med inntektslinja ned til den så vidt rører kostnadsgrafen. Den grønne linja rører grafen omtrent i \( {x = 57{,}5}\text{:} \)
Der er den prikkede avstanden opp til inntektslinja størst. Bedriften må altså produsere og selge omtrent 57 eller 58 enheter. Linja er tegnet for hånd, så en avlesning litt over eller under er like god.

Oppgave 3

En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen nedenfor.
xP(X=x)0k10,32k−0,230,1 \begin{array}{r|r} x & P(X = x) \\ \hline 0 & k \\ 1 & 0{,}3 \\ 2 & k - 0{,}2 \\ 3 & 0{,}1 \end{array}

Oppgave 3a)

Vis at P(X>1)=0,3. {P(X > 1) = 0{,}3}\text{.}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Med k=0,4 {k = 0{,}4} er P(X=2)=0,2, {P(X = 2) = 0{,}2}\text{,} så:
P(X>1)=0,2+0,1=0,3‾‾ \underline{\underline{P(X > 1) = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3}}
Summen av alle sannsynlighetene i en fordeling er 1. Det gir oss \( k\text{,} \) og så legger vi sammen sannsynlighetene for \( {X = 2} \) og \( {X = 3}\text{.} \)
1. Finn den ukjente sannsynligheten Sannsynlighetene for alle verdiene \( X \) kan ha, blir til sammen 1, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ \begin{aligned} & P(X = 0) + P(X = 1) \\ &+ P(X = 2) + P(X = 3) = 1 \end{aligned} \]
Plugger vi inn tallene fra tabellen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{k} + 0{,}3 + (\textcolor{blue}{k} - 0{,}2) + 0{,}1 &= 1 \\ 2\textcolor{blue}{k} + 0{,}2 &= 1 \\ \textcolor{blue}{k} &= \textcolor{blue}{0{,}4} \end{aligned} \]
2. Legg sammen sannsynlighetene \( {X > 1} \) betyr at \( X \) er 2 eller 3: \[ \begin{aligned} & P(X > 1) \\ &= P(X = 2) + P(X = 3) \\ &= (\textcolor{blue}{0{,}4} - 0{,}2) + 0{,}1 \\ &= 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3 \end{aligned} \]

Oppgave 3b)

Bestem E(X) E(X) og Var(X). \text{Var}(X)\text{.}
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
E(X)=1‾‾Var(X)=1‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{E(X) = 1}} \\ &\underline{\underline{\text{Var}(X) = 1}} \end{aligned}
Vi bruker \( {k = 0{,}4} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Forventningen er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten sin. Variansen finner vi med forventningen til \( X^2\text{.} \)
1. Regn ut forventningen I a) fant vi \( {k = 0{,}4}\text{,} \) så sannsynlighetene for \( {X = 0, 1, 2, 3} \) er \( 0{,}4\text{,} \) \( 0{,}3\text{,} \) \( 0{,}2 \) og \( 0{,}1\text{.} \) Forventningen er: \[ E(X) = \sum x \cdot P(X = x) \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).
Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}3 \\ &\quad + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}1 \\ &= 0 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}3 \\ &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]
2. Regn ut variansen Variansen er forventningen til \( X^2 \) minus kvadratet av forventningen, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ \text{Var}(X) = \textcolor{green}{E(X^2)} - \textcolor{red}{E(X)}^2 \]
Vi finner \( \textcolor{green}{E(X^2)} \) på samme måte som \( E(X)\text{,} \) med \( x^2 \) i stedet for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(X^2) &= 0^2 \cdot 0{,}4 + 1^2 \cdot 0{,}3 \\ &\quad + 2^2 \cdot 0{,}2 + 3^2 \cdot 0{,}1 \\ &= 0 + 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}9 \\ &= \textcolor{green}{2} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \text{Var}(X) = \textcolor{green}{2} - \textcolor{red}{1}^2 = 1 \]

Oppgave 4

En elev har skrevet følgende kode:

Oppgave 4a)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Eleven ønsker å regne ut summen av de 10 10 første leddene i den aritmetiske rekken med a1=3 {a_1 = 3} og d=4: {d = 4}\text{:}
3+7+11+⋯+39=210‾‾ \underline{\underline{3 + 7 + 11 + \dots + 39 = 210}}
Vi følger løkka noen runder og ser hva som legges til \( S \) hver gang.
1. Følg løkka Linje 7 til 9 er en løkke som går \( {N = 10} \) ganger. I hver runde legger linje 8 tallet \( a \) til summen \( S\text{,} \) og linje 9 øker \( a \) med \( {d = 4}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.
Etter tre runder er: \[ S = \textcolor{blue}{3} + 7 + 11 \]
2. Kjenn igjen rekken Leddene øker med \( \textcolor{red}{4} \) hver gang, så dette er en aritmetisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Programmet legger sammen de \( 10 \) første leddene, og det siste er \( {3 + 9 \cdot 4 = 39}\text{.} \)
Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]
Plugger vi inn \( {n = 10}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{10} = 39}\text{,} \) får vi: \[ S_{10} = \dfrac{10 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 39)}{2} = 210 \]

Oppgave 4b)

Hva blir resultatet når programmet kjøres, dersom N settes til 100 i linje 4?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Programmet skriver ut summen av de 100 100 første leddene:
S100=20 100‾‾ \underline{\underline{S_{100} = 20\,100}}
Fra a) legger programmet sammen de \( N \) første leddene i den aritmetiske rekken med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi finner det siste leddet, \( a_{100}\text{,} \) og bruker sumformelen for aritmetiske rekker.
1. Finn det siste leddet Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Med \( {n = 100} \) får vi: \[ a_{100} = \textcolor{blue}{3} + 99 \cdot \textcolor{red}{4} = 399 \]
2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.
Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

Oppgave 5

Knut må hver dag ta en tablett som inneholder 7 mg av et virkestoff. I kroppen brytes 10 prosent av dette virkestoffet ned hvert døgn. Knut har lest at det kan være skadelig å ha mer enn 100 mg av virkestoffet i kroppen. Legen beroliger Knut med at dette ikke vil skje med den dosen Knut tar.
Avgjør om det legen sier, stemmer.
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Mengden i kroppen nærmer seg 70 mg, men kommer aldri over, så legen har rett:
71−0,9=70 mg<100 mg‾‾ \underline{\underline{\dfrac{7}{1 - 0{,}9} = 70\,\text{mg} < 100\,\text{mg}}}
Det som er igjen av hver tablett, blir ganget med 0,9 for hvert døgn. Mengden rett etter en tablett er derfor en geometrisk rekke, og vi finner hvor stor summen kan bli.
1. Sett opp mengden som en rekke Når 10 prosent brytes ned, er 90 prosent igjen, så vekstfaktoren per døgn er \( \textcolor{red}{0{,}9}\text{.} \) Rett etter tablett nummer \( n \) er den nye tabletten \( \textcolor{blue}{7} \) mg, det som er igjen av tabletten fra døgnet før, er \( {\textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}} \) mg, og så videre: \[ \begin{aligned} S_n = \ &\textcolor{blue}{7} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}^2 \\ &+ \ldots + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}^{n - 1} \end{aligned} \]Dette er en geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{7}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{.} \)
2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Siden \( {-1 < 0{,}9 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{7}}{1 - \textcolor{red}{0{,}9}} = \dfrac{7}{0{,}1} = 70 \]
3. Sammenlign med grensen Alle leddene er positive, så hver delsum \( S_n \) er mindre enn den uendelige summen: \[ S_n < S = 70 < 100 \]Rett etter en tablett er det altså alltid mindre enn 70 mg i kroppen, og mellom tablettene er det enda mindre. Legen har derfor rett.

Oppgave 6

Levetiden X X til et tilfeldig valgt batteri er normalfordelt med forventet levetid 500 timer og standardavvik 50 timer.

Oppgave 6a)

Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt batteri vil ha en levetid på mer enn 600 timer.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Det er omtrent 2,3 % 2{,}3\,\% sannsynlighet:
P(X>600)≈0,0228‾‾ \underline{\underline{P(X > 600) \approx 0{,}0228}}
Levetiden \( X \) er normalfordelt. Vi gjør den om til en standard normalfordelt \( Z \) og slår opp i tabellen i vedlegget.
1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.
Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi skriver «mer enn» som 1 minus «mindre enn eller lik». Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} & P(X > 600) \\ &= 1 - P(X \le 600) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{600 - \textcolor{blue}{500}}{\textcolor{red}{50}}\right) \\ &= 1 - P(Z \le 2) \end{aligned} \]
2. Slå opp i tabellen I tabellen over standard normalfordeling står \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772}\text{,} \) så: \[ P(X > 600) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \]
Sannsynligheten er 75,8 prosent for at levetiden til et tilfeldig valgt batteri er mer enn t t timer.

Oppgave 6b)

Bestem t. t\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
75,8 prosent av batteriene varer lenger enn:
t=465 timer‾‾ \underline{\underline{t = 465 \text{ timer}}}
Vi bruker tabellen baklengs: vi finner \( z \) der sannsynligheten i tabellen er \( {1 - 0{,}758}\text{,} \) og regner om fra \( z \) til timer.
1. Skriv om til mindre enn Tabellen gir sannsynligheter for «mindre enn eller lik», så vi skriver om: \[ \begin{aligned} P(X > t) &= 0{,}758 \\ P(X \le t) &= 1 - 0{,}758 = 0{,}242 \end{aligned} \]
2. Let opp verdien i tabellen Vi leter etter \( 0{,}2420 \) inne i tabellen og leser av raden og kolonnen, som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling, bare baklengs. Tallet står på raden \( {-0{,}7} \) og i kolonnen \( 0{,}00\text{:} \) \[ P(Z \le -0{,}70) = 0{,}2420 \]
Når vi standardiserer, er: \[ z = \dfrac{t - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}} \]
Her er \( {z = -0{,}70}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{t - \textcolor{blue}{500}}{\textcolor{red}{50}} &= -0{,}70 \\ t &= \textcolor{blue}{500} - 0{,}70 \cdot \textcolor{red}{50} \\ t &= 465 \end{aligned} \]

Oppgave 6c)

Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer X? X\text{?} Husk å argumentere for svaret.
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Toppen er i 500, og nesten hele grafen ligger mellom 500−3⋅50=350 {500 - 3 \cdot 50 = 350} og 500+3⋅50=650: {500 + 3 \cdot 50 = 650}\text{:}
Graf A‾‾ \underline{\underline{\text{Graf A}}}
Grafen til en normalfordeling har toppen i forventningen, og nesten alle verdiene ligger mindre enn tre standardavvik fra den.
1. Se hvor toppen er Toppen må være i forventningen, \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}}\text{.} \) B har toppen i 300 og C i 50, så de passer ikke. Både A og D har toppen i 500.
2. Se på spredningen Fra tabellen er \( {P(Z \le -3{,}00) = 0{,}0013}\text{,} \) så andelen som ligger mindre enn tre standardavvik fra forventningen, er: \[ \begin{aligned} P(-3 < Z < 3) &= 1 - 2 \cdot 0{,}0013 \\ &= 0{,}9974 \end{aligned} \]
Med \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}} \) ligger altså nesten alle levetidene mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{500} - 3 \cdot \textcolor{red}{50} &= 350 \\ \textcolor{blue}{500} + 3 \cdot \textcolor{red}{50} &= 650 \end{aligned} \]Grafen i A er nesten null utenfor 350 til 650. Grafen i D ligger tydelig over \( x \)-aksen både ved 350 og ved 650, så den har et større standardavvik, som i videoen Varians og Standardavvik, der den bredeste grafen har størst spredning.

Del 2

Med hjelpemidler · 5 oppgaver

Oppgave 1

Anders tok opp et annuitetslån på 150 000 kroner for å kjøpe en bil. Lånet hadde en nedbetalingstid på 36 måneder med én termin per måned. Det hadde en månedlig rentesats på 0,49 prosent.

Oppgave 1a)

Hva var terminbeløpet?
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Terminbeløpet, avrundet til hele øre:
T≈4555,14 kr‾‾ \underline{\underline{T \approx 4555{,}14\,\text{kr}}}
Lånebeløpet er lik summen av nåverdiene av de 36 terminbeløpene. Den summen er en geometrisk rekke, som vi løser for terminbeløpet.
Metode: Med kalkulator
1. Skriv lånet som en rekke Terminbeløpet \( T \) er det Anders betaler hver måned, som forklart i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, og i et annuitetslån er det like stort hver gang.
Med renten \( 0{,}49\,\% \) er vekstfaktoren \( 1{,}0049 \) per måned, så et terminbeløp som betales etter \( n \) måneder, er verdt \( \dfrac{T}{1{,}0049^n} \) i dag. Lånet er summen av disse nåverdiene: \[ \begin{aligned} 150\,000 = \ &\dfrac{T}{1{,}0049} + \dfrac{T}{1{,}0049^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{T}{1{,}0049^{36}} \end{aligned} \]Det er en geometrisk rekke med \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{\dfrac{T}{1{,}0049}}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}0049}}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{36}} \) ledd.
2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
Plugger vi inn, med \( {\textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{36}} = 1{,}0049^{-36}}\text{,} \) og ganger med \( 1{,}0049 \) over og under brøkstreken, får vi: \[ \begin{aligned} 150\,000 &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{T}{1{,}0049}}\left(1 - 1{,}0049^{-\textcolor{green}{36}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}0049}}} \\ &= \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-36}\right)}{1{,}0049 - 1} \\ &= \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-36}\right)}{0{,}0049} \end{aligned} \]
3. Løs for terminbeløpet Vi ganger med \( 0{,}0049 \) og deler på parentesen: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{150\,000 \cdot 0{,}0049}{1 - 1{,}0049^{-36}} \\ &\approx 4555{,}14 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver summen av nåverdiene med Sum og løser for \( T \) med Løs:
Skriv inn i GeoGebra: Løs(150000 = Sum(T/1.0049^k, k, 1, 36), T)
Rad 1 gir \( {T \approx 4555{,}14} \) kr.
Like etter at Anders hadde betalt inn terminbeløp 24 ble bilen totalskadet, og forsikringsselskapet betalte ut 55 000 kroner.

Oppgave 1b)

Var dette nok til å betale ned restlånet?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Restlånet, avrundet til hele kroner, er mindre enn utbetalingen:
Ja, 52 960 kr<55 000 kr‾‾ \underline{\underline{\text{Ja, } 52\,960\,\text{kr} < 55\,000\,\text{kr}}}
Vi bruker terminbeløpet \( {T \approx 4555{,}14} \) kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Restlånet etter 24 terminer er nåverdien av de 12 terminbeløpene som er igjen. Vi regner det ut med summeformelen og sammenligner med 55 000 kr.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp restlånet Etter terminbeløp 24 er det \( {36 - 24 = \textcolor{green}{12}} \) terminer igjen. Restlånet er det banken skal ha i dag for dem, altså summen av nåverdiene deres: \[ \begin{aligned} R = \ &\dfrac{T}{1{,}0049} + \dfrac{T}{1{,}0049^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{T}{1{,}0049^{\textcolor{green}{12}}} \end{aligned} \]
I a) fant vi at summeformelen, som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel, gjør en slik sum om til: \[ R = \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-\textcolor{green}{12}}\right)}{0{,}0049} \]
2. Regn ut og sammenlign Med \( {T \approx 4555{,}14} \) fra a) får vi: \[ \begin{aligned} R &= \dfrac{4555{,}14 \cdot \left(1 - 1{,}0049^{-12}\right)}{0{,}0049} \\ &\approx \textcolor{blue}{52\,960} \end{aligned} \]Restlånet er omtrent \( \textcolor{blue}{52\,960} \) kr, mindre enn \( \textcolor{red}{55\,000} \) kr. Utbetalingen var altså nok, og Anders har omtrent \( {55\,000 - 52\,960 = 2040} \) kr til overs.
Metode: Med GeoGebra
1. Summer nåverdiene i CAS Vi legger sammen nåverdiene av de 12 siste terminbeløpene med Sum, med terminbeløpet fra a) med fire desimaler:
Skriv inn i GeoGebra: Sum(4555.1392/1.0049^k, k, 1, 12)
Rad 2 gir \( 52\,959{,}7863\text{.} \) Restlånet er omtrent \( 52\,960 \) kr, mindre enn \( 55\,000 \) kr, så utbetalingen var nok.

Oppgave 2

Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming av musikk i Norge noen år i perioden 2008–2018.
A˚rStrømming200822010702012246201445620165822018655 \begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Strømming} \\ \hline 2008 & 2 \\ 2010 & 70 \\ 2012 & 246 \\ 2014 & 456 \\ 2016 & 582 \\ 2018 & 655 \end{array}

Oppgave 2a)

Lag en modell F F som du kan bruke til å bestemme hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming i Norge per år i perioden 2008–2018 og årene etterpå. Velg x x -verdier slik at F(0) F(0) gir hvor mange millioner kroner som ble brukt i 2008. Begrunn valget av modell.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Med x x år etter 2008 og F(x) F(x) i millioner kroner per år, avrundet til to desimaler (fire i eksponenten):
F(x)≈660,361+30,72e−0,7066x‾‾Logistisk: veksten avtar‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{F(x) \approx \dfrac{660{,}36}{1 + 30{,}72e^{-0{,}7066x}}}} \\ &\underline{\underline{\text{Logistisk: veksten avtar}}} \end{aligned}
Tallene vokser sakte, så raskt og så saktere igjen, som en logistisk modell. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.
Merk – Andre modeller: Oppgaven lar oss velge modell selv. En annen modell kan også være riktig når valget er begrunnet, men et polynom passer dårlig for årene etterpå, fordi det ikke flater ut.
Metode: Med GeoGebra
1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.
2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)
Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år. Med to desimaler, og fire i eksponenten, er modellen: \[ F(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]
Nedenfor ser du fire formler.
I=∫−0,510,5F(x) dxG=15∫2,57,5F(x) dxS=∑i=010F(i)D=F(5,001)−F(5)0,001 \begin{aligned} I &= \int_{-0{,}5}^{10{,}5} F(x)\,dx \\ G &= \dfrac{1}{5}\int_{2{,}5}^{7{,}5} F(x)\,dx \\ S &= \sum_{i = 0}^{10} F(i) \\ D &= \dfrac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001} \end{aligned}

Oppgave 2b)

Bestem I, I\text{,} G, G\text{,} S S og D. D\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til hele tall:
I≈3729‾‾G≈344‾‾S≈3729‾‾D≈116‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{I \approx 3729}} & &\underline{\underline{G \approx 344}} \\ &\underline{\underline{S \approx 3729}} & &\underline{\underline{D \approx 116}} \end{aligned}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Integralene regner vi ut med en antiderivert av modellen. Summen og differansekvotienten regner vi ut ved å sette inn i modellen.
Metode: Med kalkulator
1. Finn en antiderivert I a) fant vi modellen, med konstantene avrundet som i svaret: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36}{1 + 30{,}72e^{-0{,}7066x}} \]
Ganger vi med \( e^{0{,}7066x} \) over og under brøkstreken, får vi: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36\,e^{0{,}7066x}}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \]
Telleren er en konstant ganger den deriverte av nevneren. Integrasjon med substitusjon forteller oss at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u'}}{\textcolor{green}{u}}\,dx = \ln \textcolor{green}{u} + C \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{0{,}7066\,e^{0{,}7066x}} \end{aligned} \]
Telleren er \( \dfrac{660{,}36}{0{,}7066} \) ganger \( \textcolor{green}{u'}\text{,} \) så en antiderivert er: \[ H(x) = \dfrac{660{,}36}{0{,}7066}\ln\left(\textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72}\right) \]
2. Regn ut de fire tallene Integralene er differanser av \( H\text{:} \) \[ \begin{aligned} I &= H(10{,}5) - H(-0{,}5) \approx 3728{,}9 \\ G &= \dfrac{H(7{,}5) - H(2{,}5)}{5} \approx 344{,}5 \end{aligned} \]
\( S \) og \( D \) regner vi ut med \( F \) på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} S &= F(0) + F(1) + \ldots + F(10) \\ &\approx 3729{,}0 \\ D &= \dfrac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001} \approx 116{,}3 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001
Det gir: \[ \begin{aligned} I &\approx 3728{,}74 & G &\approx 344{,}45 \\ S &\approx 3728{,}82 & D &\approx 116{,}31 \end{aligned} \]
\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Oppgave 2c)

Gi en praktisk tolkning av svarene i oppgave b.
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
I millioner kroner brukt på strømming:
I: brukt i alt 2008–2018‾‾G: snitt per a˚r 2011–2015‾‾S: a˚rene 2008–2018 summert‾‾D: økning per a˚r i 2013‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{I\text{: brukt i alt 2008–2018}}} \\ &\underline{\underline{G\text{: snitt per år 2011–2015}}} \\ &\underline{\underline{S\text{: årene 2008–2018 summert}}} \\ &\underline{\underline{D\text{: økning per år i 2013}}} \end{aligned}
Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Tolk integralene \( F \) gir millioner kroner per år, så integralet av \( F \) over et tidsrom er det som ble brukt i det tidsrommet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]
\( G \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.
2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.
\( D \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.

Oppgave 3

Marte mener hun kan smake om en colatype er Coca-Cola eller Pepsi-Cola. Birger ønsker å teste om dette kan stemme, ved å gjennomføre en blindtest.
Han fyller tilfeldig 10 glass med cola, og Marte skal smake på dem for å avgjøre hvilken colatype hvert av glassene inneholder.
La X X være antall riktige svar Marte gir når hun smaker på 10 glass med tilfeldig colatype.

Oppgave 3a)

Bestem P(X=6) {P(X = 6)} dersom Marte bare tipper tilfeldig på en colatype for hvert av de 10 glassene. Hvilke antagelser gjør du når du regner ut denne sannsynligheten?
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Avrundet til tre desimaler, og med antagelsene vi gjør:
P(X=6)=2101024≈0,205‾‾Uavhengige svar, p=0,5‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{P(X = 6) = \dfrac{210}{1024} \approx 0{,}205}} \\ &\underline{\underline{\text{Uavhengige svar, } p = 0{,}5}} \end{aligned}
Når Marte tipper, er hvert svar riktig med sannsynlighet \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Vi sjekker at \( X \) da er binomisk fordelt, og bruker formelen for \( {P(X = k)}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Sjekk antagelsene \( X \) er binomisk fordelt når de fire punktene i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 holder. Det er antagelsene vi gjør: • To utfall for hvert glass: riktig eller galt svar. • Et fast antall forsøk: \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{10}} \) glass. • Samme sannsynlighet hver gang: \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}5}}\text{,} \) fordi hun tipper mellom to colatyper. • Uavhengige svar: det hun svarer på ett glass, påvirker ikke de andre.
2. Regn ut sannsynligheten Formelen for binomisk sannsynlighet er: \[ P(X = \textcolor{green}{k}) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{red}{p}^{\textcolor{green}{k}} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - \textcolor{green}{k}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).
Her er \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{6}}\text{,} \) og \( {\binom{10}{6} = 210} \) med nCr på kalkulatoren. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(X = \textcolor{green}{6}) &= \binom{\textcolor{blue}{10}}{\textcolor{green}{6}} \cdot \textcolor{red}{0{,}5}^{\textcolor{green}{6}} \cdot \textcolor{red}{0{,}5}^{4} \\ &= \dfrac{210}{1024} \approx 0{,}205 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Med de samme antagelsene bruker vi FordelingBinomial med \( {n = 10}\text{,} \) \( {p = 0{,}5} \) og \( {k = 6}\text{.} \) «false» gir \( {P(X = 6)} \) og ikke \( {P(X \le 6)}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: FordelingBinomial(10, 0.5, 6, false)
Sannsynligheten er omtrent \( 0{,}205\text{.} \)
Marte svarer så godt hun kan, og får riktig i 8 av de 10 tilfellene.

Oppgave 3b)

Avgjør ved hjelp av hypotesetesting om det er grunnlag for å si at Marte kan gjenkjenne de to colatypene. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
P-verdien er større enn α=0,05, {\alpha = 0{,}05}\text{,} så H0 H_0 forkastes ikke, og det er ikke grunnlag for påstanden:
P(X≥8)≈0,0547>0,05‾‾H0 forkastes ikke‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{P(X \ge 8) \approx 0{,}0547 > 0{,}05}} \\ &\underline{\underline{H_0 \text{ forkastes ikke}}} \end{aligned}
Den alternative hypotesen er det Marte påstår: at hun svarer riktig oftere enn når hun tipper. Vi regner ut sannsynligheten for minst 8 riktige hvis hun bare tipper.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er det motsatte, at hun bare tipper, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. La \( p \) være sannsynligheten for at Marte svarer riktig på et glass: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}5} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p > 0{,}5} \]Signifikansnivået er \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \)
2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er \( X \) binomisk fordelt med \( {n = 10} \) og \( {p = 0{,}5}\text{,} \) som i a). P-verdien er sannsynligheten for et resultat minst like godt som 8 riktige: \[ \begin{aligned} & P(X \ge 8) \\ &= P(X = 8) + P(X = 9) \\ &\quad + P(X = 10) \\ &= \dfrac{\binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10}}{2^{10}} \\ &= \dfrac{45 + 10 + 1}{1024} \\ &= \dfrac{56}{1024} \approx 0{,}0547 \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {0{,}5^k \cdot 0{,}5^{10 - k} = \dfrac{1}{2^{10}}} \) for alle \( k\text{.} \)
3. Konkluder P-verdien \( 0{,}0547 \) er større enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Med 10 glass er det ikke grunnlag for å si at Marte kan gjenkjenne colatypene, selv om 8 riktige er mye.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene er \( {P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)}\text{.} \) «true» gir \( {P(X \le 7)}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.5, 7, true)
P-verdien er omtrent \( 0{,}0547\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)
Birger synes 10 glass er litt lite i blindtesten. Han vil derfor gjøre en ny blindtest med 30 glass.

Oppgave 3c)

Hvor mange riktige svar må Marte minst gi for å overbevise Birger om at hun kan gjenkjenne de to colatypene? Bruk også her et signifikansnivå på 5 prosent.
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
P(X≥19)≈0,1002 {P(X \ge 19) \approx 0{,}1002} er over 0,05, mens P(X≥20)≈0,0494 {P(X \ge 20) \approx 0{,}0494} er under, så Marte må minst svare riktig på:
20 av 30 glass‾‾ \underline{\underline{20 \text{ av } 30 \text{ glass}}}
Vi bruker hypotesene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Med 30 glass ser vi etter det minste antallet riktige \( m \) der sannsynligheten for minst \( m \) riktige ved tipping er under 0,05. Vi prøver oss fram.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp kravet til P-verdien I b) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } p = 0{,}5 \qquad H_1\text{: } p > 0{,}5 \]Hvis \( H_0 \) er sann, er \( X \) nå binomisk fordelt med \( {n = 30} \) og \( {p = 0{,}5}\text{.} \) Marte overbeviser Birger hvis P-verdien \( {P(X \ge m)} \) er under 0,05. Ved tipping kan hun forvente 15 riktige, så vi prøver litt over det, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.
2. Prøv oss fram Som i b) er hvert ledd \( \binom{30}{k} \) delt på \( 2^{30}\text{.} \) Vi legger sammen binomialkoeffisientene med nCr på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} & P(X \ge 19) \\ &= \dfrac{\binom{30}{19} + \binom{30}{20} + \ldots + \binom{30}{30}}{2^{30}} \\ &= \dfrac{107\,636\,402}{1\,073\,741\,824} \approx \textcolor{red}{0{,}1002} \\ & P(X \ge 20) \\ &= \dfrac{\binom{30}{20} + \binom{30}{21} + \ldots + \binom{30}{30}}{2^{30}} \\ &= \dfrac{53\,009\,102}{1\,073\,741\,824} \approx \textcolor{green}{0{,}0494} \end{aligned} \]
3. Konkluder Med 19 riktige er P-verdien \( \textcolor{red}{0{,}1002}\text{,} \) over 0,05, så \( H_0 \) forkastes ikke. Med 20 riktige er den \( \textcolor{green}{0{,}0494}\text{,} \) under 0,05, så da forkastes \( H_0\text{.} \) Med flere riktige blir P-verdien enda mindre.
Metode: Med GeoGebra
1. Prøv oss fram i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut \( {P(X \ge 19)} \) som 1 minus \( {P(X \le 18)}\text{,} \) og \( {P(X \ge 20)} \) som 1 minus \( {P(X \le 19)}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(30, 0.5, 18, true) 1 - FordelingBinomial(30, 0.5, 19, true)
Rad 3 gir \( {P(X \ge 19) \approx 0{,}1002}\text{,} \) over 0,05, og rad 4 gir \( {P(X \ge 20) \approx 0{,}0494}\text{,} \) under 0,05. Marte må altså ha minst 20 riktige.

Oppgave 4

Foreldrene til Hildegunn vil gi henne ukepenger. De gir henne to ulike tilbud. I tilbud 1 får hun 100 100 kroner den første uken. Beløpet an a_n som hun får i uke n, n\text{,} er gitt ved den rekursive formelen
an=an−1+10 a_n = a_{n-1} + 10
I tilbud 2 får hun 100 100 kroner den første uken. Beløpet bn b_n som hun får i uke n, n\text{,} er gitt ved den rekursive formelen
bn=bn−1⋅1,05 b_n = b_{n-1} \cdot 1{,}05

Oppgave 4a)

Bestem det ukentlige beløpet hun får de fire første ukene med hvert av de to tilbudene.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
I kroner, an a_n med tilbud 1 og bn b_n med tilbud 2, med b4 b_4 avrundet til hele øre:
an:  100, 110, 120, 130bn:  100, 105, 110,25, 115,76‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} a_n&\text{:} \ \ 100,\ 110,\ 120,\ 130 \\ b_n&\text{:} \ \ 100,\ 105,\ 110{,}25,\ 115{,}76 \end{aligned}}}
Vi starter med \( 100 \) kroner og bruker den rekursive formelen tre ganger: legg til \( 10 \) i tilbud 1, og gang med \( 1{,}05 \) i tilbud 2.
Metode: For hånd
1. Tilbud 1 Hver uke får hun \( \textcolor{red}{10} \) kroner mer enn uka før: \[ \begin{aligned} a_1 &= 100 \\ a_2 &= 100 + \textcolor{red}{10} = 110 \\ a_3 &= 110 + \textcolor{red}{10} = 120 \\ a_4 &= 120 + \textcolor{red}{10} = 130 \end{aligned} \]
2. Tilbud 2 Hver uke får hun \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) ganger det hun fikk uka før: \[ \begin{aligned} b_1 &= 100 \\ b_2 &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 105 \\ b_3 &= 105 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 110{,}25 \\ b_4 &= 110{,}25 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} \approx 115{,}76 \end{aligned} \]

Oppgave 4b)

Hvor mange uker tar det før tilbud 2 vil gi mer ukelønn enn tilbud 1?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
b27≈355,57<360=a27 {b_{27} \approx 355{,}57 < 360 = a_{27}} og b28≈373,35>370=a28, {b_{28} \approx 373{,}35 > 370 = a_{28}}\text{,} så tilbud 2 gir mer ukelønn fra
uke 28‾‾ \underline{\underline{\text{uke } 28}}
Fra a) øker tilbud 1 med \( \textcolor{red}{10} \) kroner hver uke, og tilbud 2 ganges med \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) hver uke. Begge starter på \( 100 \) kroner.
Vi skriver begge beløpene som eksplisitte formler for uke \( n\text{,} \) og finner den første uka der \( {b_n > a_n}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Skriv formlene eksplisitt Tilbud 1 er en aritmetisk følge med \( {d = \textcolor{red}{10}}\text{,} \) og tilbud 2 er en geometrisk følge med \( {k = \textcolor{blue}{1{,}05}}\text{.} \) Formlene for ledd nummer \( n \) er: \[ \begin{aligned} a_n &= a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \\ b_n &= b_1 \cdot \textcolor{blue}{k}^{n - 1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på \( a_n\text{,} \) kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Med \( {a_1 = b_1 = 100} \) får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10} \\ b_n &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1} \end{aligned} \]
2. Prøv oss fram Likningen \( {b_n = a_n} \) kan vi ikke løse med algebra, så vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} n = 27&\text{:} \quad a_{27} = 360, \quad b_{27} \approx 355{,}57 \\ n = 28&\text{:} \quad a_{28} = 370, \quad b_{28} \approx 373{,}35 \end{aligned} \]
I uke \( 27 \) er tilbud 1 fortsatt best, men i uke \( 28 \) gir tilbud 2 mest. Etter det øker tilbud 2 med \( 5\,\% \) av over \( 373 \) kroner, altså mer enn \( 18 \) kroner i uka, mens tilbud 1 øker med \( 10\text{.} \) Tilbud 2 holder seg derfor foran.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi skriver de eksplisitte formlene, og løser \( {b(n) = a(n)} \) med en startverdi:
Skriv inn i GeoGebra: a(n) := 100 + 10(n - 1) b(n) := 100*1.05^(n - 1) NLøs(b(n) = a(n), n = 30)
Beløpene er like ved \( {n \approx 27{,}58}\text{,} \) så den første hele uka der tilbud 2 gir mest, er uke \( 28\text{.} \)

Oppgave 4c)

Hvor mange uker tar det før tilbud 2 til sammen vil gi mer lønn enn tilbud 1?
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Etter 38 38 uker er tilbud 1 fortsatt foran, men etter 39 39 uker har tilbud 2 gitt omtrent 11 410 11\,410 kr mot 11 310 11\,310 kr:
39 uker‾‾ \underline{\underline{39 \text{ uker}}}
Fra b) er \( {a_n = 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10}} \) og \( {b_n = 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1}}\text{.} \)
Det hun har fått til sammen etter \( n \) uker, er summen av de \( n \) første leddene. Vi bruker sumformlene for aritmetiske og geometriske rekker, og prøver oss fram.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp summene Summen av en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \]som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel. Med \( {a_1 = 100} \) og \( {a_n = 100 + 10(n - 1)} \) får vi for tilbud 1: \[ \begin{aligned} S_n^{(1)} &= \dfrac{n(100 + 100 + 10(n - 1))}{2} \\ &= 5n^2 + 95n \end{aligned} \]
Summen av en geometrisk rekke er: \[ S_n = b_1 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{k}^n}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel. Med \( {b_1 = 100} \) og \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1{,}05}} \) får vi for tilbud 2: \[ \begin{aligned} S_n^{(2)} &= 100 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^n}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}} \\ &= 2000(\textcolor{blue}{1{,}05}^n - 1) \end{aligned} \]
2. Prøv oss fram Med kalkulatoren regner vi ut summene etter \( 38 \) og \( 39 \) uker: \[ \begin{aligned} S_{38}^{(1)} &= 10\,830, & S_{38}^{(2)} &\approx 10\,771 \\ S_{39}^{(1)} &= 11\,310, & S_{39}^{(2)} &\approx 11\,410 \end{aligned} \]
Etter \( 38 \) uker har tilbud 1 gitt mest, men etter \( 39 \) uker har tilbud 2 gitt mest til sammen.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen for summene i CAS Vi bruker \( a(n) \) og \( b(n) \) fra b), og lar CAS summere:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(b(k), k, 1, n) = Sum(a(k), k, 1, n), n = 40)
Summene er like ved \( {n \approx 38{,}39}\text{,} \) så tilbud 2 har gitt mest til sammen fra uke \( 39\text{.} \)

Oppgave 5

Forskere ønsker å undersøke matematikkunnskapene til elever i videregående skole. Elever fra tre store skoler skal være med i undersøkelsen.
Karakterstatistikk fra de tre skolene viser at karakterene i matematikk er tilnærmet normalfordelt. Tabellen nedenfor viser forventningsverdi og standardavvik for hver av de tre skolene.
SkoleABCForventningsverdi3,83,44,1Standardavvik1,21,41,1 \begin{array}{r|r|r|r} \text{Skole} & A & B & C \\ \hline \text{Forventningsverdi} & 3{,}8 & 3{,}4 & 4{,}1 \\ \text{Standardavvik} & 1{,}2 & 1{,}4 & 1{,}1 \end{array}
Forskerne skal trekke ut 20 elever. For hver elev de skal trekke, trekker de først en tilfeldig skole og deretter en tilfeldig elev fra den skolen.

Oppgave 5a)

Lag et program som simulerer gjennomsnittskarakteren til 20 elever som er valgt ut på denne måten.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
For hver av de 20 elevene trekker vi først en skole, og så en karakter fra normalfordelingen til den skolen. Vi legger sammen karakterene og deler på 20.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 3 og 4 lagrer forventningene og standardavvikene til skole A, B og C i to lister, på plass 0, 1 og 2. Linje 6 starter summen på 0, og løkka i linje 7 går én gang for hver av de 20 elevene.
Linje 8 trekker en tilfeldig skole: \( \texttt{randint(0, 3)} \) gir 0, 1 eller 2 med like stor sannsynlighet, på samme måte som terningen i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 9 trekker en karakter fra normalfordelingen med forventningen og standardavviket til \( \textcolor{blue}{\texttt{skole}}\text{,} \) og linje 10 legger den til \( \textcolor{red}{\texttt{summen}}\text{.} \)
2. Regn ut gjennomsnittet Etter løkka skriver linje 12 ut gjennomsnittet: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{x_1 + x_2 + \ldots + x_{20}}}{20} \]Hver kjøring gir et nytt tilfeldig gjennomsnitt, som regel mellom \( 3{,}2 \) og \( 4{,}3\text{.} \)

Oppgave 5b)

Bruk simuleringer til å estimere sannsynligheten for at karaktersnittet til de 20 elevene er høyere enn 4.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Andelen av 100 000 simuleringer der snittet ble høyere enn 4, avrundet til to desimaler:
P(xˉ>4)≈0,21‾‾ \underline{\underline{P(\bar{x} > 4) \approx 0{,}21}}
Vi bruker programmet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi gjør simuleringen fra a) mange ganger og teller hvor ofte snittet blir høyere enn 4. Andelen er et estimat for sannsynligheten.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Lag en funksjon av simuleringen Vi legger linje 6 til 12 fra a) inn i en funksjon, \( \texttt{snitt()}\text{,} \) som gir tilbake gjennomsnittet av 20 tilfeldige elever i stedet for å skrive det ut:
2. Tell og regn ut andelen Løkka i linje 16 gjør \( \textcolor{blue}{100\,000} \) forsøk, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang snittet er høyere enn 4, øker linje 18 telleren \( \textcolor{red}{\texttt{over\_4}} \) med 1. Linje 20 skriver ut andelen av forsøkene der snittet var over 4. Én kjøring ga \( \textcolor{red}{20\,635} \) slike snitt: \[ P(\bar{x} > 4) \approx \dfrac{\textcolor{red}{20\,635}}{\textcolor{blue}{100\,000}} = 0{,}20635 \]Med så mange forsøk varierer svaret lite fra kjøring til kjøring, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.
Kontroll: Forventningen til én elev er \( {\dfrac{3{,}8 + 3{,}4 + 4{,}1}{3} \approx 3{,}77}\text{,} \) under 4. Et snitt over 4 skal derfor skje i mindre enn halvparten av forsøkene, og det gjør det.

Oppgavene i S2 vår 2023

Temaet og poengene i hver oppgave.

Oppgavene i S2 vår 2023, med del, tema og poeng
OppgaveTemaPoeng
Del 1
Del 1, Oppgave 1integrasjon–
Del 1, Oppgave 2derivasjon, optimering, tangent, økonomi–
Del 1, Oppgave 3sannsynlighet, standardavvik, statistikk–
Del 1, Oppgave 4aritmetiske rekker, programmering, rekker–
Del 1, Oppgave 5geometriske rekker, modellering, rekker, vekstfaktor–
Del 1, Oppgave 6gjennomsnitt, sannsynlighet, standardavvik, statistikk–
Del 2
Del 2, Oppgave 1geometriske rekker, lån, privatøkonomi, rekker–
Del 2, Oppgave 2gjennomsnitt, integrasjon, logistisk regresjon, modellering, numerisk derivasjon, regresjon–
Del 2, Oppgave 3binomisk fordeling, kombinatorikk, sannsynlighet, statistikk–
Del 2, Oppgave 4aritmetiske rekker, geometriske rekker, rekker, tallfølger–
Del 2, Oppgave 5gjennomsnitt, programmering, sannsynlighet, simulering, statistikk–

Ferdig med settet? Se de andre S2-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.